Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)

Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 167
4. 3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai perbandingan trigonometri yang menggunakan rumus
jumlah dan selisih sinus, kosinus dan tangent serta jumlah dan selisih dua sudut.
Trigonometri Kelas XI IPA
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Alat Bukti: Lingkaran satuan dan 3 buah juring masing-masing bersudut 𝐴, 𝐵, dan (– 𝐵).
Diperoleh dua segitiga
yaitu, ∆𝑃𝑂𝑅 dan ∆𝑆𝑂𝑄
dengan ∠𝑃𝑂𝑅 = ∠𝑆𝑂𝑄
sehingga, 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄
Dengan membuktikan 𝑃𝑅 = 𝑆𝑄, diperoleh:
𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) = 𝐜𝐨𝐬 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 − 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐬𝐢𝐧 𝑩
𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut negatif 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + (−𝑩))
𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) diperoleh dengan sifat relasi sudut kuadran I
Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin(𝐴 ± 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 ± cos 𝐴 sin 𝐵
cos(𝐴 ± 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 ∓ sin 𝐴 sin 𝐵
Substitusi 𝑩 = 𝑨 Eliminasi
𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)
𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑩) dengan 𝐜𝐨𝐬(𝑨 − 𝑩)
Trigonometri Sudut Rangkap Jumlah, Selisih dan Perkalian
Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus
Sin2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
𝑆 + 𝑆 2𝑆𝐶
𝑆 − 𝑆 2𝐶𝑆
Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝑨 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝑨 = 𝟏 𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶
𝐶 − 𝐶 −2𝑆𝑆
Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat
cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1
Trigonometri Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut
sin 𝐴 = √
1 − cos2𝐴
2
cos 𝐴 = √
1 + cos 2𝐴
2
1
2
⊕
1
2
⊖
⊕ ⊖
𝐴
𝐵
−𝐵
𝑅
𝑃
𝑄
𝑆
𝑄
𝑆
𝑅
𝑃𝑂
𝑂
𝑂
Khusus untuk tan( 𝐴 ± 𝐵),
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
“TAN A = SINA DIPERKOSA”

Halaman 168 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Jumlah Selisih Dua Sudut.
Intisari dari masalah tentang jumlah selisih sinus kosinus tangen serta masalah tentang jumlah selisih dua sudut
adalah kita harus memahami bagaimana konsep awal dari cos(𝐴 + 𝐵). Begitu konsep awal ini dipahami, maka
dengan menggunakan konsep-konsep dasar trigonometri di kelas X, maka semua konsep tentang trigonometri
di kelas XI IPA akan segera muncul satu-persatu dengan sendirinya.
Untuk mendampingi pemahaman konsep dasar yang sudah diperoleh lewat pembelajaran di sekolah, kali ini
Pak Anang akan membagikan konsep LOGIKA PRAKTIS dalam menyusun rumus jumlah selisih dua sudut
sebagai berikut:
Konsep awal yang harus diingat adalah sin(𝐴 ± 𝐵) dan cos(𝐴 ± 𝐵).
Perhatikan, untuk sin(𝐴 ± 𝐵), diawali huruf “S”, yang secara kreatif imajinatif dimaknai dengan:
 SELANG-SELING
 SIN
 SAMA
“SELANG-SELING”
dimulai dari SIN
𝐬𝐢𝐧( 𝑨 ± 𝑩)
SAMA
tanda plus minusnya
sin( 𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
sin( 𝐴 − 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 − cos 𝐴 sin 𝐵
Jadi, untuk cos(𝐴 ± 𝐵) tinggal membalik konsep menghafal rumus sin(𝐴 ± 𝐵) di atas.
 Tidak SELANG-SELING (KEMBAR)
 Bukan SIN (Jadi, dimulai dari cos)
 Tidak SAMA (Tanda plus minus berbeda)
cos( 𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
cos( 𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵
Keterangan:
Selang-seling diambil dari bahasa Jawa,
artinya adalah pola yang selalu bergantian.
Tanda SAMA
“SELANG-SELING”,
bergantian SIN COS lalu COS SIN
Dimulai dari SIN
Tanda BEDA
KEMBAR,
bergantian COS COS lalu SIN SIN
Dimulai dari COS
Keterangan:
Kalau cos(𝐴 ± 𝐵) berarti kebalikannya.
 SELANG-SELING diawali SIN >< Kembar diawali COS
 SAMA >< BERBEDA

