โครงงานคณิตศาสตร์แบบสมบรูณ์

1. โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง เมทริกซ์
จัดทาโดย
นาย ศุภกรณ์ วัฒนศรี
เลขที่ 7 ชั้นมัธยมศึกษาปี่ที่ 6/9
เสนอ
คุณครูนรินทร์โชติบุณยนันท์สิริ
ครูที่ปรึกษา
คุณครูนรินทร์โชติบุณยนันท์สิริ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนจตุรพักตรพิมานรัชดาภิเษก
อาเภอจตุรพักตรพิมาน จังหวัดร้อยเอ็ด
สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 27
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

2. โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง เมทริกซ์
จัดทาโดย
นาย ศุภกรณ์ วัฒนศรี
เลขที่ 7 ชั้นมัธยมศึกษาปี่ที่ 6/9
เสนอ
คุณครูนรินทร์โชติบุณยนันท์สิริ
ครูที่ปรึกษา
คุณครูนรินทร์โชติบุณยนันท์สิริ
กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
โรงเรียนจตุรพักตรพิมานรัชดาภิเษก
อาเภอจตุรพักตรพิมาน จังหวัดร้อยเอ็ด
สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามัธยมศึกษา เขต 27
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน กระทรวงศึกษาธิการ

3. โครงงานคณิตศาสตร์ ระดับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย
ชื่อโครงงาน เมทริกซ์
ผู้จัดทา นาย ศุภกรณ์ วัฒนศรี
คุณครูที่ปรึกษา คุณครูนรินทร์โชติ บุณยนันท์สิริ
บทคัดย่อ
จากการศึกษาเป็นสิ่งที่สาคัญที่เราทุกคนให้ความสนใจทุ่มเททรัพยากรลงไปอย่างมากมาว่าจะเป็น
ทรัพย์สิน เงินทอง พลังกายพลังใจรวมทั้งเวลา คนเราใช้เวลาไปกับการเรียนอย่างเฉลี่ยมากถึง 1ใน
3 ของชีวิตตั้งแต่อนุบาลจนถึงอุดมศึกษา
ความจริงแล้วการศึกษาไม่ได้หยุดลงเมื่อการสาเร็จการศึกษาในระดับสูง
ปัจจุบันมีเทคโนโลยีอินเทอร์เน็ตเข้ามาเกี่ยวข้องและได้มีส่วนร่วมในการใช้ชีวิตประจาวัน
จากผลการดาเนินงานพบว่า Blog แหล่งการเรียนรู้นั้นจะประกอบไปด้วยหน้าทั้งหมด 6
หน้า 1.หน้าแรก
เป็นหน้าที่รวบรวมเรื่องราวต่างๆที่เกี่ยวกับความรู้ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เนื้อหาความรู้ต่างๆที่
ผู้จัดได้สร้างขึ้นมาเพื่อเป็นความรู้และประโยชน์แก่ผู้ศึกษา
พร้อมทั้งเนื้อหาทักษะการเรียนรู้ในด้านต่างๆ 2.ความเป็นมาของเมทริกซ์
เป็นหน้าที่ให้ความหมายและความเป็นมาของเมทริกซ์ 3.เนื้อหาของเมทริกซ์
เป็นหน้าที่รวบรวมเนื้อหาของเมทริกซ์ 4.วิดีโอ
เป็นหน้าที่รวบรวมวิดีโอให้ผู้ที่ต้องการจะศึกษาการเรียนการสอนออนไลน์ในรายวิชาคณิตศาสตร์ใ
นเรื่องเมทริกซ์ 5.สไลด์แชร์
เป็นหน้าที่รวบรวมการทาโครงานคณิตศาสตร์ไว้เพื่อให้ผู้ที่จะศึกษาได้เรียนรู้เกี่ยวกับโครงงานคณิต
ศาสตร์ 6.แบบทดสอบ
เป็นหน้าที่ผู้จัดทาได้รวบรวมแบบทดสอบทางคณิตศาสตร์พร้อมเฉลยเพื่อให้ผุ้ศึกษาได้ลองทดสอบ
ทา
ผู้ที่เข้ามาศึกษา Blog แห่งการเรียนรู้นี้
จะได้รับทักษะการเรียนในรายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์

