Κβαντομηχανική για την Γ' Λυκείου - Νίκος Διαμαντής

Από το μέλαν σώμα στην
εξίσωση του Schrödinger
Νικόλαος Γ. Διαμαντής
ΣΕΕ των ΠΕ04 του ΠΕΚΕΣ Θεσσαλίας.

Περιεχόμενα
Α
Χρονικό ανακάλυψης της Κβαντομηχανικής και
διδασκόμενη ύλη - γενικοί διδακτικοί στόχοι
Β Παλαιά Κβαντική Φυσική
✓ Μέλαν Σώμα
✓ Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
✓ Φαινόμενο Compton
Γ
Στοιχεία Κβαντομηχανικής
✓ Υλικά Κύματα
✓ Κυματοσυνάρτηση, Εξίσωση του Schrödinger
✓ Αρχή της Απροσδιοριστίας

Α
Χρονικό ανακάλυψης της Κβαντομηχανικής και
διδασκόμενη ύλη - γενικοί διδακτικοί στόχοι
Γ Στοιχεία Κβαντομηχανικής

Από το μέλαν σώμα στην εξίσωση του Schrödinger
Ν. Διαμαντής ΣΕΕ, ΠΕ04 ΠΕΚΕΣ Θεσσαλία
1900-1930 : Περίοδος ορόσημο για την
κβαντομηχανική
4
Σήμερα
1900
Μέλαν σώμα-
Υπόθεση
Planck
1905
Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
και υπόθεση Einstein.
Ειδική Θεωρία της
σχετικότητας και φωτόνια
(σωματιδιακή φύση του
φωτός)
1926
Εξίσωση του
Schrodinger
1923
Φαινόμενο
Compton, ερμηνεία
με τα φωτόνια
1925
Υλικά κύματα
L. de Broglie
1927
Αρχή απροσδιοριστίας
του Heisenberg
Ιστορική αναδρομή - Ύλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής

Ακτινοβολία μέλανος σώματος
5
➢ Ανάλυση της ακτινοβολίας μέλανος σώματος.
➢ Αποτυχία απόπειρας κλασικής ερμηνείας (Νόμος
των Rayleigh-Jeans).
➢ Υπόθεση Planck: Επιτρεπόμενες τιμές ενέργειας
εκπομπής για κάθε συχνότητα. Κβάντο ενέργειας.
Εισαγωγή της σταθεράς h. Προσδιορισμός της
σταθεράς h.
Περιεχόμενο
✓ Αναγνώριση αδυναμιών κλασικής φυσικής ερμηνείας φαινομένου – υπόθεση
Planck προς ερμηνεία του φαινομένου
✓ Κατανόηση έννοιας της κβάντωσης
✓ Κβάντωση οφείλεται στους ταλαντωτές
✓ Προσδιορισμός της τιμής h του Planck με πειραματικά δεδομένα (ταύτιση
φόρμας Planck και πειραματικής καμπύλης
Διδακτικοί στόχοι

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο
6
➢ Ηλεκτρόνια αποσπώνται από μεταλλική επιφάνεια
όταν πέσει σε αυτή φως
➢ Η υπόθεση των κβάντων (φωτονίων) του Einstein
φυσικής να ερμηνεύσει το φαινόμενο ,
✓ Αναγνώριση αδυναμίας ερμηνείας με την κλασική
φυσική
✓ Αναγνώριση ερμηνείας των νόμων του
φωτοηλεκτρικού φαινομένου με την υπόθεση του
Einstein
✓ Προβληματισμός ως προς τη σωματιδιακή φύση του
φωτός
✓ Έμφαση στη φύση του φωτός και σχέση μεταξύ
φωτός-κβάντα

Ενέργεια και ορμή φωτονίου
7
➢ Το κβάντο του φωτός στο πλαίσιο της ειδικής
θεωρίας της σχετικότητας είναι σωματίδιο με ορμή
και ενέργεια
✓ Να αναγνωρίζουν τη διατύπωση του Einstein ως
αποτέλεσμα συνδυασμού των αρχικών ιδεών του
κβάντου και της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας
✓ Να γίνει αποσαφήνιση των εννοιών σώμα και κύμα
✓ Να αναγνωρίζουν τις σχέσεις σύνδεσης των
κυματικών χαρακτηριστικών του φωτός με αυτά των
σωματιδιακών του φωτονίου

Φαινόμενο Compton
8
➢ Το φωτόνιο συγκρούεται με ελεύθερο ηλεκτρόνιο και
σκεδάζεται αποκτώντας μικρότερη ορμή(μετατόπιση
μήκους κύματος)
✓ Να αναγνωρίζουν το φαινόμενο Compton ως
επιβεβαίωση της σωματιδιακής φύσης του φωτός
✓ Να διακρίνουν τις διαφορές του φαινομένου
Compton και του φωτοηλεκτρικού φαινομένου
✓ Να αναγνωρίζουν πλέον το δυϊσμό του φωτός
Ιστορική αναδρομή-Ύλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής

Υλικά κύματα
9
➢ Κάθε κινούμενο σωματίδιο συνοδεύεται πάντα από
τη διάδοση ενός κύματος
✓ Να αναγνωρίζουν την υπόθεση του de Broglie ως
γενίκευση του δυϊσμού του φωτός
✓ Να διαπιστώνουν την ύπαρξη υλικών κυμάτων
(κυματοσυνάρτηση) μέσω της αναφοράς
αποτελεσμάτων από συγκεκριμένα πειράματα

Αρχή απροσδιοριστίας του Heisenberg
➢ Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε ταυτόχρονα τη
θέση και την ορμή με απεριόριστη ακρίβεια
✓ Να αναγνωρίζουν ότι η αρχή απροσδιοριστίας είναι
συνέπεια του δυϊσμού, συνέπεια του γεγονότος ότι
το ηλεκτρόνιο συνοδεύεται από κύμα προκύπτει η
αρχή απροσδιοριστίας και αντίστροφα
✓ Να διακρίνουν τη σχέση της κυματοσυνάρτησης με
την απροσδιοριστία(απόπειρα ερμηνείας των υλικών
κυμάτων)
✓ Να αναγνωρίζουν ότι ταυτόχρονη συνύπαρξη της
σωματιδιακής και κυματικής φύσης γεννά μια νέα
φυσική
✓ Να αναγνωρίζουν την αναγκαιότητα αναζήτησης της
κυματοσυνάρτησης και της αντίστοιχης εξίσωσης
που υπακούει

Κυματοσυνάρτηση - εξίσωση του Schrödinger
11
➢ Η κυματοσυνάρτηση είναι μια μιγαδική συνάρτηση
και το τετράγωνο του μέτρου της εκφράζει την
πυκνότητα πιθανότητας ανίχνευσης του σώματος
➢ Η εξίσωση του Schrödinger είναι η διαφορική
εξίσωση της οποίας λύση είναι η κυματοσυνάρτηση
➢ Να αναγνωρίζουν την ερμηνεία της
κυματοσυνάρτησης.
➢ Να αναγνωρίζουν την εξίσωση του
Schrödinger ως «νόμο» της φυσικής.
➢ Να αναφέρονται στα αντίστοιχα θέματα της
χημείας.

