Downloaded 197 times
![8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ 2014
ii.
Αριθμητικές παραστάσεις – Δυνάμεις
1) Να βρεθεί η τιμή των παρακάτω παραστάσεων:
i. Α = (-2 + 4) - (-7 + 2 - 1) - (8 - 6)
ii. Β =
1
+ (
2
1 + − − + − +
) 3
2
4
1
) ( 1 1
3
3
1
4
iii. Γ =
iv. Δ =
v.
2) Να υπολογιστούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων:
i.
ii. Β=
iii.
iv.
3) Αν α = 3 και β =1 να επαληθευτούν οι ισότητες :
i.
ii.
4) Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων
1
2 − − − − − + + − + +
) ( 3 11
3
5
1) [3 (1 1
i. Α=( )]
2
6
2
6
6
3
1 − + − − − − − + +
) 2
2
4) 0.5] [0.1 (0.01 0.4 3
(3
ii. Β=[ ]
5
1
4
4
2
15](https://image.slidesharecdn.com/agymnasioyteliko-140826082022-phpapp01/85/A-gymnasioy-teliko-108-320.jpg)
![ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
1
−
iii. Γ= 2003[(-1)2002+(-1)2003]2004-[(-2)-3]2+ ( 8)2
(ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε. 2002)
5) Να αποδειχθεί ότι:
1 +
2
2 3 ÷ + =
] (1 77
2
3
5
[ ) 5
+ + ⋅ .
228
2 1
3 4
5
7
2
4
+
−
+
6) Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού:
Α= ( 2)( 4)( 6)....( 2010)
− − − −
− − − −
( 1)( 3)( 5)....( 2OO9)
7) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
Α = (200 + 196 + 192 +….+ 8 + 4) - (198 + 194 + 190 +….+ 6 + 2)
8) Να υπολογιστεί η παράσταση:
( ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε. 1999)
Α = 2004 + 2005⋅ 2004 − 2006 ⋅ 2003
9) Να υπολογιστεί η τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων:
i. Α = ( 210 : 26 ) 2 - 3 12 : ( 39 3 ) + 5 ( 23 +32)
ii. Β = 5 ( 23 - 1 ) + 8 ( 33 - 20 ) - 8 ( 52 - 15)
10) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης .
1
−
Α= 2003⋅ [ ( -1 ) 2002 + ( -1 ) 2003] 2004 - [ ( -2 ) -3 ] 2 + ( 8)2
(ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε 2002)
11) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης:
Α = [ ( -1) 10 + ( -1) 11 ] ⋅ ( 24 - 32) + 5 12 : 510 - 20
(ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε 2002)
16](https://image.slidesharecdn.com/agymnasioyteliko-140826082022-phpapp01/85/A-gymnasioy-teliko-109-320.jpg)
![8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ 2014
12) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
Α =
8 9 17 17 8 8
(36 ⋅ 5 ⋅ 7 − 2 ⋅ 3 ⋅
5 ) : 6
(6 8 ⋅ 5 7 19 + 2 9 ⋅ 15 8
) ⋅
5
13) Αν α= 2004 και β =
−1
2004
να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
Α= [ ( α2 β3 ) -2 ( αβ 3) 4]: ( α3 : β-1) -3
14) Να απλοποιήσετε την παράσταση:
Α=
( ) ( )
( ) ( )
2 3 3 2 2 3 6
− − − − −
αβ βα ⎛ α β
⎞
⋅⎜ α β α β ⎝ α β
⎟
⎠
2 − 2 3 : − 3 3 2 −
1 4
15) Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων
Α=
2 1
2
⎛− ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
-
2 2
3
− ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ 3 ⋅ ( 1-
1
) -1- ( 2 - 510 )0
3
Β= ( 3 -
2
) ( -2) -2 + 7 - 5 ⋅ 2-3 +[ ( -2) -1 ]2
3
16) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις:
Α = (
1
-
ψ
x
1 )(
1 +
χ
1 )⋅
ψ
χψ
−
χ ψ
, αν χ = 2-1, ψ = -3 ,
B = (
β
) 2 -
α
α
+
γ
αβ
2
, αν α= 2-2, β =
2 1
3
− ⎛− ⎞ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
, γ = -2.
17) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης όταν χ =1
4 3 2
χ χ χ
1 1 1 1 1 1
2 3 5
Α = ( ) ( )
χ χ
− − −
⎛− ⎞ + ⎛− ⎞ −⎛− ⎞ + − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
18) Αν είναι: και να βρεθεί η τιμή της παράστασης:
17](https://image.slidesharecdn.com/agymnasioyteliko-140826082022-phpapp01/85/A-gymnasioy-teliko-110-320.jpg)
![ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π.
™ Έστω α, β δύο ακέραιοι αριθμοί με α Τον μεγαλύτερο
θετικό κοινό διαιρέτη των α και β τον συμβολίζουμε (α, β) και τον
ονομάζουμε Μ.Κ.Δ.
™ Έστω α, β δύο ακέραιοι αριθμοί διάφοροι του μηδέν. Το μικρότερο
από τα θετικά κοινά πολλαπλάσια των α και β το ονομάζουμε Ε.Κ.Π.
και το συμβολίζουμε με [α, β].
Προφανώς ισχύουν τα παρακάτω:
™ (α, 1) = α και (α, 0) = α, όπου α > 0.
™ (α, β)=(|α|, |β|) και [α, β]=[|α|, |β|].
™ Αν α| β τότε (α, β) = α και [α, β] = β όπου α, β > 0.
Ένα χρήσιμο θεώρημα για τον Μ.Κ.Δ. δύο αριθμών είναι το
εξής: Αν (α, β) = δ τότε υπάρχουν αριθμοί κ, λ τέτοιοι ώστε δ =
κα + λβ.
Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν (α, β) = 1.
Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα μπορούμε να πάρουμε
το εξής:
¾ Αν οι αριθμοί α, β είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε υπάρχουν
κ, λ ακέραιοι τέτοιοι ώστε κα + λβ = 1. Η πρόταση ισχύει
και αντίστροφα, δηλαδή, αν ισχύει η σχέση κα + λβ = 1,
τότε (α, β) = 1.
Επίσης ισχύει το εξής:
¾ Αν έχουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, τότε το Ε.Κ.Π.
και ο Μ.Κ.Δ. δεν μεταβάλλονται αν αντικαταστήσουμε δύο
από αυτούς με το Ε.Κ.Π. ή τον Μ.Κ.Δ. τους αντίστοιχα.
¾ Αν α, β > 0 και (α, β) = 1 τότε [α, β] = αβ.
Πολύ χρήσιμα είναι τα παρακάτω συμπεράσματα:
9 Αν α| βγ και (α, β)=1, τότε α|γ
9 Αν α| γ , β| γ και (α, β) = 1, τότε αβ |γ
9 Ισχύει ότι (λα, λβ) = λ(α, β) και [λα, λβ] = λ[α, β]
όπου λ φυσικός όχι μηδέν.
9 Ισχύει [α, β] = όπου α, β μη μηδενικοί φυσικοί.
32](https://image.slidesharecdn.com/agymnasioyteliko-140826082022-phpapp01/85/A-gymnasioy-teliko-127-320.jpg)
![ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
83
οπότε έχουμε:
που είναι το ζητούμενο.
Πρόταση 13. Οι ακέραιοι α, β είναι σχετικά πρώτοι, αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι ώστε να
ισχύει:
Πρόταση 14. Αν ένας ακέραιος διαιρεί το γινόμενο δύο άλλων ακεραίων και δεν διαιρεί τον έναν από
αυτούς, τότε θα διαιρεί τον άλλο. Δηλαδή αν
Πρόταση 15. Αν Δηλαδή αν δύο ακέραιοι διαιρούν έναν άλλο
ακέραιο, τότε και το γινόμενό τους θα τον διαιρεί.
Όσα έχουμε γράψει παραπάνω μπορούν να εφαρμοστούν και σε περισσότερους από έναν ακεραίους με την
παρακάτω.
Πρόταση 16. Κάθε διαιρέτης ακεραίων διαιρεί τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους.
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.)
Αν θεωρήσουμε έναν ακέραιο τότε τα πολλαπλάσια του είναι οι αριθμοί: Για
παράδειγμα τα πολλαπλάσια του 5: Αν τώρα θεωρήσουμε δύο οι
περισσότερους αριθμούς τότε είναι δυνατόν στα πολλαπλάσιά τους να βρούμε έναν ή περισσότερους
κοινούς αριθμούς, τα κοινά πολλαπλάσιά τους. Για παράδειγμα:
Για το 5: 5, 10 , 15, 20 , 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, ....
Για το 10: 10, 20 , 30 , 40 , 50, 60, 70, 80, 90, 100, ...
Από τα κοινά πολλαπλάσια μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα που είναι το μικρότερο από αυτά, το οποίο
ονομάζουμε Ελάχιστο.
Ορισμός 6. Αν ακέραιοι διαφορετικοί από το 0, τότε το μικρότερο από τα θετικά
κοινά πολλαπλάσιά τους καλείται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και γράφουμε .
Πρόταση 17. Ισχύει ότι:
Πρόταση 18. Αν ακέραιοι διαφορετικοί από το 0 και περισσότεροι από δύο, τότε
ισχύει ότι: . Δηλαδή, για να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. περισσοτέρων από
δύο αριθμών μπορούμε να υπολογίζουμε το Ε.Κ.Π. ανά δύο και στη συνέχεια να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των
υπολοίπων με αυτό.
Πρόταση 19. Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσοτέρων ακεραίων διαιρεί τα πολλαπλάσιά τους.
Πρώτοι, Ε.Κ.Π., Μ.Κ.Δ.
Εφαρμογή 6. Αν α, β ακέραιοι τότε
Πρόταση 20. Αν α|β τότε (α,β) = α και [α,β] = β για α, β θετικούς ακέραιους.
Πρόταση 21. Αν πρώτος αριθμός και τότε .
Εφαρμογή 7. (Εύρεση Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. με την ανάλυση σε πρώτους αριθμούς για μικρούς ακέραιους).
Για την εύρεση των ΕΚΠ και ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων μικρών ακεραίων μπορούμε να](https://image.slidesharecdn.com/agymnasioyteliko-140826082022-phpapp01/85/A-gymnasioy-teliko-179-320.jpg)
More Related Content
Similar to στ δημοτικου A gymnasioy teliko
στ δημοτικου A gymnasioy teliko
- 1.
- 3. Φίλε/η μαθητή/ήτρια, Είμαιο μικρός Ευκλείδης και μου αρέσουν πολύ τα μαθηματικά. Όταν έχω να λύσω ένα δύσκολο πρόβλημα, ξεχνάω ακόμα και να φάω. Όταν μεγαλώσω, θέλω να γίνω σπουδαίος μαθηματικός. Χρησιμοποιώ πολύ το μυαλό μου. Δε φοβάμαι να κάνω λάθη, γιατί μέσα από τα λάθη μου οι δάσκαλοί μου καταλαβαίνουν τι με μπερδεύει και με βοηθούν να γίνω καλύτερος. Αυτή τη στιγμή κρατάς στα χέρια σου ένα βιβλίο με μαθηματικές δραστηριότητες που μας …προκαλούν να κάνουμε σκέψεις και… λάθη! Ας αρχίσουμε…
- 4. Βρίσκω το φυσικόαριθμό που παρουσιάζεται κάθε φορά στον άβακα. Τον γράφω με αριθμητικά ψηφία και με αριθμολέξη. Τον παρουσιάζω ως άθροισμα και ως διαφορά δύο αριθμών. 2 Φυσικοί αρι 1 θμοί
- 5. Ποια από ταγινόμενα που βρίσκονται στον πίνακα του πολλαπλασιασμού με βοηθούν να εκτιμήσω το αποτέλεσμα των παρακάτω πράξεων; Περιγράφω τη σκέψη μου. 3 Α. 5.000 ∙ 82 Β. 42.000 : 7 Γ. 99 ∙ 7 Δ. 54.325 : 902
- 6. 2 Δυνάμεις Πώςδιαφέρουν μεταξύ τους τα γινόμενα 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3∙ 3 ∙ 3 και 3 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 7 ∙ 11 ∙ 3 ; Το γινόμενο 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 γράφεται πιο σύντομα ως 38 . Πώς προέκυψε το 8; Υπολογίζω τις παρακάτω δυνάμεις: 4 22 = 23 = 25 = 102 = 103 = 104 =
- 7. Κυκλώνω όσους απότους φυσικούς αριθμούς μέχρι το 100, γράφονται με μορφή δύναμης, που έχει εκθέτη μεγαλύτερο του 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Διαλέγω τρεις από τους αριθμούς που κύκλωσα παραπάνω και τους γράφω ως δυνάμεις: 5
- 8. Επιλέγω έναν εκθέτηγια κάθε φυσικό αριθμό παρακάτω, έτσι ώστε να πλησιάσω όσο γίνεται περισσότερο το 1.000 χωρίς όμως να το περάσω. 6 5 4 3 2 8 9 12 31 7 Ποια από τις δυνάμεις που έφτιαξα βρίσκεται πιο κοντά στο 1.000; Σε ποια από τα παρακάτω κρύβονται δυνάμεις; Α. Περίμετρος τετραγώνου Β. Περίμετρος κανονικού πενταγώνου με πλευρά 4 εκατοστόμετρα Γ. Περίμετρος ισόπλευρου τριγώνου με πλευρά τρία εκατοστά του μέτρου Δ. Εμβαδόν τετραγώνου Ε. Πέντε παιδιά αγοράζουν από πέντε βιβλία το καθένα και πληρώνουν πέντε ευρώ το κάθε βιβλίο. Πόσα χρήματα θα πληρώσουν; ΣΤ. Ένα εκατομμύριο Ζ. Πέντε εκατομμύρια Η. Εκατόν είκοσι ένα Θ. Είκοσι πέντε
- 9. Μπορεί μια δύναμηνα έχει ως εκθέτη το 1 ή το 0; Ξαναγράφω τις παρακάτω αριθμητικές παραστάσεις, χρησιμοποιώντας δυνάμεις: 7 Α. 16 + 12 + 9 ‐ 3●3●3 Β. 2●2●2●2 + 3●3 + 36 + 8 Γ. 3●100 + 1.600 + 1.000 Δ. 15●1.000 + 3.000 Ε. (5+3)●(5+3) + 64 ‐ 27 Συγκρίνω τις παρακάτω δυνάμεις: 33 32 43 53 33 92 83 85 83 93 103 ( )3 2 5 i 113 112 123 63 83 29
- 10.
- 11. 3 Ευκλείδεια διαίρεση‐Διαιρετότητα Ο Γιάννης είχε 51 κάρτες με αυτοκινητάκια και τις μοίρασε στους 4 φίλους του. Το κάθε παιδί πήρε 12 κάρτες και περίσσεψαν 3 κάρτες. Γράφω μια μαθηματική ισότητα που να περιλαμβάνει τις παραπάνω πληροφορίες. Κάνω τη διαίρεση 120 : 45 και φτιάχνω τη μαθηματική ισότητα που την περιγράφει. Γράφω μια μαθηματική ιστορία που να της αντιστοιχεί. • Διαγράφω με Χ, από τους παρακάτω αριθμούς, αυτούς, οι οποίοι δεν μπορεί να είναι υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 4. 0 1 2 3 4 5 6 7 • Διαγράφω με Χ, από τους παρακάτω αριθμούς, αυτούς, οι οποίοι δεν μπορεί να είναι υπόλοιπο μιας ευκλείδειας διαίρεσης με διαιρέτη το 17. 2 4 6 8 10 12 16 17 18 20 21 23 9
- 12. • Ποιοι απότους παρακάτω αριθμούς διαιρούνται ακριβώς… 23 230 2.300 23.000 230.000 2.300.000 4 41 442 4.443 44.444 444.445 4.444.440 5 50 150 3.500 4.565 505.551 10 … με το 2; …με το 5; …με το 10; …με το 3; …με το 9; …με το 4; …με το 25; …με το 100; • Χωρίς να κάνω τη διαίρεση, βρίσκω το υπόλοιπό της: 250:5 Υ= 251:5 Υ= 249:5 Υ=
- 13. 4 Κλασματικοί αριθμοί Βρίσκω τη σχέση που συνδέει τους αριθμούς της σειράς και συμπληρώνω τα κενά με τους κατάλληλους αριθμούς: 3 16 , ….…., 9 16 , 12 16 , ……………., ……………., …………………., ……………… Ποιος είναι ο 9ος όρος αυτής της σειράς; 11 3 1 2 , …………, ……….., 5, …………, ………, ………… Ποιος είναι ο 10ος όρος αυτής της σειράς; …………………., 53 3 4 , 53 2 4 , ………………, ………………, ……………… Ποια θέση σε αυτή τη σειρά έχει το 50; 1000 8 9 , 1000, ………………, ………………, ………………, ………………, ……………… Ποιος είναι ο 11ος όρος αυτής της σειράς; 3 5 , …………, 2 2 5 , 4 4 5 , …………, …………, …………, …………, ……… Ποιος είναι ο 15ος όρος αυτής της σειράς;
- 14. Τοποθετώ τους αριθμούςστην κατάλληλη θέση της αριθμογραμμής. 12 3,5 4 1 2 11 4 3 9 12 2,75 4,2 3 2 5 13 5 3,4 4,1 3,4 38 10 3 1 5 3,6 3 3 3 1 2 1,5 1 18 16 3 4 3 4 3 4 3 4 3 8 7 8
- 15. 5 Κλασματικοί αριθμοίκαι πράξεις Με τη βοήθεια των παρακάτω αναπαραστάσεων, υπολόγισε τα αποτελέσματα των πράξεων: 13 2 1 + 11 4 2 5 + 1 + 4 12 3 6 13 + 5 + 3 8 4 6 3 3 8 −
- 16. 14 4 1− 2 1 2 3 1 + 2 + 3 + 1 + 7 2 20 5 4 10 5 3 5 − 4 1 − 3 8 4 11 + 5 2 10 3 4 4 8
- 17. 15 1004 − 1 10 5 9998 + 1 9 9 5 · 3 4 3 4 · 3 2 3 4 · 1 2 99 100 101 ;
- 18. 16 4 1 2 · 3 8 4 1 2 · 1 3 50 20 · 4 8 24 10 · 1 2
- 19. 6 Λύνω προβλήματαμε κλάσματα • Η Μαρία και η Ιωάννα τρώνε μαζί μια σοκολάτα. Η Μαρία 17 έφαγε τα 1 8 της σοκολάτας και η Ιωάννα το 1 4 . Πόση σοκολάτα έμεινε; Λύση: Απάντηση: • Η Μαρία και η Ιωάννα τρώνε μαζί μια σοκολάτα. Η Μαρία έφαγε το 1 8 της σοκολάτας και η Ιωάννα τριπλάσια ποσότητα. Πόση σοκολάτα έμεινε; Λύση: Απάντηση:
- 20. • Ο Θανάσηςκούρεψε το γρασίδι στα 2 18 7 του κήπου τους. Την άλλη μέρα, η αδελφή του η Μαρία κούρεψε το 1 5 . Τι μέρος του κήπου έμεινε ακούρευτο; Λύση: Απάντηση: • Ο Θανάσης κούρεψε το γρασίδι στα 2 7 του κήπου τους. Την άλλη μέρα, η αδελφή του η Μαρία κούρεψε το 1 5 του υπόλοιπου. Τι μέρος του κήπου έμεινε ακούρευτο; Λύση: Απάντηση:
- 21. 19 • ΟΝίκος είναι 8 1 2 ετών. Ο κύριος Θανάσης, ο πατέρας του, είναι κατά 30 2 3 έτη μεγαλύτερος. Ο κύριος Αριστείδης, ο παππούς του Νίκου είναι κατά 32 1 4 έτη μεγαλύτερος από τον κύριο Θανάση. Ποια είναι η ηλικία του κύριου Θανάση και ποια η ηλικία του κύριου Αριστείδη; Λύση: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Απάντηση: • Ο Νίκος είναι 8 1 2 ετών. Ο κύριος Θανάσης, ο πατέρας του, έχει τετραπλάσια ηλικία. Ο κύριος Αριστείδης, ο παππούς του Νίκου, είναι κατά 32 1 4 έτη μεγαλύτερος από τον κύριο Θανάση. Ποια είναι η ηλικία του κύριου Θανάση και ποια η ηλικία του κύριου Αριστείδη; Λύση: ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Απάντηση:
- 22. 7 Λόγοι καιαναλογίες Σχεδιάζω ό,τι λείπει ώστε οι λόγοι παρακάτω να αντιστοιχούν σε μια εικόνα : Βρίσκω και γράφω σε ποια ποσά αντιστοιχούν οι λόγοι στην παρακάτω εικόνα: 20 ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ τρίγωνα 3 τετράγωνα 7 ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ παιδιά 5 μπαλόνια 9 ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ κιθάρες 1 μουσικά όργανα 2 ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ 1 1 2 3 ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ 3 12 1 20
- 23. Με ποια άλλακλάσματα μπορώ να εκφράσω το λόγο των μυρμηγκιών προς όλα τα έντομα; Με ποια κλάσματα μπορώ να εκφράσω το λόγο πεταλούδες προς έντομα; Τι σχέση έχουν μεταξύ τους αυτά τα κλάσματα; Συμπληρώνω κατάλληλα ώστε να προκύψουν ισοδύναμοι λόγοι: 4 8 24 21 = 5 15 10 8 = + 6 = 6 3 5 = 10 + 2 12 Σχηματίζω ισοδύναμους λόγους στις παρακάτω περιπτώσεις: Ο Μιχάλης και η Αναστασία πίνουν μαζί 3 λίτρα γάλα κάθε δυο μέρες. Πόσο γάλα θα πιουν σε μια βδομάδα; Τα 4 μηχανικά μολύβια κοστίζουν 2€. Πόσο κοστίζουν τα 10 μολύβια; ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΑ
- 24. 8 Ανάλογα καιαντιστρόφως ανάλογα ποσά 22 Ριζότο με μανιτάρια Υλικά για 6 άτομα 2 φλιτζάνι ρύζι 4 φλιτζάνια ζωμό κοτόπουλου 1 φλιτζάνι ψιλοκομμένα μανιτάρια 1 κουτ. κοφτό του γλυκού αλάτι Ποιος είναι ο λόγος του ζωμού προς το ρύζι; Γράφω τα υλικά που χρειάζονται για…. ….. 12 άτομα ….. 3 άτομα ….. 5 άτομα Πόσα άτομα θα φάνε αν φτιάξουμε τη συνταγή με 2 1 3 φλιτζάνι ρύζι;
- 25. Ένα ορθογώνιο έχειεμβαδό 24 τετραγωνικά εκατοστά. Το σχεδιάζω. Ποιες είναι οι διαστάσεις του; Συμπλήρωσε τον πίνακα παρακάτω, για ένα ορθογώνιο που έχει εμβαδό 18 τετραγωνικά εκατοστά. 23 Μήκος πλάτος Σχεδιάζω τα διαφορετικά ορθογώνια που προκύπτουν από τα στοιχεία του πίνακα.
- 26. Συμπληρώνω με +‐ × : = για να δείξεις με ισότητες τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στα παρακάτω ποσά: χρήματα που είχα χρήματα που πλήρωσα χρήματα που μου έμειναν χρήματα που πλήρωσα χρήματα που μου έμειναν χρήματα που είχα χρήματα που μου έμειναν χρήματα που πλήρωσα χρήματα που είχα χρήματα που είχα χρήματα που έμειναν χρήματα που πλήρωσα Αντιστοιχίζω κατάλληλα στα ποσά τους αριθμούς 40, 70, 110 και γράφω τις μαθηματικές ισότητες που προκύπτουν. χρήματα που είχα χρήματα που έμειναν χρήματα που πλήρωσα 24 χρήματα που είχα χρήματα που έμειναν χρήματα που πλήρωσα 9 Εξισώσεις ή
- 27. Φτιάχνω δύο προβλήματαμε τα στοιχεία παραπάνω και τα λύνω. Στη μαθηματική πρόταση που συνδέει τα ποσά αυτά μεταξύ τους, χρησιμοποιώ το Χ για την άγνωστη (ζητούμενη) ποσότητα. 25
- 28. Συμπληρώνω με ταπαρακάτω ποσά στην κατάλληλη θέση, ώστε να σχηματιστούν ισοδύναμες ισότητες: ύψος Νίκου ύψος Μαρίας πόσο ψηλότερος είναι ο Νίκος + = = + Επιλέγω δυο κατάλληλες τιμές για δυο από τα παραπάνω ποσά και γράφω ένα πρόβλημα. Στη θέση της ζητούμενης τιμής γράφω το Χ. 26 ‐ =
- 29. Σχηματίζω ισοδύναμες ισότητεςκαι για τα παρακάτω ποσά: χρήματα που πλήρωσα χρήματα που κοστίζει το ένα τόσα αγόρασα Επιλέγω δυο κατάλληλες τιμές για δυο από τα τρία παραπάνω ποσά και γράφω ένα πρόβλημα. Στη θέση της ζητούμενης τιμής γράφω το Χ. 27
- 30. 10 Ευθείες γραμμές, γωνίες και σχήματα Ποια σχέση έχουν μεταξύ τους οι παρακάτω ευθείες; (παράλληλες, τέμνονται) 28
- 31. Βρίσκω το μέτροτων παρακάτω γωνιών . Φτιάχνω τρία ζευγάρια τεμνόμενων ευθειών, που σχηματίζουν γωνίες 90, 60, 150 μοίρες. 29
- 32.
- 33. Στις παρακάτω γωνίεςχάραξε ό,τι λείπει για να σχηματίσεις τρίγωνα. 31
- 34. Σε κάθε σχήμαπαρακάτω λείπει το άλλο του μισό. Το συμπληρώνω. 32
- 35. 11 Ο κύκλος • Βρίσκω όσα περισσότερα σημεία μπορώ που απέχουν από το σημείο Κ 5 εκατοστά του μέτρου. Τι σχήμα σχηματίζεται από αυτά τα σημεία; 33 • Δίνω έναν ορισμό του κύκλου.
- 36. • Χαράζω έναευθύγραμμο τμήμα που ενώνει ένα σημείο του κύκλου με το 34 κέντρο του Κ. Πόσο μήκος έχει; • Χαράζω ένα ευθύγραμμο τμήμα που χωρίζει τον κύκλο σε δυο ίσα μέρη. Βρίσκω το μήκος του. • Χαράζω ομόκεντρους κύκλους με τη βοήθεια του διαβήτη μου και κέντρο το σημείο Κ. Μετρώ το μήκος της ακτίνας και της διαμέτρου τους. Τι σχέση υπάρχει ανάμεσα στο μήκος της ακτίνας και της διαμέτρου σε κάθε κύκλο;
- 37. 12 Λύνω προβλήματα 1. Τα 40 κιλά γάλα αποδίδουν 15 κιλά τυρί. Πόσο γάλα θα χρειαστούμε για να πάρουμε 60 κιλά τυρί; 35 Λύση: Απάντηση: 2. Για ένα κουστούμι χρειαζόμαστε 4 μέτρα ύφασμα πλάτους 0,9 μέτρα. Αν το ύφασμα έχει πλάτος 0,8 μέτρα, πόσο ύφασμα θα χρειαστούμε; Λύση: Απάντηση:
- 38. 3. Από 400κιλά αλεύρι παρασκευάζουμε 500 κιλά ψωμί. Για να παρασκευάσουμε 750 κιλά ψωμί, πόσα κιλά αλεύρι χρειαζόμαστε; 36 Λύση: Απάντηση: 4. Δύο συνεταίροι διέθεσαν 108.000 € για να κάνουν κάποια δουλειά. Ύστερα όμως από κάποιο χρονικό διάστημα, η συνεργασία τους διαλύθηκε, αφήνοντας κέρδος 72.000 €. Αν ο ένας πήρε ως κεφάλαιο και κέρδος 130.000 €, πόσα κέρδισε ο καθένας; Λύση: Απάντηση:
- 39. 5. Ένας έμποροςαγόρασε πορτοκάλια προς 0,8 € το κιλό. Όταν πούλησε τα πορτοκάλια, παρατήρησε ότι αύξησε τα χρήματα που είχε διαθέσει για την αγορά των πορτοκαλιών κατά τα 3 4 37 αυτών. Με τα χρήματα που εισέπραξε αγόρασε πάλι πορτοκάλια της ίδιας αξίας και τα πούλησε. Από τη δεύτερη πώληση κέρδισε 20.000 €. Τελικά διαπίστωσε ότι με αυτές τις δύο εμπορικές πράξεις διπλασίασε τα αρχικά χρήματά του. Πόσα κιλά πορτοκάλια είχε αγοράσει την πρώτη φορά; Λύση: Απάντηση:
- 40. 6. Ένα κτηνοτρόφος,για να ταΐσει τα 20 ζώα του 15 ημέρες, χρειάζεται 500 κιλά κριθάρι. Για να ταΐσει τα 30 ζώα 20 ημέρες, πόσο κριθάρι θα χρειαστεί; 38 Λύση: Απάντηση: 7. Κάποιος έχει στην τσέπη του 2.200 € σε χαρτονομίσματα των 100 € και των50 €. Αν τα χαρτονομίσματα στο σύνολό τους είναι 30, πόσα είναι των 100 και πόσα των 50; Λύση: Απάντηση:
- 41. 8. Ένας έμποροςαγόρασε συνολικά 3.000 κιλά λάδι δύο ποιοτήτων με 5 € και 3 € το κιλό, αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες λαδιού και πουλάει το μείγμα προς 4 € το κιλό. Στο τέλος είδε ότι ζημιώθηκε 200 €. Πόσα κιλά λάδι από κάθε ποιότητα αγόρασε; 39 Λύση: Απάντηση: 9. Θέλει κάποιος να πληρώσει ένα χρέος 1.280 € με 40 χαρτονομίσματα των 10 και των 50 €. Πόσα χαρτονομίσματα των 10 € και πόσα των 50 € θα χρειαστεί; Λύση: Απάντηση:
- 42. 10. Ένας διαγωνιζόμενοςκαλείται να απαντήσει σε 100 ερωτήσεις. Για κάθε σωστή απάντηση κερδίζει 4 μόρια, ενώ για κάθε λανθασμένη του αφαιρείται 1 μόριο. Τελικά συγκέντρωσε 310 μόρια. i) Για κάθε λανθασμένη απάντηση πόσα μόρια χάνει; ii) Πόσες σωστές και πόσες λανθασμένες απαντήσεις έδωσε; iii) Είναι δυνατόν ο διαγωνιζόμενος να έχει δώσει σωστές απαντήσεις και να συγκεντρώσει μηδέν μόρια; 40 Λύση: Απάντηση:
- 43. 11. Ένα θέατροέχει εισιτήρια 3 κατηγοριών. Α θέσης, αξίας 12 €, Β θέσης, αξίας 8 € και παιδικά, αξίας 5 € το ένα. Αν μια παράσταση την παρακολούθησαν 190 θεατές εκ των οποίων οι 40 ήσαν παιδιά, και το θέατρο συνολικά εισέπραξε 1.800 €, πόσα εισιτήρια Α και πόσα Β θέσης κόπηκαν; 41 Λύση: Απάντηση:
- 44.
- 45.
- 46.
- 47.
- 48.
- 49.
- 50.
- 52. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 133 16ο Πρόβλημα Ένας πατέρας είναι μεγαλύτερος του γιου του κατά 30 χρόνια. Αν η ηλι- κία του πατέρα είναι εξαπλάσια της ηλικίας του γιου, να βρεθούν οι ηλι- κίες τους. Λύση Αν παραστήσουμε την ηλικία του γιου με: x , τότε την ηλικία του πατέρα θα την παραστήσουμε με: x x x x x x Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: 6x − x = 30 5x = 30 x = 30 :5 = 6 Άρα ο γιος είναι 6 ετών και ο πατέρας 6 ⋅ 6 = 36 ετών. 17ο Πρόβλημα Ένας μανάβης πούλησε τρία είδη φρούτων (πορτοκάλια – μήλα – αχλά- δια) και εισέπραξε 210 €. Τα χρήματα που εισέπραξε από τα πορτοκάλια είναι διπλάσια από τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα και τα χρή- ματα που εισέπραξε από τα αχλάδια είναι τετραπλάσια από τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα. Πόσα χρήματα εισέπραξε από κάθε είδος φρούτων; Λύση Από την εκφώνηση προκύπτει ότι τα χρήματα που εισέπραξε ο μανάβης από τα πορτοκάλια και τα αχλάδια έχουν σχέση εξάρτησης από τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα. Αν τα χρήματα που εισέπραξε από τα μήλα τα παραστήσουμε με το σχήμα: x τότε τα χρήματα από τα πορτοκάλια θα παριστάνονται: x x και τα χρήματα από τα αχλάδια θα παριστάνονται: x x x x Από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: 7x = 210 x = 210 : 7 = 30 Δηλαδή, από τα μήλα εισέπραξε 30 €. από τα πορτοκάλια 2 ⋅30 = 60 €. και από τα αχλάδια 4 ⋅30 =120 €.
- 53. 134 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 18ο Πρόβλημα Τρία αδέλφια κληρονόμησαν από τους γονείς τους το ποσό των 330.000 €. Ο μεσαίος αδελφός πήρε 40.000 € περισσότερα από το μεγαλύτερο και ο μικρός 40.000 € περισσότερα από το μεσαίο. Πόσα χρήματα πήρε ο καθένας; Λύση Αν παραστήσουμε το μερίδιο του πρώτου με το σχήμα x τότε το μερίδιο του δεύτερου θα είναι: x + 40.000 € και το μερίδιο του τρίτου θα είναι: x + 40.000 € + 40.000 €. Δηλαδή, αν από το ποσό των 330.000 € αφαιρεθούν τα επιπλέον χρήματα που πήραν οι δύο μικροί αδελφοί, 40.000 + 40.000 + 40.000 =120.000 , τότε το ποσό που απέμεινε 330.000 −120.000 = 210.000 , μοιράζεται σε τρία ίσα μέρη. Οπότε: 210.000 :3 = 70.000 € πήρε ο πρώτος 70.000 + 40.000 =110.000 € πήρε ο δεύτερος και 70.000 + 80.000 =150.000 € πήρε ο τρίτος. 19ο Πρόβλημα Τέσσερις φίλοι, οι Α, Β, Γ και Δ, έχουν μαζί 500 €. Ο Γ έχει 10 € λιγότε- ρα από τον Β, ο Δ έχει 20 € λιγότερα από τον Γ και ο Α 50 € λιγότερα από τον Δ. Πόσα χρήματα έχει ο καθένας; Λύση Από την εκφώνηση βλέπουμε ότι: Τα χρήματα του Α έχουν σχέση εξάρτησης από τα χρήματα του Δ, του Δ από τα χρήματα του Γ και του Γ από τα χρήματα του Β. Δηλαδή, τα χρήματα των Α, Δ, Γ εξαρτώνται από τα χρήματα του Β. Αν λοιπόν τα χρήματα του Β τα παραστήσουμε με το σχήμα: x τότε τα χρήματα του Γ θα είναι x – 10 € του Δ θα είναι x – 10–20 € και του Α θα είναι x – 10–20–50 €
- 54. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 135 Δηλαδή, αν τα χρήματα του Γ αυξηθούν κατά 10 € του Δ αυξηθούν κατά 10 + 20 = 30 € και του Α αυξηθούν κατά 10 + 20 + 50 = 80 € Τότε τα χρήματα του Β θα παριστάνονται με το σχήμα x του Γ με το σχήμα x του Δ με το σχήμα x και του Α με το σχήμα x Δηλαδή, οι τέσσερις φίλοι θα έχουν το ίδιο ποσό χρημάτων. Όμως η αύξηση των χρημάτων των Γ, Δ και Α κατά 10 + 30 + 80 =120 αυξάνει και το αρχικό ποσό κατά 120. Έτσι το συνολικό ποσό χρημάτων που θα έπρεπε να μοιραστεί είναι: 500 +120 = 620 €. Το ποσό των 620 € είναι τετραπλάσιο των χρημάτων του Β όπως προκύπτει και από το σχήμα . Οπότε: τα χρήματα του Β είναι 620 : 4 =155 € του Γ είναι 155 −10 =145 € του Δ είναι 155 − 30 =125 € και του Α είναι 155 − 80 = 75 €. 20ο Πρόβλημα Τρία αυτοκίνητα διέτρεξαν συνολικά απόσταση 4.578 Km. Το πρώτο διέτρεξε 328 Km περισσότερα από τα διπλάσια χιλιόμετρα που διέτρεξε το δεύτερο. Το τρίτο διέτρεξε 235 Km λιγότερα από τα διπλάσια χιλιό- μετρα που διέτρεξε το δεύτερο. Πόσα χιλιόμετρα διέτρεξε το καθένα: Λύση Σύμφωνα με την εκφώνηση του προβλήματος τα χιλιόμετρα που διέτρεξαν τα αυτοκίνητα α και γ έχουν σχέση με τα χιλιόμετρα που διέτρεξε το αυτοκίνητο β. Αν τα χιλιόμετρα του β τα παραστήσουμε με το σχήμα x Τότε τα χιλιόμετρα του α θα είναι: x x +328Km και του γ θα είναι: x x –235Km Από την παράσταση βλέπουμε ότι, αν το α αυτοκίνητο διέτρεxε 328 Km λιγό- τερα και το γ 235 Km περισσότερα, από τα διπλάσια χιλιόμετρα του β, τότε όλα μαζί θα διέτρεχαν:
- 55. 136 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων (4578 − 328) + 235 = 4485 Km, τα οποία θα ήσαν 5 φορές τα χιλιόμετρα που διέτρεξε το β – αυτοκίνητο. Άρα το β – αυτοκίνητο διέτρεξε 4.485:5 = 897 Km. το α – αυτοκίνητο διέτρεξε 2 ⋅897 + 328 = 2.122 Κm και το γ – αυτοκίνητο 2 ⋅897 − 235 =1.559 Km. 21ο Πρόβλημα Τρία αδέλφια έχουν σήμερα, άθροισμα ηλικιών 50 χρόνια. i) Πριν από 10 χρόνια πόσο ήταν το άθροισμα των ηλικιών τους; ii) Ύστερα από 10 χρόνια πόσο θα είναι το άθροισμα των ηλικιών τους; Λύση i) Πριν από δέκα χρόνια ο καθένας θα ήταν μικρότερος κατά 10 χρόνια. Συ- νεπώς, το άθροισμα των ηλικιών τους θα ήταν κατά 10 +10 +10 = 30 χρόνια λιγό- τερο. Άρα 50 − 30 = 20 χρόνια. ii) Ύστερα από 10 χρόνια ο καθένας θα έχει μεγαλώσει κατά 10 χρόνια. Συ- νεπώς, το άθροισμα των ηλικιών τους θα έχει αυξηθεί κατά 10 +10 +10 = 30 . Άρα 50 + 30 = 80 χρόνια. 22ο Πρόβλημα Ένας πατέρας γεννήθηκε το 1937 και έχει σήμερα (το έτος 2005) κόρη κατά 37 χρόνια μικρότερή του. Πότε γεννήθηκε η κόρη του; Πότε γεν- νήθηκε ο παππούς της κόρης του, ο οποίος είναι σήμερα κατά 55 χρόνια μεγαλύτερός της; Λύση Όταν γεννήθηκε η κόρη του, εκείνος ήταν 37 ετών. Συνεπώς η κόρη του γεννή- θηκε το 1937 + 37 =1974 . Το 1974, το έτος που γεννήθηκε η εγγονή, ο παππούς ήταν 55 ετών. Συνεπώς, ο παππούς γεννήθηκε το 1974 − 55 =1919 . Παρατήρηση Τα παρακάτω προβλήματα 23 και 24 εντάσσονται στη γενική κατηγορία προβλημάτων τα οποία αναφέρονται σε χρονικές μεταβολές μεγεθών με σταθερό ρυθμό και ζητούν σε πόσα χρόνια θα ικανοποιούν τα μεγέθη αυτά μια συγκεκριμένη σχέση.