4. ที่สามารถให้ผู้ศึกษาได้ศึกษาหาความรู้อย่างสะดวกผ่านเครือข่ายอินเทอร์เน็ต
โดยผู้ศึกษาจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับเนื้อหาของเมทริกซ์
พร้อมทั้งได้ทาแบบทดสอบควบคุ่ไปด้วยดดยการทาแบบทดสอบนั้นจะทาให้ผู้ศึกษาได้รู้จักฝึกกระ
บวนการคิดรู้จักพลิกแพลงกระบวนการแก้ปัญหาได้โดยการศึกษา Blog
แห่งการเรียนรู้นั้นผู้เรียนมีความรู้มากมายหลายด้าน
สามารถค้นหาความรู้ในเรื่องต่างๆได้ด้วยตนเองอย่างง่าย
กิตติกรรมประกาศ
การทาโครงงานคณิตศาสตร์ออนไลน์ครั้งนี้สาเร็จและสมบูรณ์เป็นรูปเล่มได้
ด้วยความกรุณาและแนะนาเอาใจใส่เป็นอย่างดีจากคุณครูนรินทร์โชติ บุณยนันท์สิริ ครูผู้สอน
ที่ได้กรุณาให้คาปรึกษาและแนะนาแนวทางในการดาเนินงานในการค้นคว้าครั้งนี้
โดยไม่มีข้อบกพร่องรวมทั้งข้อเสนอและความคิดเห็นต่างๆตลอดทั้ง
การตรวจแก้ไขรายงานฉบับนี้ให้สมบูรณ์ยิ่งขึ้นและขอบพระคุณคุณครูทุกท่านที่ประสิทธ์ประสาท
วิชาความรู้และประสบการณ์ ตลอดจนอานวยความสาเร็จ
สาหรับสุดท้ายนี้ขอขอบพระคุณทุกท่านที่ไม่ได้กล่าวถึงที่ช่วยเป็นกาลังใจและให้การช่วยเหลือในก
ารเก็บข้อมูลและให้คาปรึกษาแนะนาในการทาโครงงานครั้งนี้ให้สาเร็จลุล่วง
ศุภกรณ์ วัฒนศรี
ผู้จัดทา

5. สารบัญ
เรื่อง หน้า
บทคัดย่อ ........................................................................................................................... ก
กิตติกรรมประกาศ ............................................................................................................. ข
บทที่ 1 บทนา .................................................................................................................. 1
บทที่ 2 เอกสารที่เกี่ยวข้อง ................................................................................................ 3
บทที่ 3 วิธีดาเนินการ ....................................................................................................... 13
บทที่ 4 ผลการดาเนินการ ................................................................................................. 14
บทที่ 5 สรุปผลการศึกษา ............................................................................................... 22
บรรณานุกรม ................................................................................................................... 23

6. บทที่ 1
บทนา
ที่มาและความสาคัญ
การศึกษาเป็นสิ่งที่สาคัญที่เราทุกคนให้ความสนใจทรัพยากรลงไปอย่างมากไม่ว่าจะเป็นทรัพย์สิน
เงินทอง พลังภายในรวมทั้งครอบครัว คนเราใช้เวลาไปกับการเรียนก็คือนานจนถึง 1 ใน
3ของชีวิตตั้งแต่อนุบาลจนถึงระดับอุดมศึกษาเป็นการเรียนรู้ตลอดชีวิตโดยเฉพาะในโลกปัจจุบันที่เ
ทคโนโลยีอินเทอร์เน็ตได้เข้ามามีส่วนร่วมที่ขาดไม่ได้ในชีวิตประจาวันทาให้เราติดต่อสื่อสารกันไ
ด้อย่างรวดเร็วและทั่วโลกอินเทอร์เน็ตคือห้องเรียนที่ใหญ่ที่สุดในโลกอินเทอร์เน็ตจึงไม่อาจเลื่อนไ
ปในวิวัฒนาการแห่งการศึกษาซึ่งจากประวัติที่ผ่านมานั้นการศึกษาเป็นส่วนหนึ่งในการยกระดับคุณ
ภาพชีวิต
และในปัจจุบันการเรียนการสอนแบบออนไลน์ค่อนข้างเป็นที่นิยมเป็นอย่างมากในหมู่นักศึกษาแล
ะคนวัยทางานเพราะมันสามารถลดค่าใช้จ่ายในการเล่าเรียนลงได้อีกทั้งยังสามรถเรียนได้แม้กระทั่ง
อยู่ที่บ้านและในเวลาที่ต้องการ
อีกทั้งยังสามรถตอบโจทย์ของคนกลุ่มนี้ได้ด้วยการแก้ไขปัญหาการศึกษาด้วยระบบเข้าถึงการเรียน
การสอนที่ง่ายขึ้นและรวดเร็วอีกทั้งการเรียนการสอนแบบออนไลน์ได้มีการจัดระบบที่แยกเป็นเรีย
นซึ่งง่ายต่อการศึกษาค้นคว้าข้อมูล
ช่วยลดปัญหาการเรียนตามเพื่อนไม่ทันหรือไม่เข้าใจเนื้อหาของบทเรียนนั้นๆ

7. เพราะการเรียนแบบออนไลน์ผู้เรียนสามารถย้อนทบทวนบทเรียนได้หลายๆรอบจนกว่าผู้เรียนจะเข้
าใจเนื้อหาของบทเรียน
ทาให้ในปัจจุบันการเรียนการสอนแบบออนไลน์เป็นที่นิยมและเหมาะกับผู้เรียนได้ทุกระดับ
เมทริกซ์เป็นสาขาหนึ่งของพีชคณิตเชิงเส้นซึ่งสามารถนาไปประยุกต์ใช้ประโยชน์ต่างๆมากมาย
เช่น การแก้ระบบสมการเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงพีชคณิตและเรขาคณิต
ได้จัดเป็นข้อมูลต่างๆใช้ในการเก็บวิเคราะห์ข้อมูลของโปรแกรมต่างๆ
ดังนั้นผู้จัดทาจึงเห็นความสาคัญและมีความนาสนใจในการจัดทาโรงงานคณิตศาสตร์ออนไลน์เพื่อ
ให้ผู้ศึกษาได้มาศึกษาโครงงานคณิตศาสตร์ออนไลน์เรื่องเมทริกซ์
จุดประสงค์
1. เพื่อศึกษาค้นคว้าข้อมูลทางคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์
2. เพื่อสร้างบล็อกการเรียนรู้คณิตศาสตร์
คณิตศาสตร์บูรณาการใช้สื่อสังคมระบบออนไลน์
3. เพื่อพัฒนาทักษะการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ
1.
สามรถนาความรู้ทางคณิตศาสตร์มาบูรณาการกับการใช้เทคโนโลยีให้มีประสิทธิภาพแก่ผู้จัดทาแล
ะผู้ศึกษา

