Smart solution un matematika sma 2013 (skl 2.11 sudut antara dua vektor)

1. Smart Solution
UJIAN NASIONAL
TAHUN PELAJARAN 2012/2013
Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA
(Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang

2. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 73
2. 11. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan besar sudut atau nilai perbandingan trigonometri sudut antara
dua vektor.
Sudut
Antara Dua Vektor
Diketahui
Komponen Vektor Titik Koordinat Panjang dan ResultanVektor
𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗+ 𝑎2 𝑗⃗ + 𝑎3 𝑘⃗⃗
𝑏⃗⃗ = 𝑏1 𝑖⃗+ 𝑏2 𝑗⃗ + 𝑏3 𝑘⃗⃗
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑏⃗⃗
|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗|
2
= |𝑎⃗|
2
+ |𝑏⃗⃗|
2
+ 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼
|𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗|
2
= |𝑎⃗|
2
+ |𝑏⃗⃗|
2
− 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼
Kosinus Sudut Kosinus Sudut
Antara Dua Vektor Antara Dua Vektor
cos 𝛼 =
𝑎⃗⃗⃗∙𝑏⃗⃗⃗
| 𝑎⃗⃗⃗|| 𝑏⃗⃗⃗|
cos 𝛼 =
| 𝑎⃗⃗⃗+𝑏⃗⃗⃗|
2
−(| 𝑎⃗⃗⃗|
2
+| 𝑏⃗⃗⃗|
2
)
2| 𝑎⃗⃗⃗|| 𝑏⃗⃗⃗|
atau
cos 𝛼 =
(| 𝑎⃗⃗⃗|
2
+| 𝑏⃗⃗⃗|
2
)−| 𝑎⃗⃗⃗−𝑏⃗⃗⃗|
2
2| 𝑎⃗⃗⃗|| 𝑏⃗⃗⃗|
Besar Sudut
Antara Dua Vektor
“Sudut berapa yang nilai cosnya 𝒙"
cos 𝛼 = 𝑥 ⇒ 𝛼 = cos−1(𝑥)
𝜶 = ∠(𝑩𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)
𝐴
𝐶
𝐵 𝜶
|𝑏⃗⃗|
|𝑎⃗|
𝜶 = ∠(𝒂⃗⃗⃗, 𝒃⃗⃗⃗)
𝑏⃗⃗
𝑎⃗

3. Halaman 74 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT:
Tentukan dua vektor
Cek
Perkalian titik
Perkalian titik = 0 Perkalian titik ≠ 0
𝛼 = 90° Gunakan rumus cos 𝛼
Kalau kita membahas topik soal UN Matematika SMA tentang indikator soal sudut antara dua vektor, jelas
bahwa satu hal yang sering ditanyakan adalah besar sudut yang dibentuk antara dua vektor. Nah, vektor yang
diketahui ada tiga jenis, pertama diketahui komponen vektor, kedua diketahui vektor yang dibentuk oleh dua
titik, dan yang terakhir adalah panjang atau resultan vektor.
Langkah TRIK SUPERKILAT:
 Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan dua vektor yang membentuk sudut 𝛼.
 Kedua, segera tentukan apakah perkalian titik kedua vektor tersebut nol. Jika benar, maka sudut 𝛼 pasti 90°! Kalau
perkalian titiknya tidak nol, maka segera tentukan panjang kedua vektor dan gunakan rumus cos 𝛼 yang sesuai
dengan kondisi soal.

4. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 75
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras:
Masih ingat tripel Pythagoras?
Asyik….!
Misal vektor 𝑎⃗ = 3𝑖⃗− 4𝑗⃗ + 12𝑘⃗⃗, maka tentukan panjang vektor 𝑎⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|𝑎⃗| = √32 + (−4)2 + 122 = √9 + 16 + 144 = √169 = 13
Apabila kita ingat bagaimana pola bilangan pada tripel Pythagoras, maka pengerjaan kita seperti berikut:
𝑎⃗ = 𝟑𝑖⃗ − 𝟒𝑗⃗ + 𝟏𝟐𝑘⃗⃗
3 4 12 (ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5)
5 12 (ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13)
13
Keterangan:
 Pertama, abaikan tanda negatif pada setiap komponen vektor.
Jadi kita hanya fokus untuk melihat komponen vektor 𝑎⃗ yaitu 3, 4, 12.
 Karena kita ingat tripel Pythagoras 3, 4, 5. Maka 3, 4 kita sederhanakan menjadi 5.
 Jadi, sekarang komponen vektor semula 3, 4, 5 kini menjadi 5, 12.
Nah, karena kita ingat tripel Pythagoras 5, 12, 13. Maka 5 dan 12 bisa kita sederhanakan menjadi 13.
 Selesai! Panjang vektor 𝑎⃗ adalah 13!
Trik Cepat Hitung Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras yang sering muncul
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
8 15 17
Cara cepat menghafal bilangan tripel Pythagoras
Khusus bilangan ganjil seperti 3, 5, 7, 9, dst… maka tripel Pythagorasnya adalah bilangan tersebut
dengan dua bilangan lain yang selisihnya satu dan jumlahnya adalah kuadrat bilangan ganjil tersebut!
Contoh:
32 = 9 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 9 adalah 4 dan 5.
Sehingga tripel Pythagoras yang dimulai oleh angka 3 adalah 3, 4, 5.
52
= 25 maka dua bilangan berurutan yang jumlahnya 25 adalah 12 dan 13,
sudah pasti tripel Pythagorasnya 5, 12, 13
3
4
5
5
12
13

5. Halaman 76 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Mencari Panjang Vektor dengan Tripel Pythagoras Bentuk Akar:
Kalau sebelumnya adalah tripel Pythagoras bentuk biasa, sekarang bagaimana tripel Pythagoras bentuk akar?
Sebenarnya prinsip dasar teorema Pythagoras bisa dengan mudah menyelesaikan masalah ini.
Namun, apabila mau sedikit kreatif mengembangkan imajinasi, maka ada jalan lain yang lebih menyenangkan.
Apa sih Tripel Pythagoras bentuk akar itu?????
Lihat konsepnya pada gambar di bawah:
Misal sisi tegak lurus sebuah segitiga siku-siku adalah 𝑎√𝑏 dan 𝑎√ 𝑐, dan misal sisi miring segitiga siku-siku
adalah 𝑥, maka nilai 𝑥 bisa ditentukan oleh:
𝑥2
= (𝑎√𝑏)
2
+ (𝑎√ 𝑐)
2
⇒ 𝑥 = √ 𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑐
⇒ 𝑥 = √𝑎2(𝑏 + 𝑐)
⇒ 𝑥 = √ 𝑎2√𝑏 + 𝑐
⇒ 𝑥 = 𝑎√𝑏 + 𝑐
Jadi jelas bahwa pola bilangan tripel Pythagoras seperti ini:
Tripel Pythagoras bentuk akar
𝑎 √𝑏 𝑎 √ 𝑐 𝑎 √𝑏 + 𝑐
Contoh:
Sekarang mari cermati contoh soal panjang vektor di bawah ini!
Misal vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗− 2𝑗⃗ + 6𝑘⃗⃗, maka tentukan panjang vektor 𝑎⃗?
Kalau menggunakan konsep dari panjang vektor, maka pengerjaan kita akan seperti berikut:
|𝑎⃗| = √42 + (−2)2 + 62 = √16 + 4 + 36 = √56 = √4√14 = 2√14
Apabila kita ingat pola bilangan pada tripel Pythagoras bentuk akar, maka pengerjaan kita seperti berikut:
𝑎⃗ = 𝟒𝑖⃗ − 𝟐𝑗⃗ + 𝟔𝑘⃗⃗ (hanya lihat pada komponen vektor saja, abaikan tanda negatif)
4 2 6 (FPB dari 4, 2, dan 6 adalah 2. Ubah bilangan 4, 2, 6 menjadi 2 dikali akar berapa gitu…)
𝟐√𝟒 𝟐√𝟏 𝟐√𝟗 (jumlahkan 4 + 1 + 9)
𝟐√ 𝟒 + 𝟏 + 𝟗
𝟐√𝟏𝟒
𝑎 √ 𝑐
𝑎 √𝑏
𝑎 √𝑏 + 𝑐
bilangannya harus sama,
kalau nggak sama cari FPBnya
jumlahkan saja bilangan di dalam akar
𝑎 √ 𝑐
𝑎 √𝑏
𝑥
4√4
4√9
4√13
8
12
 Cari FPB dari 12 dan 8.
 FPBnya adalah 4.
 Berarti jadikan bilangan pokoknya menjadi 4.
 Artinya 12 = 4√9 dan 8 = 4√4,
 Jadi sisi miring dari segitiga tersebut adalah 4√9 + 4 = 4√13

6. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 77
Tipe Soal yang Sering Muncul
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui komponen dua vektor.
Contoh Soal:
Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗. Besar sudut antara vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ adalah ….
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
𝑎⃗ = 4𝑖⃗+ 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ = (
4
2
2
) ⇒ |𝑎⃗| = √42 + 22 + 22 = √16 + 4 + 4 = √24 = √4√6 = 2√6
𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗+ 3𝑗⃗ = (
3
3
0
) ⇒ |𝑏⃗⃗| = √32 + 32 + 02 = √9 + 9 + 0 = √18 = √9√2 = 3√2
Dengan demikian diperoleh:
cos 𝛼 =
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|
=
(
4
2
2
) ∙ (
3
3
0
)
2√6 ∙ 3√2
=
(4)(3) + (2)(3) + (2)(0)
6√12
=
12 + 6 + 0
6√4√3
=
18
12√3
=
18
12√3
×
√3
√3
=
18√3
36
=
1
2
√3
Jadi karena cos 𝛼 =
1
2
√3, maka besar sudut 𝛼 = 30°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT:
Lihat bahwa 𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Segera cari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
𝑎⃗ = 4𝑖⃗+ 2𝑗⃗ + 2𝑘⃗⃗ = (
4
2
2
) = (
2√4
2√1
2√1
) ⇒ |𝑎⃗| = 2√4 + 1 + 1 = 2√6
𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗+ 3𝑗⃗ = (
3
3
0
) = (
3√1
3√1
0
) ⇒ |𝑏⃗⃗| = 3√1 + 1 = 3√2
Lanjutkan dengan menghitung nilai cos 𝛼 menggunakan rumus:
cos 𝛼 =
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|
=
(
4
2
2
) ∙ (
3
3
0
)
2√6 ∙ 3√2
= 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 𝑑𝑠𝑡 …

