264 squares(4)

1.
264 ασκήσεις με τετράγωνα

2.
Θεματοδότες - Πλήθοςασκήσεων Λύτες *- Πλήθος ασκήσεων *που συμμετέχουν με 6 τουλάχιστον λύσεις. 1) KARKAR - 109 2) Μιχάλης Νάννος - 50 3) Μπάμπης Στεργίου - 24 4) Κώστας Ρεκούμης (rek2) - 14 5) Αποστόλης Τιντινίδης (apotin) - 11 6) Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 7 7) Κώστας Ζερβός (kostas_zervos) - 7 8) orestisgotsis - 7 9) Γιώργης Καλαθάκης (exdx) - 7 10) Ανδρέας Πούλος - 6 11) Ηλίας Καμπελής (hlkampel) - 3 12) Γιώργος Μήτσιος - 3 13) Δημήτρης Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) - 3 14) Perantonis - 2 15) Σπύρος Βασιλόπουλος (spyros) - 2 16) Στράτης Αντωνέας (stranton) - 2 17) Γιώργος Ρίζος - 2 18) amoulan - 1 19) ctheofi - 1 20) ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ - 1 21) Μιχάλης Τσουρακάκης - 1 22) Ανδρέας Βαρβεράκης - 1 1) Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 96 2) Μιχάλης Τσουρακάκης - 75 3) Στάθης Κούτρας - 55 4) Γιώργος Ρίζος - 36 5) Μιχάλης Νάννος - 30 6) KARKAR - 27 7) Παναγιώτης Γιαννόπουλος (p_gianno) - 22 8) thanasis.a - 15 9) Ανδρέας Βαρβεράκης - 11 10) Γιώργος Μήτσιος - 11 11) Φωτεινή Καλδή (Φωτεινή) - 10 12) Θανάσης Μπεληγιάννης (mathfinder) - 9 13) Αποστόλης Τιντινίδης (apotin) - 9 14) Κώστας Δόρτσιος - 9 15) Κώστας Ρεκούμης (rek2) - 9 16) Σωτήρης Λουρίδας - 9 17) Γιώργης Καλαθάκης (exdx) - 7 18) Δημήτρης Ιωάννου (ΔΗΜΗΤΡΗΣ) - 7 19) orestisgotsis - 7 20) Ηλίας Καμπελής (hlkampel) - 6

3.
Αφιερωμένο στο γιομου Δημήτρη, στη γυναίκα μου Μαρία και στους φίλους μου απ’ το www.mathematica.gr 31 Οκτωβρίου 2013 Μιχάλης Νάννος

4.
Τετράγωνο Τετράγωνο, στηνΕυκλείδεια γεωμετρία, είναι το παραλληλόγραμμο που είναι ορθογώνιο και ρόμβος ταυτόχρονα. Ιδιότητες • Σε κάθε τετράγωνο ισχύουν τα εξής: 1. Οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες. 2. Όλες οι πλευρές είναι ίσες. 3. Όλες οι γωνίες είναι ορθές. 4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται, διχοτομούν τις γωνίες του και είναι άξονες συμμετρίας του. Κριτήρια τετραγώνου • Ένα παραλληλόγραμμο είναι τετράγωνο αν και μόνο αν ισχύει μία από τις παρακάτω προτάσεις: 1. Μία γωνία είναι ορθή και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. 2. Μία γωνία είναι ορθή και μία διαγώνιος διχοτομεί μία γωνία. 3. Μία γωνία είναι ορθή και οι διαγώνιοι κάθετες. 4. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και δύο διαδοχικές πλευρές ίσες. 5. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και μία από αυτές διχοτομεί μία γωνία. 6. Οι διαγώνιοι είναι ίσες και κάθετες.

5.
Ασκήσεις

6.
6 | 264ασκήσεις με τετράγωνα © 2013 | www.mathematica.gr | Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος mathematica.gr

8.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔμε κέντρο Ο. Αν για τυχαία σημεία Ε,Ζ επί των πλευρών ΔΑ,ΑΒ αντίστοιχα ισχύει ΕΟ ⊥ ΟΖ , δείξτε ότι: 1) (ΑΒΓΔ) = 4(ΑΖΟΕ) . 2) ΔΕ = ΑΖ . ΑΣΚΗΣΗ 2 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 1 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και με πλευρά ΑΔ κατασκευάζω εξωτερικά το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΔΕ . Αν Ζ ≡ ΕΓ∩ΔΒ , δείξτε ότι ΕΓ = ΖΒ 3 . Λύσεις: tzisves - Κώστας Ρεκούμης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

9.
Επιμέλεια: Μιχάλης Νάννος| www.mathematica.gr | 264 ασκήσεις με τετράγωνα © 2013 | 7 mathematica.gr

10.
μ

11.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι με πλευρά ΑΒ =α κατασκευάζω εσωτερικά το ισόπλευρο  ΑΒΕ . Αν ΕΒΖΗ τετράγωνο στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ’ την ΕΒ και στο οποίο δεν ανήκει το Α , να δείξετε ότι ΔΗ =α 2 . ΑΣΚΗΣΗ 4 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 3 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και εσωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε ΑΕ =α και ΒΕ ⊥ ΕΓ. Να δείξετε ότι ΒΕ = 2ΕΓ . Λύση: Φωτεινή Καλδή Λύση: Νίκος Φραγκάκης

12.

13.
μ

14.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ΓΕ ⊥ ΔΜ(Ε∈ΔΜ) , να δείξετε ότι ΑΕ = ΓΕ 5 . ΑΣΚΗΣΗ 6 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 5 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ΑΕ ⊥ ΔΜ(Ε∈ΔΜ) , να δείξετε ότι ( ) 2 ΔΕ ⋅ ΔΜ ΓΔΜ = . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - gavrilos

15.

16.
μ

17.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι εξωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε ΓΕ ⊥ ΔΕ . Αν ΓΕ = x,ΔΕ = y , να δείξετε ότι: 1) ΕΑ = (x + y)2 + y2 . 2) ΕΒ = (x + y)2 + x2 . ΑΣΚΗΣΗ 8 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 7 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Μ το μέσο της ΒΓ . Αν ΑΕ ⊥ ΔΜ(Ε∈ΔΜ) , να δείξετε ότι ΑΒ = ΒΕ . Λύσεις: Χρήστος Τσιφάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Perantonis - thanasis.a Λύσεις: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης - Νίκος Φραγκάκης

18.

19.
μ

20.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι εσωτερικό σημείο Ε , τέτοιο ώστε το τρίγωνο ΕΑΒ να είναι ισοσκελές, με τις ίσες γωνίες του ΕΑΒ και ΕΒΑ να ισούνται προς 15 . Να δειχτεί ότι το τρίγωνο ΕΔΓ είναι ισόπλευρο. ΑΣΚΗΣΗ 10 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 9 - ctheofi Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω Ε,Ζ,Η,Θ τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ,ΔΑ αντίστοιχα. Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΚΛΜΝ , που σχηματίζεται απ’ τις τομές των πλευρών ΔΖ,ΘΒ,ΑΗ,ΕΓ , είναι τετράγωνο και ότι (ΑΒΓΔ) = 5(ΚΛΜΝ) . Λύσεις: Μιχάλης Νάννος - Κώστας Ρεκούμης - Παραπομπή Λύση: jim..jt - Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Μπάμπης Στεργίου

21.

22.
μ

23.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔμε σημεία Ε,Ζ,Η,Θ στις πλευρές ΔΑ,ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΕΒΓ = ΑΔΗ = ΘΑΒ = ΔΓΖ = 75 . Δείξτε ότι το τετράπλευρο ΙΚΛΜ , που σχηματίζεται από τις τομές των πλευρών ΑΘ,ΖΓ,ΔΗ,ΕΒ είναι τετράγωνο και ότι (ΑΒΓΔ) = 2(ΙΚΛΜ) . ΑΣΚΗΣΗ 12 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 11 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και εσωτερικό του σημείο Ε , τέτοιο ώστε ΓΕΒ = 90 . Να δείξετε ότι ( ) 2 2 ΒΕ ΑΕΒ = . Λύση: Γιώργος Ρίζος Λύση: Γιώργος Ρίζος

24.

25.
μ

26.
Σημείο Σ κινείταιεπί της πλευράς ΒΓ του τετραγώνου ΑΒΓΔ , ενώ το Μ είναι το μέσο της ΑΒ . Γράφω τα ημικύκλια του σχήματος, με διαμέτρους ΒΣ και ΔΣ , τα οποία τέμνονται στο Τ . 1) Δείξτε ότι το Τ βρίσκεται πάνω στη διαγώνιο ΒΔ . 2) Βρείτε τη θέση του Σ , ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ΔΣ να διέλθει από το Μ . 3) Βρείτε τη θέση του Σ , ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου ΒΣ να εφάπτεται της ΓΜ . ΑΣΚΗΣΗ 14 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 13 - KARKAR Εξωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ και με πλευρά τη ΓΔ , σχεδιάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ΚΓΔ . Γράφω τον κύκλο που διέρχεται από τα Κ,Α,Β και τη χορδή ΑΕ , η οποία διέρχεται από τα Α,Δ . Υπολογίστε το μήκος της ΑΕ . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: Στάθης Κούτρας

27.

28.
μ

29.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔπλευράς α . Να αποδειχθεί ότι για τον κύκλο (Ο,ρ ) , ο οποίος διέρχεται απ’ τα Α,Δ και εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο Ε , ισχύει 5 8 α ρ = . ΑΣΚΗΣΗ 16 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 15 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και έστω ΔΕ(Ε∈ΑΒ) η διχοτόμος της ΑΔΒ. Αν Ζ ≡ ΑΓ∩ΔΕ , να δείξετε ότι ΑΖ = ΑΕ . Λύσεις: orestisgotsis - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Φωτεινή Καλδή

30.

31.
μ

32.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔμε Μ το μέσο της πλευράς ΑΒ και σημείο Ν , επί της διαγωνίου ΑΓ , τέτοιο ώστε ΑΝ = 3ΝΓ . Να δείξετε ότι το  ΔΝΜ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΑΣΚΗΣΗ 18 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 17 - Μιχάλης Νάννος Στο παραπάνω σχήμα τα ΑΒΓΔ,ΑΕΖΚ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι (ΑΒΓΔ) + (ΑΕΖΚ) = ΔΕ2 . Λύσεις: gavrilos - orestisgotsis - Γιώργης Kαλαθάκης Λύση: gavrilos

33.

34.
μ

35.
Να βρεθεί ογεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου τετραγώνου ABΓΔ πλευράς AB = 2α , για τα οποία ισχύει: MZ3 +MΘ3 +ME3 +MH3 =κ 3 (όπου MZ,MΘ,ME,MH, οι αποστάσεις του Μ από τις πλευρές του τετραγώνου). ΑΣΚΗΣΗ 20 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 19 - orestisgotsis Παίρνουμε εσωτερικό σημείο Ε τετραγώνου ΑΒΓΔ και κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΔΕΖΚ . Να δείξετε ότι ΒΖ = 2ΑΕ . Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης

36.

37.
μ

38.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔκαι φέρνουμε τη διχοτόμο της AΔˆB, που τέμνει την AB στο σημείο E. Η διαγώνιος AΓ τέμνει την ΔE και την ΔB στα σημεία Z,K αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι EB = 2ZK. ΑΣΚΗΣΗ 22 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 21 - Στράτης Αντωνέας Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε επί της ΒΓ . Αν ΓΖΕ = 45 (Ζ∈ΑΕ) , να δείξετε ότι ΓΕ2 = ΕΖ⋅ΕΑ. Λύση: Γιώργης Καλαθάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Χρήστος Καρδάσης

39.

40.
μ

41.
Σημείο Τ κινείταιεπί της πλευράς ΒΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ . Η ΑΤ τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο σημείο Σ και την προέκταση της ΔΓ στο σημείο Ν . Δείξτε ότι τα αριθμημένα εμβαδά αποτελούν (με τη σειρά εμφάνισης) διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 24 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 23 - KARKAR Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ σχηματίζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΕ,ΒΓΖ,ΓΔΗ,ΔΑΙ . Να αποδειχτεί ότι τα μέσα των πλευρών τους που κείνται στο εσωτερικό του τετραγώνου και τα μέσα των τμημάτων ΕΖ,ΖΗ,ΗΙ,ΙΕ , είναι κορυφές κανονικού δωδεκαγώνου. Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Γιώργος Μπαλόγλου - Γιώργος Μήτσιος - Κώστας Ρεκούμης

42.

43.
μ

44.
Δίνεται το τετράγωνοΑΒΓΔ με μήκος πλευράς a . Τα Ε,Ι,Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ,ΓΔ,ΑΔ αντίστοιχα και τα τρίγωνα ΕΛΗ,ΓΙΚ του σχήματος είναι ισόπλευρα. 1) Να εξετάσετε αν τα σημεία Ι,Κ,Λ είναι συνευθειακά. 2) Να εκφράσετε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΕΛΚΑ συναρτήσει της πλευράς α . ΑΣΚΗΣΗ 26 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 25 - Ανδρέας Πούλος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και στο εσωτερικό του ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ . Αν Ζ ≡ ΔΕ ∩ ΒΓ , να δείξετε ότι: 1) ΔΕ = ΕΖ . 2) ( ) ( ) 2 4 ΔΕ ΑΔΕ − ΒΕΖ = . Λύση: KARKAR Λύση: Νίκος Φραγκάκης

45.

46.
μ

47.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Έστω Ρ σημείο της διαγωνίου ΒΔ, τέτοιο ώστε ΒΡ = 3ΡΔ και Ε η χρυσή τομή του ΒΓ , με ΒΕ ΕΓ . Θεωρούμε τον κύκλο που ορίζουν τα Β,Ρ,Ε και ημιευθεία από το Β , που τέμνει τη χορδή ΡΕ στο Ζ , το τόξο ΡΕ στο Η και την πλευρά ΓΔ στο Ι . Αν είναι (ΑΒΓΔ) = 4 και ισχύει ΒΖ⋅ΒΗ = 3 2 (ϕ −1) , όπου ϕ ο λόγος της χρυσής τομής, τότε να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου ΒΙΔ . ΑΣΚΗΣΗ 28 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 27 - Γιώργος Μήτσιος Αν ΒΕΖ = ΓΖΕ = 90 ,ΒΕ =α ,ΕΖ = β ,ΖΓ =γ ,το ΑΒΓΔ τετράγωνο, να δείξετε ότι: ΔΖ = (α +γ )2 + (β +γ )2 . Λύση: Γιώργος Μήτσιος Λύση: thanasis.a

48.

49.
μ

50.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, με Μ το μέσο της ΒΓ και τυχαίο σημείο Ε της ΓΔ . Αν Ζ ≡ ΒΕ∩ΑΜ, να δείξετε ότι (ΖΑΒ) = (ΖΑΕ) − 2(ΖΜΒ) . ΑΣΚΗΣΗ 30 - Γιώργης Καλαθάκης ΑΣΚΗΣΗ 29 - Μιχάλης Νάννος Σε τετράγωνο ABΓΔ γράφουμε κύκλο κέντρου Γ και έπειτα φέρουμε τις εφαπτόμενες ΔΖ,ΒΗ . Αν ΓΔΖ = 25 , να βρείτε τη ΓΕΗ . Λύσεις: Γιώργης Καλαθάκης - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

51.

