Μια παρουσίαση για το 1ο Κεφάλαιο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας της Α΄ Λυκείου. Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Ιστορική Αναδρομήστη Γένεση και ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

1. Νατάσα Λύρη, ΠΕ03
Πειραματικό Λύκειο Πανεπιστημίου Πατρών

3. Η μελέτη του
Φυσικός κόσμος
Χώρου Μεγάλα, Μικρά
Αντικείμενα
Έμψυχα ή Άψυχα
και των
Επίπεδων
Σχημάτων
Στερεών

4. Στο χώρο διακρίνουμε
 Επιφάνειες (2 διατάσεις)
 Γραμμές (1 διάσταση)
 Σημεία (καμία διάσταση)

5. Πρακτική Γεωμετρία
Η μελέτη των ιδιοτήτων των σχημάτων γίνεται
με τρόπο εμπειρικό ή διαισθητικό.
Η εύρεση ή επαλήθευση των ιδιοτήτων και
των σχέσεων ανάμεσα στα γεωμετρικά
σχήματα με βάση τη μέτρηση με τη βοήθεια
του διαβαθμισμένου κανόνα και του
μοιρογνωμονίου.
Η μέτρηση όμως δεν μπορεί να είναι ακριβής
και τα αποτελέσματα της δεν γενικεύονται.

6. Θεωρητική ή Ευκλείδεια
Γεωμετρία (1)
 Συνίσταται στη συστηματική χρήση της
λογικής για να θεμελιώσει τις γνώσεις μας στο
χώρο, ξεφεύγοντας από μετρήσεις και
επιμέρους συμπεράσματα.
 Οργανώνει τις υπάρχουσες γνώσεις σε ένα
σύστημα και Προσθέτει νέες γνώσεις σε
αυτές που ήδη υπάρχουν.

7. Θεωρητική ή Ευκλείδεια
Γεωμετρία (2)
 Κάθε καινούργιο αποτέλεσμα προκύπτει
από τα προηγούμενα, χρησιμοποιώντας την
διαδικασία της απόδειξης που στηρίζεται
στους κανόνες της λογικής.
 Κάποιες ιδιότητες του χώρου θεωρούνται
θεμελιώδεις (αρχικές) και μένουν
αναπόδεικτες.

8. Πρωταρχικές έννοιες
 Σημείο
έχει θέση, δεν έχει διαστάσεις
 Ευθεία
 Επίπεδο

9. 23 Ορισμοί
 Σημείο
 Γραμμή – Ευθεία
 Επίπεδο – Επιφάνεια
 Γωνία (Αμβλεία, Οξεία, Ορθή)
 Σχήμα
 Κύκλος (Κέντρο, Διάμετρος, Ημικύκλιο)
 Ευθύγραμμα σχήματα (τρίπλευρα, τετράπλευρα)
 Παράλληλες ευθείες

10. Αιτήματα (1)
 Αιτούμε από κάθε σημείο προς κάθε
σημείο να μπορεί να αχθεί ευθεία
γραμμή.
 Και κάθε ευθεία έχει άπειρα σημεία και
εκτείνεται απεριόριστα και προς τις δύο
κατευθύνσεις, χωρίς διακοπές και κενά.

11. Αιτήματα (2)
 Και με οποιοδήποτε σημείο ως κέντρο
και με οποιαδήποτε ακτίνα μπορεί να
γραφεί κύκλος.
 Και όλες οι ορθές γωνίες να είναι ίσες
μεταξύ τους.

12. Αιτήματα (3)
 Και αν μια ευθεία γραμμή τέμνει δυο
άλλες ευθείες γραμμές έτσι ώστε οι
εντός και επί τα αυτά μέρη γωνίες που
σχηματίζονται να έχουν άθροισμα
μικρότερο από δύο ορθές, αιτούμε,
όταν οι δύο ευθείες προεκταθούν
απεριόριστα, να συναντηθούν προς το
μέρος όπου σχηματίζονται οι μικρότερες
των δύο ορθών γωνίες.

13. Αξιώματα ή Κοινές έννοιες
 Πράγματα που είναι ίσα προς τρίτο είναι
και μεταξύ τους ίσα.
 Αν ίσα προστεθούν με ίσα, τότε το
άθροισμα θα είναι ίσα.
 Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα
υπόλοιπα θα είναι ίσα.
 Πράγματα που εφαρμόζουν το ένα πάνω
στο άλλο, είναι ίσα μεταξύ τους.
 Το όλον είναι μεγαλύτερο του μέρους.

