Μαθηματικά Ε΄ 7.41. ΄΄ Είδη γωνιών ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 7 - Κεφάλαιο 41
΄΄ Είδη γωνιών ΄΄
http://e-taksh.blogspot.gr
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Εγκύκλιος Παιδεία
ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ
Γωνία λέγεται το μέρος του επιπέδου που περιορίζεται από δύο ημ
ιευθείες που έχουν κοινή αρχή. Το σημείο Ο
λέγεταικορυφή της γωνίας και οι ημιευθείες ΟΑ και ΟΒ λέγονται πλευρές της γωνίας.
H γωνία ονοματίζεται με τρία κεφαλαία γράμματα, όπου το γράμμα της κορυφής
μπαίνει στη μέση(ΑΟΒ ή ΒΟΑ), βάζοντας από πάνω του το σύμβολο της γωνίας(^), ή
μόνο με το γράμμα της κορυφής(Ο) με από πάνω το σύμβολο της γωνίας, ή με ένα
μικρό γράμμα(α) και πάντα το σύμβολο της γωνίας από πάνω του.
Τα είδη των γωνιών είναι η ορθή, η οξεία και η αμβλεία
Για να διαπιστώσουμε τι είδους γωνία είναι χρησιμοποιούμε το γνώμονα ή το
μοιρογνωμόνιο
Η ορθή γωνία είναι 90 μοίρες, η οξεία γωνία είναι μικρότερη της ορθής και η αμβλεία
μεγαλύτερη της ορθής
Μονάδα
μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας, δηλαδή η μία από τις 90 ίσες γωνίες
στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία:
1 ορθή=90 μοίρες και 1 μοίρα = 1/90 της ορθής
Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της και όχι από το
μήκος των πλευρών της Π.χ. στο παρακάτω σχήμα η γωνία ΓΟΔ είναι μεγαλύτερη από
την ΑΟΒ, γιατί έχει μεγαλύτερο άνοιγμα.

Για να μετρήσεις μία γωνία χρησιμοποίησε το μοιρογνωμόνιο κάνοντας τα παρακάτω:
 Βάλε το σημάδι που έχει το μοιρογνωμόνιο στο κέντρο του, πάνω στην κορυφή
της γωνίας.
 Βάλε την ένδειξη 0 μοίρες στη μία πλευρά της γωνίας(ίσως να χρειαστεί να
προεκτείνεις τις πλευρές της γωνίας)
 Διάβασε την ένδειξη στην άλλη πλευρά της γωνίας.
Διαδραστική μέτρηση γωνιών ΚΛΙΚ
Μπορούμε επίσης να σχεδιάσουμε γωνίες στο μέγεθος που εμείς θέλουμε
χρησιμοποιώντας το χάρακα και το μοιρογνωμόνιο:
 Με το χάρακα χάραξε μια ημιευθεία Αχ
 Βάλε το μοιρογνωμόνιο έτσι ώστε το κέντρο του να είναι στο Α και η Αχ να
περνάει από το 0(μοίρες). Σημείωσε ένα σημείο όπου θέλεις π.χ. στο 70 (μοίρες)
 Με το χάρακα τώρα χάραξε την ημιευθεία ΑΒ. Η γωνία που σχηματίστηκε θα
είναι 70 μοίρες
Δες πώς σχηματίζουμε γωνίες ΚΛΙΚ. Κάνε και συ το ίδιο και φτιάξε μια οξεία γωνία
ΠΑΙΞΕ ΜΕ ΤΙΣ ΓΩΝΙΕΣ: Προσπάθησε να βάλεις σωστά τη γωνία ώστε να ποτίσεις το
κάθε αντικείμενο ΚΛΙΚ
Αναρτήθηκε από ΝΙΚΟΣ στις Κυριακή, Μαΐου 03, 2009