52.
μ

53.
Στο παραπάνω σχήματα ΑΒΓΔ,ΑΕΖΚ είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι (ΓΖ) = 2 (ΒΚ) . ΑΣΚΗΣΗ 32 - Δημήτρης Ιωάννου ΑΣΚΗΣΗ 31 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά α και φέρνουμε τη διαγώνιο ΑΓ . Από τα σημεία Α,Γ φέρνουμε δύο ημιευθείες στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ , οι οποίες σχηματίζουν γωνίες 15 ,30 με την ως άνω διαγώνιο αντιστοίχως και τέμνονται στο σημείο Z . Να αποδείξετε ότι: ΕΑ2 − ΕZ2 =α ( 2ΕΑ− 2ΕZ) , όπου Ε είναι το σημείο τομής των ΑΓ και ZΔ. Λύσεις: Γιώργης Καλαθάκης - Perantonis Λύσεις: thanasis.a - Νίκος Φραγκάκης - Δημήτρης Ιωάννου

54.

55.
μ

56.
Στο παραπάνω σχήματο μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι α . Το κέντρο του κύκλου ανήκει στη διαγώνιο του τετραγώνου, ο κύκλος εφάπτεται σε δύο πλευρές του τετραγώνου και έχει ακτίνα β . Να εκφράσετε το εμβαδόν του σκιασμένου τετραπλεύρου συναρτήσει των αριθμών α ,β . ΑΣΚΗΣΗ 34 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 33 - Ανδρέας Πούλος Εσωτερικά του τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο  ΓΒΔ . Κατασκευάστε ημικύκλιο με διάμετρο επί της ΑΒ και εφαπτόμενο του ημικυκλίου σε σημείο Σ και δείξτε ότι το ΑΣ προεκτεινόμενο, θα διέλθει από το μέσο Μ της ΒΓ . Λύση: Γιώργος Ρίζος Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Perantonis

57.

58.
μ

59.
Στο εσωτερικό ενόςτετραγώνου ΑΒΓΔ είναι σχεδιασμένο το τεταρτοκύκλιο  ΓΒΔ . Για ποια θέση σημείου Σ , επί της ΑΒ , το τεταρτοκύκλιο διχοτομεί το τμήμα ΔΣ ; Υπολογίστε το μέτρο της ΔΣΑ. ΑΣΚΗΣΗ 36 - Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 35 - KARKAR Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α . Αν ο κύκλος (Ο,ρ ) διέρχεται από τα Α,Δ και εφάπτεται της ΒΓ στο Ε , να βρείτε το λόγο της ακτίνας του κύκλου προς την πλευρά του τετραγώνου. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: Γιώργος Μήτσιος

60.

61.
μ

62.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι θεωρούμε δύο σημεία Ε και Η πάνω στις πλευρές ΔΓ και ΓΒ αντίστοιχα. Έστω Ζ,Ι τα σημεία τομής των ΑΕ,ΑΗ με την ΔΒ αντιστοίχως και Κ το μέσο του ΕΗ . Αν ΚΖ = ΚΙ και αν οι αποστάσεις του Κ από τις πλευρές ΑΒ και ΑΔ είναι άνισες, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΗΖ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές. ΑΣΚΗΣΗ 38 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 37 - Δημήτρης Ιωάννου Στο παραπάνω σχήμα τα ABΓΔ,AEZK είναι τετράγωνα. Να δείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των δύο τετραγώνων είναι ορθογώνιοι και οι ευθείες ΕΔ,ΒΚ τέμνονται κάθετα στο δεύτερο κοινό σημείο των ίδιων κύκλων. Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Γιώργος Μήτσιος - Γιώργος Μήτσιος Λύση: Στράτης Αντωνέας

63.

64.
μ

65.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔκαι θεωρούμε τυχαίο σημείο Ε πάνω στην πλευρά ΓΔ . Ένα σημείο Η επί της πλευράς ΒΓ είναι τέτοιο, ώστε να ισχύει: ΕΗ = ΕΔ + ΗΒ . Αν η ΑΕ τέμνει τη διαγώνιο ΒΔ στο σημείο Ζ , να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΗΖ είναι εγγράψιμο. ΑΣΚΗΣΗ 40 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 39 - Δημήτρης Ιωάννου Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς α , σχεδιάζουμε τα ημικύκλια με διαμέτρους ΓΔ,ΔΑ και έστω Ε το σημείο τομής τους. Αν είναι ΔΕ = x , να δείξετε ότι: 1) (ΑΒΓΔ) = 2x2 . 2) 2 4 γκρι α Ε = . Λύση: Γιώργος Μήτσιος Λύσεις: Παναγιώτης Γκριμπαβιώτης - Νίκος Φραγκάκης

66.

67.
μ

68.
Το τετράγωνο τουπαραπάνω σχήματος έχει πλευρά α . Να δείξετε ότι το εμβαδόν της μπλε περιοχής είναι ίσο με το εμβαδόν της κίτρινης περιοχής. ΑΣΚΗΣΗ 42 - Perantonis ΑΣΚΗΣΗ 41 - Γιώργης Καλαθάκης Δύο ίσα τετράγωνα τέμνονται όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Να υπολογισθεί η γωνία ω και να αποδειχθεί ότι τα σημεία K,O,M είναι συνευθειακά. Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης Λύση: Κώστας Ρεκούμης

69.

70.
μ

71.
Αν τα ABΓΔ,BEZHείναι τετράγωνα, τα σημεία Γ,M,H M,B,NA,N,E είναι συνευθειακά και ισχύει MN ⊥ AE, τότε: 1) ΓM = MH . 2) ( ) ( ) 2 AB BEZH 2 2 2 ΓΔ + = x + y , όπου x = MB, y = ΓH. ΑΣΚΗΣΗ 44 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 43 - Μιχάλης Νάννος Θεωρούμε σημείο Μ στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ , με ΑΒΜ = 30 και ΔΑΜ =15 . Να δείξετε ότι ΔΜΓ = 75 . Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Δημήτρης Ιωάννου - Παραπομπή

72.

73.
μ

74.
Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔπλευράς α . Από το Α φέρουμε ημιευθεία, που τέμνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της ΔΓ στο Ζ. Αν είναι ΕΖ = 2 και ΓΖ =ϕ , όπου ϕ ο λόγος της χρυσής τομής, τότε: 1) Να υπολογιστεί το (ΓΕΖ) = μ . 2) Να εξεταστεί αν είναι ( ) 2 1 μ μ ΑΒΓΔ = − . 3) Θεωρούμε τον κύκλο (Ε,ΕΖ) που τέμνει την ΒΓ στο Η και την ΔΓ στο Θ . Θέτουμε Κ το εμβαδόν της πράσινης περιοχής, που περικλείουν τα τμήματα ΓΘ,ΓΗ και το τόξο ΘΗ . Να εξεταστεί αν ισχύει ( ) 2 2 1 7 1 5 π μ μ α μ Κ   =  +  −   , που σημαίνει ότι η πράσινη περιοχή καλύπτει περίπου τα 28,95 100 του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 46 - Γιώργης Καλαθάκης ΑΣΚΗΣΗ 45 - Γιώργος Μήτσιος Δίνονται τα τετράγωνα ΑΒΓΔ,ΒΕΖΓ και σημείο Κ στην προέκταση της ΔΑ . Η ΚΒ τέμνει τη ΔΕ στο Μ . Να αποδείξετε ότι η ΓΒ διχοτομεί τη ΚΓΜ. Λύση: Γιώργος Ρίζος Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - KARKAR - Στάθης Κούτρας

75.

76.
μ

77.
Πάνω από τοτετράγωνο ΑΒΓΔ γράφω ημικύκλιο διαμέτρου ΔΓ και κέντρου Μ . Η ΑΜ τέμνει το τόξο στο Ν και η ΝΓ την προέκταση της ΑΒ στο Σ . Δείξτε ότι ΝΣ = 2ΔΝ . ΑΣΚΗΣΗ 48 - Perantonis ΑΣΚΗΣΗ 47 - KARKAR Δίνονται τα τετράγωνα ABΓΔ και EZHΘ με τα σημεία E, Z,Θ να ανήκουν στις πλευρές AB,BΓ,AΓ αντίστοιχα. Να αποδειχθούν: 1) AE = ΕΒ + ΒΖ 2) Το τρίγωνο ΘΗΓ είναι ισοσκελές. 3) Οι BΔ,EH,ΘZ συντρέχουν. Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Στάθης Κούτρας

78.

79.
μ

80.
Δωδεκάγωνο είναι εγγεγραμμένοσε τετράγωνο, έτσι ώστε τέσσερις από τις κορυφές του να είναι μέσα των πλευρών του τετραγώνου. 1) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του σκιασμένου μέρους είναι ίσο με το 1 12 του εμβαδού του δωδεκαγώνου. 2) Αν ο περιγεγραμμένος, στο δωδεκάγωνο, κύκλος έχει ακτίνα 1, τότε να δείξετε ότι το δωδεκάγωνο έχει εμβαδό 3τ .μ. ΑΣΚΗΣΗ 50 - Γιώργος Ρίζος ΑΣΚΗΣΗ 49 - Αποστόλης Τιντινίδης Το τετράγωνο του σχήματος είναι χωρισμένο σε εννέα ίσα τετράγωνα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βρείτε το λόγο του εμβαδού του γαλάζιου χωρίου προς το εμβαδόν του μεγάλου τετραγώνου. Λύσεις: gavrilos - Κώστας Ρεκούμης Λύσεις: Αποστόλης Τιντινίδης - Ανδρέας Πούλος

81.

82.
μ

83.
Επί της πλευράςΒΓ τετραγώνου ΑΒΓΔ κινείται σημείο Σ . Γράφουμε τον κύκλο με διάμετρο ΑΣ και το εντός του τετραγώνου εφαπτόμενο τμήμα ΔΕ . Βρείτε τη θέση του Σ : 1) Αν ΑΕ = ΔΕ . 2) Αν ΑΕ = 2ΔΕ . ΑΣΚΗΣΗ 52 - Σπύρος Βασιλόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 51 - KARKAR Ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ χωρίζεται σε τέσσερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα, όπως για παράδειγμα στο πάνω σχήμα. Να βρείτε την μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει το άθροισμα των εμβαδών των περιγεγραμμένων κύκλων των παραπάνω ορθογωνίων στα οποία χωρίστηκε το τετράγωνο. Λύση: Γιώργος Μήτσιος Λύση: KARKAR

84.

85.
μ

86.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔ. Από το Α φέρνουμε τυχαία ευθεία που τέμνει την BΓ στο Ε και την προέκταση της ΔΓ στο Ζ . Να δείξετε ότι: 2 2 2 1 1 1 AE AZ AB + = . ΑΣΚΗΣΗ 54 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 53 - Αποστόλης Τιντινίδης Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ το Μ είναι το μέσο της ΓΔ και το Ν σημείο της ΒΓ , ώστε 2ΒΝ = ΝΓ . Τα ΑΝ,ΑΜ τέμνουν τη διαγώνιο ΒΔ στα σημεία Σ,Τ αντίστοιχα. Δείξτε ότι: 1) Το τρίγωνο ΑΣΜ είναι ισοσκελές και ορθογώνιο. 2) Τα τμήματα ΒΣ,ΣΤ,ΤΔ μπορούν να γίνουν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Χρήστος Καρδάσης - Νίκος Φραγκάκης - Αποστόλης Τιντινίδης Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Νίκος Φραγκάκης

87.

88.
μ

89.
Δίνονται τα τετράγωναABCD, BCEZ και σημείο H στην πλευρά CD, τέτοιο ώστε ∠DAH =15 . Να αποδείξετε ότι ∠AHZ = 75 . ΑΣΚΗΣΗ 56 - amoulan ΑΣΚΗΣΗ 55 - Μπάμπης Στεργίου Σε τυχαίο σημείο T της πλευράς AB τετραγώνου ABCD, φέρω κάθετη η οποία τέμνει τη διαγώνιο BD στο S . Επί της AD παίρνω σημείο P , ώστε AP = 2TS . Υπολογίστε τη CPS . Λύσεις: Κώστας Ζερβός - Κώστας Ζερβός - Μπάμπης Στεργίου Λύσεις: Γρηγόρης Κακλαμάνος - KARKAR

90.

91.
μ

92.
Σε τετράγωνο ΑΒΓΔπαίρνουμε το μέσο Z της πλευράς του ΒΓ . Η ευθεία ΑΖ τέμνει την ευθεία ΔΓ στο σημείο Ε . Αν Μ είναι το μέσο του ΒΖ , να αποδείξετε ότι η ευθεία ΕΜ εφάπτεται του κύκλου που εγγράφεται στο τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 58 - Αποστόλης Τιντινίδης ΑΣΚΗΣΗ 57 - Στράτης Αντωνέας Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Εξωτερικά του τριγώνου ABΓ κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ABEZ και AΓΔH , που έχουν κέντρα Ν,Μ αντίστοιχα. Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε το τετράγωνο KΛMN όπως στο σχήμα. Αν γνωρίζουμε ότι (ABEZ) = 32 , (AΓΔH) = 46 και (KΛMN) = 67 , να υπολογίσετε το εμβαδόν (ABΓ) . Λύσεις: KARKAR - Χ. Τσιφάκης - Α. Τιντινίδης - Σ. Λουρίδας - Σ. Αντωνέας - Παραπομπή Λύση: Στάθης Κούτρας

93.

94.
μ

95.
Οι κορυφές Α,Β,Γ,Δενός τετραγώνου ΑΒΓΔ είναι εσωτερικά σημεία των πλευρών ΕΖ,ΖΗ,ΗΘ,ΘΕ , αντιστοίχως, ενός παραλληλογράμμου ΕΖΗΘ. Να αποδειχτεί ότι οι κάθετες από τις κορυφές Ε,Ζ,Η,Θ του παραλληλογράμμου στις πλευρές ΔΑ,ΑΒ,ΒΓ,ΓΔ , αντιστοίχως, του τετραγώνου σχηματίζουν τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 60 - orestisgotsis ΑΣΚΗΣΗ 59 - Κώστας Ρεκούμης Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Μ στο εσωτερικό του. Αν οι πλευρές του φαίνονται από το Μ υπό γωνίες α ,β ,γ ,δ να δειχθεί ότι: 1 1 1 σϕα σϕγ σϕ β σϕδ + = + + . Λύση: Κώστας Ρεκούμης Λύση: Σπύρος Βασιλόπουλος

96.

97.
μ

98.
Σε τετράγωνο ABCDέχει σχεδιαστεί το τεταρτοκύκλιο D AC  , ενώ σημείο S κινείται επί της BC . Η DS τέμνει το τόξο στο M . Φέρουμε από το M παράλληλη στην AC , η οποία τέμνει το τόξο στο L και την BC στο N . 1) Βρείτε τη θέση του S , ώστε SB = SM . 2) Δείξτε ότι αυτή είναι η μοναδική θέση του S , για την οποία είναι επίσης ML = MN . ΑΣΚΗΣΗ 62 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 61 - KARKAR Τα ΑΒΓΔ,ΕΖΗΘ είναι τετράγωνα. Αν το ΒΓΗΘ είναι εγγράψιμο σε κύκλο στον οποίο η ευθεία ΑΔ ορίζει χορδή με απόστημα α , να αποδειχτεί ότι η διαφορά των πλευρών των τετραγώνων είναι 8 5 α . Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση - Αποστόλης Τιντινίδης

99.

