Στερεά εκ Περιστροφής Ευκλείδης-Αρχιμήδης και Σύγχρονη Διαπραγμάτευση

1. Στερεά εκ Περιστροφής
Ευκλείδης-Αρχιμήδης
&
Σύγχρονη Διαπραγμάτευση
Νατάσα Λύρη
Επιβλέπων Καθηγητής: Παπαδοπετράκης Ευτύχιος
Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Διδακτικής των Μαθηματικών
Πανεπιστήμιο Πατρών-Σχολή Μαθηματικών

2. Σύντομη ιστορική αναδρομή
Αίγυπτος
Πρακτικοί κανόνες Μήκη-Εμβαδά
τριγώνων
Τύποι Εμβαδών ορθογωνίων
τραπεζίων
κύκλος
κύβων
Όγκους ορθογωνίων πρισμάτων
κυλίνδρου
Εμβαδόν Βάσης x Ύψος














2
9
8
δ

3. Σύντομη ιστορική αναδρομή
Αίγυπτος
Ακριβής υπολογισμός του όγκου της
κόλουρης πυραμίδας με τετραγωνική βάση
(πάπυρος της Μόσχας)
Θαλής ο Μιλήσιος (585 π. Χ.)
Μετέφερε
τις γεωμετρικές γνώσεις των Αιγύπτιων στην Ελλάδα
Έδωσε
την καθαρά αφηρημένη έννοια των σημείων και των γραμμών
Απέδειξε
προτάσεις σχετικά με τα εμβαδά και τον κύκλο

4. Σύντομη ιστορική αναδρομή
6ο
Αιώνα π. Χ.
Πυθαγόρας και οι μαθητές του
Γεωμετρία των Στερεών και των Όγκων
με βάση τα κανονικά Στερεά
5ο
Αιώνα π. Χ.
Αναξαγόρας (500-350 π. Χ.) & Δημόκριτος (430 π. Χ.)
Διατυπώνουν τις γενικές γραμμές μιας Θεωρίας Προοπτικής
Δημόκριτος: τον τύπο για τον όγκο
της πυραμίδας και του κώνου

5. Σύντομη ιστορική αναδρομή
5ο
Αιώνα π. Χ.
Πυθαγόρειοι (500-350 π. Χ.): Κανονικά Στερεά
( Τετράεδρο, Κύβο, Δωδεκάεδρο)
Ίππασος (500 π. Χ.): Περιγράφει τη σφαίρα σε Δωδεκάεδρο
4ο
Αιώνα π. Χ.
Θεαίτητος (390 π. Χ.): Οκτάεδρο, Εικοσάεδρο
(Πλατωνικά σχήματα)
Ο πρώτος που έγραψε τα 5 Κανονικά Στερεά
(Σούδα 10ος
αιώνας)
Ο Πρόκλος του αποδίδει το περιεχόμενο των
Στοιχείων Χ και ΧΙΙ

6. Σύντομη ιστορική αναδρομή
Εύδοξος (370 π. Χ.): Στερεά εκ Περιστροφής
Κατά τον Πρόκλο στον Εύδοξο οφείλεται
το περιεχόμενο των Στοιχείων V, VI, XII του Ευκλείδη.
Σε αυτόν αποδίδονται οι αποδείξεις των προτάσεων
Πόρισμα πρότασης ΧΙΙ.7
Πρόταση ΧΙΙ.10
Πρόταση ΧΙΙ.18

7. Σύντομη ιστορική αναδρομή (3ος
Αιώνας π. Χ)
Ευκλείδης (300 π. Χ.)
Όλα τα μαθηματικά που καλλιεργήθηκαν στη σχολή του
Πλάτωνα συγκεντρώθηκαν στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη
Στοιχεία ΧΙ, ΧΙΙ, ΧΙΙΙ : Στερεομετρία
Στοιχείο ΧΙΙ: Στερεά εκ Περιστροφής
Παραλείπει τα στερεά που προκύπτουν
από την περιστροφή κωνικών τομών

8. Σύντομη ιστορική αναδρομή
Αρχιμήδης (250 π. Χ.)
Περί σφαίρας και κυλίνδρου:
Στερεά εκ Περιστροφής
[Σφαίρα, Κώνος, Κύλινδρος]
Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων:
Στερεά εκ Περιστροφής κωνικών τομών
[Κωνοειδή (Παραβολοειδή, Υπερβολοειδή)
και τα Σφαιροειδή]

9. Ο Ευκλείδης
και τα
Στερεά εκ Περιστροφής

10. Ορισμοί σχετικοί με τη Σφαίρα
14.Σφαίρα είναι το σχήμα που περιλαμβάνεται όταν ένα
ημικύκλιο περιστραφεί γύρω από μια διάμετρό του που μένει
σταθερή και επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να
κινείται.
15.Άξονας της σφαίρας είναι η σταθερή διάμετρος γύρω από
την οποία έχει περιστραφεί το ημικύκλιο.
16.Το κέντρο της σφαίρας είναι το ίδιο με το κέντρο του
ημικυκλίου.
17.Διάμετρος της σφαίρας είναι μια ευθεία που διέρχεται από το
κέντρο και περατούται και από τα δύο μέρη στην επιφάνεια
της σφαίρας.

11. Ορισμοί σχετικοί με τον Κώνο
18.Κώνος είναι το σχήμα που περιλαμβάνεται, όταν ένα
ορθογώνιο τρίγωνο περιστραφεί γύρω από μια κάθετη πλευρά
του που μένει σταθερή και επανέλθει στη θέση από την οποία
άρχισε να κινείται. Και αν η σταθερή αυτή πλευρά είναι ίση
με την άλλη κάθετο, ο κώνος είναι ορθογώνιος, αν είναι
μικρότερη αμβλυγώνιος αν δε μεγαλύτερη οξυγώνιος.
19.Άξονας του κώνου είναι η σταθερή ευθεία γύρω από την
οποία έχει περιστραφεί το τρίγωνο.
20.Βάση του κώνου είναι ο κύκλος που σχηματίζεται από την
περιστρεφόμενη ευθεία.