Είδη γωνιών - Μέτρηση γωνιών (03/02)
Γωνία, Κορυφή, Πλευρές, Άνοιγμα
Γωνία είναι ένα μέρος του επιπέδου που το ορίζουν δύο ημιευθείες, οι οποίες
αρχίζουν από το ίδιο σημείο.
Το σημείο από το οποίο ξεκινούν οι δυο ημιευθείες
λέγεται κορυφή της γωνίας.
Οι δυο ημιευθείες που σχηματίζουν τη γωνία λέγονται πλευρές της γωνίας.
(Μια ημιευθεία γράφεται με ένα κεφαλαίο γράμμα και ένα μικρό π.χ. ημιευθεία Αε ή
ημιευθεία Οχ κ.λπ.)
Ο χώρος που βρίσκεται ανάμεσα στις δύο πλευρές λέγεται εσωτερικό ή άνοιγμα της
γωνίας.
Πώς διαβάζεται μια γωνία ;
Μια γωνία διαβάζεται :
 Με τρία γράμματα : το δεύτερο γράμμα είναι πάντα η κορυφή της, ενώ τα άλλα δύο ή
τα μικρά γράμματα των ημιευθειών που τη σχηματίζουν ή τα ονόματα δυο σημείων
πάνω σε κάθε πλευρά της.
 Με το γράμμα της κορυφής της
 Με ένα μικρό γράμμα που βρίσκεται στο εσωτερικό της.

Ποια είναι τα είδη γωνιών ;
Είδη γωνιών
Οι γωνίες μπορεί να είναι
o οξείες (<900
),
o ορθές (=900
) και
o αμβλείες (>900
).
Η γνωνία που είναι εξωτερική μιας οξείας λέγεται μη κυρτή γωνία.
Πώς μετρούμε μια γωνία ;
Μια γωνία μπορούμε να τη μετρήσουμε :
o Σε σχέση με την ορθή (όπως είδαμε παραπάνω)
o Με το μοιρογνωμόνιο
Πώς μετρούμε μια γωνία με το μοιρογνωμόνιο ;
Για να μετρήσουμε μια γωνία με το μοιρογνωμόνιο εργαζόμαστε ως εξής :
 Τοποθετούμε το κέντρο του μοιρογνωμονίου πάνω στην κορυφή της γωνίας.
 Εφαρμόζουμε την οριζόντια πλευρά του μοιρογνωμονίου πάνω σε μια πλευρά της
γωνίας.
 Μετράμε την απόσταση από τη μια πλευρά της γωνίας μέχρι την άλλη.

Τουλιόπουλος Φώτης

Εμπεδωτικές ασκήσεις
Πατήστε στους παρακάτω συνδέσμους για να εξασκηθείτε στη μέτρηση και δημιουργία γωνιών
http://www.mathsisfun.com/geometry/images/measure-angle-protractor.swf
http://www.mathsisfun.com/geometry/images/construct-angle-protractor.swf

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ – Είδη γωνιών
.

.
H γωνία ονοματίζεται με τρία γράμματα.
Το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση (εΟζ ή ζΟε), βάζοντας από
πάνω του το σύμβολο της γωνίας (^).
.

Τα είδη των γωνιών είναι η οξεία, η ορθή και η αμβλεία. Η ορθή
γωνία είναι 90 μοίρες, η οξεία γωνία είναι μικρότερη της ορθής και η
αμβλεία μεγαλύτερη της ορθής.
Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας, δηλαδή η μία
από τις 90 ίσες γωνίες στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία: 1 ορθή = 90
μοίρες και
1 μοίρα = 1/90 της ορθής.
Το μέγεθος της γωνίας εξαρτάται από το άνοιγμα των πλευρών της
και όχι από το μήκος των πλευρών της.
Για να μετρήσουμε μία γωνία χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο.
(ΚΛΙΚ στην εικόνα, για να μεταφερθείτε σε διαδραστικό μοιρογνωμόνιο.)
(Το πιο πάνω υλικό το πήραμε από το 8ο Δ. Σχ. Νάουσας)
.

