1. Числові послідовностіЧислові послідовності
( 9( 9 класклас))
““Вивчення математики подібне до Нілу,Вивчення математики подібне до Нілу,
що починається невеликим струмком, ащо починається невеликим струмком, а
закінчується великою річкою”закінчується великою річкою”
Ч. К. КолтонЧ. К. Колтон

2. МЕТАМЕТА ::
 Введемо поняття арифметичної та геометричноїВведемо поняття арифметичної та геометричної
прогресії, нескінченно спадної геометричноїпрогресії, нескінченно спадної геометричної
прогресіїпрогресії ( І( І qq ІІ< 1< 1 ).).
 Сформулюємо властивості цих прогресій.Сформулюємо властивості цих прогресій.
 Виведемо формулиВиведемо формули пп-го члена та суми перших-го члена та суми перших пп ––
членів арифметичної та геометричної прогресії.членів арифметичної та геометричної прогресії.
Суми нескінченної спадної прогресії.Суми нескінченної спадної прогресії.
 Навчимось розв’язувати вправи і задачі наНавчимось розв’язувати вправи і задачі на
застосування вивченого матеріалу та прикладнізастосування вивченого матеріалу та прикладні
задачі.задачі.

3. Вивчимо:Вивчимо:
 означення та властивості арифметичної таозначення та властивості арифметичної та
геометричної прогресії;геометричної прогресії;
 формулиформули пп – го члена арифметичної та– го члена арифметичної та
геометричної прогресії;геометричної прогресії;
 формули сумиформули суми пп – перших членів– перших членів
арифметичної та геометричноїарифметичної та геометричної
прогресії ;прогресії ;
 означення нескінченної геометричноїозначення нескінченної геометричної
прогресіїпрогресії ( І( І qq ІІ< 1< 1 ) та формулу її суми.) та формулу її суми.

4. Навчимося:Навчимося:
 розпізнавати прогресії серед іншихрозпізнавати прогресії серед інших
послідовностей;послідовностей;
 знаходити будь – який член прогресії зазнаходити будь – який член прогресії за
формулоюформулою пп – го члена;– го члена;
 знаходити суму першихзнаходити суму перших пп- членів арифметичної- членів арифметичної
та геометричної прогресії;та геометричної прогресії;
 розв’язувати базові задачі;розв’язувати базові задачі;
 записувати періодичний десятковий дріб узаписувати періодичний десятковий дріб у
виглядівигляді звичайного дробу;звичайного дробу;
 розв’язувати прикладні задачірозв’язувати прикладні задачі

5. ПланПлан
1.1. Означення арифметичної та геометричноїОзначення арифметичної та геометричної
прогресіїпрогресії
2.2. Властивості арифметичної та геометричноїВластивості арифметичної та геометричної
прогресіїпрогресії
3.3. Сума першихСума перших пп - членів арифметичної та- членів арифметичної та
геометричної прогресіїгеометричної прогресії
4.4. Нескінченна спадна геометрична прогресія та їїНескінченна спадна геометрична прогресія та її
сумасума
5.5. Застосування геометричної прогресії доЗастосування геометричної прогресії до
перетворення нескінченних періодичнихперетворення нескінченних періодичних
десяткових дробів у звичайнідесяткових дробів у звичайні

6. Історична довідкаІсторична довідка
 У давньоруському юридичному збірнику «РуськаУ давньоруському юридичному збірнику «Руська
правда» містяться відомості про приплід відправда» містяться відомості про приплід від
худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу,худоби і бджіл за певний відомий проміжок часу,
про кількість зерна, зібраного з визначеноїпро кількість зерна, зібраного з визначеної
ділянки землі та ін.ділянки землі та ін.
 Вперше задачі на прогресії виникли зіВперше задачі на прогресії виникли зі
спостережень над явищами природи і зспостережень над явищами природи і з
досліджень суспільно-економічних явищ, до якихдосліджень суспільно-економічних явищ, до яких
можна застосувати закон прогресії.можна застосувати закон прогресії.
 Зміст ряду історичних задач на прогресіїЗміст ряду історичних задач на прогресії
відбувається за законом арифметичної прогресії, авідбувається за законом арифметичної прогресії, а
інше — за законом геометричної.інше — за законом геометричної.