Μέλαν Σώμα.
Έναυσμα ενδιαφέροντος-Υποθέσεις.
1. Κάθε σώμα σε οποιαδήποτε
θερμοκρασία εκπέμπει
ακτινοβολία.
2. Σχέση θερμοκρασίας και μήκους
κύματος.
3. Παγκοσμιότητα του φαινομένου
(μέλαν σώμα).
4. Μελέτη του φάσματος.
13

Πειραματική μελέτη.
Πείραμα Μέλαν Σώμα. (προσομοίωση)
1. Εξοικείωση με την προσομοίωση.
2. Προσδιορισμός των πειραμάτων και
των αντίστοιχων μεταβλητών.
3. Καταγραφή αποτελεσμάτων
14

Πειραματικά αποτελέσματα.
Νόμοι:
I. Η καμπύλη σε άξονες 𝐼𝜆-𝜆 είναι ίδια,
ανεξάρτητα από το υλικό από το
οποίο είναι κατασκευασμένη η
κοιλότητα.
II. Νόμος μετατόπισης του Wien:
𝜆𝑚𝑎𝑥 𝑇 = 𝑏.
III. Ο νόμος των Stefan-Boltzmann:
𝐼 = 𝜎
𝑇4
15

Θεωρητικά μοντέλα ερμηνείας.
I. Rayleigh-Jeans. Εφαρμογή των νόμων της κλασικής
φυσικής : Συμφωνεί μόνο σε μεγάλα μήκη κύματος
για την κατανομή της έντασης.
II. Planck. Κατασκευή μαθηματικής φόρμας 𝐼𝜆 =
F T, λ, c, h .
Ταύτιση με πειραματικά αποτελέσματα για
ℎ = 6,626 × 10− 34
𝐽⋅

𝑠
Θεωρητική απόδειξη με την υπόθεση : Κατά τη θερμική
εκπομπή ακτινοβολίας, για κάθε συχνότητα οι μόνες
επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας της ακτινοβολίας είναι:
𝐸 = 0, ℎ𝑓, 2ℎ𝑓, 3ℎ𝑓, . . . ή
𝐸𝑛 = 𝑛ℎ𝑓, 𝑛 = 0,1,2, . . .
Δηλαδή η ενέργεια είναι κβαντισμένη!!
16

Διεπιστημονικές –διαθεματικές εφαρμογές.
I. Θερμοκρασίες αστέρων και
μέλαν σώμα.
II. Η ακτινοβολία του ματιού της
κουζίνας. Σχετικοί υπολογισμοί.
17

Μέλαν Σώμα. Ένταση ακτινοβολίας
18
➢ 𝐼 =
𝑑𝑃
𝑑𝐴
➢ Για μονοχρωματική δέσμη είναι
𝐼 = 𝑐𝜀0𝐸0
2
➢ Στην περίπτωση ομοιόμορφης δέσμης και
κάθετη στην επιφάνεια είναι
𝑃 =
𝐸
𝑡
και 𝐼 =
𝐸
𝐴𝑡
➢ Μετριέται με ειδικά όργανα τους
αισθητήρες ακτινοβολίας.

Μέλαν Σώμα. Φασματική κατανομή
ακτινοβολίας
19
➢𝐼𝜆 =
𝑑𝐼 𝜆,𝜆+𝑑𝜆
𝑑𝜆
𝑑𝐼 𝜆, 𝜆 + 𝑑𝜆 = 𝐼𝜆𝑑𝜆
𝐼 = σ𝑖 𝐼𝜆𝑖
𝛥𝜆𝑖.
➢Μετριέται με τα φασμοφωτόμετρα, αφού
προηγηθεί η ανάλυση με πρίσμα ή η
παρεμβολή ειδικών φίλτρων διέλευσης
παραθύρου συχνοτήτων.

Μέλαν Σώμα. Νόμος των Rayleigh-
Jeans(κλασική ερμηνεία).
20
Ιστορική αναδρομή -Υλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
H πυκνότητα της ενέργειας των Η/Μ κυμάτων στην
κοιλότητα u(f,T), συνδέεται με την φασματική
κατανομής I(f,Τ) με την σχέση
𝐼(𝑓, 𝑇) =
𝑐3
8𝜋
𝑢(𝑓, 𝑇)
Δημιουργούνται στάσιμα κύματα στην κοιλότητα,
υπολόγισαν τους δυνατούς τρόπους ταλάντωσης, δηλ
την πυκνότητα των καταστάσεων.
Για κάθε κατάσταση έχουμε ενέργεια ε= 4(1/2kT),
διότι είναι 4 οι βαθμοί ελευθερίας. Είναι:
𝑢(𝑓, 𝑇) =
8𝜋
𝑐3
𝑓2𝑘𝑇
… Δεν συμφωνεί με τα πειραματικά
αποτελέσματα.

Μέλαν Σώμα. Υπόθεση του Planck.
21
Εμπειρική φόρμα:
𝑢 =
8𝜋ℎ
𝑐3
𝑓3
𝑒
ℎ𝑓
𝑘𝑇 − 1
η οποία ταυτίζεται πλήρως με τα πειραματικά δεδομένα για την
τιμή του h
ℎ = 6,626 × 10− 34 𝐽⋅

𝑠
Όμως για την θεωρητική απόδειξη αυτής της σχέσης με
εφαρμογή της στατιστικής φυσικής, έκανε την υπόθεση ότι:
Κατά τη θερμική εκπομπή ακτινοβολίας, για κάθε συχνότητα οι
μόνες επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας της ακτινοβολίας
είναι:
𝐸 = 0, ℎ𝑓, 2ℎ𝑓, 3ℎ𝑓, . . . ή
𝐸𝑛 = 𝑛ℎ𝑓, 𝑛 = 0,1,2, . . .

Μέλαν Σώμα. Παρατηρήσεις.
22
➢O Planck υποστήριξε ότι η ακτινοβολία εκπέμπεται και
απορροφάται κατά κβάντα (δηλαδή κατά ασυνεχή τρόπο), επειδή
οι ταλαντωτές που την εκπέμπουν έχουν αυτή την ιδιότητα.
Εξακολουθούσε να πιστεύει ότι η ακτινοβολία έχει συνεχή
ενεργειακή και χωρική υφή (απλωμένη στον χώρο).
➢Από τη σχέση για την φασματική κατανομή προκύπτει ο νόμος
του Wien και ο νόμος των Stefan-Boltzmann.
➢Συνήθως στον άξονα του 𝐼𝜆 δεν βάζουμε μονάδες πάρα μόνο σε
κάποια κλίμακα με αυθαίρετες μονάδες. Σε απόσταση από το
μέλαν σώμα η μορφή της καμπύλης 𝐼𝜆 − 𝜆 δεν αλλάζει και το
𝜆𝑚𝑎𝑥 είναι το ίδιο.