8. 2. ได้นาความรู้ทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์
3. ฝึกการทางานให้มีประสิทธิภาพมากขึ้น
ขอบเขตของการศึกษา
โครงงานคณิตศาสตร์ออนไลน์ระดันชั้นมัธยมศึกษาตอนปลายเรื่องเมทริกซ์
นิยามศัพท์เฉพาะ
เมทริกซ์
คือกลุ่มของตัวเลขหรือจานวนที่เขียนเรียงกันเป็นแถวหรือหลักในลักษณะสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถจา
แนกจานวนแถวและหลักได้อย่างชัดเจนและเขียน [ ] หรือ ( ) ล้อมรอบตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า
เมตริกซ์ และเรียกตัวเลขที่อยู่ภายในว่า“สมาชิก”
การเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 คือ ทักษะการเรียนรู้ 3R x7Cที่ทุกคนจะต้องเรียนรู้ตลอดชีวิต
บทที่ 2
เอกสารที่เกี่ยวข้อง
เมตริกซ์(Matrix)
คือ การเขียนจานวนตัวเลขอาจเขียนในรูปแบบเฉพาะที่ตัวเลขแต่ละตัวมีตาแหน่งแน่ชัด
เป็นกลุ่มเรียงแถวและหลักอย่างเป็นระเบียบ เรียกกลุ่มตัวเลขนี้ว่าเมตริกซ์
สามารถสร้างให้กระทาเป็นระบบสอดคล้องกันโดยกาหนดคุณสมบัติและการกระทาได้ด้วย
การบวก ลบ คูณและส่วนกลับ นอกจากนี้นาไปคานวณในลักษณะเฉพาะที่เรียกว่า ดีเทอร์มิแนนท์
ปฏิบัติการเชื่อมโยงกันและนาไปประยุกต์ใช้แก้ระบบสมการเชิงเส้นได้อย่างมีประสิทธิภาพ
เมตริกซ์(Matrix)
คือกลุ่มของตัวเลขหรือจานวนที่เขียนเรียงกันเป็นแถวหรือหลักในลักษณะสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถจา

9. ]A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23 2×3
[ ]3×1
แนกจานวนแถวและหลักได้อย่างชัดเจนและเขียน [ ] หรือ ( ) ล้อมรอบตัวเลขเหล่านี้เรียกว่า
เมตริกซ์ และเรียกตัวเลขที่อยู่ภายในว่า“สมาชิก”
เมตริกซ์ที่มีจานวนแถว(Row) = m แถว และหลัก(Column) = n หลัก เรียกว่า
m×n เมตริกซ์ เช่นเมตริกซ์ A มีมิติ 2×3 จะเขียนเมตริกซ์ ด้วยสัญลักษณ์
จากตัวอย่างนี้เรียกเมตริกซ์ Aว่า มี 2 แถว 3 หลัก มีสมาชิกทั้งหมด 6 ตัว
สัญลักษณ์รูปทั่วไปของ A = [aij]m×n
i=1,2,3,4…,m
j=1,2,3,4…,n
หมายถึง เมตริกซ์ Aมีจานวนแถว m จานวนหลัก n
โดยที่ a11 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 1หลักที่ 1
a23 หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ 2หลักที่ 3
aij หมายถึงสมาชิกที่อยู่ในแถวที่ i หลักที่ j
ข้อสังเกต***
i เป็นตัวเลขบอกตาแหน่งแถว j เป็นตัวเลขบอกตาแหน่งหลัก
และสมาชิกทุกตัวของเมตริกซ์มีตาแหน่งของตัวเองเสมอ
ชนิดของเมตริกซ์
การเรียงตัวของกลุ่มตัวเลข หรือสมาชิก
สามารถจาแนกและเรียกชื่อเฉพาะและมีคุณสมบัติดังนี้
1. เมตริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีสมาชิกเพียงแถวเดียว
เช่น A=[0 -1 2]1×3
เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 1×3
2 . เมตริกซ์หลัก(Column Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มี สมาชิกเพียง หลักเดียว
เช่น
[
A=
4
3
-2