7.  Числова послідовність заданаЧислова послідовність задана,, якщо будь –якщо будь –
якому натуральномуякому натуральному пп поставлено упоставлено у
відповідність деяке числовідповідність деяке число
 Числова послідовність (Числова послідовність ( aann ), кожен член якої,), кожен член якої,
починаючи з другого, дорівнюєпочинаючи з другого, дорівнює
попередньому, до якого додане одне й те самепопередньому, до якого додане одне й те саме
число,число, називаєтьсяназивається арифметичноюарифметичною
прогресієюпрогресією..
 Це число позначається буквоюЦе число позначається буквою dd іі називаєтьсяназивається
різницею арифметичної прогресіїрізницею арифметичної прогресії
 ФормулаФормула п- гоп- го членачлена арифметичноїарифметичної
прогресіїпрогресії Nnndaan ∈−+= ),1(1

8.  Послідовність (Послідовність ( )) єє арифметичною прогресієюарифметичною прогресією тоді ітоді і
тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого,тільки тоді, коли її кожен член, починаючи з другого,
дорівнює середньому арифметичному сусідніх з нимдорівнює середньому арифметичному сусідніх з ним
членів:членів:
 Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії ,Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії ,
рівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніхрівновіддалених від її кінців , дорівнює сумі крайніх
членів.членів.
 Формула суми першихФормула суми перших пп членів арифметичноїчленів арифметичної
прогресії:прогресії:
na
Nnn
aa
a nn
n ∈≥
+
= +−
;2,
2
11
Nnn
nda
Sn
aa
S n
n
n ∈⋅
−+
=⋅
+
= ,
2
)1(2
;
2
11

9.  Геометричною прогресієюГеометричною прогресією називаєтьсяназивається
послідовність, кожний член якої, починаючи зпослідовність, кожний член якої, починаючи з
другого, дорівнює попередньому члену,другого, дорівнює попередньому члену,
помноженому на одне й те саме число.помноженому на одне й те саме число.
 Це стале для даної послідовності числоЦе стале для даної послідовності число qq
називаютьназивають знаменником геометричної прогресії;знаменником геометричної прогресії;
 (( )) — геометрична прогресія,— геометрична прогресія,
 У геометричній прогресії перший член іУ геометричній прогресії перший член і
знаменник відмінні від нуля.знаменник відмінні від нуля.
1−
=
n
n
b
b
q
nb
qbbqbbqbb nn 13212 ;...;; −===

10.  Геометрична прогресія називаєтьсяГеометрична прогресія називається
зростаючою чи спадноюзростаючою чи спадною в залежності відв залежності від
того, зростає чи спадає абсолютна величинатого, зростає чи спадає абсолютна величина
У будь-якій геометричній прогресії квадратУ будь-якій геометричній прогресії квадрат
кожного члена, починаючи з другого,кожного члена, починаючи з другого,
дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
11
2
+− ⋅= nnn bbb
Зауваження.
Правильне і обернене твердження: якщо в
послідовності квадрат кожного члена,
починаючи з другого, дорівнює добутку двох
сусідніх з ним членів, то ця послідовність —
геометрична прогресія.

11.  Знаючи перший членЗнаючи перший член та знаменник (та знаменник (qq)) геометричноїгеометричної
прогресії, можна знайти будь-який членпрогресії, можна знайти будь-який член (( ),), суму (суму (Sп)Sп) пп --
перших її членів за допомогою формул:перших її членів за допомогою формул:
1,
1
1,
1
)1(
1
1
1
1
≠
−
−
=
≠
−
−
=
⋅= −
q
q
bqb
S
q
q
qb
S
qbb
n
n
n
n
n
n
nb
1b