- 56. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 137 Το βασικό σκεπτικό με το οποίο βρίσκουμε την κατάλληλη σχέση εξάρτησης των δοσμέ- νων μεγεθών με την οποία θα επιλύσουμε το πρόβλημα είναι το εξής: Βρίσκουμε αρχικά τη μεταβολή των δοσμένων μεγεθών στον 1 χρόνο. Η μεταβολή αυτή παραμένει σταθερή για όλα τα υπόλοιπα χρόνια (σταθερός ρυθμός μεταβολής). Στη συνέχεια το πρόβλημα επιλύεται συνήθως με διαίρεση. 23ο Πρόβλημα Μια μητέρα είναι σήμερα 40 ετών, και το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών της είναι 45 χρόνια. i) Πριν από πόσα χρόνια η ηλικία της μητέρας ήταν διπλάσια του α- θροίσματος της ηλικίας των παιδιών; ii) Ύστερα από πόσα χρόνια το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας θα ισούται με το άθροισμα της ηλικίας των παιδιών; Λύση i) Σήμερα, η ηλικία της μητέρας είναι 40 ετών, και το διπλάσιο του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών είναι 2 ⋅ 45 = 90 . Διαφορά: Δ = 90 − 40 = 50 χρόνια. Πριν από ένα χρόνο η μητέρα ήταν 39 ετών, και το διπλάσιο του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών ήταν: 2(45 − 3) = 2 ⋅ 42 = 84 χρόνια. Διαφορά: Δ1 = 84 − 39 = 45 χρόνια. Όμοια, πριν από 2 χρόνια η μητέρα ήταν 38 ετών, και το διπλάσιο του αθροί- σματος των ηλικιών των παιδιών ήταν: 2(45 − 6) = 2 ⋅39 = 78 . Διαφορά: Δ2 = 78 − 38 = 40 χρόνια. Δηλαδή, η σημερινή διαφορά Δ = 50 χρόνια (μεταξύ του διπλάσιου του α- θροίσματος των ηλικιών των παιδιών και της ηλικίας της μητέρας), πριν από ένα χρόνο ήταν μικρότερη κατά 5 χρόνια, πριν από 2 χρόνια ήταν μικρότερη κατά 10 χρόνια, πριν από 3 χρόνια ήταν μικρότερη κατά 15 χρόνια κ.ο.κ. Πριν από 50 :5 =10 χρόνια η διαφορά Δ ήταν μηδενισμένη. Συνεπώς, πριν από 10 χρόνια η ηλικία της μητέρας ήταν ίση με το διπλάσιο του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών. Πράγματι, πριν από 10 χρόνια η μητέρα ήταν 40 −10 = 30 ετών, και το διπλά- σιο του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών ήταν:
- 57. 138 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 2 ⋅ (45 − 3⋅10) = 2(45 − 30) = 2 ⋅15 = 30 . ii) Σήμερα, οι ηλικίες των παιδιών έχουν άθροισμα 45 χρόνια, και το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας είναι 80 χρόνια. Διαφορά, Δ = 80 − 45 = 35 χρόνια. Ύστερα από ένα χρόνο το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών θα είναι 45 + 3 = 48 , και το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας (40 +1)⋅ 2 = 82 . Διαφορά: Δ1 = 82 − 48 = 34 χρόνια. Όμοια, ύστερα από 2 χρόνια η διαφορά θα είναι ( ) ( ) Δ2 = 2 ⋅ 40 + 2 − 45 + 6 = 84 − 51= 33 χρόνια. Δηλαδή, η σημερινή διαφορά Δ = 35 χρόνια (μεταξύ του διπλάσιου της ηλικί- ας της μητέρας και του αθροίσματος των ηλικιών των παιδιών) μετά από ένα χρόνο μικραίνει κατά ένα χρόνο, ύστερα από δύο χρόνια μικραίνει κατά δύο χρόνια κ.ο.κ. Συνεπώς ύστερα από 35:1= 35 χρόνια η διαφορά θα έχει μηδενιστεί. Άρα ύστερα από 35 χρόνια το διπλάσιο της ηλικίας της μητέρας θα ισούται με το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών. 24ο Πρόβλημα Ένας βοσκός έχει ένα κοπάδι 250 προβάτων, το οποίο αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 50 πρόβατα. Ένας άλλος βοσκός έχει επίσης ένα κοπάδι με 610 πρόβατα. i) Αν το δεύτερο κοπάδι μειώνεται κατά 40 πρόβατα το χρόνο, ύστε- ρα από πόσα χρόνια τα δύο κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος προ- βάτων; ii) Αν το δεύτερο κοπάδι αυξάνεται κατά 10 πρόβατα το χρόνο, ύστε- ρα από πόσα χρόνια τα δύο κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος προ- βάτων; iii) Αν το δεύτερο κοπάδι αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 80 πρόβατα • ύστερα από πόσα χρόνια τα κοπάδια θα έχουν το ίδιο πλήθος προβάτων; • ύστερα από πόσα χρόνια το δεύτερο κοπάδι θα έχει 690 πρόβα- τα περισσότερα από το πρώτο;
- 58. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 139 Λύση i) Αρχικά το 2ο κοπάδι έχει 610 – 250 = 360 πρόβατα επιπλέον. Μετά από 1 χρόνο θα έχει (610 – 40) – (250 + 50) = 270 πρόβατα επιπλέον Άρα σε 1 χρόνο (και κάθε χρόνο) η διαφορά του μεγέθους των δύο κοπαδιών μειώθηκε κατά 360 – 270 = 90 πρόβατα. Επομένως για να μηδενισθεί η αρχική διαφορά θα πρέπει να περάσουν 360 : 90 = 4 χρόνια. ii) Ομοίως μετά από 1 χρόνο το 2ο κοπάδι θα έχει (610 + 10) – (250 + 50) = 320 επιπλέον πρόβατα. Άρα σε 1 χρόνο η διαφορά μειώνεται κατά 360 – 320 = 40 πρόβατα και για να μηδενισθεί θα περάσουν 360 : 40 = 9 χρόνια. iii) Στον 1ο χρόνο το 2ο κοπάδι θα έχει (610 + 80) – (250 + 50) = 390 πρόβατα ε- πιπλέον. Δηλαδή σε 1 χρόνο η διαφορά αυξάνεται κατά 390 – 360 = 30 πρόβατα. • Η αρχική διαφορά 360 πρόβατα των δύο κοπαδιών αυξάνεται κάθε χρόνο κατά 30 πρόβατα, συνεπώς ποτέ τα δύο κοπάδια δεν θα έχουν το ίδιο πλή- θος προβάτων. • Για να αποκτήσει το 2ο κοπάδι 690 – 360 = 330 πρόβατα επιπλέον της αρ- χικής διαφοράς προβάτων θα περάσουν 330 : 30 = 11 χρόνια. 25ο Πρόβλημα Διαθέτουμε 3 διαφορετικά είδη ψωμιού, 4 διαφορετικά είδη τυριού και 5 διαφορετικά είδη ζαμπόν. Πόσα διαφορετικά σάντουιτς μπορούμε να κάνουμε; Λύση Ένα σάντουιτς θα περιέχει τρία πράγματα (Ψ, Τ, Ζ) ψωμί, τυρί και ζαμπόν. Δύο σάντουιτς θα είναι διαφορετικά, αν διαφέρουν τουλάχιστον σε ένα από τα τρία εί- δη. Ας φτιάξουμε πρώτα σάντουιτς χωρίς ζαμπόν. Έχουμε δύο ομάδες μονάδων «τα 3 είδη ψωμιού» και τα «4 είδη τυριού». Κάθε μονάδα της πρώτης ομάδας (ένα ψωμί) συνδυάζεται με όλες τις μονάδες της δεύ- τερης ομάδας (ένα τυρί). Τα ζεύγη αυτά θα είναι το πλήθος 3⋅ 4 =12 . Τώρα διαθέτουμε πάλι δύο ομάδες μονάδων.
- 59. 140 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων «Τα 12 μισό – ετοιμασμένα σάντουιτς» και «τα 5 διαφορετικά είδη ζαμπόν». Κάθε μονάδα της πρώτης ομάδας συνδυάζεται με όλες τις μονάδες της δεύτε- ρης ομάδας. Τα ζεύγη που θα προκύψουν μας δίνουν το πλήθος των σάντουιτς που θα κά- νουμε. Δηλαδή: 12 ⋅5 = 60 διαφορετικά σάντουιτς. 26ο Πρόβλημα Σ’ ένα σχολείο διδάσκουν 5 μαθηματικοί, 8 φιλόλογοι και 3 φυσικοί. Ο διευθυντής του σχολείου θέλει να επιλέξει μια τριμελή επιτροπή η οποία να αποτελείται από ένα μαθηματικό (Μ), ένα φιλόλογο (Φ) και ένα φυσι- κό (φ). Με πόσους τρόπους μπορεί να συγκροτηθεί η τριμελής επιτροπή; Λύση Αν κάθε μαθηματικός συνδυαστεί με όλους τους φιλολόγους, θα προκύψουν 5⋅8 = 40 διμελείς επιτροπές. Αν τώρα κάθε διμελής επιτροπή (με ένα Μ και ένα Φ) συνδυαστεί με όλους τους φυσικούς, θα προκύψουν 40 ⋅3 =120 επιτροπές. Συνεπώς, ο δ/ντής έχει τη δυνατότητα να επιλέξει μία από τις 120 επιτροπές που προκύπτουν. 27ο Πρόβλημα Στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (Σχήμα 1) η περίμετρος Ρ είναι 56 cm. μήκος πλάτος Σχήμα 1 Αν το μήκος του ορθογωνίου αυξηθεί κατά 5 cm και το πλάτος κατά 3 cm, να υπολογιστεί η περίμετρός του νέου ορθογωνίου. Λύση Από το σχήμα προκύπτει ότι η περίμετρος του ορθογωνίου είναι διπλάσια του αθροίσματος του μήκους με το πλάτος. Αν το μήκος αυξηθεί κατά 5 cm και το
- 60. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 141 πλάτος κατά 3 cm, το άθροισμά τους θα αυξηθεί κατά 5 + 3 = 8 cm και επομένως η περίμετρος θα αυξηθεί κατά 2 ⋅8 =16 cm. Άρα η περίμετρος του νέου ορθογωνίου θα είναι 56 +16 = 72 cm. 28ο Πρόβλημα i) Αν οι διαστάσεις του σχήματος (1) διπλασιαστούν, δείξτε ότι το εμβα- δό του Ε, τετραπλασιάζεται. μήκος πλάτος Σχήμα (1) ii) Αν οι διαστάσεις του σχήματος (2) διπλασιαστούν, δείξτε ότι ο όγκος του οκταπλασιάζεται. x ψ z Σχήμα (2) Λύση i) Γνωρίζουμε ότι E = xy . Έστω τώρα E' το εμβαδό του νέου ορθογώνιου παραλληλογράμμου· τότε E' = (2x)⋅ (2y) = 4xy = 4(xy) = 4E . Άρα το E' είναι τετραπλάσιο του Ε. ii) Γνωρίζουμε ότι V = xyz . Έστω τώρα V' ο όγκος του νέου ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου· τότε V' = (2x)(2y)(2z) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ z = 8xyz = 8V . Άρα ο V΄ είναι οκταπλάσιος του V.
- 61. 142 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 29ο Πρόβλημα . Οκτώ φίλοι θέλουν να φωτογραφηθούν ανά δύο. Πόσες πόζες θα τραβήξει ο φωτογράφος; Αν κάθε φίλος αγοράσει όλες τις φωτογραφίες στις οποίες εμφανίζεται, πόσες φωτογραφίες θα πρέπει να εκτυπώσει ο φωτογράφος; Λύση Ο φωτογράφος λέει στους φίλους. «Ένας ένας από σας θα ποζάρει με καθέναν από τους υπόλοιπους μία φορά και θα απομακρύνεται». Έτσι: την πρώτη φορά τραβήχτηκαν 7 πόζες, αφού οι φίλοι ήσαν 8 τη δεύτερη φορά 6 πόζες, αφού οι φίλοι που απέμειναν ήσαν 7 την τρίτη φορά 5 --//-- 6 την τέταρτη φορά 4 --//-- 5 την πέμπτη φορά 3 --//-- 4 την έκτη φορά 2 --//-- 3 την έβδομη φορά 1 --//-- 2 και την όγδοη φορά 0, αφού ο 8ος φίλος που απέμεινε δεν έχει «ταίρι», για να φωτογραφιστεί. Σύνολο ποζών 28. Κάθε φίλος θα εμφανίζεται σε 7 φωτογραφίες. Επομένως, ο φωτογράφος θα εκτυπώσει 7 ⋅8 = 56 φωτογραφίες. 30ο Πρόβλημα Πόσους διψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0, 1, 5, 6, 7; Λύση Η θέση των δεκάδων θα καλυφθεί με ένα από το ψηφία 1, 5, 6, 7, διότι ο αριθ- μός θέλουμε να είναι διψήφιος ενώ η θέση των μονάδων θα καλυφθεί με ένα από τα ψηφία 0, 1, 5, 6, 7. Συμπληρώνουμε τον παρακάτω πίνακα.
- 62. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 143 Μονάδες Δεκάδες 0 1 5 6 7 1 10 11 15 16 17 5 50 51 55 56 57 6 60 61 65 66 67 7 70 71 75 76 77 Συνολικά θα σχηματιστούν 20 διψήφιοι αριθμοί. Μια άλλη σκέψη: Αν ένα από τα ψηφία των δεκάδων συνδυαστεί με κάθε ψηφίο των μονάδων, θα προκύψουν τόσοι διψήφιοι αριθμοί όσα τα ψηφία των μονάδων, δηλαδή 5. Άρα, αν όλα τα ψηφία των δεκάδων συνδυαστούν με καθένα από τα ψηφία των μονάδων θα προκύψουν 4 ⋅5 = 20 το πλήθος διψήφιοι αριθμοί. 31ο Πρόβλημα Ένας γυμναστής τοποθετεί τους μαθητές ενός σχολείου κατά επτάδες. Αν τους τοποθετήσει κατά πεντάδες, σχηματίζονται 10 σειρές περισσό- τερες. Πόσους μαθητές έχει το σχολείο; Λύση ; άγνωστο πλήθος επτάδων πλήθος μαθητών που έφυγαν από τις επτάδες=2 (πλήθος επτάδων) ; 10 πεντάδες πλήθος μαθητών που έφυγαν από τις επτάδες Από την κάθε επτάδα φεύγουν δύο μαθητές και προκύπτει μία πεντάδα. Με τον τρόπο αυτό από το συνολικό πλήθος των επτάδων προκύπτουν ισάριθμες πεντάδες και το πλήθος των μαθητών που θα σχηματίσουν τις επιπλέον πεντάδες είναι δύο
- 63. 144 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων φορές το πλήθος των επτάδων. Όμως οι μαθητές που βγήκαν από τις επτάδες σχη- μάτισαν δέκα σειρές πεντάδων επιπλέον, άρα το πλήθος τους είναι 10 · 5 = 50. Επομένως θα ισχύει: 2 · (πλήθος επτάδων) = 50, πλήθος επτάδων = 50 : 2 = 25. Άρα συνολικό πλήθος μαθητών 25 · 7 = 175. Άρα το σχολείο έχει 175 μαθητές. 32ο Πρόβλημα Τρεις φίλοι μοιράζουν κάποια μήλα με τον εξής τρόπο: Ο α΄ πήρε τα μισά μήλα συν 1 μήλο, ο β τα μισά από τα υπόλοιπα συν 4 μήλα και ο τρίτος τα μισά απ’ όσα έμειναν συν 5 μήλα. Τελικά έμειναν και 8 μήλα αδιάθετα. Πόσα μήλα πήρε ο καθένας; Λύση Το παρακάτω σχεδιάγραμμα δείχνει τον τρόπο μοιρασιάς των μήλων. Μήλα ; ο α πήρε έμειναν τα μισά +1 τα μισά –1 διαφορά 2 μήλα τα μισά +4 μήλα τα μισά –4 μήλα ο β πήρε έμειναν διαφορά 8 μήλα τα μισά +5 μήλα τα μισά –5 μήλα ο γ πήρε έμειναν διαφορά 10 μήλα (8 μήλα) Ακολουθώντας τώρα πορεία από το τέλος προς την αρχή θα έχουμε: Έμειναν 8 μήλα. Ο γ πήρε 10 μήλα περισσότερα από αυτά που έμειναν 8 +10 =18 μήλα. Πριν ο γ πάρει το μερίδιό του το καλάθι είχε 8 +18 = 26 μήλα. Ο β πήρε 8 μήλα περισσότερα από τα 26, δηλαδή πήρε 8 + 26 = 34 μήλα. Πριν ο β πάρει το μερίδιό του το καλάθι είχε 26 + 34 = 60 μήλα. Ο α πήρε 2 μήλα περισσότερα από τα 60, δηλαδή πήρε 60 + 2 = 62 μήλα. Πριν ο α πάρει το μερίδιό του, το καλάθι είχε 60 + 62 =122 μήλα.
- 64. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 145 Προβλήματα τεσσάρων πράξεων προς λύση 3.1. Δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 640 και διαφορά 100. Να βρεθούν οι αριθμοί. (Α. 370, 270) 3.2. Δύο διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 523. Να βρεθούν οι αριθμοί (δύο φυσικοί αριθμοί λέγονται διαδοχικοί, αν διαφέ- ρουν κατά 1). (Α. 261, 262) 3.3. Τρεις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 144. Να βρεθούν οι αριθ- μοί. (τρεις ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί λέγονται διαδοχικοί, αν, γραφό- μενοι κατά αύξουσα σειρά, ο καθένας είναι μεγαλύτερος κατά 1 του προη- γούμενού του) (Α. 47, 48, 49) 3.4. Τέσσερις διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί έχουν άθροισμα 406. Να βρεθούν οι αριθμοί. (Α. 100, 101, 102, 103) 3.5. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι 100, και ο ένας είναι 24 φορές μεγαλύτερος από τον άλλο. Να βρεθούν οι αριθμοί. (Α. 96, 4) 3.6. Η διαφορά δύο αριθμών είναι 150, και ο ένας είναι 6 φορές μικρότερος από τον άλλο. Να βρεθούν οι αριθμοί. (Α. 180 – 30) 3.7. Ένας έμπορος κρασιού έχει τρία βαρέλια κρασί, τα οποία περιέχουν 610 κι- λά κρασί. Το πρώτο περιέχει 50 κιλά λιγότερο από το δεύτερο και 40 κιλά περισσότερο από το τρίτο. Πόσα κιλά περιέχει το καθένα; (Α. 200, 250, 160) 3.8. Τρεις φίλοι μοιράστηκαν το ποσό των 38.000 € ως εξής: Ο πρώτος πήρε δεκαπενταπλάσια χρήματα από το δεύτερο και ο τρίτος 5 φορές λιγότερα από τον πρώτο. Πόσα € πήρε ο καθένας; (Α. α – 30.000, β – 2.000, γ – 6.000) 3.9. Ένα Λύκειο έχει 350 μαθητές.
- 65. 146 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων Η Α΄ τάξη έχει διπλάσιους μαθητές από τη Γ΄ τάξη και η Β΄ έχει 10 μαθητές περισσότερους από τη Γ΄ τάξη. Πόσους μαθητές έχει κάθε τάξη; (Α. Α, 170, Β, 95, Γ, 85) 3.10. Μια θεατρική παράσταση την παρακολούθησαν 290 θεατές (άνδρες – γυ- ναίκες – παιδιά). Από αυτούς, οι άνδρες ήσαν 40 περισσότεροι από τις γυ- ναίκες και τα παιδιά 60 λιγότερα από τους άνδρες. Πόσοι είναι οι άνδρες, οι γυναίκες και τα παιδιά; (Α. α – 130, γ – 90, π – 70) 3.11. Τα 80 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν 15 € περισσότερο από όσο κοστίζουν τα 65 κιλά πορτοκάλια. Πόσο κοστίζει το ένα κιλό πορτοκάλια; (Α. 1 €) 3.12. Ένα κιλό αλεύρι αποδίδει 1.400 γραμμάρια ψωμί. Πόσα κιλά ψωμί θα φτιά- ξουμε από 28 σακιά αλεύρι των 50 κιλών το καθένα; (Α. 1.960) 3.13. Τρεις φίλοι έχουν κοινό ταμείο για τα έξοδά τους. Ο πρώτος έχει καταθέσει στο κοινό ταμείο το ποσό των 300 € ο δεύτερος το ποσό των 200 € και ο τρί- τος το ποσό των 500 €. Στο τέλος κάποιας εκδρομής περίσσεψαν 400 €. Πώς πρέπει να μοιραστεί το υπόλοιπο του ταμείου, αφού τα έξοδα ήταν ίδια για όλους; (Α. 100, 0, 300) 3.14. Ένας έμπορος αξιοποιεί στη δουλειά του το ποσό των 50.000 € και κερδίζει κάθε χρόνο το ποσό των 10.000 €. Ένας άλλος έμπορας εμπορεύεται το ποσό των 30.000 € και κερδίζει κάθε χρόνο το ποσό των 15.000 €. Ύστερα από πόσα χρόνια τα κεφάλαια τους, αυξημένα κατά τα κέρδη τους θα γίνουν ίσα; (Α. 4) 3.15. Τα 6 κιλά πορτοκάλια κοστίζουν όσο τα 7 κιλά μανταρίνια. Αν τα 2 κιλά μα- νταρίνια κοστίζουν 96 λεπτά του €, πόσο κοστίζει το ένα κιλό πορτοκάλια; (Α. 56 λεπτά του €) 3.16. Ένας τεχνίτης εργάστηκε μαζί με το βοηθό του κάποιες ημέρες. Γι’ αυτή τη δουλειά πληρώθηκαν ο μεν τεχνίτης με 500 €, ο δε βοηθός με 400 €. Αν το
- 66. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 147 μεροκάματο του τεχνίτη είναι 10 € παραπάνω από το μεροκάματο του βοη- θού, πόσες ημέρες εργάστηκαν και πόσο είναι το μεροκάματο του καθενός; (Α. 10, τ – 50, β – 40) 3.17. Ένας μελισσοκόμος πουλάει το μέλι του και εισπράττει 3.000 €. Αν το που- λούσε κατά 40 λεπτά του € το κιλό ακριβότερα, θα εισέπραττε 3.500 €. Πό- σα κιλά μέλι πούλησε; (Α. 1250) 3.18. Ένας υαλοπώλης αγόρασε ποτήρια προς 50 λεπτά του € το καθένα. Στη με- ταφορά των έσπασαν 10 δωδεκάδες. Τα υπόλοιπα τα πουλάει προς 55 λεπτά του € το ένα και ζημιώνεται 40 €. Πόσα ποτήρια είχε αγοράσει; (Α. 520) 3.19. Για εργασία μιας βδομάδας (5 ημέρες), 10 χτίστες και 12 βοηθοί τους εισέ- πραξαν συνολικά 5.650 €. Αν το μεροκάματο του χτίστη είναι κατά 25 € πε- ρισσότερο από το μεροκάματο του βοηθού, πόσο είναι το μεροκάματο του καθενός; (Α. χ- 65, β – 40) 3.20. Ο Νίκος είναι σήμερα 15 ετών και είναι 25 έτη μικρότερος από τον πατέρα του. Ο πατέρας του ήταν 5 ετών, όταν ο παππούς του είχε τη σημερινή ηλι- κία του πατέρα του. Όταν γεννήθηκε ο Νίκος, ο παππούς πέθανε. Πόσα χρό- νια έζησε ο παππούς; (Α. 60) 3.21. Μια μάνα είναι σήμερα 36 ετών και έχει τρία παιδιά ηλικίας 12, 10 και 8 ετών αντίστοιχα. Ύστερα από πόσα χρόνια η ηλικία της μάνας θα είναι ίση με το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών; (Α. 3) 3.22. Ένα αστικό λεωφορείο με εισιτήριο 80 λεπτά του € εισέπραξε σε μια δια- δρομή 120 €. Αν οι επιβάτες που ανέβηκαν κατά τη διαδρομή, ήσαν τριπλά- σιοι απ’ αυτούς που κατέβηκαν, και το λεωφορείο έφτασε στο τέλος της διαδρομής με 130 επιβάτες, με πόσους επιβάτες ξεκίνησε από την αφετηρία; (Α. 90)
- 67. 148 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.23. Αν κάποιος είχε στην τσέπη του 100 € περισσότερα απ’ όσα έχει, θα μπο- ρούσε να αγοράσει ένα κοστούμι αξίας 1.250 € και θα του περίσσευαν 40 €. Πόσα χρήματα έχει στην τσέπη του; (Α. 1.190) 3.24. Ένας, με τα χρήματα που έχει στην τσέπη του σκοπεύει να αγοράσει 18 δί- σκους μουσικής. Ο καταστηματάρχης όμως του κάνει έκπτωση 2 € το δίσκο. Έτσι αγοράζει 4 δίσκους περισσότερους από όσους είχε προγραμματίσει. Πόσα € αγόρασε τον ένα δίσκο; Πόσα χρήματα είχε στην τσέπη του; Πόσα € πουλιόταν ο ένας δίσκος; (Α. 9 – 198 – 11) 3.25. Ένας έμπορος αγόρασε ύφασμα προς 5 € το μέτρο. Από το ύφασμα, τα 24 μέτρα, τα πούλησε προς 8 € το μέτρο και τα υπόλοιπα, επειδή δεν υπήρχε ζήτηση, τα πούλησε σε προσφορά 3 € το μέτρο. Στο τέλος, είδε ότι δεν κέρ- δισε, αλλά ούτε και ζημιώθηκε. Πόσα μέτρα ύφασμα είχε αγοράσει τελικά; (Α. 60) 3.26. Ένας έμπορος θέλησε να μοιράσει σε 10 φτωχές οικογένειες ένα τόπι ύφασμα, δίνοντας σε κάθε οικογένεια από 5 m ύφασμα. Παρατήρησε όμως ότι οι φτω- χές οικογένειες ήσαν 12 και όχι 10. Έτσι, για να μην ξοδέψει περισσότερα χρήματα, μοίρασε με τον ίδιο τρόπο στις 12 οικογένειες άλλο τόπι ύφασμα, φτηνότερο κατά 2 € το μέτρο. Ποια είναι η τιμή του μέτρου για κάθε τόπι; (Α. α – 12, β – 10) 3.27. Ένας εργαζόμενος έχασε ένα πρωί, το λεωφορείο που τον μεταφέρει στη δουλειά του. Έτσι, αναγκάστηκε να πάρει ταξί. Το ταξί κοστίζει 1 € η σημαία και 80 λεπτά του € το χιλιόμετρο. Αν γι’ αυτή τη μετακίνηση ο εργαζόμενος πλήρωσε 13 €, πόσα χιλιόμετρα μακριά από τη δουλειά του κατοικεί; (Α. 15 Km) 3.28. Οι μαθητές ενός σχολείου αποφάσισαν να πάνε κάποια εκδρομή. Υπολόγι- σαν ότι αν πλήρωναν 8 € ο καθένας τους, θα έλειπαν 500 € για να καλύψουν τα έξοδα της εκδρομής, ενώ αν πλήρωναν 10 € ο καθένας, θα κάλυπταν τα έξοδα της εκδρομής και θα περίσσευαν 300 €. Πόσοι μαθητές έλαβαν μέρος στην εκδρομή και ποιο είναι το κόστος της; (Α. μ – 400 , κ – 3.700)
- 68. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 149 3.29. Ένας μαθητής θέλει να αγοράσει 20 βιβλία, αλλά του λείπουν 80 €. Αν όμως αγόραζε 15 βιβλία, θα του περίσσευαν 50 €. Πόσο τιμάται το κάθε βιβλίο, και πόσα χρήματα έχει ο μαθητής; (Α. 26 – 440) 3.30. Σε μια εταιρεία εργάζονται 4 επιστήμονες, 8 ειδικευμένοι εργάτες και 15 ανειδίκευτοι εργάτες. Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να ε- πιλέξουμε μια τριμελή επιτροπή που να περιλαμβάνει ένα άτομο από κάθε κατηγορία; (Α. 480) 3.31. Σε ένα τραπέζι είναι καλεσμένα 5 ζευγάρια. Αν ανταλλάξουν μεταξύ τους χειραψίες, πόσες χειραψίες θα πραγματοποιηθούν; (Α. 40) 3.32. Πόσους τριψήφιους αριθμούς μπορούμε να σχηματίσουμε με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4; (Α. 100) 3.33. Πόσους τριψήφιους αριθμούς που να τελειώνουν σε 5 μπορούμε να σχημα- τίσουμε με τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5; (Α. 30) 3.34. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί υπάρχουν, των οποίων το πρώτο ψηφίο είναι 4 και το τελευταίο 5; (Α. 100) 3.35. Αν οι στρατιώτες ενός κέντρου εκπαίδευσης σχηματίσουν τετράδες τότε θα προκύψουν 50 σειρές περισσότερες απ’ όσες θα προκύψουν, αν παρατα- χθούν σε εξάδες. Πόσους στρατιώτες έχει το κέντρο; (Α.600) 3.36. Μια νοικοκυρά ξόδεψε σε μια μέρα τα μισά αυγά που είχε και δύο ακόμα. Τη δεύτερη μέρα ξόδεψε τα μισά από τα υπόλοιπα και 5 αυγά. Την τρίτη μέρα ξόδεψε πάλι τα μισά απ’ όσα απέμειναν και 1 αυγό. Τελικά δεν έμεινε κανένα αυγό. Πόσα αυγά είχε αρχικά; (Α. 32)
- 69. 150 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΟΥ ΛΥΝΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ Τέχνασμα λέμε την «έξυπνη» σκέψη με την οποία λύνουμε εύκολα και γρήγο- ρα, ένα πρόβλημα. 3.3.1. Το τέχνασμα της ψευδούς υπόθεσης 1ο Πρόβλημα Ένα τρένο μεταφέρει 200 επιβάτες α΄ και β΄ θέσης. Το εισιτήριο της α΄ θέ- σης κοστίζει 8 € και της β΄, 5 €. Αν όλοι οι επιβάτες πλήρωσαν συνολικά 1.240 €, πόσοι επιβάτες έχουν εισιτήριο α΄ και πόσοι β΄ θέσης; Λύση Ας υποθέσουμε ότι όλοι οι επιβάτες έχουν εισιτήριο α΄ θέσης. Τότε, θα πρέπει όλοι μαζί να πληρώσουν: 200 ⋅8 =1.600 €. Αυτοί όμως, πλήρωσαν 1.240 €, δηλαδή 1.600 −1.240 = 360 € λιγότερα. Το πλεόνασμα των 360 € οφείλεται στο γεγονός ότι, σύμφωνα με την υπόθεσή μας, κάθε επιβάτης της β΄ θέσης πλήρωσε εισιτήριο κατά 8 − 5 = 3 € ακριβότερο. Άρα οι επιβάτες της β΄ θέσης θα είναι: 360 :3 =120 , οπότε της α΄ θέσης, θα εί- ναι: 200 −120 = 80 . Στο ίδιο αποτέλεσμα θα καταλήξουμε αν υποθέσουμε ότι, όλοι οι επιβάτες έ- χουν εισιτήριο β΄ θέσης. Τότε, θα πρέπει όλοι μαζί, να πληρώσουν 200 ⋅5 =1.000 €. Αυτοί όμως πλήρωσαν 1.240 −1.000 = 240 € περισσότερα. Το έλλειμμα αυτό των 240 € οφείλεται στο γεγονός ότι, σύμφωνα με την υπό- θεσή μας, κάθε επιβάτης της α΄ θέσης πλήρωσε εισιτήριο κατά 8 − 5 = 3 € φθηνό- τερο. Άρα οι επιβάτες της α΄ θέσης θα είναι: 240 :3 = 80 , οπότε της β΄ θέσης, θα εί- ναι: 200 − 80 =120 .
- 70. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 151 Παρατήρηση Για να λύσουμε το παραπάνω πρόβλημα, στηριχτήκαμε σε μια «ψευδή» υπόθεση, ότι όλοι οι επιβάτες έχουν εισιτήριο της μιας ή της άλλης κατηγορίας. Γι’ αυτό και το τέχνασμα που χρησιμοποιήσαμε το ονομάζουμε «τέχνασμα της ψευδούς υπόθεσης». 2ο Πρόβλημα Ένας αγρότης εκτρέφει κότες και κουνέλια. Όλα τα ζώα του έχουν 50 κε- φάλια και 140 πόδια. Πόσες είναι οι κότες και πόσα τα κουνέλια; Λύση Προφανώς τα ζώα του είναι 50, αφού κάθε ζώο έχει ένα κεφάλι. Ας υποθέσουμε ότι όλα τα ζώα του είναι κουνέλια. Τότε θα είχαν: 50 ⋅ 4 = 200 πόδια. Δηλαδή, 200 −140 = 60 πόδια περισσότερα. Αυτό οφείλεται στο ότι τις κότες τις υπολογίσαμε για κουνέλια. Μια κότα έχει 2 πόδια και όχι 4. Συνεπώς, τα 60 επιπλέον πόδια, προήλθαν από τα 2 παραπάνω πόδια που βά- λαμε σε κάθε κότα. Άρα οι κότες είναι 60 : 2 = 30 και τα κουνέλια είναι: 50 − 30 = 20 . Παρατηρήσεις 1. Το πρόβλημα αυτό λύνεται με όμοιο τρόπο, αν υποθέσουμε ότι όλα τα ζώα είναι κότες. 2. Το συγκεκριμένο πρόβλημα αναφέρεται στο βιβλίο «Η μαθηματική ανακάλυψη» του George Polya και λύνεται με τον εξής παράξενο τρόπο: Ο αγρότης υποθέτει ότι οι κότες στηρίζονται μόνο στο 1 πόδι και τα κουνέλια, μόνο στα δύο πίσω πόδια τους. Έτσι τα πόδια των ζώων είναι τα μισά των πραγματικών. Δηλαδή, 140 : 2 = 70 . Τα ζώα, όμως είναι 50. Τα επιπλέον πόδια, 70 − 50 = 20 , ανήκουν στα κουνέλια. Όμως με τον τρόπο που σκέπτεται ο αγρότης, κάθε κουνέλι έχει 1 πόδι παραπάνω από την κότα. Άρα, τα κουνέλια είναι 20 και οι κότες 50 − 20 = 30 .
