1. Узагальнення – це, напевно,
найлегший і найімовірніший
шлях розширення
математичних знань
В.Сойєр
Тема уроку:
Тип уроку:
Мета:
Обладнання:
Методи:
Формули скороченого множення. Ділова
гра «Компетентність» у 7 класі.
Узагальнення та систематизація знань.
узагальнити та систематизувати знання,
вміння і навички учнів; розвивати
пізнавальну активність, логічне мислення,
увагу; виховувати культуру математичного
мовлення, упевненість у своїх силах.
картки з індивідуальними завданнями,
комп’ютер,
таблиці,
мультимедійний
проектор.
групова робота, проектна діяльність учнів,
«мозковий штурм», індивідуальна робота.
ПЛАН УРОКУ
І. Організаційний момент. Мотивація навчальної
діяльності учнів.
ІІ. Основна частина уроку (ділова гра «Компетентність»).
Повторення та узагальнення знань, умінь і навичок з теми
«Формули скороченого множення».
ІІІ. Підсумок уроку.
IV. Домашнє завдання.
2. ХІД УРОКУ
І. Організаційний момент. Мотивація навчальної
діяльності учнів.
Сьогодні на уроці ми підіб’ємо підсумки вивчення теми
«Формули скороченого множення», будемо продовжувати
виробляти навички застосування формул скороченого
множення при тотожних перетвореннях многочленів. Я
сподіваюсь на вашу успішну працю, що на уроці ви зможете
показати свої знання формул скороченого множення та
вміння їх використовувати при спрощенні виразів,
доведенні тотожностей, розв’язуванні рівнянь.
Урок ми проводимо у формі ділової гри
«Компетентність». Що ж це означає? Компетенція – це
готовність застосовувати знання, вміння та навички для
фахового розв’язання проблеми. Тобто готовність учня
використовувати, навчальні вміння і навички для виконання
практичних та теоретичних завдань.
Компетентний (з латинського – належний, відповідний)
– це той, хто володіє необхідною інформацією і вміє
застосовувати набуті знання і досвід.
Отже, наскільки ви компетентні у застосуванні формул
скороченого множення при тотожних перетвореннях
многочленів, покаже сьогоднішній урок.
Клас поділено на три команди – зі своїми капітанами і
групою експертів (учнів 11 класу), які допоможуть мені
фіксувати ваші успіхи, капітани команд під час гри будуть
прикрашати «дерево компетентності», а «експерти»
заповнювати жетонами скарбничку кожної команди. У кінці
уроку підіб’ємо підсумок. Перед початком гри потрібно
повторити теорію. Для цього переглянемо презентацію
2
3. проекту над яким працювали три групи учнів (проектується
на екран):
- історичні відомості про формули скороченого
множення;
- формули скороченого множення;
- застосування формул скороченого множення.
ПЕРШИЙ ТУР
Конкурс-розминка «Мозковий штурм»
1. Укажіть за допомогою сигнальних карток номер
правильної відповіді. Якщо правильної відповіді немає, то
укажіть її.
Завдання
Вибери відповідь
Відповідь
3
3
(3a − b)(3a + b) ;
1.
1. a − 8b ;
4-1
2
2
2
2. (5m −3n) ;
2. m + 4mn + 4n ;
2-5
2
3
2
3. (m + 2n) ;
3. m − 3m + 3m − 1 ;
3-2
2
2
2
2
4. (a − 2b)(a + 2ab + b ) ;
4. 9a − b ;
4-1
3
2
2
5. (m −1) ;
5. 25m − 30mn + 9n . 5-3
2. Закінчіть вирази: Відповідь:
1) (2 x − y ) 2 = 4 x 2 − 4 xy + ... ;
2) (9m − 7 n)(9m + 7n) = ... − 49n 2 ;
3) (8 + y ) 2 = ... ;
4) (3 − 5 y )(3 + 5 y ) = ... ;
5) (2m − 3n)(4m 2 + 6mn + 9n 2 ) = ... ;
8m 3 − 27n 3 .
3.Обчисліть:Відповідь:
1) 25 2 − 15 2 = ... ;
2) 5 2 + 2 ⋅ 35 ⋅ 5 + 35 2 = ... ;
y2 ;
81m 2 ;
64 +16 y + y 2 ;
9 − 25 y 2 ;
( 25 −15)(25 +15) = 400 ;
(5 + 35) 2 = 1600 .