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Sudut Rangkap.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada halaman sebelumnya……??
sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
dan
cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
Asyik….
Nah, konsep kedua yang harus melekat kuat di otak adalah tentang sin2𝐴 dan cos 2𝐴, diperoleh dari rumus
sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵) dengan mengganti 𝐵 = 𝐴.
sin(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 + 𝐵)
Ganti 𝐵 = 𝐴
sin 2𝐴 dan cos 2𝐴
Konsep untuk mendapatkan sin2𝐴 adalah:
sin( 𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
sin( 𝐴 + 𝐴) = sin 𝐴 cos 𝐴 + cos 𝐴 sin 𝐴
sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴
Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 adalah:
cos( 𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
cos( 𝐴 + 𝐴) = cos 𝐴 cos 𝐴 − sin 𝐴 sin 𝐴
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
Jadi,
sin 2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴
cos 2𝐴 = cos2
𝑥 − sin2
𝑥

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Kosinus Sudut Rangkap yang Lain.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap pada halaman sebelumnya……??
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
Asyik….
Nah, konsep ketiga yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus cos 2𝐴 yang lainnya. Rumus kosinus
sudut rangkap yang lain diperoleh dari cos 2𝐴 dengan mensubstitusikan identitas trigonometri Pythagoras.
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
Substitusi sin2
𝐴 + cos2
𝐴 = 1
cos2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴
Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1 adalah:
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − (1 − cos2
𝐴)
cos 2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1
Konsep untuk mendapatkan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴 adalah:
cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
cos 2𝐴 = (1 − sin2
𝐴) − sin2
𝐴
cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴
TRIK SUPERKILAT cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada 2sin2 atau 2cos2. Polanya selalu bentuk pengurangan.
cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 cos 2𝐴 = 2 𝐜os2
𝐴 − 𝟏
cos 2𝐴 = 𝑪 𝑰 𝑺
cos 2𝐴 = 𝑰 𝑺 cos 2𝐴 = 𝟏 − 2 𝐬in2
𝐴
sin2
𝐴 + cos2
𝐴 = 1
⇒ sin2
𝐴 = 1 − cos2
𝐴
sin2
𝐴 + cos2
𝐴 = 1
⇒ cos2
𝐴 = 1 − sin2
𝐴
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
 Ingat posisi huruf alfabet,
posisi C lebih awal dari S.
 Gunakan singkatan CIS, jadi
cos 2𝐴 memiliki dua bentuk
lain, yaitu CI dan IS.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Trigonometri Setengah Sudut.
Masih ingat dengan konsep rumus kosinus sudut rangkap Pythagoras pada halaman sebelumnya……??
cos 2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1
cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴
Asyik….
Nah, konsep keempat yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri setengah sudut.
Rumus trigonometri setengah sudut diperoleh dari konsep “cos 2𝐴 Pythagoras”.
Pak Anang menyebut rumus cos2𝐴 Pythagoras untuk dua konsep atau rumus di atas.
“cos 2𝐴 Pythagoras”
cos2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1 cos2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴
Invers, “pindah ruas” sampai diperoleh cos 𝐴 dan sin 𝐴
cos 𝐴 = √
1 + cos 2𝐴
2
sin 𝐴 = √
1 − cos 2𝐴
2
Konsep rumus trigonometri sudut setengah tersebut SEBENARNYA TIDAK PERLU DIHAFAL………!
Kenapa?
Karena sebenarnya yang perlu diingat dan dihafal adalah perubahan dari konsep “cos2𝐴 Pythagoras” menjadi
konsep trigonometri sudut setengah hanya mengalami proses invers, alias “pindah ruas” saja.
Kesimpulannya, RUMUSNYA TIDAK BERUBAH MAKNA, HANYA BERUBAHFORMASI SAJA…..!!!!!
Jadi, misalkan lupa rumus trigonometri setengah sudut tidak jadi masalah, asalkan ingat pola di bawah ini:
cos 2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1 dan cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴
LOGIKA PRAKTIS cara menghafalkannya adalah:
Perhatikan selalu ada angka 1, selalu ada angka 2, selalu ada cos2A. Polanya selalu bentuk akar.
cos 2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1 ⇒ cos 𝐴 = √
1 + cos 2𝐴
2
cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴 ⇒ sin 𝐴 = √
1 − cos 2𝐴
2
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
Konsep trigonometri sudut setengah
Diketahui sudut rangkap,
ditanya setengah sudut.
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
Konsep trigonometri sudut rangkap
Diketahui suatu sudut,
ditanya sudut rangkapnya.
+
Keterangan TRIK SUPERKILAT:
 Dihasilkan dari invers konsep
“cos 2𝐴 Pythagoras”
 Tanda plus minus dilihat dari
tanda koefisien trigonometri.

