Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΚΑΙ…ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ
(ΜΕΡΟΣ II)
(Θέμα από την 38η Ολυμπιάδα Φυσικής)
Σε προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: Δια...
Στα επόμενα δεν θα κάνουμε χρήση της διαστατικής ανάλυσης, παρά
μόνο στο παράρτημα στο τέλος της εργασίας για την έκφραση ...
Ερώτημα 1
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση E  mc2 που συνδέει την ενέργεια με
τη μάζα μιας μαύρης τρύπας και τους νόμους της θ...
S

Gk B 2
m
hc

(7)

Ενώ επίσης, από τη διάσημη Einstein, E  mc2 , έχουμε ότι:
dE  c2 dm

(8)

Από τις σχέσεις (6), (7)...
Απάντηση (2)
Ο νόμος των Stefan-Boltzmann μας δίνει την ακτινοβολούμενη ισχύ
ανά μονάδα επιφανείας του μέλανος σώματος. Εί...
Ερώτημα 3
Βρείτε τον χρόνο t1 , που χρειάζεται μια απομονωμένη μαύρη τρύπα
μάζας m για να «εξατμισθεί» (εξαερωθεί) τελείως...
Ερώτημα 4
Βρείτε τη θερμοχωρητικότητα μιας μαύρης τρύπας με μάζα m.

Απάντηση (4)
Η ζητούμενη θερμοχωρητικότητα θα μετρά τ...
ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΚΑΙ ΚΟΣΜΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ
ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ
Θεωρείστε μια μαύρη τρύπα που είναι εκτεθειμένη στην κοσμική ακτινοβολία υ...
Ερώτημα 5
Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της μάζας μιας μαύρης τρύπας, σαν συνάρτηση της μάζας της μαύρης τρύπας, της θερμοκρασ...
4
kB
 2 3
ch

A

(26)

G 2 m2
c4

(27)

1 hc3 1
  H 
2 Gk B m

(28)

Από τις (25), (26), (27) και (28), θα έχουμε:
...
1 hc 4 c8 h3 1
m 
16 G 2 G 2 (kB B )4
4
1

m14 

1 h4c12 1
,
16 G 4 (kB B )4

ή
οπότε τελικά:

1 hc3 1
m1 
2 Gk B  B...
Ερώτημα 8
Βρείτε τη θερμοκρασία Hawking  H μιας μαύρης τρύπας που βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία με την κοσμική ακτ...
4
 4 A   B A  0

  B

ή

ή H  B

(Σε όλο το κείμενο τα σύμβολα  και  B αναφέρονται στη θερμοκρασία
της μαύρ...
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ
Η σταθερά σ στο νόμο των Stefan-Boltzmann δεν είναι μια θεμελιώδης σταθερά, αλλά μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει ...
MT 3 K 4  M    L2   3 2 T   2 2 K 

(44)

Προκύπτει λοιπόν το σύστημα:
   1

(45.1)

2  ...
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
(Και λίγη …Ιστορία)
[1]. Ο όρος μαύρη τρύπα (black hole) που είναι ευρύτατα διαδεδομένος
επινοήθηκε το 1967 από...
όταν ο Stephen Hawking (που αρχικά ήταν αντίθετος στις ιδέες του
Bekenstein) πρότεινε την ύπαρξη της ακτινοβολίας από μια ...
μιουργήσουν σωματίδια και να τα «εκτινάξουν» στο χώρο. Η ενέργεια των
εκπεμπόμενων σωματιδίων θα μπορούσε να προέρχεται απ...
[4]. Λίγα τώρα για την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου.
Το Σύμπαν διαστέλλεται και ψύχεται. Στα αρχικά στάδια αυτής της
διασ...
9 year WMAP image of the CMB temperature anisotropy (2012).
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΝΑΦΟΡΕΣ
38th International Physics Olympiad (Isfahan-Iran, July 2007)
Black hole thermodynamics
Hawking radi...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Διαστατική ανάλυση και...μαύρες τρύπες (ΙΙ)

320 views

Published on

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

  • Be the first to comment

Διαστατική ανάλυση και...μαύρες τρύπες (ΙΙ)