10. เป็นเมตริกซ์ขนาดมิติ 3×1
3 เป็นสมาชิกในตาแหน่ง a21 หรือแถวที่ 2 หลักที่ 1
3. เมตริกซ์ศูนย์(Zero Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0
สัญลักษณ์ 0 แทนเมตริกซ์ศูนย์ เช่น
เมตริกซ์ 0ที่มีขนาดมิติ 2×2
4. เมตริกซ์จัตุรัส (Square Matrix) เป็นเมตริกซ์ที่มีจานวนแถวและหลักเท่ากัน
A =[aij]m×n ; i=1,2,3,4…,n และ j=1,2,3,4…,n
เช่น
เป็นเมตริกซ์จัตุรัสมีขนาดมิติ 3×3 และมีสมาชิก 9ตัว
5. สเกลาร์เมตริกซ์(Scalar Matrix) เป็นเมตริกซ์จัตุรัส
ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก(Main Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชิกที่เหลือเป็น 0 หมด
เช่น
6. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็น scalar matrix
ที่มีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 1 เท่ากันหมด
สัญลักษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix
เช่น I2 หรือ I22
เช่น I2 หรือ I22
เมตริกซ์เอกลักษณ์เป็นเมตริกซ์ที่มีคุณสมบัติสาคัญในการคูณ
การหาอินเวอร์สของเมตริกซ์ A
ทรานสโพสของเมตริกซ์(Transpose Matrix)
A=
0 0
0 0
[ ]2×2
A=
1 -2 3
0 5 -1
0 1 2
[ ]3×3
A=
3 0 0
0 3 0 33
=
1 0
0 1[ ]
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
[ ]

11. ถ้า A เป็นเมตริกซ์ที่มี มิติ 33 ทรานสโพสของเมตริกซ์ A
เกิดจากการเปลี่ยนที่จากแถวเป็นหลักของเมตริกซ์ A
สัญลักษณ์ At
แทน ทรานสโพสของเมตริกซ์ A
นั่นคือ A = [aij] มีมิติ m  n
At
= [aji] มีมิติ n  m
ตัวอย่าง A =
At
=
การเท่ากันของเมตริกซ์ เมตริกซ์ใด ๆ จะเป็นเมตริกซ์เท่ากันภายใต้เงื่อนไข
1. เมตริกซ์จะต้องมีมิติเท่ากัน
2. สมาชิกในแต่ละตาแหน่งเท่ากัน
เช่น
A= B =
A = B
การบวกและการลบเมตริกซ์
การบวกและการลบเมตริกซ์สองเมตริกซ์ใด ๆ สามารถกระทาได้ภายใต้เงื่อนไข
1. เมตริกซ์ ทั้งสองต้องมีมิติเท่ากัน
2. นาสมาชิกที่อยู่ตาแหน่งเดียวกันบวกหรือลบกัน
นิยาม ให้ A = [a1j]mn และ B= [bij]mn จะได้
(1) A + B =C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij + Bij
(2) A - B =C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij - Bij
1 2 -1
0 3 5
[ ]23
[
1 0
2 3
-1 5 ]32
1 2 -2
0.5 4 -1
[ ]
1
4
8
-2
2
1
16 -1
[ ]

12. ตัวอย่าง กาหนดให้ A = B = C =
A + B = =
สมบัติของการบวก
ถ้า A , B , C เป็นเมตริกซ์มิติ mn
1. A + B เป็นเมตริกซ์มิติ mn (คุณสมบัติปิด)
2. A + B = B + A (คุณสมบัติสลับที่)
3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบัติเปลี่ยนกลุ่มได้)
4. นเอกลักาณ์การบวกคือ 0 + A = A + 0 = A
5 วอร์สการบวกของเมตริกซ์ A คือ -A โดยที่ A + (-A) = 0
การคูณเมตริกซ์ ด้วย สเกลาร์
กาหนด k เป็นสเกลาร์ ใด ๆแล้ว
kA = k =
การคูณเมตริกซ์ ด้วยเมตริกซ์
เมตริกซ์ จะคูณกันได้ก็ต่อเมื่อ
จานวนหลักของเมตริกซ์ตัวตั้งเท่ากับจานวนแถวของเมตริกซ์ตัวคูณ
ถ้า A , B ,C เป็นเมตริกซ์
A มีมิติ m  n
B มีมิติ n  p และ
AB = C แล้ว C มีมิติ m  p
1 2
2 7[ ] -3 5
6 -2
[ ]
[ 1+(-5) 2 + 5
2 + 6 7 +(-2)
] -3 7
8 -5
[ ]
3 -8
4 1[ ]
a b c
x y z
[ ]
ka kb kc
kx ky kz
[ ]
Amn Bnp = Cmp

13. การคูณตามผังที่แสดงกล่าวคือ แถวของตัวตั้งไปคูณกับหลักของตัวคูณ
โดยคูณสมาชิกที่สมนัยกันเป็นคู่ ทาเช่นนี้เรื่อย ๆ จนครบทุกหลักและเริ่มที่แถวที่สองต่อไป ตามผัง
22เป็นตัวอย่าง
ตัวอย่าง กาหนด A = B =
วิธีทา AB =
AB =
ดีเทอร์มิแนนท์ (Determinant) เป็นค่าที่ได้จากการคานวณจากเมตริกซ์ที่กาหนดให้
A เป็น nn เมตริกซ์ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A เขียนแทนด้วย det(A) หรือ A
ดังนี้
A =
1 2
3 4[ ]
-2 -1
-4 -3
[ ]
[ ] ]-2 -1
-4 -3
[1 2
3 4
= 1(-2) + 2(-4) = –2– 8 = -10
1 2
[ ][-2 -1
-4 -3
]
[ ][-2 -1 ]
[ ][-2 -1
-4 -3
]
1 2
[ ][
-2 -1
-4 -3
]
= 1(-1) + 2(-3) = - 1 –6 = -7
= 3(-2) + 4(-3) = -6 –16 = -22
= 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15
-10 -7
-22 -15
[ ]
a b
c d
[ ]
-
+
จะได้ det(A) = ad - bc
a b
c d
[ ] ,

