แบบฝึกทักษะความน่าจะเป็นเบื้องต้น

1. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
1
ครู เสวตร
บทที่ 3 ความน่ าจะเป็ น
1. กฎเกณฑ์ เบืองต้ นเกียวกับการนับ
้
่
ตัวอย่ างที่ 1 ชายคนหนึ่งมีกางเกง 3 ตัว และเสื้ อ 2 ตัว จงหาว่าเขามีวธีการในการแต่งตัวได้ท้งหมดกี่ชุด
ิ
ั
ตัวอย่ างที่ 2 ครอบครัวหนึ่งต้องการมีลูก 3 คน จงหาจานวนวิธีที่เป็ นไปได้ท้งหมดของการมีลูกของครอบครัวนี้
ั
ตัวอย่ างที่ 3 มีตวเลข 3 ตัว คือ 1 , 3 , 5 ถ้านาเลขเหล่านี้มาสร้างเลข 2 หลัก จะสร้างได้ท้งหมดกี่จานวน
ั
ั

2. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2
ครู เสวตร
1.1 กฎเกณฑ์ เกี่ยวกับการคูณ
ในการทางานอย่างหนึ่งซึ่งมี k ขั้นตอน ต่อเนื่องกัน โดยที่
ขั้นตอนที่หนึ่ง มีวธีการทางานได้ n1 วิธี
ิ
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่หนึ่ง มีวธีทางานขั้นตอนที่สองได้ n2 วิธี
ิ
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่สอง มีวธีทางานขั้นตอนที่สามได้ n3 วิธี
ิ
.
.
.
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ k  1 มีวธีทางานขั้นตอนที่
ิ
ดังนั้น
.
.
.
k
จานวนวิธีในการทางานทั้ง k ขั้นตอน เท่ ากับ
ได้
nk
วิธี
n1  n2  n3 . . . nk
วิธี
ตัวอย่ างที่ 1 สนามกีฬาแห่งหนึ่งมี 5 ประตู ชายคนหนึ่งต้องการเข้ าและออกจากสนามกีฬา
แห่งนี้จงหาว่าชายคนนี้จะมีวธีเดินเข้าและเดินออกประตูของสนามกีฬาแห่งนี้ได้กี่วธี เมื่อ
ิ
ิ
1) เดินเข้าและเดินออกประตูใดก็ได้
2) เดินเข้าและเดินออกต้องเป็ นประตูเดียวกัน
3) เดินเข้าและเดินออกต้องไม่เป็ นประตูเดียวกัน
ตัวอย่ างที่ 2 ครู คนหนึ่งมีหนังสือ แตกต่างกัน 3 เล่ม ต้องการแจกหนังสือทั้งหมดให้แก่นกเรี ยน 10 คน
ั
อยากทราบว่า จะมีวธีแจกหนังสือให้นกเรี ยนทั้งหมดกี่วธี เมื่อ
ิ
ั
ิ
1) ไม่มีเงื่อนไขใดเพิมเติม
2) ไม่แจกหนังสือซ้ าคน
่
3) มีการแจกหนังสือซ้ าคน

3. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
3
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 3 ในห้องเรี ยนห้องหนึ่งมีนกเรี ยนหญิง 20 คน และนักเรี ยนชาย 25 คน จะเลือกหัวหน้าห้อง 1 คน และ
ั
รองหัวหน้าห้อง 1 คน ได้กี่วธีถา
ิ ้
1) ตาแหน่งทั้งสองจะเป็ นใครก็ได้
2) หัวหน้าห้องเป็ นผูชายและรองหัวหน้าห้องเป็ นผูหญิง
้
้
3) หัวหน้าห้องเป็ นผูชายและรองหัวหน้าห้องเป็ นผูหญิงหรื อผูชายก็ได้
้
้
้
4) หัวหน้าห้องเป็ นผูหญิงหรื อผูชายก็ได้แต่รองหัวหน้าห้องเป็ นผูหญิง
้
้
้
ตัวอย่ างที่ 4 มีจดหมายที่แตกต่างกัน 4 ฉบับ ต้องการนาจดหมายทั้ง 4 ฉบับไปใส่ตูไปรษณี ย ์ ซึ่งมีท้งหมด 6 ตู ้
้
ั
จงหาจานวนวิธีในการทิงจดหมาย เมื่อกาหนดให้
้
1) ไม่มีเงื่อนไขเพิมเติม
2) จดหมายแต่ละฉบับต้องทิ้งซ้ าตูเ้ ดียวกัน
่
3) มีจดหมายอย่างน้อย 2 ฉบับที่ทิงในตูเ้ ดียวกัน
้
4) อาจจะมีการทิ้งซ้ าตูกนแต่จะทิ้งตูเ้ ดียวกันทั้ง 4 ฉบับไม่ได้
้ั

4. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
4
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 ต้องการสร้างจานวนที่มี 3 หลัก แต่ละหลักเลือกจากเลข 2 ,3, 5 , 6, 7 และ 9 จะสร้างได้ท้งหมด
ั
กี่จานวน เมื่อ
1) ไม่มีเงื่อนไขเพิมเติม
2) เลขแต่ละหลักไม่ซ้ ากัน
่
3) จานวนที่สร้างมีค่าน้อยกว่า 400
4) เป็ นจานวนคู่
5) เป็ นจานวนคี่และเลขแต่ละหลักไม่ซ้ ากัน
6) จานวนที่สร้างได้หารด้วย 5 ลงตัว และ มีค่ามากกว่า 500
ตัวอย่ างที่ 6 ในการคัดเลือกคณะกรรมการหมู่บานซึ่งประกอบด้วยประธานฝ่ ายชาย 1 คน ประธานฝ่ ายหญิง 1 คนกรรมการ
้
ฝ่ ายชาย 1 คน และกรรมการฝ่ ายหญิง 1 คน จากผูสมัครชาย 4 คน และหญิง 8 คน มีวธีการเลือกคณะกรรมการได้กี่วธี
้
ิ
ิ
ก. 168 วิธี
ข. 324 วิธี
ค. 672 วิธี
ง. 1,344 วิธี

5. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2.2 กฎเกณฑ์ เกี่ยวกับการบวก
ในการทางานอย่างหนึ่งมีวธีการทางานได้
ิ
แบบที่หนึ่ง มีวธีทางานได้ n1 วิธี
ิ
แบบที่สอง มีวธีทางานได้ n2 วิธี
ิ
แบบที่สาม มีวธีทางานได้ n3 วิธี
ิ
.
.
.
k
5
ครู เสวตร
แบบ (แต่ละแบบงานเสร็จโดยไม่ต่อเนื่องกับแบบอื่น )
.
.
.
แบบที่ k มีวธีทางานได้ nk วิธี
ิ
ดังนั้น จานวนวิธีในการทางานทั้ง k แบบ เท่ากับ n1  n2  n3  . . .  nk วิธี
ตัวอย่ างที่ 1 ถ้าทอดลูกเต๋ าสองลูกพร้อมกัน จงหา
1) จานวนวิธีที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋ าทั้งสองเท่ากับ 8
2) จานวนวิธีที่ผลบวกของแต้มบนหน้าลูกเต๋ าทั้งสองเท่ากับ 10
3) จานวนวิธีที่ผลรวมของแต้มบนหน้าลูกเต๋ ามากกว่า 6

6. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
6
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 2 ต้องการสร้างจานวนที่มี 3 หลัก โดยสร้างจากตัวเลข 0 , 1 , 2 , 3 , 4 หรื อ 5 โดยเลขแต่ละหลัก
ไม่ซ้ ากันจะสร้างได้ท้งหมดกี่จานวน
ั
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาจานวนของจานวนเต็มที่มี 4 หลัก ที่มีค่ามากกว่า 5,000 และหารด้วย 5 ลงตัวโดยที่
1. เลขแต่ละหลักไม่ซ้ ากัน
2. อาจมีเลขบางหลักซ้ ากันได้

7. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
7
ครู เสวตร
เพิมเติม
่
1. ถ้า p เป็ นจานวนเฉพาะบวก และ m เป็ นจานวนเต็มบวก แล้วจานวนเต็มบวกซึ่งหาร
pm ลงตัว มี m + 1 จานวน ได้แก่ p0=1 , p1 , p2 , p3 , … , pm
เช่น จานวนเต็มบวกซึ่งหาร 34 ลงตัว มี 5 จานวน คือ 30, 31 , 32, 33 ,34
จานวนเต็มที่หาร 23 ลงตัว มี 8 จานวน คือ 20,-20,21,-21,22,-22,23,-23
m
2. ถ้า A  p p m p m ... p m โดยที่ p , p  , p  ,..., p k เป็ นจานวนเฉพาะบวกที่ไม่ซ้ ากัน แล้ว จะได้ ว่า


k
จานวนของจานวนเต็มบวกซึ่งหาร A ลงตัว = (m  )( m  )( m  )...( m  )
จานวนของจานวนเต็มซึ่งหาร A ลงตัว = [( m  )( m  )( m  )...( m  )]



k






k
k
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาจานวนเต็มบวกซึ่ งหารผลคูณของ 23. 34 . 52 ลงตัว
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาจานวนของจานวนเต็มซึ่งหารผลคูณของ 32.54.7.25 ลงตัว
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาจานวนของจานวนเต็มบวก ซึ่ งหาร 2,205,000 ลงตัว
ตัวอย่ างที่ 4 มีจดหมายที่แตกต่างกัน 4 ฉบับ ต้องการทิ้งจดหมายทั้งหมดในตูไปรษณี ย ์ ซึ่งมีท้งหมด 6 ตู ้
้
ั
จะมีวธีทิ้งจดหมายกี่วธี เมื่อ
ิ
ิ
1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิมเติม
2. จดหมายแต่ละฉบับต้องไม่ทิ้งซ้ าตูกน
้ั
่
3. มีจดหมายอย่างน้อย 2 ฉบับ ที่ทิ้งในตูเ้ ดียวกัน

8. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
8
ครู เสวตร
3. อาจจะมีการทิ้งซ้ าตูกน แต่จะทิ้งตูเ้ ดียวกันทั้ง 4 ฉบับไม่ได้
้ั
3. แฟกทอเรียล n ( Factorial n )
บทนิยาม เมื่อ n เป็ นจานวนเต็มบวกหรื อศูนย์
แฟกทอเรี ยล n หมายถึง ผลคูณของจานวนเต็มบวกตั้งแต่ 1 ถึง n
แฟกทอเรี ยล n เขียนแทนด้วย n !
นันคือ n!1 2  3 ... n หรื อ n! n(n 1)(n  2) ... 3  2 1
่
หมายเหตุ กาหนดให้ 0! = 1
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาค่าของข้อต่อไปนี้
1. 3!5! = ………………………………………………………………………………….
2.
8!
3!
= ……………………………………………………………………………………
3.
10 !
9 !6 !
= …………………………………………………………………………………..
่
ตัวอย่ างที่ 2 จงเขียนผลคูณในข้อต่อไปนี้ให้อยูในรู ปแฟกทอเรี ยล
1.
10  9  8  7  6  5 = …………………………………………………………………………………..

9. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
9
ครู เสวตร
2.  n  2 n  1 n  n 1  ………………………………………………………………………….
3. n  n2  1 n2  4 n2  9  ……………………………………………………………………..
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาค่า n จากสมการต่อไปนี้
1.
n!
132
(n  2)!
3.  n  1! 
 n  2 !
63n !
(n  1)!
 n  4  !  n  5  !
4. 2  

  n  2 !  n  1!
2.
(n  4)!
 720
(n  2)!

10. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
10
ครู เสวตร
4. วิธีเรียงสั บเปลียน
่
วิธีเรี ยงสับเปลี่ยนเป็ นการนาสิ่งของจานวนหนึ่งมาเรี ยง โดยคานึงถึงตาแหน่ งเป็ นสาคัญ
วิธีเรี ยงสับเปลี่ยนมี 2 ลักษณะ คือ
4.1) วิธีเรียงสั บเปลียนแบบเส้ นตรง
่
4.1.1) วิธีเรียงสั บเปลี่ยนสิ่ งของแตกต่ างกันทั้งหมด (จัดทั้งหมด)
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่งซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด นามาเรี ยงเป็ นเส้นตรงทั้งหมดได้เท่ากับ
n!
วิธี
ตัวอย่ างที่ 1 นักเรี ยนจานวน 6 คน ยืนเข้าแถวซื้ออาหาร จะมีวธีเข้าคิวซื้ออาหารได้กี่วธี
ิ
ิ
ตัวอย่ างที่ 2 ถ้าปลูกต้นไม้ 5 ชนิดๆ ละ 1 ต้น เรี ยงเป็ นแนวตรง จะมีวธีจดได้ท้งหมดกี่วธี
ิ ั
ั
ิ
ตัวอย่ างที่ 3 ชาย 4 คน และ หญิง 5 คน มานังบนม้านัง 9 ตัวเรี ยงแถวยาว จะมีวธีการนังทั้งหมดกี่วธี เมื่อ
ิ
ิ
่
่
่
1. เพศเดียวกันนังติดกัน
2. หญิง 5 คนนังติดกัน
่
่
3. ชาย 4 คนนังติดกัน
่
4. ชายและหญิงนังสลับกัน
่

11. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
11
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 4 มีลูกบอลสีแดง 6 ลูก และ สีขาว 6 ลูก ลูกบอลแต่ละลูกไม่ เหมือนกัน ถ้าต้องการจัดลูกบอลเป็ นแถวยาว
จะจัดได้กี่วธี เมื่อ
ิ
1. ลูกบอลสลับกันทีละลูก
2. ลูกบอลสลับกันทีละ 2 ลูก
3. ลูกบอลสลับกันทีละ 3 ลูก
่
4. ลูกบอลสีเดียวกันอยูติดกัน
ตัวอย่ างที่ 5 เด็กนักเรี ยนคนหนึ่งมีหนังสือคณิ ตศาสตร์ 3 เล่ม หนังสือฟิ สิกส์ 2 เล่ม และ หนังสือเคมี 4 เล่ม
ถ้าหนังสือทุกเล่มมีความแตกต่างกัน และต้องการจัดหนังสือทั้งหมดเรี ยงแถวบนชั้นหนังสือ จะจัดได้กี่วธี เมื่อ
ิ
่
1. หนังสือวิชาเดียวกันอยูติดกัน
่
่
2. หนังสือคณิ ตศาสตร์อยูติดกัน แต่หนังสือเคมีอยูติดกันทีเดียว 4 เล่มไม่ได้

12. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
12
ครู เสวตร
่
3. หนังสือที่อยูริมทั้งสองต้องเป็ นวิชาเดียวกัน
ตัวอย่ างที่ 6 มีนกเรี ยนชาย 8 คน และนักเรี ยนหญิง 8 คน ถ้านามายืนเข้าแถวเป็ นแนวตรงจะจัดได้ท้งหมดกี่วธี เมื่อ
ั
ั
ิ
1. ไม่มีเงื่อนไขเพิมเติม
่
2. ชายหญิงยืนสลับกัน
3. ชายหญิงยืนสลับกันทีละ 2 คน

13. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
13
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 8 มีผชาย 6 คน และผูหญิง 5 คน มายืนเรี ยงแถวยาว จะมีวธีการยืนทั้งหมดกี่วธี เมื่อ
ู้
้
ิ
ิ
1. ไม่มีชายสองคนใดยืนติดกัน
2. ไม่มีหญิงสองคนใดยืนติดกัน
ตัวอย่ างที่ 9 มีมานังวางเรี ยงแถวยาวจานวน 9 ตัว ต้องการให้นาย ก. นาย ข. นาย ค. และนาย ง. นังบนม้านัง
้ ่
่
่
เหล่านี้คนละตัว จะมีวธีการนังของทั้งสี่คนกี่วธี เมื่อ
ิ
ิ
่
1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิมเติม
่
2. คนทั้งสี่คนนังติดกัน
่

14. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
14
ครู เสวตร
3. ไม่มีสองคนใดนังติดกัน
่
ตัวอย่ างที่ 10 สามีภรรยาคู่หนึ่งมีบุตรชาย 2 คน และบุตรสาว 3 คน ถ้าให้คนทั้งหมดมายืนเรี ยงแถวยาว จะมี
วิธีการยืนทั้งหมดกี่วธี เมื่อ
ิ
1. บุตรชายยืนติดกัน แต่บุตรสาวยืนแยกกันหมด
2. บุตรสาวยืนติดกัน แต่บุตรชายยืนแยกกันหมด
4.1.2) วิธีเรียงสั บเปลียนสิ่ งของ n สิ่ งแตกต่ างกันทั้งหมด นามาจัดเพียง r สิ่ ง เพื่อเรียงเป็ นเส้ นตรง ( 0  r  n )
่
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ Pn,r หรื อ
ดังนั้น
Pn , r 
n
Pr
n!
 n  r !

15. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
15
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 1 มีธงสีต่างกันอยู่ 7 สี ผืนละหนึ่งสี จงหาจานวนวิธีที่จะส่งสัญญาณโดยอาศัยสลับที่ธงทีละ 3 ผืน
เรี ยงตามแนวดิ่ง
่
ตัวอย่ างที่ 2 มีหนังสือ 10 เล่มที่แตกต่างกัน จะจัดเรี ยงบนชั้นหนังสือซึ่งมีที่วาง 4 ที่ได้กี่วธี
ิ
ตัวอย่ างที่ 3 สภานักเรี ยนประกอบด้วยกรรมการ 6 คน จะเลือกประธาน รองประธานและเลขานุการตาแหน่งละ
1 คน ทั้งสามตาแหน่งได้กี่วธี
ิ
ตัวอย่ างที่ 4 มีสามีภรรยารวม 2 คู่ ต้องการให้สามีภรรยาทั้งสองคู่น้ ี นังบนม้านังที่วางเรี ยงเป็ นแถวยาว 8 ตัว
่
่
อยากทราบว่าจะมีวธีการนังที่แตกต่างกันทั้งหมดกี่วธี เมื่อ
ิ
ิ
่
1. คนทั้งสี่คนจะนังตัวใดก็ได้
่
2. คนทั้งสี่คนต้องนังติดกัน
่
3. สามีและภรรยาแต่ละคู่ตองนังติดกัน
้ ่

16. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
16
ครู เสวตร
4. ไม่มีสองคนใดที่นงติดกัน
ั่
5. สามีภรรยาแต่ละคู่ตองนังติดกัน แต่จะต้องมีมานังว่างมาคันระหว่างคู่ท้งสอง
้ ่
้ ่
ั
่
4.1.3) วิธีเรียงสั บเปลี่ยนสิ่ งของที่มีบางสิ่ งซ้ากันแบบเส้ นตรง
ถ้ามีสิ่งของอยู่ n สิ่ง ซึ่งมีอยู่ k กลุ่ม โดยที่
กลุ่มที่ 1 มีของซ้ ากัน n1 ชิ้น
กลุ่มที่ 2 มีของซ้ ากัน n2 ชิ้น
กลุ่มที่ 3 มีของซ้ ากัน n3 ชิ้น
.
.
.
กลุ่มที่ k มีของซ้ ากัน nk ชิ้น เมื่อ
n1  n2  n3  . . .  nk  n
ดังนั้น จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยน =
n!
วิธี
n1 !n2 !n3 !...nk !
ตัวอย่ างที่ 1 มีหนังสือคณิ ตศาสตร์ที่เหมือนกันอยู่ 4 เล่ม หนังสือเคมีที่เหมือนกันอยู่ 3 เล่ม และหนังสือ
ภาษาอังกฤษที่เหมือนกัน 3 เล่ม จะมีวธีนาหนังสือทั้งหมดมาเรี ยงบนชั้นหนังสือได้ท้งหมดกี่วธี
ิ
ั
ิ

17. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
17
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 2 นาแจกันขนาดเดียวกัน 12 ใบ ซึ่งเป็ นแจกันเคลือบเงา 3 ใบ แจกันลายดอก 4 ใบ และแจกันดินเผา
5 ใบ มาเรี ยงเป็ นแถวได้กี่วธี ถ้า
ิ
1. ไม่มีเงื่อนไขเพิมเติม
่
่
2. มีแจกันดินเผาอยูริมสุดทั้งสองข้าง
่
3. มีแจกันดินเผาอยูติดกันเสมอ
่
ตัวอย่ างที่ 3 จากตัวเลข 1, 2 , 3 , 4 , 3 , 2 , 1 จะนามาสร้างเลข 7 หลักได้กี่จานวน ถ้าให้เลขคี่อยูในตาแหน่งคี่
ตัวอย่ างที่ 4 มีหนังสือคณิ ตศาสตร์ 5 เล่มเหมือนกัน เคมี 4 เล่มเหมือนกัน และฟิ สิกส์ 3 เล่มเหมือนกัน ถ้านามา
่
่
จัดเรี ยงบนชั้นหนังสือโดยให้หนังสือเคมีอยูติดกัน และหนังสือฟิ สิกส์อยูแยกกันทั้ง 3 เล่ม จะเรี ยงได้ท้งหมดกี่วธี
ั
ิ

18. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
18
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 มีตวเลข 7 ตัว ดังนี้ 1,1,2,2,2,3,4 ถ้านาตัวเลขทุกตัวมาจัดเรี ยงเป็ นจานวนที่มี 7 หลัก จะสร้างได้
ั
กี่จานวนเมื่อ
1. ไม่มีเงื่อนไขใดเพิมเติม
่
2. มีค่ามากกว่า 2 ล้าน
ตัวอย่ างที่ 6 ถ้ามีหนังสือคณิ ตศาสตร์ที่แตกต่างกัน 4 เล่ม มีหนังสือฟิ สิกส์ที่เหมือนกัน 4 เล่ม และหนังสือเคมีที่
แตกต่างกัน 3 เล่ม ถ้าต้องการจัดหนังสือทั้งหมดบนชั้นหนังสือเดียวกัน จะมีวธีการจัดทั้งหมดกี่วธีที่แตกต่าง
ิ
ิ
กัน เมื่อต้องการให้
่
1. หนังสือเล่มใดอยูที่ใดก็ได้
่
2. หนังสือวิชาเดียวกันต้องอยูติดกัน

19. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
19
ครู เสวตร
่
3. หนังสือเคมีอยูแยกกันทั้ง 3 เล่ม
ตัวอย่ างที่ 7 ชายคนหนึ่งมีตวเลขดังนี้ 1,1,1,1,2,2,2,3,3,4 เขาต้องการนาตัวเลข 4 ตัว มาเรี ยงเป็ นจานวน 4 หลัก
ั
เขาจะสร้างจานวนต่างๆได้ท้งหมดกี่จานวน
ั

20. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
20
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 8 ถ้าต้องการบรรจุคนงาน 9 คน เข้าทางานใน 3 แผนก โดยที่แผนกที่ 1 ต้องการคนงาน 2 คน แผนกที่สอง
ต้องการคนงาน 3 คน และแผนกที่สามต้องการคนงาน 4 คน แล้วจะมีวธีการบรรจุคนงานเหล่านี้ได้กี่วธี
ิ
ิ
4.2) วิธีเรียงสั บเปลียนแบบวงกลม
่
4.2.1)เรียงเป็ นวงกลมทั้งหมด (พลิกไม่ ได้)
จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยน เท่ากับ  n  1! วิธี
ตัวอย่ างที่ 1 จะมีวธีจดให้คน 7 คน นังรับระทานอาหารรอบโต๊ะกลมได้กี่วธี
ิ ั
ิ
่
ตัวอย่ างที่ 2 จะปลูกดอกไม้ 10 ชนิดที่แตกต่างกันรอบเสาธงได้กี่วธี
ิ

21. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
21
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 3 จะจัดให้ชาย 4 คน และหญิง 4 คน ยืนสลับกันเป็ นวงกลมได้กี่วธี
ิ
ตัวอย่ างที่ 4 มีชาย 6 คนและหญิง 6 คน จงหาจานวนวิธีที่
1. ชาย 6 คนและหญิง 6 คน นังรอบโต๊ะกลม
่
2. ชาย 6 คนและหญิง 6 คน นังรอบโต๊ะกลมโดยชาย 1 คนและหญิง 1 คนต้องนังติดกันเสมอ
่
่
3. ชาย 6 คนและหญิง 6 คน นังรอบโต๊ะกลมโดยชาย 1 คนและหญิง 1 คน ปฏิเสธที่จะนังติดกัน
่
่
4. ชาย 6 คนและหญิง 6 คนนังสลับกันรอบโต๊ะกลม
่

22. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
22
ครู เสวตร
5. ชาย 6 คนและหญิง 6 คนนังสลับกันรอบโต๊ะกลมทีละ 2 คน
่
6. ชาย 6 คนและหญิง 6 คนนังสลับกันรอบโต๊ะกลมทีละ 3 คน
่
7. ชาย 6 คนและหญิง 6 คน นังรอบโต๊ะกลมโดยที่ชาย 3 คนที่กาหนดให้ตองนังติดกันเสมอ
้ ่
่
เรียงเป็ นวงกลมทั้งหมด (พลิกได้)
จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยน เท่ากับ
(n  1)!
2
วิธี

23. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
23
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 นาดอกไม้ที่แตกต่างกัน 9 ดอก มาร้อยเป็ นพวงมาลัยแบบต่างๆกันได้กี่แบบ
ตัวอย่ างที่ 6 มีลูกปั ดสีแตกต่างกัน 10 ลูก จะมีวธีนามาร้อยมาลัยได้กี่วธี
ิ
ิ
ตัวอย่ างที่ 7 มีสีที่แตกต่างกัน 6 สี ต้องการทาสีบนหน้าลูกปั ดเกลี้ยงอันหนึ่ง โดยทาหน้าละสีไม่ซ้ ากัน
จะทาสีได้ท้งหมดกี่แบบ
ั
ตัวอย่ างที่ 8 มีดอกไม้ที่แตกต่างกันทั้งหมด 7 ดอก โดยในจานวนนี้มีสีแดง สี เขียวและสีอื่นๆอีก 5 ดอก ต้องการนา
่
ดอกไม้ท้งหมดมาร้อยเป็ นพวงมาลัย โดยที่ดอกไม้สีแดงและสีเขียวต้องไม่อยูติดกัน จะสามารถร้อยพวงมาลัยที่
ั
แตกต่างกันได้ท้งหมดกี่แบบ
ั
ตัวอย่ างที่ 9 ในการประชุมรอบโต๊ะกลม ผูเ้ ข้าร่ วมประชุมมีพระ 2 รู ป ฆราวาสชาย 2 คน และหญิง 3 คน จะจัดที่
นังรอบโต๊ะกลมได้กี่วธีที่ผหญิงจะต้องไม่นงติดกับพระ
ิ ู้
ั่
่

24. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
24
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 10 มีลูกแก้ว 7 ลูกซึ่งมีสีต่างกันหมด โดยมีสีแดง สีขาว สีน้ าเงิน และสีอื่นๆจานวนวิธีที่จะวางเรี ยง
ลูกแก้วเป็ นวงกลม โดย
่
1. ให้สีน้ าเงินอยูติดกับสีขาวและติดกับสีแดง
2. สีน้ าเงิน สีแดง และสีขาวจะต้องไม่ติดกัน
3. สีน้ าเงินติดกับสีขาวแต่ไม่ติดกับสีแดง
ถ้ามีสิ่งของแตกต่างกัน 2 ประเภทๆละ n สิ่ง นาสิ่งของทั้งหมดมาเรี ยงสลับกันเป็ นวงกลมประเภทละ r สิ่ง
( r หาร n ลงตัว )
จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยน เท่ ากับ
r   n  1!n!
วิธี
ตัวอย่ างที่ 11 ชาย 12 คน หญิง 12 คน นังเป็ นวงกลมได้กี่วธี ถ้า
ิ
่
1. นังสลับกันทีละ 1 คน ระหว่างชายกับหญิง
่

25. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
25
ครู เสวตร
2. นังสลับกันทีละ 2 คน ระหว่างชายกับหญิง
่
3. นังสลับกันทีละ 3 คน ระหว่างชายกับหญิง
่
4. นังสลับกันทีละ 4 คน ระหว่างชายกับหญิง
่
5. นังสลับกันทีละ 6 คน ระหว่างชายกับหญิง
่
4.2.2) ถ้ านาสิ่ งของแตกต่ างกัน
n
สิ่ ง เลือกมา
r
จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยน เท่ากับ
สิ่ ง เรียงเป็ นวงกลม (แบบพลิกไม่ ได้ ) และ
n!
(n  r )!r
วิธี
ตัวอย่ างที่ 12 เด็กนักเรี ยน 6 คน จัดนังโต๊ะกลมที่สามารถนังได้ 4 คน ได้กี่วธี
ิ
่
่
0r n

26. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
26
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 13 มีกระถางต้นไม้ที่แตกต่างกันจานวน 10 กระถางต้องการนากระถางต้นไม้เหล่านี้มาจัดเป็ นวงกลม
รอบเสาธงจานวน 6 กระถางสามารถจัดได้แตกต่างกันทั้งหมดกี่แบบ
ตัวอย่ างที่ 14 มีดอกไม้สีแตกต่างกันจานวน 10 ดอก ถ้าต้องการนาดอกไม้เหล่านี้เพียง 8 ดอก มาร้อยเป็ น
พวงมาลัย จะสามารถทาได้ท้งหมดกี่แบบที่แตกต่างกัน
ั
4.2.3) การนาสิ่ งของ n สิ่ ง ที่มีบางสิ่ งซ้ากันมาเรียงเป็ นวงกลม
ถ้ามีสิ่งของ n สิ่ง โดยแบ่งเป็ น k กลุ่ม โดยที่
กลุ่มที่ 1 มีของซ้ ากัน n1 ชิ้น
กลุ่มที่ 2 มีของซ้ ากัน n2 ชิ้น
กลุ่มที่ 3 มีของซ้ ากัน n3 ชิ้น
.
.
.
กลุ่มที่ k มีของซ้ ากัน nk ชิ้น เมื่อ ห.ร.ม. ของ n1, n2 , n3 ,. . . , nk เท่ากับ 1
จานวนวิธีเรียงสั บเปลี่ยนเท่ ากับ
(n  1)!
n1 !n2 !n3 !...nk !
วิธี

27. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
27
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 15 ต้องการทาสีขาว ม่วง และน้ าเงิน ในช่องวงแหวนที่มี 6 ช่อง โดยทาสีขาว 2 ช่อง สีม่วง 3 ช่อง
และสีน้ าเงิน 1 ช่อง จะได้กี่วธี
ิ
ตัวอย่ างที่ 17 ต้องการทาสีแดงและสีน้ าเงิน ในช่องวงแหวนที่มี 6 ช่อง โดยทาสีแดง 2 ช่องและสีน้ าเงิน 4 ช่อง
จะสามารถทาได้ท้งหมดกี่วที่แตกต่างกัน
ั
ี
5. วิธีจดหมู่ ( Combination )
ั
จานวนวิธีจดหมู่ของสิ่งของที่แตกต่างกัน
ั
เขียนแทนด้วย
Cn , r
หรื อ
Cn , r 
ดังนั้น
n
Cr
หรื อ
n!
(n  r )!r !
ตัวอย่ างที่ 1 จงหาค่าของข้อต่อไปนี้
1. ถ้า
P n  56
8,
แล้วจงหา 

10 

n 
n
r
n
สิ่ง ให้มีหมู่ละ
r
สิ่ง เมื่อ
rn
เท่ากับ
n!
r !(n  r )!

28. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
2. ถ้า 

n
  35
3 
3. กาหนด
แล้วจงหา
28
Pn ,5
3P2n 4,3  2Pn4,4
แล้วค่าของ
 n  1


 2 
เท่ากับเท่าใด
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาจานวนวิธีท้งหมดที่จะเลือกสลาก 4 ชิ้น จากสลากที่มีท้งหมด 10 ชิ้น
ั
ั
ครู เสวตร

29. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
29
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 3 ชายคนหนึ่งมีเสื้อที่แตกต่างกัน 10 ตัว และกางเกงที่แตกต่างกัน 6 ตัว เขาต้องการนาเสื้อ 5 ตัว และ
กางเกง 3 ตัวไปต่างจังหวัด เขาจะมีวธีเลือกเสื้อและกางเกงทั้งหมดกี่วธี
ิ
ิ
ตัวอย่ างที่ 4 บนเส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งมีจุดคงที่อยู่ 8 จุดจงหา
1. จานวนคอร์ดของวงกลม ซึ่งมีจุดเหล่านี้เป็ นจุดปลายทั้งสองข้างของคอร์ด
2. จานวนสามเหลี่ยมที่มีจุดเหล่านี้เป็ นจุดมุมของสามเหลี่ยม
ตัวอย่ างที่ 5 กาหนดรู ปสิบสองเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งแนบในวงกลมวงหนึ่ง จงหา
1. จานวนเส้นทแยงมุมของรู ปสิบสองเหลี่ยมนี้

30. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
30
ครู เสวตร
่
2. จานวนเส้นทแยงมุมซึ่งไม่ผานจุดศูนย์กลางของวงกลม
ตัวอย่ างที่ 6 มีเส้นตรงที่ขนานกัน 2 ชุด ชุดที่หนึ่งมี 5 เส้น ชุดที่สองมี 8 เส้น ถ้าให้เส้นตรงที่ขนานกันทั้งสองชุดตัด
กันจะเกิดรู ปสี เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดกี่รูป
ตัวอย่ างที่ 7 มีจานวนจริ งบวก 5 จานวน จานวนจริ งลบ 4 จานวน จงหาจานวนวิธี เลือกจานวนจริ งออกมา 3 จานวน
โดยให้ผลคูณของจานวนจริ งทั้งสามเป็ น
1. จานวนบวก
2. จานวนลบ

31. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
31
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 8 จากอาจารย์ 4 คน นักเรี ยนชาย 5 คน นักเรี ยนหญิง 2 คน ต้องการ เลือกตัวแทน 4 คน โดยให้
มีอาจารย์ 1 คน และนักเรี ยนหญิงอย่างน้อย 1 คน จานวนวิธีเลือกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 20
ข. 80
ค. 100
ง. 204
ตัวอย่ างที่ 9 ครู 3 คน พานักเรี ยน 6 คน ไปเข้าค่ายวิชาการซึ่งต้องพักในบ้านหลังหนึ่งที่มีหองนอน 3 ห้อง
้
่
่
่
ห้องเล็กอยูได้ 2 คน ห้องกลางอยูได้ 3 คน และห้องใหญ่อยูได้ 4 คน ถ้าต้องการให้ครู 3 คน พักใน
ห้องเดียวกัน จะมีการแบ่งคนเข้าพักได้ท้งหมดกี่วธี
ั
ิ
ตัวอย่ างที่ 10 ในการแข่งขันฟุตบอล คณะกรรมการจัดการแข่งขันจัดให้มีการแข่งขันแบบพบกันหมด ปรากฏว่า
จะต้องจัดให้มีการแข่งขันทั้งหมด 36 นัด การแข่งขันนี้มีทีมที่เข้าร่ วมการแข่งขันทั้งหมดกี่ทีม
ก. 6
ข. 8
ค. 9
ง. 12

32. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
32
ครู เสวตร
6. ความน่ าจะเป็ น
1. การทดลองสุ่ ม (Random Experiment) หมายถึง การทดลองหรื อการกระทาซึ่งทราบผลลัพธ์ที่ได้จากการทดลอง
นั้นอาจจะเป็ นอะไรได้บาง แต่ไม่สามารถระบุได้ชดว่า ในการทดลองแต่ละครั้งจะเกิดผลลัพธ์อะไร จากผลลัพธ์
้
ั
ทั้งหมดเหล่านั้น
2. แซมเปิ ลสเปซ (Sample Space) หมายถึง เซตของผลลัพธ์ที่เราสนใจ ซึ่งอาจจะเป็ นได้ท้งหมดจากการทดลองสุ่ม
ั
เขียนแทนด้วย S
ตัวอย่ างที่ 1 โยนเหรี ยญ 1 เหรี ยญ 1 ครั้ง สนใจหน้าของเหรี ยญที่เกิดขึ้น
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 2 โยนเหรี ยญ 2 เหรี ยญ 1 ครั้ง สนใจหน้าของเหรี ยญทั้งสองที่เกิดขึ้น
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 3 โยนลูกเต๋ า 1 ลูก 1 ครั้ง สนใจดูแต้มของลูกเต๋ าที่เกิดขึ้น
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 4 โยนลูกเต๋ า 1 ลูก 1 ครั้ง สนใจว่าแต้มที่เกิดขึ้นเป็ นจานวนคู่หรื อจานวนคี่
S=
n(S) =

33. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
33
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 โยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองลูกที่เกิดขึ้น
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 6 โยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมของแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองลูก
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 7 สุ่มหยิบตัวอักษร 2 ตัว จาก A, B, C, D
S=
n(S) =
ตัวอย่ างที่ 8 กาหนดให้ S แทนแซมเปิ ลสเปซ จงหา n(S) จากการทดลองสุ่มในข้อต่อไปนี้
1) โยนลูกเต๋ า 1 ลูก และเหรี ยญ 1 เหรี ยญ จานวน 1 ครั้ง
n(S) =
2) โยนลูกเต๋ า 2 ลูก และเหรี ยญ 3 เหรี ยญ จานวน 1 ครั้ง
n(S) =

34. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
34
ครู เสวตร
3) จัดหนังสือ 5 เล่ม บนชั้นเป็ นแถวยาวอย่างสุ่ม
n(S) =
3. เหตุการณ์ หมายถึง เซตของผลลัพธ์ที่เราให้ความสนใจจากการทดลองสุ่ม
ใช้ E แทนเซตของเหตุการณ์ ดังนั้น E  S
่
ตัวอย่ างที่ 9 ในการโยนลูกเต๋ า 1 ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจแต้มที่ได้จากการโยนจะได้วา
1) S =
2) n(S) =
3) ถ้า A แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็ นจานวนคู่แล้ว
A=
n(A) =
4) ถ้า B แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็ นจานวนเฉพาะแล้ว
B=
n(B) =
่
ตัวอย่ างที่ 10 ในการโยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 ครั้ง ถ้าสนใจแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองลูกจะได้วา
S=
1) n(S) =

35. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
35
ครู เสวตร
2) ถ้า A แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวม 8 แล้ว
A=
n(A) =
3) ถ้า B แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองเป็ นจานวนคี่แล้ว
B=
n(B) =
่
ตัวอย่ างที่ 11 ในการโยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองลูก จะได้วา
1) S =
2) ถ้า A แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มเป็ นจานวนที่ 2 หารลงตัว
A=
n(A) =
3) ถ้า B แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมแต้มเป็ นจานวนเฉพาะ
B=
n(B) =
4) ถ้า C แทนเหตุการณ์ที่ผลรวมแต้มน้อยกว่า 2
C=
n(C) =

36. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
36
ครู เสวตร
ยูเนียนของเหตุการณ์ (Union of Events)
ถ้าให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ และ E1 , E2 เป็ นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่ E1 S , E2 S แล้ว ยูเนียนของ
เหตุการณ์ E1 และ E2 คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกของ E1 หรื อ E2 ซึ่งเขียนแทนด้วย E1  E2
ตัวอย่ างที่ 1 ในการโยนลูกเต๋ า 1 ลูก 1 ครั้ง สนใจแต้มของลูกเต๋ า จงหา
1. S =
2. ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็ นจานวนคู่
และ E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มเป็ นจานวนเฉพาะ
E1 =
E2 =
E1  E2 =
่
ตัวอย่ างที่ 2 ในการโยนลูกเต๋ า 2 ลูก 1 ครั้ง สนใจผลรวมแต้มของลูกเต๋ าทั้งสองลูก จะได้วา
1. S =
2. ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มมากกว่า 8
และ E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ผลรวมของแต้มเป็ นจานวนที่หารด้วย 3 ลงตัว
E1 =
, n(E1) =

37. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
37
E2 =
ครู เสวตร
, n(E2) =
E1  E2 =
, n(E1  E2) =
อินเตอร์ เซกชันของเหตุการณ์ (Intersection of Events)
ถ้าให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ และ E1 , E2 เป็ นเหตุการณ์สองเหตุการณ์
่ ั
อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ E1 และ E2 คือเหตุการณ์ที่ประกอบด้วย สมาชิกที่อยูท้งเหตุการณ์ E1 และ เหตุการณ์ E2
ซึ่งเขียนแทนด้วย E1  E2
ตัวอย่ างที่ 3 โยนลูกเต๋ า 1 ลูก และเหรี ยญ 1 เหรี ยญ ใน 1 ครั้ง สนใจแต้มของลูกเต๋ าและหน้าของ
่
เหรี ยญที่ข้ ึน จะได้วา
1. S =
2. ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่เหรี ยญขึ้นหน้าหัว
E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มของลูกเต๋ าเป็ นจานวนคี่
และ E3 แทนเหตุการณ์ที่ได้แต้มของลูกเต๋ าเป็ นจานวนเฉพาะ
E1 =
n(E1) =
E2 =
n(E2) =
E3 =
n(E3) =

38. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
38
ครู เสวตร
E1  E2 =
n(E1  E2) =
E1  E3 =
n(E1  E3) =
E2  E3 =
n(E2  E3) =
คอมพลีเมนต์ ของเหตุการณ์ (Complement of Events)
ถ้าให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ และ E เป็ นเหตุการณ์ แล้ว คอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ E คือ เหตุการณ์ที่
ประกอบด้วย ผลลัพธ์ใน S แต่ไม่เป็ นผลลัพธ์ใน E เขียนแทนด้วย E
ผลต่ างของเหตุการณ์ (Difference of Events)
ถ้าให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ และ E1 , E2 เป็ นเหตุการณ์สองเหตุการณ์ แล้ว ผลต่างของ E1 และ E2 หมายถึง
เหตุการณ์ที่ประกอบด้วยผลลัพธ์ใน E1 แต่ไม่เป็ นผลลัพธ์ใน E2 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ E1- E2
ตัวอย่ างที่ 4 กล่องใบหนึ่งมีลูกปิ งปองสีเขียวหมายเลข 1, 2, 3 หมายเลขละ 1 ลูก และมีลูกปิ งปองสีแดง
่
หมายเลข 1, 2, 3, 4 หมายเลขละลูก สุ่มหยิบลูกปิ งปอง 1 ลูก จากกล่องใบนี้จะได้วา
1. S =

39. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
39
ครู เสวตร
2. ให้ E1 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกปิ งปองสีเขียว
และ E2 แทนเหตุการณ์ที่ได้ลูกปิ งปองหมายเลขที่เป็ นจานวนคู่
E1 =
E2 =
E1 - E2 =
E2 – E1 =
ความน่ าจะเป็ นของเหตุการณ์ (Probability of Events)
บทนิยาม ถ้า S เป็ นแซมเปิ ลสเปซซึ่งเป็ นเซตจากัด และผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ถ้า E เป็ นเหตุการณ์ เราจะ ใช้สญลักษณ์ P(E) แทนความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์ E ซึ่ง
ั
P(E) เท่ากับ อัตราส่วนของจานวนผลลัพธ์ของ E ต่อจานวนผลลัพธ์ของ S
n( E )
ดังนั้น P  E  
n( S )
หมายเหตุ ถ้า E เป็ นเหตุการณ์ใดๆแล้ว 0  P(E)  1
1. P(E) = 0 ก็ต่อเมื่อ E =  หมายความว่า เหตุการณ์ที่กล่าวถึงไม่มีโอกาสเกิดขึ้นได้
2. P(E) = 1 ก็ต่อเมื่อ E = S หมายความว่า เหตุการณ์ที่กล่าวถึงเกิดขึ้นอย่างแน่นอน

40. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
40
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 5 โยนเหรี ยญ 4 เหรี ยญ 1 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็ นของเหตุการณ์
1. E1 แทนเหตุการณ์ที่เหรี ยญขึ้นทั้ง 4 เหรี ยญขึ้นหน้าเหมือนกัน
2. E2 แทนเหตุการณ์ที่เหรี ยญขึ้นหัว 2 เหรี ยญ และขึ้นก้อย 2 เหรี ยญ
3. E3 แทนเหตุการณ์ที่เหรี ยญขึ้นหัวมากกว่าก้อย
4. E4แทนเหตุการณ์ที่เหรี ยญขึ้นก้อยอย่างน้อย 1 เหรี ยญ
ดังนั้น n(S) =
1. E1 =
n(E1) =
P(E1) =
2. E2 =
n(E2) =
P(E2) =
3. E3 =
n(E2) =
P(E3) =
4. E4 =
n(E4) =
P(E4) =
ตัวอย่ างที่ 6 ความน่าจะเป็ นที่รางวัลเลขท้าย 2 ตัว ของสลากกินแบ่งรัฐบาลจะออกเลขทั้งสองหลักเป็ นเลขเดียวกัน
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 1
ข.
ค.
ง.
10
2
10
1
9
2
9

41. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
41
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 7 ให้ S เป็ นเซตของจุด 10 จุดบนวงกลมวงหนึ่ง ซึ่งมีสมบัติดงนี้
ั
่
เมื่อลากเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด 2 จุดใดๆใน S จะมีเพียง 3 เส้นเท่านั้นที่ผานจุดศูนย์กลางของวงกลมวงนี้
ถ้า สร้างรู ปสามเหลี่ยมโดยเลือกจุด 3 จุดใน S มาเป็ นจุดยอดของรู ปสามเหลี่ยม ความน่าจะเป็ นที่จะ ได้รูป
สามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 0.1
ข. 0.2
ค. 0.3
ง. 0.4
ตัวอย่ างที่ 8 ถ้าหยิบบัตรจากกล่องพร้อมกัน 3 ใบ จากบัตรหมายเลข 0 - 9 ความน่าจะเป็ นที่จะได้บตรหมายเลขคู่
ั
ทุกใบและมีแต้มรวมกัน มากกว่า 10 มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1
ก. 12
1
ข. 15
1
ค. 20
1
ง. 30
ตัวอย่ างที่ 9 สลากชุดหนึ่งมี 10 ใบ มีหมายเลข 1-10 ถ้าต้องการหยิบสลาก 8 ใบพร้อมกัน โดยให้ได้หมายเลข
่
ที่มากกว่า 5 อยู่ 3 ใบเท่านั้น แล้วความน่าจะเป็ นที่จะหยิบสลากดังกล่าวมีคาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 2
ข.
ค.
ง.
9
8
15
2
35
11
156

42. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
42
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 10 ในจานวนเด็ก 12 คน มีเด็กถนัดซ้าย 4 คน ถ้าเลือกเด็ก 5 คน โดยการสุ่มจากเด็กเหล่านี้ แล้วความน่าจะ
่
เป็ นที่จะมีเด็กถนัดซ้ายอยูในกลุ่มที่เลือกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
35
99
47
99
63
99
92
99
สมบัตบางประการของความน่ าจะเป็ น
ิ
1. ความน่าจะเป็ นของยูเนียนของเหตุการณ์
ให้ S เป็ นแซมเปิ ลสเปซ A , B เป็ นเหตุการณ์ใดๆ และ A  S , B  S , C  S
1. P  A  B   P  A  P  B   P  A  B 
2. P  A  B  C   P  A  P  B   P C   P  A  B   P  A  C   P  B  C   P  A  B  C 
2. ความน่าจะเป็ นของผลต่างและคอมพลีเมนต์ของเหตุการณ์ ถ้า A , B เป็ นเหตุการณ์ในแซมเปิ ลสเปซ S แล้ว
1. P  A  B   P  A  B  P  B   P  A  B 
2. P  A  P  A  1
3.
4.
5.
 

P   A  B    P  A  B 

P   A    P  A

P  A  B   P  A  B 

43. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 1 กาหนดให้
1.
B
เป็ นเหตุการณ์ โดยที่
P( A) 
3
8
,
P( B) 
1
2
และ
P(A  B) 
1
4
จงหา
P( A  B) 
3.
และ
ครู เสวตร
P( A  B ) 
2.
A
43
P( B  A) 
4. P  A 
ตัวอย่ างที่ 2 ความน่าจะเป็ นที่นกเรี ยนคนหนึ่งสอบผ่านวิชาคณิ ตศาสตร์เท่ากับ
ั
เท่ากับ


ถ้าความน่าจะเป็ นในการสอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชาเท่ากับ




และสอบผ่านวิชาภาษาอังกฤษ
แล้ว ความน่าจะเป็ นที่เขาจะสอบ
ผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.