- 71. 152 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3ο Πρόβλημα Ένας έμπορος αγόρασε συνολικά 400 κιλά κρασί α΄ και β΄ ποιότητας προς 3 € και 1 € το κιλό αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες και σκοπεύει να το πουλήσει προς 2 € το κιλό, υπολογίζοντας έτσι ότι θα κερδίσει 100 €. Πόσα κιλά κρασί από κάθε ποιότητα αγόρασε; Λύση Από την πώληση του κρασιού θα εισπράξει: 400 ⋅ 2 = 800 €. Αφού στοχεύει σε ένα κέρδος 100 €, η τιμή αγοράς του κρασιού θα είναι 800 −100 = 700 €. Το πρόβλημα λύνεται με το τέχνασμα της ψευδούς υπόθεσης. Έστω ότι όλο το κρασί είναι α΄ ποιότητας. Τότε η τιμή αγοράς του είναι 400 ⋅3 =1.200 €. Δηλαδή, 1.200 − 700 = 500 € περισσότερα από το πραγματικό κόστος. Αυτό οφείλεται στο ότι η τιμή κόστους κάθε κιλού κρασιού β΄ ποιότητας, υπο- θέσαμε ότι αυξήθηκε κατά 3 −1= 2 €. Συνεπώς, η διαφορά των 500 € οφείλεται σ’ αυτή την ανά κιλό αύξηση της τι- μής κόστους του κρασιού της β΄ ποιότητας. Άρα το κρασί της β΄ ποιότητας είναι 500 : 2 = 250 κιλά και το κρασί της α΄ ποιότητας 400 − 250 =150 κιλά. 4ο Πρόβλημα Ένας εργαζόμενος, για μιας μέρας δουλειά, αμείβεται με το ποσό των 40 € και την τροφή του. Αν όμως μια ημέρα δεν δουλέψει του αφαιρείται το ποσό των 8 €. Στο τέλος του μήνα πληρώθηκε με το ποσό των 720 €. i) Την ημέρα που δεν εργάζεται πόσα χρήματα χάνει; ii) Πόσες ημέρες εργάστηκε; iii) Είναι δυνατόν να εργαστεί κάποιες ημέρες και στο τέλος του μήνα να μην εισπράξει χρήματα; Λύση i) Αν δεν εργαστεί μια ημέρα θα χάσει το μεροκάματο 40 €, αλλά και θα πληρώ- σει 8 € για την τροφή του. Συνολικά θα χάσει 48 €. ii) Έστω ότι εργάστηκε όλες τις ημέρες. Τότε, στο τέλος του μήνα θα έπρεπε να εισπράξει 40 ⋅30 =1.200 €. Εκείνος όμως εισέπραξε 1.200 − 720 = 480 € λιγότερα.
- 72. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 153 Έχασε λοιπόν 480 €. Κάθε ημέρα που δεν εργάζεται χάνει 48 €. Άρα δε δούλεψε 480 : 48 =10 ημέρες. Συνεπώς, δούλεψε 30 −10 = 20 ημέρες. iii) Αφού δεν εισέπραξε χρήματα, έχασε έναν πλήρη μισθό, δηλαδή 40 ⋅30 =1200 €. Συνεπώς, δε δούλεψε 1.200 : 48 = 25 ημέρες. Άρα, αν δουλέψει 5 ημέρες το μήνα, δε θα εισπράξει χρήματα, διότι το ποσό που θα εισέπραττε από τις 5 ημέρες δουλειάς ( 5⋅ 40 = 200 €) είναι το ίδιο με το ποσό που θα του παρακρατούσαν για τις 25 ημέρες που δε δούλεψε ( 25⋅8 = 200 €). Προβλήματα προς λύση 3.37. Κάποιος έχει στην τσέπη του 2.200 € σε χαρτονομίσματα των 100 € και των 50 €. Αν τα χαρτονομίσματα στο σύνολό τους είναι 30, πόσα είναι των 100 και πόσα των 50; (Α. 14 των 100, 16 των 50) 3.38. Ένας έμπορος αγόρασε συνολικά 3.000 κιλά λάδι δύο ποιοτήτων με 5 € και 3 € το κιλό, αντίστοιχα. Ανακατεύει τις δύο ποιότητες λαδιού και πουλάει το μείγμα προς 4 € το κιλό. Στο τέλος είδε ότι ζημιώθηκε 200 €. Πόσα κιλά λά- δι από κάθε ποιότητα αγόρασε; (Α. α – 1.600, β – 1.400) 3.39. Ένας διαγωνιζόμενος καλείται να απαντήσει σε 100 ρωτήσεις. Για κάθε σω- στή απάντηση κερδίζει 4 μόρια, ενώ για κάθε λανθασμένη του αφαιρείται 1 μόριο. Τελικά συγκέντρωσε 310 μόρια. i) Για κάθε λανθασμένη απάντηση πόσα μόρια χάνει; ii) Πόσες σωστές και πόσες λανθασμένες απαντήσεις έδωσε; iii) Είναι δυνατόν ο διαγωνιζόμενος να έχει δώσει σωστές απαντήσεις και να συγκεντρώσει μηδέν μόρια; (Α. i) 5 ii) 82 18 iii) ναι, αρκεί να δώσει 20 σωστές και 80 λάθος). 3.40. Θέλει κάποιος να πληρώσει ένα χρέος 1.280 € με 40 χαρτονομίσματα των 10 και των 50 €. Πόσα χαρτονομίσματα των 10 € και πόσα των 50 € θα χρεια- στεί; (Α. 18, 22)
- 73. 154 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.41. Ένα θέατρο έχει εισιτήρια 3 κατηγοριών. Α θέσης, αξίας 12 €, Β θέσης, αξί- ας 8 € και παιδικά, αξίας 5 € το ένα. Αν μια παράσταση την παρακολούθη- σαν 190 θεατές εκ των οποίων οι 40 ήσαν παιδιά, και το θέατρο συνολικά εισέπραξε 1.800 €, πόσα εισιτήρια Α και πόσα Β θέσης κόπηκαν; (Α. 100, 50) 3.42. Στα 15 θρανία μιας τάξης κάθονται 37 μαθητές. Τα αγόρια κάθονται ανά 3 σε κάθε θρανίο και τα κορίτσια ανά 2. Αν δεν υπάρχουν κενές θέσεις, πόσα είναι τα αγόρια και πόσα τα κορίτσια. (Α. α – 21, κ – 16) 3.3.2. Το τέχνασμα των ίσων ποσοτήτων 1ο Πρόβλημα Ένας μαθητής αγόρασε τον ίδιο αριθμό βιβλίων και τετραδίων. Ένα βιβλίο κοστίζει 5 € και ένα τετράδιο 2 €. Αν για όλα πλήρωσε 35 €, πόσα βιβλία και πόσα τετράδια αγόρασε; Λύση Ο μαθητής αγόρασε τόσα τετράδια όσο βιβλία. Ένα βιβλίο κοστίζει: 5 € Ένα τετράδιο κοστίζει: 2 € Σύνολο: 7 € Δηλαδή, με 7 € αγοράζει ένα βιβλίο και ένα τετράδιο. Άρα, με 35 € αγόρασε 35: 7 = 5 κομμάτια από κάθε είδος. 2ο Πρόβλημα Ένας έμπορoς αγόρασε από 4 είδη προϊόντων την ίδια ποσότητα και σε τι- μή μονάδας 5, 2, 3 και 10 €, αντίστοιχα. Αν για όλη αυτή τη διαδικασία πλή- ρωσε 3.600 €, πόσες μονάδες από κάθε είδος αγόρασε; Λύση Αγόρασε την ίδια ποσότητα από κάθε είδος. Η τιμή, ανά μονάδα, του α΄ είδους κοστίζει: 5 €,
- 74. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 155 Η τιμή, ανά μονάδα, του β΄ είδους: 2 €, Η τιμή, ανά μονάδα, του γ΄ είδους: 3 € Η τιμή, ανά μονάδα, και το δ΄ είδους: 10 € Σύνολο: 20 € Δηλαδή, κάθε 20 € αγοράζει και μία μονάδα από κάθε είδος. Άρα, από κάθε είδος αγόρασε 3.600 : 20 =180 μονάδες. 3ο Πρόβλημα Μια νοικοκυρά πήγε στο μανάβη αποφασισμένη να αγοράσει την ίδια πο- σότητα μήλων και πορτοκαλιών. Τα μήλα κοστίζουν 2 € το κιλό και τα πορτο- κάλια 1 € το κιλό. Επειδή όμως δε βρήκε όσα πορτοκάλια είχε προγραμματί- σει, τα συμπλήρωσε με μήλα. Έτσι αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα είχε προγραμματίσει. Για όλα τα φρούτα που αγόρασε, πλήρωσε 40 €. Πόσα κιλά πορτοκάλια αγόρασε, πόσα κιλά μήλα και πόσα κιλά από κάθε είδος είχε προγραμματίσει να αγοράσει; Λύση Η νοικοκυρά αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα είχε προγραμματίσει. Γιατί το έκανε αυτό; Διότι ο μανάβης δεν είχε τόσα κιλά πορτοκάλια όσα ήθελε να αγοράσει. Έτσι αγόρασε 4 κιλά μήλα περισσότερα απ’ όσα ήθελε και 4 κιλά πορτοκάλια λιγότερα απ’ όσα ήθελε. Δηλαδή, συνολικά τα μήλα που αγόρασε ήταν 8 κιλά περισσότερα από τα πορ- τοκάλια. Τα 8 κιλά μήλα κοστίζουν 8⋅ 2 =16 €. Οπότε, με τα 40 −16 = 24 € αγόρασε ίσες ποσότητες μήλα και πορτοκάλια (φυ- σικά όχι αυτές που είχε προγραμματίσει). Αλλά, 1 κιλό μήλα κοστίζει 2 € 1 κιλό πορτοκάλια κοστίζει 1 € Σύνολο 3 € Με 3 € αγοράζει ένα κιλό από κάθε είδος, οπότε με τα 24 € αγοράζει 24 :3 = 8 κιλά από κάθε είδος.
- 75. 156 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων Συνεπώς, τελικά αγόρασε 8 κιλά πορτοκάλια, και 16 κιλά μήλα ενώ είχε προ- γραμματίσει να αγοράσει 12 κιλά από το κάθε είδος. Άλλη σκέψη Η νοικοκυρά παίρνοντας 4 κιλά μήλα επιπλέον πληρώνει 4 ⋅ 2 = 8 € περισσότε- ρα απ’ όσα θα πλήρωνε για αγορά ίσων ποσοτήτων μήλων και πορτοκαλιών. Ναι, αλλά αγοράζοντας 4 κιλά πορτοκάλια λιγότερα θα πληρώσει και 4 ⋅1= 4 € λιγότερα. Συνεπώς, συνολικά πληρώνει 8 − 4 = 4 € επιπλέον. Δηλαδή, για αγορά ίσων ποσοτήτων μήλων – πορτοκαλιών τελικά θα πλήρωνε 40 − 4 = 36 €. Αλλά 1 κιλό μήλα κοστίζει 2 € 1 κιλό πορτοκάλια κοστίζει 1 € Σύνολο 3 € Με 3 € αγοράζει ένα κιλό από κάθε είδος, οπότε με 36 € αγοράζει 36 :3 =12 κιλά φρούτα από κάθε είδος. Άρα, είχε προγραμματίσει να αγοράσει 12 κιλά από κάθε είδος και αγόρασε 16 κιλά μήλα και 8 κιλά πορτοκάλια. Παρατήρηση Τρία είναι τα κύρια γνωρίσματα του προηγούμενου τεχνάσματος που γίνονται φανερά από την εκφώνηση του προβλήματος. • η αγορά ίσων ποσοτήτων από διάφορα μεγέθη. • η συνολική αξία τους και • η τιμή μονάδας κάθε μεγέθους Οπότε το άθροισμα των τιμών των μονάδων όλων των μεγεθών δηλώνει την α- γορά ενός ζεύγους, μιας τριάδας κτλ. μονάδων των μεγεθών που αγοράσαμε. Έτσι διαιρώντας τη συνολική αξία με το άθροισμα των τιμών των μονάδων όλων των μεγεθών, βρίσκουμε το ζητούμενο πλήθος των μονάδων των μεγεθών. Τα παρα- πάνω δεν ισχύουν μόνο για προβλήματα αγοράς αλλά γενικά σε προβλήματα ίσων ποσοτήτων διαφορετικών μεγεθών.
- 76. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 157 Προβλήματα προς λύση 3.43. Το μεροκάματο ενός τεχνίτη είναι 60 €, ενώ του βοηθού του 32 €. Αν για ίσο αριθμό ημερών εργασίας εισέπραξαν και οι δύο 920 €, πόσα πήρε ο κα- θένας; (Α. τ – 600, β – 320) 3.44. Ένα συνεργείο αποτελείται από 2 μηχανικούς, 3 εργοδηγούς, 10 τεχνίτες και 12 βοηθούς. Το μεροκάματο του καθενός είναι 100 €, 80 €, 60 € και 32 € αντίστοιχα. Αν από κάποια δουλειά, για ίσο αριθμό ημερών εργασίας, εισέ- πραξαν 21.360 €, πόσα πήρε ο καθένας; (Α. μ – 1.500, ε – 1.200, τ – 900, β – 480) 3.45. Δύο εργαζόμενοι πληρώνουν στο ασφαλιστικό ταμείο τους για ένα μήνα ασφάλισης 600 € ο ένας και 400 € ο άλλος. Αν για τα ίδια χρόνια ασφάλισης πλήρωσαν και οι δύο μαζί 240.000 €, πόσα χρόνια ασφάλισης έχει ο καθέ- νας; (Α. 20) 3.46. Ένας μανάβης αγόρασε τον ίδιο αριθμό τελάρων από τρία είδη φρούτων. Αν η τιμή των φρούτων είναι 3 €, 1 € και 2 €, ανά κιλό ενώ το βάρος ανά τελά- ρο είναι 18 κιλά, 15 κιλά και 12, κιλά αντίστοιχα, και η όλη αγορά έχει κό- στος 930 €, πόσα τελάρα αγόρασε από κάθε είδος φρούτου; (Α. 10)
- 77. 158 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.3.3. Το τέχνασμα των κατάλληλων πολλαπλασιαστών 1ο Πρόβλημα Η τιμή 3 ποδηλάτων (Π) και 4 μοτοσικλετών (Μ) είναι 8.750 €, ενώ η τιμή 2 ποδηλάτων και 6 μοτοσικλετών είναι 12.500 €. Πόσα ευρώ τιμάται το ένα ποδήλατο και πόσα η μία μοτοσικλέτα; Λύση 3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 € (1) 2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 € (2) Μήπως μπορούμε τις σχέσεις (1) και (2) να τις αλλάξουμε με σκοπό να πετύ- χουμε στις δύο νέες σχέσεις που θα προκύψουν να υπάρχει ίδια ποσότητα για το ένα τουλάχιστον μέγεθος από τα «ποδήλατα – μοτοσικλέτες»; Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να δημιουργήσουμε σχέσεις στις οποίες να υπάρ- χουν οι ίδιες ποσότητες ποδηλάτων. Παρατηρούμε ότι: αν τα μεγέθη της (1) σχέσης τα διπλασιάσουμε και της (2) τα τριπλασιάσουμε δηλαδή: 3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 € 2 ⋅ 2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 € ⋅3 θα έχουμε 3⋅ 2 = 6Π και 4 ⋅ 2 = 8Μ κοστίζουν 2 ⋅8.750 =17.500 € (3) 2 ⋅3 = 6Π και 6 ⋅3 =18Μ κοστίζουν 3⋅12.500 = 37.500 € (4) Από τις (3) και (4) φαίνεται ότι η διαφορά 37.500 −17.500 = 20.000 € οφείλε- ται στο ότι αγοράσαμε 18 − 8 =10Μ επιπλέον. Συνεπώς, η τιμή της μοτοσικλέτας θα είναι 20.000 :10 = 2.000 €. Ας εργαστούμε πάλι με όμοιο τρόπο με σκοπό να πετύχουμε στις σχέσεις (1) και (2) να υπάρχει η ίδια ποσότητα μοτοσικλετών. 3 Π. και 4 Μ. κοστίζουν 8.750 € 2 Π. και 6 Μ. κοστίζουν 12.500 € ⋅3 → 2 ⋅ 9Π και 12Μ κοστίζουν 26.250 € (5) 4Π και 12Μ κοστίζουν 25.000 € (6)
- 78. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 159 Από τις (5) και (6) φαίνεται ότι η διαφορά 26.250 − 25.000 =1.250 € οφείλεται στο ότι αγοράσαμε 9 − 4 = 5Π επιπλέον. Άρα η τιμή του ποδηλάτου θα είναι 1.250 :5 = 250 €. Θα μπορούσαμε επίσης να βρούμε την τιμή του ενός ποδηλάτου, από την σχέση (1) ή (2) αφού γνωρίζουμε την τιμή της μιας μοτοσικλέτας. 2ο Πρόβλημα Πέντε κιλά φασόλια (Φ), 3 κιλά φακές (φ) και 7 κιλά ρεβίθια (ρ) κοστίζουν 49 €. Δύο κιλά φασόλια, 5 κιλά φακές και 3 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 28 €. Οκτώ κιλά φασόλια, 4 κιλά φακές και 5 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 52 €. Πόσα ευρώ κοστίζει το κιλό από κάθε είδος; Λύση 5 κ.Φ, 3 κ.φ. και 7 κ.ρ. κοστίζουν 49 € (1) 2 κ.Φ, 5 κ.φ. και 3 κ.ρ. κοστίζουν 28 € (2) 8 κ.Φ, 5 κ.φ. και 5 κ.ρ. κοστίζουν 52 € (3) Ας προσπαθήσουμε, ακολουθώντας την πορεία του προηγούμενου παραδείγμα- τος, οι σχέσεις (1), (2) και (2), (3) να αποκτήσουν ίσες ποσότητες κιλών από κά- ποιο είδος π.χ. φασόλια 2 ⋅ 5 κ.Φ, 3 κ.φ και 7 κ.ρ κοστίζουν 49 € 2 κ.Φ, 5 κ.φ και 3 κ.ρ κοστίζουν 28 € ⋅5 10 κ.Φ, 6 κ.φ και 14 κ.ρ κοστίζουν 49 ⋅ 2 = 98 € (4) 10 κ.Φ, 25 κ.φ και 15 κ.ρ κοστίζουν 28⋅5 =140 € (5) 4 ⋅ 2 κ.Φ, 5 κ.φ και 3 κ.ρ κοστίζουν 28 € 8 κ.Φ, 4 κ.φ και 5 κ.ρ κοστίζουν 52 € ⋅1 8 κ.Φ, 20 κ.φ και 12 κ.ρ κοστίζουν 112 € (6) 8 κ.Φ, 4 κ.φ και 5 κ.ρ κοστίζουν 52 € (7)
- 79. 160 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων Από τις (4) και (5) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 140 − 98 = 42 € οφείλεται στην επιπλέον ποσότητα: «19 κ.φ και 1 κ.ρ» Όμοια, από τις (6) και (7) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 112 − 52 = 60 € οφείλεται στην επιπλέον ποσότητα: « 16 κ.φ και 7 κ.ρ». 7 ⋅ και 19 κ.φ, 1 κ.ρ κοστίζουν 42 € και 16 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 60 € ⋅1 και 133 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 294 € (8) και 16 κ.φ, 7 κ.ρ κοστίζουν 60 € (9) Από τις (8) και (9) φαίνεται ότι η διαφορά χρημάτων 294 − 60 = 235 € οφείλε- ται στο ότι αγοράστηκαν 133 −16 =117 κ. φακές επιπλέον. Συνεπώς, 1 κιλό φακές κοστίζει 234 :117 = 2 €. Από την σχέση (7) έχουμε ότι 19 κιλά φακές κοστίζουν 19 ⋅ 2 = 38 €, οπότε 1 κιλό ρεβίθια θα κοστίζει 42 − 38 = 4 €. Όμοια από την σχέση (1) έχουμε: 3 κιλά φακές κοστίζουν 3⋅ 2 = 26 € 7 κιλά ρεβίθια κοστίζουν 7 ⋅ 4 = 28 € Σύνολο: 34 € Άρα, τα 5 κιλά φασόλια κοστίζουν 49 − 34 =15 €, και το ένα κιλό φασόλια 13:5 = 3 €. Παρατήρηση Τα βασικά γνωρίσματα του προηγούμενου τεχνάσματος είναι οι διαφορετικές σχέσεις που μας δίνει η εκφώνηση του προβλήματος. Η καθεμιά απ’ τις σχέσεις αυτές μας δίνει τη συνολική αξία διάφορων μονάδων των ίδιων πάντοτε διαφο- ρετικών μεγεθών. Η προσπάθειά μας τότε είναι να δημιουργήσουμε δύο σχέσεις οι οποίες να έχουν το ίδιο πλήθος μονάδων στο ένα τουλάχιστον μέγεθος.
- 80. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 161 Προβλήματα προς λύση 3.47. Ένα κιλό ζάχαρη και 1 κιλό καφές κοστίζουν 10 €, ενώ 3 κιλά ζάχαρη και 7 κιλά καφές κοστίζουν 62 €. Πόσο κοστίζει το κιλό από κάθε είδος; (Α. ζ – 2, κ – 8) 3.48. Αγόρασε κάποιος από το φούρνο τη μια ημέρα 3 τυρόπιτες και 2 σάντουϊτς συνολικής αξίας 13 € και την άλλη ημέρα 4 τυρόπιτες και 3 σάντουϊτς συνο- λικής αξίας 18 €. Την τρίτη ημέρα σκέπτεται να αγοράσει 5 τυρόπιτες και 7 σάντουϊτς. Αν οι τιμές της τυρόπιτας και του σάντουϊτς δεν άλλαξαν, πόσα ευρώ θα πληρώσει την τρίτη ημέρα; (Α. 29 €) 3.49. Δύο κιλά βούτυρο, 3 κιλά λίπος και 4 κιλά μέλι κοστίζουν 70 €. Τρία κιλά βούτυρο, 5 κιλά λίπος και 2 κιλά μέλι κοστίζουν 76 €. Τέσσερα κιλά βούτυρο, 2 κιλά λίπος και 8 κιλά μέλι κοστίζουν 116 €. Πόσο κοστίζει το κιλό από κάθε είδος; (Α. Β – 10, Λ – 6, Μ – 8) 3.50. Τρεις τεχνίτες και 5 βοηθοί για δουλειά μιας ημέρας πήραν 380 €. Πέντε τεχνίτες και 3 βοηθοί για δουλειά μιας ημέρας πήραν 420 €. Πόσα ευρώ είναι το μεροκάματο του τεχνίτη και πόσα του βοηθού; (Α. Τ – 60, Β – 40)
- 81. 162 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.3.4. Τέχνασμα αλλαγής ισοδυναμιών 1ο Πρόβλημα Ένας έμπορος αγόρασε 4 video και 5 Η/Υ. Πλήρωσε γι’ αυτή την αγορά 15.808 €. Πόσο τιμάται κάθε είδος, αν γνωρίζουμε ότι η αξία ενός Η/Υ είναι 20 φορές μεγαλύτερη από την αξία ενός video; Λύση Ένας Η/Υ κοστίζει όσο τα 20 video. Οι 5 Η/Υ κοστίζουν όσο τα 100 video. Συνεπώς, η χρηματική αξία 4 video, 5 Η/Υ είναι ίση με τη χρηματική αξία 100 + 4 =104 video. Άρα 104 video κοστίζουν 15.808 €. Επομένως 1 video κοστί- ζει 15.808:104 =152 € και 1 Η/Υ =152 ⋅ 20 = 3040 €. 2ο Πρόβλημα Τέσσερις άνδρες και 5 γυναίκες αμείβονται για κάποια δουλειά, με το ποσό των 1.100 €. Αν η απόδοση 6 ανδρών ισοδυναμεί με την απόδοση 9 γυναι- κών, πόσα χρήματα θα πάρει ο άνδρας και πόσα η γυναίκα; Λύση Έχουμε: «4 άνδρες και 5 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 1.100 €» «6 άνδρες αποδίδουν όσο 9 γυναίκες». Αν τριπλασιάσουμε τα μεγέθη της πρώτης σχέσης και διπλασιάσουμε τα μεγέθη της δεύτερης τότε θα δημιουργήσουμε δύο νέες σχέσεις που θα περιέχουν τον ίδιο αριθμό ανδρών. «12 άνδρες και 15 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 3.300 €» «12 άνδρες αποδίδουν όσο 18 γυναίκες». Άρα, 18 +15 = 33 γυναίκες αμείβονται με το ποσό των 3.300 €. Συνεπώς, κάθε γυναίκα θα πάρει 3.300 :33 =100 € και κάθε άνδρας θα πάρει (9 ⋅100): 6 =150 €. Παρατήρηση Το κύριο γνώρισμα αυτού του τεχνάσματος είναι η έκφραση «α μονάδες ενός ποσού Α ισοδυναμούν με β μονάδες ενός άλλου ποσού Β». Με βάση αυτή τη σχέση προσπαθούμε τις δοσμένες μονάδες του ποσού Α να τις αντιστοιχίσουμε σε μονάδες του ποσού Β της ίδιας αξίας. Το τέχνασμα της αλλαγής ισοδυναμιών εμπεριέχει το τέχνασμα των κατάλ- ληλων πολλαπλασιαστών.
- 82. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 163 Προβλήματα προς λύση 3.51. Είκοσι κιλά βούτυρο και 15 κιλά λίπος κοστίζουν 470 €. Πόσο κοστίζει το κιλό το βούτυρο και πόσο το λίπος, αν 5 κιλά βούτυρο κο- στίζουν όσο 8 κιλά λίπος; (Α. β – 16, λ – 10) 3.52. Δέκα πηδήματα σκύλου και 15 πηδήματα αλεπούς έχουν συνολικά 35 μέτρα μήκος. Αν 3 πηδήματα σκύλου, ισοδυναμούν σε μήκος, με 6 πηδήματα αλεπούς, πόσο μήκος έχει το πήδημα του σκύλου και πόσο της αλεπούς; (Α. σ – 2 m, α – 1 m) 3.53. Πέντε κιλά βούτυρο, 10 κιλά τυρί και 12 κιλά ανθότυρο κοστίζουν 190 €. Πόσο κοστίζει το κάθε είδος, αν 4 κιλά βούτυρο κοστίζουν όσο τα 5 κιλά τυρί και τα 5 κιλά τυρί όσο τα 8 κιλά ανθότυρο. (Α. β – 10, τ – 8, α – 5) 3.54. Σε μια διασκέδαση συμμετέχουν 24 άνδρες, 30 γυναίκες και 10 παιδιά. Το σύνολο των εξόδων ανήλθε στο ποσό των 520 €. Πόσα πλήρωσε ένας άν- δρας, μια γυναίκα και ένα παιδί, αν γνωρίζουμε ότι 4 άνδρες πληρώνουν όσα οι 5 γυναίκες και, 3 γυναίκες όσα τα 6 παιδιά; (Α. α – 10, γ – 8, π – 4) 3.55. Ένας έμπορος πούλησε 6 πουκάμισα και 9 σακάκια. Από την πώληση αυτή εισέπραξε 570 €. Αν τα 5 πουκάμισα αξίζουν όσο αξίζουν τα 2 σακάκια, πό- σα € πουλήθηκε ένα πουκάμισο και πόσα ένα σακάκι; (Α. π – 20, σ – 50) 3.56. Με 3.000 € ένας έμπορος μπορεί να αγοράσει 18 σακάκια και 14 παντελόνια ή 12 σακάκια και 26 παντελόνια. Πόσο κοστίζει κάθε σακάκι και κάθε πα- ντελόνι; (Α, σ – 120, π – 60)
- 83. 164 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.3.5. Το τέχνασμα της κυκλικής πρόσθεσης 1ο Παράδειγμα Μια οικογένεια έχει τρία παιδιά, το Νίκο, το Μιχάλη και την Αργυρούλα. Οι ηλικίες του Νίκου και του Μιχάλη έχουν άθροισμα 30 χρόνια, του Μι- χάλη και της Αργυρούλας έχουν άθροισμα 18 χρόνια, ενώ της Αργυρούλας και του Νίκου έχουν άθροισμα 24 χρόνια. Να βρεθούν οι ηλικίες των παι- διών. Λύση Έστω ότι α, β και γ οι ηλικίες του Νίκου, του Μιχάλη και της Αργυρούλας, α- ντίστοιχα. Τότε α+β = 0 =18 = 3 24 β+γ γ+α Παρατηρούμε ότι το άθροισμα 30 +18 + 24 = 72 είναι ίσο με το διπλάσιο του αθροίσματος των ηλικιών των τριών παιδιών, αφού η ηλικία κάθε παιδιού προστί- θεται δύο φορές. Άρα, 72 : 2 = 36 χρόνια είναι το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών. Οπότε, ο Νίκος είναι 36 −18 =18 ετών ο Μιχάλης είναι 36 − 24 =12 ετών και η Αργυρούλα είναι 36 − 30 = 6 ετών. 2ο Παράδειγμα Ένας έμπορος διαθέτει 4 τόπια ύφασμα. Το άθροισμα των μηκών του πρώ- του, δεύτερου και τρίτου είναι 45 m, του δεύτερου, τρίτου και τέταρτου εί- ναι 37 m, του τρίτου, τέταρτου και πρώτου είναι 42 m και του τέταρτου, πρώτου και δευτέρου είναι 47 m. Να βρεθεί το μήκος κάθε τοπιού.
- 84. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 165 Λύση Έστω α, β, γ και δ τα μήκη των 4 τοπιών. Τότε Παρατηρούμε ότι το άθροισμα 45 + 37 + 42 + 47 =171 είναι ίσο με το τριπλά- σιο του αθροίσματος των μηκών των 4 τοπιών, αφού το μήκος του κάθε τοπιού επαναλαμβάνεται τρεις φορές στο συνολικό άθροισμα. Άρα 171:3 = 57 m είναι το άθροισμα των μηκών των 4 τοπιών. Οπότε, το μήκος του τέταρτου είναι 57 − 45 =12m του πρώτου είναι 57 − 37 = 20m του δευτέρου είναι 57 − 42 =15m και του τρίτου είναι 57 − 47 =10m.
- 85. 166 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων Προβλήματα προς λύση 3.52. Σε μια εκδρομή πήραν μέρος και οι τρεις τάξεις του Γυμνασίου. Τα παιδιά της Α και Β τάξης μαζί είναι 65, της Β και Γ τάξης μαζί είναι 58και της Γ και Α τάξης μαζί είναι 63. Πόσα παιδιά έχει η κάθε τάξη; (Α. Α – 35, Β – 30, Γ – 28) 3.58. Τέσσερα διαφορετικά καλάθια περιέχουν αυγά. Αν τα τρία πρώτα περιέχουν μαζί 170 αυγά, τα 2ο, 3ο και 4ο περιέχουν μαζί 230 αυγά, τα 3ο, 4ο και 1ο περιέχουν μαζί 220 αυγά και τα 4ο, 1ο και 2ο πε- ριέχουν μαζί 190 αυγά, πόσα αυγά περιέχει το καθένα; (Α. 40, 50, 80, 100) 3.59. Τρεις τεχνίτες με διαφορετικό μεροκάματο ο καθένας πληρώθηκαν ως εξής: Ο πρώτος και ο δεύτερος για 6 ημέρες δουλειά πήραν μαζί 1320 €. Ο δεύτερος και ο τρίτος για 5 ημέρες δουλειά πήραν μαζί 900 €. Ο τρίτος και ο πρώτος για 10 ημέρες δουλειά πήραν μαζί 2000 €. Ποιο είναι το μεροκάματο του καθενός; (Α. 120, 100, 80 ) Γενικά προβλήματα τεσσάρων πράξεων 3.60. Η διαφορά ηλικίας σήμερα πατέρα και γιου είναι 30 χρόνια. Ύστερα από 5 χρόνια, η ηλικία του πατέρα θα είναι τριπλάσια της ηλικίας του γιου. Να βρεθούν οι ηλικίες τους. (Α. π – 40, υ – 10) 3.61. Η διαφορά ηλικίας σήμερα του πατέρα και του γιου είναι 30 χρόνια. Πριν από 10 χρόνια, η ηλικία του πατέρα ήταν επταπλάσια της ηλικίας του γιου. Να βρεθούν οι ηλικίες τους. (Α. π – 45, υ – 15) 3.62. Δύο άτομα σήμερα έχουν άθροισμα ηλικιών 60 χρόνια. i) Πριν από 10 χρόνια η ηλικία του ενός ήταν επταπλάσια της ηλικίας του άλλου. Να βρεθούν οι ηλικίες τους.
- 86. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 167 ii) Ύστερα από 5 χρόνια η ηλικία του ενός θα είναι εξαπλάσια της ηλικίας του άλλου. Να βρεθούν οι ηλικίες τους. (Α. i) 15, 45 ii) 55, 5) 3.63. Ένας πατέρας σήμερα είναι 54 χρονών και τα τρία παιδιά του έχουν άθροι- σμα ηλικιών 62 χρόνια. i) Πριν από πόσα χρόνια η ηλικία του πατέρα ήταν διπλάσια από το ά- θροισμα της ηλικίας των παιδιών; ii) Ύστερα από πόσα χρόνια το διπλάσιο της ηλικίας του πατέρα θα είναι ίσο με το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών. (Α. ι) 14, ιι) 46) 3.64. Ένας εργάτης εργάστηκε 10 ημέρες και ένας άλλος 18 ημέρες αλλά με με- ροκάματο κατά 15 € μεγαλύτερο από τα μεροκάματα του πρώτου. Για όλη αυτή τη δουλειά εισέπραξαν μαζί 1.390 €. Να βρεθεί το μεροκάματο του καθενός. (Α. 40 – 55) 3.65. Ένα κιλό λάδι και ένα κιλό μακαρόνια κοστίζουν 7 €. Ένα κιλό μακαρόνια και ένα κιλό όσπρια κοστίζουν 5 €. Ένα κιλό όσπρια και ένα κιλό λάδι κοστίζουν 8 €. Πόσο κοστίζει το κιλό από το κάθε είδος; (Α. Λ – 5, Μ – 2. Ο – 3) 3.66. Ένας αμπελουργός θέλει να αγοράσει ένα κτήμα με τα χρήματα που θα ει- σπράξει από την πώληση του κρασιού του. Υπολόγισε ότι αν πουλήσει προς 1.000 € το κάθε βαρέλι κρασί, θα μπορέσει να αγοράσει το κτήμα και μάλιστα θα του περισσέψουν και 500 € αν όμως πουλούσε προς 850 € το βαρέλι, θα του έλειπαν 400 €. Πόσα βαρέλια κρασί είχε και πόσο κοστίζει το κτήμα; (Α. β – 6, κ – 5.500 €) 3.67. Σε ένα σχολείο τα αγόρια είναι 15 περισσότερα από τα κορίτσια. Αν τα αγό- ρια αυξηθούν κατά 18 και τα κορίτσια μειωθούν κατά 9, τότε τα αγόρια εί- ναι διπλάσια των κοριτσιών. Πόσα είναι το αγόρια και πόσα τα κορίτσια; (Α. α – 66, κ – 51)
- 87. 168 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων 3.68. Δυο βαρέλια περιέχουν την ίδια ποσότητα κρασιού. Αν από το ένα πουλήσουμε 100 κιλά κρασί και από το άλλο 250 κιλά, τότε στο πρώτο βαρέλι θα μείνει ποσότητα κρασιού διπλάσια από την ποσότητα που θα απομείνει στο δεύτερο βαρέλι. Πόσα κιλά κρασί έχει κάθε βαρέλι; (Α. 400) 3.69. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 3 € το κιλό. Το κρασί όμως ήταν ακριβό και δεν μπορούσε να το διαθέσει. Γι’ αυτό αναγκάστηκε να ρί- ξει στο κρασί νερό και το νερωμένο κρασί να το πουλήσει προς 2 € το κιλό. Απ’ όλη αυτή τη διαδικασία στο τέλος βγήκε ζημιωμένος κατά 320 €. Πόσο νερό έριξε μέσα στο κρασί; (Α. 200) 3.70. Το εμβαδό ενός ορθογώνιου οικοπέδου είναι 500 m2 . Αν το μήκος του πε- νταπλασιαστεί και το πλάτος του παραμείνει σταθερό, πόσο είναι το εμβαδό του νέου οικοπέδου; (Α. 2500 m2 ) 3.71. Το μήκος ενός ορθογώνιου οικοπέδου είναι κατά 10 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος του. Αν η περίμετρός του είναι 180 m, να υπολογιστεί το εμβαδό του. (Α. 2.000 m2 ) 3.72. Ένας αναγνώστης διάβασε ένα βιβλίο 300 σελίδων σε 5 ημέρες. Κάθε μέρα διάβαζε 10 σελίδες περισσότερες απ’ όσες την προηγούμενη. Πόσες σελίδες διάβασε την τελευταία ημέρα; (Α. 80) 3.73. Ένας άνθρωπος θέλει να ταξιδέψει από τη Θεσσαλονίκη στο Ηράκλειο Κρή- της με ενδιάμεσο σταθμό την Αθήνα. Στην Αθήνα μπορεί να έλθει με 4 δια- φορετικούς τρόπους (με αυτοκίνητο, με τρένο, με αεροπλάνο ή με πλοίο), ενώ το ταξίδι Αθήνα – Κρήτη μπορεί να το πραγματοποιήσει μόνο κατά δύο διαφορετικούς τρόπους ( πλοίο – αεροπλάνο). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να κάνει αυτό το ταξίδι; (Α. 8)
- 88. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 169 3.74. Αν είκοσι φίλοι, χαιρετηθούν μεταξύ τους διά χειραψίας, μία μόνο φορά, πόσες χειραψίες θα πραγματοποιηθούν; (Α. 190) 3.75. Τρία άτομα είχαν μαζί 120 € και στέκονταν μπροστά σε μια βιτρίνα. Ο πρώ- τος είπε ότι αν στο ποσό που είχε πρόσθετε άλλα 2 €, θα μπορούσε να αγο- ράσει το ρολόι της βιτρίνας. Ο δεύτερος είπε ότι του λείπουν 4 € για να αγο- ράσει το ίδιο ρολόι και ο τρίτος ότι του λείπουν 6 €, για να αγοράσει το συ- γκεκριμένο ρολόι. Πόσο έκανε το ρολόι; (Α. 44)
- 89. 170 Μεθοδολογία ΛύσηςΑριθμητικών Προβλημάτων «Γεωμετρικές Συνθέσεις» Δ. Τηνιακός
- 91.