14. *** 1. det(A) ที่มิมิติ 33 เมตริกซ์ จะเพิ่ม 2 หลักแรก และหาค่าโดยวิธีใช้ลูกศร
2 det(At
) =det(A)
3. det(An
) = (det(A))n
4. det(AB) = det(A)det(B)
อินเวอร์การคูณของเมตริกซ์ (Inverse Matrix)
นิยาม ถ้า
A =
ตัวอย่าง A =
วิธีทา
A-1
=
)10(
1

A-1
=
การหาดีเทอร์มีแนนท์โดยวิธีการของโคแฟคเตอร์(Cofactor)
นอกจากวิธีการใช้ลูกศรช่วยในการหาดีเทอร์มีแนนท์แล้ว การใช้Cofactor
เป็นวิธีการทีต้องใช้กับเมตริกซ์ที่มีขนาดมากกว่า 33
โคแฟคเตอร์(Cofactor)
กาหนด A = [aij]nm n2
โคแฟคเตอร์ของ aij คือผลคูณของ (-1)i+j
และไมเนอร์ของ aij เขียนแทนโคแฟคเตอร์ของ
aij ด้วย Aij
โดยที่ Aij = (-1)I+j
Mij และ Mij แทนไมเนอร์ของ aij
ก่อนที่จะหาโคแฟคเตอร์จาเป็นต้องรู้จักวิธีหาไมเนอร์ ดังนี้
ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A
ให้M แทน ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A
a b
c d
แล้ว A-1
= )det(
1
A
4 -3
-2 -1
10
1
-
10
3
-
5
1
-
5
2 ][
[
d -b
-c a
[ ]
[ ] จงหา A-1
–1 3
2 4
[ ]
]

15. ไมเนอร์(Minor) ของเมตริกซ์ A คือดีเทอร์มีแนนท์ของเมตริกซ์ Aที่เกิดจากการตัดแถว i
และหลักที่ j ออก
ถ้าให้ A =
M11 คือไมเนอร์ของ A แถวที่ 1และ หลักที่ 1
M11 =
สมาชิก a11 เป็นจุดตัดออก ในแถวที่ 1 หลักที่ 1ดังเส้นประที่แสดงไว้
ส่วนที่เหลือเป็นไมเนอร์ของ A และเป็นดีเทอร์มิแนนท์ จึงใช้สัญลักษณ์   กากับไว้
สมการเชิงเส้น คือสมการที่แต่ละพจน์มีเพียงค่าคงตัว
หรือเป็นผลคูณระหว่างค่าคงตัวกับตัวแปรยกกาลังหนึ่ง ซึ่งจะมีดีกรีของพหุนามเท่ากับ 0หรือ 1
สมการเหล่านี้เรียกว่า "เชิงเส้น"
เนื่องจากสามารถวาดกราฟของฟังก์ชันบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้เป็นเส้นตรง
รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นในตัวแปร xและ y
การเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
ความท้าทายด้านการศึกษาในศตวรรษที่ 21 ในการเตรียมนักเรียนให้พร้อมกับชีวิตในศตวรรษที่
21 เป็นเรื่องสาคัญของกระแสการปรับเปลี่ยนทางสังคมที่เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 21
ส่งผลต่อวิถีการดารงชีพของสังคมอย่างทั่วถึง
ครูจึงต้องมีความตื่นตัวและเตรียมพร้อมในการจัดการเรียนรู้เพื่อเตรียมความพร้อมให้นักเรียนมีทัก
ษะสาหรับการออกไปดารงชีวิตในโลกในศตวรรษที่ 21 ที่เปลี่ยนไปจากศตวรรษที่ 20 และ 19
โดยทักษะแห่งศตวรรษที่ 21ที่สาคัญที่สุด คือ ทักษะการเรียนรู้ (Learning Skill)
ส่งผลให้มีการเปลี่ยนแปลงการจัดการเรียนรู้เพื่อให้เด็กในศตวรรษที่ 21นี้ มีความรู้ ความสามารถ
และทักษะจาเป็น ซึ่งเป็นผลจากการปฏิรูปเปลี่ยนแปลงรูปแบบการจัดการเรียนการสอน
ตลอดจนการเตรียมความพร้อมด้านต่างๆ
ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21 (21stCentury Skills) วิจารณ์ พานิช (2555:16-21)
ได้กล่าวถึงทักษะเพื่อการดารงชีวิตในศตวรรษที่ 21ดังนี้
สาระวิชาก็มีความสาคัญ แต่ไม่เพียงพอสาหรับการเรียนรู้เพื่อมีชีวิตในโลกยุคศตวรรษที่ ๒๑
ปัจจุบันการเรียนรู้สาระวิชา (content หรือ subject matter)
ควรเป็นการเรียนจากการค้นคว้าเองของศิษย์ โดยครูช่วยแนะนา
a b c
d e f
[
]
]33
e f
h i
= ei - hf

