Μαθηματικά Ε΄ 9.54. ΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄

Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής
http://e-taksh.blogspot.gr
Μαθηματικά Ε΄ Τάξης - Ενότητα 9 - Κεφάλαιο 54:
΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄
Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.1

Τόνια
«ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ»
 Γωνία είναι το γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από δύο ημιευθείες (ΟΑ και ΟΒ
πλευρές της γωνίας ) που αρχίζουν από το ίδιο σημείο (Ο, κορυφή της γωνίας ).
Α
Ο Β
 Η γωνία ονοματίζεται ή με τρία γράμματα (το γράμμα της κορυφής μπαίνει στη μέση,
ΑΟΒ) ή με το γράμμα της κορυφής (Ο) ή με ένα μικρό γράμμα, που σημειώνεται στο
εσωτερικό της γωνίας (α ).
 Τα είδη των γωνιών είναι η ορθή (90ο
), η οξεία (< 90ο
) και η αμβλεία (> 90ο
).
η ορθή γωνία η οξεία γωνία είναι η αμβλεία γωνία
είναι 90ο
μικρότερη από την είναι μεγαλύτερη
ορθή από την ορθή
 Μονάδα μέτρησης των γωνιών είναι η γωνία μιας μοίρας (1ο
), δηλ. η μία από τις 90 ίσες
γωνίες στις οποίες χωρίζεται η ορθή γωνία:
1 ορθή = 90ο
και 1ο
= ---- ορθής
 Κατασκευάζουμε, μετρούμε και συγκρίνουμε με ακρίβεια γωνίες με το μοιρογνωμόνιο.
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ
1. Να ονοματίσεις με τρία γράμματα τις γωνίες των παρακάτω γραμμάτων και να τις
ταξινομήσεις:
Δ Ν Υ Ποξεία γωνία ορθή γωνία αμβλεία γωνία
2. Χρησιμοποιώντας το μοιρογνωμόνιο και με πλευρά την ημιευθεία Αχ να κατασκευάσεις
γωνίες:
α.) 45ο
Α χ
β.) 90ο
Α χ
γ.) 110ο
Α χ

Τόνια
«ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ»
 Τρίγωνο είναι το τμήμα της επίπεδης επιφάνειας που περικλείεται από τρία διαδοχικά
ευθύγραμμα τμήματα. Α
Β Γ
 Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου:
α.) οι τρεις πλευρές του: ΑΒ, ΒΓ και ΓΑ
β.) οι τρεις γωνίες του: ΑΒΓ, ΒΓΑ και ΓΑΒ
 Ένα τρίγωνο ως προς τις γωνίες του μπορεί να είναι:
- Οξυγώνιο, όταν έχει και τις τρεις γωνίες του οξείες.
- Αμβλυγώνιο, όταν έχει μια αμβλεία γωνία.
- Ορθογώνιο, όταν έχει μια ορθή γωνία.
οξυγώνιο αμβλυγώνιο ορθογώνιο
 Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180ο
(ή δυο ορθές γωνίες).
 Ένα τρίγωνο ως προς τις πλευρές του μπορεί να είναι:
- Ισόπλευρο, όταν έχει και τις τρεις πλευρές του ίσες.
- Ισοσκελές, όταν έχει τις δυο από τις πλευρές του ίσες.
- Σκαληνό, όταν έχει άνισες και τις τρεις πλευρές του.
ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό
 Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι και ισογώνιο, δηλ. έχει και τις τρεις γωνίες του ίσες, 60ο
την
καθεμία.
 Το ισοσκελές τρίγωνο έχει δύο γωνίες ίσες, γιατί απέναντι από ίσες πλευρές βρίσκονται ίσες
γωνίες.
 Το ορθογώνιο τρίγωνο, όταν είναι και ισοσκελές, έχει τις ίσες γωνίες του 45ο
την καθεμία.
 Περίμετρος τριγώνου είναι το άθροισμα των μηκών των πλευρών του.
 Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο, αν ξέρουμε:
- δυο πλευρές και την περιεχόμενη σ΄ αυτές γωνίες
- μια πλευρά και τις προσκείμενες σ΄ αυτή γωνία

Τόνια
1. Να γράψεις τα βασικά στοιχεία του τριγώνου ΚΛΜ.
Κ
Λ Μ
____________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________
2. Να κατασκευάσεις τα τρίγωνα που έχουν τα παρακάτω στοιχεία:
Τρίγωνο ΑΒΓ: πλευρές ΑΒ=4εκ, ΑΓ=3εκ
γωνία Α = 70ο
Ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΚΛΜ
κάθετες πλευρές ΚΛ=ΛΜ=2εκ
Αμβλυγώνιο τρίγωνο ΠΡΣ
πλευρές ΠΡ=4εκ., ΡΣ=3εκ.,
αμβλεία γωνία Ρ=120ο
Ισόπλευρο τρίγωνο ΔΕΖ, με περίμετρο 9 εκ.
Σκαληνό τρίγωνο ΗΘΙ: ΗΘ=3εκ., ΘΙ=2εκ. και
Β=70ο
.
Ισοσκελές τρίγωνο ΞΟΠ: βάση ΞΟ=4εκ.
γωνίες Α=Β=50ο

Τόνια
«ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟ ΤΜΗΜΑ – ΕΥΘΕΙΑ – ΗΜΙΕΥΘΕΙΑ»
 Ευθύγραμμο τμήμα ονομάζουμε μια γραμμή η οποία έχει δύο άκρα, έχει δηλαδή αρχή και
τέλος. Α Β
 Ευθεία γραμμή λέγεται η γραμμή που έχει το σχήμα μιας καλής τεντωμένης κλωστής. Η
ευθεία γραμμή δεν έχει άκρα και μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα και από τα δυο μέρη.
_ _ _ _Α Β _ _ _ _ _
ε
 Ημιευθεία ονομάζουμε μια γραμμή η οποία έχει μόνο ένα άκρο, την αρχή της, και προς το
άλλο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα.
---------- χ
Α Β
 Από δύο σημεία περνάει μόνο μια ευθεία.
 Από ένα σημείο περνούν άπειρες ευθείες.
«ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ – ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ»
 Δυο ευθείες που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο:
- όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο, όσο και αν τις προεκτείνουμε, ονομάζονται
παράλληλες ευθείες ()
- όταν έχουν ένα κοινό σημείο ονομάζονται τεμνόμενες ευθείες
- αν δυο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν μία γωνία ορθή, τότε όλες τους οι γωνίες είναι
ορθές και οι ευθείες ονομάζονται κάθετες ( )
- σε ένα τρίγωνο, το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή με την
απέναντι πλευρά ονομάζεται ύψος τριγώνου. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη.
Α
Β Γ

Τόνια
1. Να γράψεις τα ζεύγη των παράλληλων και των τεμνόμενων ευθειών:
α
β
γ δ
παράλληλες ευθείες: ……………………………………………………………………………..
τεμνόμενες ευθείες: ……………………………………………………………………………..
2. Να χαράξεις τέσσερις ευθείες. Η α και η β να είναι παράλληλες. Η γ να τέμνει κάθετα
τις α και β. Η δ να τέμνει πλάγια τις γ, β και α.
3. Χαράζω με κόκκινο χρώμα τα τρία ύψη του κάθε τριγώνου
Α Δ Η
Β Γ Ε Ζ Θ Ι
4. Να χαράξεις κάθετες ευθείες στη μέση των παρακάτω ευθύγραμμων τμημάτων:
Γ Ε
Α Β Η
Δ Ζ Θ
5. Ποιες ευθείες είναι τεμνόμενες και ποιες παράλληλες;

Τόνια
……………………… …………………….. …………………….. …………………….
μήκος
έδρα
κορυφή
ακμή
ύψος
ακτίνα
χορδή
διάμετρος
βάση
διαγώνιος
ύψος
πλάτος

Τόνια
«Ο ΚΥΚΛΟΣ»
 Κύκλος λέγεται μια κλειστή καμπύλη γραμμή, όλα τα σημεία της οποίας απέχουν εξίσου
από ένα σημείο (Ο) που βρίσκεται στο εσωτερικό της (κέντρο του κύκλου).
Ο
 Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο με ένα σημείο του
κύκλου.
 Διάμετρος του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει δύο σημεία του κύκλου
και περνά απ΄ το κέντρο του (Ο).
 Ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και διαμέτρους.
 Στον ίδιο κύκλο όλες οι διάμετροι είναι ίσες μεταξύ τους.
 Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους.
 Σε κάθε κύκλο η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας, ενώ, αντίστροφα, η ακτίνα είναι
το μισό της διαμέτρου. Δηλαδή:
δ = 2 * α
 Σε κάθε κύκλο, αν διαιρέσουμε το μήκος του κύκλου (κ) με το μήκος της διαμέτρου του
(δ), βρίσκουμε πάντα πηλίκο 3,14. Αυτό σημαίνει ότι το μήκος του κύκλου είναι 3,14
φορές μεγαλύτερο από τη διάμετρό του, ενώ, αντίστροφα, η διάμετρος του είναι 3,14
φορές μικρότερη από το μήκος του κύκλου.
 Άρα, για να βρούμε το μήκος ενός κύκλου (κ) πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο του (δ)
επί 3,14. Δηλαδή:
κ = δ * 3,14
Π Α Ρ Α Δ Ε Ι Γ Μ Α
 Πόσο είναι το μήκος του κύκλου με διάμετρο 3 εκ.;
δ = 3 εκ.
κ = δ * 3,14 = 3 εκ. * 3,14 = 9,42 εκ.
 Ποια είναι η διάμετρος ενός κύκλου με μήκος 6,28 εκ.;
Λύση: δ = κ : 3,14 = 6,28 εκ. : 3,14 = 2 εκ.
α = δ : 2
τόξο
ακτίνα (α)
διάμετρος (δ)