100.
μ

101.
Το M είναιτο μέσο της πλευράς AD τετραγώνου ABCD. Η CM τέμνει τον κύκλο στο S . Η BS τέμνει τη διαγώνιο AC στο T . Υπολογίστε τους λόγους: MS , TA , TS MC TC TB . ΑΣΚΗΣΗ 64 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 63 - KARKAR Το M είναι το μέσο της πλευράς AB τετραγώνου ABCD. Οι δύο κύκλοι του σχήματος, εφάπτονται σε δύο πλευρές του τετραγώνου και στην CM . Το t είναι ένα κοινό εξωτερικά εφαπτόμενο τμήμα. Υπολογίστε τους λόγους: ,Rt ρ ρ. Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης

102.

103.
μ

104.
Δίνεται τετράγωνο ABCDπλευράς a και κέντρου K και ο κύκλος (K, R) με 2R 2a . Ένα σημείο M κινείται στον παραπάνω κύκλο. Αν η μέγιστη τιμή της γωνίας θ = AMˆC είναι 60 , τότε να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών του κυκλικού δίσκου και του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 66 - Αποστόλης Τιντινίδης ΑΣΚΗΣΗ 65 - Κώστας Ζερβός Τετράγωνο ABΓΔ είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο (O, R) . Αν Η,Ρ,Κ,Ν είναι οι προβολές των κορυφών A,B,Γ,Δ του τετραγώνου σε μια εφαπτομένη (ε ) του κύκλου, τότε να δείξετε ότι: ΑΗ·ΓΚ + ΒΡ·ΔΝ = R2 . Λύση: KARKAR Λύσεις: Παραπομπή

105.

106.
μ

107.
Στις πλευρές ΑΒκαι ΓΔ τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα σημεία Ε και Ζ αντιστοίχως, ώστε να είναι ΑΒ = 3ΑΕ,ΓΔ = 2ΓΖ . Αν οι ΕΔ,ΒΖ τέμνουν την διαγώνιο ΑΓ στα Μ,Ν αντιστοίχως, να αποδειχτεί ότι το ΜΝΖΔ είναι εγγράψιμο. ΑΣΚΗΣΗ 68 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 67 - Κώστας Ρεκούμης Με κέντρο το μέσο M της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, έχουμε γράψει τον κύκλο (M,MA) . Ευθεία που διέρχεται από το D, εφάπτεται του κύκλου στο S και τέμνει την BC στο P . Αν η MS τέμνει την BC στο T , υπολογίστε τις πλευρές του τριγώνου SPT . Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος Λύση: Νίκος Φραγκάκης

108.

109.
μ

110.
Να κατασκευασθεί κύκλος,ο οποίος να διέρχεται από την κορυφή C τετραγώνου ABCD και να εφάπτεται των πλευρών AB, AD στα P,Q αντίστοιχα. Αν ο κύκλος τέμνει τις BC,CD στα T, S αντίστοιχα, υπολογίστε τη γωνία PST . ΑΣΚΗΣΗ 70 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 69 - KARKAR Δίνονται τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΒΓΕΖ του σχήματος. Αν ΑΔ = 3ΔΗ , να βρεθεί η οξεία γωνία των ΑΕ και ΖΗ . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: KARKAR

111.

112.
μ

113.
Επί της πλευράςBC τετραγώνου ABCD παίρνω σημεία S, P , ώστε 4 BS = PC = BC . Οι AP,DS τέμνονται στο T . Δείξτε ότι οι εγγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα ATD, SCD είναι ίσοι. Αν εφάπτονται στην DS στα L, N , δείξτε ότι το τμήμα LN ισούται με την ακτίνα των δύο κύκλων. ΑΣΚΗΣΗ 72 - Σπύρος Βασιλόπουλος ΑΣΚΗΣΗ 71 - KARKAR Θεωρούμε ένα τετράγωνο ABΓΔ και δύο κάθετες ευθείες ε και ε ′ . Η ευθεία ε τέμνει την πλευρά AB στο E και την ΓΔ στο Z. Η ευθεία ε ′ τέμνει την πλευρά BΓ στο H και την AΔ στο Θ . Να δείξετε ότι EZ = HΘ. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: KARKAR

114.

115.
μ

116.
Στις πλευρές ADκαι BC τετραγώνου ABCD πλευράς a , παίρνω σημεία K,M ώστε 6 AK = a και 2 BM = a . Η KM τέμνει τη διαγώνιο BD στο L , ενώ η CL τέμνει την πλευρά AB στο N . Δείξτε ότι ( ) ( ) 3 ( ) 32 KNL = LBM = ABCD . ΑΣΚΗΣΗ 74 - orestisgotsis / KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 73 - KARKAR / Στάθης Κούτρας Θεωρούμε δύο τετράγωνα ΑΒΓΔ, ΑΒ′Γ′Δ′ με τον ίδιο προσανατολισμό. Να δεχθεί ότι ΒΒ′ ⊥ ΔΔ′ . Αν Σ το σημείο τομής των ΒΒ′,ΔΔ′ , δείξτε ότι τα Σ,Γ′,Γ είναι συνευθειακά και ότι ΓΣΒ = 45 . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Κώστας Ρεκούμης

117.

118.
μ

119.
Θεωρούμε τετράγωνο ΑΒΓΔπλευράς α , κέντρου Ο και τα σημεία Κ,Λ,Μ,Ν των τμημάτων ΟΑ,ΟΒ,ΟΓ,ΟΔ αντίστοιχα. Γράφουμε τους ίσους κύκλους (Ο, x) , (Κ, x) , (Λ, x) , (Μ, x) , (Ν, x) , ώστε ο κύκλος (Ο, x) να εφάπτεται εξωτερικά των άλλων τεσσάρων και καθένας από τους τέσσερις να εφάπτεται του (Ο, x) και δύο πλευρών του τετραγώνου (ο (Κ, x) των ΑΒ,ΑΓ , ο (Λ, x) των ΒΑ,ΒΓ κ.ο.κ.). Να υπολογιστεί συναρτήσει του α : 1) Το μήκος x . 2) Το εμβαδόν του μέρους του τετραγώνου που είναι εξωτερικό των 5 κυκλικών δίσκων. 3) Το μήκος του ΜΖ , όπου Ζ το σημείο επαφής του (Κ, x) με την πλευρά ΑΒ . ΑΣΚΗΣΗ 76 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 75 - Γιάννης Κουτσούκος Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας ϕ , αν το τελευταίο βέλος «σημαδεύει» την κορυφή A του τετραγώνου. Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - BRAHMA - thanasis.a

120.

121.
μ

122.
Στην πλευρά ADτετραγώνου ABCD κινείται σημείο P . Στην προέκταση της AB , προς το B , θεωρούμε σημείο S , τέτοιο ώστε: DP = BS . Ας πούμε T το σημείο τομής των BD και PS . Αν Z,H τα σημεία τομής της AT με τις CB,CS αντίστοιχα, για ποια θέση του P θα έχουμε (DPT) = (BSHZ) ; ΑΣΚΗΣΗ 78 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 77 - Νίκος Φραγκάκης Στο τετράγωνο ABCD έχουμε σχεδιάσει το τεταρτοκύκλιο DAC και το εσωτερικό ημικύκλιο διαμέτρου BC , τα οποία τέμνονται στο S Επίσης, M, N είναι τα μέσα των AB,CD αντίστοιχα. 1) Δείξτε ότι τα σημεία C, S,M είναι συνευθειακά. 2) Αν η BN τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο T , δείξτε ότι BT = 2SM . Λύση: KARKAR Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

123.

124.
μ

125.
Τετράγωνο ABΓΔ είναιεγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου KΛ ενός κύκλου (O,ρ ) . Να βρεθεί ο λόγος του εμβαδού του τετραγώνου ABΓΔ προς το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι εγγεγραμμένο στον κύκλο (O,ρ ) . ΑΣΚΗΣΗ 80 - Γιώργης Καλαθάκης ΑΣΚΗΣΗ 79 - Αποστόλης Τιντινίδης Σε τετράγωνο ΑΒΓΔ (πλευράς 1) παίρνουμε σημείο Z ώστε ZΔ = x . Η μεσοκάθετος του ΑΖ τέμνει τις ΑΔ,ΒΓ στα Μ,Κ αντίστοιχα. Έστω Λ το συμμετρικό του Â ως προς την ΜΚ . Η ΖΛ τέμνει την ΒΓ στο Ν . Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΖΝΓ είναι ίση με ΛΝ . Λύση: orestisgotsis Λύση: Στάθης Κούτρας

126.

127.
μ

128.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαι σημείο E στη διαγώνιο AC , με AE EC . Η ευθεία DE τέμνει την AB στο Z . Η κάθετη προς την DZ , στο σημείο E , τέμνει την AD στο K , την BC στο L και την ευθεία BA στο H . Να αποδείξετε ότι: 1) DZ = KL . 2) AH = CL . 3) DK = ZH . 4) Το τετράπλευρο DKZL είναι ισοσκελές τραπέζιο. ΑΣΚΗΣΗ 82 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 81 - Μπάμπης Στεργίου Σε τετράγωνο ABCD έχουμε γράψει το τεταρτοκύκλιο BAC . Να κατασκευάσετε κύκλο, ο οποίος να εφάπτεται των πλευρών DA,DC και να διέρχεται από το B . Στη συνέχεια να κατασκευάσετε κύκλο, ο οποίος να εφάπτεται των πλευρών BA, BC και του ημικυκλίου. Εξηγήστε γιατί οι δύο κύκλοι είναι ομόκεντροι! Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

129.

130.
μ

131.
Ημικύκλιο βρίσκεται στοεσωτερικό τετραγώνου ABCD, έχοντας ως άκρα τα μέσα M, N των πλευρών AB, AD αντίστοιχα. Από την κορυφή C φέρουμε τα, εφαπτόμενα στο ημικύκλιο, τμήματα CS,CT Υπολογίστε τα τμήματα CS,CT συναρτήσει της πλευράς α του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 84 - Γιώργος Μήτσιος ΑΣΚΗΣΗ 83 - KARKAR Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α . Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε σημείο Ε , τέτοιο ώστε: ΑΕ2 = 2ΕΓ2 και στην ΑΕ σημείο Z τέτοιο ώστε: ΑΕ2 =16(ΒΕΖ) . 1) Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών ( ) ( ) ΔΓΖ ΑΒΓΔ . Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια τυχαίο σημείο Κ στο εσωτερικό του τριγώνου ΓΔΖ και τις αποστάσεις του ΚΗ,ΚΘ,ΚΙ από τις πλευρές του τριγώνου αυτού. Θεωρούμε ακόμη κύκλο με ακτίνα R = ΚΗ + ΚΘ + ΚΙ και τέλος το εγγεγραμμένο σ΄ αυτόν τον κύκλο κανονικό πολύγωνο που έχει 54 διαγώνιους. Αν είναι ΑΒ =α =12 τότε: 2) Να εξεταστεί αν το εμβαδόν του κανονικού πολυγώνου είναι τέλειο τετράγωνο! Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκηs - Γιώργος Μήτσιος Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Ανδρέας Βαρβεράκης

132.

133.
μ

134.
Το S είναισημείο της πλευράς AB τετραγώνου ABCD, ώστε 2 3 AS = a .Σημείο T κινείται επί της AD . Γράφω το, εντός του τετραγώνου, ημικύκλιο με άκρα S ,T . 1) Βρείτε τη θέση του ST , ώστε αν CQ εφαπτόμενο τμήμα να είναι τα B,Q,D συνευθειακά. 2) Βρείτε τη θέση του ST , ώστε το ημικύκλιο να εφάπτεται της DC . ΑΣΚΗΣΗ 86 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 85 - KARKAR Το τετράγωνό ABCD έχει πλευρά μήκους 1 και σημείο S (1, k) , κινείται επί της BC .Να βρεθεί η εξίσωση κατακόρυφης ευθείας, η οποία, τέμνοντας την AS στο T και την DC στο P , να σχηματίζει τραπέζιο CSTP , το οποίο να έχει εμβαδόν το μισό του εμβαδού του τετραγώνου. Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

135.

136.
μ

137.
Δίνεται το τετράγωνοABCDπλευράς a και τα ημικύκλια με διαμέτρους AB,CD στο εσωτερικό του. Ένα σημείο E κινείται στην πλευρά AB Φέρνουμε την DE που τέμνει το ημικύκλιο, διαμέτρου AB , στο Z και το ημικύκλιο διαμέτρου DC στο H . Έστω επίσης το μέσο M του AB Αν η ZC εφάπτεται στο ημικύκλιο διαμέτρου AB , τότε: 1) Να αποδειχτεί ότι οι ευθείες MZ , CH και AD συντρέχουν και ότι 3 AE = a . 2) Να αποδειχτεί ότι ο κύκλος με διάμετρο ZH τέμνει την AD και να βρεθεί το μήκος της χορδής που αποκόπτει από αυτή ως συνάρτηση του a . ΑΣΚΗΣΗ 88 - Αποστόλης Τιντινίδης ΑΣΚΗΣΗ 87 - Κώστας Ζερβός Δίνεται τετράγωνο ABΓΔ . Από το Β φέρνουμε κάθετο προς τη διχοτόμο της ΔΓΑ, η οποία τέμνει τη διχοτόμο στο Ε , την AΓ στο Η και την ΓΔ στο Ζ. Να δείξετε ότι: ΔΖ = 2ΗΟ. Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

138.

139.
μ

140.
Για να τεμαχίσουμεένα τετράγωνο οικόπεδο σε τρία κομμάτια, ανάλογα των αριθμών 1, 2,3, φέραμε το τμήμα MN (M μέσο CD) και το κάθετο, προς αυτό, τμήμα BS .Εξηγήστε την ορθότητα της λύσης. Μπορείτε να επιτύχετε παρόμοιο αποτέλεσμα φέροντας δύο διαφορετικά τμήματα; ΑΣΚΗΣΗ 90 - Ανδρέας Πούλος ΑΣΚΗΣΗ 89 - KARKAR Στο παραπάνω σχήμα το γκρι τετράγωνο έχει μήκος πλευράς 2a , ενώ το κίτρινο τετράγωνο έχει μήκος πλευράς a . Τα τετράγωνα έχουν ένα, τουλάχιστον, ζεύγος πλευρών παράλληλες. Ονομάζουμε y1, y2 , y3 , y4 τις αποστάσεις των αντίστοιχων κορυφών τους. Να αποδειχθεί η σχέση 1 3 2 4 2 4 1 3 y y y y y y y y − + =−+ . Επιπλέον ερωτήματα: 1) Είναι απαραίτητη η απόλυτη τιμή στη σχέση; 2) Πότε δεν έχει νόημα η σχέση; Πώς μπορούμε να την τροποποιήσουμε, ώστε να αποκτήσει νόημα και στην περίπτωση αυτή; 3) Να δώσετε μία τουλάχιστον γενίκευση της άσκησης. Λύσεις: Κώστας Βήττας - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Γιώργος Ρίζος

141.

