Η παρουσίαση αυτή αφορά μια διαθεματική προσέγγιση στην Διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας της Α' Λυκείου. Συγκεκριμένα προτείνει την μελέτη θεωρήματων του σχολικού βιβλίου μέσα από την Αγγλική μετάφραση των Στοιχείων του Ευκλείδη σε συνδαυσμό με την αγγλική μετάφραση πάλι των σχολίων του Πρόκλου πάνω στα στοιχεία του Ευκλείδη.

1. Κρίθη Μαρία (ΠΕ06), Λύρη Αναστασία (ΠΕ03)

2.  Διαθεματική προσέγγιση
 Content Language Integrated learning (CLIL)
 Διερευνητική προσέγγιση

3. Η Ευκλείδεια γεωμετρία προσεγγίζεται μέσα από τα
Στοιχεία του Ευκλείδη, τα σχόλια του Πρόκλου πάνω στο
Στοιχείο Α΄ και μέσω της Αγγλικής γλώσσας.
Γεωμετρία: μελέτη αποδείξεων
(δομή, μεθοδολογία, τρόπος παρουσίασης)
Αγγλικά: μαθηματική ορολογία, παραγωγή γραπτού
κειμένου με ιδιαίτερες μορφοσυντακτικές απαιτήσεις.
Ιστορική προσέγγιση: Σημασία έργου του Ευκλείδη.
Σχολίων Πρόκλου, μετάφρασης Thomas Taylor.

4. Τη δεξιότητα:
 της χρήσης ποικίλων πηγών πληροφόρησης.
 της επικοινωνίας, της συνεργασίας, της
διαπραγμάτευσης και της ευελιξίας.
Την ικανότητα:
 κριτικής επεξεργασίας πληροφοριών.
 ανάπτυξης στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων και
πολλαπλών αποδεικτικών προσεγγίσεων.
 Την ενεργητική εμπλοκή των μαθητών στη διερεύνηση
προβλημάτων, στη δημιουργία και τον έλεγχο
εικασιών.

5. Διπλή εστίαση:
Εκμάθηση γνωστικού αντικειμένου και γλώσσας.
Content-compatible language: Γλωσσικές
πράξεις(σύγκριση, αποδεικτική διαδικασία,
διατύπωση υποθέσεων)
Content-obligatory language:Γεωμετρικοί όροι

6. Σύγκριση απόδοσης της αποδεικτικής διαδικασίας
σε Γλώσσα 1-Γλώσσα 2 (metalanguage
awareness)
Εντοπισμός ομοιοτήτων –διαφορών μεταξύ
αποδεικτικής διαδικασίας Ευκλείδη και σχολικού
εγχειριδίου

7. Ο Συνδυασμός Διαθεματικής προσέγγισης, CLIL,
Διερευνητικής προσέγγισης και η χρήση
αυθεντικού υλικού καθώς και ΤΠΕ οδηγεί σε:
 Ανάπτυξη κριτικής σκέψης
 Δεξιότητα «Μαθαίνω πώς να μαθαίνω»
 Ενεργοποίηση ενδιαφέροντος μαθητών

8. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ
ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ
‘Euclid’s Proposition 32 and Proclus’s Commentaries.
A Geometry lesson in English’
Γνωστικά Αντικείμενα του Διδακτικού Σεναρίου:
Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ Λυκείου, άθροισμα γωνιών
τριγώνου.
Αγγλική Γλώσσα (Επίπεδο Γλωσσομάθειας μαθητών:
Β2-C1, CEFR), Γεωμετρική ορολογία, δομή κειμένου
απόδειξης, γλωσσικές εκφορές για συμμετοχή σε
αποδεικτική διαδικασία (let us do something, let
something be done).

9. Συμβατότητα με Α.Π.Σ. Μαθηματικών και Αγγλικών
(καλλιέργεια μαθηματικής σκέψης, αυθεντικές
επικοινωνιακές καταστάσεις).
Οριζόντια σύνδεση γνωστικών αντικειμένων:
Άθροισμα γωνιών τριγώνου (Α΄ Λυκείου,
Γεωμετρία) – Επικοινωνία στα πλαίσια μαθήματος
που συνδυάζει διαφορετικά γλωσσικά αντικείμενα
(Αγγλικά Λυκείου)

10. Ως προς το γνωστικό αντικείμενο των
 Μαθηματικών
 Αγγλικών
Ως προς τη χρήση νέων τεχνολογιών

11.  Η κατανόηση δύο επιστημονικών κειμένων
(Ευκλείδης-Πρόκλος).
 Η σύγκριση των αποδείξεων του θεωρήματος
(Στοιχεία, Σχόλια Πρόκλου, Σχολικό Βιβλίο).
 Η κατανόηση και χρήση της μαθηματικής γλώσσας,
των συμβόλων και των αναπαραστάσεων των
μαθηματικών αντικειμένων.
 Η ανάπτυξη της ικανότητας :
α) μετάφρασης από τη φυσική στη μαθηματική
γλώσσα και αντίστροφα
β) των μαθητών να επικοινωνούν μαθηματικά.

