เมทริกง่ายๆ มาอ่านกันได้นะครับ นายธนกฤต สีสันต์ เลขที่4 นายกษิดิศ เบญมาตย์ เลขที่10 นายนราวิชญ์ กุลศิริ เลขที่12 นางสาวอภิธาดา โอทาตะวงศ์ เลขที่15

1. เสนอ คุณครูไพรัช วงศ์ศรีตระกูล

2. เมทริกซ์
บทนิยาม
ให้ m และ n เป็น
จำนวนเต็มบวก ชุดของ
จำนวนจริง mn จำนวน
ซึ่งเรียงกันในรูป

3. a a a
a a a
a a amn
23
1n
. . .
11 12
. . .
. . .
m2
22
21
m1 m x n
เรียกว่า เมทริกซ์ (Matrix)
ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน
เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์
ซึ่งมีทั้งหมด m แถว
ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวตั้ง
เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์
ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก
เรียก a ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์
ij
ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก m×n
ว่า ขนาด (size)หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์

4. การเท่ากันเมทริกซ์
เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะเท่ากันได้
ต้องมีลักษณะตามนิยามต่อไปนี้เลย
บทนิยาม
ให้ A=[a ] และ B=[b ]
A เท่ากับ B ก็ต่อเมื่อ m=p,n=q และ a = b
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m }∈{1,2,3,…,m } และ
j∈{1,2,3,…,n }∈{1,2,3,…,n }
เขียนแทน A เท่ากับ B ด้วย A=B
ij ij
เมทริกซ์จะเท่ากันได้ต้องมีขนาดเท่ากัน
และในสมาชิกตำแหน่งเดียวกัน
ต้องมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่าง
กำหนดให้
1 x
0 3 = 1 2
y-1 3
จะได้ว่า x=2x=2
และ y−1=0 นั่นคือ y=1
ดังนั้น x=2 และ y=1
วิธีทำ
m x n
m x n
ij ij

5. A= 0 1 2
1 x 3
ชนิดของเมทริกซ์
1. เมทริกซ์แถว คือ เมทริกซ์ที่มี
เพียง 1 แถว ซึ่งจะมีมิติ = 1 × n
2. เมทริกซ์หลัก คือ เมทริกซ์ที่มีเพียง
1 หลัก ซึ่งจะมีมิติ = m × 1
3. เมทริกซ์ศูนย์ คือ เมทริกซ์ที่มี
สมาชิกทุกตัวเป็น 0
3
0
1
3 x 1
A=
0
0
0
3 x 1
A=

6. 1 6
0 3
1 6
0 3
2 x 2
ชนิดของเมทริกซ์
4. เมทริกซ์จตุรัส คือ เมทริกซ์ที่มี
จำนวนแถวเท่ากับจำนวนหลัก
ซึ่งจะมีมิติ = k × k
5. เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์
จัตุรัสที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลัก
(แนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา)
เป็นเลข 1 และสมาขิกที่เหลือเป็น 0
2 x 2
I =
2 x 2
A=

7. 3 0 0
0 5 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ชนิดของเมทริกซ์
7. เมทริกซ์สเกลาร์ คือ เมทริกซ์จัตุรัส
ที่มีสมาชิกในแนวทแยงมุมหลักมีค่า
เท่ากัน และสมาชิกที่เหลือเป็น 0
6. เมทริกซ์เฉียง คือ เมทริกซ์ที่มีสมาชิกซึ่ง
ไม่อยู่ในแนวทแยงมุมหลักเป็น 0 ทั้งหมด
A=
3 x 3
A=
3 x 3

8. ชนิดของเมทริกซ์
9. เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง คือ
เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยู่เหนือ
แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0
8. เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่
มีสมาชิกที่อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักมีค่าเป็น 0
1 3 5
0 2 4
0 0 3
A=
3 x 3
1 0 0
2 1 0
5 4 1
A=
3 x 3

9. 1 2
0 3
-1 6
-3 5
1+(-1) 2+6
0+(-3) 3+5
0 8
-3 8
การบวกและการลบเมทริกซ์
บทนิยาม
ให้ A=[a ] และ B=[b ]
เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเท่ากัน
ผลบวกของเมทริกซ์ A กับเมทริกซ์ B คือ
[c ] เมื่อ c =a +b
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m }i∈{1,2,3,…,m } และ
j∈{1,2,3,…,n } j∈{1,2,3,…,n } เขียนแทน A บวก B
ด้วย A+B
นั่นคือ [a ] +[b ] = [a + b ]
เมทริกซ์ขนาดเท่ากันในตำแหน่งเดียวกัน
สามารถนำมาบวกหรือลบกันได้
ตัวอย่าง
วิธีทำ
ij ij
ij ij ij
ij ij ij ij
m x n m x n
m x n
m x n m x n m x n
+
=
=

10. ก ร คู
า
ณ
เ ม ท ริ
ก
ซ์
บทนิยาม
ให้ A=[a ​
] และ B=[b ​
]
ผลคูณของเมทริกซ์ A และ B เขียนแทนด้วย AB จะนิยามได้ ก็ต่อเมื่อ n=p
และเมทริกซ์ผลคูณ AB จะมีขนาด m×q ซึ่งมีสมาชิกในแถวที่ i และหลักที่ j
เป็น a b + a b + ⋯ + a b
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,m }i∈{1,2,3,…,m } และ j∈{1,2,3,…,q }j∈{1,2,3,…,q }
i1 1j 2j
i2 in nj
ij mxn ij pxq