12.  Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію,Якщо послідовність чисел, які утворюють прогресію,
продовжується необмежено, то прогресіяпродовжується необмежено, то прогресія називаєтьсяназивається
нескінченною.нескінченною.
—— геометрична прогресія, .геометрична прогресія, .
 сума нескінченно спадної геометричної прогресії.сума нескінченно спадної геометричної прогресії.
q
b
S
−
=
1
1
.1<q
nn bbbbb ;...;;;)( 321−

13.  1.1. Запишіть у вигляді звичайного дробу нескінченнийЗапишіть у вигляді звичайного дробу нескінченний
періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).періодичний дріб: а) 0, (66); б) 2,(8); в) 0,3 (54).
...
1000000
66
10000
66
100
66
+++а) 0, (6)=0,666666…=
3
2
)66(,0.
3
2
99
66
1000
1
1
100
66
.
1
),1.(
100
1
;
100
66 1
1 ===
−
=
−
=<== S
q
b
Sqqb

15. Математичний диктантМатематичний диктант
теоретичний заліктеоретичний залік
1. Арифметична прогресія -...1. Арифметична прогресія -...
2. Геометрична прогресія -...2. Геометрична прогресія -...
3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть3.У геометричній прогресії перший член 8 , другий член 4 . Знайдіть
знаменник ?знаменник ?
4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть4.У арифметичній прогресії перший член 9 , другий член 3 . Знайдіть
різницю арифметичної прогресії.різницю арифметичної прогресії.
5. Властивості арифметичної прогресії:5. Властивості арифметичної прогресії:
6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?6.Чи є послідовність степенів числа 2 геометричною прогресією?
7. Властивості геометричної прогресії:7. Властивості геометричної прогресії:
8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...8. Знаменник геометричної прогресії обчислюється за формулою...
9 . Формула9 . Формула пп-го члена арифметичної прогресії така…-го члена арифметичної прогресії така…
10. Формула10. Формула пп-го члена геометричної прогресії така…-го члена геометричної прогресії така…
11. Сума11. Сума пп перших членів арифметичної прогресіїперших членів арифметичної прогресії
12. Сума12. Сума пп перших членів геометричної прогресії.перших членів геометричної прогресії.

16. Самостійна робота базового рівняСамостійна робота базового рівня
1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:1.Вказати перший член і різницю арифметичної прогресії:
Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3;Варіант І 3 ; 8; 13;… Варіант ІІ 3; 7; 11;… А) 3; 4 Б) 3; 10 В) 13; 8 Г) 3;
55
1.1. Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:Знайдіть одинадцятий член арифметичної прогресії:
Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32Варіант І 2; 5; 8;… Варіант ІІ 3; 5; 7; … А) 35 Б) 25 В) 23 Г) 32
1.1. Укажіть знаменник геометричної прогресії :Укажіть знаменник геометричної прогресії :
Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5Варіант І 8; 4; 2;… Варіант ІІ 10; 2; 0,4; … А) 0,1 Б) 0,2 В) 0,4 Г) 0,5
1.1. Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:Знайдіть четвертий член геометричної прогресії, якщо:
Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4Варіант І Варіант ІІ А) Б) 3 В) Г) 4
1.1. Чи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … числоЧи є членом арифметичної прогресії -3; -8; -13; … число
Варіант І -160 Варіант ІІ -153Варіант І -160 Варіант ІІ -153
6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :6. Знайдіть суму членів геометричної прогресі, якщо :
Варіант І Варіант ІІВаріант І Варіант ІІ
2
1
;21 == qb
3
1
;91 == qb
3
1
4
1
8,2,384 === nqbn
6,3,486 === nqbn

17. Застосування прогресійЗастосування прогресій
1.1. Геометрична прогресія в токарному цеху.Геометрична прогресія в токарному цеху.
У 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точнихУ 1876 р. академік А.В.Гадолін на підставі точних
математичних розрахунків довів, що верстати слідматематичних розрахунків довів, що верстати слід
будувати зі ступенями швидкостей, які утворюютьбудувати зі ступенями швидкостей, які утворюють
геометричну прогресію.геометричну прогресію.