ΕΞΕΤΑΣΗ ΓΩΝΙΩΝ (διαδραστικό)
Ακουμπήστε το ποντίκι πάνω στο σημείο «Υ», μετακινήστε την πλευρά
της γωνίας και δείτε κάθε φορά το είδος της (οξεία, ορθή, αμβλεία, μη
κυρτή).
ΚΛΙΚ στην εικόνα:
(Από το Learn-Math, του Θ. Φουναριωτάκη)

eva-edu
Η γωνία σχηματίζεται από ένα σημείο το οποίο ονομάζεται
κορυφή και δύο ευθείες οι οποίες ονομάζονται πλευρές.
Πλευρά
Κορυφή .
Πλευρά
Η γωνία μετριέται σε μοίρες που τις συμβολίζουμε με ˚
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να κυκλώσεις τα σχήματα που είναι γωνίες
. .
. .

eva-edu
Για να μετρήσουμε μία γωνία χρησιμοποιούμε το
μοιρογνωμόνιο
Πως μετράμε μία γωνία
1. Βάζουμε το 0 πάνω στην κορυφή της γωνίας
2. Γυρίζουμε το μοιρογνωμόνιο για να ακουμπήσει στη μία πλευρά της γωνίας
3. Βλέπουμε που ακουμπάει η άλλη πλευρά στο μοιρογνωμόνιο
4. Κοιτάμε τον αριθμό και λέμε ότι τόσες μοίρες είναι η γωνία
0

eva-edu
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Να μετρήσεις με το μοιρογνωμόνιο τις παρακάτω γωνίες
.
.
.

eva-edu
Χωρίζουμε τις γωνίες σε 3 κατηγορίες ανάλογα με το πόσες μοίρες είναι:
Ορθή γωνία: Ορθή είναι η γωνία που είναι ίση με 90˚.
Μετρήσαμε με το μοιρογνωμόνιο και βρήκαμε 90˚
.
Οξεία γωνία: Οξεία είναι η γωνία που είναι «πιο κλειστή από την
ορθή». Είναι δηλαδή μικρότερη από 90˚
30 Μετρήσαμε και βρήκαμε 30˚ δηλαδή λιγότερο από 90˚
.
Αμβλεία γωνία: Αμβλεία είναι η γωνία που είναι πιο «ανοιχτή από
την ορθή». Η αμβλεία γωνία είναι μεγαλύτερη από 90˚
120˚ Μετρήσαμε και βρήκαμε 120˚ δηλαδή περισσότερο από 90˚
.

Γιάννης Φερεντίνος

Η γωνία
 Η γωνία σχηματίζεται από ένα σημείο το οποίο
ονομάζεται κορυφή και δυο ευθείες οι οποίες
ονομάζονται πλευρές.

πλευρά
κορυφή

Ονομασία γωνιών
 Για να ονομάσουμε μια γωνία γράφουμε ένα κεφαλαίο
γράμμα δίπλα στην κορυφή της, με ένα σχήμα γωνίας
από πάνω.
(πχ Â, ή ΒÂΓ ή χÂψ)

χ
ψΑ

Α
Β
ΓχÂψ
ΒÂΓ

Μονάδα μέτρησης γωνίας
 Μετρώ μια γωνία, σημαίνει ότι υπολογίζω το άνοιγμά
της.
 Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι
η μοίρα (1ο ).

Το μοιρογνωμόνιο
 Το όργανο το οποίο χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε
ή για να κατασκευάσουμε μια γωνία, λέγεται
μοιρογνωμόνιο.

 Η γωνία η οποία έχει άνοιγμα 90ο λέγεται ορθή.
 Αν η γωνία είναι μικρότερη από 90ο λέγεται οξεία.
 Η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90ο λέγεται
αμβλεία.

ορθή γωνία οξεία γωνία αμβλεία γωνία

Σχεδιάζω γωνίες

Σχεδιάζω γωνίες
• Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο και με τη
βοήθεια του χάρακα, μπορούμε να
σχεδιάσουμε γωνίες οποιουδήποτε μεγέθους

Σχεδιάζω μια γωνία 130ο
• Με το χάρακα χαράζω μια ημιευθεία Αχ
Α χ

• Βάζω το μοιρογνωμόνιο έτσι που το κέντρο του να
είναι στο Α και η Αχ να περνάει από το 0 (0 μοίρες).
• Βρίσκω το σημείο που πρέπει στις 130 μοίρες του
μοιρογνωμονίου –πάντα με αρχή το 0- και το
σημειώνω.
Α χ0

