How To Win-Win-Win: A Social Media Manager's Manifesto For Tapping Into The W...businesstooligans
This book discusses strategies, tactics, and vital information for social media managers, internet marketers, and online business professionals looking to leverage the power of social networks through the creation of win-win-win propositions.
4. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
สมบัติของจํานวนจริง
ให a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ และ R คือ เซตของจํานวนจริง
สมบัติการเทากัน
สมบัติการสะทอน จะได a = a
สมบัติการสมมาตร ถา a = b แลว b = a
สมบัติการถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c
สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน ทั้งสองขาง ถา a = b แลว a + c = b + c
สมบัติการคูณดวยจํานวนที่เทากัน ทังสองขาง
้ ถา a = b แลว a. c = b. c
สมบัติการบวก
สมบัติปด ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว a + b∈ R
สมบัติการสลับที่ จะได a + b = b + a
สมบัติการเปลี่ยนกลุม จะได a + (b + c) = (a + b) + c
สมบัติมีเอกลักษณการบวก คือ 0 จะได 0 + a = a + 0 = a
สมบัติมีอินเวอรสการบวก a มีอินเวอรสการบวกคือ − a
และ −a มีอนเวอรสการบวกคือ a
ิ
จะได a + (−a) = (−a) + a = 0
สมบัติการคูณ
สมบัติปด ถา a ∈ R และ b ∈ R แลว a . b∈ R
สมบัติการสลับที่ จะได a . b = b . a
สมบัตการเปลี่ยนกลุม
ิ จะได a .(b . c) = (a . b). c
สมบัติมีเอกลักษณการคูณ คือ 1 จะได 1. a = a .1 = a
สมบัติมีอินเวอรสการคูณ a มีอินเวอรสการคูณคือ 1
1 a
(ยกเวน 0 เพราะ ไมมีความหมาย) 1
0 และ มีอนเวอรสการคูณคือ a
ิ
a
จะได a . 1 = 1 . a = 1
a a
สมบัติการคูณและการบวก
สมบัติการแจกแจง จะได a (b + c) = a . b + a . c
4
5. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การเขียนจํานวนจริงบนเสนจํานวน
เครื่องหมาย =, ≥, ≤ และ วงเล็บ [ , ] จุดทึบ
เครื่องหมาย ≠, >, < และ วงเล็บ ( , ) จุดโปรง
ตัวอยางเขียน x บนเสนจํานวน ดังนี้
x=0
0
x ≠ 0 เขียนไดวา {x x ≠ 0} หรือเขียนไดวา (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
0
x < 1 เขียนไดวา {x x < 1} หรือเขียนไดวา (−∞, 1)
1
−2 ≤ x < 3 เขียนไดวา {x −2 ≤ x < 3} หรือเขียนไดวา [−2, 3)
−2 3
x < −2 หรือ x≥3 เขียนไดวา {x x < −2 หรือ x ≥ 3} หรือเขียนไดวา (−∞, − 2) ∪ [3, ∞)
−2 3
5
6. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
คาสัมบูรณและสมบัติของคาสัมบูรณ
คาสัมบูรณ
ให a เปนจํานวนจริงใดๆ
คาสัมบูรณของ a หรือ a คือ ระยะทางจากจุด a ถึง 0 ซึ่งระยะทางจะมีคาบวกเสมอ
เชน 3 หรือ −3 จะมีคาเทากันคือ 3
−3 = 3 3 =3
−3 0 3
3 3
ดังนัน
้ −7 = 7 − =
2 2
7 7
7 =7 =
6 6
*วิธีถอดเครืองหมายคาสัมบูรณทําไดดังนี้
่
ถา a < 0 แลว a = −a (ลบอยูหนาลบ ไดคาบวก)
ถา a > 0 แลว a = a
ถา a = 0 แลว a = 0
6
7. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
สมบัติของคาสัมบูรณ
ให x, y เปนจํานวนจริงใดๆ และ a เปนจํานวนจริงที่มากกวา 0