- 93. Κατάλογος περιεχομένων ΆλγεβραΑ΄ Γυμνασίου, Χ. Σαραφοπούλου …………………… σελίδες 2 – 18 Ασκήσεις Άλγεβρας Α΄ Γυμνασίου Π. Βενάρδος ……………… σελίδες 19 - 29 Θεωρία αριθμών Α΄ Γυμνασίου, Χ. Σαραφοπούλου …………… σελίδες 30 - 37 Γεωμετρία Α΄ Γυμνασίου, Α. Πούλος … …...………………….. σελίδες 38 - 55 Συμμετρία για Α΄ Γυμνασίου, Α. Πούλος ……………………… σελίδες 56 – 76 Θεωρία αριθμών Α Γυμνασίου Σ. Χασάπης ……………………. σελίδες 77 - 85
- 95. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε. Μ. Ε. ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ Γυμνασίου Σαραφοπούλου Χαρίκλεια Καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης ΣΤΑΓΟΝΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ™ Φυσικοί λέγονται οι αριθμοί τους οποίους συναντάμε στη φύση (0,1, 2, 3,…) Τους φυσικούς αριθμούς τους χωρίζουμε σε άρτιους (ζυγούς) και σε περιττούς (μονούς). Άρτιος λέγεται κάθε φυσικός αριθμός ο οποίος διαιρείται με το 2, ενώ περιττός όταν δεν διαιρείται με το 2. ™ Ρητοί αριθμοί λέγονται εκείνοι που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή μ ν , όπου μ είναι ακέραιος και ν φυσικός αριθμός διάφορος του μηδέν. ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΩΝ Στρογγυλοποίηση είναι η διαδικασία κατά την οποία αντικαθιστούμε έναν αριθμό με έναν άλλο λίγο μεγαλύτερο ή λίγο μικρότερο. Για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1. Επιλέγουμε την τάξη στην οποία θα κάνουμε τη στρογγυλοποίηση (η αξία ενός ψηφίου σε απλές μονάδες καθορίζεται από τη θέση που κατέχει. Έτσι όταν αναφερόμαστε στην τάξη ενός ψηφίου αναφερόμαστε στην αξία ουσιαστικά του ψηφίου, π.χ. τάξη μονάδων, εκατοντάδων, χιλιάδων κ.ο.κ.) 2. Εξετάζουμε το ψηφίο της αμέσως επόμενης τάξης προς τα δεξιά οπότε και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: i. Αν το στοιχείο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 0 ή 1 ή 2 ή 3 ή 4 τότε αφήνουμε τον αριθμό όπως είναι μέχρι την τάξη που γίνεται η στρογγυλοποίηση και αντικαθιστούμε όλα τα υπόλοιπα στοιχεία με μηδέν. ii. Αν το στοιχείο της επόμενης προς τα δεξιά τάξης είναι 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 τότε αυξάνουμε κατά μία μονάδα το στοιχείο της τάξης που θέλουμε να στρογγυλοποιήσουμε και αντικαθιστούμε όλα τα υπόλοιπα με μηδέν. 2
- 96. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 Παραδείγματα 1. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί : 8487,3452 και 68645 στην πλησιέστερη i. Δεκάδα ii. Εκατοντάδα iii. Χιλιάδα Λύση i. Στην πλησιέστερη δεκάδα: 8490, 3450 και 68650. ii. Στην πλησιέστερη εκατοντάδα: 8500, 3500 και 68600. iii. Στην πλησιέστερη χιλιάδα: 8000, 3000 και 69000. 2. Να στρογγυλοποιηθούν οι αριθμοί : 5,7853 και 9,3218 στο πλησιέστερο i. Δέκατο ii. Εκατοστό Λύση i. Στο πλησιέστερο δέκατο: 5,8000 ή 5,8 και 9,3000 ή 9,3 ii. Στο πλησιέστερο εκατοστό: 5,7900 ή 5,79 και 9,3200 ή 9,32 Πράξεις φυσικών αριθμών Πρόσθεση Το αποτέλεσμα της πρόσθεσης λέγεται άθροισμα. Το άθροισμα δύο φυσικών αριθμών είναι πάντα φυσικός αριθμός. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς α , β , γ και είναι οι εξής: • Αντιμεταθετική: α +β = β +α • Προσεταιριστική: α + (β +γ ) = (α +β ) +γ • Ουδέτερο στοιχείο: α + 0 = 0 +α 3
- 97. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αφαίρεση Η αφαίρεση είναι η πράξη με την οποία όταν δίνονται δύο αριθμοί Μ (μειωτέος) και Α(αφαιρετέος) βρίσκουμε έναν αριθμό Δ (διαφορά), ο οποίος όταν προστεθεί στο Α δίνει το Μ. Για να γίνει η αφαίρεση στους φυσικούς αριθμούς πρέπει να ισχύει: Μ>Α ή Μ=Α Αν Μ=Α τότε η διαφορά είναι μηδέν. Πολλαπλασιασμός Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δύο φυσικών αριθμών α , β λέγεται γινόμενο και συμβολίζεται ως: α ⋅β ή αβ . Οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ισχύουν για όλους τους φυσικούς αριθμούς α , β , γ και είναι οι εξής: • Αντιμεταθετική: α ⋅β = β ⋅α • Προσεταιριστική: α ⋅(β ⋅γ ) = (α ⋅β )⋅γ • Ουδέτερο στοιχείο: 1⋅α =α ⋅1=α Η ιδιότητα λέγεται επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση. ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ αν α Δύναμη με βάση και εκθέτη τον φυσικό αριθμό ν είναι το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α, δηλαδή αν = α·α·α·· ··α (ν παράγοντες) Ορίζουμε : α1 = α , α0 = 1 και αν α ≠ 0, τότε: α 1 α ν ν − = 4
- 98. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ 1. αν ⋅ α μ = αν+μ , 2. ( α ν ) μ = αν⋅μ , 3. α ν : α μ = α ν –μ , 4. -ν ν α β β α ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , αν α ≠ 0,β ≠ 0, 5. (α⋅β)ν = αν ⋅βν , ν ν 6. ν ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ α α β β , αν β ≠ 0 . ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Αριθμητική παράσταση ονομάζουμε κάθε έκφραση αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τις γνωστές πράξεις. Τιμή της αριθμητικής παράστασης ονομάζουμε τον αριθμό που προκύπτει αν εκτελεστούν όλες οι πράξεις. Για να μπορέσουμε να υπολογίσουμε την αριθμητική τιμή της παράστασης ακολουθούμε μία σειρά η οποία και ονομάζεται προτεραιότητα των πράξεων, η οποία έχει ως εξής: 1. Υπολογίζουμε τις δυνάμεις 2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις με τη σειρά που σημειώνονται 3. Εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με τη σειρά που σημειώνονται. Αν στην αριθμητική μας παράσταση υπάρχουν παρενθέσεις τότε προηγούνται οι πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που περιγράψαμε παραπάνω. Παράδειγμα Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Λύση 5
- 99. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΑ Ένα κλάσμα παριστάνεται με , όπου μ, ν φυσικοί αριθμοί και . Ο αριθμός μ ονομάζεται αριθμητής του κλάσματος και ο ν παρονομαστής. Ομώνυμα ονομάζονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή, ενώ ετερώνυμα τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή. Ισοδύναμα ονομάζονται δύο κλάσματα όταν εκφράζουν το ίδιο μέρος μιας ποσότητας. Για να προκύψουν ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον ίδιο φυσικό αριθμό (διάφορο του μηδενός). Απλοποίηση ενός κλάσματος είναι η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε ένα κλάσμα σε ένα ισοδύναμο με μικρότερους όρους. Ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο, όταν δεν μπορεί να απλοποιηθεί. Ένα κλάσμα είναι ίσο με τη μονάδα, όταν ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή. Όταν ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν, τότε το κλάσμα είναι ίσο με το μηδέν. ™ Σύγκριση κλασμάτων Αν τα κλάσματα είναι ομώνυμα τότε μεγαλύτερο είναι εκείνο που έχει το μεγαλύτερο αριθμητή. Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα: • Τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και συγκρίνουμε τους αριθμητές. • Αν τα κλάσματα έχουν ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι εκείνο με τον μικρότερο παρονομαστή. Παραδείγματα 1. Να συγκριθούν τα παρακάτω κλάσματα: i. ii. iii. 6
- 100. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 Λύση i. Τα κλάσματα έχουν ίδιο παρονομαστή. Άρα ii. Τα κλάσματα έχουν ίδιο αριθμητή. Άρα: iii. Τα κλάσματα είναι ετερώνυμα επομένως τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα και τα συγκρίνουμε: και . Επομένως έχουμε: 2. Ποια από τα παρακάτω κλάσματα είναι ισοδύναμα; Λύση Ισοδύναμα είναι τα κλάσματα: , Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Μεταβλητή ονομάζουμε το γράμμα το οποίο παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου. Εξίσωση ονομάζουμε την ισότητα που περιέχει αριθμούς και μεταβλητές. Οι μεταβλητές ονομάζονται άγνωστοι της εξίσωσης. Παράδειγμα Η ισότητα είναι μία εξίσωση. Η μεταβλητή x λέγεται άγνωστος της εξίσωσης Στην εξίσωση η παράσταση που βρίσκεται πριν το ίσον λέγεται πρώτο μέλος, ενώ η παράσταση που βρίσκεται μετά το ίσον λέγεται δεύτερο μέλος. Ρίζα ή λύση της εξίσωσης λέγεται ο αριθμός που την επαληθεύει. Παράδειγμα Η ισότητα είναι μία εξίσωση. Η μεταβλητή x λέγεται άγνωστος της εξίσωσης. Το που βρίσκεται αριστερά του ίσον λέγεται πρώτο μέλος ενώ το 8 που βρίσκεται δεξιά του ίσον λέγεται δεύτερο μέλος. Ο αριθμός 3 που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης. 7
- 101. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μια εξίσωση θα λέγεται ταυτότητα, αν επαληθεύεται για κάθε τιμή της μεταβλητής. Μια εξίσωση θα λέγεται αδύνατη, αν δεν επαληθεύεται για καμία τιμή της μεταβλητής. Παραδείγματα • Η εξίσωση είναι ταυτότητα, γιατί επαληθεύεται για κάθε τιμή που μπορεί να πάρει ο x. • Η εξίσωση είναι αδύνατη, γιατί δεν επαληθεύεται από καμία τιμή που μπορεί να πάρει ο x. Τρόπος λύσης μιας εξίσωσης Η διαδικασία που ακολουθούμε για να λύσουμε μια εξίσωση λέγεται επίλυση της εξίσωσης αυτής. Βασικές εξισώσεις Οι λύσεις των βασικών εξισώσεων είναι: ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Γενικά για να λύσουμε μια εξίσωση α ΄ βαθμού ακολουθούμε την εξής διαδικασία: i. Απαλείφουμε τους παρονομαστές (αν υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο με το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών. ii. Κάνουμε τους σημειωμένους πολλαπλασιασμούς. iii. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις. iv. Χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους όρους (όταν ένας όρος αλλάζει μέλος αλλάζει και πρόσημο ενώ όταν παραμένει στο ίδιο μέλος μένει με το ίδιο πρόσημο) v. Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. vi. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου, αν είναι διαφορετικός από το μηδέν. 8
- 102. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 Παραδείγματα 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: i. ii. iii. iv. Λύση i. ii. iii. iv. 2. Να λυθεί η εξίσωση: Λύση Το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών είναι : Ε.Κ.Π.(5,2)=10 Άρα θα έχουμε: 9
- 103. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Πολλές φορές για να εκφράσουμε θερμοκρασίες ή αποστάσεις από τη επιφάνεια της θάλασσας εκτός από τους αριθμούς χρησιμοποιούμε και τις εκφράσεις <<πάνω>>, <<κάτω>>, <<μείωση>> ,<<αύξηση>>. Στα μαθηματικά αντί να γράφουμε <<7m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας >> ή <<5ο C κάτω από το μηδέν>> γράφουμε -7 ή -5. Παρατηρούμε ότι μπροστά από τον αριθμό βάζουμε το πρόσημο <<-> (πλήν) Θετικοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν το πρόσημο (+) ενώ αρνητικοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν το πρόσημο (-) Ομόσημοι ονομάζονται δύο ή περισσότεροι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Ετερόσημοι ονομάζονται δύο αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. ™ Απόλυτη τιμή του αριθμού α Έστω Α ένα σημείο του άξονα στο οποίο αντιστοιχεί ο αριθμός α. Την απόσταση ΟΑ λέμε απόλυτη τιμή του α και συμβολίζεται |α|. Δηλαδή είναι |α|= α, αν α≥ 0, ενώ |α|= -α, αν α ≤ 0. Αντίθετοι ονομάζονται δύο αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά διαφορετικό πρόσημο. Παράδειγμα Οι αριθμοί -6,+6 είναι αντίθετοι. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ 1. |α ⋅ β| = |α|⋅ |β| 2. α β = α β , αν β ≠ 0 3. |α|2 = α2 , και γενικά |α|2ν = α2ν 10
- 104. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 4. |α| ≥ 0 , |α| ≥ α και |α| ≥ -α 5. |α| = 0 ⇔ α = 0 6. |α| = β| ⇔ α = β ή α = -β 7. |α| = θ , θ>0 ⇔ α = θ ή α = -θ Σύγκριση των ρητών αριθμών Όταν έχουμε να συγκρίνουμε δύο ρητούς αριθμούς μεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Μεταξύ δύο θετικών αριθμών μεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Α. Για να προσθέσουμε ομόσημους ρητούς αριθμούς , προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο εξαγόμενο βάζουμε το κοινό τους πρόσημο. Β. Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές και στο εξαγόμενο βάζουμε το πρόσημο αυτού που έχει τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. Γ. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν άθροισμα μηδέν. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. (+12,6)+(+3)=+15,6 2. (-12,6)+(-3)=-15,6 3. (+12,6)+(-3)=+9,6 4. (-12,6)+(+3)=-9,6 11
- 105. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Για να αφαιρέσουμε έναν ρητό αριθμό β από έναν α προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου β. Δηλαδή α – β = α + (-β) π χ . (+12,6)-(+3)=(+12,6)+(-3)=+9,6 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ Α. Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρητούς , πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο εξαγόμενο βάζουμε το πρόσημο (+), αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή το πρόσημο (-), αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι. Ένας μνημονικός κανόνας για τη εύρεση προσήμου για τον πολλαπλασιασμό (ο ίδιος ισχύει και για τη διαίρεση ) είναι ο παρακάτω: Για παράδειγμα, έχουμε: 1. (+5).(+3) = + 15 2. ( +5 ). ( -3 ) = - 15 3. ( -5 ) .( -3 ) =+15 Δύο ρητοί αριθμοί που έχουν γινόμενο 1 λέγονται αντίστροφοι Ο αντίστροφος ενός αριθμού α ( α ≠ 0 ) συμβολίζεται με 1 α . Β. Για να διαιρέσουμε δύο ρητούς αριθμούς , διαιρούμε τις απόλυτες τιμές τους και στο πηλίκο βάζουμε ( + ), αν οι αριθμοί είναι ομόσημοι ή το πρόσημο ( - ), αν οι αριθμοί είναι ετερόσημοι . Το πηλίκο α : β γράφεται: α β Ισχύει: α β = α 1 ⋅ , β δηλαδή η διαίρεση με ένα ρητό ανάγεται στον πολλαπλασιασμό με τον αντίστροφο. 12
- 106. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 ΜΕΘΟΔΟΣ Η εξαγωγή των παρενθέσεων σ’ ένα αλγεβρικό άθροισμα γίνεται με τη βοήθεια των εξής κανόνων: ¾ Αν η παρένθεση έχει μπροστά το πρόσημο (+) ( ή δεν έχει πρόσημο), τότε παραλείπουμε τις παρενθέσεις χωρίς να αλλάζουν πρόσημο οι περιεχόμενοι όροι. ¾ Αν η παρένθεση έχει μπροστά το πρόσημο (-), τότε απαλείφουμε τις παρενθέσεις αλλάζοντας τα πρόσημα όλων των όρων. ¾ Δεν απαλείφουμε τις παρενθέσεις, αν αυτές είναι συνδεμένες με πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με άλλες παραστάσεις ή είναι υψωμένες σε δύναμη. ™ Η σειρά εκτέλεσης των πράξεων είναι η εξής: ¾ εκτελούμε τις δυνάμεις ¾ υπολογίζουμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις ¾ και τέλος εκτελούμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις Αν υπάρχουν παρενθέσεις, τότε εκτελούμε τις πράξεις πρώτα μέσα στις παρενθέσεις με τη σειρά που περιγράψαμε παραπάνω. 13
- 107. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κλάσματα 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: i. ii. iii. iv. 2. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ii. iii. 3. Ποιον αριθμό πρέπει να προσθέσουμε στο για να βρούμε άθροισμα ; 4. Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο άθροισμα των κλασμάτων και για να προκύψει η μονάδα; 5. Αν και να βρεθεί το πηλίκο Εξισώσεις 1. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 7x – 15 = 3x - 9 ii. 8(x + 2) – 5 = 2(x + 3) iii. 3y – 4 = 5y + 2 iv. 4ω - 2=2(2ω - 1) 2. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. ii. iii. 3. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 14
- 108. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 ii. Αριθμητικές παραστάσεις – Δυνάμεις 1) Να βρεθεί η τιμή των παρακάτω παραστάσεων: i. Α = (-2 + 4) - (-7 + 2 - 1) - (8 - 6) ii. Β = 1 + ( 2 1 + − − + − + ) 3 2 4 1 ) ( 1 1 3 3 1 4 iii. Γ = iv. Δ = v. 2) Να υπολογιστούν οι τιμές των αριθμητικών παραστάσεων: i. ii. Β= iii. iv. 3) Αν α = 3 και β =1 να επαληθευτούν οι ισότητες : i. ii. 4) Να βρεθεί η τιμή των παραστάσεων 1 2 − − − − − + + − + + ) ( 3 11 3 5 1) [3 (1 1 i. Α=( )] 2 6 2 6 6 3 1 − + − − − − − + + ) 2 2 4) 0.5] [0.1 (0.01 0.4 3 (3 ii. Β=[ ] 5 1 4 4 2 15
- 109. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 − iii. Γ= 2003[(-1)2002+(-1)2003]2004-[(-2)-3]2+ ( 8)2 (ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε. 2002) 5) Να αποδειχθεί ότι: 1 + 2 2 3 ÷ + = ] (1 77 2 3 5 [ ) 5 + + ⋅ . 228 2 1 3 4 5 7 2 4 + − + 6) Να βρεθεί το πρόσημο του αριθμού: Α= ( 2)( 4)( 6)....( 2010) − − − − − − − − ( 1)( 3)( 5)....( 2OO9) 7) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α = (200 + 196 + 192 +….+ 8 + 4) - (198 + 194 + 190 +….+ 6 + 2) 8) Να υπολογιστεί η παράσταση: ( ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε. 1999) Α = 2004 + 2005⋅ 2004 − 2006 ⋅ 2003 9) Να υπολογιστεί η τιμή των αλγεβρικών παραστάσεων: i. Α = ( 210 : 26 ) 2 - 3 12 : ( 39 3 ) + 5 ( 23 +32) ii. Β = 5 ( 23 - 1 ) + 8 ( 33 - 20 ) - 8 ( 52 - 15) 10) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης . 1 − Α= 2003⋅ [ ( -1 ) 2002 + ( -1 ) 2003] 2004 - [ ( -2 ) -3 ] 2 + ( 8)2 (ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε 2002) 11) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = [ ( -1) 10 + ( -1) 11 ] ⋅ ( 24 - 32) + 5 12 : 510 - 20 (ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ Ε.Μ.Ε 2002) 16
- 110. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 12) Να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης Α = 8 9 17 17 8 8 (36 ⋅ 5 ⋅ 7 − 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ) : 6 (6 8 ⋅ 5 7 19 + 2 9 ⋅ 15 8 ) ⋅ 5 13) Αν α= 2004 και β = −1 2004 να βρεθεί η τιμή της παράστασης: Α= [ ( α2 β3 ) -2 ( αβ 3) 4]: ( α3 : β-1) -3 14) Να απλοποιήσετε την παράσταση: Α= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 3 6 − − − − − αβ βα ⎛ α β ⎞ ⋅⎜ α β α β ⎝ α β ⎟ ⎠ 2 − 2 3 : − 3 3 2 − 1 4 15) Να βρεθούν οι τιμές των παραστάσεων Α= 2 1 2 ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ - 2 2 3 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 3 ⋅ ( 1- 1 ) -1- ( 2 - 510 )0 3 Β= ( 3 - 2 ) ( -2) -2 + 7 - 5 ⋅ 2-3 +[ ( -2) -1 ]2 3 16) Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: Α = ( 1 - ψ x 1 )( 1 + χ 1 )⋅ ψ χψ − χ ψ , αν χ = 2-1, ψ = -3 , B = ( β ) 2 - α α + γ αβ 2 , αν α= 2-2, β = 2 1 3 − ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , γ = -2. 17) Να βρεθεί η τιμή της παράστασης όταν χ =1 4 3 2 χ χ χ 1 1 1 1 1 1 2 3 5 Α = ( ) ( ) χ χ − − − ⎛− ⎞ + ⎛− ⎞ −⎛− ⎞ + − − − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 18) Αν είναι: και να βρεθεί η τιμή της παράστασης: 17
- 111. ΑΛΓΕΒΡΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ερωτήσεις τύπου Σωστού –Λάθους 1. Ο επόμενος φυσικός αριθμός του μηδενός είναι το 1 Σ Λ 2. Ένας περιττός αριθμός βρίσκεται μεταξύ δύο άρτιων Σ Λ 3. Αν ο ν είναι άρτιος τότε ο ν+1 είναι περιττός Σ Λ 4. Αν ο ν+1 είναι περιττός τότε ο ν+3 είναι περιττός. Σ Λ 5. Ο τελευταίος φυσικός αριθμός είναι 999999999999 Σ Λ 6. Από το 13 έως το 19 υπάρχουν 5 περιττοί αριθμοί Σ Λ 7. Για τη γραφή όλων των φυσικών αριθμών χρησιμοποι- ούμε 9 ψηφία Σ Λ 8. Ισχύει α – β = β - α Σ Λ 9. Ισχύει 2(α-β)= 2α - 2β Σ Λ 10. Ισχύει ότι Σ Λ 11. Ισχύει ότι Σ Λ 12. Ισχύει ότι Σ Λ 13. Σ Λ 14. Σ Λ 15. Ισχύει ότι: Σ Λ 16. Ισχύει ότι: Σ Λ 17. Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό 3 Σ Λ 18. Η εξίσωση αx=β έχει πάντα δύο ρίζες. Σ Λ 19. Η εξίσωση -3x=β έχει πάντα αρνητικές ρίζες. Σ Λ 20. Μπορούμε σε μια εξίσωση να αλλάξουμε τα πρόσημα όλων των όρων. Σ Λ 18
- 113. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε.Μ.Ε. ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βενάρδος Παντελής, Μαθηματικός στο Π.Π.Σ.Π.Θ. ΦΥΣΙΚΟΙ-ΚΛΑΣΜΑΤΑ 1. Να επιλέξετε αν είναι σωστή ή λάνθασμένη καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις, αιτιολογώντας την απάντηση σας Είτε διαιρέσω έναν αριθμό με το 0,1 είτε τον πολλαπλασιάσω με το 10 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο Σ Λ Είτε διαιρέσω έναν αριθμό με το 0,01 είτε τον πολλαπλασιάσω με το 100 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο Σ Λ Είτε διαιρέσω έναν αριθμό με το 0,2 είτε τον πολλαπλασιάσω με το 20 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο Σ Λ Είτε διαιρέσω έναν αριθμό με το 0,5 είτε τον πολλαπλασιάσω με το 2 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο Σ Λ Είτε διαιρέσω έναν αριθμό με το 10 είτε τον πολλαπλασιάσω με το 0,1 το αποτέλεσμα είναι το ίδιο Σ Λ 2. Πότε γεννήθηκε ο δάσκαλος της ΣΤ’ τάξης αν τα δυο τελευταία ψηφία της χρονιάς που γεννήθηκε δείχνουν την ηλικία που είχε το 2000; 3. Να επιλέξετε αν είναι σωστή ή λάνθασμένη καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις, αιτιολογώντας την απάντηση σας Το διπλάσιο του τριπλάσιου ενός αριθμού είναι ίσο με το τριπλάσιο του διπλάσιου του Σ Λ Το διπλάσιο του ενός τρίτου ενός αριθμού είναι ίσο με το μισό του τριπλάσιο του Σ Λ Το τριπλάσιο του αθροίσματος δυο αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των τριπλάσιων τους Σ Λ Το ένα τρίτο της διαφοράς δυο αριθμών είναι ίσο με την διαφορά των τρίτων τους Σ Λ Το διπλάσιο του γινομένου δυο αριθμών είναι ίσο με το γινόμενο των διπλάσιων τους Σ Λ Το διπλάσιο του πηλίκου δυο αριθμών είναι ίσο με το πηλίκο των διπλάσιων τους Σ Λ 4. Χρησιμοποιώντας από μια φορά το καθένα τα ψηφία 2, 3, 4, 5, 6, 7 κατασκευάστε δυο τριψήφιους που όταν τους προσθέσω να έχω το μικρότερο δυνατό άθροισμα. 5. Τρεις φίλοι Α, Β, Γ παίζουν ένα παιχνίδι τριών γύρων. Σε κάθε γύρο αυτός που χάνει διπλασιάζει τα χρήματα του καθενός από τους άλλους δυο. Στον πρώτο γύρο χάνει ο Α, στον δεύτερο ο Β και στον τρίτο ο Γ. Στο τέλος όλοι μαζί έχουν 1000 ευρώ. Πόσα χρήματα είχε ο καθένας στην αρχή του παιχνιδιού; 19
- 114. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 6. Αν ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και ισχύουν ΔΖ=ΖΓ, ΔΗ=ΗΑ και ΓΚ=ΚΕ=ΕΘ=ΘΑ να βρείτε ποιο κλάσμα του συνολικού εμβαδού του τετραγώνου παριστάνει το εμβαδόν καθενός από τα 7 πολύγωνα ΔΖΗ, ΖΓΚΛ, ΚΛΕ, ΛΕΘΗ, ΗΘΑ, ΓΒΕ και ΑΒΕ. 7. Ένας ταξιδιωτικός πράκτορας διαθέτει 5 λεωφορεία για να μεταφέρει μια ομάδα τουριστών. Το ένα πέμπτο τους ανεβαίνει στο λεωφορείο Α, το ένα τέταρτο των υπόλοιπων στο Β, το ένα τρίτο των υπόλοιπων στο Γ, οι μισοί από τους τελευταίους στο Δ και οι τελευταίοι στο Ε. Μοιράστηκαν εξίσου στα 5 λεωφορεία; 8. α) Σε καθεμία περίπτωση από τις παρακάτω υπολογίστε το ανάγωγο κλάσμα που είναι ίσο με το κλάσμα που δίνεται: Α= Β= Γ= β) Χωρίς να κάνετε τις πράξεις δώστε ένα ανάγωγο κλάσμα που πιστεύετε ότι είναι ίσο με το γ) Επιβεβαιώστε την απάντηση σας κάνοντας τις πράξεις 9. Να βρεθεί ο αριθμητής του δεύτερου όρου αν 10. Τι πρόσημο έχει ο αντίστροφος ενός αρνητικού; 11. Να συμπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα πολλαπλασιασμού Χ 4 1 -1 2. Να συγκρίνετε τα κλάσματα 12. Να λυθούν οι εξισώσεις α) β) γ) δ) 13. Να λυθούν οι εξισώσεις α) β) γ) δ) ε) δ) 20
- 115. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 14. Να λυθούν οι εξισώσεις α) β) γ) δ) 15. Στο των μαθητών μιας τάξης προσθέτω το πλήθος των μισών μαθητών της τάξης και βρίσκω 28 λιγότερους μαθητές. Πόσους μαθητές έχει η τάξη; 16. Στο γάμο του Νίκου και της Σόνιας υπάρχουν λιγότεροι από 100 καλεσμένοι. Στο δείπνο ή κάθονται μόνο σε πλήρη τραπέζια των 6 ατόμων ή μόνο σε πλήρη τραπέζια των 8 ατόμων. Θα χρειαστούν και στις δυο περιπτώσεις πάνω από 10 τραπέζια. Πόσοι είναι οι προσκεκλημένοι; 17. Μια επιφάνεια Α είναι ίση με τα δυο τρίτα μιας επιφάνειας Β. Τι κλάσμα της Α πρέπει να πάρω ώστε να έχω το μισό της Β; 18. Αν σε ένα δοχείο που είναι γεμάτο το ένα τρίτο του προσθέσουμε 6 κιλά τότε θα γεμίσει το μισό δοχείο. Πόσα κιλά χωράει το δοχείο; 19. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 20. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 21. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 22. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 23. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 24. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 25. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 21
- 116. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 26. Στο τέλος Μάρτη μια κατσίκα έχει αυξήσει το βάρος της κατά ένα όγδοο, σε σχέση με την αρχή του μήνα. Ομοια, τον Απρίλη, Μάη και Ιούνη το βάρος της αυξήθηκε αντίστοιχα κατά ένα ένατο, ένα δέκατο και ένα ενδέκατο του βάρους που είχε στην αρχή κάθε μήνα. Η κατσίκα ζύγιζε 42 Kg στο τέλος Ιούνη. Πόσο ζύγιζε στην αρχή του Μάρτη; 27. Έστω x και y δυο αριθμοί για τους οποίους ισχύει: =k α) Να δείξετε ότι β) Να δείξετε ότι 28. Ένας περίεργος μαθητής ρωτάει τον καθηγητή του των μαθηματικών: "Άκουσα ότι έχετε τρεις κόρες. Τι ηλικίες έχουν;" Ο καθηγητής απαντάει: "Το γινόμενο των ηλικιών τους είναι 72, και το άθροισμα των ηλικιών τους ο αριθμός δωματίου μου." Ο μαθητής κάνει λογαριασμούς και λέει: "Δεν έχω αρκετή πληροφορία." "Ναι, ξέχασα να σου πω ότι η μεγαλύτερη κόρη μου έχει γαλανά μάτια", απαντάει ο καθηγητής. Μετά από αυτή την πληροφορία ο μαθητής λύνει το πρόβλημα. Ποιες είναι λοιπόν οι ηλικίες των κοριτσιών; 22
- 117. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ 1. Αντιστοιχείστε κάθε εξίσωση στη λύση της 4x=11 (-4)x=11 2,75 0,4x=-11 (-4)x=-1,1 3. Συμπληρώστε τις ακόλουθες ισότητες α) β) γ) 4. Συμπληρώστε τον πίνακα x 1 -2 -8 2 y -4 -5 3 -4 -5 z 8 7 4 x+y+z 8 x+y-z 7 4 x-y+z -4 -13 x-y-z 10 5. Έστω S = α + β και P = α - β α) με τι ισούται το S + P και το S - P β) Βρείτε τα α και β αν S = -18 και P = 6 6. α) τι γίνεται το γινόμενο δυο αριθμών αν πολλαπλασιάσουμε τον πρώτο με -9 και τον δεύτερο με -4 β) τι γίνεται το γινόμενο δυο αριθμών αν αντικαταστήσουμε έναν παράγοντα του με τον αντίθετο του; γ) τι γίνεται το γινόμενο δυο αριθμών αν αντικαταστήσουμε δυο παράγοντες του με τους αντίθετους τους; 7. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε το πρόσημο του γινομένου α) (-1).(-2).(-3).(-4).(-5).(-6).(-7) β) (-22).(-23).........(-97).(-98) γ) (-1).2.(-3).4........(-21).22 8. Σε κάθε περίπτωση να βρείτε το πρόσημο και το τελευταίο ψηφίο του γινομένου α) (-1).(-2).(-3)..........(-2002) β) (-2).(-4).(-6)........(-2002) 23
- 118. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 9. Να βρείτε όλους τους δυνατούς τρόπους γραφής του -15 σαν γινόμενο τριων παραγόντων 10. Εστωx, y, z τρεις μη μηδενικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε: • xz και yz έχουν το ίδιο πρόσημο • x και xyz έχουν αντίθετα πρόσημα • x και yz έχουν αντίθετα πρόσημα Να βρείτε τα πρόσημα τους 11. Έστω x, y δυο μη μηδενικοί ακέραιοι α) Αν xy θετικός και x+y αρνητικός, μπορούμε να βρούμε το πρόσημο καθενός; β) xy αρνητικός και x+y αρνητικός, μπορούμε να βρούμε το πρόσημο καθενός; 12. Εστω P=x(x-1)(x-2)(x-3) α) Να υπολογίσετε το P για x=7, x=-5, x=2 β) αν ο x είναι αρνητικός βρείτε τα πρόσημα των x, x-1, x-2, x-3 και του P; γ) αν 2<x<3 ποια είναι τα πρόσημα των x, x-1, x-2, x-3 και του P; δ) Μελετήστε το πρόσημο του P αν ο x είναι θετικός διαφορετικός από τους 1, 2 και 3 13. Σε κάθε μια από τις ακόλουθες περιπτώσεις, να εξετάσετε αν μπορούμε να βρούμε μια τιμή του x για την οποία το γινόμενο είναι μηδέν. α) (-2,3).7.x.(-1,5) β) (-2,3).7.(x+2). (-1,5) γ) (-2,3).7.( +1). (-1,5) 14. Για ποιες τιμές των ακέραιων α και β, το γινόμενο (α-3)(β+5) είναι ίσο με α) -1 β) 1 15. Τοποθετήστε τους αριθμούς -7, -5, -3, -2, 0, 2, 3, 5, 7 από έναν σε κάθε κελί του ακόλουθου πίνακα ώστε το γινόμενο των τριων αριθμών μιας γραμμής ή μιας στήλης να είναι ίσα με τις τιμές που εμφανίζονται -98 0 -75 -20 0 -105 16. Έστω α, β, γ, δ τέσσερεις μη μηδενικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε τα πηλίκα , , , είναι θετικοί αριθμοί. Να βρείτε τα πρόσημα των α, β, γ, δ 17. Βρείτε τα ψηφία που λείπουν 18. Υπολογίστε τα αλγεβρικά αθροίσματα α) 9-7+5-3+1 β) 99-97+95-93+91-..............-5+3-1 24
- 119. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ γ) 999-997+995-993+..............-5+3-1 19. Θεωρούμε τα αλγεβρικά αθροίσματα: , , , , , , ,........................ α) Υπολογίστε τα β) Για ποιες τιμές του ν το είναι μηδέν; γ) Βρείτε τα 20. Συμπληρώστε το ακόλουθο μαγικό τετράγωνο ώστε να περιέχει όλους τους ακέραιους από το -8 ως το 7 -8 3 -2 2 1 -4 21. Ο κανόνας των προσήμων στη λογική Δυο ίδιες πόρτες, που η μια οδηγεί στην ελευθερία και η άλλη στη φυλακή φυλάσσονται από δυο δίδυμους φύλακες. Ο ένας λέει πάντα αλήθεια και ο άλλος πάντα ψέματα. Ο δικαστής επιτρέπει στον κατάδικο να κάνει μια ερώτηση σε έναν μόνο φύλακα. Ποια ερώτηση θα του εξασφαλίσει σίγουρα τον δρόμο προς την ελευθερία; 25
