Методичний посібник «Правильні многокутники»

Правильні многокутники Геометрія 9 клас
Пояснювальна записка
Даний посібник містить методичні рекомендації до вивчення
теми «Правильні многокутники» в 9 класі з геометрії.
Посібник складений із матеріалів, що відповідають програмі
для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 (автори
М.А.Бурда, Г.В.Апостолова, В.Г. Бевз, А.Т.Мерзляк, В.В.Грінчук,
Ю.І. Мальований, Є.П. Нелін, Н.А. Тарасенкова, Т.М. Янченко, С.Є.
Яценко).
Основна мета – розширити та систематизувати відомості про
многокутники і кола, навчити будувати правильні многокутники,
розвивати вміння і навички обчислювати значення геометричних
величин (елементів многокутника, довжини кола, його дуги),
застосовувати набуті знання до розв’язування задач.
Авторами запропоновано різні форми перевірки домашнього
завдання та актуалізації опорних знань ( математичні диктанти,
самостійні роботи навчального характеру в тестовій формі).
Для контролю навчальних досягнень призначені: добірки
контрольної роботи та тестові завдання для підготовки учнів до ДПА
у двох варіантах.
У посібнику вміщено оригінальні авторські розробки
елементів уроків з використанням ІКТ, а саме презентація «Правильні
многокутники», яка містить основні означення, формули, алгоритми
побудови правильних многокутників (шестикутника, трикутника,
чотирикутника), зразки розв’язування прикладних задач, деякий
історичний матеріал.
Щоб даний матеріал краще сприймався учнями пропонуємо
нові підходи до викладання даної теми з метою зацікавити учнів
варто використати презентацію «Правильні многокутники навколо
нас», в якій показано застосування правильних многокутників у
повсякденному житті.
Пропонований матеріал є досить великим за обсягом і не
завжди може бути використаний повністю за відведений час. Учитель
на свій розсуд може вибрати те, що найбільше відповідає навчальним
можливостям класу, що вважає корисним і необхідним.
Посібник допоможе як досвідченому, так і молодому вчителеві
зробити уроки математики ще більш результативними та цікавими.
Матеріал посібника допоможе вчителю розвивати в учнів логічне
__________________________________________________________________________________
Золотоніська загальноосвітня школа І – ІІІ ступенів №3 Бузенко С.А., Лук’ященко В.І.
3

мислення, увагу, інтуїцію, уміння аналізувати, міркувати у
нестандартних ситуаціях.
Структура посібника й зміст завдань дозволяють
використовувати його під час роботи за будь-яким чинним
підручником з геометрії для 9 класу.
__________________________________________________________________________________
4

Зміст програми з геометрії (9 клас )
Тема. Правильні многокутники
Зміст навчального матеріалу
Державні вимоги до рівня
підготовки учнів
Правильні многокутники та їх
властивості. Формули радіусів
вписаних і описаних кіл
правильних многокутників.
Побудова правильних
многокутників.
Довжина кола. Довжина дуги
кола.
Площа круга та його частин.
Формулює означення:
правильного многокутника,
кругового сектора, кругового
сегмента; теореми: про
відношення довжини кола до
його діаметра, про довжину
кола, про площу круга і його
частин.
Записує і пояснює формули:
радіусів вписаного і описаного
кіл правильного многокутника;
довжини кола і дуги кола; площі
круга, сектора й сегмента.
Будує правильний трикутник,
чотирикутник, шестикутник.
Застосовує вивчені означення і
теореми для розв’язування
задач.
__________________________________________________________________________________
5

Орієнтовне календарне планування з геометрії
9 клас по темі «Правильні многокутники»
№
уроку
Тема уроку Мета уроку
1
Правильні
многокутники.
Формули радіусів
вписаних і описаних
кіл правильних
многокутників
Сформувати поняття правильного
многокутника; довести теорему
про те, що кожний правильний
многокутник є вписаним у коло і
описаним навколо кола; вивести
формули для обчислення радіусів
вписаних і описаних кіл правиль-
них многокутників; сформувати
вміння застосовувати формули до
розв’язування задач
2
Побудова правильних
Ознайомити учнів з правилами
побудови правильних многокут-
ників (зокрема трикутників,
чотирикутників і шестикутників
3
Довжина кола.
Довжина дуги кола
Вивести формули для знаходження
довжини кола та довжини дуги.
Сформувати вміння застосовувати
виведені формули до розв’язування
задач
4
Площа круга та його
частин
Сформувати поняття кругового
сектора і сегмента. Вивести
формули для знаходження площі
круга, кругового сектора кругового
сегмента. Сформувати вміння
застосовувати ці формули до
5 Розв’язування задач
Узагальнення та систематизація
знань учнів із теми «Правильні
многокутники»
6 Контрольна робота
Перевірити рівень засвоєння знань
учнів із теми «Правильні многокут-
ники»
__________________________________________________________________________________
6

Правильні многокутники
1.Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і
описаних кіл правильних многокутників
Мета. Сформувати поняття правильного многокутника;
довести теорему про те, що кожний правильний многокутник є
вписаним у коло і описаним навколо кола; вивести формули для
обчислення радіусів вписаних і описаних кіл правильних
многокутників; сформувати вміння застосовувати формули до
розв’язування задач.
Зміст теоретичного матеріалу
1.Означення правильного многокутника.
2.Означення многокутника, вписаного у коло. Означення
многокутника, описаного навколо кола.
3.Теорема про те, що кожний правильний многокутник є вписаним у
коло і описаним навколо кола.
4.Формули для радіусів вписаних і описаних кіл правильних
многокутників.
Методичні поради
Під час викладання теоретичного матеріалу пропонуємо
використати слайди з презентації «Правильні многокутники».
Означення. Многокутник називається
правильним, якщо у нього всі сторони
рівні і всі кути рівні.
Правильний восьмикутник
Правильний шестикутник
Правильний трикутник
Правильний чотирикутник
__________________________________________________________________________________
7

Вписані і описані правильні многокутники
• Многокутник
називається вписаним
у коло, якщо всі його
вершини лежать на
деякому колі.
• Многокутник
називається описаним
навколо кола, якщо
всі його сторони
дотикаються до
деякого кола.
Вписані і описані правильні многокутники
Будь-який правильний
многокутник є
одночасно вписаним і
описаним, причому
центри його описаного
і вписаного кіл
збігаються.
R
r
О
__________________________________________________________________________________
8