  1. 1. ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ…ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ (ΜΕΡΟΣ II) (Θέμα από την 38η Ολυμπιάδα Φυσικής) Σε προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: Διαστατική ανάλυση και… μαύρες τρύπες, είδαμε κάποια χαρακτηριστικά και κάποιες ιδιότητες των μελανών οπών με τη βοήθεια της διαστατικής ανάλυσης. Είδαμε λοιπόν τον «ορίζοντα» της μαύρης τρύπας καθώς επίσης και τη σχέση που συνδέει την εντροπία μιας μαύρης τρύπας με την επιφάνεια του ορίζοντα γεγονότων της (σχέση του Bekenstein). Jacob Bekenstein
  2. 2. Στα επόμενα δεν θα κάνουμε χρήση της διαστατικής ανάλυσης, παρά μόνο στο παράρτημα στο τέλος της εργασίας για την έκφραση συναρτήσει των θεμελιωδών σταθερών της σταθεράς σ του νόμου των StefanBoltzmann. Θα χρειασθεί όμως να επικαλεσθούμε κάποια από τα αποτελέσματα του πρώτου μέρους της εργασίας. ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ HAWKING (HAWKING RADIATION) Χρησιμοποιώντας ημι-κβαντικά (ή ημι-κλασσικά) επιχειρήματα ο S. Hawking διατύπωσε την άποψη ότι παρά τις κλασσικές μας αντιλήψεις για τις μαύρες τρύπες (σύμφωνα με τις οποίες τίποτα, ούτε ακόμη και το φως δεν μπορεί να διαφύγει από την έλξη τους), οι μαύρες τρύπες εκπέμπουν ακτινοβολία, κατ’ αναλογία με την ακτινοβολία που εκπέμπει ένα μέλαν σώμα. Η αντίστοιχη μάλιστα θερμοκρασία ονομάζεται σήμερα θερμοκρασία Hawking (Hawking temperature). Stephen Hawking
  3. 3. Ερώτημα 1 Χρησιμοποιώντας την εξίσωση E  mc2 που συνδέει την ενέργεια με τη μάζα μιας μαύρης τρύπας και τους νόμους της θερμοδυναμικής προσπαθήστε να εκφράσετε την θερμοκρασία Hawking  H της μαύρης τρύπας σαν συνάρτηση της μάζας της και των θεμελιωδών σταθερών. Υποθέστε ότι η μαύρη τρύπα δεν «παράγει» (ή δεν «καταναλώνει») έργο στο περιβάλλον της. Απάντηση (1) Από τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής, έχουμε: dE  dQ  dW (1) Σύμφωνα όμως με την υπόθεσή μας: dW  0 (2) Έτσι ο πρώτος νόμος της θερμοδυναμικής γράφεται: dE  dQ (3) Από τον ορισμό της εντροπίας: dS  dQ  (4) και θέτοντας:    H , παίρνουμε: dE   H dS (5) Από τη σχέση (5) έχουμε: H  dE dS  ( )1 dS dE (6) Στην προηγούμενη ανάρτηση με τίτλο: Διαστατική ανάλυση και… μαύρες τρύπες, είδαμε ότι η σχέση που συνδέει την εντροπία με την μάζα της μαύρης τρύπας, είναι:
  4. 4. S Gk B 2 m hc (7) Ενώ επίσης, από τη διάσημη Einstein, E  mc2 , έχουμε ότι: dE  c2 dm (8) Από τις σχέσεις (6), (7) και (8) παίρνουμε: H  Gk dE dS dS  ( )1  c 2 ( )1  c 2 (2 B m)1 dS dE dm hc και τελικά: 1 hc3 1 H  2 Gk B m (9) Ερώτημα 2 Λόγω της ακτινοβολίας Hawking, η μάζα μιας απομονωμένης μαύρης τρύπας θα πρέπει να μεταβάλλεται. Χρησιμοποιήστε το νόμο των Stefan-Boltzmann για να βρείτε την εξάρτηση του ρυθμού μεταβολής της μάζας της μαύρης τρύπας από την θερμοκρασία της  H και εκφράστε την συναρτήσει της μάζας της μαύρης τρύπας και των θεμελιωδών σταθερών. Stefan Boltzmann