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Cara Menghafal Rumus Jumlah, Selisih, dan Perkalian Trigonometri.
Masih ingat dengan konsep rumus jumlah sudut sinus kosinus pada TRIK SUPERKILAT paling awal tadi……??
dan
Asyik….
Nah, konsep kelima yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih
sinus kosinus perkalian sinus kosinus. Konsep rumus ini diperoleh dengan mengeliminasi komponen yang sama
pada sin(𝐴 + 𝐵) dan sin(𝐴 − 𝐵) serta mengeliminasi komponen yang sama pada cos(𝐴 + 𝐵) dan cos(𝐴 − 𝐵).
Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin(𝐴 ± 𝐵) cos(𝐴 ± 𝐵)
Eliminasi Eliminasi
sin(𝐴 + 𝐵) dengan sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) dengan cos(𝐴 − 𝐵)
sin(𝐴 + 𝐵) sin(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵)
sin(𝐴 − 𝐵) sin(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵) cos(𝐴 − 𝐵)
2 sin 𝐴 cos 𝐵 2 cos 𝐴 sin 𝐵 2 cos 𝐴 cos 𝐵 −2 sin 𝐴 sin 𝐵
Substitusi
(𝑨 + 𝑩) = 𝜶
(𝑨 − 𝑩) = 𝜷
(𝐴 + 𝐵) = 𝛼 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼
(𝐴 − 𝐵) = 𝛽 (𝐴 − 𝐵) = 𝛽
2𝐴 = (𝛼 + 𝛽) 2𝐵 = (𝛼 − 𝛽)
𝑨 =
𝟏
𝟐
(𝜶 + 𝜷) 𝑩 =
𝟏
𝟐
(𝜶 − 𝜷)
sin 𝛼 sin 𝛼 cos 𝛼 cos 𝛼
sin 𝛽 sin 𝛽 cos 𝛽 cos 𝛽
2 sin
1
2
(𝛼 + 𝛽) cos
1
2
(𝛼 − 𝛽) 2 cos
1
2
(𝛼 + 𝛽) sin
1
2
(𝛼 − 𝛽) 2 cos
1
2
(𝛼 + 𝛽) cos
1
2
(𝛼 − 𝛽) −2 sin
1
2
(𝛼 + 𝛽) sin
1
2
(𝛼 − 𝛽)
LOGIKA PRAKTIS cara membacanya:
Keterangan cara membaca TRIK SUPERKILAT:
S adalah sin dan C adalah cos.
𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩) = 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩
𝐶 + 𝐶 2𝐶𝐶
𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧 𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧
𝟏
𝟐
(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬
𝟏
𝟐
(𝑨 − 𝑩)
1
2
⊕
1
2
⊖
⊕ ⊖
S + S = 2 S C
(𝐴 + 𝐵) (𝐴 − 𝐵) 𝐴 𝐵
⊕ ⊖
S + S = 2 S C
1
2
⊕
1
2
⊖
1
2
(𝐴 + 𝐵)
1
2
(𝐴 − 𝐵)𝐴 𝐵
+ +− −
+ −
dibagi 2 dibagi 2
+ +− −