142.
μ

143.
Στο παραπάνω τετράγωνοΑΒΓΔ το Ε είναι τυχαίο εσωτερικό σημείο της ΑΒ . Η κάθετη της ΓΕ στο Ε , τέμνει τη διχοτόμο της ΔΑΖ στο Η (ΑΖ προέκταση της ΒΑ ). Να δείξετε ότι: ΕΓ = ΕΗ . ΑΣΚΗΣΗ 92 - orestisgotsis ΑΣΚΗΣΗ 91 - orestisgotsis Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ε της διαγωνίου του ΑΓ . Αν ΒΕΗΖ τετράγωνο πλευράς ΒΕ, να δειχθεί ότι τα ΓΕ,ΕΑ,ΕΖ αποτελούν πλευρές ορθογωνίου τριγώνου. Λύση: Ηλίας Καμπελής Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

144.

145.
μ

146.
Σημείο S κινείταιεπί της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD. Εκατέρωθεν της AC σχεδιάζω τα ισόπλευρα τρίγωνα ASP, CST . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου DPBT παραμένει σταθερό και υπολογίστε το. ΑΣΚΗΣΗ 94 - Κώστας Ζερβός ΑΣΚΗΣΗ 93 - KARKAR Τα σημεία E, Z βρίσκονται στις πλευρές AB, BC ενός τετραγώνου ABCD πλευράς a , ώστε: AE = BZ . Αν η διαγώνιος DB χωρίζει το τρίγωνο DEZ σε δύο τρίγωνα με λόγο εμβαδών 2 , τότε να βρεθεί ο λόγος ( ) ( ) ABCD DEZ . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Γιώργης Καλαθάκης Λύση: Ηλίας Καμπελής

147.

148.
μ

149.
Σημείο S κινείταιεπί της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD. Εκατέρωθεν της AC σχεδιάζω τα τετράγωνα ASZP και CSHT . Δείξτε ότι το εμβαδόν του τετράπλευρου DPBT παραμένει σταθερό και υπολογίστε το. ΑΣΚΗΣΗ 96 - Ηλίας Καμπελής ΑΣΚΗΣΗ 95 - Ανδρέας Πούλος Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημείο E στην προέκταση της πλευράς AB .Η κάθετη από το σημείο D προς την ευθεία EC , τέμνει την EC στο σημείο Z και την ευθεία AB στο σημείο H . Να αποδειχθεί ότι: AB2 = AH·BE . Λύση: Γιώργος Μήτσιος Λύση: thanasis.a

150.

151.
μ

152.
Δίνεται τετράγωνο ABCDπλευράς a . Με κέντρο το μέσο της CD γράφουμε τόξο EZ στο εσωτερικό του τετραγώνου, το οποίο χωρίζει το τετράγωνο σε δύο χωρία με ίσες περιμέτρους. Ένας κύκλος εφάπτεται εξωτερικά στο τόξο EZ και στις πλευρές AB, AD του τετραγώνου. Να βρεθεί η ακτίνα του ως συνάρτηση του a . ΑΣΚΗΣΗ 98 - Νίκος Φραγκάκης ΑΣΚΗΣΗ 97 - Κώστας Ζερβός Πάνω στην πλευρά AB , τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο E . Στην πλευρά BC θεωρούμε σημείο H , τέτοιο ώστε: AE = BH . Αν η κάθετη DK προς την EH κόψει τη διαγώνιο AC στο σημείο M , να δείξετε ότι: 1) DM = EH . 2) Ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου MEH διέρχεται από το B και από το κέντρο O του τετραγώνου. Λύση: KARKAR Λύση: thanasis.a

153.

154.
μ

155.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔκαι σημείο Κ στην προέκταση της ΔΓ , τέτοιο ώστε ΓK =α ⋅ΓΔ , όπου α ≥1. Έστω Ε το μέσο της ΑΒ και Ζ το σημείο τομής των ΔB, ΓE .Αν η ΚΖ τέμνει την BΓ στο Η , να υπολογισθεί ο λόγος BH HΓ . ΑΣΚΗΣΗ 100 - Νίκος Φραγκάκης ΑΣΚΗΣΗ 99 - Αποστόλης Τιντινίδης Από την κορυφή A , τετραγώνου ABCD, σχεδιάζουμε δύο ευθείες μέσα στο τετράγωνο. Από τις κορυφές B,D φέρνουμε κάθετα τμήματα προς τις ευθείες (τα BK και DM προς τη μια, τα BL και DN προς την άλλη). Να δείξετε ότι τα KL,MN είναι μεταξύ τους ίσα και κάθετα. Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - thanasis.a Λύση: Παύλος Μαραγκουδάκης

156.

157.
μ

158.
Σημείο S κινείταιεπί της πλευράς AD , τετραγώνου ABCD, με την BS να τέμνει την AC στο T . Σχεδιάζω, προς το μέρος της DC , τα τετράγωνα BSPQ και BTLN . Δείξτε ότι η κορυφή Q του μεγάλου τετραγώνου και η κορυφή L του μικρού, κινούνται επί της ευθείας DC και υπολογίστε την ελάχιστη απόστασή τους. ΑΣΚΗΣΗ 102 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 101 - KARKAR Από σημείο S που βρίσκεται στην προέκταση της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, φέρω την ευθεία SC , η οποία τέμνει την προέκταση της AD στο P και το τμήμα SD , το οποίο τέμνει την BC στο Q. Δείξτε ότι PB ⊥ AQ . Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης

159.

160.
μ

161.
Δίνεται ο κύκλος(O,1) και στο εσωτερικό του τετράγωνο ABΓΔ πλευράς ίσης με 1, με τις κορυφές Γ,Δ να είναι σημεία του κύκλου. Περιστρέφουμε, με τη φορά των δεικτών του ρολογιού, το τετράγωνο γύρω από το σημείο Γ μέχρι το σημείο B να συναντήσει τον κύκλο. Να βρεθεί το μήκος του τόξου που διαγράφει το σημείο A . ΑΣΚΗΣΗ 104 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 103 - Ηλίας Καμπελής Στην προέκταση της πλευράς AB τετραγώνου ABCD, παίρνω σημείο E και γράφω στο ίδιο ημιεπίπεδο ημικύκλιο διαμέτρου BE , του οποίου το μέσο ονομάζω M . Δείξτε ότι οι AM και DE τέμνονται επί του ημικυκλίου. Λύση: Κώστας Ζερβός Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - thanasis.a - Νίκος Φραγκάκης

162.

163.
μ

164.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔκαι ορθογώνιο τρίγωνο AEB εντός του τετραγώνου. Από το Γ φέρνουμε την κάθετη ΓZ στην EB. Η ΓE τέμνει την AB στο Λ και ηAZ τέμνει την BΓ στο H . Η ΛH τέμνει την AE στο K και την ΓZ στο N. Να αποδείξετε ότι ΛK= NH . ΑΣΚΗΣΗ 106 - Αποστόλης Τιντινίδης ΑΣΚΗΣΗ 105 - Γιώργης Καλαθάκης Αποδείξτε ότι το άθροισμα των εμβαδών των μπλε τετραγώνων είναι τριπλάσιο του αθροίσματος των εμβαδών των καφέ τετραγώνων. Λύση: Στάθης Κούτρας Λύση: Ηλίας Καμπελής

165.

166.
μ

167.
Το S είναισημείο της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και η DT η διχοτόμος της ADS . Πώς πρέπει να επιλεγεί το S , ώστε να είναι BT = 2BS ; ΑΣΚΗΣΗ 108 - Νίκος Φραγκάκης ΑΣΚΗΣΗ 107 - KARKAR Προεκτείνω τη διαγώνιο BD τετραγώνου ABCD κατά ίσο τμήμα BS = DB . Αν M το μέσο της πλευράς AB , να δειχθεί ότι CM ⊥ AS . Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Perantonis - thanasis.a Λύσεις: Ηλίας Καμπελής - thanasis.a - Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

168.

169.
μ

170.
Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμοABΓΔ με AB = 3α . Στις πλευρές AB και ΓΔ παίρνουμε τα τμήματα AE = EZ = ZB =α , ΔH = HΘ = ΘΓ =α αντίστοιχα και κατασκευάζουμε, στο εσωτερικό του ορθογωνίου, τα τετράγωνα ΕΖΚΤ και ΗΘΛΜ . Αν οι ευθείες ZT και ΘM τέμνονται σε σημείο N της AΔ , τότε: 1) Να υπολογίσετε την πλευρά AΔ ως συνάρτηση του α . 2) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο NPΣΠ , που σχηματίζεται από τα σημεία τομής των ευθειών ΓΛ, ΘM, BE και ZT , είναι τετράγωνο και ισχύει (HΘΛM) = 2(NPΣΠ) . ΑΣΚΗΣΗ 110 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 109 - Ηλίας Καμπελής Με τα δεδομένα μήκη των τμημάτων επί των πλευρών του τετραγώνου ABCD: 1) Δείξτε ότι οι ροζ γωνίες είναι ίσες, οι κόκκινες είναι ίσες και η μαύρη ορθή. 2) Δείξτε ότι DS = 3SL και 3 2 MT = TS = SN . 3) Δείξτε ότι (BLST) − (BTM) = 3. Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

171.

172.
μ

173.
Επί των πλευρώντριγώνου και προς το εξωτερικό του μέρος αναγράφουμε τετράγωνα. Επί των πλευρών του τριγώνου που ορίζουν τα κέντρα των τετραγώνων αυτών και προς το εσωτερικό του μέρος αναγράφουμε νέα τετράγωνα. Να αποδειχτεί ότι τα κέντρα των τριών τελευταίων τετραγώνων είναι τα μέσα των πλευρών του αρχικού τριγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 112 - orestisgotsis ΑΣΚΗΣΗ 111 - Κώστας Ρεκούμης Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και ο εγγεγραμμένος σ’ αυτό κύκλος. Αποκόπτουμε από το τετράγωνο τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΒΗΘ με υποτείνουσες 4 λ ΕΖ = και 3 λ ΗΘ = , όπου λ3 ,λ4 οι πλευρές των αντίστοιχων κανονικών πολυγώνων στον παραπάνω κύκλο. Να βρεθεί το ελάχιστο εμβαδόν του σχήματος που απομένει. Λύση: Σεραφείμ Τσιπέλης Λύση: Αποστόλης Τιντινίδης

174.

175.
μ

176.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαιτα σημεία E, Z των πλευρών BC,CD αντίστοιχα, ώστε EAB 15 ∧ =  και ZAD 30 ∧ =  . Να υπολογιστεί η Z E A ∧ . ΑΣΚΗΣΗ 114 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 113 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημείο E στην πλευρά BC . Στην προέκταση της CD παίρνουμε σημείο Z ώστε DZ = BE . Θεωρούμε το παραλληλόγραμμο ZAEH και το κέντρο του K . Να αποδείξετε ότι: 1) Το ZAEH είναι τετράγωνο. 2) Το τρίγωνο KCH είναι ισοσκελές. 3) Η Z CH ∧ είναι ίση με 45 . 2) Τα σημεία D,K , B είναι συνευθειακά. Λύσεις: Μιχάλης Νάννος - Στάθης Κούτρας - Γιώργος Ρίζος Λύσεις: KARKAR - Μιχάλης Νάννος - Παναγιώτης Γιαννόπουλος

177.

178.
μ

179.
Δίνεται τετράγωνο ABCD,το μέσο E του AB και σημείο F του BC , ώστε BC = 4BF . Να αποδείξετε ότι: 1) Το τρίγωνο EDF είναι ορθογώνιο. 2) Οι EDF, EDA είναι ίσες. ΑΣΚΗΣΗ 116 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 115 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ABCD και έστω σημείο E επί της πλευράς BC και σημείο Z επί της πλευράς CD, έτσι ώστε η BAE να είναι 15 και η DAZ να είναι 30 . Οι AE, AZ τέμνουν την BD στα σημεία N,M αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι: 1) Το τετράπλευρο ADZN είναι εγγράψιμο και ZN ⊥ AE . 2) AEM = 45 . 3) AEZ = 75 4) Αν τα τμήματα EM, ZN τέμνονται στο P , τότε AP ⊥ EZ . Λύσεις: Νάννος - Μπεληγιάννης - Γιαννόπουλος - Φραγκάκης - Μπεληγιάννης - Νάννος Λύση: mathlete23

180.

181.
μ

182.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαι σημείο E στην πλευρά AB . Η ευθεία DE τέμνει την ευθεία CB στο σημείο F . Η ευθεία CE τέμνει την AF στο σημείο G . Να αποδειχθεί ότι η BG είναι κάθετη στην DF . ΑΣΚΗΣΗ 118 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 117 - Μπάμπης Στεργίου Έστω τετράγωνο ABCD και, εξωτερικά αυτού, το ισόπλευρο τρίγωνο CDE με ορθόκεντρο M . Οι ευθείες AC, BE τέμνονται στο σημείο K . 1) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου CBE . 2) Να υπολογίσετε τη CKE . 3) Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο CEDK είναι εγγράψιμο. 4) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο MCK είναι ισοσκελές. Λύσεις: Σωτήρης Λουρίδας - Κώστας Βήττας Λύσεις: Σωτήρης Λουρίδας - gavrilos - jim.jt

183.

184.
μ

185.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, σημείο Ε στην πλευρά ΓΔ και οι διχοτόμοι των ΕΑΒ,ΕΑΔ , που τέμνουν τις ΒΓ,ΓΔ στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι η ΜΝ είναι κάθετη στην ΑΕ . ΑΣΚΗΣΗ 120 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 119 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ABCD.και σημείο E στην πλευρά AB . Η DE τέμνει τη διαγώνιο AC στο σημείο P . H κάθετη προς την DE στο P , τέμνει την πλευρά BC στο σημείο F . Να αποδειχθεί ότι EF = AE + FC (VRANCEANU 2008 - ΡΟΥΜΑΝΙΑ). Λύσεις: Νίκος Ζαφειρόπουλος - Μιχάλης Νάννος - ghan Λύσεις: Νάννος - Στραγάλης - Ζητρίδης - Μυρογιάννης - Λουρίδας - Βαρβεράκης

186.

187.
μ

188.
Στις πλευρές AB,BΓ,ΓΔ,ΔAενός τετραγώνου ABΓΔ με πλευρά α παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία K,Λ,M,N , έτσι ώστε: AK+AN+ΓΛ+ΓM=2α . Να αποδειχθεί ότι η KMείναι κάθετη στην ΛN . ΑΣΚΗΣΗ 122 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 121 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ABCD και σημείο E στην πλευρά AD που δεν είναι το μέσον της. Να αποδειχθεί ότι: 1) Υπάρχει τρίγωνο EZH ,με τα σημεία Z,H σε δύο πλευρές του τετραγώνου, που έχει βαρύκεντρο το κέντρο O του ABCD. 2) Το παραπάνω τρίγωνο EZH έχει μια κορυφή του στο μέσον πλευράς του ABCD. 3) Το εμβαδόν του τριγώνου EZH είναι τα 3 8 του εμβαδού του τετραγώνου. Λύσεις: Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Θανάσης Μπεληγιάννης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος Λύσεις: Γιώργος Απόκης - Κώστας Δόρτσιος

189.