Τόνια
 Αν γνωρίζουμε την ακτίνα ενός κύκλου και ζητάμε να βρούμε το μήκος του:
α.) διπλασιάζουμε την ακτίνα του, για να βρούμε τη διάμετρό του, και
β.) πολλαπλασιάζουμε επί 3,14 τη διάμετρό του, για να βρούμε το μήκος του.
 Πόσο είναι το μήκος ενός κύκλου με ακτίνα 4 εκ.;
Λύση: δ = 2 * α = 2 * 4 εκ. = 8 εκ.
κ = δ * 3,14 = 8 εκ. * 3,14 = 25,12 εκ.
 Αν γνωρίζουμε το μήκος ενός κύκλου και ζητάμε να βρούμε την ακτίνα του
α.) διαιρούμε με το 3,14 το μήκος του κύκλου, για να βρούμε τη διάμετρό του και
β.) διαιρούμε με το 2 τη διάμετρο, για να βρούμε την ακτίνα του.
 Ποια είναι η ακτίνα ενός κύκλου με μήκος 12,56 εκ.;
Λύση: δ = κ : 3,14 = 12,56 : 3,14 = 4 εκ.
α = δ : 2 = 4 εκ. : 2 = 2 εκ.
1.) Σχεδιάζω τους κύκλους που έχουν:
α.) ακτίνα 2 εκ. β.) διάμετρο 6 εκ.

Τόνια
2.) Υπολογίζω το μήκος των παραπάνω κύκλων:
α.) ………………………………………………………………………………………………..
β.) ………………………………………………………………………………………………...

ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡ/ΜΟ ΤΡΑΠΕΖΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
Α α Β Α α Β Α α Β Α
;
α β β γ δ
Γ α Δ Γ α Δ Γ β Δ Β Γ
ΚΥΚΛΟΣ(κυκλικός δίσκος) (ε) (ζ) (η) (θ) (α)
Γ
Α Β
(ευθύγραμμο τμήμα)
Α χ……….. α β
Α Β (ημιευθεία) ε ζ
………… …………..
ε
(ευθεία γραμμή) (β)
Δ Ε παράλληλες ευθείες τεμνόμενες ευθείες τεμνόμενες κάθετα ευθείες
χορδή ΓΩΝΙΕΣ
Χ τόξο Δ Η
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
ΧΟΨ ή ΨΟΧ ή Ο ΔΕΖ ή ΖΕΔ ή Ε ΗΘΙ ή ΙΘΗ ή Θ
ΟΡΘΗ ΓΩΝΙΑ=90ο
ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ <90ο
ΑΜΒΛΕΙΑ ΓΩΝΙΑ>90ο
τεθλασμένη γραμμή
Ψ Ε Ζ Θ Ι
Ο καμπύλη γραμμή ανοιχτή
ΥΠΟΜΝΗΜΑ ΧΡΗΣΙΜΟ ΣΕ ΜΑΘΗΤΕΣ Ε’& ΣΤ’
Ε=εμβαδόν,Π=περίμετρος,υ=ύψος,α=ακτίνα,δ=διάμετρος,^=γωνία Κων/νος .Μεσάζος
Ε=α*α
Π=4*α
Ε=β*υ
Π=2*(α+β)
διαγώνιος
Ε=Β+β*υ/2
Π=α+β+γ+δ
ύψος
ύύψος
Ε=β*υ/2
Π=α+β+γ
ακτίνα =δ:2
Ο
διάμετρος=2*α
Ε=3,14*α*α
Π=3,14*δ

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
51
Μάθημα 47ο
Κύκλος
Κύκλο ονομάζουμε το σχήμα που όλα του τα σημεία ισαπέχουν από ένα σταθερό
σημείο. Το σταθερό σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η σταθερή απόσταση ακτίνα.
Ακτίνα του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το κέντρο του κύκλου με ένα
σημείο της περιφέρειάς του. Κυκλικός δίσκος είναι όλα τα σημεία της επιφάνειας του
κύκλου. Τόξο ονομάζουμε το τμήμα του κύκλου που ορίζεται από δύο σημεία του. Χορδή
ονομάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του κύκλου. Διάμετρο
ονομάζουμε την χορδή του κύκλου που περνά από το κέντρο του.
Κατασκευή κύκλου
Για να σχεδιάσουμε έναν κύκλο κέντρου ( Ο ) και ακτίνας ( α ), χρησιμοποιούμε τον
διαβήτη. Τοποθετούμε τη μύτη του διαβήτη στο κέντρο ( Ο ), κανονίζουμε το άνοιγμά του
να είναι όσο η ακτίνα ( α ) και γράφουμε τον κύκλο.
ακτίνα του κύκλου : ΟΒ, ΟΓ
διάμετρος του κύκλου : ΒΓ
ΒΓ = ΒΟ + ΟΓ
α + α = δ, δ = 2 ● α, α = δ : 2

Αρβανιτίδης Θεόδωρος, www.atheo.gr - Μαθηματικά Ε΄
52
Μήκος κύκλου
Για να υπολογίσουμε το μήκος του κύκλου πολλαπλασιάζουμε τη διάμετρο ( δ ) με
τον αριθμό 3,14 ( π ).
Μήκος κύκλου = π • δ ή
Μήκος κύκλου = π • ( 2 • α )
Εμβαδό κυκλικού δίσκου
Το εμβαδό του κυκλικού δίσκου είναι ίσο με το γινόμενο του αριθμού π επί το
τετράγωνο της ακτίνας του.
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α2
ή
Ε ( κυκλικού δίσκου ) = π • α • α
όπου π = 3,14 και α η ακτίνα του κυκλικού δίσκου
Ασκήσεις
1. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 3 εκατοστών.
2. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 4,5 εκατοστών.
3. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 3,5 εκατοστών. Κατόπιν να
σχεδιάσεις τη διάμετρό του ΑΒ.
4. Να σχεδιάσεις ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 5,5 εκατοστών. Κατόπιν να
σχεδιάσεις το τόξο του ΑΒ.
5. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 2,5 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος
του κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
8. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 3 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος του
κύκλου και πόσο είναι το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου ;
9. Έχεις ένα κύκλο ακτίνας 4 εκατοστών. Πόση είναι η διάμετρός του, πόσο το μήκος

Ο Κύκλος!
Ελένη Παρασκευοπούλου
Ο κύκλος είναι ένα σχήμα
ιδιαίτερο!
Για να το γνωρίσουμε
καλύτερα, ας δούμε τι μας
λέει το βιβλίο:

Τα παιδιά φτιάχνουν κύκλους
στο δάπεδο…
• Πως όμως μπορείς να
φτιάξεις έναν κύκλο;
• Τι είναι αυτό που
ονομάζουν ακτίνα του
κύκλου;
Ας δούμε πρώτα τι είναι
ακτίνα!

Ακτίνα του κύκλου
Μα φυσικά, όπως όλοι
ξέρουμε, οι ρόδες του
ποδηλάτου έχουν ακτίνες…
Αυτό ακριβώς
εννοούμε όταν
λέμε ακτίνα στα
μαθηματικά!
Πάμε να το δούμε
πιο καθαρά και
να το ορίσουμε…

Η Ακτίνα!
Να μία απλή ρόδα:
Ακτίνα της ρόδας η του κύκλου
ονομάζουμε καθεμία από τις
γραμμές που ενώνουν το κέντρο
του κύκλου με το γύρω-γύρω του
κύκλου, η αλλιώς την περιφέρεια

Πιο σωστά…
• Ακτίνα ονομάζουμε
κάθε ευθύγραμμο
τμήμα που ενώνει το
κέντρο του κύκλου με
οποιοδήποτε σημείο της
περιφέρειας του κύκλου
Και η διάμετρος;….

Διάμετρος!!!
Και τι είναι αυτό που
ονομάζουμε ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ;
Διάμετρος κύκλου:
Είναι το ευθύγραμμο
τμήμα που ΠΕΡΝΑΕΙ από
το ΚΕΝΤΡΟ του κύκλου
και έχει τα άκρα του στην
περιφέρεια του κύκλου.

Ποιες από τις παρακάτω
εικόνες δείχνουν διάμετρο;
Σωστά!!!!
Διάμετρο έχει
μόνο ο Α και ο Γ
κύκλος

• Αφού η διάμετρος μοιάζει
σαν δύο ακτίνες στη σειρά,
έχει πάντα διπλάσιο μήκος!
• Αν ένας κύκλος έχει ακτίνα
3 εκατοστά, η διάμετρός
του θα είναι…
6 εκατοστά!

Πως όμως μπορούμε να
μετρήσουμε το μήκος ενός
κύκλου;
• Και αν θέλω να ξέρω το
μήκος του κύκλου; Πόσα
δηλαδή εκατοστά η μέτρα
κτλ είναι ένας κύκλος αν
μετρήσω γύρω γύρω την
περιφέρειά του…

π.χ. 2 μέτρα
6 μ. και πάνω

Μήκος κύκλου:
• Αν θέλω να υπολογίσω το
μήκος ενός κύκλου χωρίς
να τον μετρήσω γύρω
γύρω με μια μεζούρα,
μπορώ να χρησιμοποιήσω
έναν αριθμό:…
Τον αριθμό π !!!
Ο αριθμός π είναι στην ουσία
ο αριθμός 3,14

Ο αριθμός π
• Όπως μας λέει το βιβλίο…
• Άρα μπορούμε να
χρησιμοποιήσουμε τον
αριθμό π για να βρούμε το
μήκος οποιουδήποτε
κύκλου!