12. Ορισμοί σχετικοί με τον Κύλινδρο
21.Κύλινδρος είναι το σχήμα που περιλαμβάνεται, όταν ένα
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο περιστραφεί γύρο από μια
κάθετη πλευρά του που μένει σταθερή και επανέλθει στη
θέση από την οποία άρχισε να κινείται.
22.Άξονας του κυλίνδρου είναι η σταθερή ευθεία γύρω από την
οποία έχει περιστραφεί το παραλληλόγραμμο.
23.Βάσεις του κυλίνδρου είναι οι κύκλοι που γράφονται από τις
δύο περιφερόμενες πλευρές.

13. ΣΧΟΛΙΑ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Κώνος: Περιστροφή ορθογωνίου τριγώνου
γύρω από μια κάθετη πλευρά του
Κύλινδρος: Περιστροφή ορθογωνίου παρ/μου
Σφαίρα: Περιστροφή ημικυκλίου

14. ΣΧΟΛΙΑ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
Τυποποίηση στην δομή των ορισμών
Ι. που περιέχεται από όμοια και ίσα το πλήθος επίπεδα
ΙΙ.που περιλαμβάνεται όταν ένα:,
περιστραφεί γύρω από μια:
που μένει σταθερή και
επανέλθει στη θέση από την οποία άρχισε να κινείται







τρίγωνοορθογώνιο
ραμμοπαραλληλόγορθογώνιο
ημικύκλιο













διάμετρο
πλευράκάθετη

15. Μέθοδος της Εξάντλησης (Εύδοξος)
Εγκλεισμός του κύκλου
σε περιγεγραμμένα και εγγεγραμμένα πολύγωνα
οι επιφάνειες των οποίων διαφέρουν λιγότερο από οποιαδήποτε
δεδομένη .
Τα εγγεγραμμένα πολύγωνα με συνεχώς
αυξανόμενο αριθμό πλευρών θα εξαντλήσουν τον κύκλο.
Εμπεριέχει τη σύγχρονη έννοια του ορίου
Τα εγγεγραμμένα πολύγωνα προσεγγίζουν τον κύκλο με την
έννοια ότι η διαφορά τους μπορεί να γίνει μικρότερη από κάθε
επιφάνεια.

16. Πρόταση XII.2
Οι κύκλοι έχουν μεταξύ τους όπως τα τετράγωνα των διαμέτρων
τους

17. Πρόταση XII.10
Κάθε κώνος είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου με τον
οποίο έχει την ίδια βάση και το ίδιο ύψος.
Θ.δ.ο. ο κώνος είναι το 1/3 του κυλίνδρου
ή ότι ο κύλινδρος είναι 3πλάσιος του
κώνου.
Έστω ότι ο κύλινδρος είναι μεγαλύτερος
από το τριπλάσιο του κώνου.
Εγγράφουμε στη βάση του κώνου
τετράγωνο ΑΒΓΔ και υψώνουμε πρίσμα
ισοϋψές με τον κύλινδρο.
Το τετράγωνο ΑΒΓΔ, είναι μεγαλύτερο από το μισό του
κύκλου [Ευκλείδης, XII.2]. Άρα και το πρίσμα, που
υψώθηκε είναι μεγαλύτερο από το μισό του κυλίνδρου

18. Διχοτομούμαι τώρα τα τόξα ΑΒ, ΒΓ,
ΓΔ και ΔΑ και φέρνουμε τις χορδές
ΕΑ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ και ΘΑ.
Καθένα από τα τρίγωνα ΑΕΒ, ΒΖΓ,
ΓΗΔ και ΔΘΑ είναι μεγαλύτερο από
το μισό από το αντίστοιχο του τμήμα,
του κύκλου .
Σε καθένα από τα τρίγωνα ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ και ΔΘΑ
υψώνουμε πρίσματα ισοϋψή με τον κύλινδρο, άρα καθένα
από τα πρίσματα που υψώθηκαν είναι μεγαλύτερο από το
μισό του τμήματος του κυλίνδρου που του αντιστοιχεί

19. Αφαιρώντας αυτά τα πρίσματα από τον κύλινδρο το μέρος του
κυλίνδρου που απομένει είναι μικρότερο από το τριπλάσιο του
κώνου [Ευκλείδης, Χ.1]
Άρα το
πρίσμαΑΕΒΖΓΗΔΘ>3 κώνου
Όμως το
πρίσμαΑΕΒΖΓΗΔΘ=3 πυραμίδαςΑΕΖΒΖΓΗΔΘ
[Ευκλείδης, πόρισμα της ΧΙ.7]
Άρα η
πυραμίδαΑΕΖΒΖΓΗΔΘ> κώνο
Αλλά είναι και μικρότερη γιατί εμπεριέχεται από αυτόν,
Άτοπο
Άρα ο κύλινδρος δεν είναι
μεγαλύτερος από το τριπλάσιο του κώνου.