• Με το χάρακα χαράζω την ημιευθεία Αψ.
Η γωνία που σχηματίστηκε είναι 130ο .
Α
Χ
ψ
130ο

Κατασκευή γωνιών, άθροισμα και
διαφορά γωνιών
• Μπορούμε να προσθέσουμε ή να
αφαιρέσουμε γωνίες με δυο τρόπους
αριθμητικά ή γεωμετρικά.
• Για να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε
γωνίες αριθμητικά, αρκεί να προσθέσουμε ή
αφαιρέσουμε τα μεγέθη των γωνιών.

• Για να προσθέσουμε γωνίες γεωμετρικά , πρέπει
να τις τοποθετήσουμε τη μια δίπλα στην άλλη
και να μετρήσουμε το συνολικό μέγεθος.
25ο + 65ο = 90ο

• Για να αφαιρέσουμε γωνίες γεωμετρικά, πρέπει
να τις τοποθετήσουμε τη μια επάνω στην άλλη
και να μετρήσουμε τη διαφορά τους.
AOC = 60ο
ΒΟC = 25Ο
ΑΟΒ = 60Ο - 25Ο = 35Ο

www.akida.info
Τι είναι η γωνιά;
• Γωνιά είναι το άνοιγμα μεταξύ δυο
πλευρών που ενώνονται σε μια κορυφή
και, μετριέται σε μοίρες.
α
α = 30°

Πού υπάρχουν γωνιές;

Οξεία γωνία Αμβλεία γωνία
Ορθή γωνίαΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.34

Γεωμετρικό όργανο – Μονάδα
μέτρησης
• Με το μοιρογνωμόνιο
• μοίρα + γνώμων > γιγνώσκω
• μοίρα = η μονάδα μέτρησης της γωνιάς
Δες σελ.101

Τι θα μάθουμε σήμερα
• Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας για να μετρήσουμε μια
γωνιά;
• Από τι εξαρτάται το μέγεθος μιας γωνιάς;
• Επαγγέλματα που έχουν σχέση με τη
μέτρηση γωνιών

ΠΡΟΒΛΗΜΑ:
Ο αρχιτέκτονας ενός σπιτιού πρέπει να δώσει οδηγίες στον κτίστη για το
κόψιμο και την τοποθέτηση των κεραμικών του πλακόστρωτου και της πισίνας,
στον κεραμιδά για το κόψιμο και την τοποθέτηση των κεραμιδιών και στον
πελεκάνο για το σχέδιο και την κατασκευή της εξώπορτας. Για να μπορέσει να
δώσει ακριβείς οδηγίες, χρειάζεται να καταγράψει το μέγεθος των γωνιών που
σχηματίζονται στο πλακόστρωτο, στην πισίνα, στη στέγη και στην εξώπορτα.

Όνομα γωνιάς Μέγεθος (σε μοίρες) Είδος (οξεία, ορθή, αμβλεία)
Α


Πώς χρησιμοποιούμε σωστά το
μοιρογνωμόνιό μας;
• Το μοιρογνωμόνιο «κάθεται» πάνω στη
μια πλευρά της γωνιάς.

• Προσοχή στις ενδείξεις!!!!! (Δεν έχει σημασία το πλαστικό
του μοιρογνωμονίου, αλλά η γραμμή του αριθμού μηδέν !!!!!)
Το κέντρο του μοιρογνωμονίου πρέπει να
είναι στην κορυφή της γωνιάς!

• Ποια από τις δύο ενδείξεις
χρησιμοποιούμε; (π.χ. το 45° ή το 135°)

Έχω πάντα στο μυαλό ότι…
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΔΕΝ ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
από…
από …
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
ΜΟΝΟ από …

Έχω πάντα στο μυαλό ότι…
από το μήκος των πλευρών της
από το μέγεθος του μοιρογνωμονίου
• Το μέγεθος μιας γωνιάς ΕΞΑΡΤΑΤΑΙ
ΜΟΝΟ από το ΑΝΟΙΓΜΑ μεταξύ των
πλευρών!