1) x ≥ 0
2) x = − x
3)* x = a เมื่อ x = a หรือ x = −a
4) x . y = x . y
x x
5) = โดยที่ y≠0
y y
ตรงสวนที่มีเครื่องหมาย *
( x)
2
6)* x = x2 ≠
เปนความรูพื้นฐานสําคัญที่ตองนํามาใช
7) x
2
= x2 แกสมการและอสมการคาสัมบูรณ
8)* x <a จะไดวา −a < x < a
x ≤ a จะไดวา −a ≤ x ≤ a
x >a จะไดวา x < −a หรือ a < x
x ≥a จะไดวา x ≤ −a หรือ a ≤ x
9) x + y ≤ x + y
10) x − y ≥ x − y
7
8. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกสมการ และอสมการ
การแกสมการ
การแกสมการพหุนามรูปทั่วไป
เชน 2 x 4 − 14 x 2 = −12 x
ขั้นที่ 1
ยายขางใหขางนึงของสมการมีคาเปน 0
และ อีกขาง ให ส.ป.ส. หนาตัวแปรยกกําลังสูงสุดมีคาเปนบวก
จะได 2 x 4 − 14 x 2 + 12 x = 0
ขั้นที่ 2
ถาพหุนามมีตวรวมดึงออกมาเลย และถาเปนคาคงตัวหารตลอดไดสมการเลย
ั
(แตตวแปรหามหารตลอดสมการ เพราะตัวแปรมีคาเปน 0 ได ซึ่งตัวสวนเปน 0 หาคาไมไดนะ)
ั
ซึ่งจะเห็นวา 2 x 4 − 14 x 2 + 12 x มี 2x เปนตัวรวม ดึงออกมาเลย
จะได 2x( x3 − 7 x + 6) = 0 นํา 2 หารตลอดสมการ แตหามนํา x หารตลอดสมการ
จะได x( x3 − 7 x + 6) = 0
ขั้นที่ 3
แยกแฟกเตอร (หลังจากแยกแฟกเตอรแลว ส.ป.ส. หนา ตัวแปรตองมีคาบวก)
แยกแฟกเตอร x3 − 7 x + 6 ทําโดยขั้นตอนดังนี้
3.1) หาคาที่แทนใน x แลวทําให x3 − 7 x + 6 มีคาเปน 0
ควรลองคางายๆ แทนดูกอน เชน 1, − 1, 2, − 2,... ลองเอา 1 แทนดูกอน
จะได 13 − 7(1) + 6 = 1 − 7 + 6 = 0
ดังนัน จะไดวา ( x − 1) เปนตัวประกอบนึงของ x3 − 7 x + 6
้
เขียนไดวา x3 − 7 x + 6 = ( x − 1) (
)
3.2) หาตัวประกอบที่เหลือโดยการหารยาว
x2 + x − 6
x − 1 x3 − 7x + 6
x3 − x 2
x2 − 7 x + 6
x2 − x
− 6x + 6
− 6x + 6
0
8
9. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
3.3) ดังนันจากขั้นตอนที่ 2
้ x( x3 − 7 x + 6) = 0
x ( x − 1) ( x 2 + x − 6) = 0
x ( x − 1) ( x + 3) ( x − 2) = 0
คําตอบของสมการคือ 0, 1, − 3, 2
การแกสมการพหุนามรูปพิเศษ
เศษ
พหุนามรูปพิเศษ หมายถึง กลุมตัวแปร หรือ
กลุมตัวแปร
หลักการที่สําคัญมากๆ
กอนจะตะลุยแกสมการใหเขียนเงื่อนไขขางตนของกลุมตัวแปรซะกอน
เชน กลุมตัวแปร
กลุมตัวแปร ≥ 0
กลุมตัวแปร ≠ 0
เศษ
กลุมตัวแปร
หลังจากเขียนเงื่อนไขขั้นตนแลว
ทําใหพหุนามรูปพิเศษ ใหเปนพหุนามรูปทั่วไป แลวแกสมการตามขั้นตอนของการแกสมการ
พหุนามรูปทั่วไปจนไดคําตอบ
สําคัญมาก กอนจะสรุปคําตอบ ตองนําคําตอบที่ได Check ดูวาเปนตามเงื่อนไขขางตน
หรือไม เอาแตเฉพาะคําตอบที่เปนตามเงื่อนไขขางตน เทานัน ้
9
10. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกสมการคาสัมบูรณ
ให x = a ถอดเครื่องหมายคาสัมบูรณ ทําได 2 วิธี
วิธีที่ 1 ยกกําลังสองทั้งสองขาง วิธีที่ 2 แยกกรณี
x =a x
จาก x = x2 กรณีที่ x ≥ 0 หรือ กรณีที่ x < 0
จะได x2 = a ยกกําลังสองทั้งสองขาง จะได x = x จะได x = − x
จะได x2 = a2
x2 − a2 = 0
( x − a) ( x + a) = 0
x = a, − a
***วิธีนี้ไมเหมาะ ถาในสมการ ตัวแปรยกกําลัง
มากกวาหนึ่ง
10
11. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกอสมการ (ขอสอบเขามหาวิทยาลัยชอบออกมาก!!!)