Теорема. Правильний многокутник є вписаним у коло й
описаним навколо кола .
Доведення
Нехай А і В – дві сусідні
вершини правильного многокутника.
Проведемо бісектриси кутів А і В, які
перетинаються в точці О. Трикутник
АОВ – рівнобедрений (
2
α
=∠=∠ ОВАОАВ , де α – кут
правильного многокутника).
Сполучимо точку О з вершиною С,
що є сусідньою з вершиною В.
СВОАВО ∆=∆ (за першою
ознакою рівності трикутників).
Із рівності трикутників випливає, що трикутник ОВС –
рівнобедрений з кутом
2
α
=∠С , тобто СО – бісектриса кута С.
Потім сполучимо точку О із вершиною D, що є сусідньою з
вершиною С, і доводимо, що трикутник СOD – рівнобедрений і DO –
бісектриса кута D і т.д.
Отже, ...=∆=∆=∆ СДОСВОАВО . Усі ці трикутники
мають рівні бічні сторони і рівні висоти, проведені до їхніх основ.
Звідси випливає, що всі вершини многокутника лежать на колі з
центром О і радіусом, що дорівнює бічним сторонам трикутників, а
всі сторони многокутника дотикаються до кола з центром О і
радіусом, що дорівнює висотам трикутників, проведеним із вершини
О. Теорему доведено.
Виведення формул радіусів вписаного і описаного
кіл правильного многокутника
Нехай задано сторону nа правильного n – кутника знайдемо,
радіус R описаного кола і радіусів r вписаного кола.
__________________________________________________________________________________
9

Розглянемо трикутник AOB, у якому AB= nа ,
n
АОВ
0
360
=∠ , як центральний кут
правильного n-кутника. Проведемо
висоту ОС цього трикутника, тоді
nn
АОВ
АОС
00
180
2
360
2
==
∠
=∠ .
Із трикутника АОС знаходимо:
;
180
sin2
sin 0
n
a
AOC
AC
AOR n
=
∠
==
.
180
2
0
n
tg
a
AOCtg
AC
OCr n
=
∠
==
Отже,
.
180
2
;
180
sin2
00
n
tg
a
r
n
a
R nn
==
Робота в групах
Завдання
для І групи
Завдання
для ІІ групи
Виразити радіуси
описаного та
вписаного кіл через
сторону правильного
трикутника
чотирикутника
Завдання
для ІІІ групи
шестикутника
__________________________________________________________________________________
10

Результати наших досліджень оформимо у вигляді таблиці
Формули для радіусів вписаних і описаних кіл
правильних многокутників
Кількість
сторін
Радіус
Задача
Виразіть сторону nа правильного n-кутника через радіус R
описаного навколо нього і радіус r вписаного в нього кола. Обчисліть
nа , якщо
n = 3,4,6.
Результати розв’язання запишемо в таблицю
Задача
• Виразіть сторону правильного n-кутника через
радіус R описаного навколо нього і радіус r
вписаного в нього кола. Обчисліть , якщо n=3,4,6.
R r
__________________________________________________________________________________
11

При закріпленні нових знань і вмінь доцільно провести роботу в
парах по рядах.
Завдання. Знайти вид правильного многокутника.
1) 2) 3)
Підсумок уроку можна провести у формі математичного диктанту
(вчитель в залежності від підготовленості класу може вибрати один з
диктантів на вибір).
Математичний диктант №1
Варіант 1 Варіант 2
Дано правильний n - кутник
n = 4. n = 6.
Знайдіть:
1) Суму кутів многокутника;
2) Внутрішній кут многокутника;
3) Зовнішній кут многокутника;
4) Центральний кут многокутника;
5) Сторону многокутника, якщо його периметр
дорівнює 24 см;
6) Висоту многокутника, якщо його сторона
дорівнює 20 см.
__________________________________________________________________________________
12

Математичний диктант №2
1. Скільки сторін має правильний многокутник, зовнішній кут якого
становить:
?150
?90
2. Дано правильний n – кутник. Знайдіть градусну міру його:
внутрішнього кута. зовнішнього кута.
3. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх
кутів якого дорівнює:
?1400
?1600
4. Знайдіть центральний кут правильного:
вісімнадцятикутника п’ятнадцятикутника
5. Знайдіть зовнішній кут правильного многокутника, центральний
кут якого дорівнює:
?240
?400
6. Знайдіть суму кутів:
десятикутника дванадцятикутника
Розв’язування прикладних задач
Задача
В кондитерському цеху
зробили круглий торт
радіусом 18 см. Для
пакування є два види
коробок: квадратної форми і
форми правильного
шестикутника.
В яку коробку помістимо торт, якщо сторона
квадратної коробки 36 см, а шестикутної –
20 см ?
__________________________________________________________________________________
13

Розв’язання
Оскільки радіус торта дорівнює 18 см, то для розв’язання
задачі потрібно перевірити радіуси вписаних кіл для
двох видів коробок.
Сторона квадратної коробки
дорівнює 36 см, отже,
радіус вписаного кола
дорівнює 18 см. Таким
чином, торт поміститься в
квадратну коробку.
Перевіримо другу коробку. Трикутник АОВ
прямокутний,
О
BA
За співвідношеннями між сторонами і кутами
прямокутного трикутника маємо: :
Сторона коробки дорівнює
Порівняємо сторони обох коробок.
Таким чином, торт не поміститься в коробку
форми правильного шестикутника.
__________________________________________________________________________________
14

ДОДАТКОВІ ЗАВДАННЯ
№ 1
Сума зовнішніх кутів правильного многокутника разом з одним із
внутрішніх кутів становить 532 0
. Знайти кількість сторін
многокутника.
№ 2
Навколо правильного чотирикутника із стороною а описано коло.
Довести, що сума квадратів відстаней від довільної точки кола до
вершин чотирикутника є величиною сталою. Знайти її.
№ 3
У коло вписані квадрат і правильний трикутник. Площа квадрата
дорівнює Q. Знайдіть сторону і площу трикутника.
№ 4
В коло радіуса R вписано правильний трикутник, у цей трикутник
вписано коло, а в коло – квадрат. Знайти сторону квадрата.
РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ
Завдання 12 (Апостолова Г.В. Геометрія 9)
№ 21**
У коло, радіус якого дорівнює 12см, вписано правильний
чотирикутник АВСД, в який вписано коло, а в нього – правильний
трикутник КМN. Знайдіть периметр вписаного трикутника.
R = 12см – радіус описаного кола навколо правильного
чотирикутника АВСД. Тоді сторона АВСД зі співвідношення
;
180
sin2
0
n
a
R =
.212
2
3
12245sin2 0
4 cмRa =⋅⋅==
Радіус кола, вписаного у АВСД:
.2645
2
212
4
180
2
0
0
4
смctgctg
a
r ===
__________________________________________________________________________________
15