190.
μ

191.
Είμαι μέσα σεένα τετράγωνο δωμάτιο με πλευρά 4m και με την πλάτη στον ένα τοίχο. Πετάω με πολλή δύναμη ένα μπαλάκι στο διπλανό τοίχο και αυτό ανακλώμενο τρεις φορές, χωρίς τριβές, καταλήγει ξανά στο χέρι μου που εφάπτεται στον τοίχο. Πόσο είναι το μήκος της διαδρομής που θα κάνει το μπαλάκι; ΑΣΚΗΣΗ 124 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 123 - Μπάμπης Στεργίου Το M είναι το μέσο της πλευράς BC τετραγώνου ABCD. Η μεσοκάθετος του AM τέμνει τις AB,CD στα σημεία S,T αντίστοιχα. Τι ποσοστό του (ABCD) αποτελεί το (MST) ; Λύσεις: Λάμπρος Ευσταθίου - Κώστας Δόρτσιος Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

192.

193.
μ

194.
Στο παραπάνω σχήματα δύο τρίγωνα είναι ισόπλευρα και τρία τετράγωνα εφάπτονται στις πλευρές τους. Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών των δύο ισόπλευρων τριγώνων. ΑΣΚΗΣΗ 126 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 125 - Αποστόλης Τιντινίδης Τα μικρότερα τετράγωνα έχουν βάσεις τα τμήματα AS = a και SB = b της πλευράς AB του τετραγώνου ABCD. Βρείτε το λόγο a b , αν τα σημεία D, E, Z είναι συνευθειακά. Λύση: Γιώργος Ρίζος Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Νίκος Φραγκάκης

195.

196.
μ

197.
Έστω N τομέσο της πλευράς AB ενός τετραγώνου ABΓΔ και σημείο M στην AΓ , έτσι ώστε MN = MB. Να αποδειχθεί ότι η ΜΔ είναι κάθετη στη MN. ΑΣΚΗΣΗ 128 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 127 - Μπάμπης Στεργίου Στις πλευρές ΑΔ,ΒΓ ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε,Ζ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΕ = 2ΕΔ και ΒΖ = ΑΕ. Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΓΔ . Οι ευθείες ΜΑ,ΜΒ τέμνουν αντίστοιχα την ΕΖ στα σημεία Κ και Λ . Να αποδειχθεί ότι τα τμήματα ΑΛ και ΒΚ είναι κάθετα. Λύσεις: Ηλίας Καμπελής - Θανάσης Μπεληγιάννης - Φωτεινή Καλδή Λύσεις: Π. Γιαννόπουλος - Κ. Δόρτσιος - Μ. Νάννος - Π. Γιαννόπουλος - Γ. Ρίζος

198.

199.
μ

200.
Στη διαγώνιο ΑΓενός τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο Μ , τέτοιο ώστε ΜΓ = ΔΓ . Έστω Ε το συμμετρικό του Δ ως προς το Γ . Η ευθεία ΜΕ τέμνει την ΒΓ στο Ν , ενώ η ΔΝ τέμνει την ΑΓ στο Ρ . Να αποδειχθεί ότι: 1) Το τετράπλευρο ΔΜΒΡ είναι ρόμβος. 2) Αν η ευθεία ΒΡ τέμνει τη ΓΔ στο Σ , τότε η ΜΣ διχοτομεί το τμήμα ΔΝ . ΑΣΚΗΣΗ 130 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 129 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ABCD, σημείο E στην πλευρά BC και σημείο Z στην πλευρά CD. Αν AB = 8 και η περίμετρος του τριγώνου CEZ είναι 16, να αποδειχθεί ότι η EAZ είναι ίση με 45 . Λύσεις: hsiodos - Παναγιώτης Γιαννόπουλος Λύσεις: Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Γιώργος Μπαλόγλου - Γιώργος Ρίζος - Ανδρέας Βαρβεράκης

201.

202.
μ

203.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔμε κέντρο Ο , το συμμετρικό Ε του Α ως προς το Δ και σημείο Ζ στο τμήμα ΓΔ , ώστε ΓΖ = ΓΟ . Η ευθεία ΕΖ τέμνει τη ΒΔ στο Η και την ΑΒ στο Θ . Να αποδειχθεί ότι ΑΘ = ΔΗ . ΑΣΚΗΣΗ 132 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 131 - Μπάμπης Στεργίου Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με κέντρο Ο . Στην ημιευθεία ΑΒ παίρνουμε σημείο Ε , τέτοιο ώστε ΟΕ = ΑΒ και κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΟΕΖΗ , που να περιέχει το Γ . 1) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Β,Γ,Η είναι συνευθειακά. 2) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΕΒ . Λύση: Θανάσης Μπεληγιάννης Λύσεις: Φωτεινή Καλδή - Θανάσης Μπεληγιάννης

204.

205.
μ

206.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ, το τεταρτοκύκλιο (Γ,ΓΒ) και το ημικύκλιο διαμέτρου ΓΔ (και τα δύο στο εσωτερικό του τετραγώνου). Στο ημικύκλιο παίρνουμε σημείο Ε . Η ευθεία ΓΕ τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο Ζ. Να αποδειχθεί ότι η ΔΖ είναι διχοτόμος της ΑΔΕ . ΑΣΚΗΣΗ 134 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 133 - Μπάμπης Στεργίου Έστω M το μέσο της πλευράς BC ενός τετραγώνου ABCD. Η AC τέμνει την DM στο E . Αν Z είναι η προβολή του C στην DM , να αποδειχθεί ότι CZ = 3ZE . Λύσεις: Αλέξανδρος Συγκελάκης - Φωτεινή Καλδή - Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Stavroulitsa Λύσεις: Κυριαζής - Ρίζος - Βήττας - Γιαννόπουλος - hsiodos - Καρδαμίτσης - Μπεληγιάννης

207.

208.
μ

209.
Στις πλευρές BC,CDενός τετραγώνου ABCD παίρνουμε τα σημεία E, Z , ώστε η ΕΑΖ να είναι ίση με 45 . Πώς θα μπορέσει ένας μαθητής, μόνο με τον κανόνα, να φέρει από το A την κάθετη ευθεία προς την EZ ; ΑΣΚΗΣΗ 136 - Μπάμπης Στεργίου ΑΣΚΗΣΗ 135 - Μπάμπης Στεργίου Στις πλευρές BC,CD ενός τετραγώνου ABCD παίρνουμε αντίστοιχα τα σημεία E, Z , ώστε BE = CZ . Αν οι ευθείες DE, BZ τέμνονται στο K , να αποδειχθεί ότι η AK είναι κάθετη στην ZE . Λύση: Αλέξανδρος Συγκελάκης Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Φωτεινή Καλδή

210.

211.
μ

212.
Εντός του τετραγώνουABCD, έχουμε γράψει το ημικύκλιο διαμέτρου AB . Εντοπίστε χορδές LN και ST του ημικυκλίου, παράλληλες προς την AB , οι οποίες να είναι βάσεις ισοπλεύρου τριγώνου και τετραγώνου αντίστοιχα, των οποίων οι άλλες κορυφές να βρίσκονται επί της DC . ΑΣΚΗΣΗ 138 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 137 - KARKAR Επί των πλευρών AB και BC τετραγώνου ABCD, παίρνω σημεία E, Z , ώστε να είναι BZ = 2AE . Η μεσοκάθετος της EZ τέμνει την DC στο σημείο S . Βρείτε το ελάχιστο του λόγου ( ) ( ) SEZ ABCD . Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

213.

214.
μ

215.
Στο εσωτερικό ενόςτετραγώνου ABΓΔ κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα BΓE και ΓΔZ. Αν οι ΑΕ,ΑΖ τέμνουν τις ΓΔ, BΓ στα σημεία Μ,Ν αντίστοιχα, τότε να δείξετε ότι: 1) το τρίγωνο ΑΜΝ είναι ισόπλευρο. 2) (ABN) + (AΔM) = (ΓMN) . ΑΣΚΗΣΗ 140 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 139 - Αποστόλης Τιντινίδης Τα τετράγωνα ABCD και BEZC έχουν πλευρά a . Με διάμετρο AE γράψαμε ημικύκλιο, το οποίο τέμνει τις AZ,DE στα T, S αντίστοιχα. Υπολογίστε τη χορδή TS . Λύση: orestisgotsis Λύσεις: jim.jt - Ν. Φραγκάκης - Η. Καμπελής - thanasis.a - Ν. Φραγκάκης

216.

217.
μ

218.
Έστω ABCD κυρτότετράπλευρο. Επί των πλευρών του (και προς το εσωτερικό του μέρος) αναγράφουμε τετράγωνα ABEF , BCHI , CDGK , DAML . Αν τα κέντρα των τετραγώνων ABEF , CDGK συμπίπτουν, να αποδειχτεί ότι συμπίπτουν και τα κέντρα των τετραγώνων BCHI , DAML . ΑΣΚΗΣΗ 142 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 141 - Κώστας Ρεκούμης Σημείο S κινείται επί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD, ενώ το ημικύκλιο, διαμέτρου AS , τέμνει την AD στο T . Αν M είναι το μέσο του ημικυκλίου και O το μέσο της TS , βρείτε την ελάχιστη τιμή του αθροίσματος MO +MS . Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

219.

220.
μ

221.
Στο τετράγωνο ABCDφέρουμε τη διαγώνιο AC και εγγράφουμε κύκλο και ημικύκλιο, όπως φαίνονται στο σχήμα. Ο κυκλικός δίσκος έχει μεγαλύτερο εμβαδόν ή ο ημικυκλικός; ΑΣΚΗΣΗ 144 - Νίκος Φραγκάκης ΑΣΚΗΣΗ 143 - KARKAR Στις πλευρές BC και CD τετραγώνου ABCD θεωρούμε τα σημεία E, Z στην BC με BE = EZ = ZC και P,Q στην CD με CP = PQ = QD . Αν H το σημείο τομής των AE με BQ και T το σημείο τομής των AZ με BP να δειχθεί ότι HT / /BC . Λύσεις: Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

222.

223.
μ

224.
Στο τετράγωνο ABCDπλευράς a τα M, N είναι τα μέσα των AD, BC , ενώ το S είναι σημείο της DC . Τα τμήματα SA, SB τέμνουν το MN στα P,Q , ενώ τα ημικύκλια διαμέτρων AQ, BP τέμνονται στο T . 1) Δείξτε ότι TS ⊥ DC . 2) Βρείτε τη θέση του S , ώστε να είναι TS = DS . ΑΣΚΗΣΗ 146 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 145 - KARKAR Σημείο S κινείται επί της πλευράς DC τετραγώνου ABCD. Η παράλληλη από το S προς την AC τέμνει την AD στο P , ενώ η BS τέμνει την AC στο T . 1) Βρείτε τη θέση του S , ώστε να είναι PT / /AB . 2) Βρείτε τη θέση του S , για την οποία μεγιστοποιείται το (SPAT) . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

225.

226.
μ

227.
Εντός του τετραγώνουABCD έχουμε σχεδιάσει το ημικύκλιο διαμέτρου AD και το τεταρτοκύκλιο BAC , τα οποία τέμνονται στο σημείο S . Δείξτε ότι τα μήκη των τμημάτων SD, SC, SA , είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. ΑΣΚΗΣΗ 148 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 147 - KARKAR Στην προέκταση της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο S , ενώ η DS τέμνει την BC στο T . 1) Βρείτε τη θέση του S για την οποία (SBT) + (DCT) = (ABTD) . 2) Βρείτε τη θέση του S για την οποία ελαχιστοποιείται το (SBT) + (DCT) . Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης

228.

229.
μ

230.
Στο τετράγωνο ABCDτο M είναι το μέσο της BC , ενώ το N σημείο της AD ώστε 6 DN = a . Φέρνω AS ⊥ MN . 1) Δείξτε ότι το S βρίσκεται και επί της BD. 2) Βρείτε το λόγο ( ) ( ) ABMS ABCD . ΑΣΚΗΣΗ 150 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 149 - KARKAR Από σημείο S , το οποίο κινείται επί της πλευράς AB = a τετραγώνου ABCD, φέρω ST ⊥ BD. Βρείτε εκείνη τη θέση του S , για την οποία είναι 3 4 AT = a . Λύσεις: orestisgotsis - thanasis.a Λύσεις: orestisgotsis - Νίκος Φραγκάκης - KARKAR - Μιχάλης Τσουρακάκης

231.

232.
μ

233.
Δίνεται τετράγωνο ABCD.Το σημείο E κινείται στην πλευρά BC . Από το A φέρνουμε κάθετη στην DE , που την τέμνει στο Z . Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου M του BZ . ΑΣΚΗΣΗ 152 - Κώστας Ζερβός ΑΣΚΗΣΗ 151 - Κώστας Ζερβός Έστω τετράγωνο ABCD. Τα σημεία E,Z κινούνται στις πλευρές BC,DC αντίστοιχα, ώστε BE = DZ . Οι DE, AZ τέμνονται στο H . α) Να βρεθεί η θέση των E, Z , ώστε η απόσταση HK του H από την πλευρά DC να γίνεται μέγιστη. β)Για τη θέση αυτή (που βρέθηκε στο ερώτημα (α)) να βρεθεί ο λόγος 1 2 E E , όπου 1 2 E , E τα εμβαδά των τετραπλεύρων ABEH και HECZ αντίστοιχα. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: KARKAR - Μιχάλης Τσουρακάκης

234.

235.
μ

236.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔμε πλευρά α και σημείο M της πλευράς ΓΔ . Αν MK ⊥AB , να βρεθεί η θέση του M η οποία ελαχιστοποιεί το μήκος της τεθλασμένης γραμμής OMKΓ . ΑΣΚΗΣΗ 154 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 153 - Γιώργης Καλαθάκης Βρείτε τη διαφορά 1 2 E − E . Λύσεις: Γ. Ρίζος - Θ. Μάγκος - KARKAR - Γ. Καλαθάκης - Μ. Νάννος Λύση: Μιχάλης Νάννος

237.

238.
μ

239.
Δίνεται τετράγωνο ABCDπλευράς 1 και σημείο E της BC . Ο κύκλος (K) είναι εγγεγραμμένος στο τρίγωνο ABE και ο κύκλος (O) εφάπτεται των DC,CE, EA . Αν οι δύο κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες, να δείξετε ότι το μήκος του BE επαληθεύει την εξίσωση 2x3 − 2x2 + 2x −1 = 0 (Paul Yiu). ΑΣΚΗΣΗ 156 - Ανδρέας Πούλος ΑΣΚΗΣΗ 155 - Αποστόλης Τιντινίδης Στη διαγώνιο AC ενός τετραγώνου ABCD πλευράς a , θεωρούμε ένα σημείο E . Κατασκευάζουμε τον κύκλο με κέντρο E και ακτίνα R , ο οποίος εφάπτεται στις πλευρές BC και CD του τετραγώνου. Αν η πλευρά του τετραγώνου ANHL είναι διπλάσια από αυτή του τετραγώνου GKCO, να εκφράσετε την ακτίνα R του κύκλου (E, R) συναρτήσει του μήκους a . Λύση: KARKAR Λύση: KARKAR

240.

