สื่อการสอน

1. ;
นางขวัญแก้ว มีเหมือน
ระบบจานวนจริง
วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 7 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

2. ;

3. จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจานวนข้างต้นจะพบว่า ระบบจานวนจริง
จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่ไม่สำมำรถเขียนให้อยู่ใน
รูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้
2. จำนวนตรรกยะ หมำยถึง จำนวนที่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้

4. จานวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมำยถึง จำนวนที่สำมำรถเขียนให้อยู่ในรูป
เศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม
2. จำนวนเต็ม หมำยถึง I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสำมำรถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน

5. ตัวอย่ำง จงพิจารณาจานวนที่กาหนดให้ ว่าเป็นจานวนนับ จานวนเต็ม
จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
1. O
ตอบ เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนตรรกยะ
2. 3.134257918
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ
3. 3.134257918…
ตอบ เป็นจำนวนอตรรกยะ
4. 3.131313…
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ

6. ตัวอย่ำง จงพิจารณาจานวนที่กาหนดให้ ว่าเป็นจานวนนับ จานวนเต็ม
จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
1. -12/ -3 ( หมายถึง -12 หารด้วย -3 )
ตอบ เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนตรรกยะ
2. 3.134135136…
ตอบ เป็นจำนวนอตรรกยะ
3. 3.13747474…
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ
4. 0.797797797…
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ

7. ตัวอย่ำง จงพิจารณาจานวนที่กาหนดให้ ว่าเป็นจานวนนับ จานวนเต็ม
จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
1. 6/ 3 ( หมายถึง 6 หารด้วย 3 )
ตอบ เป็นจำนวนนับ เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนตรรกยะ
2. 3/4
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ
3. 3.1374741456…
ตอบ เป็นจำนวนอตรรกยะ
4. 0.7
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ

8. แบบฝึก จงพิจารณาจานวนที่กาหนดให้ ว่าเป็นจานวนนับ จานวนเต็ม
จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
1. 0/ 9 ( หมายถึง 0 หารด้วย 3 )
ตอบ
2. 6/2
ตอบ
3. 3.137474145
ตอบ
4. 0.734812…
ตอบ

9. เฉลยแบบฝึก จงพิจารณาจานวนที่กาหนดให้ ว่าเป็นจานวนบับ จานวน
เต็ม จานวนตรรกยะ หรือจานวนอตรรกยะ
1. 0/ 9 ( หมายถึง 0 หารด้วย 3 )
ตอบ เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนตรรกยะ
2. 6/2
ตอบ เป็นจำนวนนับ เป็นจำนวนเต็ม และเป็นจำนวนตรรกยะ
3. 3.137474145
ตอบ เป็นจำนวนตรรกยะ
4. 0.734812…
ตอบ เป็นจำนวนอตรรกยะ

10. แบบฝึก ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
1. 1.010010001 เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ
2. 6.808808880… ไม่เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ
3. ถ้า A สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมซ้า แล้ว A เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ
4. ถ้า A สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้า แล้ว A เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ

11. เฉลยแบบฝึก ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
1. 1.010010001 เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ จริง
2. 6.808808880… ไม่เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ จริง
3. ถ้า A สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมซ้า แล้ว A เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ จริง
4. ถ้า A สามารถเขียนได้ในรูปทศนิยมไม่ซ้า แล้ว A เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ เท็จ

12. แบบฝึก ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
1. 1.010010001… เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ
2. 6.808808880 ไม่เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ
3. มีจานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
ตอบ
4. มีจานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
ตอบ

13. เฉลยแบบฝึก ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่
1. 1.010010001… เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ เท็จ
2. 6.808808880 ไม่เป็นจานวนตรรกยะ
ตอบ เท็จ
3. มีจานวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
ตอบ จริง
4. มีจานวนตรรกยะที่มากที่สุดที่น้อยกว่า 9
ตอบ เท็จ

14. • สมบัติกำรเท่ำกันของจำนวนจริง
กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
1. สมบัติการสะท้อน a = a
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
4. สมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
5. สมบัติการคูณด้วยจานวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

15. • สมบัติกำรบวกในระบบจำนวนจริง
กาหนด a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจานวนจริง
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์กำรบวก
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
นั่นคือในระบบจำนวนจริง จำนวน aจะมี-aเป็นอินเวอร์สของกำรบวก

16. •สมบัติกำรคูณในระบบจำนวนจริง
กาหนดให้ a, b, c, เป็นจานวนจริงใดๆ
1. สมบัติปิดกำรคูณ ab เป็นจำนวนจริง
2. สมบัติกำรสลับที่ของกำรคูณ ab = ba
3. สมบัติกำรเปลี่ยนกลุ่มของกำรคูณ a(bc) = (ab)c
4. เอกลักษณ์กำรคูณ 1 · a = a = a · 1
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์กำรคูณ