20. Έστω τώρα ότι:
ο κύλινδρος είναι μικρότερος από το τριπλάσιο του κώνου
ή ότι
ο κώνος είναι μεγαλύτερος από το 1/3 του κυλίνδρου.
Εγγράφουμε στη βάση του κώνου και του κυλίνδρου ένα
τετράγωνο ΑΒΓΔ. [Ευκλείδης, IV.6] και υψώνουμε πυραμίδα
που να έχει την ίδια κορυφή με τον κώνο.
τετράγωνο (ΑΒΓΔ)>1/2 κύκλου, [Ευκλείδης, XII.2]
Άρα
πυραμίδα ΑΒΓΔ>1/2 κώνο ΔΙΟΤΙ
πυραμίδα ΑΒΓΔ=1/2 πυραμίδα περ/νουτετραγώνου
Και 1/2 πυραμίδα περ/νουτετραγώνου>1/2κώνο

21. Διχοτομούμαι, τα τόξα ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ και ΔΑ και
φέρνουμε τις χορδές ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ και ΘΑ.
Καθένα από τα τρίγωνα ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ και ΔΘΑ είναι
μεγαλύτερο από το μισό του τμήματος του κύκλου ΑΒΓΔ που
του αντιστοιχεί.
Από τα τρίγωνα ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ και ΔΘΑ υψώνουμε
πυραμίδες , οι οποίες να έχουν την ίδια κορυφή με τον κώνο.
Άρα καθεμιά από τις πυραμίδες που υψώθηκαν είναι
μεγαλύτερη από το μισό του τμήματος του κώνου που τις
αντιστοιχεί.

22. Αφαιρώντας αυτές τις πυραμίδες από το κώνο, το μέρος του
κώνου που απομένει είναι μικρότερο από το 1/3 του κυλίνδρου,
[Ευκλείδης, Χ.1]
Άρα
η πυραμίδα ΑΕΒΖΓΗΔΘ>1/3 κυλίνδρου
Όμως
πυραμίδα ΑΕΒΖΓΗΔΘ=1/3 πρίσματος ΑΕΒΖΓΗΔΘ
Επομένως
πρίσμα ΑΕΒΖΓΗΔΘ> κύλινδρο
Αλλά είναι και μικρότερο γιατί εμπεριέχεται από αυτόν,
Άτοπο
Άρα ο κύλινδρος δεν είναι
μικρότερος από το τριπλάσιο του κώνου.

23. Αποδείχθηκε όμως ότι
δεν είναι ούτε μεγαλύτερος από το τριπλάσιο του κώνου.
Άρα ο κύλινδρος είναι τριπλάσιος του κώνου,
συνεπώς
ο κώνος είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου,
πράγμα που έπρεπε να αποδείξουμε.

24. Πρόταση XII.11
Κώνοι και κύλινδροι που έχουν το ίδιο ύψος έχουν μεταξύ
τους όπως οι βάσεις τους.
Πρόταση XII.12
Οι όμοιοι κώνοι και κύλινδροι έχουν μεταξύ τους λόγο ίσο με
την τρίτη δύναμη του λόγου των διαμέτρων των βάσεων τους.

25. Πρόταση XII.13
Εάν ο κύλινδρος τμηθεί από επίπεδο παράλληλο προς τα
απέναντι επίπεδα του, όπως έχει ο ένας κύλινδρος προς τον
άλλο θα έχει και ο ένας άξονας προς τον άλλο.
Έστω ο κύλινδρος ΑΔ και ένα επίπεδο ΗΘ, το οποίο είναι
παράλληλο προς τα απέναντι επίπεδα ΑΒ και ΓΔ, και τέμνει
τον άξονα του κυλίνδρου στο σημείο Κ.
Θ.δ.ο.
Προεκτείνουμε τον άξονα ΕΖ και προς τα δύο μέρη έτσι ώστε
ΕΚ=ΕΝ =ΝΛ και ΖΚ= ΖΞ =ΞΜ.
ΚΖ
ΕΚ
=
Η∆
ΒΗ
.
.
κυλ
κυλ

26. Επειδή οι άξονες ΛΝ, ΝΕ, ΕΚ είναι ίσοι έπεται ότι
οι κύλινδροι ΠΡ, ΡΒ, ΒΗ έχουν μεταξύ τους όπως οι βάσεις τους
[Ευκλείδης, ΧΙΙ.11]
Αλλά οι βάσεις είναι ίσες άρα
κύλ / δρος ΠΡ = κύλ / δρος ΡΒ= κύλ / δρος ΒΗ
Ομοίως
για τους άξονες ΚΖ, ΖΞ, ΞΜ και
τους κυλίνδρους ΗΔ, ΨΤ, ΤΧ αντίστοιχα.

27. Έχουμε λοιπόν:
ΛΚ=3ΕΚ τότε ο κύλινδρος ΠΗ=3κύλινδρος ΗΒ (13.1)
και
ΜΚ=3ΚΖ τότε ο κύλινδρος ΗΧ=3κύλινδρος ΗΔ (13.2)
Από τις σχέσεις (13.1) και (13.2) έχουμε:
και (13.3)
Και εάν ΚΛ=ΚΜ τότε ο κύλινδρος ΠΗ = κύλινδρο ΗΧ,
εάν ΚΛ>ΚΜ τότε ο κύλινδρος ΠΗ >κύλινδρος ΗΧ
εάν ΚΛ<ΚΜ τότε ο κύλινδρος ΠΗ <κύλινδρος ΗΧ.
ΚΖ
ΕΚ
=
ΜΚ
ΛΚ
Η∆
ΗΒ
=
ΗΧ
ΠΗ
λινδροςκ
λινδροςκ
λινδροςκ
λινδροςκ
ύ
ύ
ύ
ύ

28. Δηλαδή
Άρα λόγω των σχέσεων (13.3)
Πράγμα που έπρεπε να αποδειχτεί.
ΗΧ
ΠΗ
=
ΚΜ
ΚΛ
.
.
κυλ
κυλ
ΚΖ
ΕΚ
=
Η∆
ΒΗ
.
.
κυλ
κυλ

29. Πρόταση XII.14
Κώνοι και κύλινδροι που έχουν ίσες βάσεις έχουν μεταξύ τους
όπως τα ύψη τους.
Πρόταση XII.15
Σε ίσους κώνους και κυλίνδρους οι βάσεις είναι αντιστρόφως
ανάλογες των υψών και οι κώνοι και οι κύλινδροι, των
οποίων οι βάσεις είναι αντιστρόφως ανάλογες των υψών, είναι
ίσοι.
Πρόταση XII.18
Οι σφαίρες μεταξύ τους έχουν λόγο την τρίτη δύναμη του
λόγου των ακτίνων τους.