  5. 5. Απάντηση (2) Ο νόμος των Stefan-Boltzmann μας δίνει την ακτινοβολούμενη ισχύ ανά μονάδα επιφανείας του μέλανος σώματος. Είναι: dE 4   H A dt (10) Από τη σχέση: E  mc2 έχουμε ότι: dE  c2 dm οπότε: dE dm  c2 dt dt (11) Από τις σχέσεις (10) και (11), παίρνουμε: c2 dm 4   H A dt (12) Από τη σχέση (4) της ανάρτησης Διαστατική ανάλυση και… μαύρες τρύπες , το εμβαδόν Α του ορίζοντα γεγονότων της μαύρης τρύπας είναι: G 2 m2 A 4 c (13) Ενώ, όπως θα δείξουμε στο παράρτημα, η σταθερά σ του νόμου των Stefan-Boltzmann μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει των θεμελιωδών σταθερών, μέσω της σχέσης: 4 kB  2 3 ch (14) Με την βοήθεια των σχέσεων (9), (13) και (14), η (12) γράφεται: c2 k 4 1 hc3 1 4 G 2 m2 dm   2B 3 ( ) dt c h 2 GkB m c4 dm 1 hc 4 1  dt 16 G 2 m2 και τελικά: (15)
  6. 6. Ερώτημα 3 Βρείτε τον χρόνο t1 , που χρειάζεται μια απομονωμένη μαύρη τρύπα μάζας m για να «εξατμισθεί» (εξαερωθεί) τελείως, δηλαδή να χάσει όλη τη μάζα της. Απάντηση (3) Σύμφωνα με τη σχέση (15): dm 1 hc 4 1  dt 16 G 2 m2 m2 dm   , οπότε: 1 hc 4 dt 16 G 2 ή 1 hc 4  m dm   16 G 2  dt ή 1 3 1 hc 4 3 [m (t )  m (0)]   t 3 16 G 2 ή 2 3 hc 4 m (t )  m (0)   t 16 G 2 3 (16) 3 Στη σχέση (16), m(0) είναι η αρχική μάζα m της μαύρης τρύπας, ενώ για t  t1 σύμφωνα με την εκφώνηση θα είναι: m(t1 )  0 . Έτσι λοιπόν η σχέση (16) δίνει: m(0)  m  t1  3 hc 4 t1 16 G 2 16 G 2 3 m 3 hc 4 και τελικά: (17) Από τη σκοπιά της θερμοδυναμικής, οι μαύρες τρύπες παρουσιάζουν πολλές εκπλήξεις (και εξωτική συμπεριφορά). Για παράδειγμα η θερμοχωρητικότητα μιας μαύρης τρύπας είναι αρνητική!
  7. 7. Ερώτημα 4 Βρείτε τη θερμοχωρητικότητα μιας μαύρης τρύπας με μάζα m. Απάντηση (4) Η ζητούμενη θερμοχωρητικότητα θα μετρά την μεταβολή της ενέργειας Ε της μαύρης τρύπας σε σχέση με τη μεταβολή της θερμοκρασίας της θ. Έτσι λοιπόν θα είναι: C dE d (18) Όμως: E  mc 2 , οπότε: dE  c2 dm (19) Η θερμοκρασία θ της μαύρης τρύπας είναι η θερμοκρασία Hawking  H , η οποία όπως είδαμε προηγουμένως (σχέση (9)) είναι:   H  1 hc3 1 2 GkB m (20) Από την (20) , παίρνουμε: d 1 hc3 1  dm 2 GkB m2 (21) Συνδυάζοντας λοιπόν τις σχέσεις (18), (19) και (21) έχουμε: dE 1 hc3 1 1 2 dm 2 d 1 2 C c  c ( )  c ( ) d d dm 2 GkB m2 C  2 GkB 2 m hc και τελικά: (22)
  8. 8. ΜΑΥΡΕΣ ΤΡΥΠΕΣ ΚΑΙ ΚΟΣΜΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ Θεωρείστε μια μαύρη τρύπα που είναι εκτεθειμένη στην κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου (cosmic background radiation). Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου είναι ακτινοβολία που αντιστοιχεί σε αυτήν ενός μέλανος σώματος θερμοκρασίας  B , η οποία κατακλύζει ολόκληρο το Σύμπαν. Έτσι ένα αντικείμενο με ολικό εμβαδόν επιφανείας Α θα απορροφά ενέρ4 γεια ίση με:  B A ανά μονάδα χρόνου. Μια μαύρη τρύπα λοιπόν, από τη μια χάνει ενέργεια λόγω της ακτινοβολίας Hawking και από την άλλη κερδίζει ενέργεια από την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Cobe-cosmic-background-radiation