- 120. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Ο Πινόκιο είπε ψέματα και η μύτη του μεγάλωσε κατά το ένα τέταρτο της, φτάνοντας τα 13 cm. Ποιο ήταν το αρχικό της μήκος; 2. Ο Γιώργος έχει διπλάσια ηλικία από τον Στέλιο. Ο Στέλιος είναι 16 χρόνια μεγαλύτερος από τον Νίκο. Πριν 5 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών τους ήταν 65. Υπολογίστε τις ηλικίες τους. 3. Σε ένα χρόνο η Λίνα θα έχει το ένα τρίτο της ηλικίας της ξαδέρφης της, ενώ πριν έναν χρόνο είχε το ένα τέταρτο της ηλικίας της ξαδέρφης της. Βρείτε την ηλικία της Λίνας. 4. Να εξετάσετε αν υπάρχουν 4 διαδοχικοί και άρτιοι ακέραιοι με άθροισμα 120. 5. Δυο αριθμοί έχουν άθροισμα 70. Αν διαιρέσουμε τον μεγαλύτερο μα τον μικρότερο βρίσκουμε πηλίκο 3 και υπόλοιπο 6. Να βρείτε τους δυο αριθμούς. 6. Για ποια τιμή του x το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς x είναι ίσο με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με πλευρές x-2 και x-6 7. Έστω Μ ένα σημείο στην πλευρά ΑΒ ενός ορθογώνιου ΑΒΓΔ με ΑΒ=12 cm και ΑΔ=6 cm. Η διαφορά ανάμεσα στο εμβαδόν του τραπεζίου ΜΒΓΔ και αυτό του τριγώνου ΑΔΜ είναι ίση με 15 . Να υπολογίσετε το ΑΜ. 8. Για να σώσει την Τζέιν ο Ταρζάν διασχίζει την ζούγκλα πηδώντας από δέντρο σε δέντρο. Τα μικρά δέντρα του επιτρέπουν να διασχίσει 4,5 m και τα μεγάλα 8 m. Χρησιμοποιώντας 63 δέντρα διέσχισε τελικά 413 m. Να βρείτε πόσα δέντρα από κάθε είδος χρησιμοποίησε. 9. Μια πισίνα 15 m επί 8 m την μεγαλώνουμε προεκτείνοντας τις δυο της διαστάσεις και προς τις δυο κατευθύνσεις τους κατά το ίδιο μήκος και για τα δυο. Αν η νέα περίμετρος είναι ίση με 50 να βρείτε το μήκος της προέκτασης. 10. Για μια εκδρομή της Α’ Γυμνασίου το κόστος είναι 6 ευρώ για κάθε μαθητή. Τελικά 3 μαθητές δεν θα πάνε στην εκδρομή γεγονός που αυξάνει το κόστος κατά 0,9 ευρώ για καθέναν από τους υπόλοιπους μαθητές μιας και το συνολικό κόστος της εκδρομής δεν αλλάζει. Να υπολογίσετε αυτό το κόστος. 11. Ένας συλλέκτης μανιταριών πετάει το ένα τέταρτο των μανιταριών που μάζεψε θεωρώντας ότι μπορεί να είναι δηλητηριώδη. Από αυτά που κράτησε το ένα τρίτο είναι τύπου Α, τα τρία έβδομα τύπου Β και 15 τύπου Γ. Πόσα μανιτάρια είχε μαζέψει αρχικά; 12. Ένας έμπορος μέσα σε τρία χρόνια διπλασίασε το ποσό που είχε βάλει αρχικά στην επιχείρηση ως εξής: Τον πρώτο χρόνο ξόδεψε 100 ευρώ και αύξησε το υπόλοιπο κατά ένα τρίτο. Το ίδιο έκανε κατά την διάρκεια του δεύτερου χρόνου, όπως και του τρίτου. Ποιό ήταν το αρχικό ποσό; 13. Να επιλέξετε αν είναι σωστή ή λανθασμένη καθεμία από τις ακόλουθες προτάσεις, αιτιολογώντας την απάντηση σας Η ισότητα είναι πάντα αληθής Σ Λ Η ισότητα δεν είναι ποτέ αληθής Σ Λ Η ισότητα είναι αληθής για δυο τιμές του x Σ Λ 26
- 121. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ισότητα είναι αληθής για μια μοναδική τιμή του x Σ Λ Η ισότητα είναι αληθής για x = -1 Σ Λ 14. Να βρείτε σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις αν υπάρχουν αριθμοί για τους οποίους α) το διπλάσιο τους είναι ίσο με το τετράγωνο τους β) το τριπλάσιο τους είναι ίσο με το τετράγωνο τους γ) το άθροισμα του διπλάσιου και του τετραγώνου τους να είναι ίσο με το τριπλάσιο τους δ) το τετράγωνο τους να είναι ίσο με τον κύβο τους 15. Το τετράγωνο ABCD έχει πλευρά 6 και ισχύει IF=LE=HK=GM=x. Να βρείτε την τιμή του x ώστε τα εκτός σταυρού σχήματα να κατέχουν το ένα τρίτο του συνολικού εμβαδού. 16. Χωρίζουμε το ακόλουθο ορθογώνιο σε τρία μέρη. έστω CG=ΑΗ=3, FC=ΑΕ=2, ΕΒ=DF=x και BG=HD=y. Να εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ABCD, σαν συνάρτηση των x και y. Όμοια για τα EBG, HDF και τέλος για το AEGCFH. α) Εστω ότι y=10. Τότε να βρείτε την τιμή του x ώστε οι τρεις περιοχές να έχουν το ίδιο εμβαδόν. β) Να εξηγήσετε γιατί είναι αδύνατο τα τρια εμβαδά να είναι ίδια αν x=4 cm 17. Το άθροισμα τεσσάρων διαδοχικών άρτιων ακέραιων είναι ίσο με 84. Να βρείτε τους αριθμούς. 18. Εστω ABCD ορθογώνιο και Ε μέσο του ΑΒ. Έχουμε ΑΒ=100 m, AD=60 m και AE=BF=x cm. α) Να εκφράσετε σαν συνάρτηση του x το εμβαδόν του EFDCG. β) Να βρείτε την τιμή του x ώστε αυτό το εμβαδόν να είναι το τριπλάσιο του υπόλοιπου 27
- 122. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 2014 ΘΑΛΗΣ 19-10-2013 Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Α=32-12:4+53+3.4+ Πρόβλημα 2 Ένας οικογενειάρχης πήρε από την τράπεζα ένα ποσόν χρημάτων. Από αυτά ξόδεψε το 20% για την αγορά ενός φορτηγού ηλεκτρονικού υπολογιστή. Στη συνέχεια, από τα χρήματα που του έμειναν ξόδεψε το 15% για αγορά τροφίμων της οικογένειας. Αν του έμειναν τελικά 1360 ευρώ, να βρείτε: (α) Πόσα χρήματα πήρε από την τράπεζα ο οικογενειάρχης. (β) Πόσα χρήματα στοίχησαν τα τρόφιμα. (γ) Ποιο ποσοστό των χρημάτων που πήρε από την τράπεζα ξόδεψε συνολικά. Πρόβλημα 4 Ο λόγος δυο φυσικών αριθμών είναι . Διαιρώντας τον μεγαλύτερο αριθμό με το 18, το πηλίκο της διαίρεσης είναι ίσο με τον αριθμό 8, ενώ διαιρώντας τον μικρότερο αριθμό με το 12 το πηλίκο της διαίρεσης είναι ίσο με τον αριθμό 9. Αν γνωρίζετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του μεγαλύτερου αριθμού με το 18 είναι πενταπλάσιο του υπόλοιπου της διαίρεσης του μικρότερου αριθμού με το 12, να βρείτε τους δυο αριθμούς. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 18-1-2014 Πρόβλημα 1 Να βρείτε τους αριθμούς Α= και Β= )+ Πρόβλημα 4 Σε ένα σχολείο το 55% των μαθητών είναι αγόρια. Το πλήθος των αγοριών που δεν μιλούν γαλλικά είναι ίσο με το πλήθος των κοριτσιών που μιλούν γαλλικά. Τα αγόρια που μιλούν γαλλικά, είναι τα των μαθητών που μιλούν γαλλικά. Τα κορίτσια που δεν μιλούν γαλλικά είναι 60. Βρείτε πόσους μαθητές έχει το σχολείο. 28
- 123. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑΓΙΑ ΤΗΝ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΑΛΗΣ 20-10-2012 Πρόβλημα 1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α= Πρόβλημα 2 Αν ο κ είναι πρώτος θετικός ακέραιος και διαιρέτης του μέγιστου κοινού διαιρέτη των ακεραίων 12, 30 και 54, να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του κ και της παράστασης: Β= : Πρόβλημα 3 Ένας ελαιοπαραγωγός έχει παραγωγή λαδιού 800 κιλά. Για την καλλιέργεια του ελαιώνα του ξόδεψε 407 ευρώ και για τη συγκομιδή του καρπού από τις ελιές του ξόδεψε 1050 ευρώ. Η τιμή πώλησης του λαδιού είναι 2,5 ευρώ το κιλό και κατά την πώληση του λαδιού υπάρχουν κρατήσεις σε ποσοστό 6% πάνω στην τιμή πώλησης. (α) Να βρείτε πόσα κιλά λάδι πρέπει να πωλήσει ο παραγωγός για να καλύψει τα έξοδά του. (β) Αν επιπλέον το ελαιοτριβείο (εργοστάσιο που παράγεται το λάδι) κρατάει για την αμοιβή του το 8% του παραγόμενου λαδιού, να βρείτε πόσα κιλά λάδι θα μείνουν στον παραγωγό μετά την πώληση λαδιού για την κάλυψη των εξόδων του. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ 12-1-2013 Πρόβλημα 1 Να συγκρίνετε τους αριθμούς Α= και Β= Πρόβλημα 2 Ένας φορητός υπολογιστής έχει τιμή πώλησης 720 ευρώ σε μετρητά. Όταν ο πελάτης τον πληρώσει σε 12 ισόποσες μηνιαίες δόσεις, τότε επιβαρύνεται συνολικά με τόκους 5% πάνω στην τιμή πώλησης. Όταν ο πελάτης τον πληρώσει σε 24 ισόποσες μηνιαίες δόσεις τότε επιβαρύνεται συνολικά με τόκους 14% πάνω στην τιμή πώλησης. Να βρείτε σε καθεμία από τις δύο περιπτώσεις πόση θα είναι η μηνιαία δόση. 29
- 125. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε.Μ.Ε. ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ Γυμνασίου Σαραφοπούλου Χαρίκλεια, Καθηγήτρια Μέσης Εκπαίδευσης Α. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ i) Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 όταν το τελευταίο του ψηφίο είναι: 0, 2, 4, 6, 8. ii) Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 όταν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9. iii) Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. iv) Ένας αριθμός διαιρείται με το 10 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0. v) Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 8 μόνο αν ο αριθμός που αποτελείται από τα δύο ή τρία τελευταία (αντίστοιχα) ψηφία του διαιρείται με το 4 ή το 8. vi) Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων του αριθμού με τα πρόσημα εναλλάξ είναι αριθμός που διαιρείται με το 11. Β. Ευκλείδεια διαίρεση Αν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ, δ με δ ≠ 0, τότε μπορούμε πάντα να βρούμε δύο μοναδικούς φυσικούς αριθμούς π και υ, έτσι ώστε να ισχύει η ταυτότητα Δ = δπ + υ και υ < δ. Η ισότητα αυτή λέγεται ταυτότητα της ευκλείδειας διαίρεσης. • Αν υ = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια. • Κάθε άρτιος αριθμός έχει τη μορφή 2λ ενώ κάθε περιττός έχει τη μορφή 2λ+1. • Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι πάντοτε άρτιος αριθμός. • Αν ένας ακέραιος αριθμός α είναι περιττός τότε το τετράγωνό του έχει τη μορφή 8λ + 1. 30
- 126. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 Γ. Διαιρετότητα - Ε.Κ.Π. - Μ.Κ.Δ.-Πρώτοι αριθμοί • Έστω δύο ακέραιοι α και β με β 0. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το β είναι υ = 0, τότε λέμε ο α διαιρεί τον β και γράφουμε β|α. Με άλλα λόγια, θα λέμε ότι ο β διαιρεί τον α, αν υπάρχει ακέραιος λ τέτοιος ώστε α = λ β Γενικά ισχύουν τα παρακάτω: • 1|α για κάθε α Ζ • α|α για α και α|0 • Αν β|α τότε και λβ|λα • Αν β|α τότε και β|λα Κάποιες από τις ιδιότητες της διαιρετότητας είναι: • Αν α|β και β|α, τότε α = β ή α = - β • Αν α|β και β|γ, τότε και α|γ • Αν α|β και α|γ τότε ƒ α|(β + γ) και α|(β - γ) ƒ α|(λβ + μγ) και α|(λβ - μγ) για κάθε λ, μ Ζ ƒ Αν α|β και β 0 τότε |α| |β| Κάποιες χρήσιμες ιδιότητες στην διαιρετότητα είναι: Αν α, β είναι ακέραιοι αριθμοί τότε: - = πολ(α - β) - = πολ(α + β) + = πολ(α + β) = + πολβ = + πολα 31
- 127. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μ.Κ.Δ. - Ε.Κ.Π. ™ Έστω α, β δύο ακέραιοι αριθμοί με α Τον μεγαλύτερο θετικό κοινό διαιρέτη των α και β τον συμβολίζουμε (α, β) και τον ονομάζουμε Μ.Κ.Δ. ™ Έστω α, β δύο ακέραιοι αριθμοί διάφοροι του μηδέν. Το μικρότερο από τα θετικά κοινά πολλαπλάσια των α και β το ονομάζουμε Ε.Κ.Π. και το συμβολίζουμε με [α, β]. Προφανώς ισχύουν τα παρακάτω: ™ (α, 1) = α και (α, 0) = α, όπου α > 0. ™ (α, β)=(|α|, |β|) και [α, β]=[|α|, |β|]. ™ Αν α| β τότε (α, β) = α και [α, β] = β όπου α, β > 0. Ένα χρήσιμο θεώρημα για τον Μ.Κ.Δ. δύο αριθμών είναι το εξής: Αν (α, β) = δ τότε υπάρχουν αριθμοί κ, λ τέτοιοι ώστε δ = κα + λβ. Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν (α, β) = 1. Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα μπορούμε να πάρουμε το εξής: ¾ Αν οι αριθμοί α, β είναι πρώτοι μεταξύ τους, τότε υπάρχουν κ, λ ακέραιοι τέτοιοι ώστε κα + λβ = 1. Η πρόταση ισχύει και αντίστροφα, δηλαδή, αν ισχύει η σχέση κα + λβ = 1, τότε (α, β) = 1. Επίσης ισχύει το εξής: ¾ Αν έχουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς, τότε το Ε.Κ.Π. και ο Μ.Κ.Δ. δεν μεταβάλλονται αν αντικαταστήσουμε δύο από αυτούς με το Ε.Κ.Π. ή τον Μ.Κ.Δ. τους αντίστοιχα. ¾ Αν α, β > 0 και (α, β) = 1 τότε [α, β] = αβ. Πολύ χρήσιμα είναι τα παρακάτω συμπεράσματα: 9 Αν α| βγ και (α, β)=1, τότε α|γ 9 Αν α| γ , β| γ και (α, β) = 1, τότε αβ |γ 9 Ισχύει ότι (λα, λβ) = λ(α, β) και [λα, λβ] = λ[α, β] όπου λ φυσικός όχι μηδέν. 9 Ισχύει [α, β] = όπου α, β μη μηδενικοί φυσικοί. 32
- 128. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 9 Οι κοινοί διαιρέτες δύο ακεραίων είναι οι διαιρέτες του Μ.Κ.Δ. και μόνο αυτοί. 9 Τα κοινά πολλαπλάσια δύο μη μηδενικών ακεραίων είναι τα πολλαπλάσια του Ε.Κ.Π. και μόνο αυτά. ΕΥΡΕΣΗ Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. Για να βρούμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών μπορούμε με τη βοήθεια ενός από τους παρακάτω τρόπους : ¾ Βρίσκουμε πρώτα τα μη μηδενικά πολλαπλάσια κάθε αριθμού χωριστά και στη συνέχεια βρίσκουμε το μικρότερο αριθμό που υπάρχει σε όλες τις προηγούμενες λίστες. ¾ Παίρνουμε τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς που μας δίνονται και εξετάζουμε αν αυτός είναι πολλαπλάσιο των υπολοίπων (δηλαδή αν διαιρείται από όλους τους υπόλοιπους). Αν ναι, τότε αυτός είναι το ζητούμενο Ε.Κ.Π., αν όχι, τότε παίρνουμε το διπλάσιο του αριθμού και εξετάζουμε αν αυτό είναι πολλαπλάσιο των υπολοίπων και ούτω καθεξής. ¾ Αναλύουμε κάθε έναν από τους αριθμούς που μας δίνονται σε γινόμενο δυνάμεων πρώτων αριθμών. Σχηματίζουμε στη συνέχεια το γινόμενο όλων των κοινών και μη κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις στις παραγοντοποιήσεις αυτές, τον κάθε ένα με τον μεγαλύτερο εκθέτη που εμφανίζεται. Για να βρούμε τον Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ακολουθούμε ένα από τα παρακάτω: ¾ Βρίσκουμε πρώτα τους διαιρέτες κάθε αριθμού χωριστά και στη συνέχεια βρίσκουμε το μεγαλύτερο αριθμό που υπάρχει στις προηγούμενες λίστες. ¾ Παίρνουμε τον μικρότερο από τους αριθμούς που μας δίνονται και εξετάζουμε αν αυτός είναι διαιρέτης των υπολοίπων. Αν ναι, τότε αυτός είναι ο ζητούμενος Μ.Κ.Δ. Αν όχι, θεωρούμε τους διαιρέτες αυτού και δοκιμάζουμε έναν ένα από το μεγαλύτερο προς το μικρότερο μέχρι να βρούμε για πρώτη 33
- 129. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ φορά έναν που να είναι διαιρέτης και των υπόλοιπων αριθμών. Αυτός είναι τότε ο Μ.Κ.Δ. ¾ Αναλύουμε κάθε έναν από τους αριθμούς σε γινόμενο δυνάμεων πρώτων αριθμών. Στη συνέχεια σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών πρώτων αριθμών που εμφανίζονται ως βάσεις, τον κάθε ένα με τη μικρότερη δύναμη στην οποία εμφανίζεται. Ο αριθμός αυτός είναι ο ζητούμενος Μ.Κ.Δ. ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένας θετικός ακέραιος p λέγεται πρώτος (διάφορος του 1), αν οι μοναδικοί διαιρέτες του είναι τo 1 και ο p. Γενικότερα, ένας ακέραιος p λέγεται πρώτος αν p 0,-1,1 και οι μόνοι θετικοί διαιρέτες του p είναι ο 1 και |p|. Αν ένας ακέραιος αριθμός δεν είναι πρώτος, τότε θα λέγεται σύνθετος. Γενικά ισχύουν τα παρακάτω: ™ Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. ™ Κάθε θετικός ακέραιος μεγαλύτερος από τον 1 έχει έναν τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη. ™ Κάθε θετικός ακέραιος α > 1 αναλύεται κατά μοναδικό τρόπο σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ομάδας Άσκηση 1η Τρεις εργαζόμενοι σε εταιρεία ασφαλείας κάνουν νυχτερινή εργασία ο πρώτος κάθε 10 μέρες, ο δεύτερος κάθε 4 μέρες και ο τρίτος κάθε 3 μέρες. Αν σήμερα έχουν νυχτερινή εργασία και οι τρεις μαζί μετά από πόσες μέρες θα έχουν για πρώτη φορά πάλι νυχτερινή εργασία και οι τρεις μαζί πάλι; Άσκηση 2η Αν οι μαθητές ενός Λυκείου παραταχθούν ανά 8 δεν περισσεύει κανένας. Να βρείτε το πλήθος των μαθητών αν γνωρίζετε ότι οι μαθητές είναι περισσότεροι από 90 και λιγότεροι από 100. 34
- 130. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 Άσκηση 3η Να συμπληρώσετε το * με ένα κατάλληλο ψηφίο στους παρακάτω αριθμούς: I. 5793* ώστε να διαιρείται με το 2 II. 5*793 ώστε να διαιρείται με το 9 III. 59*73 ώστε να διαιρείται με το 3 IV. 634* ώστε να διαιρείται με το 5 Άσκηση 4η Να συμπληρωθούν τα * με κατάλληλα ψηφία ώστε: I. Ο αριθμός 32*6 να διαιρείται με το 3 II. Ο αριθμός 4*1* να διαιρείται με το 5 και το 9 III. 6*2* να διαιρείται με το 2 και το 9 IV. 7*3** να διαιρείται με το 2,5,9 Άσκηση 5η Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός που όταν διαιρείται με το 4, 5 και με το 6 αφήνει κάθε φορά υπόλοιπο 2. Άσκηση 6η: Ένας ανθοπώλης διαθέτει 260 τριαντάφυλλα, 234 γαρύφαλλα και x αριθμό από μιγκέ, όπου x αριθμός μεταξύ των αριθμών 150 και 170. Αν ο μέγιστος αριθμός από ομοιόμορφες ανθοδέσμες που μπορεί να φτιάξει ο ανθοπώλης είναι 13, να βρεθεί ο αριθμός x. Άσκηση 7η Να εξηγήσετε γιατί ο αριθμός α 105 + β 104 + γ 103 + δ 102 + 50 λ είναι πολλαπλάσιο του 25 (οι αριθμοί α, β, γ, δ, ε είναι φυσικοί). Άσκηση 8η: Να εξηγήσετε γιατί ο αριθμός α 103 + α 102 + α , όπου α φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, 5, 3. Άσκηση 9η Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με τον φυσικό αριθμό x δίνουν και οι δύο υπόλοιπο 13. Ποιες είναι οι δυνατές τιμές του x; Άσκηση 10η Να εξηγήσετε γιατί οι αριθμοί 6 και 12α + 45 διαιρούνται με το 3 (α φυσικός αριθμός). 35
- 131. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ομάδας Άσκηση 1η : Να αποδείξετε ότι: I. το άθροισμα δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος II. το άθροισμα δύο περιττών αριθμών είναι άρτιος III. το άθροισμα ενός περιττού και ενός άρτιου είναι περιττός IV. το γινόμενο δύο περιττών είναι περιττός και το γινόμενο ενός άρτιου με έναν τυχαίο ακέραιο είναι άρτιος. Άσκηση 2η: Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α = 777777. Άσκηση 3η: Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού α = 20032004. Άσκηση 4η:Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε τέσσερις διαδοχικούς περιττούς μπορούμε να βρούμε δύο των οποίων το άθροισμα διαιρείται με το 10. Άσκηση 5η : Με τα ψηφία 1, 4, 6, 9 και μόνο γράφουμε δύο τυχαίους αριθμούς με αυθαίρετο πλήθος στοιχείων (π.χ. 4169, 964419 κλπ).Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε όλους αυτούς τους αριθμούς που δημιουργούνται δεν υπάρχουν δύο έτσι ,ώστε ο ένας να διαιρείται με τον άλλο και το πηλίκο να είναι ίσο με 17. (Βουλγαρία) Άσκηση 6η : Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός α = 1 + 3 + 32 +…+ 389 διαιρείται με το 13. ( Ρουμανία 1997) Άσκηση 7η: Αν α = 52001 + 92004 - 2 να αποδειχθεί ότι 4|α. (Γερμανία 2001) Άσκηση 8η: Δίνονται 6 διαδοχικοί φυσικοί. Αν α το άθροισμα των τριών πρώτων και β το άθροισμα των τριών τελευταίων, να εξεταστεί αν μπορεί να ισχύει αβ=20032003. (Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε. Ευκλείδης 1995) Άσκηση 9η: Ο καθηγητής των μαθηματικών έγραψε στον πίνακα τον αριθμό α = 512*6, όπου το * συμβολίζει ένα ψηφίο που σβήστηκε κατά λάθος. Είναι δυνατόν να βρεθεί ποιο ψηφίο σβήστηκε αν είναι γνωστό ότι ο αριθμός α είναι πολλαπλάσιο του 12. (Ρουμανία 1995) 36
- 132. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 Άσκηση 10η: Να βρεθούν οι τιμές του θετικού αριθμού α έτσι ώστε οι αριθμοί α - 3, α - 2, και α + 6 να είναι όλοι τους συγχρόνως πρώτοι. (Ρουμανία 1997) Άσκηση 11η: Να βρεθεί ο αριθμός p αν 7p + 1 = ν2 όπου ν φυσικός μη μηδενικός. (Γερμανία 1991) Άσκηση 12η: Αν οι ακέραιοι αριθμοί α + 2 και 46 - β διαιρούνται με 11 να αποδείξετε ότι και ο α + β διαιρείται με το 11. Άσκηση 13η : Να δείξετε ότι το τετράγωνο κάθε περιττού αριθμού είναι της μορφής 8κ + 1. Άσκηση 14η: Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης 1750 + 33100 δια του 8. Άσκηση 15η: Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού 2540 + 1730 δια του 8. Άσκηση 16η: Να δείξετε ότι ο αριθμός α = (2ν+1)(4ν+1)(5ν+3) διαιρείται με το 3 όπου ν φυσικός αριθμός. Άσκηση 17η: Αν α, β, γ, δ και ε είναι ακέραιοι αριθμοί διαφορετικοί μεταξύ τους έτσι ώστε (4-α)(4-β)(4-γ)(4-δ)(4-ε) = 12 να αποδείξετε ότι: α + β + γ + δ + ε = 17. (Βουλγαρία) Άσκηση 18η: Να εξετάσετε αν μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα 6x6 μαγικό τετράγωνο με τους 36 πρώτους αριθμούς. Άσκηση 19η: Να προσδιορίσετε τις τιμές του πρώτου αριθμού ν, ώστε οι αριθμοί ν, ν + 10, ν + 14 να είναι όλοι τους πρώτοι. (Ρωσία 1998) Άσκηση 20η: Να βρείτε πόσοι ακέραιοι αριθμοί από το 1 έως τον 100 έχουν ακριβώς τρεις διαιρέτες (παράγοντες) συμπεριλαμβανομένων του εαυτού τους και της μονάδας. (Διαγωνισμός Ε.Μ.Ε.-Θαλής 1992) 37
- 133. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε.Μ.Ε. ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ανδρέας Πούλος Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Ανατολικής Θεσσαλονίκης andremat@otenet.gr ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Οι βασικές γνώσεις Γεωμετρίας που πρέπει να έχουν οι μαθητές της Α’ Γυμνασίου, οι οποίοι προετοιμάζονται για να αντιμετωπίσουν προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών, είναι αυτές που έχουν αποκτήσει στην Ε’ και ΣΤ’ τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Πράγματι, δεν χρειάζεται κάποιος να ξέρει κάτι επιπλέον. Όμως, αν τα πράγματα είναι τόσο απλά, τότε γιατί μερικοί μαθητές τα καταφέρνουν πολύ καλά στην επίλυση προβλημάτων, κάποιο άλλοι είναι μέτριοι λύτες και ορισμένοι δυσκολεύονται πάρα πολύ; Η απάντηση στο ερώτημα αυτό δεν ούτε προφανής, ούτε τόσο εύκολη όσο φαίνεται. Αυτά που είναι χρήσιμα και αποτελεσματικά για την επίλυση προβλημάτων μαθηματικών διαγωνισμών που σχετίζονται με τη Γεωμετρία σίγουρα είναι τα εξής: 1) Πρέπει να είμαστε σε θέση να κάνουμε άμεση ανάκληση των βασικών ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων, τις οποίες όμως πρέπει προηγουμένως να τις έχουμε καταγράψει, διαβάσει και κατανοήσει. 2) Να προσέχουμε πολύ καλά κάθε λέξη που υπάρχει στη διατύπωση του γεωμετρικού προβλήματος. Είναι παρατηρημένο ότι οι περισσότερες λανθασμένες απαντήσεις προέρχονται από την κακή κατανόηση ή ερμηνεία του κειμένου του προβλήματος. 3) Να λύνουμε όσα περισσότερα προβλήματα μπορούμε, αν και το σπουδαίο δεν είναι η ποσότητα, δηλαδή πολλά προβλήματα του ίδιου είδους, αλλά η επίλυση μιας ποικιλίας προβλημάτων που δεν συναντάμε σε σχολικά βιβλία. 4) Να συγκρατούμε τις έξυπνες ιδέες και τα «κόλπα» με τα οποία λύνονται τα «καλά» προβλήματα. Καλά προβλήματα ονομάζουμε αυτά που διαφέρουν από τα συνηθισμένα, αυτά που για να λυθούν θέλουν μια ξεχωριστή αντιμετώπιση και κάποια διαφορετική προσέγγιση. Πώς θα είμαστε σε θέση να κάνουμε άμεση ανάκληση των βασικών ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων; Το αναγκαίο βήμα είναι να καταγράψουμε τις βασικές ή απαραίτητες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων ώστε να απαντάμε σωστά στα ερωτήματα και να επιλύουμε τα προβλήματά μας. Στη συνέχεια πρέπει αυτές να τις διαβάζουμε συχνά. Αυτό που κάνουμε στη συνέχεια είναι μία καταγραφή των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων που έχουμε μάθει από το Δημοτικό. Εννοείται ότι θα 38
- 134. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 παρουσιάσουμε τις ιδιότητες των τριγώνων, των κύκλων, των παραλλήλων και κάθετων ευθειών, των παραλληλογράμμων, των τετραγώνων, των ρόμβων και των τραπεζιών, με περισσότερες λεπτομέρειες, δίνοντας μία σειρά από κατάλληλες δραστηριότητες. Το πρώτο ερώτημα που μπαίνει είναι: με ποια σειρά πρέπει να παρουσιάσουμε αυτές τις ιδιότητες, ώστε να συνδέονται μεταξύ τους για να είναι εύκολο να τις θυμόμαστε. Θεωρούμε ότι η σειρά που παρουσιάζουμε εδώ τις ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων και των δραστηριοτήτων είναι τέτοια, που να βοηθά στην κατανόηση τους. 1. Οι παράλληλες ευθείες και οι ιδιότητες τους. ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο ευθείες λέγονται παράλληλες, όταν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και δεν έχουν κοινά σημεία. Συνήθως για λόγους συντομίας, όταν δύο ευθείες α, β είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε τις συμβολίζουμε α // β. Δεν είναι σωστό να παραλείπουμε τη φράση «βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο», επειδή για παράδειγμα, οι ευθείες ΑΒ και ΓΔ που διέρχονται από τις ακμές του διπλανού παραλληλεπίπεδου δεν είναι παράλληλες, αλλά ούτε έχουν κοινά σημεία. Β Α Δ Γ Οι παράλληλες ευθείες έχουν δύο βασικές ιδιότητες: α) να σχηματίζουν ίσες γωνίες, β) να διατηρούν τις αποστάσεις. Αυτά τα δύο χαρακτηριστικά πρέπει να τα θυμόμαστε καλά. Έτσι, αν έχουμε δύο παράλληλες που τις τέμνει μία τρίτη ευθεία, όπως στο παρακάτω σχήμα, τότε έχουμε και ίσες γωνίες. Οι γωνίες με αρίθμηση 1, 3, 5 και 7 είναι ίσες ανά δύο με όποιον τρόπο κι αν τις επιλέξουμε. Αντίστοιχα, οι γωνίες με αρίθμηση 2, 4, 6 και 8 είναι επίσης ίσες. Ένας απλός τρόπος για να θυμόμαστε αυτή την πληροφορία είναι ότι, όλες οι οξείες γωνίες (του συγκεκριμένου σχήματος) είναι ίσες. Το ίδιο συμβαίνει με όλες τις αμβλείες γωνίες. Επίσης, αν έχουμε δύο παράλληλες ευθείες, τότε οι μεταξύ τους αποστάσεις σε οποιαδήποτε θέση είναι πάντα ίσες. ε1 ε2 39
- 135. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Έτσι, όλες οι αποστάσεις μεταξύ των παράλληλων ευθειών ε1 και ε2 (στο παραπάνω σχήμα έχουμε φέρει μόνο τέσσερις από αυτές) είναι ίσες μεταξύ τους. Εννοείται ότι όταν λέμε αποστάσεις, θεωρούμε τις κάθετες αποστάσεις. 2. Οι κάθετες ευθείες και οι ιδιότητές τους. ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο ευθείες λέγονται μεταξύ τους κάθετες, όταν τέμνονται και οι γωνίες που σχηματίζουν είναι όλες ίσες. Συνήθως, για λόγους συντομίας, όταν δύο ευθείες α, β είναι κάθετες μεταξύ τους, τότε γράφουμε α ⊥ β. Οι κάθετες ευθείες σχηματίζουν γωνίες 90ο. Όταν δύο ευθείες α, β είναι κάθετες σε μία τρίτη ευθεία γ, τότε έχουμε α // β. Όταν έχουμε α, β κάθετες ευθείες και α // γ, τότε β ⊥ γ. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία ευθεία λέγεται μεσοκάθετος σε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, όταν περνάει από το μέσο του ΑΒ και είναι κάθετη στην ευθεία του ΑΒ. 3. Τα τρίγωνα και οι ιδιότητες τους ΟΡΙΣΜΟΣ: Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρεις ευθείες που τέμνονται ανά δύο και δεν διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το τρίγωνο καθορίζεται από τα σημεία τομής των τριών ευθειών, που τα ονομάζουμε κορυφές του τριγώνου. Έτσι, για παράδειγμα λέμε το τρίγωνο ΑΒΓ. Β Α Γ Το τρίγωνο είναι το σχήμα που τα σημεία του είναι σημεία των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ. Τα τμήματα αυτά τα λέμε πλευρές του τριγώνου. Συνήθως, αγνοούμε τις ευθείες που σχηματίζουν το τρίγωνο και ασχολούμαστε μόνο με τα ευθύγραμμα τμήματά τους, δηλαδή με τις πλευρές του. Τα σημεία που είναι ανάμεσα και στις τρεις τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν το λεγόμενο τριγωνικό χωρίο. Οι ευθείες που ορίζουν ένα τρίγωνο σχηματίζουν 3x4 = 12 γωνίες. Από αυτές οι τρεις είναι μέσα στο τριγωνικό χωρίο και λέγονται γωνίες του τριγώνου. Ανάλογα με τη θέση που έχουν οι ευθείες που σχηματίζουν το τρίγωνο, έχουμε τρίγωνα με τις πλευρές όλες ίσες, τρίγωνα μόνο με δύο πλευρές ίσες και τρίγωνα με όλες τις πλευρές διαφορετικές στο μήκος. Τα τρίγωνα του κάθε είδους ονομάζονται αντίστοιχα, ισόπλευρα, ισοσκελή και σκαληνά. Ανάλογα με τη θέση που έχουν οι ευθείες που σχηματίζουν το τρίγωνο, έχουμε τρίγωνα με τις γωνίες όλες ίσες, τρίγωνα μόνο με δύο γωνίες ίσες και τρίγωνα με όλες τις γωνίες διαφορετικές. Τα τρίγωνα, σε σχέση με το είδος των γωνιών τους 40
- 136. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 ονομάζονται αντίστοιχα, ισόπλευρα, ισοσκελή και σκαληνά, όπως ακριβώς αυτά με το είδος των πλευρών τους. Αυτό δεν είναι παράξενο για τους εξής λόγους: Ένα τρίγωνο με τρεις πλευρές ίσες (ισόπλευρο), θα έχει και τις τρεις γωνίες ίσες. Ένα τρίγωνο με δύο πλευρές ίσες (ισοσκελές), θα έχει και δύο γωνίες ίσες. Ένα τρίγωνο με τρεις πλευρές άνισες (σκαληνό), θα έχει και τις τρεις γωνίες άνισες. Ισόπλευρο ισοσκελές σκαληνό Επίσης, η θέση που έχουν οι ευθείες που σχηματίζουν ένα τρίγωνο, καθορίζουν και το άνοιγμα των γωνιών του, παρότι το άθροισμα των γωνιών είναι 180ο. Μπορεί μία από όλες να είναι 90ο. Τότε οι άλλες δύο θα είναι μικρότερες από 90ο. Ένα τέτοιο τρίγωνο το λέμε ορθογώνιο. Μπορεί όλες οι γωνίες να είναι μικρότερες από 90ο. Ένα τέτοιο τρίγωνο το λέμε οξυγώνιο. Μπορεί μία από τις γωνίες να είναι μεγαλύτερη από 90ο. Οπωσδήποτε, οι άλλες δύο θα είναι μικρότερες από 90ο. Ένα τέτοιο τρίγωνο το λέμε αμβλυγώνιο. Το τρίγωνο είναι το απλούστερο γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από ευθείες γραμμές ή από ευθύγραμμα τμήματα που ανά δύο έχουν κοινά άκρα. Για το λόγο αυτό, αν θέλουμε να μελετήσουμε ένα πολύπλοκο σχήμα που είναι κατασκευασμένο με ευθύγραμμα τμήματα, το χωρίζουμε σε τρίγωνα. ΚΑΝΟΝΑΣ 1: Το άθροισμα των γωνιών σε κάθε τρίγωνο είναι 180ο. Γ 2 3 1 Α Β Το παραπάνω σχήμα αποτελείται από τρία τρίγωνα. Το αρχικό τρίγωνο (1), το τρίγωνο (2) που είναι μία περιστροφή του τριγώνου (1) για να κολλήσει με το αρχικό και το τρίγωνο (3) που είναι παράλληλη μετακίνηση του αρχικού τριγώνου, ώστε και τα τρία τρίγωνα να έχουν κοινή κορυφή την Β. Τώρα, οι γωνίες του αρχικού τριγώνου (1) είναι ίσες με αυτές που βρίσκονται γύρω από το σημείο Β, οι οποίες είναι φανερό ότι σχηματίζουν μία ευθεία γωνία που έχει άνοιγμα 180ο. Αυτή είναι μία προσπάθεια εξήγησης του κανόνα «Το άθροισμα των γωνιών σε κάθε τρίγωνο είναι 180ο», η οποία είναι εύκολη στην κατανόησή της, αλλά έχει ορισμένα κενά. Για το λόγο αυτό, δεν τη συναντάμε στα βιβλία Γεωμετρίας του Λυκείου. ΚΑΝΟΝΑΣ 2: Το άθροισμα των γωνιών σε κάθε τετράπλευρο είναι 360ο. 41