11. นำจำนวนจริงนั้น คูณสมาชิก
ทุกตัวในเมทริกซ์
โดย จำนวนหลักต้องเท่ากันกับ
จำนวนแถว
สมบัติการคูณ
1.มีสมบัติปิดการคูณ A•B
2.A•B ≠ B•A แต่ A•B = B•A เมื่อ A=B
3,มีสมบัติเปลี่ยนหมู่ (A•B)•C = A•(B•C)
4.มีเอกลักษณ์การคูณ คือ เมทริกซ์เอกลักษณ์
ก ร คู
า
ณ
เ ม ท ริ
ก
ซ์

12. ก ร คู
า
ณ
เ ม ท ริ
ก
ซ์

13. ท า น
ร
ส
โ พ ส
บทนิยาม
ให้ A=[a ​
] และ B=[b ​
] โดยที่ b = a
สำหรับทุก i∈{1,2,3,…,n } และ j∈{1,2,3,…,m }
แล้วจะเรียก B ว่า เมทริกซ์สลับเปลี่ยน (transpose of a matrix) ของ A เขียน
แทนด้วย A
ij mxn ij nxm ij ji
t

14. ทรานสโพสหรือ
เมทริกซ์สลับเปลี่ยน คือ การเรียง
สมาชิกใหม่ โดยนำแถวไปเป็น
หลัก นำหลักไปเป็นแถว
สมบัติของเมทริกซ์สลับเปลี่ยน
1.(A ) = A
2.(A+B) = A + B
3.(kA) = kA
4.(A•B) = B • A ≠ A • B
ท า น
ร ส โ พ ส
t t
t t t
t t
t t t
_ _
t t

15. ท า น
ร ส โ พ ส

16. D T E
E
R
M I N A
N
T สัญลักษณ์ที่เราจะใช้แทนดี
เทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A
ก็คือ det⁡
(A) หรือ ∣A∣
บทนิยาม
ให้ A = [ a ] จะได้ det A คือ a
เมทริกซ์ 1X1

17. D T E
E
R
M I N A
N
T
บทนิยาม
ให้ A=
จะได้ det(A ) = ad−bc
หรือ คูณลง-คูณขึ้น
เมทริกซ์ 2X2
a
c d
b

18. D T E
E
R
M I N A
N
T
เมทริกซ์ 3X3 จะกระจาย
ผลบวกตามหลักที่ i
(ตามในรูป)
เมทริกซ์ 3X3

19. M N O
I
R
คือดีเทอร์มิแนนต์ที่ได้
จากการตัดแถวที่ i
และหลักที่ j เขียนแทน
ด้วย M (A)
ij

20. C F A
O
C
คือผลคูณระหว่าง (-1)
กับ M (A)
เขียนแทนด้วย
C (A) = (-1) M (A)
T E R
ij
ij ij
i+j
i+j

21. ให้เลือกแถว หรือ หลัก
ที่มีเลข 0 เยอะ หรือ
ที่มีตัวเลขน้อยๆ
D T E
E R
M I N A
N
T co-factor

22. บั
ม
ส ติ d e t
1) det(A) = det(A )
2) det(AB) = det(A) det(B)
3) det (A ) = [det(A)]
4) det(A ) = 1
det(A)
5) singular matrix
det(A) = 0 - เอกฐาน
det(A) = 0 - ไม่เอกฐาน
6) มีแถวหรือหลักซ้ำกัน
- det=0
1 2 3
1 3 3
0 5 5
7) 0 ทั้งแถว/หลัก - det=0
0 0 0
4 5 8
7 0 5
8) สลับแถว/หลัก det(B) = -det(A)
>
>
>
t
n n
-1
>

23. บั
ม
ส ติ d e t
2 4 3
1 8 9
5 4 1
9) ดึงตัวร่วมออกจากแต่ละแถว/หลัก
ของ det ได้
2 1 3
1 2 9
5 4 1
=4
10) det (5A) ถ้า Aมีมิติ 3•3
จะได้เป็น 5 det(A)
11) det (I) = 1
12) det0 = 0

24. เ
น
อิ ว อ ร์ ส
ตอบ C
ก า ร คู ณ
-1
=
det (A)
4 -1
2 3
=
3/14 1/14
-1/7 2/7
Ex. C
-1
2x2 A
; 1
*** หาก det = 0 จะไม่มีอินเวอร์ส ***
=
det (C) = 12-(-2) = 14
C
-1
= 1
14
3 1
-2 4
C
= 3/14 1/14
-2/14 4/14

25. เ
น
อิ ว อ ร์ ส ก า ร คู ณ

26. า
ร
ค เ ม อ ร์

27. W
O
R O P E R A T I O N

29. ผู้จัดทำ
นายธนกฤต สีสันต์ เลขที่4
นายกษิดิศ เบญมาตย์ เลขที่10
นายนราวิชญ์ กุลศิริ เลขที่12
นางสาวอภิธาดา โอทาตะวงศ์ เลขที่15