30. ΣΧΟΛΙΑ-ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ
1.Ο Ευκλείδης δεν αναφέρει ποτέ τις λέξεις εμβαδό ή επιφάνεια
και όγκος. Αντί αυτών χρησιμοποιεί τις φράσεις:
«…..έχουν μεταξύ τους όπως…….» ή
«…..έχουν μεταξύ τους λόγο ίσο με την τρίτη δύναμη του
λόγου…» .
ενώ
Ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί τον όρο επιφάνεια.
2.Την ύπαρξη των στερεών αυτών φαίνεται να την αποδεικνύει
μέσα από τον ορισμό τους, αφού τα κατασκευάζει-παράγει
από την περιστροφή άλλων σχημάτων.
3. Οι ορισμοί εκ περιστροφής δεν επηρεάζουν τις παραπάνω
αποδείξεις.

31. Τα κανονικά πολύεδρα και
πως συνδέονται με τη σφαίρα (Στοιχείο ΧΙΙ)
Πέντε κανονικά πολύεδρα:
 το κανονικό τετράεδρο, με 4 τριγωνικές έδρες και 4 κορυφές,
 ο κύβος με 6 τετραγωνικές έδρες και 8 κορυφές,
 το οκτάεδρο 8 τριγωνικές έδρες και 6 κορυφές,
 το δωδεκάεδρο, με 12 πενταγωνικές έδρες ανά 3 σε καθεμιά
από τις 20 κορυφές του και
 το εικοσάεδρο, με 20 τριγωνικές έδρες ανά 5 σε καθεμιά
από τις 12 κορυφές του.

32. Αποδεικνύει την ύπαρξη τους με το να
τα κατασκευάσει και στην συνέχεια τα εγγράφει σε δοσμένη
σφαίρα.
Τέλος υπολογίζει το μήκος της ακμής τους
συναρτήσει της διαμέτρου της σφαίρας
που τα έχει εγγράψει.

33. Στην τελευταία πρόταση του Στοιχείου ΧΙΙΙ
Συγκρίνει τις πλευρές των κανονικών πολύεδρων
 Το τετράγωνο της πλευράς του κανονικού τετράεδρου είναι
τα 4/3 του τετραγώνου της πλευράς του οκτάεδρου
και
το διπλάσιο του τετραγώνου της πλευράς του κύβου.
Ενώ
 το τετράγωνο της πλευράς του οκτάεδρου είναι
 τα 3/2 του τετραγώνου της πλευράς του κύβου.
Οι εν λόγω πλευρές έχουν μεταξύ τους λόγους ρητούς,

34. Ενώ οι υπόλοιπες δύο,
του εικοσάεδρου και του δωδεκάεδρου είναι άρρητες
και αποδεικνύει ότι
του εικοσάεδρου είναι μεγαλύτερη από του δωδεκάεδρου.

35. Ο Αρχιμήδης
και τα
Στερεά εκ Περιστροφής

36. Περιγεγραμμένο σχήμα σε σφαίρα
Πρόταση ΠΣΚΚ.28:
Περιγράφει πως παράγεται ένα περιγεγραμμένο σχήμα σε
σφαίρα και εξηγεί ότι η επιφάνεια του είναι μεγαλύτερη από την
επιφάνεια της σφαίρας

37. Περί σφαίρας και κυλίνδρου
Επιφάνεια σφαίρας
Πρόταση ΠΣΚΚ 33
Η επιφάνεια κάθε σφαίρας είναι τετραπλάσια του
μεγίστου κύκλου της.
με R=4ρ

38. Έστω ότι η επιφάνεια της σφαίρας Εσφ είναι μεγαλύτερη από
την επιφάνεια ΕΑ, του κύκλου Α.
Θεωρούμε δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα Β και Γ με Β>Γ και
Έστω Δ το ευθύγραμμο τμήμα που είναι μέσο ανάλογο των Β και
Γ, δηλαδή
(33.1)
Θεωρούμε ότι η σφαίρα έχει τμηθεί από ένα επίπεδο που
περνάει από τον κέντρο της κατά τον κύκλο ΕΖΗΘ.
Στον κύκλο αυτό θεωρούμε
ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΠ και
ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΕ
τέτοια ώστε να είναι όμοια και
ΑΕ
Ε
<
Γ
Β σφ
Γ
∆
=
∆
Β

39. 22






∆
Β
<





⇒
∆
Β
<
Ε
Π
Ε
Π
λ
λ
λ
λ
2






∆
Β
=
Γ
Β
2






=
Ε
Ε
Ε
Π
Ε
Π
λ
λ
ΑΕ
Π
Ε
Ε
<
Γ
Β
=





∆
Β
<
Ε
Ε σφ
2
[Αρχιμήδης, ΠΣΚΚ.32]
Αλλά
και
Άρα
Γιατί από την (33.1) έχουμε Δ2
=Β Γ άρα
Γ
Β
=
Γ
Β
⇒
ΒΓ
Β
=
Γ
Β
⇒
∆
Β
=
Γ
Β
⇒





∆
Β
=
Γ
Β 2
2
22
Άτοπο

40. γιατί
ΕΠ >Εσφ [Αρχιμήδης, ΠΣΚΚ.28]
Και
ΕΓ< ΕΑ, του κύκλου Α,
γιατί έχει αποδειχθεί ότι
ΕΓ < 4πρ2
[Αρχιμήδης, ΠΣΚΚ.25]
ενώ ο ΕΑ= 4πρ2
Άρα η επιφάνεια της σφαίρας Εσφ δεν είναι
μεγαλύτερη από την επιφάνεια, ΕΑ του κύκλου Α.