- 137. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η απόδειξη αυτού του κανόνα είναι εύκολη, επειδή ένα τετράπλευρο είναι δύο τρίγωνα που τα χωρίζει η μία διαγώνιος του τετραπλεύρου. Επειδή το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180ο, σημαίνει ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τετραπλεύρου θα είναι 2·180ο = 360ο. Στα τρίγωνα χρήσιμες έννοιες είναι οι έννοιες: διάμεσος, ύψος, διχοτόμος και μεσοκάθετος τριγώνου. ΟΡΙΣΜΟΣ: Διάμεσος τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που το ένα άκρο του είναι κορυφή τριγώνου και το άλλο άκρο το μέσο της απέναντι πλευράς του τριγώνου. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους, αφού έχει τρεις πλευρές και τρεις κορυφές. ΚΑΝΟΝΑΣ 3: Σε κάθε τρίγωνο οι διάμεσοι περνάνε από το ίδιο σημείο που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Η απόδειξη αυτού του κανόνα δεν είναι εύκολη. Την απόδειξη αυτού του κανόνα την έχουν τα βιβλία της Α τάξης του Λυκείου. ΟΡΙΣΜΟΣ: Διχοτόμος τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που το ένα άκρο του είναι κορυφή τριγώνου, το άλλο άκρο σημείο της απέναντι πλευράς του τριγώνου και το τμήμα αυτό χωρίζει τη αντίστοιχη γωνία σε δύο ίσες γωνίες. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους, αφού έχει τρεις κορυφές. ΚΑΝΟΝΑΣ 4: Σε κάθε τρίγωνο οι διχοτόμοι περνάνε από το ίδιο σημείο που βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Η απόδειξη αυτού του κανόνα δεν είναι εύκολη. Την απόδειξη αυτού του κανόνα την έχουν τα βιβλία της Α τάξης του Λυκείου. ΟΡΙΣΜΟΣ: Ύψος τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που το ένα άκρο του είναι κορυφή τριγώνου, το άλλο άκρο σημείο της ευθείας στην οποία βρίσκεται η απέναντι πλευρά του τριγώνου, έτσι ώστε το τμήμα αυτό να είναι κάθετο στην ευθεία της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρία ύψη, αφού έχει τρεις κορυφές. ΚΑΝΟΝΑΣ 5: Σε κάθε τρίγωνο τα ύψη του περνάνε από το ίδιο σημείο. Η απόδειξη αυτού του κανόνα δεν είναι εύκολη. Επίσης, την απόδειξη αυτού του κανόνα την έχουν τα βιβλία της Α τάξης του Λυκείου. Σχόλια: Θα θυμάστε ότι είναι αρκετά δύσκολο να χαράξουμε τα ύψη σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αυτό συμβαίνει, επειδή τα δύο ύψη του βρίσκονται έξω από το τρίγωνο. Για το λόγο αυτό τα σχολικά βιβλία επιμένουν στο θέμα αυτό. Εδώ, η χαρακτηριστική «παραξενιά» του αμβλυγώνιου τριγώνου εμφανίζεται ως δραστηριότητα 4η. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μεσοκάθετος τριγώνου είναι μία ευθεία που περνάει από το μέσο μιας πλευράς του τριγώνου και είναι κάθετη στην πλευρά αυτή. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις μεσοκάθετες, αφού έχει τρεις πλευρές. ΚΑΝΟΝΑΣ 6: Σε κάθε τρίγωνο οι μεσοκάθετές του περνάνε από το ίδιο σημείο. Η απόδειξη αυτού του κανόνα δεν είναι εύκολη. Επίσης, την απόδειξη αυτή την έχουν τα βιβλία της Α τάξης του Λυκείου. 42
- 138. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 Στα περισσότερα τρίγωνα οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι, τα ύψη είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Τα επόμενα σχήματα δείχνουν αυτές τις διαφορές. διάμεσος διχοτόμος ύψος Επίσης, υπάρχουν τρίγωνα που το σημείο τομής των τριών υψών τους δεν βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο. Σε μερικά τρίγωνα βρίσκεται πάνω σε μία πλευρά και σε κάποια άλλα (στα αμβλυγώνια) βρίσκεται έξω από το τρίγωνο. Τα ίδιο συμβαίνει με το σημείο τομής των μεσοκαθέτων. Στη συνέχεια δίνουμε μία σειρά από δραστηριότητες που πρέπει να γίνουν για να βγάλουμε χρήσιμα συμπεράσματα για τις ιδιότητες των διαμέσων, των διχοτόμων, των υψών και των μεσοκαθέτων των τριγώνων. Διαλέγουμε τέτοιες δραστηριότητες στις οποίες μπορούμε να εξηγήσουμε αυτό που παρατηρούμε ή στη χειρότερη περίπτωση να διαπιστώνουμε ότι συμβαίνει κάτι διαφορετικό από αυτό που αναμένουμε και η πλήρης εξήγηση (απόδειξη) μπορεί να περιμένει για αργότερα. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 1η. Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο να χαράξετε α) τις τρεις διαμέσους, β) τις τρεις διχοτόμους, γ) τα τρία ύψη, δ) τις τρεις μεσοκάθετες. Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μπορείτε να εξηγήσετε αυτά που παρατηρείτε; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 2η. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο να χαράξετε α) τις τρεις διαμέσους, β) τις τρεις διχοτόμους, γ) τα τρία ύψη, δ) τις τρεις μεσοκάθετες. Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μπορείτε να εξηγήσετε αυτά που παρατηρείτε; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 3η. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο να χαράξετε α) τα τρία ύψη, β) τις τρεις μεσοκάθετες. Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μπορείτε να εξηγήσετε αυτά που παρατηρείτε; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 4η. Σε ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο να χαράξετε α) τα τρία ύψη, β) τις τρεις μεσοκάθετες. Να διακρίνετε δύο περιπτώσεις. 1. Το αμβλυγώνιο να είναι και ισοσκελές τρίγωνο, 2. Το αμβλυγώνιο να είναι σκαληνό τρίγωνο. Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μπορείτε να εξηγήσετε αυτά που παρατηρείτε; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 5η. Να κατασκευάσετε έναν κατάλογο με τέσσερις στήλες. Στις τρεις πρώτες στήλες θα γραφούν οι γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ (εννοείται, πρέπει το άθροισμα τους να είναι 180ο). Στην τέταρτη στήλη θα γραφεί η αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι διχοτόμοι των γωνιών Β και Γ. Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε ένα γεωμετρικό σχήμα και κάποιους αριθμητικούς υπολογισμούς. Επιλέγοντας πέντε περιπτώσεις τριγώνων και εκτελώντας τους σχετικούς υπολογισμούς, μπορείτε να καταλήξετε σε κάποιο συμπέρασμα; Αν αντί για τις διχοτόμους των γωνιών Β και Γ, είχαμε αυτές των γωνιών Α και Γ, θα άλλαζε κάτι στο τελικό σας συμπέρασμα; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 6η. Να κατασκευάσετε έναν κατάλογο με τέσσερις στήλες. Στις τρεις πρώτες στήλες θα γραφούν οι γωνίες ενός ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ = 43
- 139. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΓ. Στην τέταρτη στήλη θα γραφεί το άνοιγμα της γωνίας ΒΟΓ, όπου Ο το σημείο τομής των υψών ΒΔ και ΓΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Έχει η γωνία αυτή κάποια σχέση με τη γωνία Α του ΑΒΓ; Για να γίνει αυτό πρέπει να κάνετε ένα γεωμετρικό σχήμα και κάποιους αριθμητικούς υπολογισμούς. Μετά από πέντε διαφορετικούς υπολογισμούς, μπορείτε να καταλήξετε σε κάποιο συμπέρασμα; Αν το τρίγωνο ΑΒΓ έχει τη γωνία Α ορθή ή αμβλεία, θα άλλαζε κάτι στο τελικό σας συμπέρασμα; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 7η. Χρησιμοποιώντας μόνο έναν διαβήτη και έναν κανόνα, δηλαδή έναν χάρακα που δεν έχει πάνω του χαραγμένες αποστάσεις, να σχεδιάσετε: α) ένα τρίγωνο ισοσκελές, β) ένα τρίγωνο ισόπλευρο. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 8η. Να κατασκευάσετε έναν κατάλογο με τέσσερις στήλες. Στις τρεις πρώτες στήλες να γράψετε τις γωνίες ενός οξυγώνιου τριγώνου ΑΒΓ. Στην 4η στήλη να γράψετε τη γωνία που σχηματίζει η διχοτόμος ΑΔ με το ύψος ΑΕ του τριγώνου ΑΒΓ. Εννοείται ότι η τέταρτη στήλη θα συμπληρωθεί μετά από υπολογισμούς σε τρίγωνα που υποτίθεται ότι γνωρίζουμε τις γωνίες τους. Αυτή η διαδικασία να γίνει για τέσσερα διαφορετικά τρίγωνα. Έχει κάποια σχέση η γωνία ΔΑΕ με τις γωνίες Β και Γ του αρχικού τριγώνου; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 9η. Θυμηθείτε την ιδιότητα των παραλλήλων ευθειών να σχηματίζουν ίσες γωνίες και το άθροισμα των γωνιών τριγώνου για να υπολογίσετε όλες τις γωνίες στο παρακάτω σχήμα, με δεδομένο ότι οι οριζόντιες ευθείες είναι μεταξύ τους παράλληλες. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 10η. Στο παρακάτω σχήμα οι οριζόντιες ευθείες είναι παράλληλες. Σε πόσες από τις γωνίες του σχήματος μπορούμε να βάλουμε δικά μας δεδομένα π.χ. 45ο, ώστε να μην έχουμε παράξενα αποτελέσματα, για παράδειγμα, οι γωνίες γύρω από ένα σημείο να έχουν άθροισμα 340ο, αφού γνωρίζουμε ότι το σωστό είναι 360ο ή το άθροισμα των γωνιών σε κάποιο από τα δύο τρίγωνα να είναι 190ο. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 11η. Στο παρακάτω σχήμα οι οριζόντιες ευθείες είναι παράλληλες και το μικρό τρίγωνο με κορυφή του Ο είναι ισοσκελές. Να εξηγήσετε α) 44
- 140. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 γιατί το μεγαλύτερο τρίγωνο με κορυφή το Ο είναι κι αυτό ισοσκελές, β) γιατί το τετράπλευρο στο σχήμα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Υπόδειξη: Ως πρώτο βήμα να υποθέσετε ότι ξέρετε τη γωνία Ο π.χ. είναι 40ο και μετά να κάνετε να τους απαραίτητους υπολογισμούς για να πετύχετε το σκοπό σας. Ο 4. Ο κύκλος και οι ιδιότητές του ΟΡΙΣΜΟΣ: Κύκλος λέγεται εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που τα σημεία του είναι όλα σε ένα επίπεδο και μόνον αυτά απέχουν σταθερή απόσταση από ένα συγκεκριμένο σημείο. Παρατηρείστε, ότι ο παραπάνω ορισμός του κύκλου είναι λίγο διαφορετικός από αυτόν που υπάρχει σε μερικά βιβλία. Η ακριβολογία είναι ένα τρόπος να μιλάνε δύο ή περισσότεροι άνθρωποι για κάποιο θέμα, ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος να καταλαβαίνει ο καθένας διαφορετικά πράγματα. Για παράδειγμα, αν έλλειπε η φράση «τα σημεία του είναι όλα σε ένα επίπεδο», τότε κάποιος μπορούσε να πει ότι μία μπάλα (σφαίρα) είναι ένας κύκλος, αφού όλα τα σημεία της απέχουν το ίδιο από το κέντρο της. Εμείς δεν το θέλουμε αυτό, έχουμε διαφορετικό ορισμό για τη σφαίρα, η οποία δεν είναι επίπεδο σχήμα, αλλά στερεό. Επίσης, αν έλλειπε η φράση «τα σημεία του … και μόνον αυτά», τότε και ένα κομμάτι κύκλου δηλ. ένα τόξο θα ήταν ο κύκλος. Επίσης, αν έλλειπε αυτή η φράση, τότε 30 σημεία τοποθετημένα «κυκλικά» θα ήταν ένας κύκλος, αφού οι υπόλοιπες προϋποθέσεις ικανοποιούνται, είναι σημεία στο ίδιο επίπεδο και απέχουν την ίδια απόσταση από ένα συγκεκριμένο σημείο. Παρατηρούμε ότι για είναι πλήρως καθορισμένος ένας κύκλος χρειάζεται να ξέρουμε το συγκεκριμένο σημείο από το οποίο ισαπέχουν τα σημεία του κύκλου και τη σταθερή απόσταση. Το συγκεκριμένο σημείο ονομάζεται κέντρο του κύκλου και η σταθερή απόσταση ονομάζεται ακτίνα του κύκλου. Αυτός ο ορισμός της ακτίνας είναι αριθμητικός, δηλαδή είναι ένας αριθμός. Ένας άλλος ορισμός της ακτίνας είναι ο εξής: «ακτίνα είναι το ευθύγραμμο τμήμα που το ένα του άκρο είναι το κέντρο του κύκλου και το άλλο της άκρο ένα σημείο του κύκλου». Επειδή ο κύκλος έχει άπειρα σημεία, έχει και άπειρες ακτίνες. Αυτές είναι ευθύγραμμα τμήμα με ίσο μήκος. Συμβολισμός: Όταν γράφουμε (Α, 5) ή (Ο, ρ), σημαίνει κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα μήκους 5μ και αντίστοιχα κύκλος με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ. Ο κύκλος είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που τα σημεία του ισαπέχουν όλα από το κέντρο του, δεν πρέπει να το μπερδεύουμε με το σχήμα που τα σημεία του βρίσκονται 45
- 141. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ μέσα στον κύκλο, το σχήμα αυτό λέγεται κυκλικός δίσκος και έχει πολύ περισσότερα σημεία από τον αντίστοιχο κύκλο. Στον κυκλικό δίσκο περιέχεται και ο κύκλος. κύκλος κυκλικός δίσκος Χορδή κύκλου ονομάζουμε κάθε ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου. Προφανώς, ένας κύκλος έχει άπειρες χορδές, το μήκος τους όμως δεν είναι σταθερό, καθορίζεται από τη θέση των άκρων τους. Μία χορδή που περνάει από το κέντρο ενός κύκλου έχει ειδικό όνομα, λέγεται διάμετρος του κύκλου. Οι διάμετροι ενός κύκλου είναι άπειρες, αλλά όλες έχουν το ίδιο μήκος. Το μήκος τους είναι ίσο με το διπλάσιο της ακτίνας του συγκεκριμένου κύκλου. Τόξο ενός κύκλου είναι ένα κομμάτι του κύκλου που καθορίζεται από δύο σημεία του. Παρατηρούμε ότι δύο σημεία ενός κύκλου ορίζουν δύο τόξα, ένα μικρότερο που το λέμε έλασσον τόξο και ένα μεγαλύτερο που το λέμε μείζον τόξο. Αν τα σημεία που ορίζουν ένα τόξο είναι σημεία μιας διαμέτρου, τότε δεν έχουμε δύο τόξα άνισα, άλλα ίσα που τα λέμε ημικύκλια. έλασσον ημικύκλιο τόξο μείζον τόξο Α Β Α Β Σύγκριση δύο τόξων. Επειδή τα τόξα ενός κύκλου είναι καμπύλα και όχι ευθύγραμμα, δεν μπορούμε να τα συγκρίνουμε με διαβήτη ή με χάρακα. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε δύο άλλους τρόπους. 1ος τρόπος σύγκρισης τόξων. Για να συγκρίνουμε δύο ελάσσονα τόξα ενός κύκλου συγκρίνουμε τις αντίστοιχες χορδές τους. Στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η μεγαλύτερη χορδή. Επίσης, σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες χορδές. 2ος τρόπος σύγκρισης τόξων. Για να συγκρίνουμε δύο ελάσσονα τόξα ενός κύκλου συγκρίνουμε τις αντίστοιχες γωνίες που έχουν κορυφή το κέντρο του κύκλου και οι πλευρές τους περνάνε από τα άκρα των τόξων. Οι γωνίες αυτές λέγονται επίκεντρες. Στο μεγαλύτερο τόξο αντιστοιχεί η μεγαλύτερη επίκεντρη γωνία. Επίσης, σε ίσα τόξα αντιστοιχούν ίσες επίκεντρες γωνίες. 46
- 142. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 Επειδή καθορίζουμε το μέγεθος ενός τόξου από το άνοιγμα της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας, για το λόγο αυτό μερικές φορές λέμε π.χ. τόξο 45ο και εννοούμε τόξο στο οποίο αντιστοιχεί επίκεντρη γωνία 45ο. Χρήσιμες παρατηρήσεις: Κάθε χορδή κύκλου ορίζει σε αυτόν δύο τόξα, αν δεν είναι διάμετρος, τότε έχουμε έλασσον και μείζον τόξο. Η διάμετρος κύκλου ορίζει σε αυτόν δύο ημικύκλια. Αν σε μία χορδή κύκλου φέρουμε τις ακτίνες στα άκρα της, τότε έχουμε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Αυτό σημαίνει ότι αν ενώσουμε το κέντρο του κύκλου με το μέσο της χορδής, το τμήμα αυτό είναι κάθετο στη χορδή και ονομάζεται απόστημα της χορδής. Την ιδιότητα αυτή την έχουμε αναφέρει στα ισοσκελή τρίγωνα, το ύψος, η διάμεσος, η διχοτόμος και η μεσοκάθετος προς τη βάση ισοσκελούς τριγώνου συμπίπτουν. Επιπλέον, αν προεκτείνουμε την ΟΜ στο παρακάτω σχήμα, τότε αυτή θα περάσει από το μέσο του ελάσσονος τόξου ΑΒ. ΚΑΝΟΝΑΣ 1: Το απόστημα μιας χορδής κύκλου είναι κάθετο στη χορδή, περνάει από το μέσο της χορδής και η προέκταση του και προς τις δύο κατευθύνσεις, διέρχεται από το μέσο του ελάσσονος και του μείζονος τόξου, αντίστοιχα. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία ευθεία θα λέγεται εφαπτομένη σε έναν κύκλο, όταν έχει μόνο ένα κοινό σημείο με αυτόν. Το κοινό σημείο της εφαπτομένης ευθείας και του κύκλου ονομάζεται σημείο επαφής. εφαπτομένη ευθεία ενός κύκλου ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία ευθεία θα λέγεται τέμνουσα ενός κύκλου, όταν έχει μόνο δύο κοινά σημεία με αυτόν. Τα κοινά σημεία της τέμνουσας και του κύκλου ονομάζονται σημεία τομής. τέμνουσα ευθεία ενός κύκλου 47
- 143. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΝΟΝΑΣ 2: Μία εφαπτομένη ευθεία είναι κάθετη στην ακτίνα του κύκλου που έχει άκρο το σημείο επαφής τους. ΚΑΝΟΝΑΣ 3: Από ένα σημείο Α που βρίσκεται έξω από έναν κύκλο διέρχονται δύο εφαπτόμενες ευθείες. Οι αποστάσεις από το σημείο Α έως τα σημεία επαφής των εφαπτόμενων ευθειών είναι ίσες. Α ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 12η. Σχεδιάστε δύο κύκλους που έχουν δύο κοινά σημεία. Πόσες εφαπτόμενες ευθείες είναι κοινές (οι ίδιες) και στους δύο κύκλους. Αν οι δύο κύκλοι έχουν ίσες ακτίνες, τι σχέση έχουν οι κοινές τους εφαπτόμενες ευθείες; Τι σχέση έχουν τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν άκρα τα σημεία επαφής; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 13η. Σχεδιάστε δύο κύκλους που δεν έχουν κοινά σημεία και το κέντρο του ενός δεν είναι μέσα στον άλλο κύκλο. Πόσες εφαπτόμενες ευθείες είναι κοινές (οι ίδιες) και στους δύο κύκλους. Αν οι δύο κύκλοι έχουν ένα κοινό σημείο, τότε αλλάζει ο αριθμός των κοινών τους εφαπτόμενων ευθειών; Ποια είναι η διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι δύο εφαπτόμενες ευθείες που περιέχει τα σημεία επαφής; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 14η. Από ένα σημείο Α που βρίσκεται έξω από έναν κύκλο να χαράξετε τις δύο εφαπτόμενες ευθείες που εφάπτονται στα σημεία Β και Γ του κύκλου αντίστοιχα. Να βρείτε τη σχέση της γωνίας ΒΑΓ και του ελάσσονος τόξου ΒΓ, ή ποιο σωστά τη σχέση της γωνίας ΒΑΓ και της επίκεντρης γωνίας που αντιστοιχεί στο έλασσον τόξο ΒΓ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 15η. Έχουμε έναν δεδομένο κύκλο. Πώς θα βρείτε ένα σημείο Α εκτός του κύκλου, από το οποίο οι δύο εφαπτόμενες ευθείες να είναι κάθετες μεταξύ τους; Γνωρίζετε να χαράσσετε παράλληλες και κάθετες ευθείες και ίσα ευθύγραμμα τμήματα με τον διαβήτη. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 16η. Δύο κύκλοι τέμνονται στα σημεία Α και Β. Οι δύο κύκλοι ως ενιαίο σχήμα έχουν άξονα συμμετρίας; Σε ποια περίπτωση θα είχε δύο άξονες συμμετρίας; Μπορείτε να περιγράψετε τη μεσοκάθετο ευθεία του τμήματος ΑΒ; 48
- 144. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 17η. Να χρησιμοποιήσετε μόνο τον διαβήτη και τον κανόνα για να κατασκευάσετε α) ένα ισοσκελές τρίγωνο, β) ένα ισόπλευρο τρίγωνο, γ) ένα τρίγωνο που οι πλευρές του να έχουν μήκος 3δ , 4δ και 5δ, όπου δ ένα δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα. Για ποιο λόγο, δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε τρίγωνο που οι πλευρές του να έχουν μήκος 3δ , 4δ και 7δ, όπου δ ένα δεδομένο ευθύγραμμο τμήμα; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 18η. Γνωρίζουμε ότι ένα δεδομένο τμήμα ΑΒ είναι η χορδή ενός κύκλου και ότι το απόστημα της χορδής έχει μήκος διπλάσιο από αυτό του ΑΒ. Μπορείτε να χαράξετε τον κύκλο, μόνο με διαβήτη και κανόνα; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 19η. Από έναν κύκλο έχει σβηστεί το κέντρο του. Να το εντοπίσετε, χρησιμοποιώντας μόνο διαβήτη και κανόνα κάνοντας τους κατάλληλους χειρισμούς. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός χειρισμών που κάνατε για να πετύχετε το σκοπό σας; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 20η. Στο σημείο Α ενός κύκλου (Ο, α) φέρουμε την εφαπτομένη του. Πάνω στην εφαπτομένη να πάρετε ένα σημείο Β, ώστε ΑΒ = α. Η ευθεία ΒΟ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Γ και Δ αντίστοιχα. Να βρείτε τη σχέση μεταξύ των τόξων ΓΔ, ΓΑ και ΑΔ. Αν παίρναμε το σημείο Β σε τέτοια θέση ώστε ΑΒ = 3α, για ποιον λόγο δεν μπορούμε να βρούμε κάποια σχέση μεταξύ των γωνιών του σχήματος, άρα και μεταξύ των τόξων του; 5. Τα παραλληλόγραμμα και οι ιδιότητές τους ΟΡΙΣΜΟΣ: Παραλληλόγραμμο είναι κάθε τετράπλευρο που οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες. ΚΑΝΟΝΑΣ 1: Στα παραλληλόγραμμα οι απέναντι γωνίες είναι ίσες. ΚΑΝΟΝΑΣ 2: Στα παραλληλόγραμμα οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. ΚΑΝΟΝΑΣ 3: Στα παραλληλόγραμμα οι διαγώνιες τέμνονται σε ένα σημείο που είναι το μέσο της κάθε μιας από αυτές. ΚΑΝΟΝΑΣ 4: Κάθε τετράπλευρο με τις απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες είναι παραλληλόγραμμο. ΚΑΝΟΝΑΣ 5: Κάθε τετράπλευρο με τις απέναντι πλευρές ανά δύο ίσες είναι παραλληλόγραμμο. ΚΑΝΟΝΑΣ 6: Κάθε τετράπλευρο με ένα ζεύγος πλευρών ίσες και ταυτόχρονα παράλληλες είναι παραλληλόγραμμο. ΚΑΝΟΝΑΣ 7: Κάθε τετράπλευρο που οι διαγώνιές του έχουν το ίδιο μέσο, είναι παραλληλόγραμμο. ΚΑΝΟΝΑΣ 8: Κάθε τετράπλευρο με κέντρο συμμετρίας είναι παραλληλόγραμμο. Δεν είναι απαραίτητο σε ένα παραλληλόγραμμο όλες οι γωνίες του να είναι ίσες. Αν όμως αυτό συμβαίνει, τότε η κάθε μία θα είναι 90ο, επειδή ξέρουμε ότι το άθροισμα 49
- 145. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ των γωνιών σε κάθε τετράπλευρο είναι 360ο. Ένα παραλληλόγραμμο με κάθε γωνία 90ο λέγεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο. Δεν είναι απαραίτητο σε ένα παραλληλόγραμμο όλες οι πλευρές του να είναι ίσες, το σίγουρο είναι ότι οι απέναντι πλευρές είναι ίσες. Αν όμως συμβαίνει όλες οι πλευρές του να είναι ίσες, τότε αυτό λέγεται ρόμβος. Αν έχουμε έναν ρόμβο που έχει τις γωνίες από 90ο, τότε το σχήμα αυτό το ονομάζουμε τετράγωνο. παραλληλόγραμμο ορθογώνιο ρόμβος τετράγωνο ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 21η: Συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και σε κάθε κουτάκι να βάλετε ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙ. Για κάθε απάντηση να έχετε και μία αιτιολόγηση. Να συγκρίνετε τις απαντήσεις με αυτές άλλων συμμαθητών σας. Αν υπάρχουν διαφορετικές απαντήσεις, προσπαθήστε να τους πείσετε ότι έχετε δίκαιο και να ακούσετε τα δικά τους επιχειρήματα. Είδος Σχήματος Ίσες πλευρές όλες Ίσες πλευρές ανά δύο Ίσες γωνίες όλες Ίσες γωνίες ανά δύο Ίσες διαγώνιες Διαγώνιες τέμνονται στη μέση Άξονας συμμετρίας Κέντρο συμμετρίας 50
- 146. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 22η: Το επόμενο σχήμα αποτελείται από 8 μικρά παραλληλόγραμμα. Όμως, στο σχήμα αυτό υπάρχουν και άλλα παραλληλόγραμμα. Να βρείτε πόσα είναι αυτά. Αν είχαμε 12 μικρά παραλληλόγραμμα τοποθετημένα πάλι σε δύο σειρές, πόσα άλλα παραλληλόγραμμα είναι κρυμμένα στο σχήμα; Υπάρχει τρόπος να βρίσκουμε το πλήθος των κρυμμένων παραλληλογράμμων, όταν γνωρίζουμε πόσα είναι τα αρχικά – φανερά – παραλληλόγραμμα; 6. Τα τραπέζια και οι ιδιότητές τους ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο, όταν έχει μόνο ένα ζεύγος απέναντι πλευρών παράλληλες. Αυτές οι παράλληλες πλευρές λέγονται βάσεις του τραπεζίου. Ένα τραπέζιο μπορεί να έχει ένα ζεύγος πλευρών ίσες. Το τραπέζιο αυτό λέγεται ισοσκελές τραπέζιο. Προφανώς, οι βάσεις ενός τραπεζίου δεν μπορεί να είναι ίσες, επειδή αυτό θα ήταν παραλληλόγραμμο και όχι τραπέζιο. τραπέζιο ισοσκελές τραπέζιο ΟΡΙΣΜΟΣ: Ύψος ενός τραπεζίου, ονομάζουμε την απόσταση μεταξύ των βάσεών του. Συνήθως, τα ύψη τραπεζίου τα σχεδιάζουμε ώστε το ένα τους άκρο να είναι μία από τις τέσσερις κορυφές του τραπεζίου. Όμως, μπορούμε για ύψος να πάρουμε ένα οποιοδήποτε τμήμα με άκρα πάνω στις βάσεις, αρκεί να είναι κάθετο σε αυτές. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 23η: Δίνονται 4 τραπέζια όπως το παρακάτω. Να τα τοποθετήσετε με τέτοιον τρόπο, ώστε να σχηματιστεί ένα παραλληλόγραμμο. 51
- 147. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 24η: Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και σε κάθε κουτάκι να βάλετε ένα ΝΑΙ ή ένα ΟΧΙ. Το πρώτο σχήμα είναι τυχαίο τραπέζιο και το δεύτερο σχήμα είναι ισοσκελές τραπέζιο. Για κάθε απάντηση να έχετε και μία αιτιολόγηση. Να συγκρίνετε τις απαντήσεις με αυτές άλλων συμμαθητών σας. Αν υπάρχουν διαφορετικές απαντήσεις, προσπαθήστε να τους πείσετε ότι έχετε δίκαιο και να ακούσετε τα δικά τους επιχειρήματα. Είδος Σχήματος Ίσες πλευρές όλες Δύο πλευρές ίσες Ίσες γωνίες όλες Ίσες γωνίες ανά δύο Ίσες διαγώνιες Διαγώνιες τέμνονται στη μέση Άξονας συμμετρίας Κέντρο συμμετρίας ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 25η: Να χαράξετε τις μεσοκαθέτους όλων των πλευρών ενός ισοσκελούς τραπεζίου. Αν αυτές χαραχθούν σωστά, θα διαπιστώσετε ότι όλες περνάνε από το ίδιο σημείο. Το δεδομένο αυτό μας δείχνει ότι υπάρχει κάποιος κύκλος που περνάει από όλες τις κορυφές του ισοσκελούς τραπεζίου, ή χρειαζόμαστε και άλλες πληροφορίες για να βγάλουμε σίγουρο συμπέρασμα; ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 26η: Στο επόμενο σχήμα το ΑΔ είναι ύψος του τριγώνου ΑΒΓ. Τα σημεία Ν, Μ και Λ είναι τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα. α) να βρείτε πόσα ορθογώνια τρίγωνα υπάρχουν στο σχήμα, β) πόσα ισοσκελή τρίγωνα, γ) πόσα παραλληλόγραμμα, δ) πόσα τραπέζια, ε) πόσα τρίγωνα κάθε είδους, στ) πόσα τετράπλευρα κάθε είδους. Α Ν Λ Β Γ Δ Μ 52
- 148. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 ΕΠΙΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΘΑΛΗΣ ΓΙΑ Β΄ ΚΑΙ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 1998 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 1999 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2000 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 53
- 149. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2001 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2003 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2005 Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2006 54
- 150. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ-2014 ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2006 ΓΙΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ ΤΟΥ 2007 ΓΙΑ Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4ο ΘΕΜΑ ΘΑΛΗ Β Γυμνασίου 2007-2008 55
- 151. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ Ε.Μ.Ε. ΛΕΠΤΟΚΑΡΥΑ ΠΙΕΡΙΑΣ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ανδρέας Πούλος Πειραματικό Σχολείο Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης andremat@otenet.gr ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Οι σημειώσεις αυτές παρότι απευθύνονται στους μαθητές της Α΄ τάξης του Γυμνασίου, αφού η έννοια της συμμετρίας υπάρχει στο σχολικό τους βιβλίο, είναι χρήσιμες και για τους μαθητές της Β΄ και Γ΄ τάξης του Γυμνασίου ίσως και της Α΄ Λυκείου, επειδή περιέχουν ιδέες για πώς να απαντάμε σε ερωτήματα που αφορούν την έννοια της συμμετρίας ή πώς να επιλύουμε προβλήματα που αξιοποιούν τη συμμετρία. Η έννοια της συμμετρίας ενός σχήματος (ως προς άξονα και ως προς κέντρο), είναι υποτιμημένη στο Αναλυτικό Πρόγραμμα και κατά τη διδασκαλία στη σχολική τάξη και αυτό φαίνεται από τις ώρες που δίνονται για αυτήν. Όμως, αν αξιοποιηθεί κατάλληλα, παρέχει πρωτότυπες και απλές λύσεις σε πολλά γεωμετρικά προβλήματα, ενώ παράλληλα είναι απαραίτητη για την κατανόηση και άλλων γεωμετρικών εννοιών. Εξάλλου έχει παρατηρηθεί, ότι σε προβλήματα μαθηματικών διαγωνισμών, ορισμένα θέματα συμμετρίας φαίνονται δύσκολα, επειδή ακριβώς δεν την έχουμε κατανοήσει σωστά. 56
- 152. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Δίνουμε δύο παραδείγματα. 1) Έχουμε τέσσερις ίσους κύκλους που εφάπτονται μεταξύ τους και τα κέντρα τους είναι κορυφές ενός τετραγώνου (που δεν φαίνεται στο σχήμα). Ένας πέμπτος κύκλος με κέντρο Ρ εφάπτεται σε έναν από τους τέσσερις κύκλους, όπως δείχνει το σχήμα. Το πρόβλημα είναι, πώς να χαράξουμε μία ευθεία που να διέρχεται από το Ρ και να χωρίζει το σχήμα που ορίζουν οι πέντε κύκλοι σε δύο περιοχές με ίσα εμβαδά. Παίζει ρόλο στην απάντηση, η θέση του κύκλου που έχει κέντρο το Ρ; Αλλάζει κάτι στην απάντηση αν η ακτίνα του κύκλου αυτού μεταβάλλεται; 2) Έστω ΑΒΓ ένα σκαληνό τρίγωνο. Πόσα σημεία Δ υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου ΑΒΓ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να έχει άξονα συμμετρίας; (Διαγωνισμός «Ευκλείδης», 2005-2006 για Α’ Λυκείου). Βασικές έννοιες είναι ο άξονας συμμετρίας ενός σχήματος και το κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος. Πριν από αυτές όμως πρέπει να ξέρουμε τι ονομάζουμε: α) συμμετρικό ενός σημείου ως προς μία ευθεία, β) συμμετρικό ενός σημείου ως προς ένα άλλο σημείο. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΑΞΟΝΑ ή ΑΞΟΝΙΚΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΣ: Συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς μία ευθεία ε ονομάζουμε ένα άλλο σημείο Β, όταν η ευθεία ε περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και είναι κάθετη σε αυτό. Α ε Β Αυτό σημαίνει ότι όσο απέχει το σημείο Α από την ευθεία ε, τόσο απέχει και το Β από αυτήν. Επίσης, αν το σημείο Α είναι πάνω στην ευθεία ε, τότε το συμμετρικό του σημείο ως προς την ε, είναι ο εαυτός του. Κάθε σημείο Α έχει ένα μοναδικό συμμετρικό σημείο ως μία ευθεία. Για άλλη ευθεία, το συμμετρικό του Α είναι διαφορετικό. 57
