201442

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=142&t=44444
Επιμέλεια : xr.tsif Σελίδα 1
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 2014
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
4ο ΘΕΜΑ

Έλυσαν οι
Δημήτρης Ιωάννου, Γιώργος Βισβίκης, Μπάμπης Στεργίου,
Χρήστος Κάναβης, Γιώργης Καλαθάκης, Παναγιώτης
Γκριμπαβιώτης, Περικλής Γιαννουλάτος Κώστας Ζυγούρης,
Χρήστος Ντάβας, Γιώργος Ρίζος Ηλίας Καμπελής, Νίκος
Φραγκάκης,Αντώνης Βρέντζος, Γιώργος Γαβριλόπουλος,
lafkasd, Περικλής Γιαννουλάτος
Επιμέλεια : Τσιφάκης Χρήστος
Αφιερωμένο σε όλους τους μαθητές της Α Λυκείου
Τεύχος 2ο

ΘΕΜΑ 3762
Δίδεται τετράγωνο  . Έστω E το συμμετρικό του Bως προς το και Z είναι
το μέσο της A . Να αποδείξετε ότι :
α)
AB
H
2
  . (Μονάδες 8)
β) τα τρίγωνα A H  και Z είναι ίσα. (Μονάδες 9)
γ) Η Z είναι κάθετη στην AE. (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Οι ευθείες H και ABείναι παράλληλες ως κάθετες στην ευθεία A και αφού
στο τρίγωνο EBAτο σημείο  είναι μέσο της πλευράς EB κι αυτό λόγω
συμμετρίας των B,E ως προς το , θα είναι και το H μέσο της πλευράς EA.
Άμεση συνέπεια
AB
H / / (1)
2
  .
β) Επειδή και
A AB
Z
2 2

   λόγω της (1)
θα είναι : H Z (2) . Τα ορθογώνια
τρίγωνα AHκαι Zέχουν : A ως
πλευρές του τετραγώνου και λόγω της (2)
HZ. Δηλαδή τις κάθετες πλευρές τους
ίσες άρα θα είναι ίσα .
γ) Επειδή τώρα τα ορθογώνια τρίγωνα
AH Zείναι ίσα θα έχουν και όλα τα
υπόλοιπα αντίστοιχα στοιχεία τους ένα προς ένα ίσα και άρα ˆ ˆ (3) .

Όμως στο ορθογώνιο τρίγωνο AH οι οξείες του γωνίες έχουν άθροισμα 0 90 ,
δηλαδή ˆ ˆ 900 , οπότε λόγω της (3) έχουμε : ˆ ˆ 900 (4).
Αν τώρα πούμε T το σημείο τομής της Z με την AEστο τρίγωνο THτο
άθροισμα δύο γωνιών του είναι λόγω της (4) 0 90 και άρα η γωνία του 0 HT  90 και
έτσι ZAE.
ΘΕΜΑ 3765
Δίνεται τραπέζιο AB ( AB||) με A ˆ  900 , 2AB και B 3ˆ . Φέρνουμε
BE που τέμνει τη διαγώνιο A στο M . Φέρνουμε την  που τέμνει τη
διαγώνιο B στο N . Να αποδείξετε ότι:
α) ˆ  450 . (Μονάδες 6 )
β) Το τετράπλευρο ABE είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 6 )
γ)
1
MN
4
  . (Μονάδες 7 )
δ) AEB. (Μονάδες 6 )
Λύση:
α)
B 3ˆ
AB|| B ˆ 1800 4ˆ 1800
 
        .
ˆ  450 .
β) Το τετράπλευρο ABE
είναι ορθογώνιο (έχει τρεις
γωνίες ορθές), κι επειδή
|| 2AB , θα είναι ABE  E

, οπότε το ABE είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Τα σημεία , ως σημεία
τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ABE και του ορθογωνίου ABE
αντίστοιχα, θα είναι μέσα των πλευρών A, AE του τριγώνου AE. Άρα:
1 1 1 1
MN E MN
2 2 2 4
 
      
 
.
δ) Επειδή ˆ  450 το τρίγωνο BE είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, οπότε
BE E E. Άρα το ορθογώνιο ABE είναι τετράγωνο, που σημαίνει ότι οι
διαγώνιοι του τέμνονται κάθετα, δηλαδή AEB.
ΘΕΜΑ 3771
Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου  και δύο χορδές του A και B οι οποίες
τέμνονται στο σημείο E. Φέρουμε EZAB. Να αποδείξετε ότι:
α) Οι γωνίες A και B είναι ίσες. (Μονάδες 7 )
β) Τα τετράπλευρα AEZ και EZB είναι εγγράψιμα. (Μονάδες 9)
γ) Η  είναι διχοτόμος της γωνίας Z. (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Οι γωνίες A και B είναι ίσες,
επειδή είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο
τόξο  .
β) Είναι AˆBAˆB900(ως εγγεγραμμένες σε
ημικύκλιο). Επομένως τα τετράπλευρα AEZ
και EZB είναι εγγράψιμα, επειδή έχουν τις

απέναντι γωνίες τους ορθές.
γ) Από τα εγγράψιμα τετράπλευρα AEZ και EZB, έχουμε AE  Z1 και
BE  Z2 .
Αλλά, AE BEZ1  Z2 , οπότε η είναι διχοτόμος της γωνίας Z.
ΘΕΜΑ 3775
Δίνεται παραλληλόγραμμο με O το κέντρο του. Από την κορυφή  φέρουμε το
τμήμα K κάθετο στην A και στην προέκτασή του προς το K θεωρούμε σημείο
E, ώστε KE K. Να αποδείξετε ότι:
α)
B
EO
2

 . (Μονάδες 8 )
β) Η γωνία EB είναι ορθή. (Μονάδες 8 )
γ) Το τετράπλευρο AEB είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Το τρίγωνο OE είναι ισοσκελές, επειδή η 
είναι μεσοκάθετος του E.
Άρα:
B
EO O
2

   .
β) Η  είναι διάμεσος του τριγώνου EB
και είναι ίση με το μισό της B. Άρα η
γωνία EB είναι ορθή.
γ) / / (είναι κάθετες στην ίδια
ευθεία E) A B(απέναντι πλευρές
παραλληλογράμμου) και A AE(είναι σημείο της μεσοκαθέτου του τμήματος

E).
Άρα, το τετράπλευρο AEB είναι ισοσκελές τραπέζιο ή παραλληλόγραμμο.
Αν AA(δηλαδή τα σημεία ,K συμπίπτουν), τότε AE|| B, οπότε το AEB θα
είναι ορθογώνιο.
Πιστεύω πως έπρεπε να δοθεί στην εκφώνηση ότι η διαγώνιος A δεν είναι
κάθετη στην πλευρά A του παραλληλογράμμου. Δηλαδή το (γ) ερώτημα δεν
ισχύει για οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο AB γι’ αυτό έχω την εντύπωση ότι
είναι προβληματικό.
ΘΕΜΑ 3777
Δύο κύκλοι 1 (O, ) , 2 (K, ) εφάπτονται εξωτερικά στο N. Μια ευθεία ( ) εφάπτεται
στους δύο κύκλους στα σημεία A,Bαντίστοιχα. Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων
στο N τέμνει την ( ) στο M. Να αποδείξετε ότι:
α) Το M είναι μέσον του AB. (Μονάδες 7)
β) 0 OMK  90 . (Μονάδες 9)
γ) 0 ANB 90 . (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Τα εφαπτόμενα τμήματα από το Mστους κύκλους είναι ίσα , άρα
MAMN,MBMN, οπότε MAMB άρα το M είναι το μέσον του AB.
β) Οι MO,MK ως διχοτόμοι των εφεξής παραπληρωματικών γωνιών AMN,BMN,
είναι μεταξύ τους κάθετες και το ζητούμενο έπεται .

γ) Από το (β) και τα ισοσκελή
τρίγωνα MAN,MNB, έχουμε ότι
0
ANBANMMNBA1 B1 90 .
Σχόλιο
Άλλος τρόπος λύσης μπορεί να
προκύψει αν δούμε ότι οι γωνίες
A1,B1 είναι χορδής και εφαπτομένης
και ότι τα τετράπλευρα
AMNO,MNKB είναι εγγράψιμα , κτλ.
ΘΕΜΑ 3781
Έστω κύκλος O,  και E το μέσον του τόξου του B. Μια ευθεία ( ) εφάπτεται
στο κύκλο στο E. Οι προεκτάσεις των OB,Oτέμνουν την ευθεία ( ) στα σημεία
Z και H αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι :
α) B/ /ZH.
β) OZOH.
γ) Αν B μέσον της OZ.
i. να αποδείξετε ότι
ZOH
BEZ
4
 .
ii. να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ZOH.
Λύση:

α) Αφού το E είναι το μέσον του τόξου του B , τότε η ακτίνα OE είναι και
απόστημα της χορδής B δηλαδή OE B.
Έτσι B/ /ZH ως κάθετες στην OE
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα OEZ και
OEH είναι ίσα επειδή έχουν:
OE κοινή πλευρά και BOE  OE ως
επίκεντρες που βαίνουν στα ίσα τόξα
BE και E άρα OZOH
γ) Αν B μέσον της OZ τότε:
i. Επειδή OZOHτο τρίγωνο OZH
είναι ισοσκελές οπότε ZH 1 .
Στο ορθογώνιο τρίγωνο OEZ η EB είναι διάμεσος στην υποτείνουσα, δηλαδή
OZ
EB BZ
2
  .
Έτσι το τρίγωνο BEZ είναι ισοσκελές με BEZ  Z 2 και OEύψος και διχοτόμος.
Όμως η BEZ είναι γωνία χορδής BE και εφαπτομένης ZE , οπότε
 
ZOH
BE ZOE 2 ZOH BEZ BEZ BEZ BEZ 3
2 2 2 4
      
 o
.
ii.  
 