17. •สมบัติกำรคูณในระบบจำนวนจริง
กาหนดให้ a, b, c, เป็นจานวนจริงใดๆ
5. อินเวอร์สกำรคูณ ax 1/a = 1 = 1/a x a, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี 1/a เป็นอินเวอร์สกำรคูณ
ยกเว้น 0
6. สมบัติกำรแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
11

18. จากสมบัติของระบบจานวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนามาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1 กฎการตัดออกสาหรับการบวก
เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c

19. ทฤษฎีบทที่ 2 กฎการตัดออกสาหรับการคูณ
เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c

20. ตัวอย่าง จงหาอินเวอร์สการบวกของจานวนต่อไปนี้
1. 4 ตอบ -4
2. 67.5 ตอบ - 67.5
3. -10 ตอบ 10

21. แบบฝึก จงหาอินเวอร์สการบวกของจานวนต่อไปนี้
1. 6
ตอบ
2. - 11.9
ตอบ
3. -3
ตอบ
4. 18.3
ตอบ

22. เฉลยแบบฝึก จงหาอินเวอร์สการบวกของจานวนต่อไปนี้
1. 6
ตอบ -6
2. - 11.9
ตอบ 11.9
3. -3
ตอบ 3
4. 18.3
ตอบ -18.3

23. ตัวอย่ำง จงบอกสมบัติของจานวนจริงที่ทาให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริง
เมื่ออักษรที่ปรากฏคือ จานวนจริงใดๆ
1. 9 + 0 = 9
ตอบ สมบัติเอกลักษณ์กำรบวก
2. 4 + ( -4 ) = 0
ตอบ สมบัติอินเวอร์สกำรบำก
3. -3 + 7 เป็นจานวนจริง
ตอบ สมบัติปิดกำรบวก
4. 5 + 6 = 6 + 5
ตอบ สมบัติกำรสลับที่สำหรับกำรบวก

24. แบบฝึก จงบอกสมบัติของจานวนจริงที่ทาให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริง
เมื่ออักษรที่ปรากฏคือ จานวนจริงใดๆ
1. 4 + 0 = 4
ตอบ
2. -21 + 21 = 0
ตอบ
3. 3 + ( -7 ) เป็นจานวนจริง
ตอบ
4. 7 + 8 = 8 + 7
ตอบ

25. แบบฝึก จงบอกสมบัติของจานวนจริงที่ทาให้แต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริง
เมื่ออักษรที่ปรากฏคือ จานวนจริงใดๆ
1. 4 + 0 = 4
ตอบ สมบัติเอกลักษณ์กำรบวก
2. -21 + 21 = 0
ตอบ สมบัติอินเวอร์สกำรบวก
3. 3 + ( -7 ) เป็นจานวนจริง
ตอบ สมบัติปิดสำหรับกำรบวก
4. 7 + 8 = 8 + 7
ตอบ สมบัติกำรสลับที่สำหรับกำรบวก

26. ศึกษำตัวอย่ำงก่อนนะ
ครับ
แล้วค่อยทำแบฝึก
กำรแก้สมกำร
ระบบจำนวนจริง
• วิธีทา 3x – 5(x-7 ) = 4x +12
• 3x -5x + 35 = 4x + 12
• -2x – 4x = 12 – 35
• - 6x = - 23
• x = -23/-6
• x = 23/6
• ตอบ คำตอบของสมกำร คือ 23/6
• ( 23/6 ในที่นี้หมายถึง 23 ส่วน 6 )
ตัวอย่าง 1 จงแก้สมการ
3x – 5(x-7 ) = 4x +12

27. ตัวอย่าง 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 3(x-3)-5(x+4) = 2x + 5
• วิธีทา 3x – 9 – 5x – 20 = 2x + 5
• 3x – 5x – 2x = 5 + 9 + 20
• - 4x = 34
• x = -34/4
• X = -22/2
• ตอบ เซตคาตอบของสมการ คือ { -22/2 }

28. แบบฝึกทักษะ 1 จงหำเซตคำตอบของสมกำรต่อไปนี้
• 1. x – ( 3x – 1 ) = 3
• 2. x – 11 + 7x = 9 (x + 5 ) – 2
• 3. 9x – 7( x + 5 ) = 7
• 4. 6 – 3(x + 4 ) = 2( 7 – 8x)
• 5. 5x – 8 = 6(7x – 6 ) + 9

29. เฉลย แบบฝึกทักษะ 1
• 1 { - 1 }
• 2. { - 54 }
• 3. { 21 }
• 4. { 20/13 }
• 5. { 19/37 }

30. แบบทดสอบ เรื่อง กำรแก้สมกำร
1. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ x – 5 + 6x = 7(x -1 )
ก. { } ข. R ค. ไม่มีคาตอบข้อใดถูกต้อง
2. ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ x - 7 + 6x = 7 (x – 1 )
ก. { } ข. R ค. ไม่มีคาตอบข้อใดถูกต้อง

31. เฉลยแบบทดสอบ
• 1. ก
• 2. ข

32. แล้ว
พบกันใหม่นะคะ