241.
μ

242.
Δύο κύκλοι εφάπτονταιμεταξύ τους σε σημείο S ( ο μικρότερος των πλευρών AB, AD και ο μεγαλύτερος των BC,CD) τετραγώνου ABCD, πλευράς a . Η κοινή εσωτερική τους εφαπτομένη τέμνει την πλευρά AB σε σημείο T , ώστε να είναι 6 TB = a . Υπολογίστε το λόγο r R των ακτινών των δύο κύκλων. ΑΣΚΗΣΗ 158 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 157 - KARKAR Δίνεται τετράγωνο ABCD και τα σημεία E,H των πλευρών του CD, BC αντίστοιχα. Έστω Z, I τα σημεία τομής των AE, BD και AH, BD αντίστοιχα και K το μέσο της EH , το οποίο δεν ισαπέχει από δύο διαδοχικές πλευρές του τετραγώνου. Να αποδειχτεί ότι οι επόμενες προτάσεις είναι ισοδύναμες: Π1: ZH ⊥ AE , Π2: EAH = 45o , Π3: KI  BC , Π4: το EZIH είναι εγγράψιμο. Περαιτέρω να αποδειχτεί ότι καθεμιά τους συνεπάγεται την ισότητα εμβαδών: (AEH) = 2(AZI ) . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Demosthenes56 Λύση: Στάθης Κούτρας

243.

244.
μ

245.
Σημείο S κινείταιεπί της , μήκους 3 , πλευράς AB τετραγώνου ABCD. Οι κύκλοι (A, AS) και (C,CS) , τέμνουν τη διαγώνιο AC στα σημεία Q, P αντίστοιχα. Βρείτε τη θέση του S , ώστε (PQ) =1. ΑΣΚΗΣΗ 160 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 159 - KARKAR Τα σημεία K,M, N είναι τα μέσα των πλευρών DC , AD , BC του τετραγώνου ABCD και έχουμε γράψει το τόξο KMN . Εντοπίστε σημείο S επί της AB , ώστε το ημικύκλιο διαμέτρου AS να εφάπτεται του τόξου. Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Κώστας Καπένης - AIAS

246.

247.
μ

248.
Σημείο S κινείταιπάνω στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD. Η AS τέμνει την BD στο σημείο T . Σχεδιάζω τα, προς το μέρος της DC ,ημικύκλια διαμέτρων AT και TS . Φέρω το κοινό, εξωτερικά, εφαπτόμενο τμήμα KL . Για ποια θέση του S είναι KL / /AB ; ΑΣΚΗΣΗ 162 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 161 - KARKAR Αξιοποιήστε τις ποικίλες επαφές του σχήματος, για να υπολογίσετε τη PSQ. Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

249.

250.
μ

251.
Στο εσωτερικό τετραγώνουABΓΔ παίρνουμε σημείο Ε , τέτοιο ώστε EΔ =1, EA = 2 και EB = 3. Βρείτε τη γωνία ϕ = ΑΕΔ. ΑΣΚΗΣΗ 164 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 163 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ABΓΔ με πλευρά 4 και ορθογώνιο τρίγωνο BEΔ ( Ε πλησίον της ΑΔ ), με κάθετη πλευρά EΔ = 2 2 . Φέρω την EΓ και έστω Z το σημείο τομής με την BΔ . Βρείτε τη γωνία ϕ = BZΓ . Λύσεις: Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Γιάννης Τσόπελας Λύση: Γιώργος Ρίζος

252.

253.
μ

254.
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔπλευράς 1 και σημεία Ε,Ζ πάνω στις πλευρές ΑΔ και ΑΒ αντίστοιχα, τέτοια ώστε: ΑΕ + ΕΖ + ΖΑ = 2 . Βρείτε τη γωνία x = EΓˆZ . ΑΣΚΗΣΗ 166 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 165 - Μιχάλης Νάννος Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD παίρνω σημείο E , τέτοιο ώστε: MEˆD = EDˆC = EAˆD = x , όπου M το μέσο της BC . Υπολογίστε το μέτρο της γωνίας x . Λύσεις: Παραπομπή Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Δημήτρης Μυρογιάννης - Νίκος Ζαφειρόπουλος

255.

256.
μ

257.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαι σημεία E, Z επί των BC,CD αντίστοιχα, τέτοια ώστε: BE = 21, ZC = 24 και ZD = 4 . Βρείτε τη γωνία x = ZAˆE . ΑΣΚΗΣΗ 168 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 167 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο πλευράς 6cm εγγεγραμμένο σε κύκλο και Ε το μέσο του τόξου ΔΓ . Βρείτε το εμβαδόν της χρωματιστής επιφάνειας. Λύσεις: Παραπομπή Λύσεις: Παραπομπή

258.

259.
μ

260.
Πάνω στις πλευρέςΑΔ , ΑΒ τετραγώνου ΑΒΓΔ με εμβαδόν 50τ .μ. σχηματίζω τετράγωνο ΚΛΜΝ , το οποίο θα διέρχεται από το σημείο Σ της πλευράς ΒΓ και από την κορυφή Γ . Αν MΣˆΓ =15° , βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου ΚΛΜΝ . ΑΣΚΗΣΗ 170 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 169 - Μιχάλης Νάννος Στο εσωτερικό τετραγώνου ΑΒΓΔ παίρνουμε σημείο K , τέτοιο ώστε AK = 6, BK = 4 και AKB = 90° . Φέρουμε τη διχοτόμο της ορθής γωνίας, η οποία τέμνει τηνΑΒ στο Λ. Πάνω στην ΓΔ παίρνουμε σημείο Μ , τέτοιο ώστε MΛˆA = BΛˆK . Βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου τραπεζίου ΑΔΜΛ . Λύσεις: Θανάσης Μπεληγιάννης - Μιχάλης Νάννος Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Ανδρέας Βαρβεράκης - Μιχάλης Νάννος

261.

262.
μ

263.
Στο εσωτερικό τετραγώνουΑΒΓΔ φέρουμε το ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο Γ και ακτίνα ΓΔ . Αν E το σημείο τομής τους και EΔ = 3 2 , βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 172 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 171 - Μιχάλης Νάννος Στο εσωτερικό τετραγώνου ABΓΔ πλευράς 6 και με κέντρα τις κορυφές, σχηματίζω τέσσερα τεταρτοκύκλια που τέμνονται στα K,Λ,M,N . Βρείτε το εμβαδόν της πορτοκαλί περιοχής. Λύσεις: Παραπομπή Λύσεις: Γιώργος Μανεάδης - KARKAR

264.

265.
μ

266.
Δίνεται τετράγωνο ABCDπλευράς 20 και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο AEZK με AE =12 . Η πλευρά EZ περνάει από το σημείο B και η πλευρά ZK τέμνει την BC στο μέσο της M . Βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ABMK . ΑΣΚΗΣΗ 174 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 173 - Μιχάλης Νάννος Δίνεται τετράγωνο ABΓΔ πλευράς a . Έστω Ε εσωτερικό του σημείο, τέτοιο ώστε ΑΕ = a . Αν η προέκταση της ΔΕ τέμνει την BΓ στο Ζ και ΓΕ κάθετη στη ΔΖ , βρείτε το λόγο EZ . EΔ Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Παραπομπή

267.

268.
μ

269.
Δίνεται τετράγωνο ABΓΔκαι τα ισόπλευρα τρίγωνα ΓΔΕ , ΒΖΗ . Ισχύει Ζ∈ΑΔ,Η∈ΓΔ,Ε∈ΒΖ. Έστω Κ το σημείο τομής της ΔΕ,ΗΖ και Λ το σημείο τομής της ΒΗ,ΕΓ . Βρείτε τον λόγο των ακτινών των εγγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων ΔΚΗ και BΛΓ . ΑΣΚΗΣΗ 176 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 175 - Μιχάλης Νάννος Στο παραπάνω σχήμα τα ABΓΔ, AEZH είναι τετράγωνα. Να βρείτε το λόγο Z . BE Γ Λύσεις: Παραπομπή Λύσεις: Παραπομπή

270.

271.
μ

272.
Δίνεται τετράγωνο ABCD,κύκλος διαμέτρου AB και από το C φέρω την εφαπτομένη, που τέμνει την AD στο E . Έστω (O, r1) ο εγγεγραμμένος κύκλος του C D E  και PQ κοινή εξωτερική εφαπτομένη των δύο κύκλων. Αν S ≡ CE ∩PQ και 2 (K, r ) ο εγγεγραμμένος κύκλος του CSQ  , δείξτε ότι 1 2 3 2 r r = . ΑΣΚΗΣΗ 178 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 177 - Μιχάλης Νάννος Στο τετράγωνο ABΓΔ , το Μ είναι το μέσο της AB και τα τρίγωνα BΛΜ και ΓΛΚ έχουν εμβαδά 5 και 25 τετραγωνικές μονάδες αντίστοιχα. Βρείτε την πλευρά του τετραγώνου ABΓΔ . Λύσεις: KARKAR - Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Γιώργος Ρίζος - Βασίλης Μαυροφρύδης - Κώστας Δόρτσιος

273.

274.
μ

275.
Δίνεται εξωτερικό σημείοΚ τετραγώνου ABΓΔ με πλευρά 24 . Ενώνω το Κ με το μέσο Λ της ΓΔ και προεκτείνω μέχρι να τμήσει την AB στο Ζ . Ενώνω το Κ με το μέσο Ε της BΓ και έστω Μ το σημείο τομής με την ΓΔ . Αν ΛM = 4,MΓ = 8 και ZKE = ΓKE =ϕ , βρείτε την πλευρά x = ZE . ΑΣΚΗΣΗ 180 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 179 - Μιχάλης Νάννος Με πλευρά την υποτείνουσα AB ορθογωνίου τριγώνου ΚAB με KA =1, KB = 3, κατασκευάζω το τετράγωνο ABΓΔ . Ενώνω το Γ με το Κ και έστω Ε το σημείο τομής με την AB. Προεκτείνω την AΔ κατά μήκος ΔZ = BE . Βρείτε την πλευρά x = BZ. Λύσεις: Κώστας Δόρτσιος - Γιώργος Ρίζος - Μιχάλης Νάννος Λύσεις: Κώστας Δόρτσιος - Γιώργος Ρίζος

276.

277.
μ

278.
Στο εσωτερικό τετραγώνουABΓΔ παίρνω σημείο Ε , τέτοιο ώστε AEΔ = 90° . Προεκτείνω την πλευρά AÅ και έστω Ζ το σημείο τομής με τη ΓΔ . Αν (ΓZE) = 6τ .μ. και (ΔZE) =12τ .μ. , βρείτε: 1). Την πλευρά του τετραγώνου 2). Το άθροισμα BE + EΓ . ΑΣΚΗΣΗ 182 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 181 - Μιχάλης Νάννος Σε τετράγωνο ABΓΔ φέρω τα τεταρτοκύκλια ABΔ ακτίνας 5 και ΓΕΖ ακτίνας 2 . Έστω Κ,Λ σημεία των πλευρών ΓΔ , BΓ , τέτοια ώστε το τμήμα ΚΛ να περνά από τα εφαπτόμενα σημεία Μ,Ν των τεταρτοκυκλίων ABΔ, ΓΕΖ αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος x = MN . Λύσεις: Παραπομπή Λύση: Κώστας Δόρτσιος

279.

280.
μ

281.
Στις πλευρές ΓΔ, ΔΑ τετραγώνου ABΓΔ παίρνω αντιστοίχως σημεία Ε,Ζ , τέτοια ώστε ΓΕ = 9, AZ = 8 και ΓΒE = EΒZ . Βρείτε την πλευρά x = EZ . ΑΣΚΗΣΗ 184 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 183 - Μιχάλης Νάννος Στο εσωτερικό τετραγώνου ABΓΔ , φέρουμε το ημικύκλιο με διάμετρο AB και το τεταρτοκύκλιο με κέντρο B και ακτίνα BA . Έστω E τυχαίο σημείο του ημικυκλίου και Z το σημείο τομής του BE και του τεταρτοκυκλίου. Δείξτε ότι ϕˆ = ΔAZ = ZAE =ωˆ . Λύσεις: Θάνος Μάγκος - Χρήστος Κυριαζής - Μιχάλης Νάννος Λύση: Stavroulitsa

282.

283.
μ

284.
Βρείτε την ακτίνατων εφαπτόμενων κύκλων, συναρτήσει της πλευράς a του τετραγώνου ABCD. ΑΣΚΗΣΗ 186 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 185 - Μιχάλης Νάννος Αν M,N τα αντίστοιχα μέσα των πλευρών BC,CD τετραγώνου ABCD πλευράς a και S ≡ AN ∩DM , δείξτε ότι SB = a . Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Παραπομπή

285.

286.
μ

287.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαι τα ευθύγραμμα τμήματα BE, AE, ZCE . Αν ˆ ˆ ˆ 2 AEB = ZEA = BAE =ϕ , βρείτε τη γωνία x = AZˆE . ΑΣΚΗΣΗ 188 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 187 - Μιχάλης Νάννος Σε τετράγωνο ABCD εγγράψτε δύο κύκλους, οι οποίοι να εφάπτονται μεταξύ τους. Επίσης, ο μικρότερος να εφάπτεται στις πλευρές CB,CD και ο μεγαλύτερος, ο οποίος θα έχει διπλάσια ακτίνα από το μικρό, στις πλευρές AB, AC . Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Γιώργος Μήτσιος - Μιχάλης Νάννος Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος

288.

289.
μ

290.
Δίνεται τετράγωνο ABCD,πλευράς a . Σημείο S .κινείται επί της AB και η κάθετη AM στην DS , τέμνει την BC στο E και την BD στο Q. Αν N είναι το μέσο της MD :.1). Βρείτε τη θέση του S , ώστε BM ⊥ AN . 2). Για την παραπάνω θέση του S , βρείτε το λόγο ( ) ( ) DCEQ QBA λ = . ΑΣΚΗΣΗ 190 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 189 - Μιχάλης Τσουρακάκης Σημείο S κινείται στη βάση AB τετραγώνου ABCD. Φέρω AT ⊥ DS . Η BT τέμνει την AD στο σημείο M . Εντοπίστε τη θέση του S αν : 1) 3 AM = AD . 2) Το M είναι μέσο της AD. Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Σ. Κούτρας - Γ. Ρίζος - Μ. Τσουρακάκης - Π. Γιαννόπουλος - jim.jt - Π. Γιαννόπουλος

291.

292.
μ

293.
Στο εσωτερικό τετραγώνουABCD έχουμε σχεδιάσει το τεταρτοκύκλιο ABD , επί του οποίου κινείται σημείο S . Φέρω SQ ⊥ AB το οποίο τέμνει τη διαγώνιο AC στο σημείο P . Δείξτε ότι το SQ2 + PQ2 είναι σταθερό. ΑΣΚΗΣΗ 192 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 191 - KARKAR Σημείο S , κινείται επί της διαγωνίου BD τετραγώνου ABCD. Ονομάζω Q και P τις προβολές του S επί των AB, AD αντίστοιχα. Δείξτε ότι: 3 4 φθ ≥ , όπου θ = QCP . Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

294.

295.
μ

296.
Το M είναιτο μέσο της πλευράς AB τετραγώνου ABCD. Εξωτερικά του τετραγώνου, σχεδιάζω τα ημικύκλια με διαμέτρους DM,CM και ονομάζω K, L τα μέσα τους. Υπολογίστε το μήκος του τμήματος KL , συναρτήσει της πλευράς a του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 194 - Κώστας Ζερβός ΑΣΚΗΣΗ 193 - KARKAR Δίνεται τετράγωνο ABCD πλευράς a = 2 Το σημείο E κινείται στην πλευρά BC . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του εμβαδού του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AED. Λύση: Γιώργος Ρίζος Λύσεις: Στάθης Κούτρας - KARKAR

297.