Υπολογίζω το μήκος του
κύκλου
• Το μήκος ενός κύκλου το βρίσκω
πάντα πολλαπλασιάζοντας τον
αριθμό π=3,14 με την διάμετρο του
κύκλου (ή δυο φορές την ακτίνα του!)
Μήκος κύκλου:
π x διάμετρος ή
Π x 2 x ακτίνα

Βρείτε το μήκος του κύκλου!
Μήκος κύκλου Α:
Θυμηθείτε…
π = 3,14
Μήκος κύκλου Β:
π x 2 x α =
3,14 x 2 x 4 εκ. =
3,14 x 8 = 25,12 εκ!
π x δ=
3,14 x 5 εκ. = 15,7 εκ!

Τέλος!!!!

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ΄: ΘΕΜΑ ΚΥΚΛΟΣ
Πηγή: xartaetos.org

.κέντρο
χορδή
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ
διάμετρος
ακτίνα
περιφέρεια

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ
 Ένας κύκλος έχει πολλές …………… και πολλές ……………
 Ένας κύκλος έχει πολλές ακτίνες και πολλές διαμέτρους.
 Η ακτίνα είναι το ………… της …………
 Η ακτίνα είναι το μισό της διαμέτρου.
 Η διάμετρος είναι το ………….. της …………….
 Η διάμετρος είναι το διπλάσιο της ακτίνας.
΄Αρα δ=………
α = δ : 2΄Αρα α=………
δ = 2 . α

Θέλω να δω πόσο γρήγορα λύνετε
προβλήματα στα Μαθηματικά.
Ο κύριος Αντρέας αγόρασε ένα ορθογώνιο χωράφι με
μήκος 40μ. και πλάτος 30μ. Θέλει να το περιφράξει με
ειδικό σύρμα. Αναρωτιέται πόσα μέτρα σύρμα πρέπει να
αγοράσει. Μπορείτε να τον βοηθήσετε;
40μ.
30μ.
Πρέπει να βρούμε την
περίμετρο του χωραφιού:
Π= (40+30)Χ2=140 μ. ή
Π= 40+40+30+30=140μ.

Ο κύριος Δημήτρης αγόρασε ένα τετράγωνο χωράφι με
μήκος πλευράς 30μ. Θέλει κι αυτός να το περιφράξει με
ειδικό σύρμα. Πόσα μέτρα σύρμα πρέπει να αγοράσει ο
κύριος Δημήτρης;
30μ.
Π= 4Χ30=120μ.

Ο κύριος Γιώργος αγόρασε ένα εξάγωνο χωράφι με μήκος
πλευράς 30μ. Θέλει να το περιφράξει με ειδικό σύρμα.
Αναρωτιέται πόσα μέτρα σύρμα πρέπει να αγοράσει.
Μπορείτε να τον βοηθήσετε;
30μ.
Π= 6Χ30=180μ.

Ο κύριος Πέτρος όμως αγόρασε ένα παράξενο χωράφι. Το χωράφι
του Πέτρου έχει σχήμα κυκλικό και θέλει κι αυτός να το περιφράξει
με ειδικό σύρμα. Ζήλεψε φαίνεται από τους φίλους του. Το μόνο που
ξέρουμε για το χωράφι του κ. Πέτρου είναι το μήκος της ακτίνας του
όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Πώς θα βοηθήσουμε τον
κύριο Πέτρο να βρει τη λύση στο πρόβλημά του;
. 20μ.

Όνομα αντικειμένου Μήκος
Περιφέρειας
Α
Μήκος
Διαμέτρου
Β
Περιφέρεια:
Διάμετρος
Α:Β
1 Τατσιά
2 Μεγάλος Δίσκος
3 Στεφάνι
4 Πιάτο
5 Χωνί
6 Πώμα
7 Ταψί
8 Φόρμα γλυκίσματος
9 Ντέφι
10
11

Το συμπέρασμα της ημέρας
Περιφέρεια = Διάμετρος Χ 3,14

ΚΩΔΙΚΟΣ ΔΑΣΚΑΛΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ 65ο : ΒΡΙΣΚΩ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΟΥ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ
Ο κύκλος είναι μια κλειστή καμπύλη, που κάθε σημείο της απέχει
εξίσου από ένα σημείο. Το σημείο αυτό λέγεται κέντρο του κύκλου.
Ακτίνα του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει το
κέντρο με ένα σημείο του κύκλου.

Διάμετρος του κύκλου λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο
σημεία του κύκλου και περνά από το κέντρο. Η διάμετρος κόβει τον
κύκλο σε δύο ημικύκλια που είναι ίσα το ένα με το άλλο.
Ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες και άπειρες διαμέτρους.
Στον ίδιο κύκλο όλες οι ακτίνες είναι ίσες μεταξύ τους. Επίσης και όλες
οι διάμετροι είναι ίσες μεταξύ τους.
Σε κάθε κύκλο η ακτίνα, την οποία συνήθως ονομάζουμε (α), είναι το
μισό της διαμέτρου, ενώ η διάμετρος (δ) είναι διπλάσια της ακτίνας.
Άρα α = δ : 2 και δ = 2 ● α
Σε κάθε κύκλο το μέγεθος του μήκους του είναι ανάλογο με το μέγεθος
της ακτίνας του ή το μέγεθος της διαμέτρου του.
Σε κάθε κύκλο το μήκος του (Κ) είναι 3,14 φορές μεγαλύτερο από τη
διάμετρό του, ενώ αντστρόφως η διάμετρός του είναι 3,14 φορές
μικρότερη από το μήκος του.
Άρα Κ = 3,14 ● δ και δ = Κ ● 3,14
Τον αριθμό 3,14 τον ονομάζουμε πάντα αριθμό π.

Κυκλικός δίσκος λέγεται ο κύκλος μαζί με την επιφάνεια που κλείνει
μέσα του.
Για να βρω το εμβαδόν του κυκλικού δίσκου εφαρμόζω τον τύπο
ή αλλιώς Ε κυκλ. δίσκου = π ● (α ● α)
Αναρτήθηκε από ΑΓΓΕΛΟΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ στις 10:11 μ.μ.

Μήκος κύκλου
Σε κάθε κύκλο διακρίνουμε τρία στοιχεία:
το κέντρο, την ακτίνα και τη διάμετρό του.
Το μήκος ενός κύκλου είναι λίγο μεγαλύτερο από το τριπλάσιο μή-
κος της διαμέτρου του.
● Από τα αρχαία χρόνια ο Αρχιμήδης παρατήρησε ότι αν διαιρέσου-
με το μήκος οποιουδήποτε κύκλου με τη διάμετρό του, το πηλίκο
εί-
ναι πάντοτε ο αριθμός 3,14. Αυτό το 3,14 το συμβολίζουμε με το
γράμμα π.

Το π είναι ένα διεθνές μαθηματικό σύμβολο και προέρχεται από το
αρχικό γράμμα της ελληνικής λέξης «περιφέρεια». Η ακριβής τιμή
του περιλαμβάνει άπειρα δεκα-
δικά ψηφία, τα οποία δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια
σειρά!
Τα πρώτα 50 δεκαδικά ψηφία του π είναι τα εξής:
3,14159265358979323846264338327950288419716939937510
Τους τελευταίους αιώνες έχουν καταβληθεί μεγάλες προσπάθειες
για τον υπολογι-

σμό όλο και περισσότερων ψηφίων. Μέχρι στιγμής έχουν βρεθεί
περισσότερα από πέντε τρισεκατομμύρια!
Μερικά από αυτά τα ατέλειωτα δεκαδικά ψηφία
έχουν μελοποιηθεί! Εμείς καμαρώ-
νουμε που τα σχολεία του κόσμου χρησιμοποιούν στη γεωμετρία
ένα γράμμα του αλφαβήτου μας και περιμένουμε το τραγούδι στα
ελληνικά...
ΠΗΓΕΣ: Μαθηματικά Ε' τάξης, el.wikipedia.org | ΕΙΚΟΝΕΣ: Μαθηματικά
Ε' τάξης, wagle.joinsmsn.com, stavrochoros.pblogs.gr
Επιμέλεια: δάσκαλος98

ΠΩΣ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΤΟ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ;
Το μήκος της περιφέρειας του κύκλου (το μήκος από το γύρω γύρω
του κύκλου δηλαδή) μπορούμε να το βρούμε με 2 τρόπους:
Α΄ ΤΡΟΠΟΣ
Αν ξέρουμε το μήκος της διαμετρου του κύκλου,
πολλαπλασιάζουμε το π του κύκλου που είναι ΠΑΝΤΑ 3,14 με το
μήκος της διαμέτρου (δ) του κύκλου.
Δηλαδή:
Μήκος κύκλου = π Χ δ
Β΄ ΤΡΟΠΟΣ
Αν ξέρουμε το μήκος της ακτίνας του κύκλου,
πολλαπλασιαζουμε το π του κύκλου που είναι ΠΑΝΤΑ 3,14 με το
μήκος της ακτίνας (α) του κύκλου.
Δηλαδή:
Μήκος κύκλου = π Χ α

ΤΙ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΜΑΙ ΓΕΝΙΚΑ:
α) ότι η διάμετρος ενός κύκλου (δ) είναι ίση μέ δύο ακτίνες του (α). Ή
μια ακτίνα ενός κύκλου είναι ίση με τη μισή διάμετρό του.
Δηλαδή: δ= 2 Χ α
β) ότι ένας κύκλος έχει άπειρες ακτίνες (α)
γ) ότι ένας κύκλος έχει άπειρες διαμέτρους (δ)
δ) ότι ένας κύκλος έχει ΜΟΝΟ ένα κέντρο (Κ)
Αναρτήθηκε από toniap77