Για το σπίτι
• Βιβλίο, σελ.103
• Συζητώ και μαθαίνω για επαγγέλματα που
χρειάζονται μέτρηση γωνιών

Είδη γωνιών - Μέτρηση …..……....…………
Μαθαίνω:
 Για να μετρήσουμε ή να κατασκευάσουμε μια γωνία χρησιμοποιούμε το μοιρογνωμόνιο.
 Μονάδα μέτρησης της γωνίας είναι η 1 μοίρα (1ο
)
 Όταν μετράμε μια γωνία υπολογίζουμε το άνοιγμά της.
 Μια γωνία μπορεί να είναι ορθή (90ο
), οξεία (μικρότερη από 90ο
) ή αμβλεία (μεγαλύτερη
από 90ο
).
Πως μετρώ μια γωνία
Δεν έχει σημασία το μέγεθος των πλευρών δηλαδή είναι ίσες οι γωνίες:
Κάθε γωνία αποτελείται από δύο ευθείες που είναι οι
πλευρές της και ξεκινούν από το ίδιο σημείο, που λέγεται
κορυφή της γωνίας.
Παράδειγμα:
Από ποια μέρη
αποτελείται μια γωνία;
Μπορούμε να ονομάσουμε μια γωνία με τρεις τρόπους:
1. Με τρία κεφαλαία γράμματα,
από τα οποία το γράμμα της
κορυφής μπαίνει στη μέση.
Παράδειγμα: ΑΟΒ
2. Με το γράμμα της κορυφής.
3. Με ένα μικρό γράμμα.

1. Βάζω Σ στις σωστή πρόταση και Λ στη λανθασμένη.
 Αμβλεία λέγεται η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 90ο
.
 Οξεία λέγεται η γωνία που είναι ίση με 60ο
.
 Για να συγκρίνουμε δυο γωνίες μετράμε το μήκος των πλευρών τους.
 Τα της ορθής είναι 30ο
.
 Τις γωνίες τις μετράμε σε μοίρες (ο
).
 Το της ορθής είναι 45ο
.
2. Μετρώ με το μοιρογνωμόνιό μου τις παρακάτω γωνίες και στη συνέχεια τις
χαρακτηρίζω μέσα στο κουτάκι (ορθή, οξεία, αμβλεία).
(α) (β)
(γ) (δ)
(ε) (στ)

3. Ποιες από τις παρακάτω γωνίες είναι:
Οξείες: …….. ……… ………. Αμβλείες: ……… ………. ……….
4. Σχεδιάζω τις παρακάτω γωνίες.
5. Πόσες μοίρες είναι η γωνία που είναι ίση με:
Α) το της ορθής
Β) το των 40ο
Γ) το των 180ο
Δ) το των 60ο
Ε) το των 360ο
ΣΤ) το της ορθής
6. Μετρώ και προσθέτω όλες τις γωνίες των σχημάτων:
………………….………………………… ………………………………..……………… ….…………………..…….…………………
Όνομα: ……………………………………………………………………………… Nansy Tzg
17ο
32ο
91ο
5ο
80ο
125ο
140ο
1 ορθή ορθή 1,5 ορθή
Θυμήσου τι πράξη
κάνουμε όταν ακούμε τη
φράση «του» ή «της»

209
40. Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
ëýóç
1 ôüíïò åßíáé 1.000 êéëÜ.
Óôá öïñôçãÜ Ýâáëáí: 1.000 – 80 = 920 êéëÜ
¢ñá ôï êÜèå öïñôçãü ðÞñå: 920 : 4 = 180 êéëÜ ðáôÜôåò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 28
¢óêçóç á
¸íáò áãñïôéêüò óõíåôáéñéóìüò ìÜæåøå 1 ôüíï ðáôÜôåò. Ìïßñáóå áõôÞ
ôçí ðïóüôçôá óå 4 öïñôçãÜ, áëëÜ Ýìåéíáí óôçí áðïèÞêç 80 êéëÜ.
Ðüóá êéëÜ ðáôÜôåò ðÞñå êÜèå öïñôçãü;
Åêôéìþ: Ìå 190 ÷éëéïóôüëéôñá.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
Ãéá ôá 5 ßäéá ðïôÞñéá ÷ñçóéìïðïéþ ôá:
1000 25 975
1000 1000 1000
− = ÷éëéïóôüëéôñá.
¢ñá ôï êÜèå ðïôÞñé ãåìßæåé ìå: 975 : 5 = 195 ÷éëéïóôüëéôñá
• Åêôéìþ: 95 ÷éëéïóôüëéôñá.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá:
195 : 2 = 97,5 ÷éëéïóôüëéôñá
Áöïý ôá ðïôÞñéá åßíáé äéðëÜóéá ôùí ðáñáðÜíù, ç ðïóüôçôá ðïõ èá âÜæáìå óôï êáèÝíá
åßíáé ç ìéóÞ.