14. Θεώρημα
 Κάθε νέο αποτέλεσμα που προκύπτει
από μια σειρά συλλογισμών
θεμελιωμένη στα Αξιώματα, Αιτήματα
στους Ορισμούς και στις Πρωταρχικές
έννοιες.

15. Πορίσματα
 Άμεσες συνέπειες ενός θεωρήματος.

17. Αρχαία
Αίγυπτος,
Μεσοποταμία
Οι πρώτες γραπτές
μαρτυρίες
Γεωμετρικών γνώσεων

18.  Υπολογισμός Επιφανειών και Όγκων
ακολουθώντας μια «αλγοριθμική» διαδικασία,
έναν κανόνα, ο οποίος εφαρμόζεται για
συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές.
 Τα προβλήματα που αντιμετωπίζονται είναι
εμπειρικής προέλευσης και η λύση που δίνεται
δε συνιστά λογική απόδειξη.
 Αναπτύσσονται μέθοδοι γεωμετρικών
μετασχηματισμών (σε μεμονωμένες
περιπτώσεις)

19. Η Γεωμετρία στην Αρχαία
Αίγυπτο
Μέτρηση επιφανειών
και όγκων .
Με τη μορφή κανόνων
αριθμητικής επίλυσης
στοιχειωδών
γεωμετρικών
προβλημάτων
πρακτικής σημασίας.
 Εμβαδόν:
Ορθογωνίου ,
Τριγώνου και
Τραπεζίου
 Όγκος: Κύβου,
Παραλληλεπιπέδο
υ, Πρίσμα,
Κύλινδρος,
Κόλουρης
Πυραμίδας

20.  Πάπυρος του Rhind ή
Αχμές
 Πάπυρος της Μόσχας
 Πάπυρους του Καχούν
(Kahun)
 Πάπυρος του Βερολίνου
 Μαθηματικός δερμάτινος
κύλινδρος

21. Ο πάπυρος του Αχμές
Μια συλλογή 84 προβλημάτων
Αντιγράφτηκε περίπου το 1650 π.Χ.
από ένα πρωτότυπο του 1850 π.Χ.
Τώρα φυλάσσεται ως έκθεμα στο
Βρετανικό Μουσείο Λονδίνου.
Είναι το αρχαιότερο ευρύτερα
γνωστό μαθηματικό κείμενο.

22. Ο πάπυρος της Μόσχας
Μια συλλογή 25 προβλημάτων
(εκ των οποίων πολλά είναι γεωμετρικά)
Γράφτηκε γύρω στο 1850 π.Χ.
Τώρα εκτίθεται στο Μουσείο Καλών Τεχνών
της Μόσχας.
Πρόβλημα 14:
Υπολογισμός όγκου
κόλουρης πυραμίδας
με τετράγωνη βάση

23. Οι πάπυροι του Καχούν και
του Βερολίνου
Είναι κι αυτοί του 1850
π.Χ. περίπου και
περιέχουν μαθηματικές
πράξεις και προβλήματα.
Πάπυρος του Βερολίνου

24. Μαθηματικός δερμάτινος
κύλινδρος
Γράφτηκε περί το 1650 π.Χ. στην ιερατική γραφή και
περιέχει 26 αθροίσματα μοναδιαίων κλασμάτων.
Ανακαλύφθηκε μαζί με τον πάπυρο του Rhind - το
ξετύλιγμά του υπήρξε επίτευγμα της σύγχρονης χημείας.
Φυλάσσεται από το 1864 στο Βρετανικό Μουσείο.

25. Η Γεωμετρία στην
Μεσοποταμία
Είναι δημιούργημα των Σουμέριων (3000 π.Χ.) και
των Βαβυλωνίων (2η-1η χιλιετία π.Χ.)
Μέτρηση επιφανειών και όγκων .
Ευρύτερο πεδίο γεωμετρικών αντικειμένων από τους
Αρχαίους Αιγύπτιους. Περιλαμβάνει επιπλέον:
Κανονικά πολύγωνα, κυκλικό τομέα, κόλουρο κώνο.