LOGIKA PRAKTIS cara menyusun rumus jumlah, selisih dan perkalian trigonometri:
Keterangan cara menyusun TRIK SUPERKILAT:
Perhatikan cara membacanya: tanda ⊕ dibaca (𝐴 + 𝐵) dan tanda ⊖ dibaca (𝐴 − 𝐵)
𝑆 + 𝑆
1
2
⊕
1
2
⊖
→ 2𝑆𝐶 dibaca: 𝐬𝐢𝐧 𝑨 + 𝐬𝐢𝐧 𝑩 = 𝟐 𝐬𝐢𝐧
𝟏
𝟐
(𝑨 + 𝑩) 𝐜𝐨𝐬
𝟏
𝟐
(𝑨 − 𝑩)
𝑆 + 𝑆
⊕⊖
← 2𝑆𝐶 dibaca: 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝑩 = 𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑩) + 𝐬𝐢𝐧(𝑨 − 𝑩)
JEMBATAN KELEDAI untuk menghafalkan rumus jumlah selisih dan perkalian trigonometri:
Sayang ditambah sayang menjadi dua-duanya sangat cinta.
Sayang dikurangi sayang menjadi dua-duanya cintanya sirna.
Cinta ditambah cinta menjadi dua-duanya cinta-cintaan.
Cinta dikurangi cinta menjadi aduh…. dua-duanya sayangnya sirna.
Keterangan: kata aduh dimaknai sebagai tanda negatif (−).
1
2
⊕
1
2
⊖
⊕ ⊖
Masih ingat dengan rumus jumlah dua sudut trigonometri kan?
sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
Ditulis ulang dengan singkat sebagai berikut:
𝑆+= 𝑆𝐶 + 𝐶𝑆
𝐶+= 𝐶𝐶 − 𝑆𝑆
Lihat ruas kiri ada 𝑆 + dan 𝐶 +, Ini yang ditulis di kolom kiri dengan
membubuhkan tanda + dan − bergantian.
Tanda + dan − ini diperoleh dari proses eliminasi.
Jadi, urutannya adalah 𝑆 + 𝑆, lalu 𝑆 − 𝑆, dan 𝐶 + 𝐶 lalu 𝐶 − 𝐶.
𝑆 + 𝑆
𝑆 − 𝑆
𝐶 + 𝐶
𝐶 − 𝐶
Lalu perhatikan ruas kanan, ada berturut-turut adalah 𝑆𝐶, 𝐶𝑆, 𝐶𝐶, dan – 𝑆𝑆.
Itulah yang ditulis urut dari atas ke bawah dengan membubuhkan angka 2.
Angka 2 tersebut diperoleh dari hasil eliminasi.
2𝑆𝐶
2𝐶𝑆
2𝐶𝐶
−2𝑆𝑆
Nah, lalu dikonstruksi seperti pada TRIK SUPERKILAT menjadi bagan di
bawah ini:
1
2
⊕
1
2
⊖
⊕ ⊖

TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut, Jumlah Selisih atau Perkalian untuk Tangen.
Nah, konsep keenam atau konsep terakhir yang harus melekat kuat di otak adalah tentang rumus jumlah selisih
dua sudut untuk tangen, dilanjutkan dengan tangen sudut rangkap, tangen setengah sudut.
Khusus untuk tangen sebenarnya jika lupa rumusnya, cukup ingat aja sifat perbandingan untuk tangen, yaitu:
“TAN A adalah SINA DIPERKOSA”
atau dituliskan sebagai:
𝐭𝐚𝐧 𝑨 =
𝐬𝐢𝐧 𝑨
𝐜𝐨𝐬 𝑨
Sehingga,
tan(𝐴 + 𝐵) =
sin(𝐴 + 𝐵)
cos(𝐴 + 𝐵)
⇒ tan(𝐴 + 𝐵) =
sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵
×
1
cos 𝐴 cos 𝐵
1
cos 𝐴 cos 𝐵
=
sin 𝐴 cos 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵 +
cos 𝐴 sin 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵 −
sin 𝐴 sin 𝐵
cos 𝐴 cos 𝐵
=
sin 𝐴
cos 𝐴 +
sin 𝐵
cos 𝐵
1 −
sin 𝐴
cos 𝐴
sin 𝐵
cos 𝐵
=
tan 𝐴 + tan 𝐵
1 − tan 𝐴 tan 𝐵
Jadi,
tan(𝐴 ± 𝐵) =
tan 𝐴 ± tan 𝐵
1 ∓ tan 𝐴 tan 𝐵
Sehingga jika 𝐵 = 𝐴, akan diperoleh:
tan(𝐴 + 𝐴) =
tan 𝐴 + tan 𝐴
1 − tan 𝐴 tan 𝐴
⇒ tan 2𝐴 =
2 tan 𝐴
1 − tan2 𝐴
Tangen setengah sudut diperoleh dari rumus sinus dan kosinus setengah sudut:
sin 𝐴 = √
1 − cos 2𝐴
2
cos 𝐴 = √
1 + cos2𝐴
2 }
tan 𝐴 =
sin 𝐴
cos 𝐴
=
√1 − cos 2𝐴
2
√1 + cos 2𝐴
2
= √
1 − cos 2𝐴
2
× √
2
1 + cos 2𝐴
= √
1 − cos2𝐴
1 + cos2𝐴
Jadi,
tan 𝐴 = √
1 − cos 2𝐴
1 + cos 2𝐴