Сторона трикутника КМN, вписаного у менше коло зі
співвідношення:
;
3
180
sin2
0
3a
r =
.66
2
3
26260sin2 0
3 cмra =⋅⋅==
Тоді периметр трикутника .6183 3 cмaP KMN ==∆
№ 32*
Правильний трикутник, квадрат і правильний шестикутник мають
однакові периметри. Як відносяться їхні площі.
Нехай Р – периметр правильного п – кутника. Тоді його сторона
n
P
an = , а площа
n
ctg
n
P
n
ctg
n
Pn
n
ctg
na
S n
n
020202
180
4
180
4
180
4
=





⋅== .
а) п = 3;
312
60
123
180
123
180
34
2
0
20202
3
P
ctg
P
ctg
P
ctg
P
S ===
⋅
= ;
б) п = 4;
16
45
164
180
44
2
0
202
4
P
ctg
P
ctg
P
S ==
⋅
= ;
в) п = 6;
24
3
30
246
180
64
2
0
202
6
P
ctg
P
ctg
P
S ==
⋅
= .
Тоді ====
2
3
:
4
33
:1
6
)3(
:
4
3
:
3
1
24
3
:
16
:
312
::
2222
643
PPP
SSS
36:9:346:33:4 == .
2.Побудова правильних многокутників
__________________________________________________________________________________
16

Мета. Ознайомити учнів з правилами побудови правильних
многокутників (зокрема трикутників, чотирикутників і шестикутників
1. Алгоритм побудови правильного шестикутника
2. Алгоритм побудови правильного трикутника
3. Алгоритм побудови правильного чотирикутника
На даному уроці актуалізацію опорних знань учнів можна
провести у формі математичного диктанту, або виконати тестові
завдання.
Математичний диктант
Формули радіусів вписаних і описаних кіл
Дано коло, радіус якого дорівнює:
6 см. 8 см.
Знайдіть:
1) Сторону правильного трикутника, вписаного в це коло;
2) Сторону правильного трикутника, описаного навколо кола;
3) Сторону правильного чотирикутника, описаного навколо даного
кола;
4) Сторону правильного чотирикутника, вписаного в дане коло;
5) Сторону правильного шестикутника, вписаного в дане коло;
6) Периметр правильного шестикутника, описаного навколо цього
кола.
Тестові завдання до теми
__________________________________________________________________________________
17

Формули радіусів вписаних і описаних кіл
1. Знайдіть сторону правильного трикутника, вписаного в коло, радіус
якого дорівнює:
А) 6см. Б) 8см В)12см. Г) 10см
2. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі
стороною:
А) 6 см3 Б) см312 . В) см318 . Г) 24 см3
3. Знайдіть сторону правильного шестикутника, описаного навколо
кола, радіус якого дорівнює:
А) 27см. Б) 9см В) 36см Г) 18см.
4. Знайдіть периметр правильного шестикутника, вписаного в коло,
радіус якого дорівнює:
А) 13см Б) 17см. В) 19см. Г) 23см
5. Знайдіть площу правильного чотирикутника, вписаного в коло,
діаметр якого дорівнює:
А) 16см. Б) 8см В) 12см. Г) 24см
6. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло, дорівнює 6 см.
Знайдіть сторону квадрата:
вписаного в це коло. описаного навколо цього кола.
__________________________________________________________________________________
18

Алгоритми побудови правильних многокутників
(шестикутника, трикутника, чотирикутника) можна розказати
використовуючи слайди з презентації «Правильні многокутники».
Алгоритм побудови правильного шестикутника
• 1) Побудувати коло
довільного радіуса.
• 2) Від довільної точки
М кола потрібно
послідовно відкласти
хорди, які дорівнюють
радіусу.
• 3) З'єднати послідовно
точки – це вершини
правильного
шестикутника.
М
Алгоритм побудови правильного трикутника
• 1) Побудувати коло
довільного радіуса.
• 2) Від довільної точки М
кола послідовно відкласти
хорди, які дорівнюють
радіусу.
• 3) З'єднати послідовно
точки – це вершини
правильного шестикутника.
• 4) Сполучити через одну
вершини правильного
шестикутника, отримаємо
правильний трикутник.
М
__________________________________________________________________________________
19

Алгоритм побудови правильного чотирикутника
• Для побудови
правильного
чотирикутника
достатньо в колі
провести два
перпендикулярні
діаметри АС і ВD.
• Чотирикутник
АВСD- квадрат.
CA
D
B
Історична довідка
Стародавні вчені, які вміли будувати будь-який із
правильних n-кутників, де n=3,4,5,6.8,10,намагалися
розв'язати цю задачу і для n=7,9. Їм це не вдалося. І лише
у кінці XVIII ст. 19-річний студент Геттінгенського
університету, в майбутньому видатний німецький
математик Карл Фрідріх Гаусс повністю розв'язав питання
про побудову правильних многокутників циркулем і
лінійкою – це було його перше відкриття. Він довів, що за
допомогою циркуля і лінійки можна побудувати
правильний 17-кутник. Взагалі він довів, що поділити коло
на n рівних частин, або, що те саме, побудувати правильний n-кутник, за
допомогою циркуля і лінійки можна лише тоді, коли n є просте число виду
n= , де k- ціле додатне число або нуль, наприклад: n=3,5,17,257,65537.
При цьому очевидно, що коли побудовано правильний n-кутник, то легко
побудувати і правильний 2n-кутник.
Гаусс дуже пишався своїм першим відкриттям, і рисунок правильного
сімнадцятикутника звелів викарбувати на своїй могильній плиті.
__________________________________________________________________________________
20

№ 1
За допомогою циркуля та лінійки побудуйте правильний
шестикутник за відрізком, що дорівнює його більшій діагоналі.
№ 2
Кути правильного трикутника зрізали так, що отримали правильний
шестикутник. Знайти сторону правильного шестикутника, якщо
сторона трикутника дорівнює а.
№ 3
В даний трикутник вписати квадрат так, щоб дві вершини квадрата
лежали на одній стороні трикутника, а дві інші – на двох інших
сторонах трикутника.
__________________________________________________________________________________
21

3.Довжина кола. Довжина дуги кола
Мета. Вивести формули для знаходження довжини кола та
довжини дуги. Сформувати вміння застосовувати виведені формули
до розв’язування задач.
1.Теорема про відношення довжини кола до його діаметра.
2. Формула для обчислення довжини кола.
3. Формула для обчислення довжини дуги кола.
4. Задача прикладного змісту.
На початку уроку доцільно провести актуалізацію знань з
теми «Правильні многокутники. Формули радіусів вписаних і
описаних кіл правильних многокутників» у формі самостійної роботи
Варіант 1
Обчислити:
1) внутрішній кут правильного дванадцятикутника;
2) кількість сторін правильного многокутника, кожний із кутів якого
становить 135 0
;
3) сторону правильного трикутника, вписаного в коло, якщо площа
квадрата, описаного навколо цього кола, дорівнює 64см 2
.
Варіант 2
Обчислити:
1) внутрішній кут правильного десятикутника;
;
3) площу правильного чотирикутника, вписаного в коло, якщо
сторона правильного трикутника, описаного навколо кола, дорівнює
6 см.
__________________________________________________________________________________
22

Варіант 3
Обчислити:
1) внутрішній кут правильного восьмикутника;
;
3) сторону правильного шестикутника, вписаного в коло, якщо площа
квадрата, описаного навколо цього кола, дорівнює 36см 2
.
Теорема. Відношення довжини кола до його діаметра одне й
те саме для кожного кола.
Доведення
Нехай маємо два довільних кола, радіуси яких дорівнюють
1R і 2R , а довжина кіл - 1C і 2C . У кожне з цих кіл впишемо
правильні n-кутники з однаковим числом сторін, довжини яких
дорівнюють na і na′ , тоді їх периметри nP і nP′ відповідно
дорівнюватимуть:
n
RnanP nn
0
1
180
sin2⋅=⋅= ,
n
RnanP nn
0
2
180
sin2⋅=′⋅=′ .
Тоді
2
1
2
2
R
R
P
P
n
n
=
′
.
__________________________________________________________________________________
23

Якщо значення n необмежено збільшувати, то периметри nP
і nP′ прямуватимуть до довжин кіл 1C і 2C , а відношення
периметрів – до відношення
2
1
С
С
. Отже,
2
1
2
1
2
2
R
R
С
С
= , або
2
1
1
1
22 R
C
R
C
= , що і треба було довести.
Відношення довжини кола С до його діаметра 2R прийнято
позначати грецькою буквою π. Число π – ірраціональне число його
наближене значення π ≈ 3,1415926.
Отже, π=
R
С
2
, звідси RC π2= .
RC π2= – формула довжини кола.
Історична довідка
Застосування в селянських ремеслах наближеного числа π
Для того, щоб вставити дно в бочку, треба виміряти його
мотузкою навколо. Розмір мотузки скласти втроє – це й буде ширина
дошки, з якої можна вирізати дно з найменшої кількості обрізків.
Використовували π і при заготівлі будівельного матеріалу.
При визначенні товщини дерева на пні його обтягували шнуром і
складали одержаний розмір втроє. Таким способом виміряли ширину
вікового дуба під яким любив сидіти Т.Г.Шевченко коли гостював
В.П.Максимовича на Михайловій горі.
Знаходження довжини дуги кола
Знайдемо довжину дуги кола, яка відповідає центральному
куту 0
n . Оскільки розгорнутому
куту відповідає довжина півкола
Rπ , то куту 0
1 відповідає дуга
довжиною
180
Rπ
, а куту 0
n - дуга
довжиною
180
Rn
l
π
= .
__________________________________________________________________________________
24

- довжина дуги
R- радіус кола
n° - градусна
міра відповідного
центрального
кута
Довжина дуги
D - діаметрC= D
C - довжина кола
R – радіус кола
С=2 RДовжина кола
ПозначенняФормулаНазва формули
R
О
n°О
Довжина кола. Довжина дуги
Розв’язування прикладної задачі
Задача
У дворі нашої школи є
клумба квадратної форми.
Навесні ми будемо садити
квіти на нашу клумбу.
Спочатку ми будемо
садити конвалії по колу,
яке можна вписати в
квадратну клумбу.
Потім тюльпани - в формі квадрата, який вписаний в
коло. Скільки саджанців конвалій і цибулин тюльпанів
потрібно посадити, якщо розміри клумби 6х6
квадратних метрів? Садити квіти потрібно через кожні
20 см.
__________________________________________________________________________________
25

Оскільки коло вписане в квадрат, то радіус кола
дорівнює половині сторони квадрата.
Знайдемо кількість конвалій,
потрібних для посадки. 19:0,2=95( шт )
Сторона вписаного квадрата буде дорівнювати м.
Периметр цього квадрата дорівнює
Обчислимо кількість цибулин тюльпанів, необхідних
для посадки 16,8 : 0,2 = 84 (шт)
Відповідь: 95 конвалій; 84 цибулини тюльпанів
№ 1
На котушку радіусом 1,5см намотано 40см мотузки. Скільки зроблено
повних витків?
№ 2
Катети АВ і ВС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС
дорівнюють 8см. Коло з центром в точці В дотикається гіпотенузи
трикутника. Знайти довжину дуги кола, яка міститься в середині
трикутника.
№ 3
Накреслити у зошиті коло радіусам 4см. Відкласти на ньому дугу
довжиною 3π см.
№ 4
Довжина кола радіусом 12см дорівнює довжині дуги другого кола,
яка містить 135 0
. Знайти радіус другого кола.
№ 5
У коло радіусом R = 1 вписано правильний дванадцятикутник і
навколо цього кола описано правильний шестикутник. Зробити
малюнок і, користуючись ним, довести, що 5.33 << π .
__________________________________________________________________________________
26

№ 32*
Навколо двох рівновеликих прямокутників описані кола. Чи будуть ці
кола рівновеликими? Відповідь обґрунтуйте.
Для двох рівновеликих прямокутників SbaSbaS ==== 222111 ;
21
2
2
1
1 ;; aa
a
S
b
a
S
b ≠== . Діаметр кола, описаного навколо
прямокутника, дорівнює діагоналі, тому
2
1
2
11 baD += ;
2
2
2
22 baD += . Тоді
2
2
2
2
222
1
2
2
11
a
S
aD
a
S
aD +=≠+= .
Оскільки площа кола
4
2
D
S
π
= , то 