12.  Κατανόηση της σχέση που έχουν μεταξύ τους τα
μέρη ενός κειμένου - ανασύνθεση με λογικό ειρμό και
συνοχή.
 Μεταφορά στην Ελληνική γλώσσα του γενικού
περιεχομένου ενός γραπτού/προφορικού Αγγλικού
κειμένου και το αντίστροφο.
 Κατανόηση και διατύπωση γλωσσικονοητικών
εννοιών των διαστάσεων, της αρίθμησης, της
ισότητας/ανισότητας, των λογικών συσχετισμών
(υποθέσεις, αίτια-αποτελέσματα, συμπεράσματα).
 Διατύπωση ορισμών, νόμων, εννοιών και αρχών
τεχνικής ή επιστημονικής φύσης.

13. Να εξασκηθούν στη χρήση:
 πολλαπλών και ταυτόχρονων μορφών
αναπαράστασης της πραγματικότητας.
 λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας (geogebra)
και δημιουργίας/επεξεργασίας video (wink).

14. Α΄ Φάση: Αφόρμηση
Αγγλόφωνο βίντεο σχετικά με την Ιστορία των
μαθηματικών πρόκληση του ενδιαφέροντος
των μαθητών, κατανόηση αυθεντικού προφορικού
λόγου, διατύπωση υποθέσεων

15. Β΄ Φάση:
1. Εισαγωγή των μαθητών στην αποδεικτική
διαδικασία στην Αγγλική Γλώσσα
 Γλωσσάρι γεωμετρικής ορολογίας
 Αγγλόφωνο βίντεο απόδειξης πρότασης λβ΄ [32]
(βασισμένο στο πρωτότυπο έργο του Ευκλείδη)
 Δραστηριότητα κατανόησης βασισμένη στο
βίντεο (εντοπισμός συγκεκριμένων
πληροφοριών, έκθεση των μαθητών σε
μαθηματικό λόγο – περιεχόμενο γνωστικού
αντικειμένου και γλώσσα).

16. Β΄ Φάση:
2. Πρόταση λβ΄ [32] , Στοιχείο Α΄ του Ευκλείδη
 Αναγνώριση της πρότασης που αποδεικνύεται στο
video
Ευκλείδης –Στοιχείο Α΄– Πρόταση 32
‘Σε κάθε τρίγωνο, εάν προεκταθεί η μία πλευρά, η
εξωτερική γωνία είναι ίση με τις δύο απέναντι
εσωτερικές και οι τρεις εσωτερικές γωνίες του
τριγώνου είναι ίσες με δύο ορθές.’
 Σύγκριση με την αντίστοιχη πρόταση του σχολικού
βιβλίου

17. Σχήμα από την απόδειξη
στα Στοιχεία του
Ευκλείδη.
Σχήμα από την απόδειξη
του Σχολικού βιβλίου.

18.  Σύγκριση των γωνιών που σχηματίζουν δύο
παράλληλες ευθείες και μία τέμνουσα.
 Το άθροισμα των γωνιών που σχηματίζουν
ευθεία γωνία είναι ίσο με 2 ορθές.

19. Η αποδεικτική διαδικασία στα Στοιχεία του Ευκλείδη
ακολουθεί τα εξής βήματα:
1ο: Διατύπωση (εκφώνηση) της πρότασης.
2ο: Έκθεση.
Ανάλυση των δεδομένων και αναπαράσταση της
πρότασης με συγκεκριμένο σχήμα, με τα γράμματα
του ελληνικού αλφαβήτου.
3ο: Απόδειξη.
4ο: Συμπέρασμα. Διατύπωση του τι αποδείχθηκε
χωρίς γράμματα ή σύμβολα. Και καταλήγει με τη
φράση «πράγμα που έπρεπε να αποδείξουμε».

20.  Οι αποδείξεις του Ευκλείδη είναι κυρίως περιγραφικές
και βασίζονται στην εποπτεία και στα σχήματα.
 Κάποιες υποθέσεις ή λεπτομέρειες τις θεωρεί
προφανείς και τις παραλείπει, ενώ το σχήμα αποτελεί
βασικό στοιχείο της απόδειξης.
 Οι μαθητές σχολιάζουν ότι θεωρούν πιο σύντομη και
απλή την αποδεικτική διαδικασία του σχολικού τους
βιβλίου.

21. Κάθε πρόταση μπορεί να αποδειχθεί με την
βοήθεια των ορισμών, των αιτημάτων, των κοινών
εννοιών και των προτάσεων που έχουν
προηγουμένως αποδειχθεί.
 Οι μαθητές αναζητούν και προσδιορίζουν τις
προτάσεις στις οποίες βασίστηκε η απόδειξη της
πρότασης 32.