 
3 ZOH
2 Z 4
4
  .
Από το ισοσκελές τρίγωνο BEZ είναι:
1,3 4 3
Z H ZOH 180 2Z ZOH 180 ZOH 180 ZOH 120
2
              .

   
ZOH 120 120
1 , 4 Z H 30
4
  
     .
ΘΕΜΑ 3784
Δίνεται τετράπλευρο AB με AB. Αν E,,Z,K,N,M είναι τα μέσα των
AB, B,,A,B και A αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο EMZN ρόμβος.
β) Η EZ είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος MN.
γ) KEZ.
δ) Τα ευθύγραμμα τμήματα K,MN,EZ διέρχονται από ίδιο σημείο.
Λύση:
α) Είναι   A
EN/ / 1
2

,
αφού το EN ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου AB .
  A
MZ/ / 2
2

 , αφού το MZ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του τριγώνου A .
 
B B A A
EM EM 3
2 2
   
   .

Από 1,2,3 συμπεραίνουμε ότι το EMZN ρόμβος.
β) Από τον ρόμβο είναι: ENEM και ZN ZM, δηλαδή η EZ είναι μεσοκάθετος
του ευθύγραμμου τμήματος MN αφού τα E,Z ισαπέχουν από τα άκρα του MN.
γ) Είναι
B
KE/ /
2

 και
B
Z / /
2

  γιατί τα KE,Z ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών
των τριγώνων AB και B αντίστοιχα. Έτσι KEZ.
δ) Από τις παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το KEZ είναι
παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι του K και EZ διέρχονται από το μέσο O της
EZ.
Όμως το μέσο O της EZ είναι και κέντρο του ρόμβου, οπότε και η MN διέρχεται
από το Ο.
ΘΕΜΑ 3787
Έστω A,B,συνευθειακά σημεία με AB2B. Θεωρούμε το μέσο M της .
Προς το ίδιο ημιεπίπεδο κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα AB,BE. Να
αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο AEBείναι τραπέζιο ( A|| BE ). (Μονάδες 9)
β) Τα τρίγωνα MB,EBείναι ίσα. (Μονάδες 8)
γ) Το τετράπλευρο MBE είναι εγγράψιμο. (Μονάδες 8)
Λύση:
α) 0 0 BA EB  60 BE  60 .
Άρα 0 A BE  60 κι επειδή είναι εντός εναλλάξ,
τότε A|| BE (ABE), οπότε το τετράπλευρο AEB είναι τραπέζιο.

β) AB 2BMBB  EB.
Τα τρίγωνα MB,EB έχουν τη B κοινή,
MBBE και 0 BM EB  60 . Άρα
είναι ίσα.
γ) Από την ισότητα των τριγώνων
προκύπτει ότι 0 EB MB 90 (στο
ισόπλευρο τρίγωνο κάθε διάμεσος είναι
και ύψος). Το τετράπλευρο MBE είναι
λοιπόν εγγράψιμο, αφού δύο από τις
απέναντι γωνίες του είναι ορθές.
ΘΕΜΑ 3789
Δίνεται παραλληλόγραμμο AB. Θεωρούμε το μέσο M της πλευράς A και E
κάθετος από τη κορυφή  στην ευθεία MBE MB . Η παράλληλη από την
κορυφή  στην ευθεία MBx / /MB τέμνει τις B και Eστα σημεία N,Z
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο MBN είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το σημείο Z είναι μέσον του ευθυγράμμου τμήματος E.
γ) E.
Λύση:
α) Είναι MB/ /Zκαι M/ /BZ, οπότε το MBN είναι παραλληλόγραμμο.
β) Από το MBN είναι:
A A B B
BN M
2 2
   
    δηλαδή τοN είναι μέσο του B .

Στο τρίγωνο BEτο N είναι μέσο του B και NZ/ /BEάρα το Z είναι μέσον του
ευθυγράμμου τμήματος E.
γ) Είναι Z/ /ME και MEE άρα και ZE.
Στο τρίγωνο E το Z είναι ύψος και διάμεσος οπότε είναι ισοσκελές, δηλαδή
E.
ΘΕΜΑ 3793
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο AB. Κατασκευάζουμε εξωτερικά του τριγώνου τα
ισόπλευρα τρίγωνα , A. Ονομάζουμε Z το σημείο τομής των ευθυγράμμων
τμημάτων B,E . Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα AE και AB είναι ίσα και να γράψετε τα ζεύγη των ίσων γωνιών .
(Μονάδες 10)
β) Τα τετράπλευρα AZ,  είναι εγγράψιμα. (Μονάδες 10)
γ) Η γωνία BZ είναι 120o . (Μονάδες 5)

Λύση:
α)Αφού τρίγωνα , A ισόπλευρα, έχουν ίσες πλευρές και γωνίες 60o .
Έχω:
ˆ 60 ˆ ˆ

   
 
        
 
     
O
AE AB
A A AE AB
EA A BA

 . Άρα 1 2 ˆ ˆ και 1 2
ˆ ˆ .
β) Το τετράπλευρο AZ είναι εγγράψιμο αφού
1 2 ˆ ˆ (η πλευρά
 φαίνεται από τις
απέναντι κορυφές, υπό
ίση γωνία). Όμοια το
τετράπλευρο .
γ) Αφού AZ είναι εγγράψιμο
τότε 2
ˆ  ˆ  60o Z (ίση με απέναντι
εσωτερική).
Όμοια, 1
ˆ  ˆ  60o Z E . Συνεπώς 1 2
ˆ  ˆ  ˆ 120o BZ Z Z .
ΘΕΜΑ 3796
Δίνονται οξυγώνιο τρίγωνο AB,BE,Z τα ύψη από τις κορυφές B, αντίστοιχα
και H το ορθόκεντρο του τριγώνου. Επίσης δίνονται τα M,N,K, μέσα των
ευθυγράμμων τμημάτων AB, A,H,BH αντίστοιχα.
α) Να αποδείξετε ότι:
i. MN K . (Μονάδες 6)

ii.
2
  
AH
NK M . (Μονάδες 6)
iii. Το τετράπλευρο MNK είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 6)
β) Αν το O είναι το μέσο της B, να αποδείξετε ότι ˆ 90o MOK . (Μονάδες 7)
Λύση:
α) Στο τρίγωνο  ,
AB AH
M (1)
BH 2

  
 
M o
o


.
Όμοια στα τρίγωνα AH, AB,BH,BH έχω:
(2)
2

AH
KN , (3)
2


B
MN , (4)
2

 
B
K , (5)
2

BH
KO , (6)
2


B
OM .
i) Από(3),(4)MN K (7) .
ii) Από (1),(2)
2
   
AH
NK M .
iii) Λόγω της (7) το τετράπλευρο MNK είναι παραλληλόγραμμο.

Αφού H ορθόκεντρο, AH B. Όμως K B. Άρα AH K. Είναι AH M,
συνεπώς MK.
Επομένως το παραλληλόγραμμο MNK έχοντας μια ορθή γωνία, είναι ορθογώνιο.
β) Αφού BH  B (H ορθόκεντρο ) και ισχύουν οι (5),(6) έχω MOOK δηλαδή
ˆ 90o MOK (όπως β. iii) ή γωνίες με πλευρές κάθετες).
ΘΕΜΑ 3798
Δίνεται ορθή γωνία xOˆy 900 και , σημεία των ημιευθειών y,Ox αντίστοιχα,
με OAOB. Η ( ) είναι ευθεία που διέρχεται από την κορυφή O και αφήνει τις
ημιευθείες y,Ox στο ίδιο ημιεπίπεδο. Η κάθετη από το σημείο A στην ( ) την
τέμνει στο και η κάθετη από το σημείο B στην ( ) την τέμνει στο E. Να
α) Τα τρίγωνα OA και  είναι ίσα. (Μονάδες 7)
β) ABE E. (Μονάδες 7)
γ)
2


E
MN , όπου , είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των E
και . (Μονάδες 7)
δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. (Μονάδες 4)
Λύση:
Α) Τα ορθογώνια τρίγωνα OA και έχουν OAOB και   (είναι οξείες και
έχουν τις πλευρές τους κάθετες). Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα.
β) Από την ισότητα των τριγώνων προκύπτει
ότι: O  BE και OE  A.

Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε
ABE E.
γ) Από την υπόθεση η  είναι
διάμεσος του τραπεζίου AEB, οπότε:
BE
2 2
  
 
A E
MN .
δ) Το τρίγωνο ME είναι ορθογώνιο
επειδή από το ερώτημα (γ), η διάμεσός του είναι
ίση με το μισό της πλευράς που αντιστοιχεί.
Η  είναι όμως μεσοκάθετος του E, οπότε το
τρίγωνο είναι και ισοσκελές.
Σε περίπτωση που είναι AB|| E , τότε το AEB
είναι ορθογώνιο, τα σημεία ,
συμπίπτουν και είναι MN  A. Τότε όμως το
τετράπλευρο ANM είναι τετράγωνο, οπότε
N NE
2

   
E
MN .
Παρατήρηση:
Το AEB δεν είναι απαραίτητα τραπέζιο.
Αν  AB, τότε N O και
MAN,MNEB τετράγωνα. Οπότε
2

   
E
MN N NE

ΘΕΜΑ 3800
Θεωρούμε ισόπλευρο τρίγωνο ABκαι τα σημεία  και E των πλευρών  και
A αντίστοιχα, ώστε να είναι AE. Έστω O το σημείο τομής των  και .
i) BEˆ  ˆA. (Μονάδες 10)
ii) ˆ120o BO . (Μονάδες 10)
β) Να εξετάσετε αν το τετράπλευρο AEO είναι εγγράψιμο. Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας. (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Αφού το τρίγωνο ABείναι ισόπλευρο έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες με 60o .
Τα τρίγωνα BE και A είναι ίσα (κριτήριο ΠΓΠ) γιατί έχουν:
E A (υπόθεση), ˆ 60 ˆ o A και B A.
i) Επομένως 1 2 ˆ ˆ δηλ. το i. και 1 2
ˆ  ˆ  (1) o    .
ii) Είναι, 2
ˆ  60  ˆ  60  (2) o o o    .
Στο τρίγωνο BO ,
(1),(2)
1 1
ˆ 180  ˆ  ˆ 180  ˆ60  ˆ 120 o o o o O     .
β) Είναι 1 2
ˆ  ˆ 120o O O ως κατακορυφήν.
Στο τετράπλευρο AEO έχω
2
ˆ  ˆ  60 120 180 o o o A O και 2
Aˆ,Oˆ είναι
απέναντι γωνίες του, άρα είναι εγγράψιμο.