- 153. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ: Συμμετρικό ενός σχήματος Σ ως προς μία ευθεία ε, ονομάζουμε ένα άλλο σχήμα Σ΄, που αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του σχήματος Σ ως προς την ευθεία ε. Αυτό σημαίνει ότι όσα σημεία έχει ένα σχήμα, τόσα σημεία έχει και το συμμετρικό του ως προς μία ευθεία. Δηλαδή, ένα σχήμα και το συμμετρικό του ως προς μία ευθεία είναι το ένα «αντανάκλαση» του άλλου, όπως φαίνεται και στις επόμενες εικόνες. Μπορούμε να εξηγήσουμε γιατί ένα σχήμα και το συμμετρικό του ως προς μία ευθεία ε είναι πάντοτε ίσα. Η εξήγηση (απόδειξη) βασίζεται στην έννοια των ίσων τριγώνων. Αν τώρα τα δύο συμμετρικά σχήματα Σ και Σ΄ ως προς μία ευθεία ε, τα δούμε σαν ένα ενιαίο σχήμα, τότε έχουμε μία καινούργια και χρήσιμη έννοια, αυτή του άξονα συμμετρίας. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία ευθεία ε ονομάζεται άξονας συμμετρίας ενός σχήματος, αν κάθε σημείο του σχήματος έχει ως συμμετρικό του, ένα άλλο σημείο του ίδιου σχήματος. Ένα σχήμα με άξονα συμμετρίας μία ευθεία ε, χωρίζεται από αυτήν σε δύο ίσα σχήματα. Σχήμα 1ο Σχήμα 2ο Σχήμα 3ο Στο σχήμα 1ο η κατακόρυφη ευθεία είναι άξονας συμμετρίας του, όπως και στο σχήμα 3ο, αν το θεωρήσουμε σαν ενιαίο σχήμα (δύο πρόσωπα κολλημένα). Το σχήμα 2ο δεν έχει άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία για πολλούς λόγους, π.χ. δεν έχουμε δύο μάτια προς τα αριστερά της ευθείας. 58
- 154. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Το παραπάνω σχήμα που περιέχει τα σημεία A, B, C, D είναι συμμετρικό του σχήματος που περιέχει τα σημεία A΄, B΄, C΄, D΄ και αντίστροφα. Βέβαια, έχουμε παραλείψει κάτι, που ίσως φαίνεται αυτονόητο. Συμμετρικά ως προς ποια ευθεία; Εννοείται ως προς τη διακεκομμένη ευθεία που περνάει ανάμεσα στα δύο σχήματα. Το επόμενο σχήμα, παρ’ ότι είναι πολύπλοκο, έχει άξονα συμμετρίας, επειδή σε κάθε σημείο του σχήματος αντιστοιχεί ένα άλλο σημείο του σχήματος που είναι μεταξύ τους συμμετρικά ως προς την ευθεία m. Δεν είναι όμως τα πράγματα πάντα, τόσο αυτονόητα. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο, όπως αυτά παρακάτω, έχουν άξονα συμμετρίας και ποιος είναι αυτός; Αν είμαστε προσεκτικοί, θα ανακαλύψουμε ότι το ορθογώνιο έχει ακριβώς 2 άξονες συμμετρίας και το τετράγωνο έχει ακριβώς 4 άξονες συμμετρίας. 59
- 155. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Το επόμενο σχήμα παριστάνει τα συμμετρικά των δέκα ψηφίων ως προς μία οριζόντια ευθεία. Μόνο το μηδέν έχει συμμετρικό που το αναγνωρίζουμε αμέσως, όλα τα άλλα ψηφία (ακόμα και το 8 έχει λίγο διαφορετικό συμμετρικό) λόγω της αντανάκλασης δεν τα αντιλαμβανόμαστε αμέσως. Παρ’ όλα αυτά τα συμμετρικά τους ψηφία είναι ίσα με τα αρχικά. Αυτό σημαίνει, ότι κάποιες φορές η συμμετρία μπορεί να μας μπερδέψει με την παράλληλη μετακίνηση ενός σχήματος, το οποίο δεν είναι απαραίτητο να είναι και το συμμετρικό του. Για παράδειγμα, η πρώτη αγκύλη είναι συμμετρική μόνο με την τρίτη, ενώ με τη δεύτερη είναι απλώς ίσες, αφού έχουμε μία παράλληλη μετακίνηση του σχήματος. Στη συνέχεια δίνουμε κάποιους κανόνες, οι οποίοι βέβαια μπορεί να αποδειχθούν με την ισότητα τριγώνων, που αφορούν τα συμμετρικά διάφορων σχημάτων και τους άξονες συμμετρίας τους. • Το σκαληνό τρίγωνο δεν έχει άξονα συμμετρίας. • Το ισοσκελές τρίγωνο έχει έναν άξονα συμμετρίας, την ευθεία που περνάει από το μέσο της βάσης του και την απέναντι κορυφή από τη βάση του. • Ένα τρίγωνο που έχει άξονα συμμετρίας είναι σίγουρα ισοσκελές. • Το ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας, τις ευθείες που περνάνε από τα μέσα των βάσεών του και τις απέναντι από αυτές κορυφές του. • Ένα τρίγωνο με τρεις άξονες συμμετρίας είναι σίγουρα ισόπλευρο. • Αν ένα τρίγωνο έχει δύο άξονες συμμετρίας, τότε θα έχει και τρίτον. Άρα θα είναι ισόπλευρο. • Ο κύκλος είναι ένα σχήμα που έχει άπειρους άξονες συμμετρίας. Αυτοί είναι κάθε ευθεία που περνάει από το κέντρο του. • Κάθε τόξο κύκλου, ως αυτοτελές σχήμα έχει έναν άξονα συμμετρίας. • Από τα τραπέζια, μόνο το ισοσκελές τραπέζιο έχει άξονα συμμετρίας. • Από τα παραλληλόγραμμα, μόνο το ορθογώνιο με άνισες πλευρές, το τετράγωνο και ο ρόμβος έχουν άξονες συμμετρίας. 60
- 156. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Έχει παρατηρηθεί ότι αν δεν δίνουμε έτοιμους κανόνες – συνταγές και κάνουμε ερωτήσεις, ώστε να βρίσκει ο καθένας μόνος του κανόνες και τα συμπεράσματα, τότε μαθαίνει καλύτερα, με την έννοια ότι, θυμάται αυτά που έχει βρει ο ίδιος. Εξάλλου, αν κάνουμε κάπου λάθος, θα το ανακαλύψουμε από τη συζήτηση στην τάξη ή από τη δική μας πιο προσεκτική έρευνα. Ξεκινάμε λοιπόν τις ερωτήσεις. Ερώτηση 1η: Α) Βρείτε πια κεφαλαία και ποια μικρά γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου έχουν άξονες συμμετρίας και πόσους. Α) Βρείτε πια κεφαλαία γράμματα του αγγλικού αλφαβήτου έχουν άξονες συμμετρίας και πόσους. Α) Βρείτε πια κεφαλαία γράμματα του ρωσικού, του αραβικού ή του εβραϊκού αλφαβήτου έχουν άξονες συμμετρίας και πόσους. (Υπόδειξη, τα γράμματα αυτά θα τα βρείτε στον κατάλογο των συμβόλων του προγράμματος WORD στον υπολογιστή σας). Ερώτηση 2η: Υπάρχουν έντομα, όπως η πεταλούδα, που η επίπεδη απεικόνιση τους έχει άξονα συμμετρίας. Το ερώτημα είναι το εξής: Κάθε έντομο έχει άξονα συμμετρίας; Μήπως υπάρχουν έντομα με περισσότερους άξονες συμμετρίας και κάποια που δεν έχουν άξονα συμμετρίας; Αν ναι, ποια είναι αυτά; Ερώτηση 3η: Αν ένα σχήμα, διαθέτει έναν άξονα συμμετρίας, τότε αυτός χωρίζει πάντα το σχήμα σε δύο ίσα σχήματα; Υπόδειξη: Η πρόταση αυτή είναι θεώρημα. Μία απλοποιημένη απόδειξή του είναι η εξής: Κάθε σημείο του σχήματος, σύμφωνα με τον ορισμό του άξονα συμμετρίας, έχει το συμμετρικό του σημείο πάνω στο σχήμα. Αυτό σημαίνει ότι το «μισό σχήμα» αντανακλάται ως προς τον άξονα αυτόν πάνω στο «άλλο μισό σχήμα», δηλαδή ο άξονας συμμετρίας χωρίζει το σχήμα σε δύο ίσα σχήματα. Στην περίπτωση των ευθύγραμμων σχημάτων, η απόδειξη είναι απλή και βασίζεται στην ισότητα τριγώνων. Ερώτηση 4η: Αν μία ευθεία χωρίζει ένα σχήμα σε δύο ίσα σχήματα, τότε αυτή αποτελεί άξονα συμμετρίας του σχήματος; 61
- 157. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Υπόδειξη: Η πρόταση αυτή δεν είναι θεώρημα, επειδή έχει αντιπαραδείγματα. Έτσι, ένα ορθογώνιο ή πλάγιο παραλληλόγραμμο όπως αυτά που φαίνονται στα παραπάνω σχήματα δεν έχουν άξονα συμμετρίας τον φορέα μιας διαγωνίου τους, παρότι η ευθεία αυτή χωρίζει το κάθε σχήμα σε δύο ίσα σχήματα. Στη συνέχεια παρουσιάζουμε την έννοια της συμμετρίας ως προς σημείο και αυτήν του κέντρου συμμετρίας ενός σχήματος, για να έχουμε περισσότερα και πιο ενδιαφέροντα θέματα να συζητήσουμε. ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ και ΚΕΝΤΡΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς ένα σημείο Ο, ονομάζουμε ένα άλλο σημείο Β, όταν το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ είναι το Ο. Αυτό σημαίνει ότι όσο απέχει το σημείο Α από το Ο, τόσο απέχει και το Β από αυτό. Επίσης, αν το σημείο Α συμπίπτει με το Ο, τότε το συμμετρικό του σημείο είναι ο εαυτός του. Κάθε σημείο Α έχει ένα μοναδικό συμμετρικό σημείο ως ένα συγκεκριμένο σημείο. Για άλλο σημείο, το συμμετρικό του Α είναι διαφορετικό. ΟΡΙΣΜΟΣ: Συμμετρικό ενός σχήματος Σ ως προς ένα σημείο Ο, ονομάζουμε ένα άλλο σχήμα Σ΄, που αποτελείται από τα συμμετρικά σημεία του σχήματος Σ ως προς το σημείο Ο. Αυτό σημαίνει ότι, όσα σημεία έχει ένα σχήμα, τόσα σημεία έχει και το συμμετρικό του σχήμα ως προς ένα σημείο Ο. Ένα σχήμα και το συμμετρικό του ως προς ένα σημείο Ο είναι μία «περιστροφή» του κατά 180ο, όπως φαίνεται και στις επόμενες εικόνες. 62
- 158. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Μπορούμε να εξηγήσουμε, γιατί ένα σχήμα και το συμμετρικό του ως προς ένα σημείο Ο είναι πάντοτε ίσα. Η εξήγηση (απόδειξη) βασίζεται στην έννοια των ίσων τριγώνων. Αν τώρα, δύο συμμετρικά σχήματα Σ και Σ΄ ως προς ένα σημείο Ο, τα δούμε σαν ένα ενιαίο σχήμα, τότε έχουμε μία καινούργια και χρήσιμη έννοια αυτήν του κέντρου συμμετρίας. ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σημείο Ο ονομάζεται κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος, αν κάθε σημείο του σχήματος έχει το συμμετρικό του, ως προς το Ο, ένα άλλο σημείο του ίδιου σχήματος. Ένα σχήμα όπως ο κύκλος, έχει κέντρο συμμετρίας το κέντρο του κύκλου, επειδή σε κάθε σημείο του κύκλου αντιστοιχεί ένα άλλο σημείο του κύκλου, που είναι μεταξύ τους συμμετρικά ως προς το κέντρο. Τα σημεία αυτά είναι τα άκρα κάποιας διαμέτρου του κύκλου. Δεν είναι όμως τα πράγματα πάντα, τόσο αυτονόητα. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο, όπως αυτά παρακάτω, έχουν κέντρο συμμετρίας και ποιο είναι αυτό; Αν είμαστε προσεκτικοί, θα ανακαλύψουμε ότι το ορθογώνιο, αλλά και το τετράγωνο έχουν ως κέντρο συμμετρίας το σημείο τομής των διαγωνίων τους. Στη συνέχεια, δίνουμε κάποιες ερωτήσεις ώστε να συνεχίσει η παρουσίαση των εννοιών του κέντρου και του άξονας συμμετρίας, με σκοπό να λυθούν πιο εύκολα οι ασκήσεις και τα προβλήματα που συνδέονται με τις έννοιες αυτές. Ερώτηση 5η: Αν ένα σχήμα, διαθέτει κέντρο συμμετρίας, τότε αυτό μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα σχήματα; Υπόδειξη: Η πρόταση αυτή είναι θεώρημα. Οι αποδείξεις τέτοιου είδους προτάσεων, παρότι είναι ασυνήθιστες, είναι σχετικά απλές, επειδή βασίζονται μόνο στην ισότητα τριγώνων1. Ερώτηση 6η: Ένα σχήμα, χωρίς κέντρο συμμετρίας, μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα σχήματα; Υπόδειξη: Μία προφανής απάντηση, είναι η εξής. Ένα σχήμα μπορεί να διαθέτει άξονα συμμετρίας, συνεπώς, χωρίζεται από αυτόν σε δύο ίσα σχήματα. Αυτό σημαίνει ότι δεν είναι απαραίτητο να έχει και κέντρο συμμετρίας. 1 Μία απόδειξη αυτού του θεωρήματος υπάρχει στο βιβλίο των Γιάννη Θωμαΐδη και Ανδρέα Πούλου, Διδακτική της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, 2000, σελίδα 303. 63
- 159. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ερώτηση 7η: Ένα σχήμα, χωρίς κέντρο και χωρίς άξονα συμμετρίας, μπορεί να χωριστεί από μία ευθεία σε δύο ίσα σχήματα; Απάντηση: Η εμπειρία από την σχολική τάξη δείχνει ότι αυτό το ερώτημα είναι αρκετά δύσκολο να απαντηθεί άμεσα. Χρειάζεται αρκετό ψάξιμο για να κατασκευάσουμε ένα αντιπαράδειγμα, διότι διαισθητικά αντιλαμβανόμαστε ότι μία τέτοια πρόταση δεν ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις σχημάτων. Ένα απλό αντιπαράδειγμα είναι το εξής: Τοποθετούμε δύο ίσα τρίγωνα, έτσι ώστε μία πλευρά τους να ανήκει σε μία δεδομένη ευθεία, με τέτοιον τρόπο που να μην αποτελεί αυτή άξονα συμμετρίας του συνολικού σχήματος. Στο Σχήμα Α φαίνεται ο σωστός τρόπος τοποθέτησης και στο Σχήμα Β ο ακατάλληλος τρόπος. Σχήμα Α Σχήμα Β Η 7η ερώτηση μπορεί να γενικευθεί ως εξής: Ένα σχήμα, χωρίς κέντρο και χωρίς άξονα συμμετρίας, μπορεί να χωριστεί από μία γραμμή - όχι απαραίτητα από ευθεία γραμμή - σε δύο ίσα σχήματα; Το σχήμα που ακολουθεί, δίνει απάντηση στο ερώτημα μας. Η τεθλασμένη γραμμή χωρίζει το αρχικό σχήμα σε δύο ίσα σχήματα. Το αρχικό σχήμα δεν έχει ούτε άξονα, ούτε κέντρο συμμετρίας. Εδώ έχουμε μία παράλληλη μεταφορά ενός σχήματος σε τέτοια θέση, που να αποκλείει την ύπαρξη άξονα ή κέντρου συμμετρίας. Ερώτηση 8η: Γνωρίζουμε ήδη, ότι ένα σχήμα που διαθέτει άξονα συμμετρίας, δεν είναι απαραίτητο να έχει και κέντρο συμμετρίας. Τίθεται όμως το εξής ερώτημα: Ένα σχήμα, που διαθέτει δύο άξονες συμμετρίας, θα έχει και κέντρο συμμετρίας; Υπόδειξη: Είναι παρατηρημένο ότι οι περισσότεροι μαθητές απαντούν θετικά στο ερώτημα αυτό, διότι εικόνες που ανακαλούν στη μνήμη τους είναι συνήθως το ορθογώνιο και ο ρόμβος, σχήματα που έχουν δύο άξονες συμμετρίας και ταυτόχρονα 64
- 160. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ διαθέτουν και κέντρο συμμετρίας. Όμως, δεν είναι δύσκολο να βρούμε αντιπαραδείγματα σε αυτή την πρόταση. Ένα απλό αντιπαράδειγμα αποτελεί το ισόπλευρο τρίγωνο, ενώ αυτό διαθέτει τρεις άξονες συμμετρίας, παρ’ όλα αυτά δεν έχει κέντρο συμμετρίας. Ένα δεύτερο αντιπαράδειγμα για το ερώτημά μας, αποτελεί το κανονικό πεντάγωνο, που κι αυτό δεν έχει κέντρο συμμετρίας, ενώ διαθέτει πέντε άξονες συμμετρίας. Ερώτηση 9η: Ποια σχέση πρέπει να έχουν δύο άξονες συμμετρίας ενός σχήματος, ώστε αυτό να διαθέτει και κέντρο συμμετρίας; Υπόδειξη: Γνωρίζουμε ότι αρκεί οι δύο άξονες συμμετρίας να είναι κάθετοι μεταξύ τους, για να διαθέτει το σχήμα και κέντρο συμμετρίας. Παρ’ όλα αυτά η ανακάλυψη αυτής της αλήθειας δεν είναι άμεση. Απαιτείται πειραματισμός και μια σειρά δοκιμών. Όσα ακολουθούν στη συνέχεια δεν είναι απαραίτητο να το διαβάσουν άμεσα, οι μαθητές της Α΄ Γυμνασίου. Το αναφέρουμε εδώ για λόγους πληρότητας και για όσους έχουν την περιέργεια ποια είναι η μαθηματική αιτιολόγηση της πρότασης: «αν ένα σχήμα διαθέτει δύο κάθετους άξονες συμμετρίας, τότε το σημείο τομής τους είναι το κέντρο συμμετρίας του σχήματος». y Α2 Β Α x΄ Γ 0 y΄ Α1 x Θεωρούμε ένα σημείο Α του σχήματος και ονομάζουμε Α1, Α2 τα συμμετρικά του ως προς τους άξονες συμμετρίας xx΄ και yy΄ αντίστοιχα. Ονομάζουμε Ο το σημείο τομής των κάθετων αξόνων xx΄ και yy΄. Από τον ορισμό του άξονα συμμετρίας προκύπτει ότι τα σημεία Α1 και Α2 είναι και αυτά σημεία του σχήματος. Τα ορθογώνια τρίγωνα ΒΟΑ2 και ΓΟΑ1 είναι ίσα μεταξύ τους, ισχυρισμός ο οποίος αποδεικνύεται εύκολα. Επειδή οι γωνίες ΒΟΑ2 και ΓΟΑ1 είναι συμπληρωματικές, αυτό σημαίνει ότι τα σημεία Α1, Ο και Α2 είναι συνευθειακά και το Ο είναι το μέσον του Α1Α2. Δηλαδή, για κάθε ζεύγος (A1, A2) σημείων του σχήματος, το Ο είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος που αυτά ορίζουν. Αυτό σημαίνει ότι το Ο είναι το κέντρο συμμετρίας του σχήματος. Επίσης, δεν είναι προς το παρόν απαραίτητο να διαβάσετε τις απαντήσεις των επόμενων ερωτήσεων. Ερώτηση 10η: Αν ένα σχήμα έχει άξονα συμμετρίας και κέντρο συμμετρίας, τότε το κέντρο συμμετρίας θα βρίσκεται πάντα πάνω στον συγκεκριμένο άξονα συμμετρίας; Υπόδειξη: Διαισθητικά φαίνεται ότι η ερώτηση έχει θετική απάντηση. Όμως, θα διαπιστώσουμε ότι τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Πράγματι, θεωρούμε ένα 65
- 161. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ σημείο Α του σχήματος, τον άξονα συμμετρίας xx΄ και το κέντρο συμμετρίας Ο, το οποίο δεν ανήκει στον xx΄. Α1 x Α5 Α4 Α Α6 Ο Α2 Α3 x΄ Το συμμετρικό του Α ως προς τον xx΄ είναι το Α1, ενώ το συμμετρικό του Α ως προς το Ο είναι το Α2. Στη συνέχεια, το συμμετρικό του Α2 ως προς τον xx΄ είναι Α3, ενώ του Α3 ως προς το Ο είναι το Α4. Το συμμετρικό του Α4 ως προς τον xx΄ είναι το Α5 και το συμμετρικό του Α5 ως προς το Ο είναι το Α6. Παρατηρούμε ότι τα συμμετρικά όλων αυτών των σημείων με αφετηρία το Α, βρίσκονται πάνω σε δύο παράλληλες ευθείες. Άρα, τίποτα δεν αποκλείει να υπάρχει ένα τέτοιο σχήμα με την ιδιότητα να έχει άξονα συμμετρίας και κέντρο συμμετρίας, που ανήκει πάνω σ’ αυτόν. Το σχήμα που ακολουθεί, δίνει μία απάντηση στο ερώτημά μας. x ε ε΄ x΄ Οι παράλληλες ευθείες ε και ε΄ διαθέτουν άξονα συμμετρίας τον xx΄ που είναι κάθετος σε αυτές. Ταυτόχρονα διαθέτουν και κέντρο συμμετρίας, το οποίο μπορεί να είναι οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στην μεσοπαράλληλο ευθεία των ε και ε΄. Αν περιοριστούμε σε κλειστά γεωμετρικά σχήματα, θα πρέπει ένα τέτοιο σχήμα που έχει άξονα και κέντρο συμμετρίας, το κέντρο συμμετρίας του να βρίσκεται πάνω στον άξονα συμμετρίας. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού δεν είναι καθόλου προφανής. Ερώτηση11η: Αν ένα σχήμα διαθέτει δύο άξονες συμμετρίας και κέντρο συμμετρίας, τότε οι άξονες αυτοί είναι κάθετοι μεταξύ τους; Υπόδειξη: Επιπλέον, αν δεν περιοριστούμε σε κλειστά γεωμετρικά σχήματα, η απάντηση με μορφή αντιπαραδείγματος δόθηκε στην προηγούμενη ερώτηση. Δύο παράλληλες ευθείες μπορεί να έχουν δύο άξονες συμμετρίας, που είναι μεταξύ τους παράλληλοι, και ένα ή περισσότερα κέντρα συμμετρίας, τα οποία μπορεί να ανήκουν ή όχι πάνω στους άξονες αυτούς. 66
- 162. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Αν όμως το σχήμα είναι κλειστό, μπορούμε να αποδείξουμε ότι οι άξονες είναι μεταξύ τους κάθετοι και ότι το κέντρο συμμετρίας είναι το σημείο τομής τους, διαφορετικά θα καταλήξουμε πάλι σε ανοικτό σχήμα. Ερώτηση 12η: Αν ένα σχήμα έχει άξονα και κέντρο συμμετρίας, τότε αυτό διαθέτει και δεύτερο άξονα συμμετρίας; Υπόδειξη: Η απάντηση στην ερώτηση αυτή δεν είναι προφανής, ακόμα και αν πάρουμε υπόψη μας όλα τα αντιπαραδείγματα και τα παραδείγματα που έχουν συναντήσει έως τώρα. Αν αναφερόμαστε σε κλειστό γεωμετρικό σχήμα, θα πρέπει να αποδείξουμε ότι πρόκειται για θεώρημα. Στην περίπτωση που το κέντρο βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας, τότε η απόδειξη της ύπαρξης και δεύτερου άξονα, κάθετου στον πρώτο, είναι η ακόλουθη: Α3 Α 0 x΄ x Α2 Α1 Θεωρούμε ένα σημείο Α του σχήματος. Έστω Α1 το συμμετρικό του Α ως προς τον άξονα xx΄ και Α2 το συμμετρικό του Α ως προς το κέντρο συμμετρίας Ο. Αν ονομάσουμε Α3 το συμμετρικό του Α1 ως προς το Ο, τότε το τετράπλευρο ΑΑ1Α2Α3 είναι ορθογώνιο, επειδή οι διαγώνιές του διχοτομούνται και είναι ίσες. Άρα η ευθεία που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετη στον άξονα xx΄ είναι επίσης ένας άξονας συμμετρίας του σχήματος, επειδή κάθε σημείο του σχήματος, όπως το Α, έχει το συμμετρικό του σε σχέση με τον νέο άξονα πάνω στο σχήμα. Ερώτηση 13η: Μπορεί ένα σχήμα να έχει δύο κέντρα συμμετρίας; Υπόδειξη: Αν το σχήμα δεν είναι κλειστό μπορεί να συμβεί αυτό. Ένα τέτοιο σχήμα είναι η ευθεία. Κάθε σημείο της ευθείας μπορεί να αποτελέσει κέντρο συμμετρίας της. Διαισθανόμαστε ότι κλειστό σχήμα με δύο κέντρα συμμετρίας δεν μπορεί να υπάρχει, αλλά ο ισχυρισμός αυτός χρειάζεται απόδειξη2. Ξέρουμε ότι τα κανονικά πολύγωνα είναι αυτά που έχουν όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες τους ίσες. Φαίνεται ότι όλα τα κανονικά πολύγωνα συνδέονται άμεσα με τις έννοιες «συμμετρία ως προς άξονα» και «συμμετρία ως προς κέντρο». Δύο από τα πλέον συνηθισμένα ερωτήματα που τίθενται στην τάξη είναι τα εξής. 2 Για την απόδειξη αυτού του ερωτήματος μπορεί να δείτε το βιβλίο Ανδρέας Πούλος «Εικασίες και αντιπαραδείγματα. Για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών στη σχολική τάξη». Εκδόσεις Μαυρίδης, Θεσσαλονίκη, 2009. 67
- 163. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ερώτηση 14η: Ποια κανονικά πολύγωνα έχουν κέντρο συμμετρίας και από τι καθορίζεται το πλήθος των αξόνων συμμετρίας τους; Υπόδειξη: Μετά από σχετικά σύντομη διερεύνηση, πρέπει να είμαστε σε θέση να απαντήσουμε ότι κέντρο συμμετρίας διαθέτουν μόνο τα κανονικά πολύγωνα με άρτιο αριθμό πλευρών, ενώ για τη δεύτερη ερώτηση απαντούν ότι το πλήθος των πλευρών ενός κανονικού πολυγώνου ισούται με το πλήθος των αξόνων συμμετρίας του. Για παράδειγμα, το κανονικό πεντάγωνο που είναι σχεδιασμένο παραπάνω έχει 5 άξονες συμμετρίας που διέρχονται από μία κορυφή του και από το κέντρο του. Το ίδιο συμβαίνει με κάθε ένα από τα μικρότερα κανονικά πεντάγωνα που σχηματίζονται μέσα στο αρχικό. Ερώτηση 15η: Ένα σχήμα με 3 άξονες συμμετρίας, θα είναι οπωσδήποτε ισόπλευρο τρίγωνο; Αντίστοιχα, ένα σχήμα με 4 άξονες συμμετρίας, θα είναι οπωσδήποτε τετράγωνο; Υπόδειξη: Υποψιαζόμαστε ότι αυτό δεν είναι απαραίτητο. Αλλά για να πεισθούμε οι ίδιοι και να πείσουμε και τους άλλους, θα πρέπει να δώσουμε παραδείγματα, τα οποία προφανώς, πρέπει να ανακαλύψουμε μόνοι μας. Στη συνέχεια παραθέτουμε μία σειρά από δραστηριότητες, σχετικές με την έννοια της συμμετρίας, ορισμένες από τις οποίες θα γίνουν μέσα στην τάξη. Όσες από τις υπόλοιπες σας φαίνονται ενδιαφέρουσες, μπορείτε να ζητήσετε να δημοσιευθούν στην ιστοσελίδα του θερινού σχολείου με τα δικά σας σχόλια και παρατηρήσεις. 68
- 164. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Δραστηριότητες 1) Βρείτε μερικές λέξεις που να έχουν άξονα συμμετρίας, όπως η λέξη ΑΛΛΑ. Παρατηρείστε ότι η καλλιγραφημένη λέξη symmetry είναι γραμμένη έτσι που να έχει κέντρο συμμετρίας. Η λέξη αυτή διαβάζετε και ανάποδα. Βρείτε στο Διαδίκτυο πληροφορίες για την κατασκευή τέτοιων λέξεων. Βρείτε πληροφορίες για τις καρκινικές επιγραφές3. 2) Να φωτογραφήσετε μερικά θέματα κατά τη διάρκεια του θερινού σχολείου που να έχουν άξονα συμμετρίας. 3) Να φωτογραφήσετε ένα θέμα κατά τη διάρκεια του θερινού σχολείου που από μόνο του να μην έχει άξονα συμμετρίας, αλλά μέσω μίας αντανάκλασης να αποκτήσει άξονα συμμετρίας, όπως η ακόλουθη φωτογραφία. 4) Να φωτογραφήσετε μερικά θέματα κατά τη διάρκεια του θερινού σχολείου που να έχει κέντρο συμμετρίας. 5) Αν θεωρήσουμε κάθε μία από τις γωνίες 1, 2, 3 και 4 του επόμενου σχήματος ως ένα αυτοτελές σχήμα, τότε ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας του καθενός από αυτά; Αν θεωρήσουμε τις γωνίες 1 και 3 ως ένα ενιαίο σχήμα, το ίδιο και τις γωνίες 2 και 4, τότε ποιος είναι ο άξονας συμμετρίας του καθενός από τα σχήματα αυτά; 3 Καρκίνος στα αρχαία Ελληνικά είναι το καβούρι. Πρόκειται για ένα όν που κινείται το σωστά και προς τις δύο κατευθύνσεις κάθετα στον άξονα συμμετρίας του. 69
- 165. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 6) Στο επόμενο σχήμα με τις γωνίες που συμβολίζονται με τους αριθμούς από 1 έως και το 8, να βρείτε ζεύγη γωνιών που να έχουν άξονα ή άξονες συμμετρίας και ζεύγη γωνιών με κέντρο συμμετρίας. Αυτό θα είναι ένα και μοναδικό σημείο ή μεταβάλλεται ανάλογα με την επιλογή των γωνιών; 7) Συμπληρώστε το επόμενο σχήμα με νέα σχήματα, ώστε το τελικό σχήμα να έχει, α) άξονα συμμετρίας, β) δύο άξονες συμμετρίας, γ) κέντρο συμμετρίας. τον εξής ισχυρισμό. Έν 8) Κάποιος διατυπώνει α τετράπλευρο με έναν μόνο άξονα συμμετρίας, έχει οπωσδήποτε δύο ζεύγη πλευρών ίσα και ένα ζεύγος απέναντι πλευρών ίσες. Αυτό αποτελείται από δύο ισοσκελή τρίγωνα με κοινές κορυφές, όπως το επόμενο σχήμα που μοιάζει με χαρταετό. ομίζετε ότι αυτός ο ισχυρισμός είναι πάντα σωστός; Έχετε να προτείνετε κάποια λλη εκδοχή ή αντίρρηση; Νά 70
- 166. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 9) Μπορείτε να περιγράψετε τη διαδικασία κατασκευής του επόμενου σχήματος; χει σχέση αυτή η διαδικασία με τις έννοιες του άξονα και του κέντρου συμμετρίας; ν ναι, με ποιον τρόπο αυτές χρησιμοποιούνται στη συγκεκριμένη κατασκευή; Έ Α 10) Τα σχήματα που εμφανίζονται παρακάτω έχουν προκύψει από το αρχικό ισόπλευρο τρίγωνο με κάποια διαδικασία. Να βρείτε ποιος είναι ο τρόπος παραγωγής αυτών των σχημάτων, αν έχουν άξονες συμμετρίας και να απαντήσετε στο ερώτημα, πόσους άξονες θα έχει το 10ο σχήμα αυτής της σειράς σχημάτων με πρώτο το ισόπλευρο τρίγωνο; 71
- 167. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 11) Να περιγράψετε τη διαδικασία κατασκευής των σχημάτων που προέρχονται από το σχήμα που βρίσκεται πάνω αριστερά. Έχουν αυτά άξονες συμμετρίας και κέντρο συμμετρίας; Αν η διαδικασία αυτή συνεχιστεί, είμαστε σίγουροι ότι δεν θα υπάρχει κέντρο συμμετρίας, ή ότι το πλήθος των αξόνων συμμετρίας δεν θα αυξηθεί; 12) Το σχήμα που ακολουθεί αποτελείται από δύο σχήματα που προφανώς δεν είναι συμμετρικά, ούτε ως προς άξονα, ούτε ως προς κέντρο συμμετρίας. Μπορείτε να σχηματίζετε και άλλα σχήματα ίσα με αυτά, ώστε το τελικό σχήμα, α) να έχει κέντρο συμμετρίας, β) άξονα συμμετρίας; 13) Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε ένα εξάγωνο αστέρι εγγεγραμμένο σε κύκλο. Τα έξι τόξα του κύκλου είναι ίσα και αριθμημένα. Το σχήμα διαθέτει κέντρο αι έξι άξονες συμμετρίας, κατασκευάστε, α) έναν κατάλογο που ν δείχνει ποιο τόξο ίναι συμμετρικό ως προς το κέντρο συμμετρίας, β) έναν κατάλογο που να δείχνει κ α ε ποιο τόξο είναι συμμετρικό ως προς κάθε έναν άξονα συμμετρίας, γ) έναν κατάλογο που να δίνει απαντήσεις στα ερωτήματα α) και β) όταν όμως έχουμε περιστροφή του σχήματος κατά 60ο και 120ο, δ) πόσες μοίρες πρέπει να περιστραφεί το αρχικό σχήμα, ώστε τα αρχικά τόξα να έχουν τα ίδια συμμετρικά ως προς κέντρο συμμετρίας το κέντρο του κύκλου. 72
- 168. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 14) Οι εικόνες που ακολουθούν είναι εικόνες από ένα καλειδοσκόπιο. Να βρείτε πληροφορίες για το αντικείμενο αυτό, την ιστορία του, τον τρόπο κατασκευής του και τη σχέση του με την συμμετρία. 15) Το επόμενο σχήμα είναι το μισό από ένα κανονικό εξάγωνο. Να το χωρίσετε σε τρία ίσα σχήματα. Μπορεί στο χωρισμό αυτό να σας βοηθήσει η έννοια της συμμετρίας; 73
- 169. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 16) έννοια της συμμετρίας μπορεί να εμφανιστεί και στην Αριθμητική. Δείτε οιων αριθμών είναι γινόμενο. Η αυτό το ωραίο παράδειγμα. Να περιγράψετε τον κανόνα σχηματισμού αυτών των «συμμετρικών αριθμών» και μαντέψετε πόσα ψηφία θα έχει ο αριθμός στην 100η γραμμή και π 17) Το επόμενο τρίγωνο με τους αριθμούς, αν δεν υπήρχαν οι δυνάμεις, θα ήταν ένα συμμετρικό τρίγωνο αριθμών και το άθροισμα στο αριστερό μέρος θα ήταν το ίδιο με αυτό στο δεξί μέρος. Παρ’ όλα αυτά, η ύπαρξη των δυνάμεων στους αντίστοιχους αριθμούς δίνει ίσα αθροίσματα. Μπορεί αυτό να συμβεί και με άλλες δυνάμεις; 18) Το επόμενο σχήμα έχει προκύψει από την χάραξη όλων των ευθύγραμμων τμημάτων που παράγονται από 16 σημεία ενός κύκλου που ισαπέχουν μεταξύ τους. Π ροέρχονται δηλαδή από ένα κανονικό δεκαεξάγωνο, που είναι φανερό ότι έχει κέντρο και 16 άξονες συμμετρίας. Να βρείτε το πλήθος των τμημάτων που είναι ανά δύο συμμετρικά ως προς το κέντρο του κύκλου. Για παράδειγμα, το τμήμα (1, 2) έχει συμμετρικό το τμήμα (9, 10) και το (16, 3) έχει συμμετρικό το (8, 11). Υπάρχει κάποιος αριθμητικός κανόνας εύρεσης των συμμετρικών τμημάτων, χωρίς να κοιτάμε το σχήμα; Μπορούμε να βρούμε έναν κανόνα α) για τα συμμετρικά τμήματα που διέρχονται από το κέντρο, β) που απέχουν ίσες αποστάσεις από το κέντρο; 74
- 170. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ 19) Η συμμετρία ενός ως προς κέντρο, μπορεί να θεωρηθεί και ως στροφή του σχήματος γύρω από ένα σημείο κατά γωνία 180ο. Το πεντάπλευρο σχήμα που βρίσκεται πάνω δεξιά στο επίπεδο των συντεταγμένων, έχει συμμετρικό ως προς την αρχή των αξόνων, το σχήμα που βρίσκεται κάτω αριστερά. Να βρεθεί τι σχέση έχει με τα άλλα δύο σχήματα. Επίσης, να βρεθούν και οι σχέσεις (στροφής, ή συμμετρίας) μεταξύ όλων των σχημάτων, αν τα πάρουμε κατά δυάδες. 20) Να εξηγήσετε πώς θα χαράξετε μία ευθεία που να διέρχεται από το σημείο Ρ και χωρίζει το παρακάτω σχήμα σε δύο σχήματα με ίσα εμβαδά. Στις ενέργειές σας έπαιξε κάποιο ρόλο η συμμετρία; Με τη βοήθεια του σχήματος αυτού να κατασκευ- άσετε ένα δικό σας σχήμα (περισσότερο πολύπλοκο) και να ζητήσετε από τους φίλους σας να χαράξουν μία ευθεία που να το χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά σχήματα. 75
- 171. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ-ΣΥΜΕΤΡΙΑ Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 21) Οι τρεις εικόνες που ακολουθούν σας δίνουν ιδέες για να απαντήσετε στο εξής ερώτημα: Με πόσους τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε ένα τετράγωνο σε 4 ίσα σχήματα; Καλό είναι να βρείτε τουλάχιστον 10 διαφορετικούς τρόπους και να εξηγήσετε στους συμμαθητές σας, ότι οι ζητούμενοι τρόποι είναι άπειροι. Αν όμως καταφέρετε να χωρίσετε ένα τετράγωνο σε τρία ίσα σχήματα με περισσότερους από έναν τρόπο, τότε θα κερδίσετε 200 ευρώ! 22) Το παρακάτω σχήμα έχει έναν άξονα συμμετρίας. Το δεδομένο αυτό μας βοηθά να χωρίσουμε εύκολα το σχήμα μας σε δύο σχήματα που να έχουν ίσο εμβαδόν. Παρατηρούμε ότι τα σχήματα αυτά θα είναι και ίσα μεταξύ τους. Βρείτε μία εξήγηση, για ποιον λόγο μπορούμε να χωρίσουμε το αρχικό σχήμα σε τέσσερα σχήματα που θα έχουν ίσο εμβαδόν, χωρίς να είναι απαραίτητο να είναι και ίσα. Μας βοηθάει η συμμετρία να χωρίσουμε το αρχικό σχήμα σε τρία σχήματα με ίσα εμβαδά, χωρίς να είναι απαραίτητα ίσα μεταξύ τους; 23) Γνωρίζουμε από το Δημοτικό σχολείο ότι ο τύπος που δίνει το εμβαδόν ενός τραπεζίου είναι E = , όπου β και Β είναι οι βάσεις του και υ το ύψος του. 76 (β + Β) ⋅υ 2 Με δεδομένο ότι το εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου είναι μενο βάσης επ ύψος, να χρησιμοποιείστε την έννοια της συμμετρίας για να ότι ο τύπο το γινό ί αποδείξετε ς για το εμβαδόν τραπεζίου είναι σωστός. 24) Για να πάρετε μία ιδέα πώς οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν τη συμμετρία για να επιλύουν «δύσκολα» προβλήματα, βρείτε πληροφορίες για το πρόβλημα του Ήρωνα του Αλεξανδρινού, ένα πρόβλημα υπολογισμού αθροίσματος ελάχιστων αποστάσεων μεταξύ δύο σημείων. Πρόκειται για μία ευφυέστατη ιδέα.