41. Έστω τώρα, ότι η επιφάνεια της σφαίρας Εσφ είναι μικρότερη
από την επιφάνεια ΕΑ του κύκλου Α.
Θεωρούμε δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα Β και Γ με Β>Γ και
Έστω Δ το ευθύγραμμο τμήμα που είναι μέσο ανάλογο
των Β και Γ, δηλαδή
και έστω ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΠ και ένα
εγγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΕ τέτοια ώστε να είναι όμοια
και Άτοπο
σφΕ
Ε
<
Γ
Β Α
σφλ
λ
λ
λ
Ε
Ε
<
Γ
Β
<
Ε
Ε
⇒





∆
Β
<





⇒
∆
Β
< Α
Ε
Π
Ε
Π
Ε
Π
22
Γ
∆
=
∆
Β

42. γιατί
ΕΠ >ΕΑ [Αρχιμήδης, ΠΣΚΚ.30]
Και
ΕΓ< Εσφ, [Αρχιμήδης, ΠΣΚΚ.23]

43. Άρα η επιφάνεια της σφαίρας Εσφ δεν είναι
ούτε μικρότερη από την επιφάνεια ΕΑ του κύκλου Α,.
Έχει δειχτεί ότι ούτε μεγαλύτερη είναι
Άρα η επιφάνεια της σφαίρας είναι ίση
με την επιφάνεια του κύκλου που είναι τετραπλάσιος του
μεγίστου κύκλου της σφαίρας.

44. Προτάσεις ΠΣΚΚ.42 και ΠΣΚΚ.43
Η επιφάνεια κάθε σφαιρικού τμήματος, που είναι είτε μικρότερο
είτε μεγαλύτερο από ημικύκλιο, ισοδυναμεί με κύκλο η ακτίνα
του οποίου είναι ίση με την ευθεία που άγεται από την κορυφή
του τμήματος προς ένα σημείο της περιφέρειας του κύκλου που
είναι η βάση του σφαιρικού τμήματος.

45. Εμβαδόν επιφάνειας σφαιρικής ζώνης
(Σύγχρονη διαπραγμάτευση)
Ορισμός
Η σφαιρική ζώνη μπορεί να θεωρηθεί ότι παράγεται από την
περιστροφή ενός τόξου ΑΓ του μεγίστου κύκλου όταν στραφεί
γύρω από μια διάμετρο ΕΖ που δεν τέμνει το ΑΓ
Σφαιρική ζώνη λέγεται το μέρος της σφαιρικής επιφάνειας, το
οποίο περιέχεται μεταξύ δύο παράλληλων επιπέδων, τα οποία
τέμνουν τη σφαίρα. Οι δύο κύκλοι, οι οποίοι ορίζονται από τα
τεμνόμενα επίπεδα καλούνται βάσεις της σφαιρικής ζώνης και η
απόσταση τους καλείται ύψος.

46. Θεώρημα
Το εμβαδό της σφαιρικής ζώνης ισούται με το γινόμενο της περιφέρειας ενός
μεγίστου κύκλου της σφαίρας επί το ύψος της.
Απόδειξη
Έστω το τόξο ΑΒ του κύκλου (Ο, R). Εγγράφουμε σε αυτό κανονική
τεθλασμένη γραμμή ΑΓΔΒ, ης οποίας έστω ΟΜ το απόστημα της. Όταν
στρέψουμε το σχήμα γύρω από την διάμετρο ΠΠ΄ τότε το εμβαδό της
παραγόμενης επιφάνειας από την τεθλασμένη γραμμή είναι :
Ε=2R (OM)(Α΄Β΄)
Εάν ο αριθμός των πλευρών της γραμμής διπλασιάζεται απεριόριστα, το μεν
εμβαδό που γράφεται από αυτή τείνει προς το εμβαδό της σφαιρικής ζώνης,
το
δε απόστημα προς την ακτίνα της σφαίρας, η οποία παράγεται από το
ημικύκλιο στο οποίο ανήκει το τόξο, το δε Α΄Β΄=υ μένει αμετάβλητο.
Άρα έχουμε:ΕΣΦ.ΖΩΝΗΣ=2πR υ

47. Εμβαδόν επιφάνειας σφαίρας
(Σύγχρονη διαπραγμάτευση)
Θεώρημα
Το εμβαδόν της επιφάνειας της σφαίρας ισούται με το
τετραπλάσιο του εμβαδού μεγίστου κύκλου της.
Απόδειξη
Η σφαιρική επιφάνεια είναι μια σφαιρική ζώνη με ύψος 2R.
Άρα το εμβαδόν της σφαίρας είναι:
Ε=2πR 2R=4πR2

48. Όγκος εγγεγραμμένου σε σφαίρα σχήματος
Πρόταση ΠΣΚΚ.26
Το εγγεγραμμένο σε σφαίρα σχήμα που ορίζεται από κωνικές
επιφάνειες είναι ισοδύναμο με κώνο που έχει βάση κύκλο ίσο με
την επιφάνεια του εγγεγραμμένου στη σφαίρα σχήματος και
ύψος ίσο με την κάθετο που άγεται από το κέντρο της σφαίρας
προς μία πλευρά του πολυγώνου.
Πρόταση ΠΣΚΚ.27
Το εγγεγραμμένο σχήμα στη σφαίρα που περιέχεται από τις
κωνικές επιφάνειες είναι μικρότερο από το τετραπλάσιο του
κώνου που έχει βάση ίση με το μέγιστο κύκλο της σφαίρας και
ύψος ίσο με την ακτίνα της σφαίρας.