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
23

Έναυσμα ενδιαφέροντος-Υποθέσεις.
24
Πείραμα. (Βίντεο). Εκφόρτιση
ηλεκτροσκοπίου όταν φωτισθεί(Tomson
1899).
Παρατήρηση εικόνας.
1. Ανακάλυψη του φωτοηλεκτρικού
φαινομένου. Πότε εμφανίζεται σε σχέση
με τη συχνότητα.
2. Εξάρτηση του φωτορεύματος από
ένταση της ακτινοβολίας.
3. Εξάρτηση της μέγιστης κινητικής
ενέργειας από τη ένταση και τη
συχνότητα της ακτινοβολίας. κ.α.

25
1. Μελέτη της συσκευής.
2. Καταγραφή των πειραμάτων-
Προσδιορισμός των εξαρτημένων και
ανεξάρτητων μεταβλητών
3. Πείραμα μελέτης του φωτοηλεκτρικού
φαινομένου. (προσομοίωση).

Πειραματική μελέτη. Αποτελέσματα.
26
1. Το φωτοηλεκτρικό ρεύμα σε συνάρτηση
με την τάση για διάφορες τιμές της
έντασης.
2. Τάση αποκοπής(μέγιστη κινητική
ενέργεια φωτοηλεκτρονίων) σε συνάρτηση
με την συχνότητα. Επανάληψη για
διαφορετικά υλικά.
3. Καταγραφή των αποτελεσμάτων.

Πειραματικά αποτελέσματα-Επεξεργασία-Διατύπωση
νόμων.
27
1. Το φωτοηλεκτρικό ρεύμα είναι ανάλογο προς την ένταση της
προσπίπτουσας φωτεινής ακτινοβολίας. Εμφανίζεται ακαριαία και μόνο
όταν η τιμή της συχνότητας της προσπίπτουσας ακτινοβολίας είναι
μεγαλύτερη από μια συχνότητα fc, χαρακτηριστική για κάθε μέταλλο.
2. Η μέγιστη κινητική ενέργεια των φωτοηλεκτρονίων εξαρτάται μόνο
από τη συχνότητα της προσπίπτουσας ακτινοβολίας και όχι από την
ένταση της ακτινοβολίας (e Vo=Kmax ) .

28
Κλασικό μοντέλο:
➢Μεγάλη ένταση 𝐼 άρα ισχυρό ηλεκτρικό πεδίο 𝐸.
Συνεπώς ισχυρότερο «λάκτισμα» (𝐹 = 𝑒𝐸 ). στο
ηλεκτρόνιο και συνεπώς μεγαλύτερη κινητική ενέργεια
Kmax
➢Συνεχής ροή ενέργειας, άρα χρονοκαθυστέρη στην
εμφάνιση φωτορεύματος για χαμηλή ένταση. Εμφάνιση
φωτορεύματος για κάθε συχνότητα.
….Ασυμφωνίαμετοπείραμα.

29
Υπόθεση Einstein (σύνδεση με τα προηγούμενα)
➢ H ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία διαδίδεται με ασυνεχή τρόπο.
Αποτελείται από πακέτα ενέργειας τα φωτόνια τα οποία
διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτός και είναι εντοπισμένα στο
χώρο. Το φωτόνιο έχει ενέργεια
𝐸 = ℎ𝑓
➢ Ένα φωτόνιο προσπίπτει μόνο σε ένα ηλεκτρόνιο του μετάλλου το
οποίο απορροφά την ενέργεια ℎ𝑓 του φωτονίου.
➢ Για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο έγραψε την (φωτοηλεκτρική)
εξίσωση:
ℎ𝑓 = Φ + 𝐾max
Η ποσότητα Φ (έργο εξαγωγής) είναι η ελάχιστη ενέργεια που
απαιτείται ώστε μόλις να εξέλθει( δηλαδή με μηδενική ταχύτητα) ένα
ηλεκτρόνιο από την επιφάνεια του μετάλλου.

30
Η υπόθεση Einstein ερμηνεύει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
➢ Μεγαλύτερη ένταση, άρα μεγαλύτερη ροή φωτονίων συνεπώς
περισσότερα φωτοηλεκτρόνια.
➢ Το ηλεκτρόνιο απορροφά ένα μόνο φωτόνιο. Άρα η κινητική
ενέργεια εξαρτάται από τη συχνότητα (𝐸 = ℎ𝑓) και όχι από την
έντασή της ακτινοβολίας. Το φωτορεύμα εμφανίζεται ακαριαία.
➢ Από την εξίσωση του Einstein έχουμε:
𝐾max = ℎ𝑓 − Φ
Όταν είναι 𝐾max=0, προκύπτει ℎ𝑓c=Φ ή 𝑓c =
𝛷
ℎ
. Συνεπώς για
μικρότερες συχνότητες από τη συχνότητα κατωφλίου η ενέργεια
είναι μικρότερη από το έργο εξαγωγής και επομένως δεν παράγεται
φωτοηλεκτρόνιο

Διεπιστημονικές διαθεματικές, τεχνολογικές εφαρμογές .
31
➢ Φωτοανιχνευτές: Βασικό τμήμα η φωτοδίοδος της
οποίας η λειτουργία της στηρίζεται στο ατομικό
φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
Χρήσεις: CD Players, ανιχνευτές καπνού,
τηλεχειρηστήρια (TV, VCR), ρυθμιστές φωτεινότητας
(ρολόγια, φώτα στήλων), κ.α.
➢ Φωτοπολλαπλασιαστές: Ένα μόνο φωτόνιο μπορεί
να προκαλέσει ανιχνεύσιμο ηλεκτρικό ρεύμα.
Χρήσεις: Πειράματα πυρηνικής φυσικής ανίχνευση
ακτινοβολίας, πειράματα εκπομπής φωτός από διατάξεις
ημιαγωγών και ιατρικές συσκευές: ανάλυση αίματος,
διάγνωση με χρήση οπτικών ινών.

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Παρατηρήσεις.
32
➢ Η κινητική ενέργεια
φωτοηλεκτρονίων και η ενέργεια
Fermi EF.
➢ Δεν έχουν όλα τα φωτοηλεκτρόνια
την μέγιστη κινητική ενέργεια.
➢ Κάποιο ποσοστό από τα
προσπίπτοντα φωτόνια οδηγεί με
φωτοηλεκτρόνια.

Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Παρατηρήσεις.
33
➢ Σο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο τα φωτοηλεκτρόνια ήταν στη ζώνη
αγωγιμότητας. Η ενέργεια του φωτονίου είναι συγκρίσιμη του
έργου εξαγωγής Φ του μετάλλου για αυτό και η ακτινοβολία είναι
συνήθως στο ορατό και υπεριώδες φάσμα (μερικά eV).
➢ Με χρήση ακτίνων Χ (τάξης KeV), αποσπώνται δέσμια
ηλεκτρόνια των ατόμων ή των μορίων και το φαινόμενο λέγεται
ατομικό φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.(δευτερογενή ηλεκτρόνια
Auger)
➢ Τα κβάντα ενέργειας της ακτινοβολίας, σύμφωνα με την υπόθεση
του Einstein, οφείλονται στη φύση της ακτινοβολίας και όχι στον
ασυνεχή τρόπο της εκπομπής και απορρόφησης της όπως
διατυπώθηκε από τον Planck.
➢ Πείραμα Millican .Υπολογισμός της σταθεράς του Planck.
➢ Πείραμα Duane et al. Βομβαρδισμός μεταλλικού στόχου με
ηλεκτρόνια σταθερής ενέργειας. Για τη μέγιστη συχνότητα των
παραγομένων ακτίνων Χ ισχύει
1
2
𝑚𝑢2
= ℎ𝑓𝑚𝑎𝑥

Φωτόνια. Έναυσμα ενδιαφέροντος, υποθέσεις
34
Ιστορική αναδρομή Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
➢ Ορμή ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Το κύμα
προσπέσει σε ακίνητο (έστω θετικό) φορτίο 𝑞,
τότε αυτό δέχεται δύναμη ( 𝐹
𝑥 = 𝑞Ԑ)
αποκτώντας ταχύτητα 𝑢𝑥 . Δέχεται, μαγνητική
δύναμη ( 𝐹𝑀 = 𝑞𝑢𝑥𝐵 ) που μεταφέρει ορμή
στο φορτίο.
➢ Υποθέσεις προβληματισμοί:
1. Έχει ορμή το φωτόνιο και πόση είναι;
2. Είναι το φωτόνιο σωματίδιο;
3. Πως συνδέεται το πείραμα της συμβολής των
δύο σχισμών (Young) με το σωματιδιακό
χαρακτήρα των φωτονίων;

Φωτόνια. Θεωρητικό μοντέλο των φωτονίων
35
Einstein:
Θεωρώντας το φωτόνιο σωματίδιο που κινείται με
την ταχύτητα του φωτός, στα πλαίσια της ειδικής
θεωρίας της σχετικότητας έχουμε:
𝑚𝑝ℎ = 0 και 𝐸 = 𝑝𝑐
Προκύπτουν οι σχέσεις που συνδέουν τα
σωματιδιακά χαρακτηριστικά των φωτονίων με
τα κυματικά χαρακτηριστικά των Η/Μ κυμάτων:
𝐸 = ℎ𝑓 ή 𝐸 =
ℎ𝑐
𝜆
και 𝑝 =
ℎ
𝜆
Το 1926 επινοήθηκε ο όρος «φωτόνιο» από τον
Gilbert Lewis.

Φωτόνια. Πειραματική μελέτη.
36
Πείραμα Taylor. ( Προσομοίωση)
2. Χρησιμοποιείστε «δύο σχισμές» και
«φωτόνια».
3. Επιλέξετε «υψηλή πυκνότητα» ή «απλό
σωματίδιο». Στο «απλό σωματίδιο»
έχουμε χαμηλή ένταση ώστε να είναι
μόνο ένα φωτόνιο στη διάταξη.
4. Λάβετε φωτογραφίες του πετάσματος σε
τακτά χρονικά διαστήματα(copy screen).

Φωτόνια. Πειραματική μελέτη. Επεξεργασία
αποτελεσμάτων συμπεράσματα.
37
Ιστορική αναδρομή-Υλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
Συμπεράσματα:
1. Τα στίγματα υποδηλώνουν την σωματιδιακή
φύση του φωτός.
2. Με την πάροδο του χρόνου σχηματίζεται το
αποτέλεσμα που προκύπτει με τη συμβολή
των κυμάτων.
3. Η κατάληξη του φωτονίου στο πέτασμα είναι
στατιστικό αποτέλεσμα. Η πιθανότητα είναι
ανάλογη με την κλασική ένταση και συνεπώς
ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους του
ηλεκτρικού πεδίου .

Φωτόνια. Πειραματική μελέτη. Επεξεργασία
αποτελεσμάτων συμπεράσματα.
38
Ιστορική αναδρομή-Υλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
Εναλλακτικά δίνονται τα αποτελέσματα
επανάληψης του πειράματος Taylor
παραλείποντας την προσομοίωση, από όπου
εξάγονται τα συμπεράσματα.

Φωτόνια. Διεπιστημονικές διαθεματικές
εφαρμογές .
39
1. Βαρυτική ερυθρή μετατόπιση και το
πείραμα Pound-Rebka
2. Βαρυτική ερυθρή μετατόπιση
και ακτίνα Schwarzchild

Φαινόμενο Compton.
40

Έναυσμα ενδιαφέροντος.
41
1. Τι παρατηρείτε στη διπλανή εικόνα;
2. Θα μπορούσε να σκεδαστεί το
φωτόνιο με ένα ηλεκτρόνιο και γιατί;

Πείραμα.
42
1. Περιγραφή της πειραματικής διάταξης.
2. Με ακτίνες Χ βομβαρδίζεται στόχος
από άνθρακα. Μελετάται η
σκεδαζόμενη σε γωνία θ ακτίνα.
3. Μελετάμε την εξάρτηση της
μετατόπισης Δλ του μήκους κύματος με
τη γωνία σκέδασης.

Πειραματικά δεδομένα. Επεξεργασία
δεδομένων
43
➢Παρατηρείται μετατόπιση του μήκους
κύματος.
➢Μερικά από τα αποτελέσματα απεικονίζονται
δίπλα.
➢Από τις εικόνες υπολογίζεται η μετατόπιση Δλ
για διάφορες τιμές της γωνίας σκέδασης θ.
➢Εμφανίζονται δύο κορυφές.
➢Από την επεξεργασία των δεδομένων
προκύπτει η σχέση:
𝚫𝝀 ∝ 𝟏 − 𝛔𝛖𝛎𝜽

44
Ο Compton ερμήνευσε το φαινόμενο θεωρώντας
το φωτόνιο ως σωματίδιο με ενέργεια και ορμή,
το οποίο συγκρούεται με τα ηλεκτρόνια.
Εφαρμόζοντας τις αρχές διατήρησης της
σχετικιστικής ενέργειας και σχετικιστικής ορμής
κατά την κρούση κατέληξε στην εξίσωση:
𝜆′
− 𝜆 =
ℎ
𝑚𝑐
1 − συν 𝜃
Δ𝜆 = 𝜆𝑐 1 − συν𝜃
Η ποσότητα 𝜆c =
ℎ
𝑚𝑐
ονομάζεται μήκος
κύματος Compton του ηλεκτρονίου.
Η θεωρητική σχέση ταυτίζεται με την
πειραματική.