ΘΕΜΑ 3806
Δίνεται το τετράγωνο AB. Στη διαγώνιο A θεωρούμε σημεία I,O,H ώστε
AI  IOOH  H. Αν E, και Z τα μέσα των πλευρών , AB και B
αντίστοιχα ,να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο OZE είναι τετράγωνο.
β)
4


A
ZH .
γ) Το τετράπλευρο IZH είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, με Z  2ZH .
Λύση:
(α) Στο τρίγωνο  η OZ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα / /
2

AB
OZ .
Επίσης / /
2
 
AB
E (διότι το E είναι μέσον του  ). Άρα
OZ / /  E και συνεπώς το τετράπλευρο
OZE είναι παραλληλόγραμμο. Και αφού η
γωνία ZE είναι ορθή, άρα είναι
ορθογώνιο. Επίσης έχουμε:
2 2

   
B AB
Z OZ . Άρα το πιο πάνω
ορθογώνιο, είναι τετράγωνο, αφού έχει δύο
διαδοχικές πλευρές ίσες.
(β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο OZ, η ZH
είναι διάμεσος στην υποτείνουσα. Άρα
1 1 1
.
2 2 2
ZH  O  A 
4
A
.

(γ) Στο τρίγωνο BA, η Z ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του. Άρα / /
2

 
A
Z .
Όμως
2. 2. 2( ) 2.
2 2 2 2 2
    
    
A AO O IO OH IO OH IH
IH .
Δείξαμε λοιπόν, ότι Z / /  IH και άρα το τετράπλευρο IZH είναι
παραλληλόγραμμο. Φέρνουμε τώρα την διαγώνιο B του δοσμένου τετραγώνου
και αφού το O είναι το μέσον της μιας διαγωνίου του άρα θα είναι το κέντρο του
τετραγώνου και άρα και η άλλη διαγώνιος θα
περάσει από το O. Επίσης είναι γνωστό ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου τέμνονται
καθέτως. Τώρα στο ορθογώνιο τρίγωνο BO η ZH ενώνει τα μέσα δύο πλευρών
του. Άρα ZH / /BO και άρα η ZH είναι κάθετη στην O και άρα το
παραλληλόγραμμο ZHI είναι ορθογώνιο, αφού έχει μια γωνία ορθή. Τέλος,
έχουμε: Z  IH (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) : Όμως
2

 
A
IH
O  2ZH (διότι από το (β) ερώτημα είδαμε ότι
2


O
ZH ). Συμπεραίνουμε
λοιπόν ότι Z  2ZH .
ΘΕΜΑ 3808
Θεωρούμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο AB( 0 A90 ), τα μέσα ,E,Z των πλευρών του
και το ύψος του AK. Έστω  το σημείο τομής των AZ και E.
i) Το τετράπλευρο AZE είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 8)
ii)
B
A E
4

    . (Μονάδες 7)
γ) Αν επιπλέον είναι ˆ 300 ,
i) να βρείτε τη γωνία AZB. (Μονάδες 5)

ii) να αποδείξετε ότι
B
BK
4

 . (Μονάδες 5)
Λύση:
α) i) Αφού ,E,Z είναι τα μέσα των πλευρών AB, A,B αντίστοιχα, του τριγώνου
AB, το τετράπλευρο AZE είναι παραλληλόγραμμο, κι επειδή έχει μία γωνία
ορθή, θα είναι ορθογώνιο.
α. ii) Είναι από το προηγούμενο ερώτημα AZ E (διαγώνιοι ορθογωνίου). Οπότε:
E
A E
2

    . Αλλά
B B
E A E
2 4
 
       .
β. i)
0 A 90
ˆ 300 B 600

    ,
AZ ZB (διάμεσος ορθογωνίου
τριγώνου). Άρα: 0 ZAB B 60 .
Δηλαδή το τρίγωνο ABZ είναι
ισόπλευρο, οπότε 0 AZB 60 .
β. ii) Το ύψος AKτου
τριγώνου AB είναι
διάμεσος του ισοπλεύρου τριγώνουABZ. Άρα:
BZ B
BK
2 4

  .
ΘΕΜΑ 3810
Σε τραπέζιο AB(AB/ /) ισχύει ABA. Αν η διχοτόμος της γωνίας A
τέμνει την B στοE και την προέκταση της  στο Z, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές. (Μονάδες 7)
β) Το E είναι το μέσο του B . (Μονάδες 10)

γ) Η Eείναι διχοτόμος της γωνίας  του τραπεζίου. (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Αφού A1 A2  Z (εντός εναλλάξ) ,έπεται ότι το
τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές.
β) Είναι : ZZAABAB.
Επομένως το ABZ είναι παραλληλόγραμμο κι αφού οι
διαγώνιες διχοτομούνται , το E είναι το μέσο του B .
γ) Αφού το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές και η E
είναι διάμεσος , θα είναι και διχοτόμος της γωνίας 
του τραπεζίου .
ΘΕΜΑ 3811
Δίνεται τραπέζιο AEB, με A/ /BE και O το μέσον της E. Θεωρούμε σημείο Z
στην AB τέτοιο ώστε AZ  A και BZ BE.
Αν η γωνία AZ  ,
(α) να εκφράσετε την γωνία AZ σε
συνάρτηση με την  .
(β) Να εκφράσετε την γωνία EZB σε
συνάρτηση με την  .
(γ) Να αποδείξετε ότι οι OA και OB είναι
μεσοκάθετοι των τμημάτων Z και ZE αντίστοιχα.
Λύση:
(α) Το τρίγωνο AZ είναι ισοσκελές από την υπόθεση και άρα AZ  ZA. Από
το τρίγωνο AZ έχουμε:

180 2 180 90
2
             o o AZ Z A AZ AZ

  .
(β) Το τρίγωνο EZB είναι και αυτό ισοσκελές από την υπόθεση και άρα
EZB  ZEB. Όμως από το τρίγωνο ZEB έχουμε:
  ˆ 180 2 180  ˆ o o EZB ZEB B EZB B , (ΣΧΕΣΗ 1).
Αλλά ˆ  ˆ 180o A B ( ως εντός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων A και BE
που τέμνονται από την AB.
Συνεπώς έχουμε:  ˆ 180  180  ˆ o o  B  B , (ΣΧΕΣΗ 2).
Από τις σχέσεις 1 και 2 , παίρνουμε 2
2
EZB  EZB 

 .
(γ) Προεκτείνουμε την EZ μέχρι να συναντήσει την ευθεία A στο σημείο P.
Τότε έχουμε 1 2 Z  Z ως
κατακορυφήν . Επίσης 2 2 E  Z ,
ως παρά την βάση γωνίες του
ισοσκελούς τριγώνου EZB.
Όμως είναι και 2 E  P ως εντός
εναλλάξ των παραλλήλων P
και EB που τέμνονται από την
EP. Από τα ανωτέρω
συμπεραίνουμε ότι 1 Z  P και
άρα το τρίγωνο AZP είναι
ισοσκελές , δηλαδή
AZ  AP και αφού από την
υπόθεση είναι και AZ  A άρα
ZA AP A και συνεπώς το τρίγωνο ZP είναι ορθογώνιο με κορυφή της ορθής
γωνίας το Z . Τώρα στο τρίγωνο PE, η AO ενώνει τα μέσα δύο πλευρών του και
άρα θα είναι παράλληλη με την PE.

Αφού λοιπόν PE κάθετη στην Z , άρα θα είναι και AO κάθετη στην Z . Επίσης
από το τρίγωνο PZ έχουμε ότι η AO περνάει από το μέσον της πλευράς AP είναι
και παράλληλη με την PZ , άρα θα περνάει και από το μέσον της Z . Δείξαμε
λοιπόν ότι η AO είναι μεσοκάθετος της Z . Όμοια δείχνουμε ότι και η BO είναι
μεσοκάθετος της ZE .
ΘΕΜΑ 3812
Δίνεται παραλληλόγραμμο AB, με ABA. Θεωρούμε σημεία K, των A
και AB αντίστοιχα ώστε AKA. Έστω M το μέσο του K και η προέκταση του
AM (προς το M) τέμνει τη  στο σημείο E. Να αποδείξετε ότι:
α) AE.
β) BEAB.
γ) B 2AK.
Λύση:
α) Το τρίγωνο AK είναι ισοσκελές αφού AKAοπότε η διάμεσος του AM
είναι και διχοτόμος δηλαδή
KAMMA 1 ,
AE MA 2 ως εντός και εναλλάξ.
1,2KAMAE οπότε το τρίγωνο
AE είναι ισοσκελές με A  E 3
β)
3 AB
B E A E AE E B E AB

                 .
γ) Από το παραλληλόγραμμο AB είναι B 180 A 4    .
Από το ισοσκελές τρίγωνο AK είναι AK AK 5 και

4
A 2A K 180 2A K 180 A 2A K B             .
ΘΕΜΑ 3815
Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με AB2B, τη γωνία Aαμβλεία και Mτο μέσο
της  . Φέρουμε κάθετη στην A στο σημείο A, η οποία τέμνει την B στο H.
Αν η προέκταση της HM τέμνει την προέκταση της A στο E, να αποδείξετε ότι:
α) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AB.
β) Τα τμήματα EH,  διχοτομούνται.
γ) EMA.
Λύση:
α) Είναι
AB
A B
2
    και
AB AB
M M
2 2
 
     , οπότε είναι AM δηλαδή το
τρίγωνο A M  είναι ισοσκελές
οπότε MA AM 1 .
Όμως MAMAB 2 ως εντός
και εναλλάξ.
1,2MAB AM δηλαδή η
AM είναι διχοτόμος της γωνίας
AB.
β) Τα τρίγωνα ME και MH είναι ίσα από  αφού έχουν:
MM επειδή M το μέσο της 
MEMH ως κατακορυφήν και
EMHM ως εντός και εναλλάξ.