+=≠





+= 2
2
2
2
222
1
2
2
11
44 a
S
aS
a
S
aS
ππ
.
Отже, описані кола не є рівновеликими.
№ 33*
Діаметр кола поділено на п рівних частин, і на кожній із них як на
діаметрі побудовано кола. Знайдіть залежність між довжиною даного
кола і сумою довжин побудованих кіл.
?:; −= Σ Ll
n
D
d
__________________________________________________________________________________
27

Діаметр малого кола у п разів менше діаметра великого. Довжина
великого кола DL π= . Довжина великого кола
n
D
dL
π
π == ; сума
довжин малих кіл D
n
D
nnll π
π
=⋅==Σ .
Отже, Σ=⋅== l
n
D
nDL
π
π , тому довжина великого кола дорівнює
сумі довжин побудованих кіл.
__________________________________________________________________________________
28

4. Площа круга та його частин
Мета. Сформувати поняття кругового сектора і сегмента.
Вивести формули для знаходження площі круга, кругового сектора
кругового сегмента. Сформувати вміння застосовувати ці формули до
1. Теорема про площу круга. Формула для обчислення площі круга.
2. Означення кругового сектора. Площі кругового сектора.
3. Означення кругового сегмента. Площа кругового сегмента.
Знаходження площі круга
Нагадаємо, що кругом називається частина площини,
обмежена колом. Кругом радіуса R з центром у точці О називається
точка О і всі точки площини, які містяться від точки О на відстані, не
більшій від R.
Круг обмежений колом. Його не можна розбити на
многокутники і обчислити площу як суму многокутників. Дамо
означення площі круга таким чином.
Площею круга називається величина, до якої наближається
площа вписаного в це коло
правильного многокутника за умови,
що число його сторін необмежено
збільшується.
Впишемо в коло R
правильний n – кутник. Площа
правильного многокутника
rPABrnnSS nAOBn
2
1
2
1
=⋅⋅== ∆ , де
nP - периметр правильного n –
кутника.
При необмеженому збільшенні n площа правильного
многокутника nS наближається до площі круга, nP - довжина кола,
r – до R. Отже, одержуємо:
__________________________________________________________________________________
29

2
2
2
1
2
1
RRRCRSкр ππ =⋅⋅== .
Таким чином, площу круга можна обчислити за формулою
2
RSкр π= .
Формула дозволяє знаходити площу круга за його радіусом, а
також знаходити радіус круга за відомою площею круга.
Знаходження кругового сектора
Користуючись формулою площі круга, можна вивести
формули для знаходження площі частин круга, зокрема кругового
сектора і кругового сегмента.
Круговим сектором називається частина круга, яка лежить
усередині центрального кута.
Спираючись на формулу площі круга, виведемо формулу для
площі сектора, кутова величина дуги якого дорівнює 0
n .
Площа сектора, кутова
величина дуги якого дорівнює 0
1 , дорівнює
360
2
Rπ
, а площа сектора,
кутова величина дуги якого 0
n , дорівнює
360
2
nRπ
, тобто
360
2
nR
Sсек
π
= .
Ця формула пов’язує між собою три величини: ,,, nRSсек
тому за допомогою цієї формули можна знаходити будь-яку одну із
цих величин, якщо будуть відомі дві інші.
__________________________________________________________________________________
30

Знаходження кругового сегмента
Круговим сегментом називається спільна частина круга і пів-
площини.
Площа сегмента, який дорівнює півкругу, дорівнює
2
2
Rπ
.
Площа сегмента, який не дорівнює півкругу, обчислюється за
формулою ∆±⋅= S
R
Sсегм α
π
360
2
, де α – градусна міра центрального
кута, який містить дугу кругового сектора, а ∆S - площа трикутника
з вершинами в центрі круга і на кінцях радіусів , які обмежують
даний сектор. Знак «+» треба брати, якщо , а знак «-» -
якщо .
__________________________________________________________________________________
31

n > 180o
Sсегм - площа
кругового сегмента
- площа трикутника
n < 180oПлоща кругового
сегмента
Sкр.с. - площа
кругового сектора
n° - градусна міра
відповідного
центрального кута
Площа кругового
сектора
D - діаметр
S – площа круга
R – радіус круга
Площа круга
О
R
n°
1 2
1
2
n°
n°
№ 1
Круг діаметром 10см описаний навколо прямокутного трикутника,
гострий кут якого дорівнює 60 0
. Знайти площі сегментів, які
відтинають сторони цього трикутника.
№ 2
У круговий сектор вписаний круг радіусом 6см. Знайти площу
сектора, у якому градусна міра дуги відповідно дорівнює 60 0
.
№ 3
По різні боки від центра круга радіуса 3см проведені дві паралельні
хорди. Одна з хорд є стороною правильного чотирикутника,
вписаного у цей круг, а друга – стороною правильного вписаного
трикутника. Знайти площу частини круга, розміщеної між хордами.
__________________________________________________________________________________
32

№21*
Навколо круглої клумби, радіус якої дорівнює 3м, є декоративне
кільце завширшки 0,5м. Скільки треба гальки, щоб посипати доріжку,
якщо на 1 2
м кільця потрібно 0,7 2
дм гальки?
?;
1
7.0
;5.0;3 2
2
1 −=== r
k
r
S
м
дм
S
S
мhмR
2
1
2
112
2
12 )(;)( RhRSSShRS k πππ −+=−=+= ;
=−++=−+= )2(7.0))((7.0 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 RhhRRRhRSr ππ
2
1 15.75.0)5.032(7.0)2(7.0 дмhRh =⋅+⋅⋅=+= ππ .
№ 30*
Радіус круга дорівнює R. Знайдіть площу тієї частини круга, яка
розміщена поза вписаним у нього:
а) квадратом;
б) правильним трикутником;
в) правильним шестикутником.
Радіус описаного кола навколо правильного п – кутника R. Площа
кола 2
1 RS π= .
Площа п – кутника
n
nRSn
0
2 360
sin
2
1
= .
Площа частини кола поза вписаним п – кутником
)
360
sin
2
(
360
sin
2
0
2
0
22
1
n
n
R
n
R
n
RSSS n −=−=−= ππ .
а) п=4; )2()90sin2()
4
360
sin
2
4
( 202
0
2
−=−=−= πππ RRRS ;
б) п=3; =−=−= )120sin
2
3
()
3
360
sin
2
3
( 02
0
2
ππ RRS
4
334
4
33 22 −
⋅=







−=
π
π RR ;
__________________________________________________________________________________
33