22. Γ΄ Φάση: Σχόλια του Πρόκλου σχετικά με την
Πρόταση λβ΄ [32], του Ευκλείδη
 Απόσπασμα από «Εἰς πρῶτον Εὐκλείδου
Στοιχείον βιβλίον», Πρόκλος (Αγγλική
μετάφραση)
 Δραστηριότητα κατανόησης 1:
συνδετικά στοιχεία - λογική ανάπτυξη του
θέματος
 Δραστηριότητα 2 :
μεταφορά νέας γνώσης από το κείμενο σε
αιτιολόγηση ισοτήτων γωνιών

23. Σύγκριση των αποδείξεων του Ευκλείδη, του
Πρόκλου και του Σχολικού Βιβλίου
 Αλλάζει η αποδεικτική σειρά
 Μεταφέρει την αποδεικτική διαδικασία στο
εσωτερικό του τριγώνου
 Η απόδειξη για το άθροισμα των εσωτερικών
γωνιών του τριγώνου είναι ίδια με του σχολικού
βιβλίου

24. Αξιωματική Θεμελίωση
 Οι μαθητές αναζητούν και προσδιορίζουν τις
προτάσεις στις οποίες βασίστηκε η απόδειξη της
πρότασης.
Καταλήγουν στο γενικό συμπέρασμα:
Όλες οι αποδείξεις που μελέτησαν (Στοιχεία,
Σχόλια Πρόκλου, Σχολικό βιβλίο) στηρίζονται στις
ίδιες προτάσεις αλλά τις χρησιμοποιούν με
διαφορετική σειρά ανάλογα με τις ανάγκες της
αποδεικτικής διαδικασίας που ακολουθήθηκε σε
σχέση και με την διαφορετική επιλογή
συμπλήρωσης του σχήματος.

25. Δ΄ Φάση - Η απόδειξη του Πρόκλου.
 Απόδειξη Πρόκλου στα νέα Ελληνικά-οι μαθητές
συμπληρώνουν την απόδειξη ώστε η εκφορά της
να είναι σύμφωνη με τον σημερινό τρόπο
παρουσίασης LINK

26.  Χρήση Geogebra και Wink για δημιουργία
βίντεο-παρουσίασης της απόδειξης του
Πρόκλου.
 Βίντεο- παρουσίαση: μεταφορά γνώσης σε νέα
σχήματα (γραπτός λόγος, σχήματα, προφορικός
λόγος, λογισμικό) = παγίωση νέας γνώσης
(consolidation).

27. Ε΄ Φάση: Άλυτα Προβλήματα της Αρχαιότητας
(Τριχοτόμηση Γωνίας)
Στόχος:
Να έρθουν οι μαθητές σε επαφή με τη χρήση της
πρότασης 32 σε ένα ρεαλιστικό πρόβλημα όπως
αυτό της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας.
Άλυτο πρόβλημα
Το πρόβλημα που δεν επιδέχεται λύση με κανόνα
και διαβήτη.

28. Η μέθοδος της Νεύσης
Τοποθέτηση ενός ευθύγραμμου τμήματος
ορισμένου μήκους μεταξύ δύο δεδομένων
γραμμών έτσι, ώστε τα άκρα του ευθύγραμμου
τμήματος να βρίσκονται πάνω στις γραμμές και το
ίδιο το τμήμα ή η προέκταση του να διέρχεται από
δεδομένο σημείο.

29. Στο παρακάτω σχήμα είναι : ΔΒ=ΒΑ=ΑΓ και = θ
α) Υπολογίστε τη γωνία συναρτήσει της γωνίας
β) Τριχοτομήστε τη γωνία
Αρχείο Geogebra

 ˆ
ˆ
ˆ
 ˆ

30. Συμπεράσματα
Παραγόμενα μαθητών (φύλλα εργασίας, βιντεο-
παρουσίαση Πρόκλου στα Αγγλικά-μετάφραση
προτάσεων 16 και 17 από το Στοιχείο Α΄ του
Ευκλείδη) και η συμμετοχή τους στην διαδικασία:
 επίτευξη μαθησιακών στόχων
 εξοικείωση με χρήση των Αγγλικών στο
μαθησιακό περιβάλλον άλλου γνωστικού
αντικειμένου

31. Πριν Μετά
 Περισσότεροι από
τους μισούς
περίμεναν να
δυσκολευτούν
 53,8 % επιθυμούν να
κάνουν διαθεματικά
μαθήματα
 42% δυσκολεύτηκαν
λιγότερο από όσο
περίμεναν.
 63 % επιθυμούν να
κάνουν τέτοια μαθήματα

32.  80% πέτυχαν τους μαθησιακούς στόχους που
είχαν τεθεί / μεγαλύτερη αυτοπεποίθηση και στα
δυο γνωστικά αντικείμενα.
 84%: ο συνδυασμός δυο γνωστικών
αντικειμένων κάνει το μάθημα πιο ενδιαφέρον.

33. Σας ευχαριστούμε

34. According to Proclus’s proof, the following
equalities of angles are true. Complete them with
the correct reasoning.
(1)………………………………
(2)…………………………………
a. (1) as alternate interior angles
(2) as corresponding angles
b. (1) as corresponding angles
(2) as alternate interior angles
c. (1) as corresponding angles
(2) as interior angles
ΖΑˆΒΔΖˆΑ 
ΖΒˆΑΓΖˆ 