ΙΣΤΙΟλόγιο
προΒΛΗΜΑΤΑ ΓΕΩμετρίας
1. α)Η περίμετρος ενός τετραγώνου είναι 44 μέτρα. Να βρείτε το
εμβαδόν του.
β)Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι 64τεκ . Να βρεθεί η
περίμετρός του.
2. Ένα ορθογώνιο έχει πλάτος 4,8 μέτρα και εμβαδόν ίσο με το
εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά 12 μέτρα.Πόσο είναι το μήκος
του ορθογωνίου ;
3.Η επιφάνεια μιας αυλής 90τμ στρώθηκε με τετράγωνα πλακάκια
πλευράς 30εκ. Να βρείτε πόσα πλακάκια χρησιμοποιήθηκαν.
4. Αν η πλευρά ενός τετραγώνου είναι 4 εκ και αυξηθεί κατά 20%,
τότε να υπολογίσετε το ποσοστό που θα αυξηθεί το εμβαδόν του .
5. Σε τετράγωνο σαλόνι με πλευρά 8μ στρώθηκε τετράγωνο χαλί με
πλευρά 2,5μ . Να υπολογίσετε το εμβαδόν της ακάλυπτης
επιφάνειας.
6. Αν η πλευρά α ενός τετραγώνου διπλασιαστεί, τότε να
υπολογίσετε πόσες φορές μεγαλύτερο θα γίνει το εμβαδόν του.
7. Το κάθε τετραγωνάκι μιας σκακιέρας έχει πλευρά 4 εκ. Να
υπολογίσετε το εμβαδόν της σκακιέρας.
8. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με περίμετρο 55μ και πλευρά
ΑΓ ίση με 20μ.
Αν ΓΖ=ΗΒ =4μ και ΔΖ=ΕΗ = 7μ να βρείτε :
α) Το εμβαδόν των δυο όμοιων τριγώνων ΔΓΖ και ΕΗΒ.

β) Αν φέρω τη γραμμή ΔΕ = ΖΗ να βρεθεί το είδος του σχήματος
ΔΕΗΖ και το εμβαδόν του.
γ) Να βρεθεί το εμβαδόν του τραπεζίου ΔΕΒΓ είτε με τον τύπο είτε
με το άθροισμα του εμβαδού των σχημάτων που περιέχει.
δ) Αν το εμβαδόν του τριγώνου ΑΔΕ είναι το 40% του εμβαδού του
τραπεζίου να βρεθεί το εμβαδόν του και το ύψος του ΑΚ
9. (Και λίγα μαθηματικά για να μην ξεχνιόμαστε) Έχουμε ένα
τριψήφιο αριθμό. Αν αφαιρέσουμε από τον αριθμό το 7, τότε το
αποτέλεσμα διαιρείται με το 7. Αν αφαιρέσουμε το 8, τότε διαιρείται
με το 8. Αν αφαιρέσουμε το 9, τότε διαιρείται με το 9.
10. Το μήκος ενός ορθογώνιου παρ/γραμμου είναι 70 μ.
μεγαλύτερο απ’ το πλάτος του. Αν η περίμετρός του είναι 340 μ, να
βρεις το μήκος του ορθογώνιου παρ/γραμμου και το εμβαδό του.
11.Τριγωνικό οικόπεδο με βάση 60 μ. και ύψος 42 μ., πρόκειται ν’
ανταλλαγεί με άλλο οικόπεδο, με το ίδιο εμβαδό, αλλά σχήματος
ορθογωνίου, με βάση 40 μέτρα. Πόσα μέτρα είναι το ύψος του β΄
οικοπέδου;
12. Σ’ ένα τρίγωνο ΑΒΓ η γωνία Γ= 300
και η γωνία Α είναι
διπλάσια της Β. Πόσες μοίρες έχει η καθεμιά απ’ τις άγνωστες
γωνίες;
13.Το περιβόλι της γιαγιάς είναι ορθογώνιο. Για την περίφραξή του
χρησιμοποιήσαμε 268 πασσάλους, που τους τοποθετήσαμε ανά 2
μέτρα τον έναν απ’ τον άλλο. Το μήκος του περιβολιού είναι 148
μέτρα. Πόσο είναι το εμβαδόν του;
14. Οικόπεδο, σχήματος τραπεζίου, έχει εμβαδόν 300 τ.μ., και οι
βάσεις του είναι 40 μ. και 20 μ. αντίστοιχα. Πόσα μέτρα είναι το
ύψος του ;
15. Ένα οικόπεδο ,σχήματος τραπεζίου, έχει μεγάλη βάση 42,6 μ.
και μικρή βάση 30,4 μ.. Το ύψος του είναι 20,8 μ.. Πρόκειται να
χτιστεί μέσα σ’ αυτό ένα σπίτι ,σχήματος ορθογώνιου
παρ/γραμμου, με μήκος 18,5 μ. και πλάτος 14 μ. Πόσος χώρος θα
μείνει ακάλυπτος ;

16. Στο παρακάτω σχήμα, το εμβαδόν του χρωματισμένου
τετραγώνου είναι 64 τ.εκ.
Να βρεθεί η περίμετρος του τετραγώνου ΑΒΓΔ.
17. Ένα γραμματόσημο έχει διαστάσεις 3 εκ X 4 εκ. Ο Νίκος θέλει
να σχηματίσει ένα τετράγωνο τοποθετώντας δίπλα – δίπλα τέτοια
γραμματόσημα. Πόσα το λιγότερο γραμματόσημα θα χρειαστεί για
να σχηματίσει ένα τετράγωνο;
18.Στα παρακάτω τρίγωνα βρίσκω πόσες μοίρες είναι η γωνία που
λείπει:
α) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=40ο και γωνία Β=50ο:
_______________________________________________________
β) Ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=120ο και γωνία Β=Γ:
_______________________________________________________
γ) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=80ο και γωνία Γ=30ο:
_______________________________________________________
δ) Ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=15ο:
_______________________________________________________
ε) Ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Β=Γ:
_______________________________________________________
στ) Τρίγωνο ΑΒΓ με τρεις γωνίες ίσες:
_______________________________________________________
ζ) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=40ο και γωνία Β τριπλάσια από τη γωνία Γ:
_______________________________________________________

η) Τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=35ο και γωνία Β 20ο μεγαλύτερη από τη γωνία Α:
_______________________________________________________
19. Στο παρακάτω σχήμα βρίσκω την περίμετρο και το
εμβαδόν του:
5,5 μ.
4,5 μ. 6 μ.
1,8 μ.
20. Αγοράσαμε 75 μ. δικτυωτό σύρμα για να περιφράξουμε ένα
οικόπεδο σχήματος τετραγώνου με πλευρά 18,7 μ. Θα φτάσει το
σύρμα;
21. Ένας κλόουν κάνει το γύρο μιας κυκλικής πίστας ενός
τσίρκου 15 φορές. Πόση απόσταση διανύει ο κλόουν αν η ακτίνα
της πίστας είναι 12 μ. και ποιο το εμβαδόν της πίστας;
22. Η μητέρα έφτιαξε πίτα σ’ ένα τετράγωνο ταψί πλευράς 60
εκ. Όταν ψήθηκε η πίτα την έκοψε σε ίσα κομμάτια διαστάσεων 10
εκ. και 7,5 εκ. Πόσα κομμάτια πίτα είχε το ταψί;
23. Η γυμνάστρια στο μάθημα της γυμναστικής έκανε στο
προαύλιο ένα κύκλο ακτίνας 5 μ. Τα 20 παιδιά τοποθετήθηκαν στην
περιφέρεια του κύκλου σε ίση απόσταση το ένα από το άλλο. Πόσο
απέχει το ένα από το άλλο;
24. Ένας κήπος σχήματος ορθογώνιου παραλληλογράμμου
πλευράς 15 μ. και 9 μ. είναι στρωμένος με γρασίδι. Μέσα σ’ αυτόν
υπάρχουν δύο παρτέρια με λουλούδια, σχήματος τετραγώνου το
ένα με περίμετρο 20 μ. και τριγώνου το άλλο με βάση 8 μ. και ύψος
5 μ. Πόσα τ.μ. είναι στρωμένα με γρασίδι;
25. (και λίγη επανάληψη) Τρεις έμποροι πλήρωσαν σε μια
μεταφορική εταιρεία που μετέφερε τα εμπορεύματα τους 580 €. Ο

πρώτος είχε μεταφέρει 8 τόνους σε απόσταση 15 χιλιομέτρων. Ο
δεύτερος 5 τόνους σε απόσταση 20 χιλιομέτρων και ο τρίτος 12
τόνους σε απόσταση 10 χιλιομέτρων. Πόσα θα πληρώσει ο
καθένας για τα μεταφορικά;
26. Δύο ίσοι κύκλοι βρίσκονται μέσα σ’ ένα ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο.
Η απόσταση μεταξύ των δύο κέντρων των κύκλων είναι 8 εκατοστά.
Να βρεις την επιφάνεια του ακάλυπτου χώρου.
27. Ένα οικόπεδο σχήματος ορθογώνιου παρ/γραμμου, πουλήθηκε με
300 ευρώ το τ.μ. και κόστισε συνολικά 162.000 ευρώ. Αν το
μήκος του οικοπέδου είναι 30 μ., πόσα μέτρα είναι
το πλάτος του;
28. Τριγωνικό οικόπεδο με βάση 60 μ. και ύψος 42 μ., πρόκειται ν’
ανταλλαγεί με άλλο οικόπεδο,
με το ίδιο εμβαδόν, αλλά σχήματος ορθογωνίου, με βάση 40
μέτρα. Πόσα μέτρα είναι το ύψος του β΄ οικοπέδου;
29. Δυο αδέλφια αγόρασαν μαζί ένα οικόπεδο και πήραν από ίσο
αριθμό τετραγωνικών μέτρων. Το α΄ κομμάτι ήταν τετράγωνο με
πλευρά 20 μ. και το β΄ ήταν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος
25 μ.
Πόσα μέτρα ήταν το πλάτος το β΄ κομματιού;