в) п=6; =−=−= )60sin3()
6
360
sin
2
6
( 02
0
2
ππ RRS
2
332
2
23 22 −
⋅=







−=
π
π RR .
5.Розвязування задач
__________________________________________________________________________________
34

Мета. Узагальнити та систематизувати знання учнів із
теми «Правильні многокутники»
Урок можна провести методом розв’язування доцільних
завдань.
І. Актуалізація опорних знань учнів
1.Кросворд
1. Сторони, кути і вершини многокутника?
2. Многокутник з рівними сторонами і кутами?
3. Геометрична фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених
від даної точки.
4. Частина круга, обмежена хордою і відповідною їй дугою?
5. Багатогранник, всі сторони якого дотикаються до кола, називається…
6. Частина центрального кута кола, яку обмежує відповідна дуга цього кола.
7. Внутрішня частина площини, що обмежена колом, називається…
8. Кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.
9. Багатогранник, у якого всі його вершини лежать на колі, називається…
10. Сума довжини сторін многокутника.
11. Многокутник, який знаходиться в одній півплощині відносно прямої, що
містить будь – яку сторону, називається…
Кросворд
2. Самостійна робота з подальшою взаємоперевіркою
__________________________________________________________________________________
35

1) Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює:
а) 3 см; б) 2π см. а) 2 см; б) 3π см.
2) Знайдіть площу круга, довжина якого дорівнює:
8π см. 12π см.
3) Знайдіть площу кільця, розташованого між двома
концентричними колами, радіуси яких дорівнює:
3 см і 5 см. 4 см і 6 см.
4) Знайдіть площу сектора круга радіуса r, якщо градусна міра
відповідного центрального кута дорівнює α
r = 5 см, 0
40=α r = 6 см, 0
18=α .
4) Знайдіть площу кругового сегмента, якщо
радіус кола дорівнює 10 см. а
друга містить 0
150
радіус кола дорівнює 5 см. а
друга містить 0
30
№ 1
Дано правильний десятикутник. Знайти:
1) величину внутрішнього кута десятикутника;
2) величину зовнішнього кута десятикутника.
№ 2
Знайти радіус кола, якщо центральному куту у 225 0
відповідає дуга
довжиною 10м.
№ 3
Скільки сторін має правильний многокутник, внутрішній кут якого на
108 0
більший за зовнішній?
№ 4
У коло вписано правильний шестикутник з стороною 4см. Знайти
сторону квадрата, описаного навколо цього кола.
№ 5
Яку частину площі круга складає площа сектора, якщо відповідний
центральний кут дорівнює 150 0
?
№ 6
__________________________________________________________________________________
36

Знайдіть площу кругового сегмента, якщо його основа дорівнює 6см,
а дуга містить 120 0
.
№ 7
Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює
4 2 см, а сторона многокутника – 8см. Знайти радіус кола,
вписаного у многокутник та кількість його сторін.
№ 7
Обчислити площу круга і довжину відповідного кола, якщо коло
вписане в рівнобічну трапецію з основами 11см і 5см і сумою бічних
сторін 10см.
6. Контрольна робота
__________________________________________________________________________________
37

Мета. Перевірити рівень засвоєння знань учнів з теми «Правильні
многокутники»
Текст контрольної роботи
Варіант 1
Початковий та середній рівні навчальних досягнень
У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.
1. Знайдіть внутрішній кут правильного восьмикутника
А Б В Г Д
0
45 0
105 0
110 0
125 0
135
2. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із зовнішніх
кутів якого дорівнює 0
36 ?
А Б В Г Д
6 8 10 12 15
3. Радіус кола вписаного в квадрат, дорівнює 23 см. Знайдіть
площу квадрата.
А Б В Г Д
32 см 2
18 см 2
36 см 2
3 см 2
72 см 2
4. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 36π см.
А Б В Г Д
6π см. 24π см. 9π см. 12π см. 27π см.
5. Радіус кола дорівнює 27 см. Знайдіть довжину дуги цього кола,
градусна міра якої становить 0
25
А Б В Г Д
2
45π
см.
4
45π
см.
4
15π
см.
2
15π
см.
4
30π
см.
6. Радіус круга дорівнює 12 см. Знайдіть площу сектора цього круга,
якщо градусна міра його дуги дорівнює 0
75
А Б В Г Д
15π см 2
. 30π см 2
. 45π см 2
. 60π см 2
. 75π см 2
.
Достатній рівень навчальних досягнень
__________________________________________________________________________________
38

7. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює 8см.
Знайдіть площу круга, описаного навколо шестикутника.
8. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює
5см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює 0
330 .
Високий рівень навчальних досягнень
9. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 0
70 . На
висоті трикутника, яка проведена до основи і дорівнює 27см, як на
діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить
трикутнику.
Варіант 2
Початковий та середній рівні навчальних досягнень
У завданнях 1 – 6 виберіть правильну відповідь.
1. Знайдіть зовнішній кут правильного дванадцятикутника.
А Б В Г Д
0
30 0
45 0
60 0
60 0
120
2. Скільки сторін має правильний многокутник, кожний із внутрішніх
кутів якого дорівнює 0
150 ?
А Б В Г Д
6 8 10 12 15
3. Радіус кола описаного навколо квадрата, дорівнює 22 см.
Знайдіть площу квадрата.
А Б В Г Д
2 см 2
32 см 2
4 см 2
16 см 2
64 см 2
4. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 25π см. 2
А Б В Г Д
10π см 5π см 25π см 15π см 20π см
5. Чому дорівнює площа круга, вписаного в квадрат зі стороною 10 см
А Б В Г Д
10π см 2
100π см 2
5π см 2
25π см 2
30π см 2
__________________________________________________________________________________
39

6. Обчисліть площу сектора, якщо радіус круга дорівнює 12 см., а
градусна міра дуги дорівнює 0
75
А Б В Г Д
15π см 2
30π см 2
45π см 2
60π см 2
75π см 2
Достатній рівень навчальних досягнень
7. Менша діагональ правильного шестикутника дорівнює 8 см.
Знайдіть площу круга, описаного навколо шестикутника.
8. Знайдіть площу кругового сегмента, якщо радіус круга дорівнює 5
см, а градусна міра дуги сегмента дорівнює 0
330 .
Високий рівень навчальних досягнень
9. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 0
70 . На
висоті трикутника, яка проведена до основи і дорівнює 27см, як на
діаметрі побудовано коло. Знайдіть довжину дуги кола, яка належить
трикутнику.
__________________________________________________________________________________
40