49. Όγκος σφαίρας
Πρόταση ΠΣΚΚ.34
Κάθε σφαίρα είναι τετραπλάσια από κώνο που έχει
βάση ίση με τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας και ύψος
ίσο με την ακτίνα της.
Με μέγιστο
κύκλο ΑΒΓΔ
Με βάση ίση με το μέγιστο κύκλο

50. Θ.δ.ο. Vσφ =4Vκών
Έστω ότι Vσφ >4Vκών.
και έστω ένας κώνος Ξ με βάση τετραπλάσια από τον κύκλο
ΑΒΓΔ και ύψος ίσο με την ακτίνα της σφαίρας.
Άρα η σφαίρα είναι μεγαλύτερη από τον κώνο Ξ.
Vσφ >4VΞκών.
Συνεπώς υπάρχουν δύο άνισα μεγέθη ο κώνος και η σφαίρα, άρα
είναι δυνατόν να πάρουμε δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα Κ και
Η με Κ > Η :
Παίρνουμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα Ι και Θ, για τα οποία
ισχύει ότι:
Κ-Ι=Ι-Θ=Θ-Η
Ξ
<
Η
Κ
V
Vσφ

51. και θεωρούμε τον κύκλο ΑΒΓΔ ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο
πλευράς λΕ και ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΠ ( με
πλήθος πλευρών διαιρετό με τέσσερα):
και (34.2)
33






Ι
Κ
<





=
Ε
Π
Ε
Π
λ
λ
V
V
Ι
Κ
<
Ε
Π
λ
λ
3






Ι
Κ
>
Η
Κ
Αλλά και (34.3) Eυτόκιος
Η
Κ
<
Ε
Π
V
V
ΞΕ
Π
<
V
V
V
V σφ
⇒ Ξ
ΕΠ
<
V
V
V
V
σφ
Από τις σχέσεις (34.2) και (34.3) έχουμε :
Όμως από τις (34.1) και (34.4) έχουμε :
Άτοπο
(34.4)

52. Γιατί ΕΠ> Εσ ενώ ΕΓ< Εκώνο
(ο κώνος Ξ είναι τετραπλάσιος από τον κώνο που έχει βάση ίση
με τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας και ύψος ίσο με την ακτίνα
της σφαίρας
και
το εγγεγραμμένο σχήμα είναι μικρότερο από το τετραπλάσιο του
εν λόγω κώνου).
Άρα η σφαίρα δεν είναι μεγαλύτερη από το
τετραπλάσιο του εν λόγω κώνου.

53. Έστω ότι Vσφ <4Vκώνου
Και επομένως Vσφ <4VΞκώνου
Είναι δυνατόν να πάρουμε δύο άνισα ευθύγραμμα τμήματα Κ
και Η με Κ > Η :
Παίρνουμε επίσης τα ευθύγραμμα τμήματα Ι και Θ, για τα
οποία ισχύει ότι: Κ-Ι=Ι-Θ=Θ-Η
και θεωρούμε τον κύκλο ΑΒΓΔ ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο
πλευράς λΕ και ένα περιγεγραμμένο πολύγωνο πλευράς λΠ ( με
πλήθος πλευρών διαιρετό με τέσσερα): Ι
Κ
<
Ε
Π
λ
λ
σφV
VΞ
<
Η
Κ

54. σφV
V
V
V Ξ
Ε
Π
<
Η
Κ
<
Από τις σχέσεις (34.2) και (34.3)
έχουμε :
Γιατί το εγγεγραμμένο σχήμα είναι μικρότερο από τη
σφαίρα, ενώ το περιγεγραμμένο σχήμα είναι μεγαλύτερο από
τον κώνο Ξ.
Άτοπο

55. Επομένως
η σφαίρα δεν είναι ούτε μικρότερη από
το τετραπλάσιο του κώνου
που έχει βάση ίση με τον μέγιστο κύκλο της σφαίρας και ύψος
ίσο με την ακτίνα της σφαίρας.
Έχει δειχτεί όμως ότι δεν είναι ούτε μεγαλύτερη,
Άρα είναι τετραπλάσια

56. Όγκος σφαίρας
(Σύγχρονη διαπραγμάτευση)
Θεώρημα
Ο όγκος σφαίρας είναι ίσος με το γινόμενο της επιφάνειας αυτής
επί το ένα τρίτο της ακτίνας
Απόδειξη
Η σφαίρα μπορεί να θεωρηθεί ως σφαιρικός τομέας που
παράγεται από ημικύκλιο ΠΑΒΠ΄ όταν αυτό στραφεί γύρω από
την διάμετρο ΠΠ΄
Άρα ο όγκος της σφαίρας είναι:
VΣΦ.= ΕΣΦ.ΖΩΝΗΣ((ΠΑΠ΄)1/3R όπου ΕΣΦ.ΖΩΝΗΣ=4πR2
Άρα VΣΦ.=4πR2
1/3R=4/3πR3

57. Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων
Δύο είδη κωνοειδών,
τα παραβολοειδή εκ περιστροφής,
(περιστροφή παραβολών περί τον ακίνητο άξονα τους),
και
τα υπερβολοειδή εκ περιστροφής,
(περιστροφή υπερβολών περί τον ακίνητο εγκάρσιο άξονα τους).
Δύο είδη σφαιροειδών,
Ι. περιστροφή ελλείψεων περί τον μεγάλο άξονα τους
και εκείνα που
ΙΙ. περιστροφή ελλείψεων περί τον μικρό άξονα τους

58. Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων
ορθή
γωνία αμβλεία
γωνία
οξεία
γωνία
Παραβολή Υπερβολή
Έλλειψη

59. Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων
Προτάσεις 21 έως 24 (Παραβολοειδή)
Προτάσεις 25 έως 26 (Υπερβολοειδή)
Προτάσεις 27 έως 32 (Ελλειψοειδή)

60. Η Μέθοδος μέτρησης των κωνοειδών
Το τμήμα του υπό εξέταση κωνοειδούς ή σφαιροειδούς
χωρίζεται σε φέτες ίσου πάχους με
επίπεδα παράλληλα προς τη βάση και
καθεμία από τις φέτες αυτές περικλείεται
μεταξύ δύο κυλίνδρων,
ενός
μικρότερου και ενός μεγαλύτερου από τη φέτα.