Rumus Khusus untuk Tangen
Jumlah dan Selisih Dua Sudut Jumlah dan Selisih Dua Sudut Tangen
tan(𝐴 ± 𝐵) =
sin(𝐴±𝐵)
cos(𝐴±𝐵)
=
tan 𝐴±tan 𝐵
1∓tan 𝐴 tan 𝐵
Substitusi 𝑩 = 𝑨 Substitusi 𝑩 = 𝑨
𝐬𝐢𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝑨
𝐜𝐨𝐬(𝑨 + 𝑨) = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝑨
Trigonometri Sudut Rangkap Tangen Sudut Rangkap
Sudut Rangkap Sinus Sudut Rangkap Kosinus
Sin2𝐴 = 2 sin 𝐴 cos 𝐴 cos 2𝐴 = cos2
𝐴 − sin2
𝐴
Substitusi identitas trigonometri 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝑨 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝑨 = 𝟏

Sudut Rangkap Kosinus Yang Lain
Sinus Kuadrat Kosinus Kuadrat
cos 2𝐴 = 1 − 2 sin2
𝐴 cos2𝐴 = 2 cos2
𝐴 − 1
Trigonometri Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut
Sinus Setengah Sudut Kosinus Setengah Sudut Tangen Setengah Sudut
sin 𝐴 = √
1 − cos2𝐴
2
cos 𝐴 = √
1 + cos 2𝐴
2
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS yang lain akan segera diupdate dan dipublish….
Jadi, kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update terbaru TRIK
SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS nya.
Khusus untuk tan( 𝐴 ± 𝐵),
tangen sudut rangkap dan
tangen setengah sudut,
cukup gunakan sifat identitas
“TAN A = SINA DIPERKOSA”
𝐭𝐚𝐧(𝑨 + 𝑨) = 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝑨
tan 2𝐴 =
2 tan 𝐴
1 − tan2 𝐴
tan 𝐴 =
sin 𝐴
cos 𝐴
= √
1 − cos2𝐴
1 + cos2𝐴

Tipe Soal yang Sering Muncul
Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut.
Contoh Soal:
Diketahui dari sin75° + cos 75° adalah ….
a.
1
4
√6
b.
1
2
√2
c.
1
2
√3
d. 1
e.
1
2
√6
Penyelesaian:
Ingat, sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 dan cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵.
Perhatikan juga bahwa 75° = (45° + 30°).
Sehingga,
sin 75° + cos 75° = sin(45° + 30°) + cos(45° + 30°)
= (sin45° cos30° + cos 45° sin 30°) + (cos 45° cos 30° − sin45° sin 30°)
= (
1
2
√2 ∙
1
2
√3 +
1
2
√2 ∙
1
2
) + (
1
2
√2 ∙
1
2
√3 −
1
2
√2 ∙
1
2
)
=
1
4
√6 +
1
4
√6
=
1
2
√6
Cara lain untuk soal ini menggunakan TRIK SUPERKILAT ada di halaman 184.