30.Ενός τραπεζίου το εμβαδόν είναι 800 τ.μ., το ύψος του έχει μήκος
25 μ. και μια από τις βάσεις 24 μ. Πόσα μέτρα είναι το μήκος της
άλλης βάσης;
31.Ένας κήπος, σχήματος ορθογώνιου παρ/γραμμου, έχει περίμετρο
300 μ. .Το μήκος του είναι 10 μ. μεγαλύτερο απ’ το πλάτος του. Πόσο
είναι το μήκος και το πλάτος του κήπου και πόσα τ.μ. είναι
το εμβαδόν του;
32.Η περίμετρος ενός ισόπλευρου τριγώνου, πλευράς 20 εκ., είναι ίση
με την περίμετρο ενός τετραγώνου. Πόσα μέτρα είναι το μήκος της
πλευράς του τετραγώνου και πόσα τ.μ. είναι το εμβαδόν του;
33. Σε μια κυκλική πλατεία φυτεύτηκαν γύρω γύρω 20 δέντρα και σ’
απόσταση 6,28 μ. το ένα απ’ τ’ άλλο. Πόσα τ. μ. είναι
το εμβαδόν της πλατείας ;
Αναρτήθηκε από Στ. Καλφόπουλος
http://taxi2013.blogspot.gr/2014/03/blog-post_11.html

Με αυτό μου το μήνυμα θα ήθελα να ζητήσω ΑΠΟ
ΟΛΟΥΣ να δημιουργηθεί μία στήλη όπου θα
προτείνουμε τρόπους διδασκαλίας μαθημάτων.
Και τι εννοώ.. για παράδειγμα θέλουμε να
διδάξουμε το μήκος του κύκλου , πως θα
ξεκινάγαμε ; Mε ένα πρόβλημα , με ένα αστείο , με
αφορμή κάτι που ακούσαμε , με αφορμή το
βραδινό τρέξιμό μας στο στίβο ...
Ό καθένας να προτείνει τον δικό του προσωπικό
τρόπο και γιατί όχι να μην προτείνουμε και
κατάλληλα προβλήματα για το ξεκίνημα του κάθε
μαθήματος , προβλήματα ωραία που τα παιδιά τα
αγαπάνε και εκείνα ελκύουν!
Σαφώς θα περιμένω τις ιδέες σας και μακάρι αυτό
το μικρό μου όνειρο να γίνει μια πραγματικότητα ,
εδώ στο μικρό μας καφενείο: to mathematica!!!
Συγγραφέας:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ [
Παρ. Απρ. 01, 2011 8:14 am
]
Θέμα δημοσίευσης:
Re: Πώς θα το δίδασκες
αγαπητέ ;
Καλημέρα.
Για το μήκος του κύκλου: Ξεκινάω από μια
ιστοριούλα με πρωταγωνιστή τον Αρχιμήδη.
Ο Αρχιμήδης φαίνεται να λάτρευε τους κύκλους

(μην ξεχνάμε ότι έδωσε και την ζωή του για να
μην του χαλάσουν τους κύκλους του οι Ρωμαίοι).
Κάποια μέρα λοιπόν, ζωγράφισε έναν κύκλο στο
έδαφος (ήξερε καλά να το κάνει με ακρίβεια).
Μέτρησε την διάμετρο και την περίμετρο (έβαλε
μια κλωστή πάνω στον κύκλο ύστερα την τέντωσε
και μέτρησε το μήκος της). Προσπάθησε να βρεί
την σχέση ανάμεσα στο μήκος της περιμέτρου και
στο μήκος της διαμέτρου. Έκανε την πρόσθεση,
την αφαίρεση, τον πολ/σμό και την διαίρεση της
περιμέτρου με την διάμετρο.
Αυτό το επανέλαβε για αρκετούς κύκλους (από
πολύ μικρούς μέχρι αρκετά μεγάλους).
Παρατήρησε έκπληκτος ότι όταν έκανε την πράξη
της διαίρεσης, έβρισκε πάντα τον αριθμό 3,14
(περίπου)!!!!
Τον αριθμό αυτό 3,14 τον ονόμασε με το γράμμα
π. Αν τώρα εμείς ονομάσουμε L την περίμετρο του
κύκλου και ρ την ακτίνα του, ποιος είναι ο τύπος
που προκύπτει από αυτήν την ανακάλυψη;
Βέβαια ο Αρχιμήδης δεν σταμάτησε μόνο στο
πειραματικό μέρος, αλλά μπόρεσε και έκανε την
απόδειξη χρησιμοποιώντας τα κανονικά πολύγωνα
(και αναφέρω στους μαθητές ότι αν πάνε στην Β
Λυκείου ίσως έχουν την τύχη να πάρουν μια ιδέα
για το πως το απέδειξε)
Στη συνέχεια, αφού γίνουν δύο με τρεις
εφαρμογές στην τάξη, λέω στους μαθητές ότι
κανείς ίσως δεν γνωρίζει το ποιος ήταν ο πρώτος
που ανακάλυψε την σχέση αυτή της περιμέτρου
ενός κύκλου με την διάμετρό της, αλλά είναι

βέβαιο ότι ο Αρχιμήδης έδωσε την μαθηματική
απόδειξη.
Τέλος παρακινώ τους μαθητές να πειραματιστούν
και αυτοί στο σπίτι για να διαπιστώσουν την
αλήθεια του τύπου
L=2πρ.
Βέβαια προφορικά όταν λέω την παραπάνω
ιστορία είναι πολύ πιο "ζωντανή" από την ξερή
περίληψη που έδωσα εδώ.
Πάντως οι μαθητές εκδηλώνουν αρκετό
ενδιαφέρον. Και μάλιστα εντυπωσιάζονται όταν
τους αναφέρω την προσέγγιση που είχαν βρει οι
πρόγονοί μας για τον π χρησιμοποιώντας την
φράση: Αεί ο Θεός ο Μέγας Γεωμετρεί...
Τέλος τους λέω ότι πολύ αργότερα αποδείχθηκε
ότι ο π έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς να είναι
περιοδικός αριθμός και άρα δεν είναι ρητός.
Ιωάννου Δημήτρης
Συγγραφέας:
Γιώργος Ρίζος [ Παρ. Απρ.
01, 2011 11:52 am ]
Θέμα δημοσίευσης:
Re: Πώς θα το δίδασκες
αγαπητέ ;
irakleios έγραψε:Και τι εννοώ.. για παράδειγμα
θέλουμε να διδάξουμε το μήκος του κύκλου , πως
θα ξεκινάγαμε ; Mε ένα πρόβλημα , με ένα αστείο,
με αφορμή κάτι που ακούσαμε , με αφορμή το
βραδινό τρέξιμό μας στο στίβο ...
ΓΙΑ ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ και ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ

ΔΙΣΚΟΥ
Στο προηγούμενο μάθημα δίνω στους μαθητές (Β΄
Γυμνασίου) κάποια ερωτήματα:
Δύο ίδια τραινάκια κινούνται το ένα σε κυκλική
τροχιά με ακτίνα 2 μέτρα και το άλλο σε κυκλική
τροχιά με ακτίνα 1 μέτρο.
Αν ξεκινήξσουν ταυτόχρονα, το πρώτο κάνει έναν
πλήρη κύκλο και το άλλο δύο πλήρεις κύκλους
ποιο πιστεύετε ότι θα τερματίσει πρώτο; (Δεν ζητώ
εξήγηση, μόνο εκτίμηση διαισθητική, για να μπουν
στη διαδικασία να σκεφτούν ποια μεγέθη πρέπει
να συγκρίνουμε).
Μάς προσφέρουν μια πίτσα κυκλική με ακτίνα 30
cm με αξία 15 ευρώ και μιάμιση πίτσα με τα ίδια
υλικά, επίσης κυκλική με ακτίνα 20 cm στην ίδια
τιμή. Ποια μάς "συμφέρει" να επιλέξουμε αν ...
πεινάμε πολύ;
(Μετά από σχετικό διάλογο όπου ακούγονται
συνήθως αντικρουόμενες απόψεις,
"μαθηματικοποιούμε" το ερώτημα: Τι πρέπει να
συγκριθεί; Εύκολα (συνήθως) οδηγούμαστε στη
σύγκριση των εμβαδών. Προτείνω στους μαθητές
να σχεδιάσουν σε τετραγωνισμένο χαρτί π.χ. δύο
κυκλικούς δίσκους με ακτίνες 3 cm και 2 cm και
να συγκρίνουν τα εμβαδά τους, μετρώντας τα
τετραγωνάκια κατά προσέγγιση).
Δίνω επίσης και την εξής "ανοιχτή" εργασία:
Τυλίξτε γύρω από μερικά κυλινδρικά στερεά ένα
σπάγγο. Μετρήστε το μήκος του, δηλαδή την
περίμετρο των κύκλων. Με ένα χάρακα

υπολογίστε, περίπου, τη διάμετρό τους. Διαιρέστε
την περίμετρο με τη διάμετρο.
Συμπληρώστε έναν πίνακα, όπως ο παρακάτω:
Στερεό Περίμετρος (Γ) Διάμετρος (δ) Πηλίκο
Κούπα
Μπουκάλι
Φλυτζάνι
Βάζο

PROJECT A΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Ο ΑΡΙΘΜΟΣ «π»
ΤΑ ΠΑΙΔΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΙΔΗ:
1)ΓΙΑΝΝΟΓΛΟΥ ΜΑΡΙΑ
2)ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΔΑΝΙΟΥ
3)ΤΑΣΟΣ ΓΡΑΒΑΛΗΣ
4)ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΠΟΥΓΙΟΥΚΛΗΣ

Η σταθερά π ως την πλήρη στροφή
που κάνει ένας κύκλος διαμέτρου
μονάδας για να κυλίσει πάνω σε μια
ευθεία γραμμή.

