1. ΑΥΘΟΡΜΗΤΟ ΣΠΑΣΙΜΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ HIGGS
Θεωρούμε το ακόλουθο δυναμικό:
1
1
V ( x, y)    2 ( x 2  y 2 )   2 ( x 2  y 2 )2
2
4
(1)
Το δυναμικό της σχέσης (1) μοιάζει με αυτό του δισδιάστατου μη-αρμονικού
ταλαντωτή, εκτός βέβαια από το «λάθος» πρόσημο (αρνητικό) του τετραγωνικού
όρου. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το δυναμικό αυτό:
Σχήμα 1: Το δυναμικό (1) (Για   2 και   1 )
(Η γραφική παράσταση έγινε μη τη βοήθεια της μηχανής Wolfram alpha)
Όπως παρατηρούμε από το σχήμα το δυναμικό παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο
στη θέση (0,0). Μπορούμε να υπολογίσουμε τα ακρότατα του δυναμικού αυτού
παίρνοντας:
V
0
x
1
  2 x   2 2( x 2  y 2 )2 x  0
4
ή
ή

2.   2 x   2 x( x 2  y 2 )  0
ή
 x[ 2   2 ( x 2  y 2 )]  0
(2)
Επίσης:
V
0
y
ή
1
  2 y   2 2( x 2  y 2 )2 y  0
4
ή
 2 y   2 y( x 2  y 2 )  0
ή
 y[ 2   2 ( x2  y 2 )]  0
(3)
Οι εξισώσεις λοιπόν (2) και (3) έχουν λύσεις:
x y0
(4)
και:
 2   2 ( x2  y 2 )  0
ή
2
x y  2

2
2
(5)
Για τις δεύτερες μερικές παραγώγους έχουμε:
 2V
   2   2 ( x 2  y 2 )  2 2 x 2
 x2
(6)
οπότε:
 2V
 x2
  2  0
(7)
(0,0)
Επίσης:
 2V
 2 2 xy
 x y
(8)
οπότε:
 2V
0
 x y (0,0)
Ομοίως:
(9)

3.  2V
0
 y x (0,0)
(10)
Και:
 2V
 y2
  2  0
(11)
(0,0)
Ο πίνακας λοιπόν των δεύτερων παραγώγων στη θέση (0,0) είναι:
  2

 0
0 
1 0
  2 

2
 
0 1
(12)
Ο πίνακας αυτός έχει αρνητικές ιδιοτιμές (το   2 , διπλή ιδιοτιμή), οπότε το
κρίσιμο σημείο (0,0) αποτελεί μέγιστο (όπως άλλωστε φαίνεται και από το γράφημα
της συνάρτησης).
Η θέση λοιπόν ισορροπίας (0,0) αντιστοιχεί σε ασταθή ισορροπία. Από την
2
άλλη μεριά πάλι όλα τα σημεία (x,y) της περιφέρειας x  y  2 , αντιστοιχούν (όπως

2
2
φαίνεται από το σχήμα (1) και όπως επίσης μπορεί να αποδειχθεί) σε ελάχιστο που
βρίσκεται να είναι ίσο με 
4
. (Στο σχήμα (1) όπου επιλέξαμε   2 και   1 , το
4 2
ελάχιστο αυτό είναι ίσο με – 4). Επιλέγοντας οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας
x2  y 2 
2
οδηγούμαστε στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας, «καταστρέφουμε»
2
όμως την συμμετρία του προβλήματός μας. Επιλέγουμε λοιπόν το σημείο:
x0  0
(13)


(14)
y0 
Έτσι λοιπόν το «κενό» του συστήματός μας (κατάσταση ελάχιστης ενέργειας)


είναι το σημείο ( x0 , y0 )  (0, ) . Είναι φανερό ότι το παραπάνω σημείο δεν είναι το
μοναδικό που θα μπορούσαμε να επιλέξουμε. Θα μπορούσαμε να επιλέξουμε
οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας x 2  y 2 
2
. Από τη στιγμή όπως που το
2
επιλέξαμε (σπάζοντας τη συμμετρία του προβλήματός μας) θα το θεωρούμε σαν το
«κενό» του συστήματός μας.