298.
μ

299.
Σημείο S κινείταιεπί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD. Σημείο T κινείται επί της DB έτσι ώστε να είναι DT = BS = x . Βρείτε για ποια θέση του S ελαχιστοποιείται το ST και δείξτε ότι, εκείνη τη στιγμή, μεγιστοποιείται το εμβαδόν του BST  . ΑΣΚΗΣΗ 196 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 195 - KARKAR Εντός του τετραγώνου ABCD, έχουμε σχεδιάσει το ημικύκλιο διαμέτρου AB και το τεταρτοκύκλιο ABD . Από τυχόν σημείο S του τεταρτοκυκλίου, φέρουμε ST ⊥ BC και τις SA, SB , οι οποίες τέμνουν το ημικύκλιο στα σημεία N,M αντίστοιχα. Δείξτε ότι MS = MB και ST = SN . Λύσεις: Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Κώστας Ζερβός Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

300.

301.
μ

302.
Το ΔΕΖΗ είναιτετράγωνο με Κ το κέντρο του. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στο Α . Δείξτε ότι η ΑΚ είναι διχοτόμος της ΒΑΓ . ΑΣΚΗΣΗ 198 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 197 - orestisgotsis Το σημείο S βρίσκεται επί της πλευράς AB τετραγώνου ABCD, ώστε AS = x . Σημείο T κινείται επί της AD . Φέρω SQ ⊥ CT . Να βρεθεί το μήκος του AT = y για το οποίο μεγιστοποιείται το (CQS) . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: Γιώργης Καλαθάκης

303.

304.
μ

305.
Δίνεται το τετράγωνοABCD του παραπάνω σχήματος. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρα τετράγωνα CEHZ και GKLZ με EC DC και GZ HZ , για τα οποία ισχύει BD2 + BH2 = BK2 (1) . Να εξεταστεί αν υπάρχει ζεύγος τετραγώνων CEHZ , GKLZ , για τα οποία εκτός από την συνθήκη (1) να ισχύει και η συνθήκη DBH = H BK . ΑΣΚΗΣΗ 200 - Νίκος Φραγκάκης ΑΣΚΗΣΗ 199 - Ανδρέας Πούλος Πάνω σε ευθεία (ε ) δίδονται με τη σειρά τα σημεία A, B και H .Εκατέρωθεν της ευθείας, κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ABCDκαι BEZH . Ας πούμε T το σημείο τομής των DH, BC και S το σημείο τομής των CZ, BH . Έστω, ακόμα, P το σημείο τομής των DH,CZ . Να δειχθούν: 1) BT = BS . 2) BT 2 = TC·SH . 3) BP ⊥ CH . Η σειρά των ερωτημάτων δε δεσμεύει τη σειρά των απαντήσεων. Λύση: Κώστας Ρεκούμης Λύσεις: Δημήτρης Ιωάννου - Μιχάλης Τσουρακάκης

306.

307.
μ

308.
Η κορυφή Zτου τετραγώνου AEZH , κινείται επί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD . Δείξτε ότι για κάθε θέση του Z ισχύει: (AEB) + (ZEB) = (CHZ) . ΑΣΚΗΣΗ 202 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 201 - KARKAR Σημείο S κινείται επί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD και η AS τέμνει την BD στο T . Βρείτε τη θέση του S για την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα AT 2 +TS2 . Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Νίκος Φραγκάκης

309.

310.
μ

311.
Εντός του τετραγώνουABCD σχεδιάσαμε το ημικύκλιο διαμέτρου AD και φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα BS . Το N είναι σημείο της AB , ώστε AN = 2NB . Εξετάστε αν το ημικύκλιο διαμέτρου CN διέρχεται από το S . ΑΣΚΗΣΗ 204 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 203 - KARKAR Στην πλευρά BC τετραγώνου ABCD κινείται σημείο S . Η ευθεία AS τέμνει την προέκταση της DC στο σημείο T . Δείξτε ότι η ποσότητα 2 2 1 1 AS AT + είναι σταθερή. Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

312.

313.
μ

314.
Έστω ABCD κυρτότετράπλευρο. Επί των πλευρών του και προς το εσωτερικό του μέρος, αναγράφουμε τετράγωνα ABEF , BCHI , CDGK , DAML . Να αποδειχτεί ότι η απόσταση 1 2 OO των κέντρων των τετραγώνων ABEF , CDGK ισούται με την απόσταση 3 4 OO των κέντρων των τετραγώνων BCHI , DAML . ΑΣΚΗΣΗ 206 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 205 - Κώστας Ρεκούμης Το τετράγωνο ABCD βρίσκεται εντός της ζώνης των ευθειών: y = 0, y = 4 και έχει τις κορυφές του A, B,C επί των ευθειών: y = 0, y = 3, y = 4 αντίστοιχα. Υπολογίστε το εμβαδόν του. Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Κώστας Ρεκούμης Λύσεις: Κώστας Ζερβός - Νίκος Φραγκάκης

315.

316.
μ

317.
Προεκτείνω την πλευράAD , τετραγώνου ABCD, κατά τμήμα 3 DS = AD . Το τμήμα CS τέμνει τον περίκυκλο του τετραγώνου στο σημείο T . Βρείτε το λόγο ( ) ( ) TDC ABCD . ΑΣΚΗΣΗ 208 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 207 - KARKAR Στο επίπεδο του τετραγώνου ABCD θεωρούμε σημείο E . Να αποδειχτεί ότι οι κάθετες, που άγονται από τα σημεία A, B,C,D αντιστοίχως στις BE,CE,DE, AE , συντρέχουν. Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Στάθης Κούτρας

318.

319.
μ

320.
Στο τετράγωνο ABCD,με μήκος πλευράς 5 , έχουμε γράψει το τεταρτοκύκλιο ABD  και από το μέσο N της BC , φέραμε το εφαπτόμενο τμήμα NS . Αν M το μέσο της AD , βρείτε το είδος του τετράπλευρου SMAN και υπολογίστε το εμβαδόν του. ΑΣΚΗΣΗ 210 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 209 - KARKAR Εσωτερικά του τετραγώνου ABCD έχουμε σχεδιάσει ημικύκλιο διαμέτρου AB . Σε σημείο S (το οποίο κινείται επί της AB ) φέρουμε κάθετή της, που τέμνει το ημικύκλιο στο T . Η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο T τέμνει τις πλευρές AD, BC στα P,Q αντίστοιχα. 1) Βρείτε τα όρια, εντός των οποίων κινείται το S , ώστε τα P,Q να είναι εσωτερικά σημεία των AD, BC . 2) Υπολογίστε το (PQ) συναρτήσει του μήκους a της πλευράς του τετραγώνου και του s = (ST) . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - orestisgotsis - Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης - KARKAR

321.

322.
μ

323.
Από σημείο S, της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD, φέρω το SD και το SS′ ⊥ AB . Βρείτε σημείο T της AC , ώστε αν φέρω το TD και το TT′ ⊥ AB να είναι (DST) = (SS′T′T) . ΑΣΚΗΣΗ 212 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 211 - KARKAR Δίπλα στο, πλευράς a τετράγωνο ABCD, τοποθετούμε άλλο τετράγωνο BEZH . Η AZ τέμνει την BC στο S . Υπολογίστε την πλευρά x του δευτέρου τετραγώνου, ώστε να είναι (ZHS) = 2(ASCD) . Λύσεις: Δημήτρης Ιωάννου - Νίκος Φραγκάκης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος Λύση: Νίκος Φραγκάκης

324.

325.
μ

326.
Τα τετράγωνα ABCDκαι STPQ , του σχήματος, έχουν εμβαδά 160 και 9 αντίστοιχα. Υπολογίστε το μήκος x του τμήματος DS . ΑΣΚΗΣΗ 214 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 213 - KARKAR Σημείο S κινείται επί του περίκυκλου ενός τετραγώνου ABCD. Δείξτε ότι το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεών του ST, SP , από τις διαγώνιους του τετραγώνου, είναι σταθερό. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: KARKAR

327.

328.
μ

329.
Με διάμετρο τηνπλευρά AB , τετραγώνου ABCD, σχεδιάζουμε στο εσωτερικό του ημικύκλιο. Εντός του ημικυκλίου εγγράφουμε τετράγωνο KLMN , του οποίου η μία πλευρά είναι τμήμα της AB . Βρείτε το λόγο των εμβαδών ( ) ( ) KLMN ABCD . ΑΣΚΗΣΗ 216 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 215 - KARKAR Στην προέκταση της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο E και η ED τέμνει την BC στο T . Η κάθετη BS , από το B προς την EC , τέμνει την ET στο M . Βρείτε το λόγο a b , ώστε το M να είναι το μέσο της ET και κατασκευάστε το σημείο E . Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Παναγιώτης Γιαννόπουλος - Νίκος Φραγκάκης Λύση: Νίκος Φραγκάκης

330.

331.
μ

332.
Σημείο S κινείταιεπί της πλευράς BC , τετραγώνου ABCD, και η AS τέμνει την προέκταση της DC στο T . Ο κύκλος που ορίζουν τα T, S, B , τέμνει την προέκταση της AB στο Q. 1) Δείξτε ότι QT = AS . 2) Βρείτε κατάλληλη θέση του S , ώστε να είναι: BQ = 2ST . ΑΣΚΗΣΗ 218 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 217 - KARKAR Προεκτείνουμε τη διαγώνιο AC , τετραγώνου ABCD, κατά τμήμα CS = k·AC . Η κάθετη BT από το B προς την SD , τέμνει την AS στο M . Πόσο είναι το k , αν το M είναι το μέσο της AS ; Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Δημήτρης Ιωάννου - Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

333.

334.
μ

335.
Στην πλευρά AD, τετραγώνου ABCD, παίρνω σημείο S και στην προέκταση της DC σημείο T , ώστε να είναι: CT = AS . Δείξτε ότι η κάθετη από το B προς τηνCS διχοτομεί το τμήμα AT . ΑΣΚΗΣΗ 220 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 219 - KARKAR Σε τετράγωνο ABCD, το K είναι το μέσο της διαγωνίου BD και το S τυχαίο σημείο της. Φέρω τα κάθετα, προς τις πλευρές AB, AD, τμήματα ST, SP και έστω M το μέσο της TP . 1) Δείξτε ότι KM ⊥ TP . 2) Δείξτε ότι οι ευθείες BP,DT,CS συντρέχουν. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

336.

337.
μ

338.
Στην προέκταση τηςβάσης AB , τετραγώνου ABCD πλευράς a και κέντρου K , κινείται σημείο S . Φέρω την ευθεία SK , η οποία τέμνει την πλευρά AD στο T . Από το T φέρω παράλληλη προς το KC , η οποία τέμνει την προέκταση της SC στο σημείο Q. 1) Υπολογίστε το μήκος της πλευράς QA, του τριγώνου QAS , συναρτήσει των a, BS = s . 2) Για ποια τιμή του s το τρίγωνο καθίσταται: α) ορθογώνιο, β) ισοσκελές (με QA = QS ); 3) Για ποια τιμή του s το τρίγωνο αποκτά εμβαδόν διπλάσιο του τετραγώνου; ΑΣΚΗΣΗ 222 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 221 - KARKAR Στην προέκταση της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο S . Για ποια θέση του S μεγιστοποιείται ο λόγος SD SC ; Σχολιάστε τον ισχυρισμό ότι καθώς το S απομακρύνεται τα τμήματα SD και SC τείνουν να γίνουν ίσα, άρα η διαφορά SD − SC , από ένα σημείο και μετά, θα μικραίνει! Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης - Στάθης Κούτρας Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

339.

340.
μ

341.
Στις πλευρές BC,CDενός τετραγώνου ABCD, βρίσκονται σημεία S,T ώστε να ισχύει S AT = 45 .Υπολογίστε το ST συναρτήσει του SB = x και της πλευράς a του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 224 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 223 - KARKAR Επί της διαγωνίου AC τετραγώνου ABCD πλευράς a , κινείται σημείο S ώστε AS = x . Σχεδιάζω, προς το μέρος του A , τετράγωνο DSMN πλευράς DS . 1) Δείξτε ότι η κορυφή M κινείται επί της πλευράς AB (ή στην προέκτασή της). 2) Υπολογίστε το (DSMN) συναρτήσει των a, x . Αν 3 4 x = AC , ποιος είναι ο λόγος ( ) ( ) DSMN ABCD ; Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - thanasis.a Λύσεις:AIAS - thanasis.a

342.

343.
μ

344.
Ο εγγεγραμμένος κύκλοςτου τετραγώνου ABCD, πλευράς a , τέμνει τη διαγώνιο AC σε σημείο S . Υπολογίστε την ακτίνα του κύκλου που ορίζουν τα σημεία B, S,D. ΑΣΚΗΣΗ 226 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 225 - KARKAR Τετράγωνο ABCD, πλευράς a , έχει κέντρο το σημείο K . Από σημείο S , το οποίο βρίσκεται στην προέκταση της AB και σε απόσταση x από το B , φέρω τις SK, SC , οι οποίες τέμνουν την ευθεία AD στα σημεία P,T αντίστοιχα. Υπολογίστε το τμήμα x , για το οποίο ελαχιστοποιείται το (SPT) . Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - AIAS Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης

345.

346.
μ

347.
Έστω τετράγωνο ABCDπλευράς AB = a . Γράφουμε τον κύκλο που διέρχεται από το D και τα μέσα M, N των AD,CD αντίστοιχα. Από το B φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα BS, BT προς τον κύκλο αυτόν και έστω E, Z τα σημεία που η ST τέμνει τις AD, SD αντίστοιχα. Να βρεθούν: α) Το μήκος BT και β) Ο λόγος ED EA . ΑΣΚΗΣΗ 228 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 227 - Νίκος Φραγκάκης Τα σημεία M, N είναι τα μέσα των πλευρών BC, AD τετραγώνου ABCD και οι AM,CN τέμνουν τον περίκυκλο του τετραγώνου στα S,T . Δείξτε ότι το εμβαδόν καθενός από τα τρίγωνα SAB,CTS , ισούται με το 30% του εμβαδού του τετραγώνου. Λύσεις: Δημήτρης Ιωάννου - Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Μιχάλης Νάννος

348.

349.
μ

350.
Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης- Μιχάλης Τσουρακάκης - KARKAR Στο τετράπλευρο με κορυφές K(1,0), L(4, 2),M(2,5), N(0, 4) περιγράψαμε τετράγωνο ABCD. 1) Πώς κατασκευάσαμε το τετράγωνο; 2) Πόσο είναι το εμβαδόν του; 3) Που βρίσκεται το κέντρο του; ΑΣΚΗΣΗ 230 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 229 - KARKAR Σε τετράγωνο ABCD το M είναι το μέσο της πλευράς BC και το N σημείο της, ώστε: 3 BN = BC . Οι ευθείες AM, AN τέμνουν τον περίκυκλο του τετραγώνου στα S,T αντίστοιχα. 1) Δείξτε ότι ST / /CB . 2) Δείξτε ότι το εμβαδόν του τραπεζίου (πλέον) BTSC , ισούται με το 12% του εμβαδού του τετραγώνου. Λύση: Ηλίας Καμπελής

351.