  9. 9. Ερώτημα 5 Βρείτε το ρυθμό μεταβολής της μάζας μιας μαύρης τρύπας, σαν συνάρτηση της μάζας της μαύρης τρύπας, της θερμοκρασίας  B της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου και των θεμελιωδών σταθερών. Απάντηση (5) Είδαμε προηγουμένως με τη βοήθεια του νόμου των StefanBoltzmann το ρυθμό ακτινοβολούμενης ενέργειας ανά μονάδα επιφανείας της μαύρης τρύπας (που μειώνει την ενέργεια και άρα τη μάζα της μαύρης τρύπας). Μια ανάλογη σχέση ισχύει για το ρυθμό ενέργειας που κερδίζει η μαύρη τρύπα λόγω της ακτινοβολίας υποβάθρου. Θα έχουμε λοιπόν: dE 4   4 A   B A dt (23) Στη σχέση 23, θ είναι η θερμοκρασία Hawking της μαύρης τρύπας και  B είναι η θερμοκρασία της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου (2,73 Κ). Επίσης: E  mc 2 dm  , οπότε: dE c2 (24) Από τις σχέσεις 23 και 24 έχουμε: dm 1 dE  dt c 2 dt dm 1 1 4   2  4 A  2  B A dt c c Όμως, όπως ήδη έχουμε δει: ή (25)
  10. 10. 4 kB  2 3 ch A (26) G 2 m2 c4 (27) 1 hc3 1   H  2 Gk B m (28) Από τις (25), (26), (27) και (28), θα έχουμε: 4 dm 1 k 4 1 hc3 1 4 G 2 m2 1 kB 4 G 2 m2   2 2B 3 ( )  2 2 3 B dt c c h 2 GkB m c4 c ch c4 dm 1 hc 4 1 G2   8 3 (kB B )4 m2 2 2 dt 16 G m c h ή (29) Ερώτημα 6 Για κάποια τιμή m1 της μάζας της μαύρης τρύπας, ο ρυθμός μεταβολής της παραπάνω σχέσης (29) μηδενίζεται. Εκφράστε τη m1 συναρτήσει της θερμοκρασίας  B και των θεμελιωδών σταθερών. Απάντηση (6) Στη σχέση (29) θέτουμε dm 0 dt dm  0 και έχουμε: dt ή 1 hc 4 1 G 2   8 3 (kB B ) 4 m12  0 2 2 16 G m1 c h m12 G2 1 hc 4 1 (kB B )4  c 8 h3 16 G 2 m12 ή ή
  11. 11. 1 hc 4 c8 h3 1 m  16 G 2 G 2 (kB B )4 4 1 m14  1 h4c12 1 , 16 G 4 (kB B )4 ή οπότε τελικά: 1 hc3 1 m1  2 Gk B  B (30) Ερώτημα 7 Χρησιμοποιήστε την απάντησή σας στην προηγούμενη ερώτηση (6) στην απάντηση της ερώτησης (5) για να εκφράσετε το ρυθμό μεταβολής της μάζας της μαύρης τρύπας συναρτήσει των m , m1 και των θεμελιωδών σταθερών. Απάντηση (7) Στη σχέση (30), βρήκαμε ότι: 1 hc3 1 m1  2 Gk B  B , οπότε: 1 hc3 1 B  2 Gk B m1 (31) Μέσω της σχέσης (31) η απάντησή μας στην ερώτηση (5) (σχέση 29) γίνεται: dm 1 hc 4 1 G2   8 3 (kB B )4 m2 2 2 dt 16 G m c h ή dm 1 hc 4 1 G 2 4 c12 h 4 1 2   k m 4 dt 16 G 2 m2 c8h3 B 16G 4 k B m14 ή dm 1 hc 4 1 m4  (1  4 ) dt 16 G 2 m2 m1 (32)
  12. 12. Ερώτημα 8 Βρείτε τη θερμοκρασία Hawking  H μιας μαύρης τρύπας που βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία με την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Απάντηση (8) Στην προ-προηγούμενη ερώτηση, στη σχέση (30) βρήκαμε ότι: 1 hc3 1 m1  2 Gk B  B (33) Σε ότι αφορά τη θερμοκρασία Hawking της μαύρης τρύπας, στη σχέση (9) είδαμε ότι: 1 hc3 1 H  2 Gk B m (34) Από τις σχέσεις λοιπόν (33) και (34) για m  m1 παίρνουμε: 1 hc3 1 1 hc3 2GkB H   B 2 GkB m1 2 Gk B hc3 και τελικά: H  B (35) Θα μπορούσαμε επίσης να πούμε ότι αφού για m  m1 η μαύρη τρύπα βρίσκεται σε θερμοδυναμική ισορροπία με την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου, η θερμοκρασία πρέπει να ταυτίζεται με αυτή της ακτινοβολίας υποβάθρου! Τέλος και από τη σχέση (23): dE 4   4 A   B A , dt στη θερμοδυναμική ισορροπία θα έχουμε: dE 0 dt ή