210
Äéá÷åßñéóç ðëçñïöïñßáò - Óýíèåôá ðñïâëÞìáôá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
¢óêçóç â
ÅñãÜôåò áóöáëôïóôñþíïõí Ýíá äñüìï 5 ÷éëéïìÝôñùí óå 10
þñåò. Ôçí åðüìåíç ìÝñá, ïé ßäéïé åñãÜôåò, áóöáëôïóôñþ-
íïõí Üëëïí äñüìï 9 ÷éëéïìÝôñùí óå 12 þñåò. Ðïéá ìÝñá
Þôáí ðéï áðïäïôéêïß ïé åñãÜôåò;
ëýóç
Ïé åñãÜôåò áóöáëôïóôñþíïõí:
ôçí 1ç ìÝñá: 5.000ì. : 10 þñåò = 500 ìÝôñá ôçí þñá.
ôç 2ç ìÝñá: 9.000ì. : 12 þñåò = 750 ìÝôñá ôçí þñá.
¢ñá, ôç 2ç ìÝñá ïé åñãÜôåò Þôáí ðéï áðïäïôéêïß.
Åêôéìþ: Ðéï ãñÞãïñá öôéÜ÷íåé ðáæë ç ÅéñÞíç ìüíç ôçò.
• ç ÅéñÞíç ìå ôçí áäåñöÞ ôçò: 1560 : 5 = 312 êïììÜôéá ôçí þñá
ç ÅéñÞíç ìüíç ôçò: 720 : 3 = 240 êïììÜôéá ôçí þñá
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 29 Åêôéìþ: Ç 2ç åðéöÜíåéá åßíáé êáëõììÝíç óå ìåãáëýôåñï ðïóïóôü.
Õðïëïãßæù ìå áêñßâåéá: - ìå êëÜóìá - ìå %
Ç 1ç åðéöÜíåéá:
10 5
22 11
= 45%
Ç 2ç åðéöÜíåéá:
8 4
14 7
= 57%

211
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ôåôñ. åñãáóéþí ã, óåë. 29 1ï →
1
2
(áðü ôá 2 ðëáêÜêéá, ôï 1 ÷ñùìáôéóìÝíï)
2ï →
2
5
(áðü ôá 5 ðëáêÜêéá, ôá 2 ÷ñùìáôéóìÝíá)
3ï →
3
9
•
•
- Åîçãþ ðþò óêÝöôçêá:
ÐáñÜäåéãìá:
• Áí Ý÷ïõìå 6 ÷ñùìáôéóìÝíá, óýìöùíá ìå ôï ìïôßâï, ôüôå åßíáé:
Êáé ôï êëÜóìá ðïõ äåß÷íåé ðüóá ðëáêÜêéá áðü üëá åßíáé ÷ñùìáôéóìÝíá åßíáé:
4
14
(áðü ôá 14 ðëáêÜêéá, æùãñáöéóìÝíá åßíáé ôá 4)

212
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò ä
• Åðüìåíï
• Åðüìåíï:
• Áí Ý÷ïõìå 11 ÷ñùìáôéóôá:

213
6ï Åðáíáëçðôéêü
• Ôá êïéíÜ ðïëëáðëÜóéá äýï áñéèìþí, åßíáé ðïëëáðëÜóéá ôïõ Å.Ê.Ð. êáé ìÜëéóôá ôï Å.Ê.Ð.
åßíáé ôï ìéêñüôåñï áðü áõôÜ.
• ÐñÝðåé íá êÜíù ôá åôåñþíõìá êëÜóìáôá ïìþíõìá üôáí óõãêñßíù, ðñïóèÝôù Þ áöáéñþ
åôåñþíõìá êëÜóìáôá.
• Äéüôé Ýôóé ìðïñþ íá ôá óõãêñßíù ãñÞãïñá êáé êÜíù ðéï åýêïëá ðñÜîåéò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
Åßíáé 120 : 6 = 20ì. ç êÜèå ðëåõ-
ñÜ ãéáôß Ý÷åé Ýîé ðëåõñÝò ßóïõ
ìÞêïõò.
50 + 50 + 20 + 20 = 120ì.
Þ
40 + 40 + 30 + 30 = 120ì.
Ïé áðÝíáíôé ðëåõñÝò Ý÷ïõí ßóï
ìÞêïò.
120 : 4 = 30ì.
Ãéáôß ôï ôåôñÜãùíï Ý÷åé êáé
ôéò 4 ðëåõñÝò ßóåò.

214
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• Áíáóôáóßá:
1 5
3 15
=
Íéêüëáò:
4
15
ÂáóéëéêÞ:
1 3
5 15
=
• Ç Áíáóôáóßá ôáêôïðïßçóå ôá ðåñéóóüôåñá.
• Ôá
3
15
ôùí âéâëßùí äåí ôáêôïðïéÞèçêáí, äéüôé:
5 4 3 12
15 15 15 15
+ + = .
¢ñá
15 12 3
15 15 15
− = .

215
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
¼ëïé ìáæß ôçò Ýäùóáí ôá
2
9
êáé ôá
11
15
ôïõ ðïóïý.
¢ñá,
2 11 10 33 43
9 15 45 45 45
+ = + = ôïõ ðïóïý Ýäùóáí óôç Ìáñãáñßôá.
Ôá
2
45
åßíáé 6 . Ôï
1
45
åßíáé 3 .
¢ñá, ôá
43
45
åßíáé 43 ÷ 3 = 129 .
Ôï ðáé÷íßäé êüóôéæå:129+ 6 =135 .
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
• Ôï åìâáäüí ôïõ èá åßíáé 64 ô.åê.
• Ôï åìâáäüí ôïõ èá åßíáé ôï 4ðëÜóéï, áöïý ôï äéðëÜóéï ôùí 8åê.
åßíáé 16åê., ôï åìâáäüí ôþñá èá åßíáé 16 ÷ 16 = 256ô.åê.
256 : 64 = 4 öïñÝò ìåãáëýôåñï åßíáé ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ,
áí äéðëáóéÜóù ôï ìÞêïò ôçò êÜèå ðëåõñÜò.

216
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
41. ÌÝôñçóç ãùíéþí
¢óêçóç á
×áñáêôÞñéóå ôéò ðáñáêÜôù ãùíßåò:
ëýóç
Áìâëåßá Ïîåßá ÏñèÞ

217
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
• α 35 Λ
∧
= ° • β 55 Σ
∧
= ° • γ 85 Λ
∧
= °
•
ÌÝôñçóç ãùíéþí

218
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
ÌÝôñçóç ãùíéþí
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
Óõìöùíþ ìå ôï êïñßôóé, ãéáôß ìéá ïñèÞ ãùíßá áíôéóôïé÷åß óå äéÜóôçìá 15
ëåðôþí, ìå áðïôÝëåóìá íá ãßíåôáé ðåñéóóüôåñåò áðü 4 öïñÝò óå 12 þñåò.
• ÆåõãÜñéá ãùíéþí ðïõ Ý÷ïõí Ü-
èñïéóìá ìåãáëýôåñï áðü 180°:
á - ä, á - ã, á - â, ä - ã, ä - â
¢óêçóç â
Óôï ðáñáêÜôù ó÷Þìá, êÜðïéåò ãùíßåò åßíáé óçìåéùìÝíåò ìå ìéêñÜ ãñÜììáôá. Áðü áõôÝò ðïéåò
ãùíßåò åßíáé áìâëåßåò êáé ðïéåò ãùíßåò åßíáé ïîåßåò;
ëýóç
Ïîåßåò ãùíßåò åßíáé ïé: á, ã, å, ç
Áìâëåßåò ãùíßåò åßíáé ïé: â, ä, æ, è

219
42. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò
¢óêçóç á
Ðïéï åßíáé ôï åßäïò ôùí ðáñáêÜôù ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò ôïõò.
ëýóç
To á ôñßãùíï åßíáé ïñèïãþíéï.
Ôï â ôñßãùíï åßíáé ïîõãþíéï.
Ôï ã ôñßãùíï åßíáé áìâëõãþíéï.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
• (á) ïñèïãþíéï (â) áìâëõãþíéï (ã) áìâëõãþíéï
•
• Áðü ôç ìÝôñçóç ôùí ãùíéþí ðñïêýðôåé üôé åßíáé óùóôÞ ç åêôßìçóç ðïõ Ýêáíá.

220
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ãùíßåò

221
óõíÝ÷åéá áðÜíôçóçò
Üóêçóçò â
• Åßíáé óùóôÞ ç åêôßìçóÞ ðïõ Ýêáíá.
•
¢óêçóç â
Õðïëïãßæù ôéò õðüëïéðåò ãùíßåò ôïõ ðáñáêÜôù ïñèïãùíßïõ ÷ùñßò ôç ÷ñÞóç ìïéñïãíùìïíßïõ.
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé 180°.
Ïé ãùíßåò ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé:
90° + 30° = 120°, Üñá 180° – 120° = 60°
90° + 60° = 150°, Üñá 180° – 150° = 30°

222
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
Ç äéáãþíéïò ÷ùñßæåé ôï ôåôñÜãùíï óå äýï ïñèïãþíéá ôñßãùíá, Üñá ôçí ãùíßá
ðïõ øÜ÷íù èá ôçí âñù ùò åîÞò: 90° + 45° = 135°
Ïðüôå: 180° – 135° = 45°
Ïé ãùíßåò ôïõ ðÜíù ôñéãþíïõ åßíáé 45°, áöïý 90° - 45° = 45°.
Ôï ôåôñÜãùíï Ý÷åé üëåò ôïõ ôéò ãùíßåò ïñèÝò.
Ôï ôñßãùíï åßíáé ïñèïãþíéï.
¢óêçóç ã
Ðüóï åßíáé ç ãùíßá ìå ôï åñùôçìáôéêü óôï
ðáñáêÜôù ôñßãùíï;
ëýóç
Ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ
åßíáé 180°.
¸÷ù:¡ 180° + 60° = 140°
¢ñá, ç ãùíßá ìå ôï åñùôçìáôéêü åßíáé:
180° – 140° = 40°

223
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
á: 35° ä: 45°
â: 35° å: 45°
ã: 55° æ: 90°
ç: 45°
Ìå êñéôÞñéï üôé:
• ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò ôñéãþíïõ åßíáé 180°,
• ôï Üèñïéóìá ôùí ïîåéþí ãùíéþí åíüò ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ åßíáé 90°,
• ïé ãùíßåò ôçò âÜóçò éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ åßíáé ßóåò.

224
43. Åßäç ôñéãþíùí ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
¢óêçóç á
ÊáôáóêåõÜæù Ýíá ôåôñÜãùíï, Ýíá ñüìâï êáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï. ÖÝñíù ôéò äéá-
ãþíéåò ôùí ó÷çìÜôùí. Ôé åßäïõò ôñßãùíá, ùò ðñïò ôéò ðëåõñÝò ôïõò, äçìéïõñãïýíôáé óå êÜèå
ó÷Þìá;
ëýóç
Ôá ôñßãùíá ðïõ äçìéïõñãÞèçêáí åßíáé éóïóêåëÞ.

Μαθηματικά Ε΄ 7.41. ΄΄ Είδη γωνιών ΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 7.41. ΄΄ Είδη γωνιών ΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 7.41. ΄΄ Είδη γωνιών ΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Μαθηματικά Ε΄ 7.41. ΄΄ Είδη γωνιών ΄΄