3
4. 4. Знайдіть суму коренів рівняння x 2 − x = 0 .
Відповідь: 1.
5. Заповніть порожні клітинки: Відповідь:
1) (+6b)(-)=25a2-;
(5a + 6b)(5a − 6b) = 25a 2 − 36b 2 ;
2) (3с-)2=-+25; (3c − 5) 2 = 9c 2 − 30c + 25 .
ДРУГИЙ ТУР
Гра «Дивись, не помились» (Дев’ять учнів працюють за
комп’ютерами по 3 від команди – виконують тестові
завдання, 1 група; інші отримують диференційовані
завдання, працюють в парах).
Тестові завдання
1. Знайдіть спільний множник членів многочлена 12am – 8bm:
a) 6a;
б) 4m;
в) 4b;
г)
4a.
2. Який з наведених виразів є різницею кубів двох виразів:
а) (x-y)3;
б) 4(x-y);
в) x-y;
г)
x3-y3.
3. Який з наведених виразів є кубом різниці двох виразів:
a) a3-b3;
б) (a-b)3;
в) a-b;
г)
3(a-b).
4. Піднесіть
до
a) m2+9n2; б) m2-3nm+9n2;
5. Подайте
a) (a-3)3;
степеня
в) m -6nm+9n2;
2
вираз
а3+3а2+3а+1
б) (a-2)3;
в) (a-1)3;
4
у
(m-3n)2:
г) m -3nm+3n2.
вигляді
г)
2
степеня:
(a+1)3.
5. 6. Подайте у вигляді квадрата двочлена вираз 0,16х2-0,8ху+у2:
a) (0,4x+y)2; б) (0,4x-y)2; в) 0,4(x-y)2; г)
0,4(x+y)2.
7. Який числовий множник можна винести за дужки у виразі
75а2-50а+25:
a) 5;
б) 15;
в) 25;
г)
10?
8. Яке число слід поставити замість *, що рівність (10а+5) 2 =
*(2а+1)2
є
тотожністю:
a) 25;
б) 5;
в) 4;
г)
10?
9.
На який вираз треба помножити різницю 3m2-n3, щоб дістати
різницю
9m4-n6:
a) 3m2n3;
б) 3m2+n3;
в) 3m4n6;
г)
3m2-n3?
10. Розв’яжіть
a) х=5;
б) х=-5;
рівняння:
в) х=25;
х2-10х+25=0
г) х=-25.
Зразок картки із диференційованими завданнями.
Рівень А
Виконайте за зразком:
Відповідь:
1. (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 ;
2. (m + n)(m − n) = ... ;
3. (3 − x)(3 + x) = ... ;
4. (a − 5)(a + 5) = ... ;
5. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ;
6. (4 + m) 2 = ... ;
7. (b + 3) 2 = ... ;
m2 − n2 ;
9 − x2 ;
a 2 − 25 ;
16 + 8m + m 2 ;
b 2 + 6b + 9 .
Рівень Б
5
6. Обчисліть:Відповідь:
(73 − 27)(73 + 27) = 4600 ;
1. 73 2 − 27 2 = ... ;
2
2. Спростіть ( x − 3) − x( x − 6) ;
9;
2
2
Розв’язання: x − 6 x + 9 − x + 6 x = 9 .
3. (+7)( -7)=с2-2;(с+7)(с-7)=с2-72=с2-49.
Рівень В
1. Доведіть, що вираз (7 n −1) 2 − 29 ділиться на 7.
Доведення. 49n 2 −14n + 1 − 29 = 49n 2 −14n − 28 = 7(7n 2 − 2n − 4)
ділиться на 7, отже (7 n −1) 2 − 29 ділиться на 7.
2. Спростіть вираз Відповідь:
(1 − x)(1 + x)(1 + x 4 )(1 + x 8 ) . 1 − x 16 .
«Експерти» перевіряють завдання і кладуть у скриньку
кожної команди відповідні жетони.
ТРЕТІЙ ТУР
«Знайди помилку» (1 завдання для кожної команди)
Правильна відповідь:
1. ( x − 7) 2 = x 2 −14 x + 20 ; x 2 − 14 x + 49 .
2. ( x − 7) 2 = x 2 − 49 ;
3. ( x − 7) 2 = x 2 − 7 x + 49 .
ЧЕТВЕРТИЙ ТУР
6
7. «Конкурс капітанів»
1. Доведіть, що при кожному натуральному n вираз
( n + 5) 2 − n 2 ділиться на 5.