 ο Ουαλλός
μαθηματικός Γουίλιαμ
Τζώουνς πρότεινε να
ονομαστεί σταθερά τού
Αρχιμήδους με το
ελληνικό γράμμα π,
από τη λέξη
«περιφέρεια» το 1706.

Η σταθερά π έχει
δύο πολύ βασικές
ιδιότητες . Είναι ο
μόνος άρρητος και
υπερβατικός, -όπως
λέγεται- αριθμός
που συναντάται στη
φύση.

 Το έτος 1761, ο Γιόχαν
Λάμπερτ απέδειξε ότι το
π είναι ένας άρρητος
αριθμός.
 Η δεύτερη μεγάλη
ανακάλυψη σημειώθηκε
το έτος 1882, όταν ο
Φέρντιναντ φον Λίντεμαν
απέδειξε ότι ο π είναι και
υπερβατικός αριθμός

 Ο Τζον Ουόλις, που
ήταν μαθηματικός και
κρυπτογράφος, εισήγαγε
μια νέα μέθοδο για τον
υπολογισμό του
εμβαδού του κύκλου:
επιχείρησε να
υπολογίσει κατά
προσέγγιση το εμβαδόν
ενός τεταρτοκυκλίου,
χρησιμοποιώντας
απείρως μικρά
ορθογώνια.

Έχει βρεθεί ακόμα ότι:
π 2 2 4 4 6 6 8 8...
2 1 3 3 5 5 7 7......
      

     

 Μαθηματικός: Το
π είναι αριθμός που
εκφράζει τη σχέση
ανάμεσα στην
περιφέρεια ενός
κύκλου και τη
διάμετρο του.

Φυσικός: Το π
είναι 3,1415927
συν πλην
0,000000005.
Μηχανικός: Το π
είναι περίπου 3.

Το π ήταν, είναι και θα είναι για
όλους ένα μυστήριο!

ΤΟ π ΚΑΙ Η ΠΥΡΑΜΙΔΗ ΤΗΣ GIZA
 Μια από τις
εκπληκτικότερες
αναλογίες της μεγάλης
πυραμίδας είναι ο
λόγος του ύψους της
προς τη βάση της, ο
οποίος είναι ίσος
περίπου με τον αριθμό
π.

ΤΟ π ΚΑΙ Η ΒΙΒΛΟΣ
 Υπάρχει ένα απόσπασμα
που αναφέρεται στο
θυσιαστήριο που είχε
κατασκευαστεί στο ναό
του Σολόμωντα, του
οποίου ο λόγος της
περιφέρειας προς τη
διάμετρο ισούται με 3.

ΠΡΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 Μεσοποταμία: Οι Βαβυλώνιοι χρησιμοποιούσαν
την τιμή π = 3,1623
 Αίγυπτος: Ιστορικοί αναφέρουν συχνά ότι οι
Αιγύπτιοι θεωρούσαν την τιμή του π ίση με
256/81. Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν είχαν συλλάβει
το π ως μια σταθερά. Προφανώς τους ενδιέφερε
να βρουν μόνο τη σχέση του κύκλου με το
τετράγωνο , για να είναι σε θέση να μετρούν με
ακρίβεια εκτάσεις και κτίρια.

ΚΙΝΑ, ΙΝΔΙΑ, ΑΡΑΒΙΑ
 Κίνα:Από τις αρχές
του 1ου μ. Χ. αι. ο
Liu Hsiao
χρησιμοποίησε την
τιμή π=3,1547
 Ο κινέζος αστρονόμος
Wang Fan,
μετρώντας τον κύκλο
κατέληξε στο
συμπέρασμα ότι
π=3,156Επιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.73

 ο μαθηματικός Liu
Hui, κινέζος
μαθηματικός που
ασχολήθηκε
συστηματικά με τον
υπολογισμό της
τιμής του π

 Αραβία:Ο αστρονόμος Al Kashi σε ειδική
μελέτη για την περιφέρεια του κύκλου, δίνει
για το π την τιμή π =
3,14159265358988732 , η οποία έχει λάθος
στο 13ο και 14ο ψηφίο, το οποίο πιθανώς να
οφείλεται σε λάθος κατά την αντιγραφή.
 Ινδία:ο Aryabhata χρησιμοποιεί στους
υπολογισμούς του την τιμή π =3,1623.

 Αρχιμήδης (287-212π.Χ.).
Ο ΕΛΛΗΝΙΚΟΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ
Το έργο του Κύκλου Μέτρησις είναι η
πρώτη ολοκληρωμένη μελέτη για τη
μέτρηση του κύκλου.
Ο Αρχιμήδης περιόρισε την τιμή του π στο
διάστημα 3,14084..< π < 3,14285.. Αξίζει
να σημειωθεί το ότι ο Αρχιμήδης έφτασε
σε αυτήν την προσέγγιση χωρίς τη γνώση
τριγωνομετρίας ή δεκαδικών ψηφίων.

 Κάθε κύκλος είναι ίσος
προς ένα ορθογώνιο
τρίγωνο του οποίου η
μία κάθετη πλευρά
ισούται με την ακτίνα
και η άλλη με την
περίμετρο του κύκλου.
 Και ο τύπος είναι E =
1 R ⋅ L E =πR , για L
= 2Πr.

Η ΣΠΟΥΔΑΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ π
 Στην Αμερική
γιορτάζουμε το π
κάθε 14 Μαρτίου.
Επίσης, στην
Ευρώπη την
γιορτάζουν κάθε
27/7 (αφού 22
δια 7 είναι 3,14)

 Με 11 δεκαδικά ψηφία
του π μπορεί κάποιος να
υπολογίσει ένα κύκλο που
θα χωράει μέσα του τη
Γη και το λάθος θα είναι
λιγότερο από 1 χιλιοστό.
 Με 39 δεκαδικά ψηφία
μπορεί να υπολογιστεί
κύκλος που θα χωράει
μέσα του όλο το ορατό
σύμπαν.
ΤΑ ΨΗΦΙΑ ΤΟΥ π

ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΣΗ
ΨΗΦΙΩΝ ΤΟΥ π
Τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π:
 Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί,
3 1 4 1 5 9
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω,
2 6 5 3 5 8
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον,
9 7 9
και ον, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.
3 2 3 8 4 6 2 6

 ΑΓΓΛΙΚΑ
See, I have a rhyme assisting my feeble brain, its
tasks oft-times resisting.
Βλέπεις, έχω ένα ποίημα να βοηθά, το αδύνατο
μυαλό μου που συχνά στο μόχθο αντιδρά.
-ΑΝΩΝΥΜΟΣ
ΙΣΠΑΝΙΚΑ
 Sol y luna y Mundo proclamam al Eterno
Autor del Cosmo.
(Ήλιος και Σελήνη και Σύμπαν εξυμνούν τον
Αιώνιο Δημιουργό του Κόσμο.

 ΓΑΛΛΙΚΑ
Que j’aime a faire apprendre ce nombre utile aux
sages! Immortel Archimede antique, ingrenuer,
Qui de ton jugement peut sonder la valeur?
Pour moi ton probleme eut de pareils avantages.
Αριθμό χρήσιμο θέλω να διδάξω στους σοφούς!
Αθάνατε Αρχιμήδη, αρχαίε μηχανικέ,
Ποιος τη δική σου κρίση εκτίμησε ποτέ;
Με το πρόβλημα σου ωφέλησες κι εμένα και αυτούς.
-ΑΝΩΝΥΜΟΣ

Ο ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΟΥ
ΚΥΚΛΟΥ
 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ
Ο κύκλος και το
τετράγωνο του
σχήματος έχουν το
ίδιο εμβαδόν. Παρόλα
αυτά δεν υπάρχει μια
γεωμετρική μέθοδος
που επιτρέπει να
μεταβαίνουμε από το
σχήμα στα αριστερά,
στο σχήμα στα δεξιά.

Ο «τετραγωνισμός του κύκλου» ως
μεταφορά
 Τετραγωνισμός του
κύκλου=«επιδιώκω
το ακατόρθωτο το
καταδικασμένο σε
αποτυχία»

 Τετραγωνίζω τον
κύκλο σημαίνει ότι
κατασκευάζω, με
γεωμετρική ή αλγεβρική
μέθοδο, ένα τετράγωνο με
εμβαδόν ίσο με το
εμβαδόν του κύκλου.
 Πρέπει να
χρησιμοποιηθεί μόνο
κανόνας και διαβήτης.
 Να μην πραγματοποιείται
μετά από άπειρο αριθμό
βημάτων.