62. Οι εξωτερικοί κύλινδροι σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο η
διαφορά της οποίας είναι ίση με τον μικρότερο όρο:
nAAAAS ++++= .................321
Ενώ οι εσωτερικοί κύλινδροι σχηματίζουν την ίδια χωρίς τον
τελευταίο όρο:
( )AnAAAS 1322 −++++= .................
Είναι προφανές ότι το άθροισμα n όρων ίσων με nΑ, είναι
μικρότερο από 2S1
και μεγαλύτερο από 2S2
:
21 22 SnAnS >⋅> (1)

63. Η γεωμετρική ερμηνεία του είναι μια στήλη από ίσους
κυλίνδρους, όλοι με το ίδιο ύψος. Αυτοί σχηματίζουν μαζί έναν
κύλινδρο C. Έτσι αντί της (1) μπορούμε να γράψουμε:
(2)21 22 SCS >>
όπου S ο όγκος του παραβολοειδούς.
Επειδή η διαφορά
παριστάνει τον όγκο του κυλίνδρου στη βάση της στήλης,
ο οποίος μπορεί να γίνει όσο μικρός θέλουμε, με τη γνωστή
μέθοδο από τους τύπους (2) και (3)καταλήγουμε στο
αποτέλεσμα
nASS =− 21
CS
2
1
=

64. Στην περίπτωση ενός ελλειψοειδούς ή υπερβολοειδούς,
οι κύλινδροι δεν σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.
Αλλά το άθροισμα τους μπορεί να αναχθεί
στο άθροισμα μιας ακολουθίας εμβαδών ορθογωνίων ,
των οποίων τα ύψη x, σχηματίζουν μια αριθμητική πρόοδο:
b, 2b, 3b,…….,nb.
S1: άθροισμα n τέτοιων ορθογωνίων
και το
S2 :άθροισμα των ίδιων ορθογωνίων εκτός από τον
τελευταίο όρο B,

65. δηλ. σε σύγχρονο συμβολισμό, αν
Τότε ο Αρχιμήδης αποδεικνύει την ανισότητα
(4)
( )∑ +=
n
kbkbS
1
1 α ( )∑
−
+=
1
1
2
n
kbkbS α
( )nbnbB += α
( ) 12
3
1
3
1
SnBbnbSnB ::: >





++> αα

66. Ο Αρχιμήδης προάγγελος του ολοκληρώματος
Ο Riemann αυστηρό ορισμό του ολοκληρώματος
Περικλείοντας το μεταξύ ενός «κάτω αθροίσματος» και ενός
«άνω αθροίσματος».
Το ολοκλήρωμα είναι τότε,
το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη
μεταξύ των τεταγμένων x=α και x=b και του άξονα x΄x .
→
dxy
b
∫α

67. To «κάτω άθροισμα» το άθροισμα των εμβαδών των
ορθογωνίων κάτω από την καμπύλη,
ενώ
το «άνω άθροισμα» είναι το άθροισμα των εμβαδών των
ορθογωνίων με μεγαλύτερο ύψος το οποίο καλύπτει το
εμβαδόν.

68. Ο Αρχιμήδης ,
για να υπολογίσει όγκους χρησιμοποιεί αυτή
τη μέθοδο του εγκλεισμού.
Το γεγονός όμως,
ότι στον τετραγωνισμό της παραβολής από τη μια πλευρά
και
στον υπολογισμό του όγκου της σφαίρας από την άλλη,
χρησιμοποιεί τελείως διαφορετικές μεθόδους,
ενώ και οι δύο στην ουσία οδηγούν στο ίδιο ολοκλήρωμα:
μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι:
( )∫ −
α
α
0
dxxx

69. Ο Αρχιμήδης δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι
το θεμέλιο όλων αυτών των γεωμετρικών εννοιών
είναι μία και μόνο έννοια,
το ολοκλήρωμα.

70. Θ.δ.ο το τρίγωνο ΚΖΕ είναι μεγαλύτερο
από μισό του αντίστοιχου κυκλικού τμήματος.
Κ είναι το μέσο του τόξου ΖΕ.
Φέρνουμε από το μέσο Κ παράλληλη στη χορδή ΖΕ
και συμπληρώνουμε το σχήμα έτσι ώστε να σχηματιστεί το
ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΕΖΒ.
(ΚΖΕ)=1/2(ΑΕΖΒ)
(εΑΕΖΒ) <(ΑΕΖΒ)
1/2(εΑΕΖΒ) <1/2 (ΑΕΖΒ) 1/2(εΑΕΖΒ) < (ΚΖΕ) ή
(ΚΖΕ)> 1/2(εΑΕΖΒ)
Το τετράγωνο ΑΒΓΔ, είναι μεγαλύτερο από το μισό του κύκλου
⇒
⇒

71. Έτσι (ΗΖΕΘ)=2(ΖΕΘ)
Όμως (ΖΕΘ)>1/2(εΕΖΘ)
2(ΖΕΘ)>(εΕΖΘ) (ΗΖΕΘ) >(εΕΖΘ)
.
⇒
Άρα το τετράγωνο είναι μεγαλύτερο από το μισό του κύκλου

72. Πρόταση Χ.1
Με δεδομένα δύο άνισα μεγέθη, εάν από το μεγαλύτερο
αφαιρεθεί μεγαλύτερο από το μισό και από το υπόλοιπο
μεγαλύτερο από το μισό και αυτό γίνεται συνεχώς, θα
ληφθεί ένα μέγεθος, το οποίο θα είναι μικρότερο από το
μικρότερο μέγεθος που δίνεται.