- 173. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θεωρία Αριθμών Α΄ Γυμνασίου Σωτήρης Δ. Χασάπης Μαθηματικός M.Sc. Πρότυπο Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης shasapis@sch.gr 77 Τα Μαθηματικά είναι η Βασίλισσα των επιστημών και η αριθμητική η Βασίλισσα των Μαθηματικών. - Karl Friedrich Gauss Ιστορικά στοιχεία Εισαγωγή Ένας από τους ιδιαίτερα ενδιαφέροντες κλάδους των μαθηματικών είναι η θεωρία αριθμών. Σε αυτό συμβάλει ουσιαστικά το γεγονός ότι αν και πολλά από τα προβλήματα με τα οποία ασχολείται μπορούν να γίνουν κατανοητά ακόμα και από έναν μαθητή του Δημοτικού, παρόλα αυτά ολόκληρες γενιές σπουδαίων μαθηματικών δεν έχουν καταφέρει να τα επιλύσουν ή να τα αποδείξουν. Διαιρετότητα Πρώτοι αριθμοί Δίδυμοι πρώτοι Ένα από τα χαρακτηριστικότερα προβλήματα που είναι εύκολο να γίνουν κατανοητά είναι εκείνο των «δίδυμων πρώτων», οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί οι οποίοι διαφέρουν κατά 2 μονάδες. Για παράδειγμα ο 3 με τον 5 ή οι 11 και 13. Ένα σημαντικό σχετικό ερώτημα που παραμένει αναπάντητο είναι αν το πλήθος των δίδυμων πρώτων είναι πεπερασμένο. Αν και, όπως όλοι οι πρώτοι αριθμοί, απαντώνται διαρκώς αραιότερα δεν υπάρχει μία βέβαιη απάντηση. Παρόλο, λοιπόν, που η γνώση μας για το θέμα είναι μεγαλύτερη από εκείνη που είχε ο Ευκλείδης για αυτό το πρόβλημα, δεν έχει ξεκαθαρίσει καθόλου την κατάσταση για μία απάντηση σε αυτό. Η εικασία του Goldbach Ένα άλλο πρόβλημα της θεωρίας αριθμών που παραμένει άλυτο στις μέρες μας είναι και η λεγόμενη εικασία του Goldbach· αυτήν την διατύπωση ως ερώτηση προς διερεύνηση ο Christian Goldbach σε μία επιστολή του προς τον L. Euler το 1742 και αναφέρει ότι: «κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 4 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων». Αυτή, όπως και πολλά άλλα «εύκολα» προβλήματα της θεωρίας αριθμών μπορεί να διατυπωθεί και να γίνει κατανοητή από τον καθένα εύκολα, μπορεί να ελεγχθεί για μικρούς ακέραιους εύκολα, αλλά δεν έχει καταφέρει ακόμα η μαθηματική κοινότητα να την διαψεύσει ή να την επιβεβαιώσει. Για παράδειγμα 4= 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 5+5, 12 = 7+5, 14 = 7+7, 16 = 5 + 11, 18 = 11 + 7, κ.ο.κ. Πρώτοι και τέλεια τετράγωνα
- 174. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Ο P. Fermat διατύπωσε πολλούς αναπόδεικτους ισχυρισμούς στη θεωρία αριθμών, λιγότερο γνωστούς από το «Τελευταίο θεώρημα του Fermat ». Είναι μία εύκολη άσκηση να αποδειχθεί ότι Κάθε περιττός αριθμός διαιρούμενος με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1 ή 3. Δηλαδή, κάθε περιττός αριθμός γράφεται στη μορφή ή στη μορφή Ο Fermat και οι αναπόδεικτοι ισχυρισμοί του έγιναν γνωστοί στον Euler μέσω της επίμονης αλληλογραφίας που είχε με τον C. Goldbach. Ουσιαστικά, αυτός ήταν και ο λόγος που ο Euler ασχολήθηκε και με τη θεωρία αριθμών σε μία εποχή που ο Απειροστικός λογισμός και η Ανάλυση υπήρξαν το κέντρο του ενδιαφέροντος στα μαθηματικά. Το 1640 ο Fermat διατύπωσε την υπόθεση ότι οι πρώτοι της μορφής μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων κατά μοναδικό τρόπο, ενώ εκείνοι της μορφής δεν μπορούν να γραφούν ως άθροισμα δύο τέλειων τετραγώνων κατά κανέναν τρόπο. Για παράδειγμα: κ.ο.κ. Την αλήθεια της υπόθεσης αυτής την απέδειξε ο L. Euler το 1747. Θεωρία Ταυτότητα διαίρεσης των φυσικών αριθμών: Αν δίνονται οι αριθμοί Δ και δ φυσικοί, που ονομάζονται Διαιρεταίος και διαιρέτης αντίστοιχα, τότε υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π και υ, οι οποίοι καλούνται πηλίκο και υπόλοιπο της διαίρεσης αντίστοιχα, ώστε να ικανοποιούνται οι σχέσεις: και Από την Ευκλείδεια διαίρεση... Μία διαίρεση λέγεται τέλεια, αν το υπόλοιπό της υ = 0. Τότε ο διαιρετέος γράφεται: και λέμε ότι ο δ διαιρεί τον Δ, ή ο δ είναι παράγοντας του Δ ή ακόμα ότι ο Δ διαιρείται από τον δ. Επίσης ο Δ λέγεται πολλαπλάσιο του δ. Διαίρεση με το 2 Η ταυτότητα της διαίρεσης με το 2 γράφεται: με Δ, δ, υ, π ακέραιους. Κάθε αριθμός που στη διαίρεσή του με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1 λέγεται περιττός, οπότε γράφεται στη μορφή Ενώ κάθε αριθμός που αφήνει υπόλοιπο 0 στη διαίρεσή του με το 2 λέγεται άρτιος και γράφεται στη μορφή Κάθε αριθμός ο οποίος έχει ως τελικό ψηφίο 0, 2, 4, 6, 8 διαιρείται με το 2. Εφαρμογή 1. Να αποδειχθούν τα εξής: α)Το άθροισμα δύο άρτιων είναι άρτιος. β) Το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος. Απόδειξη: Έστω δύο άρτιοι αριθμοί α, β. Τότε αυτοί θα γράφονται α = 2κ και β = 2λ, όπου κ, λ ακέραιοι. Οπότε το άθροισμά τους θα είναι α+ β = 2κ + 2λ = 2 (κ+λ). Όμως το άθροισμα δύο ακεραίων είναι ακέραιος οπότε ο κ+λ ακέραιος· συνεπώς ο 2(κ+λ) άρτιος, δηλαδή και ο α+β άρτιος. Ομοίως αποδεικνύεται ότι το άθροισμα δύο περιττών είναι άρτιος. Άσκηση 1. Αν ο ακέραιος α δε διαιρείται από το 5 και ο είναι άρτιος, τότε να αποδειχθεί ότι ο α μπορεί να λήγει σε 1, 3, 7 ή 9 μόνο. 78
- 175. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαίρεση με το 3 Ένας αριθμός διαιρείται με το 3, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Διαίρεση με το 4 Ένας αριθμός διαιρείται με το 4, αν και μόνο αν ο αριθμός που αποτελείται από τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρείται από το 4. Για παράδειγμα ο 11111111111111111111111221328 διαιρείται από το 4. Γιατί όμως συμβαίνει αυτό; Διαίρεση με το 5 Κάθε αριθμός ο οποίος λήγει σε 0 ή 5 διαιρείται με το 5. Διαίρεση με το 6 Κάθε άρτιος αριθμός που διαιρείται με το 3 θα διαιρείται και με το 6. Διαίρεση με το 7 Αν διπλασιάσουμε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού, το αφαιρέσουμε από τον υπόλοιπο αριθμό και ότι μένει ως υπόλοιπο διαιρείται με το 7, τότε και ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 7. Μπορεί να χρειαστεί να επαναλάβουμε περισσότερες από μία φορές τη διαδικασία. Για παράδειγμα ας ελέγξουμε τον αριθμό: 178136. Έχουμε: και συνεχίζουμε αφού δεν γνωρίζουμε αν διαιρείται ο 17801: 79 το οποίο 14 διαιρείται με το 7, οπότε και όλοι οι προηγούμενοι διαιρούνται με το 7 · συνεπώς και ο 178136 διαιρείται με το 7. Πράγματι γράφεται: Άσκηση 2. Να βρεθεί το πλήθος των αριθμών μεταξύ των 1, 2, 3, ..., 1000 οι οποίοι δε διαιρούνται από το 5 και το 7. Διαίρεση με το 8 Ένας αριθμός διαιρείται από το 8, αν ο αριθμός που προκύπτει από τα τρία τελευταία ψηφία του διαιρείται από το 8. Αν και δεν πρόκειται για ένα πολύ βολικό κριτήριο, αφού συνήθως δεν είναι απλό να καταλάβει κανείς αν ένας τριψήφιος αριθμός διαιρείται από το 8· παρόλα αυτά μπορεί να βρεθεί εύκολα αν ο τριψήφιος διαιρείται από το 8, ελέγχοντας απλά αν διαιρείται από 2 τρεις φορές. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω κανόνα έχουμε ότι ο 122812520 διαιρείται από το 8, διότι ο αριθμός που αποτελείται από τα τρία τελευταία ψηφία του είναι ο , ο οποίος διαιρείται από το 8. Επίσης, ο αριθμός μπορεί να γραφεί: το οποίο είναι πολλαπλάσιο του 8. Διαίρεση με το 9 Ένας αριθμός διαιρείται με το 9, αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9. Ας θεωρήσουμε για παράδειγμα τον τριφήψιο 261. Αυτός γράφεται: Αν στη
- 176. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ συνέχεια διαχωρίσουμε τις δυνάμεις του 10 σε πολλαπλάσια του 9 συν ό,τι περισσεύει έχουμε: Παρατηρούμε ότι « περισσεύει » το άθροισμα των ψηφίων του αρχικού αριθμού: 2 + 6 + 1 το οποίο αν διαιρείται από το 9, τότε μπορεί να εξαχθεί κοινός παράγοντας στην προηγούμενη ισότητα ο αριθμός 9, οπότε ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 9. Διαίρεση με το 10 Εύκολα αποδεικνύεται ότι με το 10 διαιρούνται όσοι αριθμοί έχουν τελευταίο ψηφίο 0. Διαίρεση με το 11 Ένας αριθμός διαιρείται με το 11, αν το εναλλασσόμενο άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται από το 11. Για παράδειγμα ο αριθμός 12321 δεν διαιρείται από το 11, διότι το εναλλασσόμενο άθροισμα των ψηφίων του είναι: ενώ ο αριθμός 16335 διαιρείται, διότι: 1 – 6 + 3 – 3 + 5 = 0. Ομοίως και ο 57729364583 διαιρείται διότι: 5-7+7-2+9-3+6-4+5-8+3 = 11 . Γιατί όμως λειτουργεί αυτό το κριτήριο; Άσκηση 3. Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα πέντε διαδοχικών ακεραίων διαιρείται από το 5. Διαιρετότητα Βασικές ιδιότητες Ορισμός 1. Ο ακέραιος διαιρεί τον και συμβολίζουμε αν ισχύει ότι δηλαδή το υπόλοιπο της διαίρεσης του α από τον β είναι μηδέν, τότε ο α λέγεται πολλαπλάσιο του β και γράφουμε α = πολ(β). Εύκολα από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτουν οι εξής ιδιότητες για μη μηδενικούς ακέραιους α, β, γ: Πρόταση 1. Για κάθε ακέραιο αριθμό α ισχύουν: α) 1 α β) γ) Πρόταση 2. Αν τότε . Πρόταση 3. Αν ο β διαιρεί τον α τότε διαιρεί και κάθε πολλαπλάσιό του. Δηλαδή: Πρόταση 4. Αν και τότε Πρόταση 5. (Μεταβατική ιδιότητα διαιρετότητας) Αν και τότε Πρόταση 6. Αν και τότε Πρόταση 7. Αν τότε Μερικές χρήσιμες ακόμα ιδιότητες είναι οι εξής παρακάτω. Πρώτοι Αριθμοί Ορισμός 2. Ένας θετικός ακέραιος p (διαφορετικός από το 1) λέγεται πρώτος αριθμός, αν διαιρείται από το 1 και τον ίδιο p. Δηλαδή, διαιρείται μόνο από τον εαυτό του και τη μονάδα. Αν ένας θετικός ακέραιος p είναι πρώτος αριθμός, τότε θεωρούμε ότι και -p είναι επίσης πρώτος αριθμός. Ένας αριθμός που δεν είναι πρώτος λέγεται σύνθετος αριθμός. Πρόταση 8. Κάθε σύνθετος αριθμός διαιρείται από κάποιον πρώτο. 80
- 177. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θεώρημα : (Ευκλείδης). Υπάρχει άπειρο πλήθος πρώτων αριθμών. Το κόσκινο του Ερατοσθένη και το πλήθος των πρώτων αριθμών Ένας τρόπος προσδιορισμού των πρώτων είναι η χρήση του «Κόσκινου του Ερατοσθένη». Σε αυτό τοποθετείς τους αριθμούς από το 1 έως και τον ν που θέλεις να ελέγξεις ποιοι πρώτοι περιέχονται και αρχίζεις και διαγράφεις όλα τα πολλαπλάσια των πρώτων που συναντάς. Δες και το σχολικό βιβλίο Α΄ γυμνασίου σελίδα 29. Παρότι το πλήθος των πρώτων είναι άπειρο, σύμφωνα με το θεώρημα του Ευκλείδη, εντούτοις η κατανομή τους δεν είναι ομοιόμορφη ανάμεσα στους ακεραίους. Δηλαδή, ενώ στην αρχή οι πρώτοι εμφανίζονται πολύ συχνά, στη συνέχεια «αραιώνουν». Για παράδειγμα στους πρώτους 20 ακεραίους οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, δηλαδή οι 8 από αυτούς είναι πρώτοι. Ενώ, ανάμεσα στους 100 πρώτους ακέραιους οι 23 είναι πρώτοι, δηλαδή ποσοστό μικρότερο από 25%, ενώ στην πρώτη εικοσάδα ακεραίων οι πρώτοι ήταν 40%. Το ποσοστό αυτό διαρκώς μικραίνει καθώς ελέγχουμε όλο και μεγαλύτερο πλήθος πρώτων. Αυτό βέβαια, «διαισθητικά» φαίνεται λογικό καθώς όσο στο πλήθος των ακεραίων εισέρχονται περισσότεροι πρώτοι αριθμοί, οι σύνθετοι που προκύπτουν από αυτούς θα είναι όλο και περισσότεροι, με την έννοια ότι από περισσότερους πρώτους μπορούμε να φτιάξουμε πολύ περισσότερους σύνθετους. Υπάρχει όμως τρόπος να προσδιορίσουμε το πλήθος των πρώτων σε ένα διάστημα; Εκτός από το κόσκινο του Ερατοσθένη ή οποιαδήποτε άλλη μέθοδο εύρεσης αναλυτικά όλων των πρώτων – που φυσικά είναι πολύ δύσκολο να βρεθούν για οποιοδήποτε μεγάλο ακέραιο – υπάρχουν και προσεγγιστικές μέθοδοι προσδιορισμού του πλήθους τους. Εκτός από το κόσκινο του Ερατοσθένη ας δούμε μερικούς ακόμα τρόπους. Πρόταση 9. Αν ένας φυσικός αριθμός δε διαιρείται από κανένα πρώτο αριθμό τότε είναι πρώτος αριθμός. Για παράδειγμα και οι πρώτοι 2, 3, 5, 7 δεν διαιρούν το 53, το οποίο επομένως είναι πρώτος αριθμός. Το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής Θεώρημα: Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί κατά μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων αριθμών, αν δε ληφθεί υπόψη η σειρά των παραγόντων. Για παράδειγμα ο αριθμός έχει πρώτους παράγοντες τους αριθμούς 3, 5, 5 και εφόσον αγνοήσουμε τη διαφορετική σειρά με την οποία μπορούμε να τους πολλαπλασιάσουμε, τότε έχουμε μοναδική γραφή του αριθμού αυτού με βάση αυτούς τους πρώτους παράγοντες. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) Ορισμός 3. Ένας ακέραιος δ λέγεται κοινός διαιρέτης των α, β, όταν είναι διαιρέτης του α και του β. Ο αριθμός 1 είναι πάντα διαιρέτης ενός ακεραίου, άρα αποτελεί πάντα κοινό διαιρέτη οποιωνδήποτε ακεραίων α και β. Αν ένας τουλάχιστον από τους δύο ακέραιους α, β είναι μη μηδενικός και μεγαλύτερος του 1, τότε θα έχει και διαιρέτες μεγαλύτερους του 1 που σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση θα είναι πεπερασμένοι στο πλήθος. Συνεπώς θα υπάρχει ο μεγαλύτερος από αυτούς. 81
- 178. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) Ορισμός 4. Αν α, β δύο ακέραιοι, όχι και οι δύο μηδέν, τότε ορίζουμε τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη (Μ.Κ.Δ.) των α, β ως τον μεγαλύτερο από τους θετικούς κοινούς διαιρέτες τους και τον συμβολίζουμε με (α, β) . Εφαρμογή 2. Θεωρούμε τους αριθμούς α=-18 και β = 42, οι οποίοι έχουν θετικούς διαιρέτες: α = -18 : 1, 2, 3, 6, 9, 18 β= 42 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 ο μεγαλύτερος από τους κοινούς διαιρέτες τους είναι ο (-18, 42) = 6. Πρόταση 10. Αν α, β φυσικοί αριθμοί και υ το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με τον β, τότε ισχύει ότι: (α, β) = (υ, β) Πράγματι, αν , έστω και . Τότε, εφόσον ο δ κοινός διαιρέτης των α, β έπεται ότι Δηλαδή ο είναι διαιρέτης των β και υ οπότε θα είναι αφού ο είναι ο μέγιστος από τους κοινούς διαιρέτες των β και υ. Ομοίως αποδεικνύεται ότι οπότε τελικά ισχύει ότι το οποίο είναι το ζητούμενο. Η προηγούμενη πρόταση μας δίνει έναν αλγόριθμο υπολογισμού του Μ.Κ.Δ. δύο αριθμών, ο οποίος στηρίζεται στην Ευκλείδεια διαίρεση και οδηγεί σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων σε αποτέλεσμα. Λέγεται Ευκλείδειος αλγόριθμος. Εφαρμογή 3. Να υπολογιστεί ο Μ.Κ.Δ. των α = 18 και β = 42 Έχουμε διαδοχικά: όπου το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 6, οπότε (18,42)=6. Εφαρμογή 4. Να υπολογιστεί ο Μ.Κ.Δ. των α=48, β=120. Παρομοίως έχουμε: όπου το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο είναι το 48, οπότε (240,144)= 48. Αυτή η διαδικασία εύρεσης του Μ.Κ.Δ. δύο αριθμών περιγράφηκε γενικά από τον Ευκλείδη στα «Στοιχεία» του και λέγεται μέθοδος της ανθυφαίρεσης. Άσκηση 4. Αν να βρεθεί ο . Ορισμός 5. Δύο ακέραιοι αριθμοί α, β λέγονται σχετικά πρώτοι ή πρώτοι προς αλλήλους, αν έχουν μέγιστον κοινό διαιρέτη τον αριθμό 1. Δηλαδή α, β σχετικά πρώτοι αν και μόνο αν (α, β) = 1. Εξορισμού του Μ.Κ.Δ. ισχύουν οι ισότητες: Πρόταση 11. Πρόταση 12. Ισχύει ότι: Εφαρμογή 5.Να γραφεί ο (240, 144) ως άθροισμα γινομένων των 240 και 144. Από τον Ευκλείδειο αλγόριθμο έχουμε με όμως από το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο έχουμε: 82
- 179. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 83 οπότε έχουμε: που είναι το ζητούμενο. Πρόταση 13. Οι ακέραιοι α, β είναι σχετικά πρώτοι, αν και μόνο αν υπάρχουν ακέραιοι ώστε να ισχύει: Πρόταση 14. Αν ένας ακέραιος διαιρεί το γινόμενο δύο άλλων ακεραίων και δεν διαιρεί τον έναν από αυτούς, τότε θα διαιρεί τον άλλο. Δηλαδή αν Πρόταση 15. Αν Δηλαδή αν δύο ακέραιοι διαιρούν έναν άλλο ακέραιο, τότε και το γινόμενό τους θα τον διαιρεί. Όσα έχουμε γράψει παραπάνω μπορούν να εφαρμοστούν και σε περισσότερους από έναν ακεραίους με την παρακάτω. Πρόταση 16. Κάθε διαιρέτης ακεραίων διαιρεί τον Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη τους. Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) Αν θεωρήσουμε έναν ακέραιο τότε τα πολλαπλάσια του είναι οι αριθμοί: Για παράδειγμα τα πολλαπλάσια του 5: Αν τώρα θεωρήσουμε δύο οι περισσότερους αριθμούς τότε είναι δυνατόν στα πολλαπλάσιά τους να βρούμε έναν ή περισσότερους κοινούς αριθμούς, τα κοινά πολλαπλάσιά τους. Για παράδειγμα: Για το 5: 5, 10 , 15, 20 , 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, .... Για το 10: 10, 20 , 30 , 40 , 50, 60, 70, 80, 90, 100, ... Από τα κοινά πολλαπλάσια μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα που είναι το μικρότερο από αυτά, το οποίο ονομάζουμε Ελάχιστο. Ορισμός 6. Αν ακέραιοι διαφορετικοί από το 0, τότε το μικρότερο από τα θετικά κοινά πολλαπλάσιά τους καλείται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (Ε.Κ.Π.) και γράφουμε . Πρόταση 17. Ισχύει ότι: Πρόταση 18. Αν ακέραιοι διαφορετικοί από το 0 και περισσότεροι από δύο, τότε ισχύει ότι: . Δηλαδή, για να υπολογίσουμε το Ε.Κ.Π. περισσοτέρων από δύο αριθμών μπορούμε να υπολογίζουμε το Ε.Κ.Π. ανά δύο και στη συνέχεια να βρίσκουμε το Ε.Κ.Π των υπολοίπων με αυτό. Πρόταση 19. Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσοτέρων ακεραίων διαιρεί τα πολλαπλάσιά τους. Πρώτοι, Ε.Κ.Π., Μ.Κ.Δ. Εφαρμογή 6. Αν α, β ακέραιοι τότε Πρόταση 20. Αν α|β τότε (α,β) = α και [α,β] = β για α, β θετικούς ακέραιους. Πρόταση 21. Αν πρώτος αριθμός και τότε . Εφαρμογή 7. (Εύρεση Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. με την ανάλυση σε πρώτους αριθμούς για μικρούς ακέραιους). Για την εύρεση των ΕΚΠ και ΜΚΔ δύο ή περισσοτέρων μικρών ακεραίων μπορούμε να
- 180. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ χρησιμοποιήσουμε ανάλογη μέθοδο με αυτήν της ανάλυσής τους σε πρώτους παράγοντες, όπως στα παρακάτω παραδείγματα. Εύρεση Ε.Κ.Π. των 1320, 156, 420 Εύρεση Μ.Κ.Δ. των 1320, 156, 420 Στην τελευταία στήλη γράφουμε κάθε πρώτο που Στην τελευταία στήλη γράφουμε κάθε πρώτο που διαιρεί τουλάχιστον έναν από τους αριθμούς της διαιρεί όλους τους αριθμούς της σειράς του. σειράς του. 1320 156 420 2 1320 156 420 2 660 78 210 2 660 78 210 2 330 39 105 2 330 39 105 3 165 39 105 3 110 13 35 55 13 35 5 11 13 7 7 11 13 1 11 1 13 1 13 1 1 1 Η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν προκύψουν μονάδες και στις τρεις στήλες των αριθμών. Η διαδικασία ολοκληρώνεται όταν οι αριθμοί που έχουν προκύψει στην τελευταία γραμμή δεν έχουν όλοι κοινούς διαιρέτες . Άσκηση 5. Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. και το Ε.Κ.Π. των 8190, 4914, 6930. Άσκηση 6. Ένας ανελκυστήρας, λόγω βλάβης, έχει τη δυνατότητα να ανεβαίνει και να κατεβαίνει στους ορόφους ενός ουρανοξύστη 45 ορόφων ως εξής: Στην άνοδο πηγαίνει ακριβώς 5 ορόφους πάνω μόνο, ενώ στην κάθοδο ακριβώς 8 ορόφους μόνο κάτω, ενώ δεν κινείται αν δεν μπορεί να ανέβει 5 ορόφους ή να κατέβει 8 ορόφους. Να εξεταστεί αν μπορεί κάποιος να επισκεφτεί όλους τους ορόφους με το συγκεκριμένο ανελκυστήρα. Άσκηση 7. Ένας πελάτης τράπεζας, προκειμένου να εξαργυρώσει μία επιταγή των 1000€ ζητά από τον ταμεία να του δώσει χαρτονομίσματα των 50€ και των 100€. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να το κάνει αυτό ο ταμίας; 84
- 181. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άσκηση 8. Να γραφεί ο αριθμός 100 ως άθροισμα δύο προσθετέων έτσι, ώστε ο ένας να είναι πολλαπλάσιο του 7 και ο άλλος πολλαπλάσιο του 11 (Euler 1770). Άσκηση 9. Να βρεθούν δύο κλάσματα με παρονομαστές 9 και 13 και άθροισμα . Άσκηση 10. Ένας μαθητής διαθέτει 30€ το μήνα για να αγοράσει τυρόπιτες που κοστίζουν 2€ καθεμία και σάντουιτς που κοστίζουν 3€ καθένα. Να βρεθεί πόσα από το κάθε είδος μπορεί να αγοράσει, ώστε να εξαντλήσει όλο το ποσό. 85
- 182. 8o ΚΑΛΟΚΑΙΡΙΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΧΟΛΕΙΟ Γενικές Ασκήσεις Θεωρίας Αριθμών Άσκηση 11. Να συμπληρωθεί το ? με ένα κατάλληλο ψηφίο στους παρακάτω αριθμούς: α) ώστε να διαιρείται με το 2. β) ώστε να διαιρείται με το 9. γ) ώστε να διαιρείται με το 3. δ) ώστε να διαιρείται με το 5. Άσκηση 12. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω ισότητες παριστάνουν Ευκλείδειες διαιρέσεις: α) β) γ) δ) Άσκηση 13. Ένας γυμναστής παρατήρησε ότι όταν τοποθετεί τους μαθητές του σχολείου του σε τριάδες, πεντάδες ή επτάδες δεν περισσεύει κανένας. Πόσοι ήταν οι μαθητές του σχολείου, αν είναι γνωστό ότι είναι μεταξύ 100 και 200; Άσκηση 14. Να βρεθεί ο ΜΚΔ των αριθμών: α) 126, 288, 342, β) 36, 48, γ) 26, 39, 65 . Άσκηση 15. Να βρεθεί το ΕΚΠ των αριθμών: α) 16, 24, 46 β) 12, 18, 28 γ) 144, 196, 84. Άσκηση 16. Κάθε αριθμός διαιρούμενος με 4 αφήνει υπόλοιπο 1 ή 3. Άσκηση 17. Το τριπλάσιο ενός πρώτου αριθμού είναι πρώτος ή σύνθετος αριθμός και γιατί; Άσκηση 18. Έξι φίλοι παίζουν ένα παιχνίδι με τραπουλόχαρτα, στο οποίο μοιράζονται μία τράπουλα με 52 φύλλα, παίρνοντας ο καθένας από ένα φύλλο με τη σειρά, ώστε τελικά να έχουν τον ίδιο αριθμό φύλλων και να μην περισσεύουν περισσότερα από 4 φύλλα της τράπουλας. Να βρεθεί πόσα φύλλα θα έχει ο καθένας τους και πόσα θα περισσέψουν. Αν στο επόμενο παιχνίδι στα 52 φύλλα της τράπουλας προστεθούν και 2 μπαλαντέρ και το σύνολο των φύλλων μοιραστεί στους 6 φίλους με τον ίδιο τρόπο με πριν να βρεθεί ομοίως πόσα φύλλα θα πάρει ο καθένας και πόσα θα περισσέψουν. Άσκηση 19. Τρεις φίλοι ξεκινούν από το ίδιο σημείο της πόλης, την ίδια ώρα και τρέχουν έως ένα διαφορετικό κτήριο(το σπίτι του) ο καθένας. Ο πρώτος σε 18 λεπτά, ο δεύτερος σε 24 λεπτά και ο τρίτος σε 16 λεπτά. Καθένας μόλις φτάσει στο σπίτι του επιστρέφει αμέσως στο σημείο εκκίνησης, κάνοντας τον ίδιο χρόνο και ξεκινά και πάλι να κάνει την ίδια διαδρομή κ.ό.κ.. Να βρεθεί ύστερα από πόσο χρόνο θα ξεκινήσουν και πάλι μαζί και πόσες διαδρομές θα έχει κάνει ο καθένας. Άσκηση 20. Ένας μαθητής αποφάσισε για τα γενέθλιά του να μοιράσει ως δώρο 48 μπλε, 60 κόκκινα και 24 μαύρα στυλό στους συμμαθητές του. Αν μοίρασε όλα τα στυλό, χωρίς να περισσέψει κανένα, ισότιμα στους συμμαθητές του να βρεθεί πόσους συμμαθητές έχει και πόσα στυλό από το κάθε είδος πήρε ο καθένας. Άσκηση 21. Ένας ανθοπώλης φτιάχνει ανθοδέσμες από κόκκινα λευκά και κίτρινα τριαντάφυλλα. Αν έχει 192 κόκκινα, 120 λευκά και 72 κίτρινα, να βρείτε το μέγιστο πλήθος των ομοιόμορφων ανθοδεσμών που μπορεί να φτιάξει και πόσα λουλούδια από το κάθε είδος θα έχει κάθε ανθοδέσμη. Άσκηση 22. Ένα δωμάτιο διαστάσεων 3 επί 5 μέτρα θέλουμε να καλυφθεί με τετράγωνα πλακάκια όλα της ίδιας διάστασης. Να βρεθεί το κατάλληλο μέγεθος που πρέπει να έχουν τα πλακάκια, ώστε να χρησιμοποιηθεί το ελάχιστο δυνατό πλήθος πλακακιών χωρίς να κοπεί κανένα από αυτά. Άσκηση 23. Να εξηγήσετε γιατί το κλάσμα είναι ανάγωγο. Να κάνετε το ίδιο για το κλάσμα 86
- 183. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Α΄ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ για οποιονδήποτε φυσικό ν. Άσκηση 24. α) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο 2 διαδοχικών φυσικών διαιρείται από το 2. β) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο 3 διαδοχικών φυσικών διαιρείται από το 3. γ) Ισχύει ότι το γινόμενο ν διαδοχικών φυσικών αριθμών θα διαιρείται από το ν; δ) Να αποδειχθεί ότι αν ν>1 περιττός ακέραιος, τότε: Άσκηση 25. Να βρεθούν οι τιμές του φυσικού αριθμού ν για τις οποίες ο αριθμός είναι πρώτος. Άσκηση 26. Αν το άθροισμα δύο αριθμών είναι 42 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του μεγαλύτερου με τον μικρότερο είναι 9, να βρεθούν όλα τα δυνατά ζεύγη αυτών των δύο αριθμών. Άσκηση 27. Να αποδειχθεί ότι αν ένας φυσικός αριθμός υψωθεί στην τετάρτη, τότε το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 5 είναι πάντα μηδέν ή ένα. Άσκηση 28. Να αποδειχθεί ότι ο διαιρεί τους ακεραίους και , αν και μόνο αν ο 3 διαιρεί το άθροισμα Άσκηση 29. Να αποδειχθεί ότι οι ακέραιοι 775, 3875 και 1223 είναι πρώτοι μεταξύ τους. Άσκηση 30. Να βρεθεί ο Μ.Κ.Δ. δ των αριθμών 21, 35, 61 και στη συνέχεια να βρεθούν ακέραιοι α, β, γ ώστε 21 α + 35 β +61 γ = δ. Άσκηση 31. Να αποδειχθεί ότι οι ακέραιοι 8ν+3 , 5ν + 2 είναι πρώτοι μεταξύ τους για κάθε φυσικό ν. Άσκηση 32. Τοποθετούμε τους αριθμούς 2001, 2002, ...,2013 τον έναν δίπλα στον άλλο και δημιουργούμε έναν νέο αριθμό τον 200120022003....2013. Να εξεταστεί αν είναι πρώτος. Άσκηση 33. Να αποδειχθεί ότι αν πρώτος μεγαλύτερος του 3, τότε ο διαιρείται από το 24. Άσκηση 34. Να εξεταστεί αν το άθροισμα 5 διαδοχικών φυσικών αριθμών μπορεί να είναι πρώτος αριθμός. Άσκηση 35. Οι αριθμοί 203 και 298 διαιρούμενοι με τον φυσικό αριθμό ν αφήνουν και οι δύο υπόλοιπο 13. Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του ν. Άσκηση 36. Να βρεθεί ο μοναδικός πρώτος αριθμός p, για τον οποίο και οι δύο αριθμοί: p+2 και p+4 είναι επίσης πρώτοι. 87