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui perbandingan
trigonometri dari dua sudut tersebut.
Contoh Soal 1:
Diketahui sin 𝐴 =
4
5
dan sin 𝐵 =
7
25
, dengan 𝐴 sudut lancip dan 𝐵 sudut tumpul. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….
a. −
117
125
b. −
100
125
c. −
75
125
d. −
44
125
e. −
21
25
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐴 =
4
5
adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)
Sehingga, cos 𝐴 =
3
5
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐵 =
7
25
adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut tumpul)
Sehingga, cos 𝐵 = −
24
25
(Ingat nilai cos sudut tumpul adalah negatif)
Jadi,
cos(𝐴 − 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 + sin 𝐴 sin 𝐵
=
3
5
∙ (−
24
25
) +
4
5
∙
7
25
= −
72
125
+
28
125
= −
44
125
4
3
5
𝐴
7
24
25
𝐵

Contoh Soal 2:
Pada segitiga 𝐴𝐵𝐶 lancip, diketahui cos 𝐴 =
4
5
dan sin 𝐵 =
12
13
, maka sin 𝐶 = ….
a.
20
65
b.
36
65
c.
56
65
d.
60
65
e.
63
65
Penyelesaian:
Ingat, jika diketahui sebuah nilai perbandingan trigonometri, maka perbandingan trigonometri yang lain
bisa ditemukan menggunakan alat bantu segitiga siku-siku.
Segitiga siku-siku untuk menyatakan cos 𝐴 =
4
5
adalah: (Ingat 𝐴 adalah sudut lancip)
Sehingga, sin 𝐴 =
3
5
Segitiga siku-siku untuk menyatakan sin 𝐵 =
12
13
adalah: (Ingat 𝐵 adalah sudut lancip)
Sehingga, cos 𝐵 =
5
13
Ingat, besar sudut dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 180°.
⇔ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
⇔ 𝐶 = 180 − (𝐴 + 𝐵)
Sehingga,
sin 𝐶 = sin(180° − (𝐴 + 𝐵)) (Ingat sifat relasi sudut antar kuadran sin(180° − 𝛼) = sin 𝛼)
⇔ sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵)
Jadi,
sin 𝐶 = sin(𝐴 + 𝐵) = sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵
=
3
5
∙
5
13
+
4
5
∙
12
13
=
15
65
+
48
65
=
63
65
3
4
5
𝐴
13
5
12
𝐵

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut jika diketahui pola rumusnya.
Contoh Soal:
Nilai sin45° cos15° + cos 45° sin 15° sama dengan ….
a.
1
2
b.
1
2
√2
c.
1
2
√3
d.
1
2
√6
e.
1
3
√3
Penyelesaian:
Ingat, sin 𝐴 cos 𝐵 + cos 𝐴 sin 𝐵 = sin(𝐴 + 𝐵)
Sehingga,
sin 45° cos 15° + cos 45° sin15° = sin(45° + 15°) = sin60° =
1
2
√3

Menggunakan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya.
Contoh Soal:
Diketahui 𝑝 dan 𝑞 adalah sudut lancip dan 𝑝 − 𝑞 = 30°. Jika cos 𝑝 sin 𝑞 =
1
6
, maka nilai dari sin 𝑝 cos 𝑞 = ….
a.
1
6
b.
2
6
c.
3
6
d.
4
6
e.
5
6
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui selisih dua sudut 𝑝 − 𝑞,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni cos 𝑝 sin 𝑞.
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian SELANG-SELING, maka rumus yang digunakan
adalah sin(𝑝 − 𝑞).
Jadi,
sin(𝑝 − 𝑞) = sin 𝑝 cos 𝑞 − cos 𝑝 sin 𝑞
⇒ sin 30° = sin 𝑝 cos 𝑞 −
1
6
⇔
1
2
= sin 𝑝 cos 𝑞 −
1
6
⇔
1
2
+
1
6
= sin 𝑝 cos 𝑞
⇔
3
6
+
1
6
= sin 𝑝 cos 𝑞
⇔
4
6
= sin 𝑝 cos 𝑞