Φαινόμενο Compton. Παρατηρήσεις
45
Δύο κορυφές στο πείραμα:
Είναι:
𝜆′
− 𝜆 =
ℎ
𝑚𝑐
1 − συν 𝜑
Όταν το φωτόνιο σκεδάζεται με ηλεκτρόνια με
ισχυρή σύνδεση, τότε όπου m είναι η μάζα του
ατόμου ή του μορίου ή πλέγματος και η
μετατόπιση είναι πολύ μικρότερη(π.χ. για τον
άνθρακα 22000 φορές). Για αυτό ανιχνεύονται
δύο ακτίνες στο πείραμα. Μία με το αρχικό
μήκος κύματος, αυτό της προσπίπτουσας και
μία με το μετατοπισμένο από τη σκέδαση στα
«ελεύθερα» ηλεκτρόνια.

Φαινόμενο Compton. Συγκρίσεις
46
➢Όλη η ενέργεια του φωτονίου απορροφάται
από ένα ηλεκτρόνιο.
➢Προσπίπτουσα ακτινοβολία, ορατού ή
υπεριώδους φάσματος , της τάξεως μερικών
eV, εκπέμπονται φωτοηλεκτρόνια από τη
ζώνη αγωγιμότητας. (Φ~ℎ𝑓)
➢Προσπίπτουσες ακτίνες Χ (ΚeV),
εκπέμπονται φωτοηλεκτρόνια από εσωτερικά
ηλεκτρόνια. (Ατομικό φωτοηλεκτρικό
φαινόμενο). Κανόνας Moseley EK=13,6(Z-
3)2 eV(διαφορά ενέργεια n=2 και n=1).
➢Στο φαινόμενο Compton,το ηλεκτρόνιο έχει
σχετικά πολύ μικρότερη ενέργεια από αυτή
του φωτονίου(ακτίνες Χ) ώστε να θεωρείται
ελεύθερο.
➢Αν σκεδαστεί με εσωτερικό ηλεκτρόνιο, τα
οποία έχουν συγκρίσιμη ενέργεια με τα
φωτόνια, τότε έχουμε ανάκλαση του
φωτονίου δηλ. φωτόνιο με ίδιο μήκος
κύματος. (Σύμφωνή σκέδαση ή σκέδαση
Rayleigh)
Φαινόμενο Compton:

Παλαιά Κβαντική Φυσική: Κβάντωση. Το φως έχει και
σωματιδιακή φύση. Κυματοσωματιδιακός Δυϊσμός του Einstein.
47
Μέλαν Σώμα
Κβάντωση
(Planck)
Φωτοηλεκτρικό
φαινόμενο
Κβάντα του
Einstein(φω-
τόνια)
Θεωρία της
σχετικότητας
Σωματιδιακή
φύση του
φωτός.
Σκέδαση
Compton

Α
Χρονικό της Κβαντομηχανικής και διδασκόμενη
ύλη - γενικοί διδακτικοί στόχοι
Γ
Στοιχεία Κβαντομηχανικής

Υλικά κύματα. Έναυσμα
ενδιαφέροντος.
50
Φως είναι
κύμα, στην
κλασική
φυσική
Κυματικά
χαρακτηριστικά:
f,λ
Σώμα για την
κλασική
φυσική, π.χ.
ηλεκτρόνιο
Σωματιδιακά
E=hf, p=h/λ
Κυματικά
f=??, λ=??
Σωματιδιακά
E, p
???
???
?
Προβληματισμοί υποθέσεις:
1. Θα μπορούσε να γενικευθεί ο κυματοσωματοδυϊσμός
για τα σώματα;
2. Ποια θα μπορούσαν να είναι οι τα αντίστοιχα
κυματικά χαρακτηριστικά;

Υλικά κύματα. Θεωρητικό
μοντέλο.
51
➢Υπόθεση de Broglie. Γενίκευση και στα σωματίδια του
κυματοσωματιδιακού δυϊσμού του Einstein για το φως. «Κάθε
κινούμενο σωματίδιο συνοδεύεται πάντα από τη διάδοση ενός
κύματος».
➢ Είναι:
𝑓 =
𝐸
ℎ
και 𝜆 =
ℎ
𝑝
,
𝐸 και 𝑝 η σχετικιστική ενέργεια και σχετικιστική ορμή αντίστοιχα.
➢Αν(𝑢 << 𝑐), είναι 𝑝 = 𝑚𝑢 και το μήκος κύματος έχει την τιμή:
𝜆 =
ℎ
𝑚𝑢
Τα υλικά κύματα λέγονται
κυματοσυναρτήσεις και
γράφονται Ψ(x,t)

Υλικά κύματα.
52
➢Πείραμα Davisson και Germer
➢Περιγραφή σχηματικής πειραματικής
διάταξης.
➢Καταγραφή τάσης επιτάχυνσης ηλεκτρονίων
και γωνίας πρώτου μεγίστου.

Επεξεργασία πειραματικών
δεδομένων
Παρατηρούνται φαινόμενα συμβολής
και περίθλασης.
Από την παρακάτω σχέση της
σκέδασης Bragg:
𝑛𝜆 = 2 𝑑 𝜂𝜇 (90°
− 𝛼/2)
για 𝑛=1 και υπολογίζοντας
πειραματικά με ακτίνες X το
αντίστοιχο 𝑑 , υπολογίζονται οι
αντίστοιχες τιμές του λ για κάθε τιμή
της γωνία α.
Τα αποτελέσματα είναι αυτά του
διαγράμματος.
53

Υλικά κύματα. Θεωρητικό
μοντέλο ερμηνείας.
➢ Υπόθεση de Broglie: Το ηλεκτρόνιο είναι κύμα
με
𝜆 =
ℎ
2𝑚𝑒𝑉
ή 𝜆 =
12,3
𝑉
Å
Η παραπάνω έκφραση συμφωνεί με την διπλανή
γραφική παράσταση.
Συνεπώς ή υπόθεση de Broglie, των υλικών κυμάτων
συμφωνεί και εξηγεί τα πειραματικά αποτελέσματα.
➢ Για την ιστορία, οι Davisson και Germer για 𝑉 =
54V όπου το αντίστοιχο μήκος de Broglie είναι
𝜆 = 1,66Å είχαν μετρήσει 𝛼 = 50°
και 𝑑 =
0.91Å που αντιστοιχεί σε 𝜆 = 1,65Å
54

Πειραματική μελέτη.2ο Πείραμα.
55
➢ Πείραμα A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda, and
T. Kawasaki Συμβολή ηλεκτρονίων από δύο
σχισμές (προσομοίωση).
2. Χρησιμοποιείστε «δύο σχισμές» και
«ηλεκτρόνια».
3. Επιλέξετε «υψηλή πυκνότητα» ή «απλό
σωματίδιο». Στο «απλό σωματίδιο» μόνο ένα
ηλεκτρόνιο στη διάταξη.
4. Λάβετε φωτογραφίες του πετάσματος σε τακτά
χρονικά διαστήματα(copy screen).