Έτσι EMMH οπότε το M είναι και μέσο της EH δηλαδή τα EH,
διχοτομούνται.
γ) Το AM είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AEH οπότε:
EH
AM EM
2
  , δηλαδή το τρίγωνο AME είναι ισοσκελές και
1
E  AME  MA.
ΘΕΜΑ 3817
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο A και στο εξωτερικό του σχηματίζονται τα
τετράγωνα ABE και AZH. Να αποδείξετε ότι:
α) EAH  AB AB.
β) EBH.
γ) Η E είναι κάθετη στην BH .
Λύση:
α) Έχουμε: 360 (90 90  ˆ) 180  ˆ  ˆ ˆ o o o o EAH A A B .
β) Τα τρίγωνα EA και HAB έχουν:
AB AE , ως πλευρές τετραγώνου,
AH  A , επίσης ως πλευρές τετραγώνου,
   90  ˆ o EA HAB A.
Άρα τα τρίγωνα είναι ίσα. Άρα θα έχουν και EBH.
γ) Από το ορθογώνιο τρίγωνο AEK έχουμε :   90o AEK EKA (1).

Όμως AEK  ABH ,
(λόγω της ισότητας
των τριγώνων του
(β) ερωτήματος) και
, (ως
κατακορυφήν). Άρα
η σχέση (1)
γράφεται:
   90o ABH BK και
άρα η E είναι
κάθετη στην .
ΘΕΜΑ 3820
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο Aμε την γωνία A ορθή και τυχαίο σημείοτης
πλευράς AB. Έστω ,, τα μέσα των ,B,B αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο  είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το τετράπλευρο AKMNείναι ισοσκελές τραπέζιο.
γ) Η διάμεσος του τραπεζίου AKMN είναι ίση με
2
AB
.
Λύση:
α) Στο τρίγωνο B η  ενώνει τα μέσα των πλευρών  και B.
Άρα KM / /B.
Επίσης στο ίδιο τρίγωνο, η MN ενώνει τα μέσα των πλευρών και B και άρα
MN / /.
EKA BK
BH
B

Συνεπώς το τετράπλευρο KMN είναι παραλληλόγραμμο διότι έχει τις απέναντι
πλευρές του παράλληλες.
β) Δείξαμε από το (α) ερώτημα, ότι KM / /AN .
Για να δείξουμε ότι το τετράπλευρο
είναι τραπέζιο, αρκεί να δείξουμε ότι οι πλευρές
AK και MN δεν είναι παράλληλες. Πράγματι
αν ήταν AK / /MN , τότε από το σημείο K θα
είχαμε δύο παράλληλες προς την MN , μία την
KA και την άλλη την K (λόγω του
παραλληλογράμμου  ). Τούτο όμως
αντίκειται στο Ευκλείδειο αίτημα.
Δείξαμε λοιπόν ότι το τετράπλευρο  είναι
τραπέζιο. Επίσης έχουμε: MN  K (ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου) και
2

  ,(διότι η  είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου
). Άρα    .
Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι AK MN και άρα το τραπέζιο είναι ισοσκελές.
γ) Για την διάμεσο του πιο πάνω τραπεζίου έχουμε:
2
2 2 2 2

   
    
   
B
A N
KM AN NB A N AB
EZ .
ΘΕΜΑ 3822
Δίνεται παραλληλόγραμμο AB με τη γωνία του B να είναι ίση με 0 70 και το
ύψος του . ΈστωZ σημείο της ώστε BE EZ .
α) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο AZ είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Μονάδες )
β) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τραπεζίου AZ. (Μονάδες 9 )
KMNA
A B
8

γ) ΑνM το μέσο του B να αποδείξετε ότι
A
EM
2

 . (Μονάδες 8 )
Λύση:
α) Η Aείναι μεσοκάθετος του , άρα το τρίγωνο ABZ είναι ισοσκελές ).
Αλλά , από το
παραλληλόγραμμο. Οπότε έχουμε
AZ , Z|| A, ενώ οι AZ, δεν
είναι παράλληλες, αφού AB|| .
Άρα το AZ είναι ισοσκελές
τραπέζιο.
β) Είναι
0 0 BAZB 70 AZ 110 .
Εξάλλου από το
παραλληλόγραμμο είναι B ˆ  700 .
Επομένως οι γωνίες του ισοσκελούς τραπεζίου είναι: ˆ  ZA  700 ,
AZ  ˆZ1100 .
γ) Το M είναι και μέσο της A, αφού οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου
διχοτομούνται. Άρα η είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου AE, οπότε:
.
ΘΕΜΑ 3824
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο με ˆ 90o A και ˆ 30o . Φέρνουμε το ύψος του A
και την διάμεσό του AM . Από το  φέρνουμε κάθετη στην ευθεία AM , η οποία
την τέμνει στο E. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο AMBείναι ισόπλευρο.
 AB AZ
AB
AB

A
EM
2


AB

β)
4

  
B
ME M .
γ) Το AE είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Λύση:
α) Αφού ˆ 30o , άρα . Επίσης αφού η AM είναι διάμεσος προς την
υποτείνουσα στο ορθογώνιο τρίγωνο AB, έπεται ότι
2

 
B
AM BM . Άρα
AB AM BM και άρα το τρίγωνο AMB είναι ισόπλευρο.
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα AM και ME έχουν: AM M (διότι
2


B
AM ) και
AMME , ως κατακορυφήν) . Άρα τα εν λόγω τρίγωνα είναι ίσα και άρα θα
έχουν και ME M. Όμως αφού το τρίγωνο ABM είναι ισόπλευρο, το ύψος του
A θα είναι και διάμεσος. Άρα
2
2 2 4


   
B
MB B
M .
γ) Αφού ˆ  30   30 o o AM , (εφόσον το τρίγωνο
AM είναι ισοσκελές). Άρα  120o MA
  120o EM , (ως κατακορυφήν). Όμως
ME M (από την ισότητα των πιο πάνω
τριγώνων). Άρα     30o ME M E .
Αφού λοιπόν    ( 30 ) o AE EA , θα είναι E/ /A.
Θα δείξουμε τώρα ότι οι ευθείες E και A δεν
είναι παράλληλες. Έχουμε:   30o AM , (διότι
αφού η A είναι ύψος στο ισόπλευρο τρίγωνο
AMB, θα είναι και διχοτόμος.)
2

 
B
AB BM

Επίσης   30o E M (αφού EM MA λόγω της ισότητας των τριγώνων EM και
AM.Έχουμε λοιπόν: EAA EMMAAMMA
30 30 30 30 120 180 o o o o o o . Άρα οι ευθείες E και A δεν είναι παράλληλες
και άρα το AE είναι τραπέζιο.
Επίσης από την ισότητα των τριγώνων EM και MA έπεται ότι E  A. Άρα το
τραπέζιο AE είναι ισοσκελές.
Στο (γ) ερώτημα, μπορούμε και αλλιώς να δείξουμε ότι οι ευθείες  και  δεν
είναι παράλληλες, ως εξής:
Αν ήταν / / τότε οι γωνίες

 και

  ΕΑΔ θα ήταν ίσες , δηλαδή
90 30    , που είναι άτοπο.
ΘΕΜΑ 3825
Δίνεται τρίγωνο με ABA. Φέρουμε τη διχοτόμο του και σε τυχαίο
σημείο της φέρουμε
ευθεία κάθετη στη
διχοτόμο , η οποία
τέμνει τις και A
στα σημεία Z και 
αντίστοιχα και την
προέκταση της στο
σημείο . Να
α)
A
Z 90
2
    .
β) ZKK.
γ)
B ˆ
ZH
2
 
  .
AB AK
E
AK
AB
B
H

Λύση:
α) Η Z είναι εξωτερική του τριγώνου AE, έτσι είναι:
A
Z 90 AE Z 90
2
          .
β) Το τρίγωνο A Z  είναι ισοσκελές αφού η AE είναι διχοτόμος και ύψος, έτσι
AZA 1 .
Τα τρίγωνα AZK και AKείναι είσαι αφού έχουν: AZA από την 1 , AK κοινή
πλευρά και
A
ZAE AE
2
   , άρα και ZKK.
γ) Από το τρίγωνο ΓH είναι:
 
ZH 180 Z ˆ       

A ˆ ZH 180 90
2
        
180 B ˆ ZH 90 ˆ
2

   
     
B ˆ
ZH
2
 
  .
ΘΕΜΑ 3903
Δίνεται τετράπλευρο AB με AB A και B. Αν E είναι το σημείο τομής
των προεκτάσεων των BA και  και Z είναι το σημείο τομής των προεκτάσεων
των A και B να αποδείξετε ότι:
α) Η A είναι διχοτόμος της γωνίας B. (Μονάδες 7 )
β)   . (Μονάδες 9)
γ) EZ || B. (Μονάδες 9)
Λύση:

α) Τα τρίγωνα , είναι ίσα επειδή έχουν την A κοινή και AB A,
B από την υπόθεση (Π-Π-Π). Οπότε θα
είναι   , δηλαδή η A είναι διχοτόμος της
γωνίας B.
β) A1 A2 (ως κατακορυφήν).
2 2
B ˆ (ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών
,
 