  13. 13. 4  4 A   B A  0   B ή ή H  B (Σε όλο το κείμενο τα σύμβολα  και  B αναφέρονται στη θερμοκρασία της μαύρης τρύπας δηλαδή τη θερμοκρασία Hawking και άρα    H ). Ερώτημα 9 Είναι μια τέτοια θερμοδυναμική ισορροπία ευσταθής ή ασταθής; Προσπαθήστε να εκφράσετε με μαθηματικό τρόπο την απάντησή σας. Απάντηση (9) Προηγουμένως στη σχέση (32) είδαμε ότι ισχύει: dm 1 hc 4 1 m4  (1  4 ) dt 16 G 2 m2 m1 Στη θερμοδυναμική ισορροπία είναι m  m1 και (36) dE 0 dt Ας θεωρήσουμε ότι για κάποιο λόγο αυξάνει η μάζα m οπότε πλέον m  m1 . Τότε από τη σχέση (36), βλέπουμε ότι θα είναι dm  0 , δηλαδή ο dt ρυθμός μεταβολής της μάζας είναι θετικός και άρα απομακρύνεται περαιτέρω από την θέση ισορροπίας. Αν θεωρήσουμε επίσης την περίπτωση που για κάποιο λόγο η μάζα της μαύρης τρύπας μειώνεται δηλαδή είναι m  m1 και πάλι από την σχέση (36) βλέπουμε ότι τώρα dm  0 , οπότε η μάζα m (ήδη μικρότερη από την dt m1 ) έχει την τάση να μειωθεί περαιτέρω και άρα το σύστημά μας (η μαύρη τρύπα) απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας. Επομένως η ισορροπία είναι ασταθής.
  14. 14. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Η σταθερά σ στο νόμο των Stefan-Boltzmann δεν είναι μια θεμελιώδης σταθερά, αλλά μπορεί να εκφρασθεί συναρτήσει των θεμελιωδών σταθερών. Έτσι πχ. μπορούμε να γράψουμε:    aha c  G kB (37) Στην παραπάνω σχέση (37) το a είναι μια αδιάστατη σταθερά (η οποία δεν μπορεί να προσδιορισθεί μέσω της διαστατικής ανάλυσης, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, ούτε όμως έχει και μεγάλη σημασία για την περαιτέρω ανάλυσή μας). Έτσι λοιπόν θα την θεωρήσουμε ίση με 1. Η σχέση (37) λοιπόν να γραφεί:    ha c  G k B (38) Θα είναι λοιπόν:     h c G  kB  a    (39) Στην εργασία: Διαστατική ανάλυση και… μαύρες τρύπες είδαμε ότι οι διαστάσεις της σταθεράς σ είναι:    MT 3 K 4 (40) Στην εν λόγω εργασία επίσης είδαμε ότι:  h  ML2T 1 (41) G  L3M 1T 2 (42)  kB   ML2T 2 K 1 (43) Από τις σχέσεις (40), (41), (42) και (43) παίρνουμε: MT 3 K 4  (ML2T 1 ) ( LT 1 ) (M 1L3T 2 ) (ML2T 2 K 1 ) ή
  15. 15. MT 3 K 4  M    L2   3 2 T   2 2 K  (44) Προκύπτει λοιπόν το σύστημα:    1 (45.1) 2    3  2  0 (45.2)     2  2  3 (45.3)   4 (45.4) Από την (45.4) αμέσως προκύπτει ότι:  4 Το σύστημα λοιπόν γίνεται:     3    4 1 2    3  8  0 ή     2  8  3 (46.1) 2    3  8 (46.2)     2  5 (46.3) Από τις (46.2) και (46.3) προκύπτει:     3 (47.1) Από την (47.1) και την (46.1) βρίσκουμε:  0 ,   3 Στη συνέχεια από την (46.2), έχουμε:   2 Έτσι λοιπόν η σχέση (39) δίνει: 4 kB  3 2 hc (48)
