Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Bαρυτικα Kυματα

457 views

Published on

Μια άσκηση στα βαρυτικά κύματα. Ξεκινώντας από την εξίσωση του κύματος που μας δίνεται και ακολουθώντας τις οδηγίες της άσκησης παίρνουμε πληροφορίες για η μάζα, την ελικότητα και το spin του (υποθετικού) βαρυτονίου.

Published in: Education

Bαρυτικα Kυματα

  1. 1. ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ο φορέας των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων είναι ένα υποθετικό σωματίδιο, το βαρυτόνιο. Το βαρυτόνιο περιγράφεται από ένα συμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης h h  που ικανοποιεί την εξίσωση: 16h h h h GS                          (1) όπου: 1 2 S         (2) με: (1, 1, 1, 1)     (3) να είναι η μετρική και με  να είναι ο τανυστής ορμής-ενέργειας, ο οποίος ικανοποιεί τον νόμο διατήρησης: 0    (4) i) Αποδείξτε ότι η εξίσωση του βαρυτονίου είναι αναλλοίωτη κάτω από τον μετασχηματισμό: h h h           (5) Πόσες είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου; ii) Λόγω της παραπάνω συμμετρίας, μπορούμε να διαλέξουμε τη συνθήκη (βαθμίδα): 1 0 2 h h         (6) Ποια εξίσωση ικανοποιεί το βαρυτόνιο σε αυτή τη βαθμίδα; iii) Ποια είναι η ελικότητα του βαρυτονίου; Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι στη βαθμίδα (6) το βαρυτόνιο περιγράφεται από επίπεδα κύματα της μορφής: (x) e hc,ikx h e   kx k x  (7) που παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από τον μετασχηματισμό: (x) e hcikx i e    (8)
  2. 2. όπου e , e είναι σταθερές. Βρείτε πως μετασχηματίζονται τα e κάτω από τους μετασχηματισμούς (5) και δείξτε ότι για ένα επίπεδο βαρυτικό κύμα που ταξιδεύει στη διεύθυνση +z, ( 1 2 k k 0  , 3 0 k k k 0   ) μπορούμε να μηδενίσουμε όλα τα e εκτός των 11 12 22 11e ,e ,e e  . Στη συνέχεια κάντε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά γωνία θ, έτσι ώστε τα e να μετασχηματισθούν ως: e eR R        (9) όπου R  είναι ο πίνακας στροφής στο επίπεδο x-y. Δείξτε ότι για τα : 11 12e e ei  ισχύει: 2 e ei e      (10) Σημειώστε ότι το επίπεδο κύμα ψ το οποίο κάτω από στροφές κατά γωνία θ γύρω από τον άξονα διάδοσης μετασχηματίζεται σαν: ih e     (11) λέμε ότι έχει ελικότητα h. i) Σύμφωνα με την εκφώνηση, το βαρυτόνιο υπακούει στην εξίσωση: 16h h h h GS                          (12) Το πρώτο λοιπόν μέλος της (12) γράφεται: h h h h                       h h h h                         h h h h                     (13) Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό: h h h           (14) οι επιπλέον όροι (       ) όταν εισαχθούν στη (13), δίνουν:
  3. 3. ( ) ( ) ( ) ( )                                                                                                               Αναδιατάσσοντας λοιπόν τους όρους και χρησιμοποιώντας την μεταθετικότητα των μερικών παραγώγων, η μεταβολή στο αριστερό μέλος της (12), λόγω του μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :                                                                                                   Στη συνέχεια, αλλάζοντας κατάλληλα τους «βωβούς δείκτες», η μεταβολή στο αριστερό μέλος της (12), λόγω του μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :                          0                         Επομένως η εισαγωγή του μετασχηματισμού h h h           στην εξίσωση του βαρυτονίου δεν επηρεάζει καθόλου το αριστερό μέλος της εξίσωσης (1) και εφ’ όσον ο εν λόγω μετασχηματισμός αφήνει ανεπηρέαστο το δεξιό μέλος της (1), συμπεραίνουμε ότι το βαρυτόνιο εξακολουθεί να υπακούει στην προ του μετασχηματισμού εξίσωση. Τώρα εφ’ όσον ο τανυστής δεύτερης τάξης h (16 στοιχεία) είναι συμμετρικός ( h h  ), αυτό σημαίνει ότι από τα 16 στοιχεία του πίνακα, τα 10 είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους. Η επιπλέον «ελευθερία» που μας δίνεται από τον μετασχηματισμό βαθμίδας (5) μας επιτρέπει να απαλλαγούμε από 4 επιπλέον στοιχεία του πίνακα. (Διαλέγοντας πχ. 11 0h  ή 11 1 1 1 1 1 12h        ή 11 1 1 2 h   . Ομοίως για τα 00 22 33, ,h h h ). Έτσι απομένουν τελικά 6 στοιχεία για τον τανυστή h που αποτελούν και τις ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου). ii) Επιλέγουμε τη βαθμίδα:
  4. 4. 1 0 2 h h         (15) που μπορεί να γραφεί: 1 2 h h        (16) Με αλλαγή του βωβού δείκτη:   έχουμε: 1 2 h h        (17) Και με αλλαγή του   έχουμε: 1 2 h h        (18) Τώρα λοιπόν έχουμε: 16h h h h GS                          που (μέσω της μεταθετικότητας των μερικών παραγώγων) γράφεται: 16h h h h GS                          ή (μέσω των σχέσεων (15),(16) και (17)): 1 1 16 2 2 h h h h GS                            ή 16h GS       (19) Έτσι λοιπόν με την επιλογή της βαθμίδας: 1 0 2 h h         η εξίσωση που πλέον ικανοποιεί το βαρυτόνιο, απλουστεύεται στη μορφή: 16h GS       ή 16h GS   Οπότε πλέον η λύση της (1), ισοδυναμεί με την λύση του συστήματος:
  5. 5. 16h GS   1 2 h h        (20) με:    (Νταλαμπερσιανή). iii) Θεωρώντας την ομογενή εξίσωση: 0h  (21) και την βαθμίδα: 1 2 h h        (22) Έχουμε σαν λύσεις επίπεδα κύματα της μορφής: (x) e eikx ikx h e e       (23) ή: (x) e hcikx h e   , με kx k x  (24) Η λύση: (x) e eikx ikx h e e       , ικανοποιεί την 0h  , αν: k x 0   ή 2 k 0 (δηλαδή αν το βαρυτόνιο είναι άμαζο), ενώ επίσης ικανοποιεί την βαθμίδα (22) : 1 2 h h        , αν είναι: 1 k e k e 2       (25) Ο συμμετρικός πίνακας: e ονομάζεται τανυστής πόλωσης (polarization tensor). Στη συνέχεια εξακολουθούμε να «ανεβοκατεβάζουμε» δείκτες μέσω του μετρικού τανυστή:  , δηλαδή : k k    Τώρα, ένας 4x4 συμμετρικός τανυστής έχει (γενικά) 10 ανεξάρτητες συνιστώσες, οπότε οι 4 εξισώσεις (για ν = 0, 1, 2, 3) κατεβάζουν τον αριθμό των ανεξάρτητων συνιστωσών στις 6, όμως και από αυτές τις έξι, μόνο οι 2 αναπαριστούν σημαντικούς από φυσική άποψη βαθμούς ελευθερίας. Με αλλαγή των συντεταγμένων:
  6. 6. ( )x x x     , αλλάζουμε τη μετρική: h   σε μια νέα: h   , με την «διαταραχή»: h  να δίνεται (όπως αποδεικνύεται) από τη σχέση (5). Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι επιλέγουμε να είναι: (x) e eikx ikx i e i e       , ή (x) e hcikx i e    . Τότε, η σχέση: h h          , δίνει: e ikx h e    , με: e e k e k e          (26) Πράγματι, έχουμε: e ikx h e    , h h          , με (x) e ikx h e  και: ( e ) k eikx ikx i e e          , ( e ) k eikx ikx i e e          , οπότε: h h          ή e e k e k eikx ikx ikx ikx e e e e          ή τελικά: e e k e k e          (27) Η παραπάνω σχέση (27) μας λέει πως μετασχηματίζονται τα e μέσω της βαθμίδας (5). Στη συνέχεια εργαζόμαστε με τη σχέση (25): 1 k e k e 2       (Είναι: e e    ). Για 0  , έχουμε:
  7. 7. 0 1 2 3 0 1 2 3 0 0 1 0 2 0 3 0 0 0 1 2 3 1 k e k e k e k e k (e e e e ) 2        Όμως (λόγω της μετρικής (3)), έχουμε: 0 0 00e e και 0 0e ei i  για 1,2,3i  . Μέσω λοιπόν των 1 2 k k 0  ή 1 2k k 0  και 3 0 k k k 0   ή 3 0k k k 0    παίρνουμε: 00 30 00 11 22 33 1 e e (e e e e ) 2      ή (μιας και 30 03e e ) 00 03 00 11 22 33 1 e e (e e e e ) 2      (28) Για 1  , έχουμε: 1 1 1 k e k e 0 2      , (διότι 1k 0 ), οπότε: 0 1 2 3 0 1 1 1 2 1 3 1k e k e k e k e 0    ή 01 13e e 0  (29) Για 2  , έχουμε: 02 23e e 0  (30) Και τέλος για 3  , έχουμε: 03 33 00 11 22 33 1 e e (e e e e ) 2       (31) Έχουμε λοιπόν το σύστημα των εξισώσεων (28), (29), (30) και (31): 00 03 00 11 22 33 1 e e (e e e e ) 2      01 13e e 0  02 23e e 0  03 33 00 11 22 33 1 e e (e e e e ) 2      
  8. 8. Οπότε: 01 13e e  (32) και: 02 23e e  (33) Από την πρώτη και την τέταρτη εξίσωση παίρνουμε: 00 03 03 33e e e e    ή 03 00 332e e e   ή 03 00 33 1 e (e e ) 2    (34) Η πρώτη λοιπόν εξίσωση του συστήματος, γράφεται: 00 00 33 00 11 22 33 1 1 e (e e ) (e e e e ) 2 2       ή 00 33 00 11 22 33 1 1 1 e e (e e e e ) 2 2 2      ή 22 11e e 0  ή 22 11e e  (35) Έχουμε λοιπόν ήδη: 01 13e e  02 23e e  03 00 33 1 e (e e ) 2    22 11e e 
  9. 9. Έτσι λοιπόν τα 01e , 02e , 03e , και 22e μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των υπολοίπων, μειώνοντας έτσι τον αριθμό των ανεξάρτητων e σε 6 (από τα 10 αρχικά). Ανεξάρτητα πλέον είναι τα: 00e , 11e , 12e , 13e , 23e και 33e . Μέσω της σχέσης μετασχηματισμού (27), τα ανεξάρτητα e γίνονται: 11 11 11e e e  12 12 12e e e  13 13 13 1e e e ke   23 23 23 2e e e ke   33 33 33 3e e e 2ke   00 00 00 0e e e 2ke   Επομένως μπορούμε να μηδενίσουμε τα 13e , 23e , 33e , και 00e επιλέγοντας να είναι: 13 1 e e k  , 23 2 e e k  , 33 3 e e 2k  , 00 0 e e 2k   (36) Με αυτό τον τρόπο πετυχαίνουμε να μηδενίσουμε όλα τα e  εκτός των: 11e , 12e και 22 11e e  . Στη συνέχεια, αν θεωρήσουμε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά γωνία θ, τα e μετασχηματίζονται στα e  , που δίνονται από τη σχέση: e eR R        (37) όπου R  είναι ο πίνακας στροφής γύρω από τον z – άξονα, τα στοιχεία του οποίου δίνονται από τα cos ij , όπου ij η γωνία που σχηματίζει ο νέος άξονας i με τον παλιό j. Είναι:
  10. 10. (38) Ακολούθως ορίζουμε: 11 12e e ei  , οπότε: 11 12e e ei    (39) Με τα e  να δίνονται από τη σχέση μετασχηματισμού: e eR R        , με το R  να δίνεται από τον πίνακα (38) (όμοια για το R  ). Θα έχουμε λοιπόν (με άθροιση ως προς τους δείκτες ρ και σ): 2 2 11 11 21 12 22e cos e cos sin e cos sin e sin e          ή 2 2 11 11 12e (cos sin )e 2cos sin e       (αφού: 22 11e e  και 12 21e e ) ή 11 11 12e cos2 e sin2 e    (40) Κατόπιν: 2 2 12 11 12 21 22e cos sin e cos e sin e cos sin e           ή 2 2 12 11 12e 2cos sin e (cos sin )e        ή 12 11 12e sin2 e cos2 e     (41) Από τις σχέσεις (40) και (41) έχουμε: 11 12 11 12 11 12e e cos2 e sin2 e sin2 e cos2 ei i i         ή 11 12 11 12e e (cos2 sin2 )e (cos2 sin2 )ei i i i         ή
  11. 11. 2 2 11 12 11 12e e e ei i i e ie      ή 2 11 12 11 12e e (e e )i i e i     ή 2 e ei e      (42) Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι: 2 e ei e      (43) Επομένως και σύμφωνα με την υπόδειξη της άσκησης το βαρυτόνιο πρέπει να έχει ελικότητα 2 . Τώρα μιας και η ελικότητα μπορεί να ιδωθεί σαν την προβολή του spin στην κατεύθυνση της κίνησης, το βαρυτόνιο πρέπει να έχει spin 2. Κατά τη λύση λοιπόν της άσκησης δείξαμε ότι το βαρυτόνιο: i) Είναι άμαζο ( 2 k k k 0   ). ii) Έχει ελικότητα 2 . iii) Έχει spin 2. Το γεγονός ότι το βαρυτόνιο δεν έχει μάζα ηρεμίας μας λέει ότι η βαρύτητα πρέπει να έχει άπειρη εμβέλεια. ΜΑΡΤΗΣ 2016 ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ

×