Υλικά κύματα. Πειραματική
μελέτη.2ο Πείραμα. Επεξεργασία και
ερμηνεία αποτελεσμάτων
56
➢ Πείραμα A. Tonomura, J. Endo, T. Matsuda,
and T. Kawasaki . Συμβολή ηλεκτρονίων από
δύο σχισμές.
Εναλλακτικά χρησιμοποιείστε τα δεδομένα της
διπλανής εικόνας τα οποία είναι αυτά του άρθρου
του πειράματος: American Journal of Physics
57, 117 (1989); https://doi.org/10.1119/1.16104
Τα αποτελέσματα συμφωνούν με τη υπόθεση των
υλικών κυμάτων.

Τεχνολογικές εφαρμογές.
57
➢Ηλεκτρονικό μικροσκόπιο.

Υλικά κύματα. Απόπειρα ερμηνείας της κυματοσυνάρτησης
58
➢Αρμονικό κύμα, η διαταραχή είναι το
ηλεκτρικό πεδίο Ε.
➢Συμβολή αρμονικών κυμάτων.
➢Η ένταση της ακτινοβολίας Ι είναι η
πιθανότητα να ανιχνευθεί το φωτόνιο.
➢Η ένταση της ακτινοβολίας συνεπώς και η
πιθανότητα είναι ανάλογη του Ε2
➢Αρμονικό κύμα(?), η διαταραχή είναι η
κυματοσυνάρτηση Ψ(x,t).
➢Συμβολή αρμονικών κυμάτων(?)
➢Αντίστοιχη ένταση(?) ίση με την πιθανότητα
ανίχνευσης του ηλεκτρονίου.
➢ Η πιθανότητα ανάλογη της Ψ2 (?)
Πείραμα Taylor Πείραμα Tonomura και συνεργατών
Το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης είναι η πυκνότητα
πιθανότητας ανίχνευσης του σωματιδίου.
𝑑𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝛹(𝑥, 𝑡) 2
𝑑𝑥

Η κυματοσυνάρτηση.
59

Κυματοσυνάρτηση. Αναζήτηση κυματικής
εξίσωσης, θεωρία του Schrodinger
60
➢ Αναζητώντας μια κυματική εξίσωση για τα υλικά κύματα de
Broglie, ο Schrödinger διατύπωσε την αντίστοιχη θεωρία
(1926) με προϊόν την αντίστοιχη εξίσωση.
➢ Λύση της εξίσωσης είναι η κυματοσυνάρτηση 𝛹 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
➢ Στην ειδική περίπτωση που το δυναμικό είναι ανεξάρτητο του
χρόνου(στάσιμες καταστάσεις), η κυματοσυνάρτηση έχει τη
μορφή
𝛹 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜑(𝑡)
Η 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 λέγεται ιδιοσυνάρτηση.
➢ Η ορθότητα της έχει ελεγχθεί σε πλείστα πειράματα.

Κυματοσυνάρτηση. Ανεξάρτητη του χρόνου
εξίσωσης, του Schrodinger (μια διάσταση)
61
➢Για προβλήματα μιας διάστασης με
δυναμικό ανεξάρτητη του χρόνου η
εξίσωση του Schrödinger έχει τη διπλανή
μορφή.
➢Λύση της εξίσωσης είναι οι
ιδιοκαταστάσεις (ιδιοσυναρτήσεις και οι
αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις της
ενέργειας) 𝜓𝑛 𝑥 και 𝐸𝑛.

Κυματοσυνάρτηση.
Ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης
62
➢ Οι Born, Bohr, Heisenberg και Jordan(1927) διατύπωσαν
την ερμηνεία για την κυματοσυνάρτηση 𝛹 που είναι
αποδεκτή μέχρι σήμερα και αναφέρεται ως ερμηνεία της
Κοπεγχάγης: Tο τετράγωνο του μέτρου της
κυματοσυνάρτησης 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 2
εκφράζει την πυκνότητα
πιθανότητας να ανιχνευθεί το σωματίδιο στη θέση (𝑥, 𝑦, 𝑧)
την δεδομένη χρονική στιγμή t.
➢ Η πιθανότητα 𝑑𝑃 να ανιχνευθεί σε στοιχειώδη όγκο 𝑑𝑉 στο
οποίο περιέχεται το σημείο (𝑥, 𝑦, 𝑧) δίνεται από τη σχέση:
𝑑𝑃 = 𝛹(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 2
𝑑𝑉
σ𝑖 𝛹(𝑥𝑖, 𝑦𝑖, 𝑧𝑖, 𝑡) 2Δ𝑉𝑖 = 1
Συνθήκη κανονικοποίησης.

Κυματοσυνάρτηση.
Ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης
63
➢ Για μονοδιάστατο πρόβλημα το τετράγωνο του μέτρου της
κυματοσυνάρτησης 𝛹(𝑥, 𝑡) 2
εκφράζει την πυκνότητα
πιθανότητας να ανιχνευθεί το σωματίδιο στο σημείο 𝑥.
➢ Η πιθανότητα 𝑑𝑃(𝑥, 𝑡), σε μια μέτρηση τη στιγμή 𝑡 να
ανιχνευθεί το σωματίδιο σε ένα διάστημα 𝑑𝑥 γύρω από τη
θέση 𝑥, δίνεται από τη σχέση:
𝑑𝑃(𝑥, 𝑡) = 𝛹(𝑥, 𝑡) 2
𝑑𝑥
➢ Είναι:
𝑃(𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑡) = න
𝑎
𝑏
𝛹(𝑥, 𝑡) 2
𝑑𝑥
➢ ‫׬‬−∞
+∞
𝛹(𝑥, 𝑡) 2
𝑑𝑥 = 1 ( συνθήκη κανονικοποίησης)

Κυματοσυνάρτηση
…και Χημεία
64
➢ Στη χημεία, οι αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις για το ηλεκτρόνιο
στο άτομο, λέγονται ατομικά τροχιακά.
➢ Η απεικόνισή τους στο χώρο γίνεται με την τιμή της πυκνότητας
πιθανότητας. Η τιμή της πυκνότητας πιθανότητας σε κάποιο
σημείο αντιστοιχίζεται με την ένταση του χρώματος σε εκείνο το
σημείο. Όσο πιο «πυκνό» είναι το μαύρο τόσο μεγαλύτερη είναι
η τιμή της πυκνότητας πιθανότητας σε εκείνη την περιοχή. Για
χάριν απλούστευσης αυτή η αναπαράσταση λέγεται και τροχιακό
και περιέχει το χώρο στον οποίο το ηλεκτρόνιο ανιχνεύεται με
πιθανότητα 90 % έως 95 %.
➢ Δίπλα είναι η σχηματική παρουσίαση ορισμένων τροχιακών.
Όπου είναι πιο σκούρο, η πιθανότητα να βρεθεί εκεί το
ηλεκτρόνιο είναι μεγαλύτερη.