 1Ο ρεκόρ: θυμήθηκε και τα
67.890 ψηφία του π.
Lu Chao 24 -χρονος φοιτητής
 2ο ρεκόρ: υπολόγισε περίπου
τα 5 τρισεκατομμύρια ψηφία
του π.
Alexander J. Yee Αμερικανός
ειδικός Η/Υ.

 Αν εκτυπώσεις ένα
δισεκατομμύριο ψηφία
του π, η παράσταση θα
έχει έκταση πάνω από
1.200 μίλια.
 Αφού ο κύκλος έχει
360 μοίρες και το π
έχει στενή σχέση με
τον κύκλο,
εξετάζουμε το 360ο
ψηφίο.
Παρατηρούμε ότι
εμφανίζεται ο
αριθμός 360 γύρω
από το 360ο ψηφίο.

ΚΩΝΟΣ
Εμβαδόν Όγκος

ΚΥΛΙΝΔΡΟΣ
ΚΥΚΛΟΣ
Περίμετρος Εμβαδόν
Ε= π*r2Περ.=2×π×ρΕπιμέλεια: Χρήστος Χαρμπής http://e-taksh.blogspot.gr σελ.89

ΣΦΑΙΡΑ
 ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ
Εμβαδόν

ΕΛΛΕΙΨΗ
Περίμετρος Εμβαδόν
E= π×r1×2

Το π είναι πανταχού παρόν στη φύση

 «Όλοι οι αριθμοί
είναι ενδιαφέροντες,
μερικοί όμως είναι
πιο ενδιαφέροντες
από άλλους και το π
είναι ο πιο ενδιαφέρων
από όλους!!»

310
53. Ï êýêëïò
¢óêçóç á
¸÷ïõìå Ýíáí êýêëï Á1 ìå áêôßíá 2ì. êáé êÝíôñï Ê.
Á1: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Á1
Á2: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Á2
Ê
2 ì.
Ìå ôï ßäéï êÝíôñï Ê êáé áêôßíá ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò êáôá 1ì. ó÷çìáôßæïõìå êýêëï Á2 ìå Á = Á2 – Á1
óõìâïëßæïõìå ôçí äéáöïñÜ ôùí ìçêþí ôïõ êýêëïõ Á1, Á2. ¸÷ïõìå Ýíáí êýêëï Â1 ìå áêôßíá 4ì. êáé
êÝíôñï Ë.
Â1: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Â1
Â2: óçìáßíåé êáé ôï ìÞêïò ôïõ Â2
Ìå ôï ßäéï êÝíôñï Ë êáé áêôßíá ìåãáëýôåñç ôçò áñ÷éêÞò êáôá 0,5ì. ó÷çìáôßæïõìå êýêëï Â2 ìå Â = Â2 – Â1
óõìâïëßæïõìå ôçí äéáöïñÜ ôùí ìçêþí ôïõ êýêëïõ Â1, Â2.
á) Íá åêôéìÞóåôå áñ÷éêÜ ôçí ó÷Ýóç ôùí Á,Â
â) Íá õðïëïãßóåôå áêñéâþò ôá Á,Â êáé íá óõìðåñÜíåôå óå ðïéá áðï ôéò äýï ðåñéðôþóåéò åß÷áìå
ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ ìÞêïõò.
Ë
4 ì.

311
Ï êýêëïò
ëýóç
á) ÌÜëëïí ðñÝðåé íá åßíáé Â ìåãáëýôåñï ôïõ Á äéüôé óôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ïé áêôßíåò åßíáé
ìåãáëýôåñåò.
â) Áðï ôéò áêôßíåò ôçò ðñþôçò ðåñßðôùóçò Ý÷ïõìå:
Ê
2 1
Ï êýêëïò Á1 Ý÷åé ìÞêïò Á1 = 3,14 ÷ 4 = Ð ÷ 4 = 4Ð = 12,56ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 2ì. êáé äéÜìåôñï 4ì.
Ï êýêëïò Á2 Ý÷åé ìÞêïò Á2 = 3,14 ÷ 6 = Ð ÷ 6 = 6Ð = 18,84ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 3ì. êáé äéÜìåôñï 6ì.
¢ñá Á = Á2 - Á1 = 6Ð - 4Ð = 18,84 - 12,56 = 6,28ì. = 2ðì.
¸÷ïõìå:
Ë
4 0,5

312
Ï êýêëïò Â1 Ý÷åé ìÞêïò Â1 = 3,14 ÷ 8 = Ð ÷ 8 = 8Ð = 25,12ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 4ì. êáé äéÜìåôñï 8ì.
Ï êýêëïò Â2 Ý÷åé ìÞêïò Â2 = 3,14 ÷ 9 = Ð ÷ 9 = 9Ð = 28,26ì. áöïý Ý÷åé áêôßíá 4,5ì. êáé äéÜìåôñï 9ì.
¢ñá Â = Â2 - Â1 = 9Ð - 8Ð = 28,26 - 25,12 = 3,14ì. = ðì.
Åßíáé ëïéðüí: Á = 6,28ì. êáé Â = 3,14ì.
Ìåãáëýôåñç áýîçóç ôïõ ìÞêïõò åß÷áìå óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç ïðïõ áõîÞóáìå ôçí áêôßíá 2ì.
êáôá 1ì. óå áíôßèåóç ìå ôçí äåýôåñç ðåñßðôùóç ðïõ áõîÞóáìå ôçí áêôßíá 4ì. êáé 0,5ì.
Ï êýêëïò
¢óêçóç â
Áíôéóôïé÷ßæù ôïõò êýêëïõò óôï ìÞêïò ôïõò.
2 åê.
4 åê.
3 åê.
MÞêïò êýêëïõ = 18,84 åê.

313
2 åê.
4 åê.
Ï êýêëïò
äéüôé ãéá ôï êýêëï ìå á = 2 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 2) åê. = 12,56 åê.
ãéá ôï êýêëï ìå á = 3 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 3) åê. = 18,84 åê.
ãéá ôï êýêëï ìå á = 4 åê. ÌÞêïò êýêëïõ = 2 ÷ ð ÷ á = (2 ÷ 3,14 ÷ 4) åê. = 25,12 åê.
3 åê.

314
Ï êýêëïò
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 22
• ¸÷åé áêôßíá 2 åê.
• ¸÷åé äéÜìåôñï 3 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 1,5 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 1 åê.
• ¸÷åé áêôßíá 2,5 åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ôåôñ. åñãáóéþí ä, óåë. 22 • • •
••

315
Ï êýêëïò
¢óêçóç ã
¸íá êëåéóôü ãÞðåäï ôïõ ìðÜóêåô Ý÷åé ó÷åäéáóôåß Ýôóé þóôå
ìå ôéò êåñêßäåò íá ó÷çìáôßæåôáé Ýíáò êýêëïò ìå äéÜìåôñï
90 ìÝôñá.
Ðüóï åßíáé ôï ìÞêïò ôïõ åîùôåñéêïý ìÝñïõò ôïõ óôá-
äßïõ;
• Ôï ìéêñüôåñï ìÞêïò åßíáé 7ì. üìùò óôçí ðëåõñÜ áõôÞ äåí
õðÜñ÷ïõí ëïõëïýäéá.
¢ñá ôï ìÞêïò ìðïñåß íá åßíáé 9ì.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã
ëýóç
Ãíùñßæù üôé:
ÌÞêïò êýêëïõ = ð ÷ ä =
= (3,14 ÷ 90) ìÝôñá = 282,6 ìÝôñá

316
¢óêçóç ä
ÐáñáôçñÞóôå ðñïóåêôéêÜ ôï ó÷Þìá.
(Óçìåßùóç, ïé áðïóôÜóåéò åßíáé óå
äåêÜäåò ÷éëéüìåôñá ð.÷. 2 = 20 ÷éëéï-
ìåôñá, 1 = 10 ÷éëéüìåôñá), êáé ó÷ç-
ìáôßóôå ìå äéáêåêïììÝíåò ãñáììÝò ôï
õðüëïéðïôùíêýêëùíðïõõðÜñ÷ïõí
óôï ó÷Þìá êáé ðñïóäéïñßóôå ôéò áêôß-
íåò ôïõò.
Ôñåéò ðïäçëÜôåò ÐÁ, ÐÂ, ÐÃ îåêéíïýí
ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ áðï ôá óç-
ìåßá Á,Â,Ã áíôßóôïé÷á, êéíïýìåíç ìå
ôçí ßäéá éëéããéþäç ôá÷ýôçôá óôéò êõ-
êëéêÝò äéáäñïìÝò ÁÔ, ÂÔ, ÃÔ.
á) Íá âñåßôå ðïéïò áðü ôïõò ðïäçëÜ-
ôåòÐÁ,ÐÂ,ÐÃèáöôÜóåéðñþôïòóôï
êïéíü ôÝñìá ôùí äéáäñïìþí äçë.
óôï óçìåßï Ô êáé ðïéüò èá äéáíýóåé
ôçí ìéêñüôåñç áðüóôáóç;´
â) Áí ï ðïäçëÜôçò ÐÁ îåêßíçóå óôéò
12:08 ôï ìåóçìÝñé êáé Ýöèáóå óôï
ôÝñìá Ô óôéò 12:27, ðüôå ðñÝðåé íá
îåêéíÞóåé Þ ðñÝðåé íá Ý÷åé îåêéíÞ-
óåé áðï ôï óçìåßï Ä Ýíáò Üëëïò
ðïäçëÜôçò ÐÄ ùóôå êéíïýìåíïò
óôçí êõêëéêÞ äéáäñïìÞ ÄÔ, ìå
ôá÷ýôçôá ßäéá ìå áõôÞí ôùí õðïëïßðùí ðïäçëÜôùí, íá öôÜóåé óôï ôÝñìá (óçìåßï Ô) ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ
óôéãìÞ ìå ôïí ðïäçëÜôç ÐÂ´;
Ï êýêëïò