ตัวอย่ างที่ 3 ความน่าจะเป็ นที่สมศักดิ์สอบผ่านวิชาคณิ ตศาสตร์และวิชาเคมีเป็ น
ถ้าความน่าจะเป็ นที่เขาจะสอบผ่านทั้งสองวิชานี้เป็ น
วิชาเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 3
ข.
ค.
ง.
4
31
36
1
9
5
36
1
4
2
3
และ
4
9
ตามลาดับ
่
แล้ว ความน่าจะเป็ นที่เขาจะสอบไม่ผานทั้งสอง

44. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
44
ครู เสวตร
ตัวอย่ างที่ 4 กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีดา 4 ลูก และสีแดง 6 ลูก ถ้าสุ่มหยิบลูกบอลออกจากกล่องใบนี้มา 3 ลูก
ความน่าจะเป็ นที่จะได้ลูกบอลสีละอย่างน้อยหนึ่งลูก เท่ากับเท่าใดข้อใดต่อไปนี้
ก. 0.78
ข. 0.80
ค. 0.82
ง. 0.84
ตัวอย่ างที่ 5 ข้าวสารบรรจุถุงแล้วกองหนึ่งประกอบด้วย ข้าวหอมมะลิ 4 ถุง ข้าวเสาไห้ 3 ถุง ข้าวขาวตากแห้ง 2 ถุง
และข้าวบัสมาตี 1 ถุง สุ่มหยิบข้าวจากกองนี้มา 4 ถุง ความน่าจะเป็ นที่จะได้ขาวครบทุกชนิด เท่ากับข้อใด
้
ต่อไปนี้
ก.
ข.
ค.
ง.
4
35
3
35
5
5
1
4

45. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
45
ครู เสวตร
ทฤษฎีบททวินาม ( Binomial Theorem )
บทนิยาม ถ้า
a
และ b เป็ นจานวนจริ ง และ n เป็ นจานวนเต็มบวก แล้ว
a
b
n
n n1
a b
1
an
n
ab n
n 1
1
n n 2 2
a b
2
n n 3 3
a b
3
...
n n r r
a b
r
...
bn
หมายเหตุ
1. จานวน
n n n
  ,  ,  ,…,
 0  1   2 
n
 
n
ที่ปรากฏในการการะจาย  a  b n เหล่านี้
เรี ยกว่า สั มประสิ ทธิ์ทวินาม ( binomial coefficient )
2. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินาม = 

n

0
+

n
+
1 
n
 +…+
2
n
n
 = 2
n
3. จานวนพจน์ที่ได้จากการกระจายมี n  1 พจน์
4. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของพจน์ทุกพจน์ที่ได้จากการกระจาย  mx  ky n เมื่อ
n
m  k 
5. ถ้า 

n n
 
r  k 
แล้ว
rk n
ตัวอย่ างที่ 1 ในข้อต่อไปนี้ จงกระจายโดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
1.  3a  2b 4 
2.  x  2 y 5 
m,k
เป็ นค่าคงตัวใดๆ คือ

46. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
การหาพจน์ ใดพจน์ หนึ่งจากการกระจาย  a  b 
จากบทนิยาม พจน์ที่ r คือ
ถ้าให้
หรื อ
Tr
แทน พจน์ที่
r
46
n
 n  n ( r 1) r 1
b

a
 r  1
ดังนั้น
 n  n ( r 1) r 1
Tr  
b
a
 r  1
n
Tr 1    a n r b r ……………… 
r 
ตัวอย่ างที่ 2 จงหาพจน์ที่ 6 จากการกระจาย  3x  2 y 10
ตัวอย่ างที่ 3 จงหาพจน์กลางของการกระจาย  x  2 y 6
ตัวอย่ างที่ 4 จงหาพจน์กลางจากการกระจาย  2x  y 9
ครู เสวตร

47. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 5 จงหาพจน์ที่ 9 จากการกระจาย
ตัวอย่ างที่ 6 จงหาสัมประสิทธิ์ของ
ตัวอย่ างที่ 7 จงหาพจน์ที่ไม่มี
x6
47
ครู เสวตร
10
 x 2
  
2 x
ในการกระจาย 2  3x 12
8
x
จากการกระจาย  2x  1 


ตัวอย่ างที่ 8 จงหาสัมประสิทธิ์ของ

y 3
x
จากการกระจาย
y
2
 2 y3

9

48. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 9
 1
1 
จาการกระจาย  x 3  2 
2x 

6
จงหา
1. สัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ x 5
5
2. สัมประสิทธิ์ของพจน์ x
ตัวอย่ างที่ 10 จากการกระจาย  2x  y 7 จงหา
1. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ทวินามทุกพจน์
2. ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของทุกพจน์
48
ครู เสวตร

49. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 11 จากการกระจาย
  
x  
x

49
ครู เสวตร
m
ถ้าสัมประสิทธิ์ทวินามของพจน์ที่ 4 และ
พจน์ที่ 13 มีค่าเท่ากัน จงหาพจน์ที่ไม่มี x ของการกระจาย
ตัวอย่ างที่ 12 ในการกระจาย  xy  2 y 3  พจน์ที่มีผลบวกของกาลังของ
มีสมประสิทธิ์เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ั
ก. – 488
ข. 56
ค. 70
ง. 1,120
8
ตัวอย่ างที่ 13 ถ้า a และ
แล้ว
ก.
ข.
ค.
ง.
a
b
เป็ นสัมประสิทธิ์ของ
เท่ากับข้อใดต่อไปนี้












b
x
2
และ
x
4
x
และกาลังของ
ของการกระจาย
เท่ากับ -4
y
10
1 
 4
x  2
2x 

ตามลาดับ

50. บ้ านเลขที่ 70 ซอยข้ างอาเภอ ซอย1 ถ.ตากสินมหาราช
ต.ท่าประดู่ อ.เมือง จ.ระยอง โทร. 084-1284087
ตัวอย่ างที่ 14 กาหนดให้
n
เป็ นจานวนเต็มบวก ซึ่งทาให้พจน์ที่ไม่มี
คือพจน์ที่ 9 สัมประสิทธิ์ของ
ก. 25.5
ข. 26.5
ค. 27.5
ง. 28.5
ตัวอย่ างที่ 15 ในการกระจาย
50
x15
ครู เสวตร
x
ในการกระจาย
ในการกระจายนี้เท่ากับเท่าใด
1
  1   10  
 
 
5
 
2 3 




55
จานวนพจน์ที่เป็ นจานวนเต็มเท่ากับ
ข้อใดต่อไปนี้
ก. 5 พจน์
ข. 6 พจน์
ค. 7 พจน์
ง. 8 พจน์
ตัวอย่ างที่ 16 ข้อใดต่อไปนี้ไม่ ถูกต้อง
ก. สัมประสิทธิ์ทุกพจน์จากการกระจาย  a  b 5 รวมกันแล้วเท่ากับ 32
ข. ถ้า Pn,5  20Pn ,3 แล้ว n มีค่าเท่ากับ 12
ค. 10  + 10  = 11 
     
     
5   4 
ง.  (5i  3)
5
i 1
2
5 
 970
 2 1 
x 

2x 

n