4. Στη συνέχεια εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων που θα μας επιτρέψει να
θεωρήσουμε «διαταραχές» του κενού μας (μικρές μετατοπίσεις γύρω από το σημείο
( x0 , y0 ) ). Το νέο λοιπόν σύστημά μας είναι:
x
  y
(15)


(16)
Με την παραπάνω επιλογή, μετακινούμε την αρχή των συντεταγμένων στο
σημείο που βρίσκεται το κενό μας. Το δυναμικό που μελετάμε καθίσταται πλέον:
1

1

V ( , )    2 [ 2  (  )2 ]   2 [ 2  (  ) 2 ]2
2

4

ή
1
2
 1


V ( , )    2 [ 2   2  2  2 ]   2 [ 4  2 2 (  ) 2  (  ) 4 ]
2

 4


ή
1
1
1
2
3 1 2 4 1 2 2

1

V ( , )    2 2   2 2   2 2 
      (  )2   2 (  )4
2
2
2

 4
2

4

ή
1
1
1 4
3 1 2 4 1 2 2 2
 1
2 1

V ( , )    2 2   2 2 

         2 2   2 2 2   2 (  )4
2
2
2 2
 4
2
 2
 4

ή
1
1 4
3 1 2 4 1 2 2 2
V ( , )    2 2 

         2 
2
2
2
 4
2
1 2 4
 3
 2 2
 3  4
  (  4
6 2 4 3  4 )
4




ή
1
1 4
3 1 2 4 1 2 2 2
V ( , )    2 2 

         2 
2
2 2
 4
2
1
3
 3 1  4
  2 4   3    2  2 

4
2
 4 2
V ( , )   2 2 
1 4
1
1
1
  ( 2   2 )  (  2 4   2 2 2   4 )
2
4
4
2
4
1
1
1
V ( , )   2 2   ( 2   3 )  (  2 4   2 2 2   4 )
4
2
4
ή
ή
(17)

5. 1 4
όπου παραλείψαμε τον σταθερό όρο  2 , ο οποίος δεν επηρεάζει τις διαφορές
4
δυναμικού και τελικά τις εξισώσεις κίνησης και όπου επίσης «ομαδοποιήσαμε» τους
όρους ανώτερης της δεύτερης τάξης (οι όροι αυτοί πρέπει να ληφθούν υπ’ όψη στα
διαγράμματα Feynman, αλλά δεν αφορούν τη συζήτησή μας).
Ας δούμε τώρα πως «ταιριάζουν» τα παραπάνω στην κβαντική θεωρία πεδίων
(Q.F.T). Να θυμηθούμε ότι στην κλασσική μηχανική, ορίζουμε την Λαγκρανζιανή
ενός συστήματος μέσω του τύπου:
(18)
L  T V
Το ίδιο κάνουμε και στην Q.F.T . Μόνο που τώρα ορίζουμε την λεγόμενη
Λαγκρανζιανή πυκνότητα (που πολλές φορές τη λέμε και απλά Λαγκρανζιανή):
L=T-V
(19)
με:
L   Ldx3
(20)
Με το T εννοούμε όρους που περιέχουν παραγώγους του πεδίου (αντίστοιχα με
την κινητική ενέργεια). Δεν μας ενδιαφέρουν οι όροι αυτοί στην παρούσα συζήτηση.
Αντίθετα θα εστιάσουμε την προσοχή μας στους όρους της V.
Ένα ειδικό πεδίο στη σχετικιστική κβαντομηχανική είναι το λεγόμενο πεδίο
Klein – Gordon. Σε αυτό υπάρχει ο όρος δυναμικού που έχει τη μορφή:
VKG  m2 2
(21)
όπου m είναι η «μάζα» και  το πεδίο. Το  είναι βαθμωτό και έτσι πρέπει να
αντιστοιχεί σε σωματίδιο με spin 0.
Συγκρίνουμε στη συνέχεια την (17) με την (21). Βλέπουμε ότι υπάρχουν δύο
πεδία:
 Το πεδίο  , το οποίο αντιστοιχεί σε κβάντο πεδίου με μάζα μ και spin 0
(Higgs Boson). (Και τούτο διότι εμφανίζεται ο όρος μάζας  2 2 στην 17)
 Το πεδίο ξ, το οποίο αντιστοιχεί σε σωμάτιο με μάζα 0 και spin 0 ( Goldstone
boson). (Και τούτο διότι απουσιάζει ο όρος μάζας για το βαθμωτό πεδίο ξ
από την σχέση 17).