Κυματοσυνάρτηση . Κατάσταση στην
κβαντομηχανική.
65
➢Ατομικό τροχιακό
|Ψ >= |𝑛, 𝑙, 𝑚 >
είναι μια κατάσταση. Τί πληροφορίες δίνει;
Σύνδεση κατάστασης με μέτρηση.
➢E𝑛 = −
𝛼
𝑛2 , 𝐿2
= 𝑙 𝑙 + 1 ℏ2
και L𝑧 = 𝑚ℏ
➢Ποια είναι η τιμή της συνιστώσας L𝑥;
➢ Τι είναι η |Ψ > και τι η Ψ(x) ;
➢Μπορεί να υπάρχει κατάσταση |x, p > ;

Η αρχή της αβεβαιότητας του
Heisenberg.
66

Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.
Έναυσμα ενδιαφέροντος, υποθέσεις.
67
1. Το φως ως κύμα εκτρέπεται της ευθύγραμμης
διάδοσης(περίθλαση). Το ηλεκτρόνιο σε
αντίστοιχο πείραμα θα εκτραπεί της
ευθύγραμμης πορείας;
2. Πόση ήταν η συνιστώσα της ορμής στον
κατακόρυφο άξονα πριν την σχισμή και πόση
μετά; Είναι η ίδια για όλα τα ηλεκτρόνια;
3. Τι θα συμβεί αν ελαττωθεί το μέγεθος της
σχισμής;

1ο Ιδεατό Πείραμα(gedanken experiment)
68
➢ Από την οπτική είναι γνωστό ότι, αν 𝐷 ≫ 𝛥𝑥, ισχύει:
ημ 𝜃 ≈
𝜆
𝛥𝑥
(περίθλαση Fraunhofer)
➢ Η απροσδιοριστία είναι:
𝛥𝑝𝑥 ≈ 𝑝𝑥 = 𝑝 ημ 𝜃 =
ℎ
𝜆
ημ 𝜃 .
➢ Συνεπώς 𝛥𝑥𝛥𝑝𝑥 ≈ ℎ
D

2ο Ιδεατό Πείραμα(gedanken experiment)
69
➢Για να προσδιορίσουμε πού είναι το ηλεκτρόνιο,
ρίχνουμε πάνω του ένα φωτόνιο μήκους κύματος 𝜆,
οπότε μετά την σύγκρουση το ηλεκτρόνιο δεν έχει
πλέον μηδενική ορμή. Υπάρχει μια αβεβαιότητα στην
ορμή του συγκρίσιμη με την ορμή του φωτονίου,
δηλαδή είναι:
𝛥𝑝 ≈
ℎ
𝜆
.
➢Σύμφωνα με την οπτική, η θέση που παρατηρούμε για
το ηλεκτρόνιο έχει μια απροσδιοριστία συγκρίσιμη με
το μήκος κύματος του φωτονίου. Επομένως είναι:
𝛥𝑥 ≈ 𝜆 .
➢Συνεπώς έχουμε:
𝛥𝑥𝛥𝑝 ≈ ℎ

Συμπεράσματα: Αρχή της αβεβαιότητας ή απροσδιοριστίας του
Heisenberg
70
➢Δεν μπορούμε ταυτόχρονα να προσδιορίσουμε τη θέση και την ορμή
ενός σώματος με απεριόριστη ακρίβεια. Το γινόμενο της αβεβαιότητας
της θέσης 𝛥𝑥 ενός σώματος με την αντίστοιχη αβεβαιότητα της ορμής
𝛥𝑝, είναι μεγαλύτερο ή ίσο του ℏ . Δηλαδή:
𝛥𝑥 𝛥𝑝≥ℏ
Είναι ℏ=ℎ/2𝜋 , ανηγμένη σταθερά του Planck.
➢Ο όρος απροσδιοριστία είναι σωστότερος διότι το φαινόμενο είναι
ενδογενές της κβαντικής φυσικής και δεν έχει να κάνει με αδυναμία
των οργάνων μέτρησης, που μπορεί να βελτιωθεί με την ανάπτυξη της
τεχνολογίας.
• 𝛥𝑥 𝛥𝑝𝑥 ≥ ℏ
• 𝛥𝑦 𝛥𝑝𝑦 ≥ ℏ
• 𝛥𝑧 𝛥𝑝𝑧 ≥ ℏ

Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg
Διατύπωση αρχής αβεβαιότητας ή απροσδιοριστίας για την ενέργεια.
71
➢Μια ανάλογη σχέση, με διαφορετική ερμηνεία,
διατυπώνεται για την ενέργεια και το χρόνο.
Συγκεκριμένα αν η απροσδιοριστία στην ενέργεια
είναι 𝛥𝛦, και ο αντίστοιχος χρόνος μέτρησης της
ενέργειας είναι 𝛥𝑡, αυτά συνδέονται με την σχέση:
𝛥𝐸 𝛥𝑡 ≥ ℏ

Αβεβαιότητα και υλικά κύματα.
72
➢Η αποδοχή ότι το ηλεκτρόνιο είναι και υλικό κύμα έχει
συνέπεια την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg.
➢ Και αντίστροφα, αν ισχύει η αρχή της απροσδιοριστίας
προκύπτει ότι έχουμε υλικό κύμα.
Υλικά κύματα του
de Broglie
Αρχή
Απροσδιοριστίας
του Heisenberg

Τι είναι αβεβαιότητα στην κβαντική φυσική.
73
➢Γενικά αν από 𝑁 μετρήσεις ενός μεγέθους 𝛢, με 𝛮 να τείνει
στο άπειρο, βρεθούν για το 𝛢 οι τιμές 𝑎𝑖
(𝑖 = 1,2, . . 𝑁),
τότε η μέση τιμή του 𝛢 και η αντίστοιχη διασπορά (𝛥𝛢)2,
ορίζονται ως εξής:
➢ Μέση τιμή < 𝛢 >: < 𝛢 >=
σ𝑖=1
𝑁
𝑎𝑖
𝑁
➢Η διασπορά (𝛥𝛢)
2
: (𝛥𝛢)2=
σ𝑖=1
𝑁
(𝑎𝑖−<𝛢>)2
𝑁
➢Η ποσότητα 𝛥𝛢 λέγεται τυπική απόκλιση και στην κβαντική
φυσική λέγεται και αβεβαιότητα

Αβεβαιότητα και υλικά κύματα.
74
➢ Ας υποθέσουμε ότι το υλικό κύμα ενός σωματιδίου είναι ένα
κυματοπακέτο με τη μορφής του διπλανού σχήματος, για
ευκολία θεωρούμε μόνο το πραγματικό μέρος της
κυματοσυνάρτησης.
➢ Το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης 𝜓(𝑥),
εκφράζει την πιθανότητα το σώμα να βρίσκεται στη θέση 𝑥,
συμπεράνουμε ότι το σώμα μπορεί να είναι σε όλο το διάστημα
𝛥𝑥. Συνεπώς η αβεβαιότητα ως προς την θέση είναι 𝛥𝑥.
➢ Επίσης μια τέτοια κυματομορφή προκύπτει από την επαλληλία
κυμάτων με μήκη κύματος που έχουν τιμές σε αντίστοιχο εύρος
𝛥𝜆. Κατ’ επέκταση έχουμε μια αντίστοιχη αβεβαιότητα 𝛥𝑝 και
στην ορμή.

Προσπάθεια ερμηνείας της αρχής της
αβεβαιότητας.
75
➢Η κυματοσυνάρτηση ενός σωματιδίου, είναι ο πληρέστερος
τρόπος περιγραφής της κατάστασης του σωματιδίου. Σε αυτήν
περιέχονται όλες οι πληροφορίες που «επιτρέπει» η φύση να
έχουμε για αυτό.
➢ Έστω ότι διαθέτουμε πολύ μεγάλο πλήθος ξεχωριστών
σωματιδίων και για το κάθε ένα η κυματοσυνάρτηση που
το συνοδεύει, είναι πανομοιότυπη με το κυματοπακέτο
που προαναφέραμε. Δηλαδή έχουμε μια συλλογή
πανομοιότυπων κβαντικών συστημάτων του ενός
σωματιδίου.

Προσπάθεια ερμηνείας της αρχής της
αβεβαιότητας.
76
➢ Χωρίζουμε σε δύο μεγάλα σύνολα τα σωματίδια.
➢ Αν για το πρώτο σύνολο των σωματιδίων, μετρήσουμε με ιδανική ακρίβεια, τη
θέση 𝑥 του κάθε σωματιδίου, κάθε φορά θα βρίσκουμε μια συγκεκριμένη τιμή.
Οι τιμές που θα βρούμε για τη θέση 𝑥, θα κατανέμονται ανάλογα με το
τετράγωνο του μέτρου της 𝜓(𝑥). Η τυπική απόκλιση αυτών των τιμών, είναι η
αβεβαιότητα 𝛥𝑥 και είναι περίπου αυτή που σημειώνεται στο σχήμα.
➢ Αν για το δεύτερο σύνολο μετρήσουμε επίσης με ιδανική ακρίβεια την ορμή
του κάθε σωματιδίου, και σε αυτή την περίπτωση βρίσκουμε ένα σύνολο τιμών.
Η τυπική απόκλιση των τιμών αυτών είναι η αβεβαιότητα της ορμής 𝛥𝑝.
➢ Το γινόμενο των δύο αβεβαιοτήτων θα είναι μεγαλύτερο της σταθεράς του
Planck.

Ποια είναι η σωστή έκφραση της αρχής
απροσδιοριστίας;
77
➢Η έκφραση της απροσδιοριστίας του Heisenberg όπως
προκύπτει αυστηρά με τη βοήθεια της κβαντικής μηχανικής
είναι
𝛥𝑥 𝛥𝑝 ≥
ℏ
2
➢Μάλιστα η ισότητα ισχύει στην ειδική περίπτωση όπου η
κυματοσυνάρτηση έχει τη μορφή της Gaussian.
➢Όμως όλες οι διατυπώσεις αναφέρονται σε διάφορά
συγγράμματα χωρίς να θεωρούνται λάθος γιατί συνήθως η
χρήση της έχει ποιοτικό ενδιαφέρον και επιπλέον σχετίζεται
και με την αρχική διατύπωση από τον ίδιο το Heisenberg

Ποια είναι η σωστή έκφραση της αρχής
απροσδιοριστίας;
78
Ιστορική αναδρομή- Ύλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
➢Από τους "στοιχειώδεις τύπους του φαινομένου
Compton" ο Heisenberg εκτίμησε ότι οι
"ανακρίβειες" ήταν της τάξης.
δpδq∼h.
που είναι και η πρώτη μορφή της αρχής
απροσδιοριστίας.
➢Η πρώτη μαθηματικά ακριβής διατύπωση των
σχέσεων αβεβαιότητας οφείλεται στον Kennard.
Απέδειξε το 1927 το θεώρημα ότι για όλα τα
κανονικοποιημένα διανύσματα κατάστασης |ψ⟩
ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
Δ𝜓𝑃 . Δ𝜓Q ≥ ℏ/2
• At the instant of time when the position is determined,
that is, at the instant when the photon is scattered by the
electron, the electron undergoes a discontinuous change
in momentum. This change is the greater the smaller the
wavelength of the light employed, i.e., the more exact
the determination of the position. At the instant at which
the position of the electron is known, its momentum
therefore can be known only up to magnitudes which
correspond to that discontinuous change; thus, the more
precisely the position is determined, the less precisely
the momentum is known, and conversely.
(Heisenberg 1927: 174–5)

Σωματίδιο ή κύμα; Περί δυϊσμού και
συμπληρωματικότητας:
79
Ιστορική αναδρομή- Ύλη Παλαιά Κβαντική Φυσική Στοιχεία Κβαντομηχανικής
Το συμπέρασμα που βγαίνει από την κβαντική θεώρηση
των πραγμάτων είναι ότι τα σωματίδια δε μπορεί να
θεωρηθούν ούτε ως κύματα της κλασικής φυσικής ούτε
ως σωματίδια της κλασικής φυσικής. Έχουν μια δυϊκή
υπόσταση. Αυτό τα κάνει σε κάποια πειράματα να
εμφανίζουν σωματιδιακό χαρακτήρα, όπως στη σκέδαση,
και σε άλλα κυματικό, όπως στην περίθλαση και
συμβολή. Με άλλα λόγια εμφανίζεται αυτό που λέγεται
συμπληρωματικότητα, δηλαδή ο κυματικός και η
σωματιδιακός χαρακτήρας είναι και τα δυο απαραίτητα
για να προσδιοριστεί η φύση τους σύμφωνα με την
κβαντική φυσική.

Ν. Διαμαντής ΣΕΕ, ΠΕ04 ΠΕΚΕΣ Θεσσαλία 80

Κβαντομηχανική για την Γ' Λυκείου - Νίκος Διαμαντής

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Κβαντομηχανική για την Γ' Λυκείου - Νίκος Διαμαντής

Similar to Κβαντομηχανική για την Γ' Λυκείου - Νίκος Διαμαντής (20)

More from ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ

More from ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΑΡΩΝΗ (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Κβαντομηχανική για την Γ' Λυκείου - Νίκος Διαμαντής