   οποίες είναι ίσες από την ισότητα των
τριγώνων ,).
Άρα τα τρίγωνα ABZ, AE είναι ίσα (Γ-Π-Γ). Οπότε
και κατά συνέπεια, Z E.
γ) Στα ισοσκελή τρίγωνα B,ZE
η διχοτόμος της γωνίας ˆ
θα είναι
μεσοκάθετη στις βάσεις.
Άρα B|| ZE,
ως κάθετες στην ίδια ευθεία.
ΘΕΜΑ 3904
α) Σε ορθογώνιο AB θεωρούμε
K,,M,N τα μέσα των πλευρών του
AB,B,,A αντίστοιχα. Να
αποδείξετε ότι το τετράπλευρο
KMN είναι ρόμβος.
AB A
BZ E

β) Σε ένα τετράπλευρο AB τα μέσα K,,M,Nτων πλευρών του
AB,B,,A αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου.
Το τετράπλευρο AB , πρέπει να είναι απαραίτητα ορθογώνιο; Να
τεκμηριώσετε τη θετική ή αρνητική σας απάντηση.
Λύση:
α) Το KMN είναι παραλληλόγραμμο αφού ενώνει τα μέσα των πλευρών του
ορθογωνίου AB (από εφαρμογή 1 σελ. 106).
Είναι και αφού τα τμήματα ενώνουν τα μέσα δύο
πλευρών των τριγώνων AB και AB αντίστοιχα. Όμως ως διαγώνιοι
ορθογωνίου, έτσι και KNK. Άρα το KMN είναι ρόμβος αφού είναι
παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες.
β) Αν το KMN είναι ρόμβος τότε το τετράπλευρο AB δεν είναι απαραίτητα
ορθογώνιο αφού αρκεί οι διαγώνιοι του να είναι ίσοι ώστε να συμβαίνουν όλα τα
παραπάνω.
ΘΕΜΑ 3906
Εκτός τριγώνου κατασκευάζουμε τετράγωνα ABE,AZH. Αν Mτο μέσο
του B και  σημείο στην προέκταση της AM τέτοιο , ώστε , να
α) AE. (Μονάδες 10)
β) 0ι γωνίες A,EAH είναι ίσες. (Μονάδες 10)
γ) Η προέκταση της MA (προς το A) τέμνει κάθετα την EH. (Μονάδες 5)
Λύση:
B
KN
2


A
K
2

  KN,K
BA
AB
AMM

α) Το είναι
παραλληλόγραμμο, διότι οι
διαγώνιες
διχοτομούνται. Επομένως
.
β) Οι γωνίες A ,EAH
 
 είναι
ίσες, διότι είναι
παραπληρωματικές της γωνίας
BA

 .
γ) Τα τρίγωνα A,AEH είναι
ίσα, διότι
A AH, AE,A EAH
 
      .
Επομένως:
0 PAE PEA PAE A PAE BA 90
     
        , διότι .
ΘΕΜΑ 3908
Δυο ίσοι κύκλοι O,  και K, εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο E. Αν OA και
OB είναι τα εφαπτόμενα τμήματα από το σημείο O στον κύκλο K,  να
α) AEBE.
β) AOK 30  .
γ) Το τετράπλευρο AKBE είναι ρόμβος.
Λύση:
AB
A,B
ABAE
0 EAB 90



α) Τα τρίγωνα AOK και BOK είναι ίσα αφού έχουν:
OK κοινή πλευρά, KAKB και OAOB ως εφαπτόμενα τμήματα.
Έτσι AOK  BOK 1 .
Τα τρίγωνα AOE και BOE είναι ίσα αφού έχουν:
OE κοινή πλευρά, AOK  BOK από 1 και OAOB ως εφαπτόμενα τμήματα.
Άρα και AEBE.
β) Είναι KAOA (ακτίνα στο σημείο επαφής), AK  και OK  2 .
Άρα AOK 30  διότι στο ορθ. τρίγωνο AOK η μία κάθετη πλευρά AK είναι το
μισό της υποτείνουσας OK.
γ) Είναι
OK
AE AE
2
    αφού η AE είναι διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθ.
τριγώνου AOK. Ομοίως είναι και BE AE  .
Άρα AE BE BKKA δηλαδή το τετράπλευρο AKBE είναι ρόμβος αφού έχει
όλες τις πλευρές του ίσες.

ΘΕΜΑ 3911
α) Σε ισοσκελές τραπέζιο AB θεωρούμε K,,M,N τα μέσα των πλευρών του
AB,B,,A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο KMN είναι ρόμβος.
β) Σε ένα τετράπλευρο AB τα μέσα K,,M,N των πλευρών του
AB,B,,A αντίστοιχα είναι κορυφές ρόμβου.
Για να σχηματίζεται ρόμβος το AB , πρέπει να είναι ισοσκελές τραπέζιο; Να
τεκμηριώσετε τη θετική ή αρνητική σας απάντηση.
Λύση:
Η άσκηση είναι παρόμοια με την 3904 .
Τα πρώτα ερωτήματα στηρίζονται στο γεγονός ότι οι διαγώνιοι του ορθογωνίου
είναι ίσες, όπως και οι διαγώνιοι του ισοσκελούς τραπεζίου.
Στο β) ερώτημα, ακριβώς ίδια αντιμετώπιση όπως και στο 3904.
ΘΕΜΑ 3915
α) Σε ρόμβο AB θεωρούμε K,,M,N τα μέσα των πλευρών του AB,B,,A
αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο KMN είναι ορθογώνιο.
β) Να αποδείξετε ότι τα μέσα των πλευρών ενός ορθογωνίου είναι κορυφές
ρόμβου.
Λύση:
α) Η KN ενώνει τα μέσα των πλευρών AB και A του τριγώνου AB. Άρα
/ /
2


B
KN . Ομοίως έχουμε ότι: / /
2

 
B
M . Άρα συμπεραίνουμε ότι KN / / M
και άρα το τετράπλευρο KMN είναι παραλληλόγραμμο.

Επίσης αφού είναι KN / /B και K/ /A , (διότι η
K ενώνει τα μέσα δύο πλευρών στο τρίγωνο AB),
και αφού  90o AOB (διότι οι διαγώνιοι ρόμβου
τέμνονται καθέτως), τότε θα είναι και   90o NK ,
εφόσον οι γωνίες AOB και NK έχουν τις πλευρές
τους παράλληλες μία προς μία. Δείξαμε λοιπόν ότι το
παραλληλόγραμμο KMN έχει μία γωνία ορθή , άρα
είναι ορθογώνιο.
β) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα AK και BKN
, τα οποία έχουν: AK KB (διότι το K είναι μέσον
του AB) και A BN (ως μισά των ίσων τμημάτων
A και B). Άρα τα τρίγωνα αυτά είναι ίσα και άρα θα έχουν και K KN . Όμως
επί πλέον το τετράπλευρο KNM
είναι παραλληλόγραμμο (διότι:
/ /
2

 
B
K , (αφού ενώνει τα μέσα
δύο πλευρών του τριγώνου AB)
και / /
2


B
MN , (αφού ενώνει τα
μέσα δύο πλευρών του τριγώνου
B). Δηλαδή είναι K/ / MN.
Έτσι , αφού το παραλληλόγραμμο KMN έχει δύο διαδοχικές πλευρές του ίσες,
άρα θα είναι ρόμβος.
ΘΕΜΑ 3919
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο AB με ABAκαι A,BE τα ύψη του. Να αποδείξετε
ότι:
α) B2E.
β)
A
BE
2
  .

γ) Το τετράπλευρο AEB είναι εγγράψιμο.
δ) ABEAE.
Λύση:
α) Το ύψος A που αντιστοιχεί στη βάση B του
ισοσκελούς τριγώνου είναι και διάμεσος, δηλαδή
το  είναι μέσο του B . Στο ορθ. τρίγωνο BE
το E είναι διάμεσος στην υποτείνουσα B , έτσι
B
E B 2E
2

      .
β) Το τετράπλευρο AEB είναι εγγράψιμο αφού η
πλευρά του AB φαίνεται από τις απέναντι
κορυφές ,E υπό ορθή γωνία. Άρα
A
BE BA BE
2
      .
(Σημείωση: Μάλλον κάτι άλλο είχε στο μυαλό
του ο θεματοδότης)
γ) Το τετράπλευρο AEB είναι εγγράψιμο από το (β) ερώτημα.
δ) Είναι ABEAE αφού το τετράπλευρο AEB είναι εγγράψιμο.
Νομίζω ότι στο β ερώτημα μπορούμε να πούμε ότι οι γωνίες EBˆ  AˆE ως οξείες
γωνίες με κάθετες πλευρές και επειδή B θα ισχύει για τις γωνίες BEˆ  EBˆ
άρα
ˆ
ˆ ˆ
2
A
BE  AE  .