26. της
Γεωμετρία
ς
Ως αφηρημένης
αποδεικτικής επιστήμης
Αξιωματική προσέγγιση
της Γεωμετρίας

27. Κλασσική Ελληνική Αρχαιότητα
Η γένεση της
Αξιωματικής μεθόδου
τοποθετείται την
περίοδο της άνθησης
της Ακαδημίας του
Πλάτωνα.
Ακαδημία του Πλάτωνα (~387 π.Χ.)

28. Κλασσική Ελληνική Αρχαιότητα
Εμφανίζονται οι πρώτες
συστηματικές
γεωμετρικές πραγματείες
Ιπποκράτης ο Χίος (~470-400 π.Χ,)
Αρχαίος Έλληνας μαθηματικός.
Διακρίθηκε στη Γεωμετρία .
Θεωρείται ο κύριος εκπρόσωπος της Σχολής
της Χίου.

29. Κλασσική Ελληνική Αρχαιότητα
Τα «Στοιχεία» του
Ευκλείδη, αποτελούν
σύνοψη της μακραίωνης
ελληνικής γεωμετρικής
παράδοσης.
Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια(~ 350-270π.Χ.).
Αρχαίος Έλληνας μαθηματικός.
Δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου.
Είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας.

30. Τα «Στοιχεία» αποτελούνται
από 13 βιβλία:
 1ο - 4ο και 6ο: Επιπεδομετρία
 5ο: Θεωρία Αναλογιών
 7ο-9ο: Αριθμητικά
 10ο: Ασύμμετρα γεωμετρικά μεγέθη
 11ο -13ο: Στερεομετρία

31. Ελληνιστική Περίοδος
 Μέθοδος της εξάντλησης
για τη μέτρηση
καμπυλόγραμμων
επιφανειών και όγκων νέων
γεωμετρικών αντικειμένων.
 Η πρώτη μέθοδος για την
προσέγγιση του αριθμού π,
μεταξύ των αριθμών 310/70
και 310/71. Αρχιμήδης (287 π.Χ.-212 π.Χ.)
Αρχαίος έλληνας Μαθηματικός, Μηχανικός,
Φυσικός.
Γεννήθηκε, έζησε και πέθανε στις Συρακούσες,
την μεγάλη Ελληνική αποικία της Σικελίας.

32. Ελληνιστική Περίοδος
Θεωρία των κωνικών
τομών (βρίσκει εφαρμογή
στη Φυσική το 17ο αιώνα)
Απολλώνιος ο Περγαίος (262 π.Χ.-190 π.Χ.)
Αρχαίος έλληνας Μαθηματικός, Γεωμέτρης,
Αστρονόμος.

33. Ευρωπαϊκή Αναγέννηση

34. Αναλυτική
Γεωμετρία
Σύνθεση
Άλγεβρας-Ανάλυσης
Μελετά
τα γεωμετρικά σχήματα με
τη βοήθεια των μεθόδων
της άλγεβρας

35. Το πρώτο μισό του 17ου
Αιώνα
 Εισαγωγή της μεθόδου των
συντεταγμένων (Ντεκάρτ)
Rene Descartes (Ντεκάρτ ή Καρτέσιος)
(1596-1650)
Γάλλος Φιλόσοφος Μαθηματικός και
Επιστήμονας Φυσικών Επιστημών

36. Προβολική
Γεωμετρία
Απεικόνιση σωμάτων
στο επίπεδο

37. Το δεύτερο μισό του 17ου
Αιώνα
Girard Desargues (Ντεζάργκ) (1591-1661)
Γάλλος Μαθηματικός & Μηχανικός

38. Το δεύτερο μισό του 17ου
Αιώνα
Blaise Pascal (1623-1662)
Γάλλος Μαθηματικός, Φυσικός,
Συγγραφέας και Φιλόσοφος

39. Το δεύτερο μισό του 17ου
Αιώνα
 Μελέτη των ιδιοτήτων
των επίπεδων
σχημάτων που
παραμένουν
αναλλοίωτες κατά την
προβολή τους από ένα
επίπεδο σε άλλο.
Jean-Victor Ponselle (1788-1867)
Γάλλος Στρατηγός και Μαθηματικός

40. Διαφορική
Γεωμετρία
Εφαρμογή
των μεθόδων του διαφορικού
λογισμού στην Αναλυτική
Γεωμετρία.
Αντικείμενο μελέτης
Λείες καμπύλες, επιφάνειες
και οι μετασχηματισμοί
τους.