6. Η εισαγωγή ενός «άμαζου» και ενός «μαζικού» βαθμωτού πεδίου κατά το
αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας είναι ένα πολύ γνωστό αποτέλεσμα που αποδείχθηκε
από τον Goldstone. (Με απλά λόγια το θεώρημα αυτό λέει ότι κάθε φορά που έχουμε
«αυθόρμητο σπάσιμο συμμετρίας» σε ένα σύστημα, εισάγεται τουλάχιστον ένα άμαζο
βαθμωτό πεδίο). Κανείς όμως ποτέ δεν είδε τα άμαζα μποζόνια Goldstone (που θα
’πρεπε να είχαν παρατηρηθεί αν πράγματι υπήρχαν). Πρέπει λοιπόν με κάποιο τρόπο
να απαλλαγεί κανείς από την παρουσία τους…
Ο ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΣ HIGGS
…Πίσω στα 1964 ο Peter Higgs και άλλοι φυσικοί ασχολήθηκαν με το
πρόβλημα της απόκτησης μάζας από τα ενδιάμεσα διανυσματικά μποζόνια
(intermediate vector bosons). Ήταν ήδη γνωστό πως μπορεί να εισάγει κάποιος ένα
διανυσματικό πεδίο στην Λαγκρανζιανή. Για να είναι η θεωρία συναλλοίωτη
(covariant) εισάγει την συναλλοίωτη παράγωγο, που δίνει ένα νέο διανυσματικό πεδίο
( A ). Στη συνέχεια συγκρίνει κανείς το διανυσματικό αυτό πεδίο με αυτό της
λεγόμενης Λαγκρανζιανής Proca:
LPr oca  T   2 A2  (όροι ανώτερης τάξης).
(22)
Αν το εισαγόμενο πεδίο είναι «άμαζο», μπορεί κανείς ταυτόχρονα να διατηρήσει
και το αναλλοίωτο βαθμίδας (gauge invariance). Αν όμως το εισαγόμενο πεδίο έχει
μάζα, η θεωρία χάνει πλέον το αναλλοίωτο βαθμίδας (και καθίσταται μηεπανακανονικοποιήσιμη). Τα προβλήματα αυτά μπορούσαν να ξεπερασθούν μέσω του
«αυθόρμητου σπάσιμου συμμετρίας», κανείς όμως δεν γνώριζε πώς να απαλλαγεί από
το μποζόνιο Goldstone. Μετά το σπάσιμο της συμμετρίας με κατάλληλη
«αναδιάταξη» των όρων της Λαγκρανζιανής και «σύγκριση» με την Proca, καταλήγει
κανείς με διανυσματικά μποζόνια που διαθέτουν πλέον μάζα και διατηρούν το
αναλλοίωτο βαθμίδας. Δυστυχώς εξακολουθεί να υπάρχει το άμαζο βαθμωτό πεδίο
(Goldstone boson)…
…Ας επιστρέψουμε στο δυναμικό της σχέσης (1). Θα αλλάξουμε την
παραμετροποίηση στην σχέση (1) σε μια προσπάθεια μήπως και απαλλαγούμε από το
Goldstone. Εισάγουμε λοιπόν τη μιγαδική παραμετροποίηση:
  x  iy
,
  x2  y 2
2
(23)
Οπότε το δυναμικό μας παίρνει τη μορφή:
1
1
V ( x, y )  V ( )    2 2   2 4
2
4
(24)