Тестові завдання для підготовки учнів до ДПА
Завдання 1-12 мають по чотири варіанти відповідей, з яких
тільки ОДНА відповідь правильна. Виберіть правильну, на Вашу
думку, відповідь.
Тест №1
1. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, зовнішній кут
якого дорівнює 60 0
.
А) 8 сторін Б) 5 сторін В) 7сторін Г) 6 сторін
2. Знайдіть центральний кут, якщо відповідна йому дуга становить
3
1
кола.
А) 120 0
Б) 60 0
В) 90 0
Г) 30 0
3. Знайдіть внутрішній кут при вершині правильного шестикутника.
А) 150 0
Б) 100 0
В) 90 0
Г) 120 0
4. Центральний кут правильного многокутника дорівнює 30 0
.
Визначити кількість сторін многокутника.
А) 12 сторін Б) 6 сторін В) 18 сторін Г) 10 сторін
5. Скільки сторін має правильний многокутник, кут якого дорівнює
140 0
?
6. Знайдіть кут правильного двадцятикутника.
А) 144 0
Б) 160 0
В) 162 0
Г) 164 0
7. У правильному шестикутнику центральний кут дорівнює:
__________________________________________________________________________________
41

А) 60 0
Б) 30 0
В) 90 0
Г) 120 0
8. Сума внутрішніх кутів дванадцятикутника дорівнює:
А) 2160 0
Б) 360 0
В) 1800 0
Г) 1080 0
9. Сума кутів опуклого многокутника дорівнює 1080 0
.Чому
дорівнює кількість його сторін?
А) 6 Б) 8 В) 10
Г) такий многокутник не
існує
9. Сума зовнішніх кутів правильного многокутника разом з одним із
внутрішніх кутів становить 532 0
. Знайдіть кількість сторін
многокутника.
10. Визначити кількість сторін правильного многокутника, у якого
зовнішній кут становить
3
2
внутрішнього.
11. Визначити кількість сторін правильного многокутника, в якого
зовнішній кут на 156 0
менший від внутрішнього.
12. Якого найбільшого значення може набувати зовнішній кут
правильного многокутника?
А) 120 0
Б) 140 0
В) 160 0
Г) 60 0
думку, відповідь
Тест № 2
__________________________________________________________________________________
42

Формули радіусів вписаних і описаних кіл правильних
1. Радіус кола дорівнює 2 3 см. Знайдіть сторону правильного
трикутника, описаного навколо цього кола.
А) 12 см Б) 6 см В) 6 3 см Г) 3 3 см
2. Чому дорівнює радіус, описаного навколо правильного трикутника
зі стороною 12 см?
А) 12 3 см Б) 6 3 см В) 4 3 см Г) 2 3 см
3. У коло вписано квадрат зі стороною 9 2 см. Знайдіть сторону
правильного трикутника, описаного навколо цього кола.
А) 9 3 см Б) 3 3 см В) 6 3 см Г) 18 3 см
4. Чому дорівнює діагональ квадрата, якщо радіус описаного навколо
нього кола дорівнює 6 см?
А) 3 2 см Б) 6 2 см В) 6 см Г) 12 см
5. Периметр правильного трикутника дорівнює 15 3 см. Знайдіть
радіус кола, вписаного в цей трикутник.
А) 5 см Б) 2,5 см В) 2,5 3 см Г) 7,5см
6. Радіус описаного кола навколо правильного шестикутника
дорівнює 6 3 см. Чому дорівнює радіус вписаного кола цього
шестикутника?
А) 9 см Б) 6 см В) 3 3 см Г) 4 3 см
7. Навколо кола описано правильний шестикутник зі стороною 8 3
см. Знайдіть сторону квадрата, вписаного в це коло.
__________________________________________________________________________________
43

А) 12 см Б) 6 2 см В) 12 3 см Г) 6 см
8. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі
стороною 18 см?
А) 18 3 см Б) 9 3 см В) 6 3 см Г) 3 3 см
9. Знайдіть периметр правильного трикутника, якщо радіус кола,
описаного навколо нього, дорівнює 2 см:
А) 6 см Б) 3 3 см В) 6 3 см Г)2 3 см
10. Площа квадрата дорівнює 36 см. Знайдіть радіус кола описаного
навколо даного квадрата.
А) 3 см Б) 6 см В) 3 2 см Г) 9см
11. Сторона правильного трикутника, вписаного в коло дорівнює 6
см. Знайти сторону квадрата, вписаного в це коло.
А)
2
6
см Б) 4 см В) 2см Г) 3см
12. Якщо правильний дванадцятикутник вписано в коло радіуса R, то
його сторона дорівнює:
А) R 32 − Б) R 22 − В) R 32 + Г) R 23 +
думку, відповідь
Тест № 3
Довжини кола, довжина дуги кола. Площа круга та його частин
1. Довжина кола дорівнює 6π см. Знайдіть його радіус.
А) 3 см Б) 6 см В)
π
3
см Г)
π
6
см
2. Яка градусна міра дуги кола, радіус якого становить 6 см. а
довжина дуги дорівнює π см ?
А) 30 0
Б) 45 0
В) 15 0
Г) 60 0
__________________________________________________________________________________
44

3. Знайдіть площу кругового сектора радіуса 5 см, центральний кут
якого дорівнює 72 0
.
А) 10π см 2
Б) 20π см 2
В) π см 2
Г) 5π см 2
4. Коло вписано у правильний шестикутник зі 4стороною 4 3 см.
Знайдіть площу круга, обмеженого даним колом.
А) 6π см 2
Б) 36π см 2
В) 48π см 2
Г) 16π см 2
5. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 60 0
,
якщо радіус кола дорівнює 3 см.
А)
π
1
см Б) 2π см В) π см Г)
2
π
см
6. Площа круга, вписаного в квадрат, дорівнює 4π см 2
. Знайдіть
довжину сторони квадрата.
А)
π
4
см Б) 2 см В) 4 см Г)
π
2
см
7. Чому дорівнює довжина кола, яка обмежує кут площею 25 см 2
?
А) 5π см Б) 10π см В) 20π см Г) 25π см
8. Радіус кола дорівнює 27 см. Знайдіть довжину дуги цього кола,
градусна міра якої становить 25 0
.
А)
2
45π
см Б)
4
45π
см В)
4
15π
см Г)
2
15π
см
9. Радіус круга дорівнює 12 см. Знайдіть площу сектора цього круга,
якщо градусна міра його дуги дорівнює 75 0
.
А) 15π см 2
Б) 30π см 2
В) 45π см 2
Г) 60π см 2
10. Чому дорівнює площа круга, вписаного в квадрат зі стороною
10 см?
А) 10π см 2
Б) 100π см 2
В) 5π см 2
Г) 25π см 2
__________________________________________________________________________________
45