Menentukan rumus jumlah atau selisih dua sudut untuk menentukan salah satu
komponen rumusnya
Contoh Soal:
Diketahui (𝐴 + 𝐵) =
𝜋
3
dan sin 𝐴 sin 𝐵 =
1
4
. Nilai dari cos(𝐴 − 𝐵) = ….
a. −1
b. −
1
2
c.
1
2
d.
3
4
e. 1
Penyelesaian:
Lihat pada soal, diketahui jumlah dua sudut 𝐴 + 𝐵,
dan salah satu komponen dari rumus jumlah atau selisih dua sudut yakni sin 𝐴 sin 𝐵.
Dengan melihat bahwa yang diketahui komponen perkalian KEMBAR, maka rumus yang digunakan adalah
cos(𝐴 + 𝐵).
Sehingga untuk mencari nilai cos(𝐴 − 𝐵) maka harus komplit terlebih dahulu komponen dari rumusnya,
SIN SIN udah ada, tinggal COS COS yang belum ada.
Nilai COS COS dicari menggunakan rumus cos(𝐴 − 𝐵):
⇒ cos
𝜋
3
= cos 𝐴 cos 𝐵 −
1
4
⇔
1
2
= cos 𝐴 cos 𝐵 −
1
4
⇔
1
2
+
1
4
= cos 𝐴 cos 𝐵
⇔
2
4
+
1
4
= cos 𝐴 cos 𝐵
⇔
3
4
= cos 𝐴 cos 𝐵
Jadi,
=
3
4
+
1
4
= 1

Menggunakan rumus perkalian sinus kosinus.
Contoh Soal:
Nilai dari
cos 10°
cos 40° cos 50°
adalah ….
a. 3
b. 2
c. 1
d.
1
2
e.
1
4
Penyelesaian:
Sudut yang digunakan pada soal bukan sudut istimewa.
Pada soal terdapat perkalian antara COS dengan COS, maka berlaku konsep perkalian dua kosinus.
Jadi,
cos 10°
cos 40° cos 50°
=
cos10°
1
2 × 2 cos40° cos 50°
(munculkan bentuk 2 cos 𝐴 cos 𝐵 = cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵))
=
cos10°
1
2 × (cos(40° + 50°) + cos(40° − 50°))
(dibagi
1
2
= dikali
2
1
)
=
cos10°
cos 90° + cos(−10°)
×
2
1
(ingat relasi sudut negatif, cos(−𝛼) = cos 𝛼)
=
2 cos10°
0 + cos10°
=
2 cos10°
cos10°
= 2

Menggunakan rumus jumlah atau selisih sinus kosinus.
Contoh Soal:
Nilai dari cos 195° + cos 105° adalah ….
a.
1
2
√6
b.
1
2
√3
c.
1
2
√2
d. 0
e. −
1
2
√6
Penyelesaian:
Ingat cos 𝐴 + cos 𝐵 = 2 cos
1
2
(𝐴 + 𝐵) cos
1
2
(𝐴 − 𝐵)
Jadi,
cos 195° + cos 105° = 2 cos
1
2
(195° + 105°) cos
1
2
(195° − 105°)
= 2 cos
1
2
(300°) cos
1
2
(90°)
= 2 cos 150° cos45°
= 2 (−
1
2
√3) (
1
2
√2)
= −
1
2
√6

TRIK SUPERKILAT
Memanipulasi rumus sin + cos atau sin – cos menggunakan relasi sudut antar kuadran.
Contoh Soal:
Nilai dari sin 75° + cos 75° adalah ….
a.
1
4
√6
b.
1
2
√2
c.
1
2
√3
d. 1
e.
1
2
√6
Penyelesaian:
Ingat, nggak ada rumus jadi untuk sinus ditambah kosinus.
Yang ada hanyalah sin + sin, sin − sin, cos + cos, dan cos − cos.
Nah, supaya bisa menggunakan rumus jumlah selisih sinus kosinus, maka gunakan relasi sudut antar
kuadran untuk mengubah sin + cos, menjadi sin + sin atau cos + cos.
Ingat, sin(90° − 𝛼) = cos 𝛼 atau cos(90° − 𝛼) = sin 𝛼.
Jadi,
sin 75° + cos 75° = sin75° + cos(90° − 15°)
= sin75° + sin 15°
= 2 sin
1
2
(75° + 15°) cos
1
2
(75° − 15°)
= 2 sin
1
2
(90°) cos
1
2
(60°)
= 2 sin45° cos30°
= 2 (
1
2
√2) (
1
2
√3)
=
1
2
√6
Kunjungi selalu laman web http://pak-anang.blogspot.com untuk melihat update TRIK SUPERKILAT dan
LOGIKA PRAKTIS terbarunya.

Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui
3
π
βα  dan
4
1
βsinαsin  dengan α dan β merupakan sudut lancip. Nilai  β)cos(α ....
A. 1
B.
4
3
C.
2
1
D.
4
1
E. 0
2. Diketahui nilai
5
1
βcosαsin  dan
5
3
β)(αsin  untuk  180α0 dan .90β0 
Nilai  β)(αsin ....
A.
5
3

B.
5
2

C.
5
1

D.
5
1
E.
5
3
3. Diketahui
5
3
αsin  dan
13
12
cos  lancip)sudutdan(  . Nilai  β)(αsin ....
A.
65
56
B.
65
48
C.
65
36
D.
65
20
E.
65
16
4. Jika
3
π
BA  dan ,
8
5
BcosAcos  maka  B)cos(A ....
A.
4
1
B.
2
1
C.
4
3
D. 1
E.
4
5
cos(𝛼 − 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 + sin 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ sin 𝛽 =
1
4
dan 𝛼 − 𝛽 =
𝜋
3
)
⇒
1
2
= cos 𝛼 cos 𝛽 +
1
4
⇔ cos 𝛼 cos 𝛽 =
1
4
cos(𝛼 + 𝛽) = cos 𝛼 cos 𝛽 − sin 𝛼 sin 𝛽
⇒ cos(𝛼 + 𝛽) =
1
4
−
1
4
⇔ cos(𝛼 + 𝛽) = 0
sin(𝛼 − 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 sin 𝛽 (diketahui dari soal sin 𝛼 ∙ cos 𝛽 =
1
5
dan sin(𝛼 − 𝛽) =
3
5
)
⇒
3
5
=
1
5
− cos 𝛼 sin 𝛽
⇔ cos 𝛼 sin 𝛽 = −
2
5
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =
1
5
+ (−
2
5
)
⇔ sin(𝛼 + 𝛽) = −
1
5
sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽
⇒ sin(𝛼 + 𝛽) =
3
5
∙
12
13
+
4
5
∙
5
13
⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =
36
65
+
20
65
⇔ sin(𝛼 + 𝛽) =
56
65
𝛼
3
5
4
𝛽
5
13
12
sin 𝛼 =
3
5
⇒ cos 𝛼 =
4
5
cos 𝛽 =
12
13
⇒ sin 𝛽 =
5
13
cos(𝐴 + 𝐵) = cos 𝐴 cos 𝐵 − sin 𝐴 sin 𝐵 (diketahui dari soal cos 𝐴 cos 𝐵 =
5
8
dan 𝛼 + 𝛽 =
𝜋
3
)
⇒
1
2
=
5
8
− sin 𝐴 sin 𝐵
⇔ sin 𝐴 sin 𝐵 =
1
8
⇒ cos(𝐴 − 𝐵) =
5
8
+
1
8
⇔ cos(𝐴 − 𝐵) =
6
8
=
3
4

5. Nilai dari  165sin75sin adalah ....
A. 2
4
1
B. 3
4
1
C. 6
4
1
D. 2
2
1
E. 6
2
1
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
sin 𝐴 − sin 𝐵 = 2 cos (
𝐴 + 𝐵
2
) sin (
𝐴 − 𝐵
2
)
⇒ sin 75° − sin 165° = 2 cos (
75° + 165°
2
) sin (
75° − 165°
2
)
= 2 cos 120° sin(−45°) (ingat sin(−𝑥) = − sin 𝑥)
= −2 cos 120° sin 45°
= −2 cos(180° − 60°) sin 45° (ingat cos(180° − 𝑥) = − cos 𝑥)
= −2 (−cos 60°) sin 45°
= 2 cos 60° sin 45
= 2 ∙
1
2
∙
1
2
√2
=
1
2
√2

Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)

Similar to Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut) (20)

More from Catur Prasetyo

More from Catur Prasetyo (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Smart solution un matematika sma 2013 (skl 4.3 jumlah selisih sinus kosinus tangen atau jumlah selisih sudut)