  16. 16. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ (Και λίγη …Ιστορία) [1]. Ο όρος μαύρη τρύπα (black hole) που είναι ευρύτατα διαδεδομένος επινοήθηκε το 1967 από τον Wheeler. Πάντως η δυνατότητα ύπαρξης αντικειμένων με τόσο πολύ ισχυρό βαρυτικό πεδίο, ώστε ούτε το φως να μην διαφεύγει από αυτά, είχε μελετηθεί ήδη στο 18ο αιώνα από τον John Michell και τον Pierre-Simon Laplace John Archibald Wheeler [2]. Στα 1972 ο Jacob Bekenstein, ήταν ο πρώτος που υποστήριξε ότι οι μαύρες τρύπες πρέπει να έχουν μια (συγκεκριμένη) εντροπία και ανέπτυξε ένα γενικευμένο δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής, τη θερμοδυναμική των μελανών οπών (black hole thermodynamics) για την περιγραφή συστημάτων με μαύρες τρύπες. Οι ιδέες του επιβεβαιώθηκαν δύο χρόνια αργότερα
  17. 17. όταν ο Stephen Hawking (που αρχικά ήταν αντίθετος στις ιδέες του Bekenstein) πρότεινε την ύπαρξη της ακτινοβολίας από μια μελανή οπή, που σήμερα ονομάζεται ακτινοβολία Hawking (Hawking radiation). [3]. Ακτινοβολία Hawking (Hawking radiation) Πρόκειται για ακτινοβολία που εκπέμπεται από μια μαύρη τρύπα και είναι αποτέλεσμα κβαντομηχανικών διεργασιών. Θεωρητικά επιχειρήματα για την ύπαρξη και την προέλευσή της, έδωσε για πρώτη φορά στα 1974 ο Stephen Hawking. Το ισχυρό βαρυτικό πεδίο της μαύρης τρύπας, κοντά στην περιοχή του ορίζοντα γεγονότων, προκαλεί τη δημιουργία ζεύγους σωματιδίου-αντισωματιδίου. Ένα μέλος του κάθε ζεύγους (το σωματίδιο ή το αντισωματίδιο) «πέφτει» μέσα στη μαύρη τρύπα, ενώ το άλλο διαφεύγει. Έτσι για έναν εξωτερικό παρατηρητή, η μαύρη τρύπα φαίνεται ότι εκπέμπει ακτινοβολία (ακτινοβολία Hawking). Μπορεί να δειχθεί (μια απλοποιημένη προσπάθεια κάναμε στην εργασία αυτή) ότι η μαύρη τρύπα εκπέμπει σαν ένα μέλαν σώμα, με θερμοκρασία που είναι αντίστροφα ανάλογη της μάζας της. Για μια μαύρη τρύπα με μάζα όση ο Ήλιος μας, αυτή η θερμοκρασία (θερμοκρασία Hawking) είναι της τάξης των 107 K και έτσι για μια τέτοια μαύρη τρύπα, η ακτινοβολία είναι αμελητέα. Μια τέτοια μαύρη τρύπα «απορροφά» (λόγω της κοσμικής ακτινοβολίας υποβάθρου των 2,73Κ ) πολύ περισσότερη ενέργεια από όση εκπέμπει. Μια μαύρη τρύπα με μάζα 4,5.1022 Kg (περίπου όση είναι η μάζα του Φεγγαριού) έχει θερμοκρασία γύρω στους 2,7Κ και άρα απορροφά τόση ενέργεια όση και εκπέμπει. Για μικρότερες μαύρες τρύπες, η ακτινοβολία Hawking υπερισχύει της πρόσληψης ενέργειας από την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου και έτσι μια τέτοια μαύρη τρύπα χάνει ενέργεια (και άρα μάζα) και τελικά «εξατμίζεται» (ή «εξαερώνεται»). Πάντως οι πρώτοι που μελέτησαν τη δυνατότητα εκπομπής ακτινοβολίας από μια μαύρη τρύπα ήταν οι Σοβιετικοί φυσικοί Γιάκοφ Ζέλντοβιτς (Yakov Borisovich Zel’dovich 1914-1887, γεννημένος στη Λευκορωσία) και Αλεξέι Σταρομπίνσκι (Alexei Starobinsky), οι οποίοι γύρω στα 1973 ανακάλυψαν ότι οι περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες θα μπορούσαν να δη-