317
ëýóç
Ï êýêëïò
Ãíùñßæïõìå üôé ï Áñ÷éìÞäçò
ðáñáôÞñçóå êáé áðüäåéîå üôé
“áí äéáéñÝóïõìå ôï ìÞêïò ïð-
ïéïõäÞðïôå êýêëïõ ìå ôçí äéÜ-
ìåôñü ôïõ ôï ðçëßêï åßíáé ï
áñéèìüò 3,14 ðïõ óõìâïëßæåôáé
ìå ôï ãñÜììá Ð äçë. Ð = 3,14”
¸÷ïõìå ëïéðüí ìÞêïò êýêëïõ:
äéÜìåôñï = 3,14 = Ð. ïðüôå åßíáé
ìÞêïò êýêëïõ
=
3,14 ÷ äéÜìåôñï
á) Ï êýêëïò ÁÔ Ý÷åé áêôßíá 1
êáé äéÜìåôñï 2. ¢ñá ôï ìÞ-
êïò ôïõ åßíáé 3,14 ÷ 2 = 6,28
äåê.÷éëéïìåôñá.
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñï-
ìÞò ôïõ ðïäçëÜôç åßíáé ôï
ìéóü ôïõ ðáñáêÜôù ìÞêïõò,
äçë. 6,28 : 2 = Ð = 3,14 äåê.
÷éëéüìåôñá.
Ï êýêëïò ÂÔ Ý÷åé áêôßíá 2
êáé äéÜìåôñï 4
¢ñá ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé:
3,14 ÷ 4 = 12,56 äåê ÷éëéüìåôñá
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñïìÞò ôïõ ðïäçëÜôç åßíáé ôï ìéóü ôïõ ðáñáðÜíù ìÞêïõò, äçë.
12,56 : 4 = Ð = 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá.

318
Ï êýêëïò ÃÔ Ý÷åé áêôßíá 1 êáé äéÜìåôñï 2 ïðüôå üðùò êáé óôï êýêëï ÁÔ ç äéáäñïìÞ ôïõ ðïäçëÜ-
ôç ÐÃ åßíáé: Ð = 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá.
Ðáñáôçñïýìå üôé ïé áðïóôÜóåéò ðïõ Ý÷ïõí íá êáëýøïõí ïé ôñåßò ðïäçëÜôåò ÐÁ, ÐÂ, ÐÃ åßíáé ßóåò
êáé åßíáé 3,14 äåê ÷éëéüìåôñá äçë. 31,4 ÷éëéüìåôñá = 31400 ìÝôñá.
ÅðåéäÞ êéíïýíôáé ìå ôçí ßäéá ôá÷ýôçôá èá öôÜóïõí óõã÷ñüíùò óôï óçìåßï Ô.
â) Âñßóêïõìå ôçí äéáäñïìÞ ðïõ ðñÝðåé íá äéáíýóåé ï ðïäçëÜôçò ÐÄ ðïõ êéíåßôáé óôçí êõêëéêÞ
äéáäñïìÞ ÄÔ.
Ï êýêëïò ÄÔ Ý÷åé áêôßíá 4 êáé äéÜìåôñï 8. ¢ñá ôï ìÞêïò ôïõ åßíáé 3,14 ÷ 8 = 25,12 äåê. ÷éëéüìåôñá.
Ôï ìÞêïò üìùò ôçò äéáäñïìÞò ôïõ ðïäçëÜôç ÐÄ åßíáé ôï ìéóü ôïõ ðáñáêÜôù ìÞêïõò,
äçë. 25,12 : 2 = 12,56 äåê. ÷éëéüìåôñá = 4Ð äåê. ÷éëéüìåôñá.
Ç áðüóôáóç ðïõ ðñÝðåé íá äéáíÞóåé ï ðïäçëÜôçò ÐÄ åßíáé ôåôñáðëÜóéá ôçò äéáäñïìÞò ôùí
õðïëïßðùí êáé ãéá íá öôÜóåé ôçí ßäéá ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ ìå ôïí ðïäçëÜôç ÐÂ, ï ïðïßïò Ýêáíå ôïí
ßäéï ÷ñüíï ìå ôïí ðïäçëÜôç ÐÄ äçë. 19 ëåðôÜ, ÷ñåéÜæåôáé 4 ÷ 19 = 76 ëåðôÜ ðñéí ôéò 12:27
Äçë. ðñÝðåé íá îåêéíÞóåé óôéò 11:11 áöïõ
12:27 - 00:76 = 11,51 (ðåñßåñãï áðïôÝëåóìá)
11:87 - 00:76 = 11,11
Ï êýêëïò

319
Ï êýêëïò
• Ï êüêêéíïò êýêëïò èá ÷ñåéáóôåß ãéá íá æùãñáöéóôåß 12 þñåò.
Ï ðñÜóéíïò êýêëïò èá ÷ñåéáóôåß ãéá íá æùãñáöéóôåß 1 þñá.
• Ï ðñÜóéíïò.
• Ï ðñÜóéíïò.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• Ç ðåñßìåôñïò ôïõ ôåôñáãþíïõ åßíáé ßóç ìå 4 äéáìÝôñïõò = Üñá 4 · ä
(ä: äéÜìåôñïò)
Ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ åßíáé ð · ä = 3,14 · ä
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò å
• Ôï ôåôñÜãùíï èá Ý÷åé ìåãáëýôåñç ðåñßìåôñï, áöïý 4 · ä > 3,14 · ä
Ãíùñßæù üôé ï ìéêñüò äåßêôçò ìïõ äåß÷íåé ôéò þñåò êáé ï ìåãÜ-
ëïò ôá ëåðôÜ Üñá,

320
54. ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
• Ç ðåñßìåôñïò åßíáé: 6+6+6=18åê.
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò â
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò á

321
ÐñïâëÞìáôá ãåùìåôñßáò (â)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A B
B’
Á’
Ã’
¢óêçóç á
Ôï ôñßãùíï ìå êïñõöÝò óôéò óõíôåôáãìÝíåò Á (1,1) Â (5,1) êáé Ã (3,4) ôï ìåôáôïðßæù 3
èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 èÝóåéò ðÜíù.
Ó÷åäéÜæù ôï ôñßãùíï óôçí êáéíïýñãéá ôïõ èÝóç.
ëýóç
Ôï óçìåßï Á (1,1) ìåôáêéíåßôáé 3 èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 ðÜíù êáé ãßíåôáé Á’ (1+3,1+2) äçëáäÞ Á’ (4,3).
Ôï óçìåßï Â (5,1) ìåôáêéíåßôáé 3 èÝóåéò äåîéÜ êáé 2 ðÜíù êáé ãßíåôáé Â’ (5+3,1+2) äçëáäÞ Â’ (8,3).
Ïìïßùò ôï óçìåßï Ã’ (3,4) ìåôáêéíåßôáé êáé ãßíåôáé Ã’ (3+3,4+2) äçëáäÞ Ã’ (6,6)
ÁðÜíôçóç: Ôï ôñßãùíï Á,Â,Ã åßíáé ôï íÝï ôñßãùíï ìå êïñõöÝò ôá óçìåßá Á’ (4,3), Â’ (8,3) êáé Ã’ (6,8)
Ã

322
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ä
• ÌåôáöÝñù êÜèå óçìåßï 2 ôåôñÜãùíá äåîéÜ êáé 3 åðÜíù.
Ôá íÝá óçìåßá åßíáé Á = (3, 4), Â = (6, 4), Ã = (6, 7) êáé Ä = (3, 7).
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò ã

323
¢óêçóç â
ÊáôáóêåõÜæù ïñèïãþíéï éóïóêåëÝò ôñßãùíï ÁÂÃ åôóé þóôå ÁÂ = ÁÃ. ÖÝñíù ôçí äéÜìåóï ÁÄ ôçò ÂÃ.
ÖôéÜ÷íù êýêëï ìå êÝíôñï ôï Ä êáé áêôßíá ÁÄ.
ëýóç
ÊáôáóêåõÜæïõìå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ðïõ åßíáé êáé éóïóêåëÝò, áöïý ÁÂ = ÁÃ. ÖÝñíù ôçí äéÜìåóï
ÁÄ óôçí õðïôåßíïõóá ÂÃ. ÅðïìÝíùò ôï Ä åßíáé ôï ìÝóï ôçò ÂÃ, Üñá ÃÄ = ÂÄ. ÖôéÜ÷íù êýêëï ìå
êÝíôñï ôï Ä êáé áêôßíá ôï ÁÄ. Ðáñáôçñïýìå üôé ï êýêëïò áõôüò èá äéÝñ÷åôáé áðü ôá óçìåßá Á,Â,Ã
ðïõ åßíáé ïé êïñõöÝò ôïõ ïñèïãùíßïõ êáé éóïóêåëïýò ôñéãþíïõ.
Á Â
Ã
Ä

324
ÁðÜíôçóç
Üóêçóçò óô
3.
2.
1.

Μαθηματικά Ε΄ 9.54. ΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 9.54. ΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄

Similar to Μαθηματικά Ε΄ 9.54. ΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄ (20)

More from Χρήστος Χαρμπής

More from Χρήστος Χαρμπής (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

Μαθηματικά Ε΄ 9.54. ΄΄ Προβλήματα γεωμετρίας (β) ΄΄