18. 1.1. Застосування геометричної прогресії вЗастосування геометричної прогресії в
машинобудуванні.машинобудуванні.
Виявляється, геометрична прогресія відіграєВиявляється, геометрична прогресія відіграє
велику роль у машинобудуванні. За закономвелику роль у машинобудуванні. За законом
геометричної прогресії побудовано розмірністьгеометричної прогресії побудовано розмірність
металорізальних верстатів та інструментів,металорізальних верстатів та інструментів,
встановлено нормальні діаметри і довжини ввстановлено нормальні діаметри і довжини в
машинобудуванні. Тому геометрична прогресіямашинобудуванні. Тому геометрична прогресія
становить математичну основу стандартизаціїстановить математичну основу стандартизації
різноманітної промислової продукції.різноманітної промислової продукції.

19.  3.3. Геометрична прогресія в будівельній справі.Геометрична прогресія в будівельній справі.
 В архітектурі, будівельній справі використовуютьсяВ архітектурі, будівельній справі використовуються
колони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаногоколони. Вони мають форму не циліндра, а зрізаного
конуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колониконуса. Сила тиску в горизонтальних шарах колони
зростає у напрямку до нижньої основи. Для збереженнязростає у напрямку до нижньої основи. Для збереження
рівномірності від тиску довжини колони потрібнорівномірності від тиску довжини колони потрібно
збільшувати площі її поперечних перерізів. Площізбільшувати площі її поперечних перерізів. Площі
поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного,поперечних перерізів, рівновіддалених один від одного,
становлять геометричну прогресію.становлять геометричну прогресію.

20. Історичні задачіІсторичні задачі
Задача 1.Задача 1. Легенда про винахід шахівЛегенда про винахід шахів..
Шахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликавШахову гру винайшли в Індії. Індійський принц Сирам, покликав
до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородитидо себе її винахідника, ученого Сету, і сказав : «Я хочу нагородити
тебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоєтебе, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я виконаю будь-яке твоє
бажання».бажання».
«Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу«Володарю, — відповів Сета, — накажи видати мені за першу
клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, заклітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — 2 зернини, за
третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».третю — 4, і так за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню».
«Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.».«Ти одержиш свої зерна. Але твоє прохання не варте моєї щедрості.».
«Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен.«Ми обчислили, — сказали придворні математики, — кількість зерен.
Число це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навітьЧисло це таке велике, що зерен не вистачить ні в яких коморах, навіть
цілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьомуцілого царства. Не знайдеться такої кількості зерен і на всьому
просторі Землі.».просторі Землі.».
«Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.«Напишіть мені це д число» - 18446744073709551615.
Маса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людствомМаса такої кількості зерен більша за масу пшениці, зібраної людством
до теперішнього часу.до теперішнього часу.

21. Задача 2.Задача 2. Купівля коня.Купівля коня.
Дехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав іДехто продав коня за 156 рублів, але покупець роздумав і
повернув коня продавцю. Тоді продавець запропонувавповернув коня продавцю. Тоді продавець запропонував
йому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержишйому умови: «Купи цвяхи з його підков , а коня одержиш
безкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвяхбезкоштовно. Цвяхів у кожній підкові 6. За перший цвях
заплати менізаплати мені
копійки, за другийкопійки, за другий - копійки, за третій — 1- копійки, за третій — 1
копійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. Накопійку і т.д.». Він думав заплатити не більше 10 руб. На
скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).скільки проторгувався покупець? (42 тис. руб.).
4
1
2
1

22.  Задача 3Задача 3.. Поширення чутокПоширення чуток..
 До міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранкуДо міста з 50-тисячним населенням о 8-й годині ранку
прибув мешканець столиці і привіз свіжу новину. Уприбув мешканець столиці і привіз свіжу новину. У
будинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьомбудинку, де зупинився, він повідомив новину лише трьом
жителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина булажителям. Це зайняло, 15 хв, тобто о 8.15 новина була
відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям.відома чотирьом: приїжджому і трьом жителям.
Довідавшись новину, кожний із трьох громадян розповівДовідавшись новину, кожний із трьох громадян розповів
про неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщопро неї трьом іншим. На це знадобилося теж 15 хв. Якщо
чутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скількичутка поширюватиметься з такою швидкістю, то скільки
пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?пройде часу, перш ніж усе місто дізнається про неї?
( 2 год 30 хв )( 2 год 30 хв )