Доведення: n 2 + 10n + 25 − n 2 = 10n + 25 = 5(2n + 5) ділиться
на 5, отже (n + 5) 2 − n 2 ділиться на 5.
2. Розв’яжіть рівняння: ( x + 1)( x 2 − x +1) = 5 x + x 3 .
Розв’язання: x 3 − 1 = 5 x + x 3 ;
5 x = −1 ;
x =−
Відповідь:
−
1
.
5
1
.
5
3. Спростіть вираз: (a − 2)(a 2 + 2a + 4) + 8 .
Розв’язання: a 3 − 8 + 8 = a 3 .
Відповідь: a 3 .
П’ЯТИЙ ТУР
Естафета «П’ять кроків до успіху». Хто швидше?
(Робота в групах. Ключове слово «Успіх».Дев’ять
учнів працюють за комп’ютерами – виконують тестові
завдання, друга група)
Завдання. Відповідь:
1. (8a + b)(8a − b) = ... ;
2. (3m + 4n) 2 = ... ;
3. 65 2 + 2 ⋅ 65 ⋅ 35 + 35 2 = .... ;
4. (3a + 2)(9a 2 − 6a + 4) = ... ;
5. ( x n − 2)( x n + 2) = ... ;
64a 2 − b 2 ;
9m 2 + 24mn + 16n 2 ;
(65 + 35) 2 = 10000 ;
27 a 3 + 8 ;
x 2n − 4 .
7
8. С
У
І
М
П
9m 2 + 24mn
64a 2 − b 2
27 a 3 + 8
16 − c 2 1000
0
+16n 2
А
Х
x 2n + 4
x 2n − 4
ШОСТИЙ ТУР
«Цікавинка навчання»
1. Відгадайте кросворд (Дев’ять учнів за комп’ютерами –
розв’язують тестові завдання, третя група, інші працюють в
групах).
2
8
1
О
3
О
5
4
6
7
По горизонталі:
1. Рівність, що має змінну. (Рівняння)
8
9. 2. Учений, який відділив алгебру від математики й
розглянув її як самостійний предмет. (Аль-Хорезмі)
3. Один із способів розкладання многочленів на
множники. (Групування)
4. Множник, який можна винести за дужки.
(Спільний)
5. Многочлен, що має два доданки. (Двочлен)
6. Наука, що вивчає розкладання многочленів на
множники. (Алгебра)
7. Число, що задовольняє рівняння. (Корінь)
По вертикалі:
8. Сума кількох одночленів. (Многочлен)
2. Розв’язування софізмів (біля дошки по одному учню від
кожної команди).
І. «БУДЬ-ЯКЕ
ПОЛОВИНІ».
ЧИСЛО
ДОРІВНЮЄ
ЙОГО
Доведення.
Нехай a = b . Помножимо обидві частини на a :
a 2 = ab .
Віднімемо від обох частин b 2 : a 2 − b 2 = ab − b 2 .
Розкладемо на множники обидві частини:
( a + b)(a − b) = b( a − b) . Поділимо обидві частини
рівності на a − b і одержимо:
a+b =b;
a+ a = a;
2a = a ;
a=
a
,
2
тобто будь-яке число дорівнює його
половині.
9
10. Де помилка?
Відповідь: ділення обох частин на a − b .
ІІ. «БУДЬ-ЯКІ ДВА ЧИСЛА ДОРІВНЮЮТЬ ОДНЕ
ОДНОМУ».
Доведення.
Нехай x − y = z , тоді x = y + z .
Помножимо обидві частини рівності на x − y ,
дістанемо:
x 2 − xy = xy + xz − y 2 − yz .
Віднявши від обох частин рівності по xz ,
матимемо:
x 2 − xy − xz = xy − y 2 − yz ;
x( x − y − z ) = y ( x − y − z ) .
Поділивши обидві частини рівності на ( x − y − z ) ,
матимемо:
x = y , тобто будь які два числа дорівнюють одне
одному.
Де помилка?
Відповідь: Ділення обох частин рівності на x − y − z .
ІІІ . «ВСІ ЧИСЛА РІВНІ МІЖ СОБОЮ».
Доведення.
Нехай m ≠ n . Візьмемо тотожність:
m 2 − 2mn + n 2 = n 2 − 2mn + m 2 ;
( m − n ) 2 = ( n − m) 2 ;
m− n = n− m;
2m = 2n ;
m = n , отже всі числа рівні між собою.