352.
μ

353.
Στις πλευρές AB,BC τετραγώνου ABCD, βρίσκονται σημεία S,T ώστε BS = BT . Οι προεκτάσεις των AB,DT τέμνονται στο Q. Βρείτε τη σχέση που συνδέει τις γωνίες ω,ϕ . ΑΣΚΗΣΗ 232 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 231 - KARKAR Στην προέκταση της πλευράς AB , τετραγώνου ABCD, παίρνω σημείο Q ώστε 1 BQ ·AB λ λ = . Η QC τέμνει τις προεκτάσεις των AD, BD στα σημεία P, S αντίστοιχα. Υπολογίστε το λόγο SP SD . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

354.

355.
μ

356.
Εντός του τετραγώνουABCD είναι σχεδιασμένο ημικύκλιο διαμέτρου AB , του οποίου το μέσο ονομάσαμε M . Η DM τέμνει το ημικύκλιο στο T , ενώ η AT τέμνει την πλευρά DC στο S . Υπολογίστε το λόγο DC DS . ΑΣΚΗΣΗ 234 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 233 - KARKAR Σημείο S κινείται επί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD. Η AS τέμνει τη διαγώνιο BD στο σημείο T . Βρείτε τη θέση του S , για την οποία ελαχιστοποιείται το άθροισμα (ADT) + (BST) . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

357.

358.
μ

359.
Οι κύκλοι τουσχήματος έχουν εξισώσεις x2 + y2 =1 ο μικρός και (x − 2)2 + ( y − 2)2 = 4 ο μεγάλος. Καλείστε να βρείτε πως κατασκευάσαμε το τετράγωνο SPQT , του οποίου οι πλευρές SP, ST εφάπτονται των δύο κύκλων. Επίσης, βρείτε και το εμβαδόν του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 236 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 235 - KARKAR Από σημείο S , της βάσης AB τετραγώνου ABCD, φέρω κάθετη, η οποία τέμνει την DC στο T και τον περίκυκλο στο P . Από το P φέρω παράλληλη προς την AB , η οποία τέμνει τις προεκτάσεις των AD, BC στα K, L αντίστοιχα. Τέλος η LT τέμνει την KS στο M και την AD στο N . 1) Δείξτε ότι LM ⊥ KS . 2) Σε ποια θέση πρέπει να βρεθεί το S , ώστε LT = TM = 2MN . Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης Λύση: Μιχάλης Τσουρακάκης

360.

361.
μ

362.
Σημείο S κινείταιεπί σταθερού τμήματος OA με μέσο M . Με βάσεις QS και SA κατασκευάζω, προς το ίδιο ημιεπίπεδο, τα τετράγωνα OSBC και SADE , των οποίων τα κέντρα ονομάζω K, L αντίστοιχα. 1) Βρείτε την τεταγμένη του μέσου T της KL και δείξτε ότι MK = ML . 2) Βρείτε και την τετμημένη του T αν NB = / / TM , όπου N είναι το μέσο του CE . ΑΣΚΗΣΗ 238 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 237 - KARKAR Σε σημείο N , που βρίσκεται επί της πλευράς AD τετραγώνου ABCD ώστε 3 AN = AD , φέρω κάθετη προς την BN , η οποία τέμνει τη διαγώνιο BD στο σημείο S . Ονομάζω M το μέσο της AD . 1) Δείξτε ότι SMB = 90 . 2) Βρείτε τους λόγους DS SB και ( ) ( ) SMB SNB . Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

363.

364.
μ

365.
Η ευθεία πουσυνδέει τα μέσα M, N των πλευρών BC,CD του τετραγώνου ABCD, πλευράς a , τέμνει το τόξο CD  στο S . Η παράλληλη προς την SD , από το C , τέμνει την SA στο σημείο T . 1) Υπολογίστε τα SN, SD . 2) Δείξτε ότι CT = a . 3) Δείξτε ότι TM / /AB και 2 TM = SD + a . ΑΣΚΗΣΗ 240 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 239 - KARKAR Εντοπίστε σημείο K , στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD, το οποίο είναι κοινό κέντρο κύκλων, από τους οποίους ο ένας διέρχεται από τα A,D, ο άλλος από τα B,C , ο δε μεγαλύτερος να έχει διπλάσια ακτίνα από το μικρό. Στη συνέχεια προσπαθήστε να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα. Δηλαδή δοθέντων των κύκλων (K, R) και (K,2R) , σχεδιάστε τετράγωνο με τις κορυφές A,D στον μεγάλο κύκλο και τις B,C στον μικρό. Λύση: Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Σωτήρης Λουρίδας

366.

367.
μ

368.
Δίνεται τετράγωνο ABCDκαι σημεία E, Z , των πλευρών BC,CD αντίστοιχα, έτσι ώστε: AE = BE + DZ . Να αποδειχθεί ότι Z AD = Z AE . ΑΣΚΗΣΗ 242 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 241 - Μπάμπης Στεργίου Το τεταρτοκύκλιο D AC  , τέμνει την ακτίνα KB ενός τετραγώνου ABCD σε σημείο T . Ημικύκλιο διαμέτρου KB τέμνει το τεταρτοκύκλιο σε σημείο S . Υπολογίστε τη KST . Λύση: Μιχάλης Νάννος Λύση: Μιχάλης Νάννος

369.

370.
μ

371.
Τα τετράγωνα ABCDκαι BEZH είναι «κολλητά» και το σημείο M είναι το μέσο του AE . Η AH προεκτεινόμενη τέμνει την EC στο T . Δείξτε ότι τα ED,TM τέμνονται επί της BC και βρείτε το λόγο AB BE , ώστε TM ⊥ ED . ΑΣΚΗΣΗ 244 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 243 - KARKAR Στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD, έχουμε γράψει το ημικύκλιο διαμέτρου AB και το τεταρτοκύκλιο ABD  . Με κέντρο το σημείο O, το οποίο κινείται επί του τεταρτοκυκλίου , γράφω κύκλο εφαπτόμενο της BC , ο οποίος τέμνει το ημικύκλιο στα S, P . 1) Δείξτε ότι το ένα σημείο τομής (εν προκειμένω το S ), είναι συνευθειακό των A,O . 2) Βρείτε τη θέση του O, για την οποία μεγιστοποιείται η SOP , καθώς και τη μέγιστη τιμή της γωνίας. Λύση: Στάθης Κούτρας Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Σωτήρης Λουρίδας - KARKAR - Μιχάλης Τσουρακάκης

372.

373.
μ

374.
Βρείτε τι ποσοστότου (ABCD) αποτελεί το (STCD) (M το μέσο της DC ). ΑΣΚΗΣΗ 246 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 245 - KARKAR Στο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD εγγράφουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ABE . Η CE τέμνει την AD στο Z . Εγγράφουμε, πάντα εσωτερικά, ισόπλευρο τρίγωνο CZS . Η ZS τέμνει την AE στο T και η CS την BE στο P . 1) Δείξτε ότι το S είναι σημείο της BC . 2) Δείξτε ότι (ATS) = 4(BPS) . Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Νάννος - Μιχάλης Τσουρακάκης - Μιχάλης Νάννος Λύσεις: Κώστας Καπένης - Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης

375.

376.
μ

377.
Το σημείο Hείναι το ορθόκεντρο τριγώνου ABC και τα K, L,M, N τα μέσα των AH, BH, BC, AC αντίστοιχα. Βρείτε την ιδιότητα που πρέπει να έχει το ABC , ώστε το KLMN να είναι τετράγωνο. ΑΣΚΗΣΗ 248 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 247 - KARKAR Τρεις παράλληλες ευθείες απέχουν μεταξύ τους αποστάσεις 2 και 1 μονάδες. Κατασκευάστε τετράγωνο ABCD, του οποίου οι 3 κορυφές να βρίσκονται ανά μία στις τρεις ευθείες και υπολογίστε το εμβαδόν του. Διερεύνηση απαραίτητη! Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Μιχάλης Τσουρακάκης - Ανδρέας Βαρβεράκης

378.

379.
μ

380.
Δείξτε ότι υπάρχεισημείο S , στο εσωτερικό τετραγώνου ABCD, ώστε τα τέσσερα άνισα εμβαδά που δημιουργούνται (με τη σειρά αρίθμησης) να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Υπάρχει άραγε σημείο S , ώστε τα εμβαδά αυτά να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου; ΑΣΚΗΣΗ 250 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 249 - KARKAR Δίπλα στο τετράγωνο ABCD τοποθετούμε το ισόπλευρο τρίγωνο BCE . Ο κύκλος (B, BD) , τέμνει την προέκταση της EC στο S . Υπολογίστε το λόγο ES EC . Λύση: Δημήτρης Ιωάννου Λύσεις: Σ. Κούτρας - Μ. Νάννος - Ν. Φραγκάκης - Μ. Τσουρακάκης - Γ. Ρίζος

381.

382.
μ

383.
Αν το εμβαδόντου τετραγώνου MLSN είναι το μισό του τετραγώνου ABCD, να βρεθεί το μέτρο της DAM . ΑΣΚΗΣΗ 252 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 251 - Ανδρέας Βαρβεράκης Στις «πλάτες» AB, BC,CD,DA του τετραπλεύρου ABCD κατασκευάζω τετράγωνα, των οποίων τα κέντρα ονομάζω K, L,M, N αντίστοιχα. Δείξτε ότι τα τμήματα KM και LN είναι μεταξύ τους ίσα και κάθετα. Λύσεις: KARKAR - Στάθης Κούτρας - Γιώργος Μήτσιος Λύση: Στάθης Κούτρας

384.

385.
μ

386.
Σε τετράγωνο ABCDπαίρνουμε σημείο E του εσωτερικού ημικυκλίου διαμέτρου AD τέτοιο ώστε EBˆC = 45° + EAˆB . Αν AE = 3, βρείτε το μήκος x = BE καθώς και την πλευρά του τετραγώνου. ΑΣΚΗΣΗ 254 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 253 - Μιχάλης Νάννος Στο εσωτερικό του τετραγώνου ABCD έχουμε σχεδιάσει το τεταρτοκύκλιο ABD  . Σε σημείο S της AB φέρω κάθετή της, η οποία τέμνει το τεταρτοκύκλιο στο σημείο T . Για ποια θέση του S είναι DTC = 90 ; Επαναδιατύπωση: Αν από το σημείο T , στο οποίο τέμνονται το τεταρτοκύκλιο ABD  και το ημικύκλιο διαμέτρου CD, διέρχεται το οριζόντιο τμήμα LTN και το κατακόρυφο STP , δείξτε ότι: 4 1 LT TN = και 3 2 ST TP = . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης - Νίκος Φραγκάκης - Ανδρέας Βαρβεράκης

387.

388.
μ

389.
Στην πλευρά BC, τετραγώνου ABCD, κινείται σημείο S . Ο κύκλος διαμέτρου SD τέμνει τον κύκλο διαμέτρου BC στο T , ενώ η CT τέμνει την AB στο P . Δείξτε ότι BP = BS . ΑΣΚΗΣΗ 256 - Κώστας Ρεκούμης ΑΣΚΗΣΗ 255 - KARKAR Δίνεται τετράγωνο και σημείο στο εσωτερικό του. Μεταβλητή ευθεία, που διέρχεται από το σημείο αυτό, διαιρεί το τετράγωνο σε δύο μέρη. Να βρεθεί η θέση της, ώστε η διαφορά των εμβαδών των εν λόγω μερών να είναι μέγιστη. Λύσεις: Μιχάλης Τσουρακάκης - Μιχάλης Νάννος - thanasis.a Λύση: Σωτήρης Λουρίδας

390.

391.
μ

392.
Το Ε είναιμέσο της ΒΓ και η ΑΖ είναι κάθετη στη ΔΕ . Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΖΑΒ είναι ισοσκελές αλλά όχι ισόπλευρο. ΑΣΚΗΣΗ 258 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 257 - Γιώργης Καλαθάκης Το σημείο S διαιρεί τη διαγώνιο BD, του τετραγώνου ABCD, σε λόγο 1 3 BS SD = . Φέρω τμήμα DT ⊥ AS . Βρείτε τον τριπλό λόγο TA:TS :TD . Λύσεις: Μπάμπης Στεργίου - Μιχάλης Τσουρακάκης - KARKAR Λύσεις: Μιχάλης Νάννος - Μιχάλης Τσουρακάκης

393.

394.
μ

395.
Σημείο S κινείταιεπί της πλευράς BC τετραγώνου ABCD. Η μία πλευρά της MST διέρχεται από το μέσο M της DC , ενώ η άλλη διέρχεται από το σημείο T της AD , για το οποίο είναι 3 AT = AD . Βρείτε τη θέση του S , ώστε MST = 45 . ΑΣΚΗΣΗ 260 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 259 - KARKAR Στο επίπεδο του τετραγώνου ABCD, πλευράς a , έχουμε σχεδιάσει τον κύκλο (O) , ο οποίος διέρχεται από τις κορυφές B,C και εφάπτεται της πλευράς AD . Επίσης έχουμε σχεδιάσει τον κύκλο (K) , ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A,D,O . Υπολογίστε τις ακτίνες των δύο κύκλων. Λύση: Σωτήρης Λουρίδας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Νίκος Φραγκάκης - Στάθης Κούτρας

396.

397.
μ

398.
Δίνεται τετράγωνο ABCD,τα σημεία E, Z των ευθειών AB, AD (διαφορετικά των A, B,D ) με AE = AZ και η προβολή H του A στην BZ . Να αποδειχτεί ότι η EHC είναι ορθή. ΑΣΚΗΣΗ 262 - Μιχάλης Νάννος ΑΣΚΗΣΗ 261- Κώστας Ρεκούμης Δίνεται τετράγωνο ABCD (πλευράς a και κέντρου O) και τυχαία σημεία E, Z , επί των πλευρών AB, AD αντίστοιχα. Αν τα BK,CL είναι κάθετα στην ZO και τα CM,DN είναι κάθετα στην EO, δείξτε ότι: BK2 +CL2 +CM2 + DN2 = a2 . Λύσεις: Στάθης Κούτρας - KARKAR - Σωτήρης Λουρίδας Λύση: Νίκος Φραγκάκης

399.

400.
μ

401.
Δύο τετράγωνα μεπλευρές a και b , είναι τοποθετημένα έτσι ώστε τα A, B,H να είναι συνευθειακά. Υπολογίστε το ST . ΑΣΚΗΣΗ 264 - KARKAR ΑΣΚΗΣΗ 263 - KARKAR Στην πλευρά AD του τετραγώνου ABCD κινείται σημείο S . Ο κύκλος (A, B, S) τέμνει τη διαγώνιο AC στο σημείο T . Πως πρέπει να επιλεγεί το S , ώστε ( ) ( ) 9 AST = ABCD ; Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Νίκος Φραγκάκης Λύσεις: Στάθης Κούτρας - Μιχάλης Τσουρακάκης - Μιχάλης Νάννος - KARKAR

402.
Ένα μεγάλο ευχαριστώστους ανθρώπους που συνέβαλαν στη δημιουργία αυτής της συλλογής. Οι ασκήσεις δε σταματούν εδώ, το Γεωμετρικό ταξίδι συνεχίζεται...σκοτεινό, μυστηριώδες, περιπετειώδες...καθώς αναδύονται νέες σκέψεις και ιδέες, που οδηγούν στην περιπλάνηση και την αναζήτηση... Μιχάλης Νάννος

264 squares(4)

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to 264 squares(4)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

264 squares(4)