11.Чому дорівнює відношення площі круга до площі вписаного в
нього квадрата?
А)
π
2
Б)
2
π
В)
π
4
Г)
4
π
12. Сторона правильного трикутника дорівнює 4 см. Знайдіть
довжину кола, вписаного в цей трикутник.
А)
3
32 π
см Б)
3
38 π
см В) 4π см Г)
3
34 π
см
Щоб даний матеріал краще сприймався учнями пропонуємо
нові підходи до викладання даної теми з метою зацікавити учнів
варто використати презентацію «Правильні многокутники навколо
нас», в якій показано застосування правильних многокутників у
повсякденному житті.
__________________________________________________________________________________
46

Математика володіє
не тільки істиною,
але й вищою,
відточеною
суворою,
піднесеною чистою
красою і прагне до
справжньої
досконалості, що
притаманна
найбільшим зразкам
мистецтва.
Бертран Рассел
Правильні
многокутники
навколо нас
__________________________________________________________________________________
47

З давніх-давен правильні многокутники застосовуються в
архітектурі, у живопису. Правильні чотирикутники,
шестикутники і восьмикутники зустрічаються в старовинних
вавілонських і єгипетських пам’ятках у вигляді зображень на
стінах, прикрас, викарбуваних з каменю.
Правильні многокутники в
архітектурі
Національна бібліотека в Білорусії,
Мінськ.
В основі будівлі – правильний
шестикутник
У Вашингтоні одна з будівель побудована у
формі правильного п’ятикутника
__________________________________________________________________________________
48

Побудова правильних многокутників, тобто
поділ кола на рівні частини дозволяє
розв’язувати практичні задачі:
1) Створення колеса зі спицями
2) Поділ циферблата годинників
3)Побудова античних театрів
В живому світі ми можемо розгледіти
правильні многокутники
__________________________________________________________________________________
49

В рослинному світі ми теж можемо
розгледіти правильні многокутники
Сніжинки падають на землю правильними
шестикутниками. Природа ще раз підтверджує нам
свою досконалість.
__________________________________________________________________________________
50

Калейдоскоп, дитяча гра, в якій
зачаровують симетричні узори, що
змінюються
дитячих іграшках
__________________________________________________________________________________
51

Знайти правильні многокутники
у предметах, які оточують нас у
повсякденному житті
Правильні многокутники у
вишивці
__________________________________________________________________________________
52

Правильні многокутники у
вишивці
__________________________________________________________________________________
53

мозаїці
__________________________________________________________________________________
54

мозаїці
Правильні многокутники в плитці
__________________________________________________________________________________
55

смачних стравах
__________________________________________________________________________________
56

навколо нас
в природі
__________________________________________________________________________________
57

Чи знають бджоли математику ?
Учені, які досліджували бджолині
стільники, переконалися: всі кути, що
утворюють шестикутник бджолиної чарунки
саме такі, для яких чарунка найбільш
містка і при цьому на неї йде найменше
воску. Начебто бджоли, будуючи свої
стільники, користуються складними
математичними обчисленнями. Побудовані
ними без усяких креслень стільники з
найбільшою точністю відтворили розміри
ідеальної споруди розрахованої за всіма
правилами науки.
Порівняймо периметри правильного трикутника,
чотирикутника і шестикутника , які мають однакові площі:
Sтр = Sчот = Sш = S.
Для трикутника з стороною a дістанемо:
, звідки .
Отже, для периметра трикутника Pтр матимемо такий вираз:
Упевнимося в тому, що бджоли “мали
рацію” вибравши саме правильний
шестикутник.
Периметр квадрата P з тією самою площею S дорівнюватиме:
__________________________________________________________________________________
58

Для правильного шестикутника з стороною b
матимемо:
, звідки .
Таким чином,
Звідси матимемо:
БудуючиБудуючи шестикутнішестикутні чарункичарунки,, бджолибджоли
найбільшнайбільш економноекономно використаливикористали
стільникистільники припри найменшійнайменшій витратівитраті воскувоску..
ОтжеОтже,, бждолибждоли,, нене
знаючизнаючи математикиматематики,,
правильноправильно ““визначиливизначили””,, щощо
правильнийправильний шестикутникшестикутник
матимематиме найменшийнайменший
периметрпериметр..
__________________________________________________________________________________
59

Список використаної літератури
1. Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворівн. підруч. для загальноосвіт.
навч. закл./ Г.В. Апостолова. – К. : Генеза, 2009. – 304с. : іл.
2. О.С. Істер, Збірник завдань для державної підсумкової атестації з
математики: 9кл./ О.С. Істер, О.І. Глобін, О.В. Комаренко.- К.: Центр
навч.- метод. л-ри, 2012.-112с.:іл.
3. Каплун О.І. Алгебра + геометрія.9 клас: Навчально-методичний
посібник.- Харків: ФОП Співак В.Л.,2010.-368 с.
4. Корнес А.І. Алгебра. Геометрія. 9 клас: Зошит для контрольних і
самостійних робіт / А.І.Корнес, С.П.Бабенко. – Х.: Видавництво
«Ранок», 2009. – 96 с.
5. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Рабинович Ю.М., Якір М.С.
Збірник задач і завдань для тематичного оцінювання з геометрії для 9
класу. – Харків, Гімназія, 2003. – 136с.: іл..
6. Мерзляк А.Г., Полянський В.Б., Якір М.С. Геометрія: Підруч. для 9
кл. з поглибл. вивченням математики. – Х.: Гімназія, 2009. – 240 с.
7. Роганін О.М. Геометрія: 9 клас: Плани – конспекти уроків.-Х.: Світ
дитинства, 2005.- 322 с.(Серія «Майстер- клас»).
8. Староіва О.О. Геометрія. 9 клас. – Х. : Вид. група «Основа», 2009. –
144с. – (Серія «Мій конспект»).
__________________________________________________________________________________
60

Методичний посібник «Правильні многокутники»

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Методичний посібник «Правильні многокутники»

Similar to Методичний посібник «Правильні многокутники» (20)

More from Valyu66

More from Valyu66 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (6)

Методичний посібник «Правильні многокутники»