***พื้นฐานสําคัญที่ตองรูเกี่ยวกับอสมการ***
ถานําคาลบมาคูณหรือหารทั้งสองขางของอสมการ เครื่องหมายอสมการตองกลับขาง
เชน
ให a, b, c เปนจํานวนจริง
ถา a < b และ c เปนคาลบ ถา a ≤ b และ c เปนคาลบ
a b
จะได a. c > b. c จะได ≥
c c
การยกกําลังสองทั้งสองขางของอสมการ
ให a < b
จะได a 2 < b2 ถา a และ b เปนคาบวก ทังคู ( a เปน 0 ก็ได)
้
จะได a 2 > b2 ถา a และ b เปนคาลบ ทั้งคู ( b เปน 0 ก็ได)
***แตถา a เปนลบ และ b เปนบวก จะบอกไมไดวา a 2 < b2 หรือ a 2 > b2
การแกอสมการพหุนามรูปทั่วไป
ทําขั้นตอนเหมือนแกสมการพหุนามรูปทัวไปจนแยกแฟกเตอรเสร็จ
่
(ส.ป.ส. หนาตัวแปรตองเปนบวกทั้งหมด)
เชน ( x − a) ( x − b) < 0
นําคาทีทําใหพหุนามเปน 0 มาเขียนบนเสนจํานวน ก็คือ คา a, b
่
ใสจุด ถา > , < จุดโปรง
ถา ≥ , ≤ จุดทึบ
ใสเครื่องหมาย + , − สลับกัน
จากขวาไปซาย (เริ่ม + ขวาสุดกอน)
+ − +
a b
ถา พหุนาม < , ≤ เอาชวง −
ถา พหุนาม > , ≥ เอาชวง +
11
14. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
***หลักในการแกอสมการพหุนามที่กลุมตัวแปรอยูที่สวน
เชน
1
≤1
x−5
เงื่อนไขขางตนคือ x −5 ≠ 0 ดังนัน
้ x≠5
นํา ( x − 5)2 มาคูณทังสองขางของอสมการ
้
***สาเหตุทตองเปน ( x − 5)2 ไมเปน ( x − 5) เพราะ
ี่
( x − 5) เราไมรูวาเปนคาบวกหรือลบ ดังนันเครื่องหมายอสมการจึงไมรูวาตองกลับขางหรือไม
้
( x − 5) 2 เรามันใจไดเลยวาเปนบวก ดังนันเครื่องหมายอสมการเหมือนเดิม
่ ้
จะได x − 5 ≤ ( x − 5) 2
x − 5 ≤ x 2 − 10 x + 25
เนื่องจากเงื่อนไขขางตน x ≠ 5
0 ≤ x 2 − 11x + 30 ดังนั้นที่ x = 5 จึงเปนจุดโปรง
0 ≤ ( x − 6) ( x − 5)
+ − +
5 6
จึงได x = (−∞,5) ∪ [6, ∞)
14
15. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
การแกอสมการคาสัมบูรณ
ถอดเครื่องหมายคาสัมบูรณ ทําได 3 วิธี
วิธีที่ 1 ยกกําลังสองทั้งสองขาง
เปลี่ยนจาก x ไปเปน x 2 แลวยกกําลังสองทั้งสองขางของอสมการเพื่อให หายไป
***วิธีนี้ตองใชกับอสมการทีมั่นใจวา ซาย-ขวา เปนบวกทั้งคู หรือ ซาย-ขวา เปนลบทั้งคู
่
ยกกําลังสองทังสองขางแลวจะไดรูวาเครื่องหมายอสมการตองเปนยังไง
้
***วิธีนี้ไมเหมาะ ถาในสมการ ตัวแปรยกกําลัง มากกวาหนึ่ง
วิธีที่ 2 ทําแบบแบงชวง
x <a x >a
จะไดวา −a < x < a จะไดวา x < −a หรือ a < x
เขียนใหมไดเปน x < −a ∪ a < x
− a < x และ x < a
−a < x ∩ x < a
x ≤a x ≥a
จะไดวา −a ≤ x ≤ a จะไดวา x ≤ −a หรือ a ≤ x
เขียนใหมไดเปน x ≤ −a ∪ a ≤ x
− a ≤ x และ x ≤ a
−a ≤ x ∩ x ≤ a
สําคัญมาก “และ” คือ ∩ “หรือ” คือ ∪
วิธีที่ 3 แยกกรณี
กรณีที่ x ≥ 0 หรือ กรณีที่ x < 0
จะได x = x จะได x = − x
15
16. www.TewLek.com เว็บติวเลขดอทคอม
ทฤษฎีเศษเหลือ
f ( x) หารดวย ( x − c) เศษเหลือ เทากับ f (c )
และถา
f ( x) หารดวย ( x − c) เศษเหลือ เทากับ 0
f (c) = 0 แสดงวา ( x − c) เปนตัวประกอบนึงของ f ( x) หรือ
( x − c) หาร f ( x) ลงตัว
เชน
f ( x) = x 2 − x + 1 หารดวย x−2 จะเหลือเศษเทาไหร
จะเหลือเศษเทากับ f (2) = 22 − 2 + 1 = 3
16