41. 18ος Αιώνας
 «Έρευνες για την
καμπυλότητα των
επιφανειών» (1760)
Παλιά ελβετικό φράγκο 10
τραπεζογραμματίων προς τιμήν του Euler
Leonhard Euler (1707-1783)
Ελβετός Μαθηματικός, Φυσικός.

42. 18ος Αιώνας
Με τις εργασίες του
ολοκληρώνεται η φάση
της διαμόρφωσης της
Διαφορικής Γεωμετρίας.
Gaspard Monge (Μονζ) (1746-1818)
Γάλλος Μαθηματικός, Φυσικός
Γνωστός ως δημιουργός της
παραστατικής Γεωμετρίας

43. Μη
Ευκλείδεια
Γεωμετρία
Διάκριση
ανάμεσα στην έννοια
του
«Μαθηματικού χώρου»
και του
«Φυσικού χώρου»

44. Αρχές 19ου Αιώνα
«Περί των Θεμελίων της
Γεωμετρίας» (1829)
Άρνηση του 5ου
αιτήματος του Ευκλείδη
Nikolai Ivanovich Lobadhevsky
(Λομπατσέφσκι) (1792-1856)
Ρώσος Μαθηματικός,
Εκ των θεμελιωτών της Μη Ευκλείδειας
Γεωμετρίας

45. Αρχές 19ου Αιώνα
Αντικαθιστά το 5ο αίτημα του Ευκλείδη με
το αξίωμα:
“Από σημείο εκτός ευθείας άγονται
τουλάχιστον δύο παράλληλοι στην ευθεία”
Προσαρτώντας το αξίωμα αυτό στα υπόλοιπα
αξιώματα της Γεωμετρίας περιγράφει, έναν
νέο τρισδιάστατο χώρο διαφορετικό από τον
Ευκλείδειο.

46. Αρχές 19ου Αιώνα
Στο «Παράρτημα» του
βιβλίου του πατέρα του
Φαρκάς Μπόλυαϊ
(1832)
Γιάνος Bolyai (Μπόλυαϊ) (1802-1860)
Ούγγρος Αξιωματικός Μαθηματικός,
Εκ των θεμελιωτών της Μη Ευκλείδειας
Γεωμετρίας

47. Τέλη 19ου Αιώνα
Bernhard Riemann (Μπέρναρντ Ρίμαν)
(1826-1866)
Γερμανός Μαθηματικός
Ομιλία στο πανεπιστήμιο της
Γοτίγγης:
«Περί των υποθέσεων που
αποτελούν τις βάσεις της
Γεωμετρίας»
Όπου διατυπώνει την έννοια
του γενικευμένου
μαθηματικού χώρου.
Γενικεύει την έννοια του
πολυδιάστατου χώρου με την
έννοια του απειροδιάστατου
χώρου.
Ρημάνεια Γεωμετρία
(εφαρμογή στη θεωρία της
Σχετικότητας)

48. Πηγές

49. Πηγές-Βιβλιογραφία
 Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄και Β΄ Γενικού Λυκείου,
Βιβλίο Μαθητή, ΟΕΔΒ, Αθήνα (2010).
 Ευκλείδεια Γεωμετρία Α΄ και Β΄ Γενικού Λυκείου,
Βιβλίο Καθηγητή, ΟΕΔΒ, Αθήνα (2000).

50. Πηγές- Διαδίκτυο
 http://www.greekencyclopedia.com/
 https://el.wikipedia.org/
 http://www.livepedia.gr
 https://sfrang2.wordpress.com/page/586/
 http://documentarygr.blogspot.gr/
 http://telemath.gr/
 http://apprendre-
math.info/mathematiciens/grec/historyDetail.htm
 http://blogs.sch.gr/geokasap/files/2014/12/lobache
vskian.pdf

51.  http://www.bitwisemag.com/copy/wilf/wilf3.html
 http://kostasgiannakos.blogspot.gr/2015/05/blog-
post_12.html
 http://mathcultures.weebly.com/pi940piupsilonrhoo
microniota.html
 https://ocw.aoc.ntua.gr/modules/units/?course=AR
CH105&id=1486