  18. 18. μιουργήσουν σωματίδια και να τα «εκτινάξουν» στο χώρο. Η ενέργεια των εκπεμπόμενων σωματιδίων θα μπορούσε να προέρχεται από τον περιστρεφόμενο χώρο που καθορίζει το σύνορο της μαύρης τρύπας. Ο Hawking προσπαθώντας να αναπτύξει μια μαθηματική θεωρία για την εκπομπή σωματιδίων στα πλαίσια της κβαντομηχανικής, διαπίστωσε ότι ακόμα και οι μη περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες θα μπορούσαν να εκπέμπουν σωματίδια.
  19. 19. [4]. Λίγα τώρα για την κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου. Το Σύμπαν διαστέλλεται και ψύχεται. Στα αρχικά στάδια αυτής της διαστολής, η θερμοκρασία ήταν τόσο πολύ υψηλή ώστε η ενεργειακή πυκνότητα της ακτινοβολίας ήταν τόσο μεγάλη που απέτρεπε τον σχηματισμό ατόμων ( kT  1eV , όπου k είναι η σταθερά Boltzmann και T η απόλυτη θερμοκρασία). Την περίοδο αυτή η ακτινοβολία ήταν συζευγμένη με τα ελεύθερα ηλεκτρόνια , και τα πρωτόνια με τα οποία παρέμενε σε θερμική ισορροπία. Όταν το Σύμπαν ψύχθηκε κάτω από τους 3000Κ (κάτι που έγινε όταν το Σύμπαν ήταν περίπου 380.000 ετών), άρχισαν να δημιουργούνται άτομα υδρογόνου και να εκλείπουν τα ελεύθερα φορτία. Τα ουδέτερα άτομα δεν αλληλεπιδρούσαν πλέον με την ακτινοβολία όπως προηγουμένως τα ελεύθερα φορτία και έτσι το Σύμπαν έγινε «διαφανές» στα φωτόνια αυτής της ακτινοβολίας, τα οποία πλέον απέκτησαν την «ελευθερία» τους. Έτσι η ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία αποδεσμεύθηκε από την ύλη και έπαψε να βρίσκεται σε θερμική ισορροπία με αυτή. Την εποχή εκείνη τα φωτόνια είχαν μια θερμική κατανομή που αντιστοιχούσε στην ακτινοβολία μέλανος σώματος 3000Κ. Από τότε το Σύμπαν έχει διασταλεί κατά έναν παράγοντα του 1000 και έχει ψυχθεί. Η ακτινοβολία που απομένει σήμερα, απομεινάρι της τότε ακτινοβολίας των 3000Κ, «γεμίζει» ολόκληρο το Σύμπαν και αντιστοιχεί πλέον σε ακτινοβολία μέλανος σώματος περίπου 3Κ (2,73Κ). Τα φωτόνιά της έχουν ενέργεια που βρίσκεται στην περιοχή των μικροκυμάτων, πρόκειται επομένως για μικροκυματική ακτινοβολία. Η κοσμική ακτινοβολία υποβάθρου ανακαλύφθηκε από τους Arno Penzias και Robert Wilson, μάλλον τυχαία το 1965. Με μεγάλη ακρίβεια μετρήθηκε από τον δορυφόρο COBE (Cosmic Background Explorer). Οι μετρήσεις του COBE έδειξαν ότι πρόκειται για ακτινοβολία που αντιστοιχεί σε μέλαν σώμα με θερμοκρασία 2,73Κ. Είναι μια σχεδόν (με ακρίβεια περίπου 1 προς 100.000) ομογενής και ισότροπη ακτινοβολία. Στα 1992, ο COBE βρήκε πολύ μικρές αποκλίσεις στην ένταση σε συγκεκριμένες κατευθύνσεις.
  20. 20. 9 year WMAP image of the CMB temperature anisotropy (2012).
  21. 21. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΝΑΦΟΡΕΣ 38th International Physics Olympiad (Isfahan-Iran, July 2007) Black hole thermodynamics Hawking radiation Stefan–Boltzmann law Cosmic background radiation Cosmic Background Explorer Η Μαύρη Τρύπα είναι η περιοχή του χώρου, όπου ο Θεός …διαιρεί με το Μηδέν. ΑΝΩΝΥΜΟΣ ΑΘΗΝΑ, ΜΑΡΤΗΣ 2013 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

×