16. และช่วยออกแบบกิจกรรมที่ช่วยให้นักเรียนแต่ละคนสามารถประเมินความก้าวหน้าของการเรียนรู้
ของตนเองได้
สาระวิชาหลัก (Core Subjects) ประกอบด้วย
ภาษาแม่และภาษาสาคัญของโลก
ศิลปะ
คณิตศาสตร์
การปกครองและหน้าที่พลเมือง
เศรษฐศาสตร์
วิทยาศาสตร์
ภูมิศาสตร์
ประวัติศาสตร์
โดยวิชาแกนหลักนี้จะนามาสู่การกาหนดเป็นกรอบแนวคิดและยุทธศาสตร์สาคัญต่อการจัดการ
เรียนรู้ในเนื้อหาเชิงสหวิทยาการ (Interdisciplinary) หรือหัวข้อสาหรับศตวรรษที่ 21
โดยการส่งเสริมความเข้าใจในเนื้อหาวิชาแกนหลัก และสอดแทรกทักษะแห่งศตวรรษที่ 21
เข้าไปในทุกวิชาแกนหลัก ดังนี้
ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21
ความรู้เกี่ยวกับโลก (Global Awareness)
ความรู้เกี่ยวกับการเงิน เศรษฐศาสตร์ ธุรกิจ และการเป็นผู้ประกอบการ (Financial,
Economics, Business and Entrepreneurial Literacy)
ความรู้ด้านการเป็นพลเมืองที่ดี (Civic Literacy)
ความรู้ด้านสุขภาพ (Health Literacy)
ความรู้ด้านสิ่งแวดล้อม (Environmental Literacy)
ทักษะด้านการเรียนรู้และนวัตกรรม จะเป็นตัวกาหนดความพร้อมของนักเรียนเข้าสู่โลกการทางาน
ที่มีความซับซ้อนมากขึ้นในปัจจุบัน ได้แก่
ความริเริ่มสร้างสรรค์และนวัตกรรม
การคิดอย่างมีวิจารณญาณและการแก้ปัญหา
การสื่อสารและการร่วมมือ
ทักษะด้านสารสนเทศ สื่อ และเทคโนโลยี
เนื่องด้วยในปัจจุบันมีการเผยแพร่ข้อมูลข่าวสารผ่านทางสื่อและเทคโนโลยีมากมาย

17. ผู้เรียนจึงต้องมีความสามารถในการแสดงทักษะการคิดอย่างมีวิจารณญาณและปฏิบัติงานได้หลากห
ลาย โดยอาศัยความรู้ในหลายด้าน ดังนี้
ความรู้ด้านสารสนเทศ
ความรู้เกี่ยวกับสื่อ
ความรู้ด้านเทคโนโลยี
ทักษะด้านชีวิตและอาชีพ ในการดารงชีวิตและทางานในยุคปัจจุบันให้ประสบความสาเร็จ
นักเรียนจะต้องพัฒนาทักษะชีวิตที่สาคัญดังต่อไปนี้
ความยืดหยุ่นและการปรับตัว
การริเริ่มสร้างสรรค์และเป็นตัวของตัวเอง
ทักษะสังคมและสังคมข้ามวัฒนธรรม
การเป็นผู้สร้างหรือผู้ผลิต (Productivity) และความรับผิดชอบเชื่อถือได้ (Accountability)
ภาวะผู้นาและความรับผิดชอบ (Responsibility)
ทักษะของคนในศตวรรษที่ 21ที่ทุกคนจะต้องเรียนรู้ตลอดชีวิต คือ การเรียนรู้ 3R x7C
3R คือ Reading (อ่านออก), (W)Riting (เขียนได้), และ (A)Rithemetics (คิดเลขเป็น)
7C ได้แก่
Critical Thinking and Problem Solving (ทักษะด้านการคิดอย่างมีวิจารณญาณ
และทักษะในการแก้ปัญหา)
Creativity and Innovation (ทักษะด้านการสร้างสรรค์ และนวัตกรรม)
Cross-cultural Understanding (ทักษะด้านความเข้าใจความต่างวัฒนธรรม ต่างกระบวนทัศน์)
Collaboration, Teamwork and Leadership (ทักษะด้านความร่วมมือ การทางานเป็นทีม
และภาวะผู้นา)
Communications, Information, and Media Literacy (ทักษะด้านการสื่อสารสารสนเทศ
และรู้เท่าทันสื่อ)
Computing and ICT Literacy (ทักษะด้านคอมพิวเตอร์
และเทคโนโลยีสารสนเทศและการสื่อสาร)
Career and Learning Skills (ทักษะอาชีพ และทักษะการเรียนรู้)
แนวคิดทักษะแห่งอนาคตใหม่: การเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
และกรอบแนวคิดเพื่อการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21
การเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 เป็นการกาหนดแนวทางยุทธศาสตร์ในการจัดการเรียนรู้

18. โดยร่วมกันสร้างรูปแบบและแนวปฏิบัติในการเสริมสร้างประสิทธิภาพของการจัดการเรียนรู้ในศต
วรรษที่ 21โดยเน้นที่องค์ความรู้ ทักษะ ความเชี่ยวชาญและสมรรถนะที่เกิดกับตัวผู้เรียน
เพื่อใช้ในการดารงชีวิตในสังคมแห่งความเปลี่ยนแปลงในปัจจุบัน โดยจะอ้างถึงรูปแบบ (Model)
ที่พัฒนามาจากเครือข่ายองค์กรความร่วมมือเพื่อทักษะแห่งการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21(Partnership
For 21st Century Skills) (www.p21.org ) ที่มีชื่อย่อว่า เครือข่าย
P21 ซึ่งได้พัฒนากรอบแนวคิดเพื่อการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 โดยผสมผสานองค์ความรู้
ทักษะเฉพาะด้าน ความชานาญการและความรู้เท่าทันด้านต่างๆ เข้าด้วยกัน
เพื่อความสาเร็จของผู้เรียนทั้งด้านการทางานและการดาเนินชีวิต
ภาพ กรอบแนวคิดเพื่อการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 (21st Century Learning Framework)
(http://www.qlf.or.th/)
กรอบแนวคิดเชิงมโนทัศน์สาหรับทักษะแห่งศตวรรษที่ 21
เป็นที่ยอมรับในการสร้างทักษะการเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21 (Model of 21st Century Outcomes and
SupportSystems)
ซึ่งเป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวางเนื่องด้วยเป็นกรอบแนวคิดที่เน้นผลลัพธ์ที่เกิดกับผู้เรียน (Student
Outcomes) ทั้งในด้านความรู้สาระวิชาหลัก (CoreSubjects) และทักษะแห่งศตวรรษที่ 21
ที่จะช่วยผู้เรียนได้เตรียมความพร้อมในหลากหลายด้าน รวมทั้งระบบสนับสนุนการเรียนรู้
ได้แก่มาตรฐานและการประเมิน หลักสูตรและการเยนการสอน การพัฒนาครู

19. สภาพแวดล้อมที่เหมาะสมต่อการเรียนในศตวรรษที่ 21
การเรียนรู้ในศตวรรษที่ 21ต้องก้าวข้าม “สาระวิชา” ไปสู่การเรียนรู้ “ทักษะแห่งศตวรรษที่ 21”
(21st Century Skills) ซึ่งครูจะเป็นผู้สอนไม่ได้ แต่ต้องให้นักเรียนเป็นผู้เรียนรู้ด้วยตนเอง
โดยครูจะออกแบบการเรียนรู้ ฝึกฝนให้ตนเองเป็นโค้ช (Coach) และอานวยความสะดวก
(Facilitator) ในการเรียนรู้แบบ PBL (Problem-Based Learning) ของนักเรียน
ซึ่งสิ่งที่เป็นตัวช่วยของครูในการจัดการเรียนรู้คือ ชุมชนการเรียนรู้ครูเพื่อศิษย์ (Professional
Learning Communities :PLC)
เกิดจากการรวมตัวกันของครูเพื่อแลกเปลี่ยนประสบการณ์การทาหน้าที่ของครูแต่ละคนนั่นเอง
บทที่ 3
วิธีการดาเนินการ
1.ขั้นตอนการวางแผนการดาเนินงาน
ผู้จัดทาโครงงานได้วางแผนการดาเนินงาน ดังนี้
1. ตั้งชื่อเรื่องโครงงานคณิตศาสตร์

20. 2. เขียนเค้าโครงโครงงานคณิตศาสตร์
3. กาหนดแผนปฏิบัติงาน
4. ศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับโครงงานคณิตศาสตร์
5. ออกแบบและจัดทาBlog
6. รวบรวมข้อมูลที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับการทาโครงงานคณิตศาสตร์
7. การวิเคราะห์ข้อมูล
8. สรุปการดาเนินงาน
9. จัดทารูปเล่มโครงงาน
10. นาเสนอโครงงาน
2.ขั้นการดาเนินงาน
1. ค้นคว้า ศึกษาข้อมูล หลักการ เนื้อหาความรู้เกี่ยวกับเมตริกซ์
2. รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับเมตริกซ์
3. จัดทาเป็น Blog ให้ความรู้
4. นาข้อมูลที่ได้มาวิเคราะห์และสรุปผล
5. จัดทารูปเล่มรายงานและนาเสนอ
ปฏิทินการปฏิบัติงาน
ที่ กิจกรรม วันที่
1. ผู้จัดทาคิดหาหัวข้อที่จะทา 9 มิ.ย. 2559
2. ผู้จัดทาวางแผนในการทาโครงงาน 16 มิ.ย. 2559

21. 3. ออกแบบและจัดทา Blog 23- 30 มิ.ย. 2559
4. รวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับเมตริกซ์ 8- 29ก.ค. 2559
5. วิเคราะห์และสรุปผล 5- 19 ส.ค. 2559
6. นาเสนอโครงงาน 16 ก.ย. 2559
บทที่ 4
ผลการดาเนินการ

22. ส่วนประกอบของ Blog
1. หน้าแรก
2. ประวัติความเป็นมา
3. ประวัติผู้จัดทา
4. วิดีโอการทาเมตริกซ์
5. เนื้อหาเมตริกซ์
6. แบบทดสอบ
7. โครงงานคณิตศาสตร์
1. หน้าแรก
เป็นหน้าที่รวบรวมเรื่องราวต่างๆกับความรู้ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์พร้อมทั้งเนื้อหา
ทักษะการเรียนรู้ต่างๆ

23. 2. ประวัติความเป็นมาของเมตริกซ์
เป็นหน้าที่รวบรวมความหมายของประวัติเมตริกซ์พร้อมทั้งเนื้อหาของเมตริกซ์ที่จะให้ผู้ศึกษาได้ศึก
ษา
3. ประวัติผู้จัดทา

24. เป็นหน้าที่เป็นข้อมูลหรือประวัติผู้จัดทาบล็อก
4. วิดีโอการทาเมทริกซ์
เป็นหน้าที่รวบรวมวิดีโอการทาเมทริกซ์ในรูปแบบต่างๆรวมทั้งการทาข้อสอบ
5. เนื้อหาของเมทริกซ์

25. เป็นหน้าที่รวบรวมเนื้อหาของเมทริกซ์
6. แบบทดสอบ
เป็นหน้าที่ผู้จัดทาได้รวบรวมแบบทดสอบเรื่องเมทริกซ์พร้อมทั้งเฉลยเพื่อให้ผู้ศึกษาได้ทดลองทา
7. โครงงานคณิตศาสตร์

26. เป็นหน้าที่ผู้จัดทาได้นาโครงงานเรื่องที่ตนเองทามาใส่ลง blog
เพื่อให้ผู้ศึกษาได้ศึกษาเพิ่มเติม
Page ขายของ
เป็นเพจที่ผู้จัดทาสร้างขึ้นเพื่อขายของ สินค้าที่ขายคือ เลื่อยตัดแต่งกิ่งไม้

27. หลักฐานการซื้อขาย
ขายได้ 1 ชิ้น ราคา 150 บาท
Page ความรู้ทางคณิตศาสตร์
เป็นเพจที่รวบรวมเอาความรู้ทางคณิตศาสตร์มาเผยแพร่ในเพจเพื่อให้เพื่อนมาติดตามหรือเยี่ยมชมเ
พจความรู้

28. บทที่ 5
สรุป อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ
สรุปผลการดาเนินงาน
จากผลการดาเนินงานพบว่า Blog แหล่งการเรียนรู้นั้นจะประกอบไปด้วยหน้าทั้งหมด 6
หน้า
1.หน้าแรกเป็นหน้าที่รวบรวมเรื่องราวต่างๆที่เกี่ยวกับความรู้ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์เนื้อหาควา
มรู้ต่างๆที่ผู้จัดได้สร้างขึ้นมาเพื่อเป็นความรู้และประโยชน์แก่ผู้ศึกษา
พร้อมทั้งเนื้อหาทักษะการเรียนรู้ในด้านต่างๆ
2.ความเป็นมาของเมทริกซ์ เป็นหน้าที่ให้ความหมายและความเป็นมาของเมทริกซ์
3.เนื้อหาของเมทริกซ์
เป็นหน้าที่รวบรวมเนื้อหาของเมทริกซ์ 4.วิดีโอ
เป็นหน้าที่รวบรวมวิดีโอให้ผู้ที่ต้องการจะศึกษาการเรียนการสอนออนไลน์ในรายวิชาคณิตศาสตร์ใ
นเรื่องเมทริกซ์ 5.สไลด์แชร์
เป็นหน้าที่รวบรวมการทาโครงานคณิตศาสตร์ไว้เพื่อให้ผู้ที่จะศึกษาได้เรียนรู้เกี่ยวกับโครงงานคณิต
ศาสตร์ 6.แบบทดสอบ
เป็นหน้าที่ผู้จัดทาได้รวบรวมแบบทดสอบทางคณิตศาสตร์พร้อมเฉลยเพื่อให้ผุ้ศึกษาได้ลองทดสอบ
ทา
อภิปรายผล
ผู้ที่เข้ามาศึกษา Blog แห่งการเรียนรู้นี้
จะได้รับทักษะการเรียนในรายวิชาคณิตศาสตร์เรื่องเมทริกซ์
ที่สามารถให้ผู้ศึกษาได้ศึกษาหาความรู้อย่างสะดวกผ่านเครือข่ายอินเทอร์เน็ต
โดยผู้ศึกษาจะได้เรียนรู้เกี่ยวกับเนื้อหาของเมทริกซ์
พร้อมทั้งได้ทาแบบทดสอบควบคุ่ไปด้วยดดยการทาแบบทดสอบนั้นจะทาให้ผู้ศึกษาได้รู้จักฝึกกระ
บวนการคิดรู้จักพลิกแพลงกระบวนการแก้ปัญหาได้โดยการศึกษา Blog

29. แห่งการเรียนรู้นั้นผู้เรียนมีความรู้มากมายหลายด้าน
สามารถค้นหาความรู้ในเรื่องต่างๆได้ด้วยตนเองอย่างง่าย
ข้อเสนอแนะ
1. ควรมีเนื้อหาที่หลากหลายยิ่งกว่านี้
2. ควรเลือกรูปแบบ Blog ที่ดูง่าย
3. ควรจัดหมวดหมู่หน้า Blog ให้ดูง่ายเป็นระเบียบ
บรรณานุกรม
www.sci.rmuti.ac.th/grad23rd/evidence/eak.ekkachai@gmail.com/2-AD.doc
https://supakornweb.wordpress.com/
https://web.facebook.com/%E0%B9%80%E0%B8%A1%E0%B8
%97%E0%B8%A3%E0%B8%B4%E0%B8%81%E0%B8%8B%
E0%B9%8CB%E0%B8%A8%E0%B8%B8%E0%B8%A0%E0
%B8%81%E0%B8%A3%E0%B8%93%E0%B9%8C-
%E0%B8%A7%E0%B8%B1%E0%B8%92%E0%B8%99%E0%
B8%A8%E0%B8%A3%E0%B8%B5-1624107571240641/