23. Тематична контрольна роботаТематична контрольна робота
Початковий і середній рівень ( 6 балів)Початковий і середній рівень ( 6 балів)
1.1. Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності,Дано послідовність кубів натуральних чисел. Який номер має член послідовності,
що дорівнюєщо дорівнює
Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4Варіант І 8 ? Варіант ІІ 277? А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4
2. Послідовність задана формулою . Знайдіть:2. Послідовність задана формулою . Знайдіть:
Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 35Варіант І Варіант ІІ А) 20 Б) 45 В) 15 Г) 35
3. Яка з поданих послідовностей є:3. Яка з поданих послідовностей є:
Варіант І геометричною прогресією ?Варіант І геометричною прогресією ?
Варіант ІІ арифметичною прогресією?Варіант ІІ арифметичною прогресією?
А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 10А) 6; 8;12;18 Б)2; 4; 8; 16 В) 3; 6; 24; 192 Г) 4; 6; 8; 10
1.1. Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії:Знайдіть дев’ятий член арифметичної прогресії:
Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; …Варіант І -4; 1; 6;… Варіант ІІ -5; -3; -1; …
А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 44А) -21 Б) 11 В) 36 Г) - 44
1.1. Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій:Знайдіть третій член геометричної прогресії, в якій:
Варіант ІВаріант І Варіант ІІВаріант ІІ
А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 45А) 80 Б) 30 В) 40 Г) 45
6. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо6. Чому дорівнює сума шести перших членів арифметичної прогресії, якщо
Варіант І Варіант ІІВаріант І Варіант ІІ
А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135А) 105 Б) 210 В) 270 Г) 135
52 += nan
15a 20a
3;51 == qb 4;51 == qb
15;20 61 == aa 5;40 61 == aa

24. 5;8,0 115 −=−= aa
Достатній рівень( 3бали)
7. Знайдіть суму шістнадцяти перших членів арифметичної прогресії,
якщо:
Варіант І Варіант ІІ
8. Знайти суму п’яти перших членів геометричної прогресії, якщо:
Варіант І Варіант ІІ
Високий рівень( 3бали)
9. Знайти суму всіх від’ємних членів арифметичної прогресії:
Варіант І -6,2; -5,9; -5,6;… Варіант ІІ -5,2; -4,8; -4,4; …
10 Сума трьох чисел, що утворюють геомет-ричну прогресію,
дорівнює 25. Якщо до цих чисел додати відповідно 1; 6 і 3, то
отримаємо три числа, що утворюють арифметичну професію. Знайти
ці числа.
8,2;1 96 == aa
192;6 94 == bb 324;12 63 == bb

26. ЛІТЕРАТУРА
1. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ Ірпінь.
2005
2. Г.П. Бевз « Алгебра 7-9» Освіта 2001
3. М.І. Бурда , О. Л. Біляніна, О. П. Валушенко,Н. С. Прокопенко
Збірник завдань для державної підсумкової атестації 9 клас.
Гімназія. Харків . 2007
4. Т. Г. Роєва. Алгебра. Геометрія. 9 клас. Навчальний посібник.
Харків « Країна мрій» 2002
5. Л. В, Колесникова , Г. Й. Коротіна « Алгебра дидактичні
матеріали» 9 клас Харків « Світ дитинства» 2000
6. Бібліотека журналу « Математика в школах України»
Учитель року – 2004 . Відкриті уроки з математики.
Харків Видавнича група « Основа» 2006
7. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2,
14, 2005; № 6 2007.
8. Журнал « Все для вчителя» № 22-23 2003
9. Каплун О. І. Тест – контроль . Алгебра = геометрія. 9 клас: Зошит
для поточного та тематичного оцінювання. – Харків: ФОП Співак Т. К.,
2009