73. Πόρισμα της ΧΙ.7
Εάν υπάρχουν δύο ευθείες παράλληλες και σε καθεμιά από αυτές
ληφθούν τυχαία σημεία, η ευθεία που ενώνει τα σημεία αυτά
βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τις παράλληλες.

74. Η απόδειξη αυτής της σχέσης δεν έχει σωθεί αλλά την δίνει ο
Ευτόκιος στο υπόμνημα του στο θεώρημα αυτό :
Έστω τα άνισα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ & ΓΚ
με ΑΒ>ΓΚ και ένα ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ=ΓΚ.
Τότε ΑΒ-ΓΚ=ΑΒ-ΒΔ=ΑΔ.
Τριχοτομούμε το ΑΔ με τα σημεία Ε & Ζ : ΑΕ=ΕΖ=ΖΒ.
Θεωρούμε ΕΒ=Η και ΖΒ=Θ, θα δείξουμε ότι
Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα Λ : & ΑΒ-Η>Η-Λ.
Επειδή ΑΒ-Η=Η-Θ Η-Θ>Η-Λ Άρα Λ>Θ.
3






Η
ΑΒ
>
ΓΚ
ΑΒ
Λ
Η
=
Η
ΑΒ
⇒

75. Εάν πάλι πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα Μ:
(1) και Μ>ΓΚ (2).
Μ
Λ
=
Λ
Η
=
Η
ΑΒ
(1)
( ) 3
1
3
33
2
2






Η
ΑΒ
=
Μ
ΑΒ
→





Λ
Η
=
Μ
ΑΒ
⇒Λ⋅ΑΒ=Μ⋅Η⇒




Μ⋅Η=Λ
Λ⋅ΑΒ=Η
⇒ (3)
⇒
ΓΚ
ΑΒ
<
Μ
ΑΒ ( )→
3
ΓΚ
ΑΒ
<





Η
ΑΒ
3
(2)

76. Προτάσεις 21 έως 24 (Παραβολοειδή)
Αρχικά
ότι κάθε τμήμα παραβολοειδούς που έχει κοπεί
από επίπεδο που είτε είναι κάθετο στον άξονα είτε όχι
ισοδυναμεί με τα τρία δεύτερα κώνου που έχει την ίδια βάση και
τον ίδιο άξονα με το τμήμα
και στην συνέχεια δείχνει ότι εάν από ένα
παραβολοειδές εκ περιστροφής αποκοπούν δύο τμήματα με
επίπεδα εκ των οποίων το ένα είναι κάθετο στον άξονα και το
άλλο δεν είναι, και οι άξονες των τμημάτων είναι ίσοι, τότε τα
τμήματα θα είναι ίσα,
ενώ εάν
αποκοπούν δύο τμήματα με
επίπεδα που έχουν αχθεί με οποιοδήποτε τρόπο, τα τμήματα
έχουν μεταξύ τους λόγο ίσο με τον λόγο των τετραγώνων των
αξόνων τους.

77. Εγγεγραμμένο σχήμα σε σφαίρα
Πρόταση ΠΣΚΚ.23:
Περιγράφει πως παράγεται ένα εγγεγραμμένο
σχήμα σε σφαίρα και εξηγεί ότι η επιφάνεια του είναι
μικρότερη
από την επιφάνεια της σφαίρας

78. Πρόταση ΠΣΚΚ.24
Η επιφάνεια εγγεγραμμένου σχήματος σε σφαίρα είναι ίση με κύκλο, το
τετράγωνο της ακτίνας του οποίου είναι ίσο με το γινόμενο της πλευράς του
σχήματος επί το άθροισμα των ευθειών που συνδέουν τις κορυφές του
πολυγώνου και είναι παράλληλες προς την ευθεία που ενώνει δύο διαδοχικές
πλευρές του πολυγώνου.
Ε=πr2
και r2
=λ (ΕΖ+ΑΓ+ΘΗ)
και στην συνέχεια το συγκρίνει με το εμβαδό του μεγίστου κύκλου της
σφαίρας.

79. Πρόταση ΠΣΚΚ.25
Η επιφάνεια εγγεγραμμένου σε σφαίρα σχήματος, η οποία
ορίζεται από κωνικές επιφάνειες, είναι μικρότερη από το
τετραπλάσιο του μέγιστου κύκλου της σφαίρας.

80. Επιφάνεια περιγεγραμμένου σε σφαίρα σχήματος
Πρόταση ΠΣΚΚ.29
Με την επιφάνεια του περιγεγραμμένου στη σφαίρα σχήματος
ισοδυναμεί κύκλος, το τετράγωνο της ακτίνας του οποίου είναι
ισοδύναμο με ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι πλευρά
του πολυγώνου και η άλλη το άθροισμα των διαγωνίων του
πολυγώνου που είναι παράλληλες προς μία διαγώνιο που ενώνει
δύο διαδοχικές πλευρές.
E=πr2
όπου r2
=α λ και α= ΗΕ+ΜΝ+ΚΛ

81. Πρόταση ΠΣΚΚ.30
Η επιφάνεια του περιγεγραμμένου στη σφαίρα
σχήματος είναι μεγαλύτερη από το τετραπλάσιο του
μεγίστου κύκλου της σφαίρας.

82. Όγκος περιγεγραμμένου σε σφαίρα σχήματος
Πρόταση ΠΣΚΚ.31
Το σχήμα που είναι περιγεγραμμένο σε σφαίρα είναι ισοδύναμο
με κώνο που έχει βάση κύκλο επιφάνειας ίσης με την επιφάνεια
του σχήματος και ύψος ίσο με την ακτίνα της σφαίρας.
Vσφ=Vκώνου όπου Εβάσης κώνου=Επερ.σχ. και
το υ=ρ όπου ρ=ακτίνα σφαίρας