ΘΕΜΑ 3926
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε ABA, τυχαίο σημείο M της βάσης του
και το ύψος του . Από το M φέρουμε κάθετες M,ME και M στις AB,A και
BH αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο MEH είναι ορθογώνιο.
β) BMΔ.
γ) Το άθροισμα MMEBH.
Λύση:
α) Είναι ˆ H E 90     , δηλαδή το
τετράπλευρο MEH είναι ορθογώνιο αφού
έχει τρείς ορθές γωνίες.
β) Είναι M/ /H ως κάθετες στη BH, έτσι
MB ˆ ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Τα
ορθ. τρίγωνα B M  και B M  είναι ίσα αφού
έχουν BM κοινή πλευρά και MB B ˆ 
BM1.
γ) Είναι ME H2 από το ορθογώνιο MEH.
1,2
MME  BHMME  BH.
ΘΕΜΑ 3932
Δίνεται τρίγωνο AB με και τα μέσα των πλευρών του , ,
AB αντίστοιχα. Αν η διχοτόμος της γωνίας τέμνει την  στο σημείο και την
προέκταση της στο σημείο , να αποδείξετε ότι:
B
BH
AB ,, B A
B 
 

α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 7)
β) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. (Μονάδες 10)
γ) (Μονάδες 8)
Λύση:
α) Επειδή στο τρίγωνο AB είναι μέσο της πλευράς AB και E μέσο της
πλευράς A είναι και
2

  
B
ZE B αφού μέσο της πλευράς B.
Επομένως η πλευρά είναι παράλληλη και ίση με την πλευρά B που σημαίνει
ότι το τετράπλευρο ZEBείναι παραλληλόγραμμο. Επομένως ZE  B (1)
β) Αφού είναι ZM / /B τότε
είναι 1 1
Bˆ Mˆ ως εντός
εναλλάξ, και επειδή 1 2
Bˆ  Bˆ
αφού διχοτόμος θα είναι
και 2 1
Bˆ Mˆ που σημαίνει ότι
το τρίγωνο είναι
ισοσκελές. Άρα και
(2). Ομοίως είναι
2
Bˆ  Nˆ ως εντός εναλλάξ
διότι AB/ /N αφού το
είναι
παραλληλόγραμμο και επειδή και 1 2
Mˆ Mˆ ως κατακορυφήν θα είναι και
2
Mˆ  Nˆ . Συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Επομένως και ME EM (3).
γ) Με τη βοήθεια των ισοτήτων (2),(3),(1) έχουμε
.
B
B 
B  
Z
ZE / /B 

B
BZ ZM
ZEB
1 2
Bˆ  Bˆ

BZ NE  ZM ME  ZE  B  

ΘΕΜΑ 3938
Δίνεται τρίγωνο AB, διάμεσος του και  το μέσο του . Αν η προέκταση
της  τέμνει την  στο σημείο  , και είναι το μέσο του  , να αποδείξετε
ότι:
α) Το σημείο  είναι μέσο του  . (Μονάδες 9)
β)

=

 +

  . (Μονάδες 9)
γ)  3. (Μονάδες 7)
Λύση:
α) Στο τρίγωνο NBείναι M μέσο της πλευράς B και  μέσο της . Τότε είναι
M/ /BN και
2
 
BN
M (1). Επομένως και KN / /M. Αντιστρόφως στο τρίγωνο
AM αφού είναι Kμέσο της και
KN / /M τότε το N είναι μέσο της
πλευράς A και επομένως θα είναι και
2
2

   
M
KN M KN (2).
β) Η γωνία KMˆB και η KMˆ  είναι
παραπληρωματικές. Επομένως είναι
KMˆ 1800 KMˆ(3). Επίσης είναι
(4) ως κατακορυφήν.
Επομένως στο τρίγωνο  έχουμε ότι
(5)
Από τις σχέσεις (3) και (5) προκύπτει το ζητούμενο KMˆ KBˆM AKˆN
Αλλοιώς
Η γωνία KMˆ είναι εξωτερική στο τρίγωνο και άρα έχουμε ότι
    
          .
AKˆN  BKˆM
(4)
KBˆM  BKˆM KMˆB 1800KBˆM  AKˆN 1800 KMˆB

γ) Από τις σχέσεις (1) και (2) έχουμε ότι
2 4 4 3
2
       
BN
KN BN KN BK KN KN BK KN .
ΘΕΜΑ 3945
Δίνεται τρίγωνο AB με B2A. Έστω AM διάμεσος του AB και K, τα
μέσα των M και AB
αντίστοιχα. Να
α) MAAM
β) MMK
γ) Η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AK
Λύση:
α) Είναι
B
M
2

  αφού το M είναι μέσο της B και
B
A
2

  από υπόθεση.
Έτσι MA . Δηλαδή το τρίγωνο AM είναι ισοσκελές οπότε MA AM  .
β) Είναι
M B
MK MK
2 4
 
   και
A B
M M
2 4
 
    αφού το τμήμα M
ενώνει τα μέσα των πλευρών AB,B του τριγώνου ABκαι ισχύει
A
/ /
2

  .
Έτσι MMK.
γ) Τα τρίγωνα A M  και AMK είναι ίσα αφού έχουν:
AM κοινή πλευρά, MMKαπό (β) ερώτημα και

MAAMK αφού MAMA  ως εντός εναλλάξ των M/ /A που
τέμνονται από την AM και MA AM  από (α) ερώτημα.
Άρα AMMAK δηλαδή η AM είναι διχοτόμος της γωνίας AK.
Μια εναλλακτική πρόταση για το τρίτο ερώτημα
Αφού από το β) ερώτημα έχουμε
A
M/ /
2

  θα είναι ˆ ˆ , ως εντός εναλλάξ
των ευθειών M,A τεμνομένων υπό της AM . Όμως από το α) ερώτημα : ˆ ˆ
και συνεπώς ˆ ˆ .
ΘΕΜΑ 3948
Δίνεται τετράπλευρο AB με AB και M,N,K τα μέσα των A,B,B
αντίστοιχα. Αν οι προεκτάσεις των
και τέμνουν την
προέκταση της στα σημεία E
και Z αντίστοιχα να αποδείξετε
ότι:
α)   .
β) .
AB 
MN
MEAMZ

Λύση:
α) Είναι / / (1)
2

  και / / (2)
2

  γιατί τα τμήματα MK,KN
ενώνουν τα μέσα δύο πλευρών των τριγώνων AB και B αντίστοιχα.
Όμως είναι AB από την υπόθεση, έτσι από 1,2MK KN.
β) Αφού MK KN το τρίγωνο MKN είναι ισοσκελές, οπότε KMNKNM 3 .
Είναι MEAKMN 4 , ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων MK,AB που
τέμνονται από την ΜE. MZ KNM 5, ως εντός εκτός και επί τα αυτά των
παραλλήλων KN,A που τέμνονται από την MZ.
Από τις 4,5λόγω της 3 συμπεραίνουμε ότι MEAMZ.
ΘΕΜΑ 3954
Δίνεται παραλληλόγραμμο και στην προέκταση της  θεωρούμε σημείο
 τέτοιο ώστε    ενώ στην προέκταση της ΑΒ θεωρούμε σημείο  τέτοιο
ώστε    .
i.    .
ii. τα σημεία ,, είναι συνευθειακά.
β) Ένας μαθητής για να αποδείξει ότι τα σημεία ,,είναι συνευθειακά ανέπτυξε
τον παρακάτω συλλογισμό. « Έχουμε:    (ως εντός εκτός και επί τα αυτά
μέρη των παραλλήλων  και  που τέμνονται από τη  και


   (ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων  και  που τέμνονται από την
 ).
Όμως  180 (ως
άθροισμα των γωνιών του τριγώνου
 ). Άρα σύμφωνα με τα
προηγούμενα:  180 .
Οπότε τα σημεία ,, είναι
συνευθειακά.»
Όμως ο καθηγητής υπέδειξε ένα
λάθος στο συλλογισμό αυτό. Να
βρείτε το λάθος στο συγκεκριμένο συλλογισμό.
Λύση:
α) i) Είναι  ως παραπληρωματικές των ίσων γωνιών , αντίστοιχα
του παραλληλογράμμου. Άρα τα ισοσκελή τρίγωνα  και  έχουν τις γωνίες
των κορυφών τους ίσες, οπότε θα είναι και οι γωνίες των βάσεων ίσες, δηλαδή
   .
ii.   1 ως εντός και εναλλάξ.
1, 
180
i 
         .
Άρα τα σημεία ,, είναι συνευθειακά.
β) Το λάθος του μαθητή είναι στο κομμάτι:
« Έχουμε:    (ως εντός εκτός και επί τα αυτά μέρη των παραλλήλων 
και  που τέμνονται από τη  )»

Θεώρησε την  ευθεία, πράγμα το οποίο ζητείται να αποδειχθεί.
ΘΕΜΑ 3961
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABμε γωνία A ορθή. Φέρνουμε τη διάμεσο A και
σε τυχαίο σημείοKτην κάθετη στην η οποία τέμνει τις και A στα σημεία
 και E αντίστοιχα. Αν H είναι το μέσο του E να αποδείξετε ότι:
α) BBAM. (Μονάδες 8 )
β) AˆHAH. (Μονάδες 9)
γ) Η ευθεία τέμνει κάθετα τη B. (Μονάδες 8 )
Λύση:
α) Επειδή η Aείναι η διάμεσος του
ορθογωνίου τριγώνου AB, θα είναι
AM MB και κατά συνέπεια
BBAM.
β) Ομοίως η είναι διάμεσος του
ορθογωνίου τριγώνου AE, οπότε
AHH AˆHAH.
γ) Έστω ότι η Aτέμνει τη B στο Z . Είναι:
( )
AMBMAB 2MAB
 AM
MAB
2

  (1) (ως εξωτερική γωνία στο τρίγωνο
).
0 ˆ 180 KHZ A H
2

   (2) (από το ισοσκελές
τρίγωνο HA.
A AB
A
A
A KHZ HA1800 2AˆH

Αλλά από το ορθογώνιο τρίγωνο AK έχουμε:
Άρα: KHZAM, οπότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο(μία γωνία του
είναι ίση με την απέναντι εξωτερική. Επειδή όμως 0 K90 , θα είναι
και AZB.
ΘΕΜΑ 3966
Δίνονται ορθογώνια τρίγωνα ABκαι B με 0 A90 , ˆ 900 και M,N τα μέσα των
B και A αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι:
α) AMM. (Μονάδες 10)
β) Η MN είναι κάθετη στην A . (Μονάδες 10)
γ) B  A (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε
κύκλο αφού η πλευρά B φαίνεται από τις
απέναντι κορυφές κάτω από ίσες γωνίες . Επίσης ,
επειδή 0 A  90 , το κέντρο του κύκλου είναι το
μέσον της B . Κατά συνέπεια ως
ακτίνες του κύκλου .
β) Εφόσον το N είναι πλέον μέσο χορδής , το MN
είναι απόστημα και επομένως είναι κάθετο στην
.
(1),(2) 0
0 0 0 ˆ ˆ 180 KHZ AM A H A K 90 KA 90 MAB 90
2 2
 
          

AB
M AMM
A

γ) B  A διότι είναι εγγεγραμμένες και βαίνουν στο ίδιο τόξο .
ΘΕΜΑ 3994
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε ABAκαι ,Eτα μέσα των πλευρών του AB
και Aαντίστοιχα. Στην προέκταση της E(προς το E) θεωρούμε σημείο  ώστε
EAEκαι στην προέκταση της E(προς το ) θεωρούμε σημείο Kτέτοιο ώστε
KA. Να αποδείξετε ότι:
α) KE.
β) Τα τρίγωναAKBκαι A είναι ορθογώνια.
γ) Τα τρίγωνα AKBκαι A είναι ίσα.
Λύση:
α) Είναι   AB
K A 1
2
    και
  A
E AE 2
2

   .
     