7. Στη συνέχεια
μετασχηματισμό:
απαιτούμε
το
αναλλοίωτο
βαθμίδας.
Θεωρούμε
      ei ( x, y )
το
(25)
Και
L( )  L(  ) με
την απαίτηση να είναι: L  L
(26)
Ας δούμε λίγο το μετασχηματισμό. Θα έχουμε:
     ei ( x, y )  ( x  iy)(cos  i sin  )  ( x cos  y sin  )  i( x sin   y cos  )
(27)
Ας επιλέξουμε λοιπόν για το θ (επιλογή βαθμίδας):
x
y
 = tan 1 ( )
(28)
Τότε:
tan  
x
sin  x

  x cos   y sin   0
y
cos  y
(29)
Για μια στιγμή! Μέσω της (29) βλέπουμε ότι στην (27) το πραγματικό μέρος
είναι μηδέν. Το  καθίσταται καθαρά φανταστικό. Αυτό όμως σημαίνει (σχέση 23) ότι
x=0 άρα και ξ=0. Το μποζόνιο Goldstone (που συνδέεται με το x) εξαφανίζεται! Με
την κατάλληλη δηλαδή επιλογή βαθμίδας απαλλαχτήκαμε από το ανεπιθύμητο
μποζόνιο του Goldstone…
…Με ανάλογο τρόπο απαλλάσσεται κανείς από το Goldstone στην περίπτωση
διανυσματικών πεδίων. Βέβαια θα μπορούσε να αναρωτηθεί κανείς τι γίνεται με τους
βαθμούς ελευθερίας του συστήματος με την …εξαφάνιση του Goldstone. Ξεκινάμε
με άμαζα διανυσματικά πεδία. Από την ηλεκτροδυναμική είναι γνωστό ότι τα πεδία
αυτά μπορούν να είναι μόνο εγκάρσια πολωμένα. (δύο διευθύνσεις-βαθμοί
ελευθερίας). Δεν υπάρχει «διαμήκης» πόλωση. Με την απόκτηση μάζας μέσω του
μηχανισμού που περιγράφηκε τα σωματίδια αποκτούν και διαμήκη πόλωση, έναν επί
πλέον βαθμό ελευθερίας. Από πού προέκυψε αυτός; Από το μποζόνιο Goldstone.
Όπως πολύ παραστατικά περιγράφει ο Griffiths:
“The gauge field “ate” the Goldstone boson, thereby acquiring both mass and a third polarization
state. This is the famous Higgs mechanism, the remarkable offspring of the marriage of local
gauge invariance and spontaneous symmetry breaking”.

8. http://quantum-bits.org/wp-content/uploads/2012/08/higgs-hat.png

9. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1. Gauge Theories in Particle Physics, I J R Aitchison-A J G Hey, volume (II): QCD
and the Electroweak Theory, Taylor & Francis 2004.
2. A Modern Introduction to Quantum Field Theory, Michele Maggiore, Oxford University
Press 2005
3. An Introduction to Quantum Field Theory, M E Peskin-D V Schroeder,Reading MA:
Addison Wesley, 1995.
4. The Quantum Theory of Fields, volume (II) Modern Applications, Steven Weinberg,
Cambridge University Press, 1996.
5. Quantum Field Theory in a Nutshell, A.Zee, Princeton University Press, 2003
6. Introduction to Elementary Particles, David Griffiths, Wiley-VCH, 2008
7. Quantum Field Theory Demystified, David McMahon, McGraw – Hill, 2008
8. Electromagnetism, G. Pollack, D. Stump, Addison Wesley, 2002
9. Classical Electrodynamics, W. Greiner, Springer, 1998
10. Diagrammatica, Martinus Veltman, Cambridge University Press,1994
11. Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics, Martinus Veltman, World
Scientific, 2003
12. Gauge theory of elementary particle physics, Ta-Pei Cheng and Ling-Fong Li, Oxford
University Press, 2006

10. ΑΝΑΦΟΡΕΣ
1. Spontaneous Symmetry Breaking and the Higgs Mechanism, Andrew E. Blechman, 2000
2. Spontaneous Symmetry Breaking, Marcelo Mendes Disconzi
3. H εξίσωση Klein – Gordon, Γιάννης Δ. Φιορεντίνος.
4. Το «Σπάσιμο» της SU(2)W X U(1)Y Συμμετρίας στο Καθιερωμένο Πρότυπο, Γιάννης Δ.
Φιορεντίνος.
5. Spontaneous symmetry breaking
6. Higgs mechanism
7. Higgs boson
8. Goldstone boson
9. Gauge theory
10. Introduction to gauge theory
11. Gauge invariance
12. Peter Higgs
13. What’s this Higgs boson anyway ?