ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

1. ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΑΙ…ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ
(Θέμα από την 38η Ολυμπιάδα Φυσικής)
Στα επόμενα θα δούμε μερικά χαρακτηριστικά και κάποιες ιδιότητες
των μελανών οπών (black holes) με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης.
Σύμφωνα με ένα θεώρημα που ονομάζεται «θεώρημα εξάλειψης των
ιχνών» (no hair Theorem), όλα τα χαρακτηριστικά της μαύρης τρύπας που
εξετάζουμε στα παρακάτω, θα θεωρήσουμε ότι εξαρτώνται μόνο από τη
μάζα της μαύρης τρύπας (Σημειώσεις [1] και [2]).
Ένα σπουδαίο χαρακτηριστικό μιας μαύρης τρύπας είναι ο λεγόμενος
«ορίζοντας γεγονότων» (event horizon). Μπορούμε να πούμε ότι αποτελεί
το «σύνορο» της μαύρης τρύπας με τον «έξω κόσμο». Μέσα σ’ αυτό το
σύνορο, η βαρύτητα είναι τόσο ισχυρή, που ακόμη και το φως δεν μπορεί
να διαφύγει (γεγονός που αιτιολογεί την ονομασία «μαύρη τρύπα» [3]).
Επιθυμούμε λοιπόν να βρούμε μια σχέση που να συνδέει το «εμβαδόν»
Α του ορίζοντα γεγονότων με τη μάζα m της μαύρης τρύπας. Θεωρούμε
(από κλασσική σκοπιά, όχι κβαντικά φαινόμενα, άρα όχι h ή ) ότι το
εμβαδόν αυτό εξαρτάται από τη μάζα της μαύρης τρύπας, την ταχύτητα
του φωτός και την παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας. Έτσι λοιπόν
μπορούμε να γράψουμε ότι:
A  Ga m c
(1)
Ερώτημα 1
Κάνοντας χρήση της διαστατικής ανάλυσης προσπαθήστε να βρείτε τα
α, β, γ στην εξίσωση (1)

2. Απάντηση (1)
Ας δούμε αρχικά τις διαστάσεις της σταθερά G της βαρύτητας. Από
τον νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα:
F G
m1m2
,
r2
Έχουμε ότι:
Fr 2
G
m1m2
,
ή
G    F  r   m
ή
G  LMT 2 L2 M 2
ή
G  L3M 1T 2
(2)
2
2
Έτσι λοιπόν η (1) δίνει:
A  Ga m c
ή
 A  G  m c
a


ή
L2  ( L3 M 1T 2 )a M  ( LT 1 )
ή
L2  L3a M  aT 2a M  L T 
ή
L2  L3a M  aT 2a
(3)
Έχουμε λοιπόν το σύστημα:
3a    2
 a 0
2a    0
a2
 2
  4
Η (1) λοιπόν τελικά γράφεται:
G 2 m2
A 4
c
(4)

3. Από τη σχέση (4) είναι φανερό ότι η επιφάνεια του ορίζοντα
γεγονότων της μαύρης τρύπας, αυξάνει με την αύξηση της μάζας της. Από
κλασσική καθαρά σκοπιά [5] τίποτα δεν μπορεί να διαφύγει από τη μαύρη
τρύπα και έτσι σε όλες τις φυσικές διεργασίες, η επιφάνεια του ορίζοντα
γεγονότων δεν μπορεί ποτέ να μειώνεται. Σε αναλογία λοιπόν με το
δεύτερο νόμο της Θερμοδυναμικής (αύξηση της εντροπίας), o Bekenstein
πρότεινε να προικισθεί η μαύρη τρύπα με μια εντροπία S, η οποία είναι
ανάλογη της επιφάνειας του ορίζοντα γεγονότων της [4]. Δηλαδή πρότεινε
μια σχέση της μορφής:
S  nA
(5)
Ερώτημα 2
Χρησιμοποιώντας το θερμοδυναμικό ορισμό της εντροπίας:
dS 
dQ

(6)
βρείτε τις «διαστάσεις» της εντροπίας (με θ συμβολίζουμε την απόλυτη
θερμοκρασία για να μη μας μπερδεύει με το Τ με το οποίο συμβολίζουμε
τη διάσταση του χρόνου).
Απάντηση (2)
Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε:
dS 
dQ