AB A
1 , 2 E K 3
 
    .
β) Στο τρίγωνο A η Eείναι
διάμεσος που αντιστοιχεί στην A
και είναι
A
E
2

  , δηλαδή το
τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
Για τον ίδιο λόγο και το τρίγωνο
AKB είναι ορθογώνιο.
γ) Τα τρίγωνα A και AEK είναι ίσα από     αφού έχουν:

AAE ως μισά των ίσων τμημάτων AB,A,
KE ως αθροίσματα των ίσων τμημάτων E,K με το E,
AEAE ως γωνίες στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου AE.
Άρα και AAK 3 .
Οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα AKBκαι Aείναι ίσα αφού έχουν ABAκαι
AAK.
ΘΕΜΑ 4307
Θεωρούμε κύκλο κέντρου , με διάμετρο . Από σημείο A του κύκλου
φέρουμε την εφαπτομένη ( ) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .
Από τα σημεία B, φέρουμε τα τμήματα B,E κάθετα στην ευθεία ( ) .
α) Να αποδείξετε ότι και είναι διχοτόμοι των γωνιών και E B 
αντίστοιχα. (Μονάδες 8)
β) ΑνAEείναι ύψος του τριγώνου AB, να αποδείξετε ότι .
(Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι BEB. (Μονάδες 9)
Λύση:
α) Είναι 1 2 B A ως γωνία χορδής – εφαπτομένης και :
0 0 0
2 1 2 B 90 A 90 (180 BAA ) 
0 0 0
 90 180 90 A2 A2 ,
Επομένως ,οπότε η είναι διχοτόμος . Ομοίως για την .
O B
AB
BΑ A B
AAEAZ
B1 B2 BA A

β) Το τετράπλευρο BE είναι τραπέζιο
αφού B/ /E ως κάθετες στην ίδια ευθεία .
Ακόμα OA E ,οπότε OA/ /B/ /E κι
αφού το O είναι μέσον της , η είναι
διάμεσος του τραπεζίου . Επομένως A AE
Ακόμα από την ισότητα των τριγώνων
, έχουμε και τελικά
A AZ=AE .
γ) Η είναι η διάμεσος του τραπεζίου και
ισχύει : .
ΘΕΜΑ 4555
Δίνεται τρίγωνο και από το μέσο της M της BC φέρνουμε τμήματα MD ίσο
και παράλληλο με το BA και ME ίσο και παράλληλο με το CA (τα D,E
βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο της BC με το A). Να αποδειχθεί ότι:
i) Τα σημεία είναι συνευθειακά.
ii) Η περίμετρος του τριγώνου MDE ισούται με την περίμετρο του τριγώνου
ABC.
Στο τρίτο ερώτημα λείπουν πολλά δεδομένα. Θα προσπαθήσω να βγάλω άκρη
αλλά δείτε το κι εσείς.
Στην εκφώνηση του γ) ερωτήματος λείπουν:
1) Στην 4 σειρά πριν από την παρένθεση, η σχέση: BAAZ (εντός εναλλάξ...)
2) Στην 6 σειρά πρέπει να γραφεί:
B OA
BA,BAZ AAZ
AO
BE  2·AO 2·O OBO  B
ABC
D,E, A

Όμως, AˆZAZAZ1800 (άθροισμα γωνιών...)
Λύση:
i) Το τετράπλευρο ABMD είναι παραλληλόγραμμο αφού AB  MD επομένως
AD BM AD BC.
Ομοίως το τετράπλευρο ACME είναι παραλληλόγραμμο κι έτσι
AE CM AE BC.
Άρα από το σημείο A άγονται δύο
ημιευθείες παράλληλες στην BC κι έτσι
οι ημιευθείες ανήκουν στην ίδια ευθεία
όπως και τα σημεία D,E, A.
ii) Από υπόθεση AC ME, AB MD.
Ακόμη DE  AE AD BM CM  BC
λόγω των παραλληλογράμμων ABMD, ACME.
Έτσι τα τρίγωνα ABC,MDE είναι ίσα άρα έχουν και ίσες περιμέτρους.
ΘΕΜΑ 4559
Δίνονται δύο παράλληλες ευθείες ()και ()και μία Τρίτη που τις τέμνει στα
σημεία ,αντίστοιχα. Θεωρούμε τις διχοτόμους των εντός και επί τα αυτά μέρη
γωνιών που σχηματίζονται, οι οποίες τέμνονται σε σημείο . Αν  είναι το μέσον
του , να αποδείξετε ότι:
α) Η γωνία

 είναι ορθή.
β) 2
 
  .
γ) / /() .

Λύση:
α) Είναι 1 2 1 2
ˆ ˆ  ˆ ˆ (ΑΔ , ΒΔ διχοτόμοι των γωνιών ˆ ,ˆ αντίστοιχα)
Οι γωνίες ˆ ,ˆ είναι εντός και επί τα
αυτά των παραλλήλων () , ()που
τέμνονται από την , επομένως :
0
0
1 1
0
1 1
ˆ ˆ 180
2 ˆ 2 ˆ 180
ˆ ˆ 90
  
    
   
.
Στο τρίγωνο  είναι 0
1 1
ˆ ˆ  90 ,
επομένως 0 90

  .
β) Στο ορθογώνιο , πλέον τρίγωνο 
, η  είναι διάμεσος προς την υποτείνουσα , επομένως
2

    , άρα
1 1
ˆ  ˆ .
Η γωνία

 είναι εξωτερική του τριγώνου  , επομένως
1 1 2 1 2
    
         .
γ) είναι 1 1
ˆ  ˆ και 1 2
ˆ ˆ , οπότε 1 2
ˆ ˆ . Όμως οι γωνίες 1 2 ˆ , ˆ είναι εντός
εναλλάξ των ευθειών  και ()που τέμνονται από την .
Άρα οι ευθείες και () είναι παράλληλες.
ΘΕΜΑ 4562
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABμε τη γωνία A ορθή και M τυχαίο σημείο της
πλευράς B . Φέρουμε τις διχοτόμους των γωνιών BMA και AM οι οποίες
τέμνουν τις ABκαι A στα σημείακαι Eαντίστοιχα.

α) Να αποδείξετε ότι, η γωνία MEείναι ορθή.
β) ΑνKτο μέσο τουE, να αποδείξετε ότι MK KA.
Λύση:
α) 'Έστω BM  MA και AME  EM 
Τότε     180  90 άρα 90o ME  .
β) Το είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ME που αντιστοιχεί στην
υποτείνουσα άρα
2
E
MK

 . Όμοια το είναι διάμεσος του ορθογωνίου
τριγώνου AE που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα άρα
2
E
AK

 . Οπότε MK  AK.
ΘΕΜΑ 4565
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABμε τη γωνία  ορθή και  η διάμεσός του. Από
το  φέρουμε  κάθετη στην  και  κάθετη στην . Αν , είναι τα
μέσα των  και  αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α)    .
β) Η  είναι διχοτόμος της γωνίας .
MK
AK

γ)      .
Λύση:
α) Είναι
2

    , ως διάμεσος στην υποτείνουσα  του ορθογωνίου
τριγώνου .
Έτσι το τρίγωνο  είναι ισοσκελές δηλαδή
   .
β) Είναι
2

    , ως διάμεσος στην
υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου AB.
Έτσι στο ισοσκελές τρίγωνο  το  είναι ύψος
στη βάση του  άρα είναι και διχοτόμος της γωνίας
.
γ) Είναι
2

  ως διάμεσος στην υποτείνουσα 
του ορθογωνίου τριγώνου .
2 2 2
  
       .
ΘΕΜΑ 4567
Δίνεται τετράγωνο AB και εντός αυτού ισόπλευρο τρίγωνο MB . Αν η
προέκταση της τέμνει τη B στο σημείο E, να αποδείξετε ότι:
α) 0 AE 15 . (Μονάδες 8 )
β) Τα τρίγωνα AE και E είναι ίσα. (Μονάδες 8 )
γ) Η E είναι διχοτόμος της γωνίας M. (Μονάδες 9)
AM

Λύση:
α) Επειδή το τρίγωνο MB είναι ισόπλευρο θα είναι AB BM και
0 0 0 ABM90 60 30 . Άρα:
0 0
0 180 30
BAM AMB 75
2

   .
Οπότε: 0 0 AE  90 75  0 AE 15 .
β) Τα τρίγωνα AE και E είναι ίσα, επειδή
έχουν:
E κοινή πλευρά, A (πλευρές
τετραγώνου) και AˆEEˆ 450 (η διαγώνιος
τετραγώνου διχοτομεί τις γωνίες του).
γ) Από την ισότητα των τριγώνων του
προηγούμενου ερωτήματος προκύπτει ότι
Eˆ  AE 150 κι επειδή Mˆ300 , θα είναι
και MˆE150 , δηλαδή η E είναι διχοτόμος
της γωνίας M.
ΘΕΜΑ 4569
Δίνεται τραπέζιο με και . Αν η διχοτόμος της γωνίας
τέμνει την στο σημείο , να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 8)
β) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
γ) Η είναι διχοτόμος τις γωνίας του τραπεζίου. (Μονάδες 8)
AB AB/ / AB
 AB 
A
B
 

Λύση:
α) Είναι 1 1
Mˆ  ˆ ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ,AB με τέμνουσα την .
Επίσης 1 2
ˆ ˆ
 
     αφού
M διχοτόμος. Επομένως είναι και
1 2
Mˆ  ˆ . Συνεπώς το τρίγωνο AM
είναι ισοσκελές και άρα A AM (1).
β) Είναι
(1)
AB  AM  BB  AB AM MB άρα το τρίγωνο MB ισοσκελές και
άρα 2 1
Mˆ  ˆ (2).
γ) Είναι 2 2
Mˆ  ˆ (3) ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων ,AB με τέμνουσα την
M. Από (2),(3) είναι 1 2
ˆ ˆ    άρα M  διχοτόμος της γωνίας ˆ
.
ΘΕΜΑ 4571
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABμε και σημείο στην προέκταση της .
Από το  φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην προέκταση της .
Από το σημείο φέρουμε κάθετη στην και κάθετη στην . Να
α) H γωνία είναι ίση με τη γωνία . (Μονάδες 4)
β) Η είναι διχοτόμος της γωνίας . (Μονάδες 4)
γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές. (Μονάδες 9)
δ) (Μονάδες 8)
M
AB  B
 AB  A
  AB  
 B
 

   

Λύση:
α) Έχουμε
K  AB,H  AB,Z  K άρα
το KHZ είναι ορθογώνιο αφού
έχει 3 ορθές γωνίες. Άρα
KH / /Z AB/ /Z άρα
B Z ως εντός εκτός και επί
τα αυτά μέρη των AB/ /Z που
τέμνονται από την B .
β) EAB ως κατακορυφήν
BAB αφού το ABτρίγωνο
ισοσκελές και B Z από
ερώτημα (α).
Άρα E  Z άρα η  διχοτόμος της ZE.
γ) Συγκρίνουμε τα ορθογώνια τρίγωνα Z,E αυτά έχουν:
1)  κοινή πλευρά
2) E  Z από ερώτημα (β)
Άρα τα τρίγωνα Z,E είναι ίσα άρα έχουν Z E άρα το τρίγωνο ZE είναι
ισοσκελές.
δ) Από ερώτημα (α) KHZ ορθογώνιο αφού έχει 3 ορθές γωνίες.
Άρα KZ H (1) (απέναντι πλευρές ορθογωνίου).
Από ερώτημα (γ) Z E (2) .
Έχουμε K Z ZK (1),(2) K EHKE H.

ΘΕΜΑ 4579
Δίνεται τρίγωνο ABμε  και  αντίστοιχα η εσωτερική και η εξωτερική
διχοτόμος της γωνίας  (, σημεία της ευθείας ). Φέρουμε  κάθετη στην
 και  κάθετη στην  και θεωρούμε  το μέσο του  .
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.
β) Η γωνία είναι ίση με τη γωνία .
γ) Η ευθεία  διέρχεται από το .
δ)
Λύση:
(Υπάρχει τυπογραφικό λάθος, μάλλον στην άσκηση, το είναι μέσο της  και
όχι της  ).
α) Το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ισοσκελές.
Είναι    ως διχοτόμοι εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών.
Έτσι το τετράπλευρο  είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.




2
 
 



β) Αν  είναι το κέντρο του τότε    ως μισά των ίσων διαγωνίων
, οπότε το τρίγωνο  είναι ισοσκελές δηλαδή
2

      .
γ) Το  είναι μέσο της  και το  της  , έτσι από το τρίγωνο  είναι
/ /
2

  .
Από το (β) ερώτημα είναι    δηλαδή η  είναι παράλληλη στην 
αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες.
Άρα η  διέρχεται από το  αφού από το  μία μόνο παράλληλη διέρχεται προς
την  .
δ) Είναι:
2 2
 
       
2 2 2
    
     .
ΘΕΜΑ 4583
Δίνεται τρίγωνο ABμε , η διχοτόμος του και η ευθεία (ε) παράλληλη
από το προς την A. Από το μέσο της Bφέρουμε ευθεία παράλληλη στην
η οποία τέμνει την στο , την ευθεία στο σημείο και την προέκταση
της στο . Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή. (Μονάδες 8)
β) B. (Μονάδες 9)
γ) AB. (Μονάδες 8)
Λύση:
AB A
B 
A A  ( ) 
 
A B

α) ( διχοτόμος), (εντός εκτός και επί τα αυτά των παραλλήλων
, που τέμνονται από την ) ,
(εντός και εναλλάξ των
παραλλήλων ,  που τέμνονται
από την ).
Επομένως άρα A
ισοσκελές.
Επίσης: (κατακορυφήν),
(εντός και εναλλάξ των
παραλλήλων , που τέμνονται
από την ).
Άρα και επομένως
άρα ισοσκελές.
β) Συγκρίνω τα τρίγωνα και  .
Έχουν   (υπόθεση), (κατακορυφήν, (εντός και εναλλάξ
των παραλλήλων A, που τέμνονται από την B.
Άρα =  (Γ-Π-Γ). Επομένως B.
γ) Είναι:  ( Aισοσκελές) και , επομένως ,
όμως B, επομένως AB.
ΘΕΜΑ 4588
Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο ABΓκαι στην προέκταση της ΓΒ (προς το B)
θεωρούμε σημείο τέτοιο ώστε ΒΔ=BΓ, ενώ στην προέκταση της BΓ (προς το Γ )
A1 2
 
  A A1 1
 
 
A 
A2 1
 
 
A

1 1
 
  
1 2
 
  
2 1
 
  


1 1
 
   1 1
 
  

2 1
 
   1 1
 
  

θεωρούμε σημείο  τέτοιο ώστε ΓΕ=BΓ . Φέρουμε την κάθετη στην  στο σημείο
 , η οποία τέμνει την προέκταση της  στο  .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες των τριγώνων ΓΑΕ και BΔΑ. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η ΓΖ είναι μεσοκάθετος του AΕ . (Μονάδες 12)
γ) Να αποδείξετε ότι ΑΒ//ΓΖ . (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Το τρίγωνο ABείναι ισόπλευρο, άρα AB B A (1) και
AB AˆB AB 600 (2) . Δίνεται ακόμα ότι B B E (3) . Από (1),(3)
προκύπτει ότι: ABB A B E (4) .
Από την σχέση (4) προκύπτει ότι στο τρίγωνο ABEη A είναι διάμεσος της BE
και μάλιστα
BE
A
2
  . Συνεπώς το τρίγωνο ABEείναι ορθογώνιο με υποτείνουσα
την BE.
ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου A E  .
Από τα παραπάνω 0 0 0 0 0 AE 180 90 AB  90 60 30 .

Επίσης AE BAEBA 900 600 300 (ή λόγω του ισοσκελούς - από (4) - AE:
0 AE AE  30 ). Τέλος, AˆE1800 BˆA1800 600 1200 .
ΕΥΡΕΣΗ ΓΩΝΙΩΝ τριγώνου B A  .
0 0 0 0 BA180 AB 180 60 120 , επειδή δε το τρίγωνο ΒΔΑ είναι (από (4) )
ισοσκελές, θα είναι και
0 0
0 ˆ 180 120 B A AB 30
2

     .
β) Είναι 0 0 0 ABBA  30 60  90 , οπότε A ύψος του τριγώνου Z, άρα
0 AZ 90 .
Αφού 0 AE  EA 30 , (από (α)) οι συμπληρωματικές τους
αντιστοίχως θα είναι 60 . Άρα το τρίγωνο ZAE είναι ισόπλευρο.
Επειδή:
A E AE
Z AE Z
AZ ZE
           
       
 
o o o o
o o o o
μεσοκάθετος του AE.
γ) Είναι ABAE (αφού 0 BAE  90 ) (5) και Z μεσοκάθετος του AE (6) .
Από (5),(6) συμπεραίνουμε ότι AB/ /Z. ό.έ.δ.
ΘΕΜΑ 4593
Δίνεται τρίγωνο AB και οι διάμεσοί του A,BE και Z . Προεκτείνουμε το τμήμα
ZE(προς το E) κατά τμήμα EH  ZE. Να αποδείξετε ότι:
α)Τοπ τετράπλευρο EHBείναι παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 8)
β) Η περίμετρος του τριγώνου AH είναι ίση με το άθροισμα των διαμέσων του
τριγώνου AB. (Μονάδες 9)
γ) Οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z. (Μονάδες 8)
Λύση:

α)Αφού A,BE,Z διάμεσοι του τριγώνου AB,τότε E,Z, μέσα των πλευρών του
και G βαρύκεντρο. Άρα
1
·
3
GZ  Z και
2
· (1)
3
G  Z .
Αφού Z,Eμέσα AB, A αντίστοιχα, τότε από θεώρημα,
2 2

 
B
ZE

. Αλλά από
υπόθεση ZE EH. Έτσι EH / /  B (2) και E μέσο ZH (3) .
Από (2) το τετράπλευρο EHBείναι
παραλληλόγραμμο. Συνεπώς H  BE  (4)   .
β) Λόγω (3) και E μέσο A τα A,ZH
διχοτομούνται. Άρα AHZ είναι
παραλληλόγραμμο. Επομένως
AH Z  (5)   .
Από (4),(5) το β) είναι προφανές.
γ)Στο τρίγωνο BG,  μέσο B και
 BG (λόγω παραλληλογράμμου EHB).
Άρα  μέσο G. Τότε από
1
(1) ·
3
GZ G  Z .
Άρα, οι ευθείες BE και H τριχοτομούν το τμήμα Z.
ΘΕΜΑ 4599
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο AB (A 90
 
    ) με B2και ,τα μέσα
των B,. Η παράλληλη από το προς την ABτέμνει την στο . Να
α) B2. (Μονάδες 8)

201442

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to 201442

Similar to 201442 (20)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

201442