Де помилка?
10
11. Відповідь: перехід від
( m − n ) 2 = ( n − m) 2
до m − n = n − m .
СЬОМИЙ ТУР
ПІДБИТТЯ ПІДСУМКІВ.
Наш урок закінчується. Згадайте, які слова частіше
зустрічалися на уроці: «знаю», чи «вмію»?
Нехай у цьому вам допоможе «Дерево компетентності»
кожної команди, на яке капітани команд прикріпляли після
кожного туру емблеми учнів: «радість успіху», «набув
певну суму знань», «сьогодні я не задоволений собою».
(Капітани команд разом з «експертами» визначають
найактивніших учнів)
Запитаємо наших експертів: «Яка команда набрала
більше жетонів?»
ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ.
Повторити §16, 17, 19;
гр.А виконати самостійну роботу, варіант 4,сторінка
147;
гр.Б завдання 7, 10, сторінка 149.
11
12. ЛІТЕРАТУРА
1. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. Алгебра. Підручник для 7 класу
загальноосвітніх навчальних закладів. Київ. «ЗодіакЕКО», 2007.
2. Т.Л.Корнієнко, В.І.Фіготіна. Алгебра. Дворівнева
методика викладання. 7 клас / За ред. І.С.Маркової.
Х.: - Видавництво «Ранок». Веста, 2007.
3. Інтерактивні технології на уроках математики.
Упорядник І.С. Маркова – Ч.: Вид. група «Основа»,
2007.
4. Капіносов А.М. Основи технології навчання.
Проектуємо урок математики. – Х.: Вид.група
«Основа», 2006.
5. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і
практика. Розвиток критичного мислення. Модульне
навчання. – Х.: Вид. група «Основа», 2007.
6. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Рабинович Ю.М.,
Якір М.С. Збірник завдань і задач для математичного
оцінювання з алгебри для 7 класу. – Х.: Гімназія,
2007.
7. Урок математики в сучасних технологіях: теорія і
практика. Метод проектів. Комп’ютерні технології.
Розвивальне навчання / Укладач І.С. Маркова. – Х.:
Вид. група «Основа», «Тріада+», 2007.
12
13. ДОДАТКИ
ПРЕЗЕНТАЦІЯ ПРОЕКТУ УЧНІВ
«ФОРМУЛИ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ»
І ГРУПА.
Найбільший внесок у розвиток алгебраїчної символіки
зробив відомий французький математик Ф.Вієт, якого
називали «батьком алгебри». Він часто використовував
буквені позначення, але вони дещо відрізнялися віл тих,
якими користуємося ми. Записи, якими користуємося ми в
алгебрі запропонував французький математик Р.Декарт.
(Портрети вчених на екрані).
Формули
скороченого
множення
стародавнім
китайським і грецьким математикам були відомі за багато
віків до початку нашої ери. Записували їх тоді не за
допомогою букв, а словами і доводили геометрично (тільки
для додатніх чисел). Користуючись малюнком, пояснювали,
що для будь-яких чисел а і b площа квадрата зі стороною
(a+b) дорівнює сумі площ квадратів зі сторонами а і b та
двох прямокутників зі сторонами а і b. Отже,
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
Аналогічно виводимо інші рівності, які ми називаємо
формулами скороченого множення.
ІІ ГРУПА.
Ми вивчили такі формули скороченого множення:
- квадрат двочлена;
( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ;
- різниця квадратів двох виразів;
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2 ;
13
14. (a
3
- сума і різниця кубів двох виразів;
± b 3 ) = (a ± b)(a 2 − ab + b 2 ) ;
- куб двочлена;
(a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 .
Вивести кожну з них можна, використавши правила
множення многочленна на многочлен та означення степеня
з натуральним показником.
Наприклад,
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 .
ІІІ ГРУПА.
Знання формул скороченого множення дає можливість
швидко знаходити добуток деяких многочленів та квадрат і
куб двочлена, тому вони застосовуються при виконанні
тотожних перетворень виразів, або при розкладанні
многочленів на множники.
Наприклад:
1) Спростити вираз:
( x + 1)( x 2 − x + 1) − x 3 = x3 + 1 − x 3 = 1
2) Розв’язати рівняння:
x 2 − 16 = 0 ;
Розв’язання.
( x − 4)( x + 4) = 0 ;
x −4 = 0;
x +4 = 0;
x = 4;
x = − .
4
Відповідь: -4; 4.
14