ή
 S    E [ ]1
ή
 S   ML2T 2 K 1
(7)
Ερώτημα 3
Βρείτε τις διαστάσεις της σταθεράς n στη σχέση (5), σαν
συνάρτηση των θεμελιωδών σταθερών h, c, G και k B (όπου k B η σταθερά

4. του Boltzmann και όπου λαμβάνοντας υπ’ όψη την κβαντική φύση της
ακτινοβολίας, συμπεριλαμβάνουμε και το h στις σταθερές από τις οποίες
εξαρτάται το n )
Απάντηση (3)
Η σχέση (5) γράφεται:
n
S
A
(8)
οπότε:
 n   S  A
1
ή
 n  ML2T 2 K 1L2
ή
 n  MT 2 K 1
(9)
Στη συνέχεια γράφουμε:
n  G a h  c k B
(10)
Έτσι λοιπόν, διαστατικά θα είναι:
 n   G   h   c   k B 
a



(11)
Στη σχέση λοιπόν (11) θα χρειασθούμε τις διαστάσεις των σταθερών
h και k B . Τις διαστάσεις του G τις βρήκαμε ήδη στη σχέση (2) ενώ για τις
διαστάσεις του c, εύκολα βλέπει κανείς ότι: c  LT 1 .
Προκειμένου λοιπόν να βρούμε τις διαστάσεις της σταθεράς h , θα
χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (για την ενέργεια φωτονίου):
E  hf
οπότε:
 E    h f 
 h   E  f 
1
ή
ή

5.  h  ML2T 2T
ή
 h  ML2T 1
(12)
Στη συνέχεια για να βρούμε τις διαστάσεις της σταθεράς
Boltzmann, θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση:
E  kB
,
όπου με θ συμβολίζουμε την απόλυτη θερμοκρασία (για να μη μας
μπερδεύει με το Τ με το οποίο συμβολίζουμε τη διάσταση του χρόνου).
Έτσι λοιπόν είναι:
 kB    E [ ]1
ή
 kB   ML2T 2 K 1
(13)
Με τη βοήθεια λοιπόν των σχέσεων (2), (9), (12) και (13), η
διαστατική εξίσωση (11) παίρνει τη μορφή:
MT 2 K 1  (M 1L3T 2 )a (ML2T 1 ) ( LT 1 ) (ML2T 2 K 1 )
ή
MT 2 K 1  M  a L3aT 2a M  L2  T   L T  M  L2 T 2 K 
ή
MT 2 K 1  M  a   L3a2   2 T 2a  2 K 
(14)
Έχουμε λοιπόν να λύσουμε το σύστημα:
a      1
a
3a  2    2  0
5a    2  0
2a      2  2
3a    0
 1
Και τελικά:
a  1
,
  1
,
  3 και   1
Η σχέση (10) λοιπόν παίρνει τη μορφή:
2a  2  0
a  1

6. c3kB
n
Gh
(15)
Η σχέση λοιπόν του Bekenstein που συνδέει την εντροπία της μαύρης
τρύπας με την επιφάνεια του ορίζοντα γεγονότων της είναι:
c3k B
S
A
Gh
(16)
Και (σε σχέση με τη μάζα της μαύρης τρύπας) και πάντα διαστατικά (όπου
δεν μπορούμε να προβλέψουμε την τιμή τυχόντα αδιάστατου συντελεστή):
S
Gk B 2
m
hc
(17)
Με την ευκαιρία, ας δούμε και τις διατάσεις της σταθεράς σ του νόμου
των Stefan-Boltzmann
Χρησιμοποιούμε λοιπόν το νόμο της ακτινοβολίας των StefanBoltzmann:
 ύ
  4
 ά
(18)
όπου συμβολίζουμε με θ αντί Τ την απόλυτη θερμοκρασία του συστήματος
(για να μη μας μπερδεύει με το Τ με το οποίο συμβολίζουμε τη διάσταση
του χρόνου) και παίρνουμε:
   4   L2T 1
ή
    E  L2T 1K 4
ή
   ML2T 2 L2T 1K 4
ή
   MT 3 K 4
(19)

7. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
(Και λίγη …Ιστορία)
[1] Στην πραγματικότητα ο χωροχρόνος γύρω από μια τέτοια μάυρη
τρύπα που περιγράφεται αποκλειστικά και μόνο από τη μάζα της (σφαιρικά
συμμετρική, χωρίς στροφορμή και χωρίς φορτίο) περιγράφεται από την
λεγόμενη μετρική του Schwarzschild (προς τιμήν του Karl Schwarzscild)
Karl Schwarzschild
Η μετρική του Schwarzschild είναι μια λύση των εξισώσεων πεδίου
του Einstein στον κενό χώρο (έξω από το σώμα που δημιουργεί το
βαρυτικό πεδίο [6]. Αν δηλαδή το πεδίο δημιουργείται από ένα σφαιρικό
σώμα μάζας m και ακτίνας R, η λύση ισχύει για r  R ). Στη μετρική
Schwarzschild, η ακτίνα του ορίζοντα γεγονότων (ακτίνα Schwarzschild),
δίνεται από τη σχέση:
RS 
2Gm
c2

8. Στα 1963, ο Roy Kerr βρήκε την ακριβή λύση των εξισώσεων πεδίου
(the exact solution ) για μια περιστρεφόμενη μαύρη τρύπα ( rotating black
hole).
Δύο χρόνια αργότερα , ο Ezra Newman βρήκε την λύση για μια
μαύρη τρύπα που έχει και στροφορμή και ηλεκτρικό φορτίο.
[2] Η φράση: “black holes have no hair” αποδίδεται στον Αμερικανό
Θεωρητικό Φυσικό John Archibald Wheeler
[3] Και ο όρος μαύρη τρύπα (black hole) που είναι ευρύτατα
διαδεδομένος επινοήθηκε το 1967 από τον Wheeler. Πάντως η
δυνατότητα ύπαρξης αντικειμένων με τόσο πολύ ισχυρό βαρυτικό πεδίο,
ώστε ούτε το φως να μην διαφεύγει από αυτά, είχε μελετηθεί ήδη στο 18 ο
αιώνα από τον John Michell και τον Pierre-Simon Laplace
John Archibald Wheeler

9. [4] Στα 1972 ο Bekenstein, ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι οι μαύρες
τρύπες πρέπει να έχουν μια (συγκεκριμένη) εντροπία και ανέπτυξε ένα
γενικευμένο δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, τη θερμοδυναμική των
μελανών οπών (black hole thermodynamics) για την περιγραφή
συστημάτων με μαύρες τρύπες. Οι ιδέες του επιβεβαιώθηκαν δύο χρόνια
αργότερα όταν ο Stephen Hawking (που αρχικά ήταν αντίθετος στις ιδέες
του Bekenstein) πρότεινε την ύπαρξη της ακτινοβολίας από μια μελανή
οπή, που σήμερα ονομάζεται ακτινοβολία Hawking (Hawking radiation).
Jacob Bekenstein

10. [5] Στα 1974 ο Steven Hawking, χρησιμοποιώντας κβαντομηχανικά
επιχειρήματα, έδειξε ότι, αντίθετα με την κλασσική περιγραφή, οι μαύρες
τρύπες εκπέμπουν ακτινοβολία (ακτινοβολία Hawking, Hawking
radiation,) κατ΄ανάλογο τρόπο με ένα μέλαν σώμα
ορισμένης
θερμοκρασίας, που σήμερα ονομάζεται θερμοκρασία Hawking.
Stephen Hawking

11. [6] Εξισώσεις πεδίου του Einstein (Einstein Field Equations)
Οι "Εξισώσεις Πεδίου του Einstein" (EFE) είναι ένα σύνολο δέκα
εξισώσεων στην Γενική Σχετικότητα στην οποία η Βαρυτική Επίδραση
περιγράφεται ως καμπύλωση του Χωροχρόνου προκαλούμενη από την
Ύλη και την Ενέργεια. Δημοσιεύθηκαν από τον Einstein για πρώτη φορά
το 1915.
Albert Einstein

12. ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΓΕΝΑΡΗΣ 2013