1. 1
ΣΥΝΟΨΗ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΦΥΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ
1.Υλικά κύματα (De Broglie) : κάθε σωματίδιο με ορμή p είναι συνδεδεμένο
με κύμα μήκους κύματος λ , σύμφωνα με τη σχέση . Εφόσον τα
σωματίδια κινούνται με ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του
φωτός (υ<<c) , μπορούμε να γράψουμε και :
2. Σύμφωνα με την αρχή της αβεβαιότητας: δεν είναι δυνατόν να
μετρήσουμε ταυτόχρονα και τη θέση και την ορμή ενός σωματιδίου με
απεριόριστη ακρίβεια.
Δp : αβεβαιότητα στη μέτρηση της ορμής του σωματιδίου
Δx: αβεβαιότητα στη μέτρηση της θέσης του σωματιδίου.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Ένα σωματίδιο κινείται σε ευθεία, με ταχύτητα πολύ μικρότερη από την
ταχύτητα του φωτός. Αν η αβεβαιότητα Δχ της θέσης του είναι ίση με το μήκος
κύματος που έχει κατά de Broglie, δείξτε ότι η αβεβαιότητα της ταχύτητας του
είναι :
ΛΥΣΗ
2. 2
Η αρχή της αβεβαιότητας μπορεί να συσχετίσει την αβεβαιότητα στη μέτρηση
της ενέργειας ΔΕ μιας διεγερμένης κατάστασης στην οποία μπορεί να
βρίσκεται ένα σύστημα (π.χ ένα άτομο) , με τον χρόνο Δt , στον οποίο μπορεί
να βρίσκεται στην κατάσταση αυτή. Η μαθηματική σχέση που περιγράφει αυτή
τη συσχέτιση:
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (#26922 Τ.Θ.Δ.Δ)
Ας υποθέσουμε ότι η διατύπωση της αρχής αβεβαιότητας χρόνου-ενέργειας, μπορεί
να γραφεί με τη μορφή , όπου η σταθερά του Planck και ο χρόνος
εξέλιξης ενός κβαντικού φαινομένου. Αυτή η αρχή μπορεί να εξηγήσει γιατί στα
γραμμικά φάσματα εκπομπής των χημικών στοιχείων, το φως που εκπέμπεται σε
χαρακτηριστικά για το στοιχείο, μήκη κύματος, δεν είναι αυστηρά μονοχρωματικό
Για παράδειγμα, στο γραμμικό φάσμα εκπομπής του υδρογόνου, που αποδίδεται με
μια εικόνα προσομοίωσης στο πιο πάνω σχήμα, κάθε φασματική γραμμή έχει ένα
εύρος συχνοτήτων .
Αν υποθέσουμε ότι ο χρόνος παραμονής του ηλεκτρονίου, στη διεγερμένη
κατάσταση, για τα άτομα του υδρογόνου είναι , τότε αυτό το εύρος
είναι:
(α) , (β) , (γ)
IR: Υπέρυθρο
UV: Υπεριώδες
ΛΥΣΗ
3. 3
3. Η πιθανότητα να βρίσκεται ένα σωματίδιο (π.χ. ένα ηλεκτρόνιο) σε κάποια
θέση του χώρου σε μία δεδομένη χρονική στιγμή, περιγράφεται από μία
κυματοσυνάρτηση. Η κυματοσυνάρτηση είναι μία συνάρτηση της θέσης και
του χρόνου Ψ = Ψ(x,y.z,t).
Για κάποιο συγκεκριμένο σημείο, ορισμένη χρονική στιγμή η
κυματοσυνάρτηση θα έχει μια συγκεκριμένη τιμή. Ο Max Born πρότεινε να
ερμηνεύσουμε το τετράγωνο του μέτρου της κυματοσυνάρτησης σαν την
πιθανότητα θέσης ανά μονάδα όγκου. Δηλαδή, αν ορίσουμε έναν στοιχειώδη
όγκο dV γύρω από ένα συγκεκριμένο σημείο (x,y,z) το γινόμενο |Ψ|2
dV δίνει
την πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο μέσα στον όγκο dV στη
δεδομένη χρονική στιγμή.
Αν χωρίσουμε το σύνολο του χώρου σε στοιχειώδεις όγκους dV και σε
κάθε σημείο του χώρου βρούμε την τιμή της Ψ για κάποια χρονική στιγμή το
άθροισμα των |Ψ|2
dV πρέπει να είναι ίσο με τη μονάδα.
∑ |Ψ|2
dV = 1
Η παραπάνω σχέση σημαίνει ότι αν το σωματίδιο βρίσκεται εντός κάποιου
χώρου με όγκο V (π.χ εντός ενός κύβου) , το άθροισμα του μέτρου του
τετραγώνου της κυματοσυνάρτησης για κάθε ένα από τα «κυβάκια»
απειροστά μικρού όγκου dV (σχήμα) , θα είναι ίσο με τη μονάδα, εφόσον το
σωματίδιο βρίσκεται εντός αυτού του χώρου.
4. 4
Εφόσον το σωματίδιο είναι περιορισμένο να κινείται πάνω στον άξονα των x η
κυματοσυνάρτησή του πρέπει να ικανοποιεί τη συνθήκη ∑ |Ψ|2
dx =1 δηλαδή
το σωμάτιο σίγουρα βρίσκεται κάπου στον άξονα των x.
4. Για ένα σωματίδιο που κινείται πάνω στον άξονα των χ σε μία περιοχή
όπου υπάρχει ένα συντηρητικό πεδίο, για κάποια συγκεκριμένη χρονική
στιγμή η εξίσωση Schrödinger έχει τη μορφή :
ħ (διαβάζεται h-bar) η συντομογραφία του h/2π,
m η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου,
η δεύτερη παράγωγος της κυματοσυνάρτησης ως προς x,
U(x) η δυναμική ενέργεια του σωματιδίου λόγω της θέσης του,
E η ολική ενέργεια του σωματιδίου.
Η λύση της εξίσωσης αυτής είναι η κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου.
Για να γίνει αντιληπτή η ερμηνεία της εξίσωσης αυτής , χρήσιμο είναι το
(εκτός ύλης) φαινόμενο Σήραγγος (tunneling effect).
Εδώ το ηλεκτρόνιο βρίσκεται αντιμέτωπο με ένα φράγμα δυναμικού ψηλότερο
από την ενέργειά του. Σύμφωνα με την κλασική θεωρία το ηλεκτρόνιο θα
ανακλαστεί και θα επιστρέψει πίσω. Η κβαντική θεωρία, όμως, μας οδηγεί στο
συμπέρασμα ότι, μερικές φορές, το ηλεκτρόνιο διαπερνάει το φράγμα. Η
θεωρητική αυτή πρόβλεψη επιβεβαιώνεται πειραματικά. Είναι σαν να πετάμε
5. 5
ένα μπαλάκι σ' ένα τζάμι και κάποιες φορές το μπαλάκι να βρίσκεται από την
άλλη μεριά χωρίς να σπάσει το τζάμι. Τέτοια φαινόμενα βέβαια δε συμβαίνουν
ποτέ με σώματα όπως ένα μπαλάκι, συμβαίνουν όμως με σωματίδια όπως
ένα ηλεκτρόνιο.
To φράγμα δυναμικού μπορεί να αντιστοιχεί σε μία μονωτική επιφένεια, την
οποία (σύμφωνα με την κλασσική Η/Μ θεωρία) δεν θα μπορούσε να
διαπεράσει το ηλεκτρόνιο. Ωστόσο η εξίσωση Schrondinger προβλέπει
σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα, να υπάρχει δυνατότητα το ηλεκτρόνιο
να διαπεράσει το φράγμα (tunneling effect).
Βλέπουμε ότι η κυματοσυνάρτηση υπάρχει και δεξιά του φράγματος αν και με
αισθητά μικρότερο πλάτος. Αυτό σημαίνει μικρότερη πιθανότητα ύπαρξης του
ηλεκτρονίου δεξιά του φράγματος απ' ότι αριστερά.
Εφαρμογή:
Ο χαλκός (Cu) οξειδώνεται, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται στην επιφάνειά
του ένα στρώμα από οξείδιο του χαλκού , το οποίο είναι μονωτής. Ωστόσο
όταν φέρουμε σε επαφή δύο χάλκινα καλώδια, η επαφή τους είναι αγώγιμη.
Τα ηλεκτρόνια , μέσω του φαινομένου σήραγγος μπορούν να διαπεράσουν το
φράγμα δυναμικού και να υπάρχει αγωγιμότητα, σύμφωνα με το παραπάνω
διάγραμμα.
ΠΗΓΕΣ: ΒΙΒΛΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ Γ ΤΕΥΧΟΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ ΤΕΥΧΟΣ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ
ΒΙΒΛΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