7. Halaman 78 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui beberapa titik koordinat.
Contoh Soal:
Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika 𝑢⃗⃗ mewakili 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ mewakili 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗,
maka sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢⃗⃗ dan 𝑣⃗ adalah …
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ = (
6
1
2
) − (
2
1
2
) = (
4
0
0
) ⇒ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √42 + 02 + 02 = √16 + 0 + 0 = √16 = 4
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ = (
6
5
2
) − (
2
1
2
) = (
4
4
0
) ⇒ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √42 + 42 + 02 = √16 + 16 + 0 = √32 = 4√2
Dengan demikian diperoleh:
cos 𝛼 =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
=
(
4
0
0
) ∙ (
4
4
0
)
4 ∙ 4√2
=
(4)(4) + (0)(4) + (0)(0)
16√2
=
16 + 0 + 0
16√2
=
16
16√2
=
1
√2
=
1
√2
×
√2
√2
=
1
2
√2
Jadi karena cos 𝛼 =
1
2
√2, maka besar sudut 𝛼 = 45°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Lihat bahwa 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0, maka jelas jawaban D (90°) pasti salah!
Lanjutkan segera dengan mencari panjang masing-masing vektor dengan Tripel Pythagoras bentuk akar:
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ = (
6
1
2
) − (
2
1
2
) = (
4
0
0
) ⇒ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 4 (karena komponen yang lain nol)
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑐⃗ − 𝑎⃗ = (
6
5
2
) − (
2
1
2
) = (
4
4
0
) = (
4√1
4√1
0
) ⇒ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = 4√1 + 1 = 4√2
serta hasil kali titik dari 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tidak mungkin memuat bilangan bentuk akar.
Karena panjang 𝐴𝐶 memuat bilangan √2. Jadi feeling kita mengatakan bahwa nilai cos 𝛼 =
1
2
√2, dan satu-
satunya jawaban yang mengakibatkan nilai cos 𝛼 =
1
2
√2 adalah𝛼 = 45°.

8. Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 79
Menentukan sudut antara dua vektor apabila diketahui panjang dan resultan vektor.
Contoh Soal:
Diketahui|𝑎⃗| = 2, |𝑏⃗⃗| = 3, dan |𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗| = √19. Besar sudut antara vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ adalah ….
a. 30
b. 45
c. 60
d. 90
e. 120
Penyelesaian:
Ingat |𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗|
2
= |𝑎⃗|
2
+ |𝑏⃗⃗|
2
+ 2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝛼
Dengan demikian diperoleh:
| 𝑎⃗⃗ + 𝑏⃗⃗|
2
= | 𝑎⃗⃗|
2
+ | 𝑏⃗⃗|
2
+ 2| 𝑎⃗⃗|| 𝑏⃗⃗| cos 𝛼
⇔ (√19)
2
= (2)2
+ (3)2
+ 2(2)(3) cos 𝛼
⇔ 19 = 4 + 9 + 12 cos 𝛼
⇔ 19 = 13 + 12 cos 𝛼
⇔ 19 − 13 = 12 cos 𝛼
⇔ 6 = 12 cos 𝛼
⇔
6
12
= cos 𝛼
⇔
1
2
= cos 𝛼
⇔ cos 𝛼 =
1
2
Jadi, karena cos 𝛼 =
1
2
, maka besar sudut 𝛼 = 60°
Penyelesaian TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS:
Ingat kalau diketahui jumlah kedua vektor maka kosinus sudut antara dua vektor adalah:
cos 𝛼 =
|𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗|
2
− (|𝑎⃗|
2
+ |𝑏⃗⃗|
2
)
2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|
=
19 − (4 + 9)
12
=
19 − 13
12
=
6
12
=
1
2
Jadi, karena cos 𝛼 =
1
2
, maka besar sudut 𝛼 = 60°

9. Halaman 80 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1. Diketahui vektor











3
3
2
a

dan .
4
2
3











b

Sudut antara vektor a dan b adalah ....
A. 135°
B. 120°
C. 90°
D. 60°
E. 45°
2. Diketahui titik A (1, 0, −2), B (2, 1, −1), C (2, 0, −3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah ....
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
E. 120°
Jika adik-adik butuh ’bocoran’ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal
tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal
20November 2012 yang lalu.
Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di
http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html.
Pak Anang.
cos ∠(𝑎⃗, 𝑏⃗⃗) =
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗
|𝑎||𝑏|
=
6 + 6 − 12
√22√29
= 0
∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐵 − 𝐴 = (1, 0, 1)
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐶 − 𝐴 = (1, 0, −1
cos ∠(𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗|
=
1 + 0 − 1
√2√2
= 0
∴ cos 𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 90°
TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.

TRIK SUPERKILAT:
Cek dulu. Apakah hasil perkalian titiknya nol?.
Kalau nol pasti siku-siku.
Dan ternyata benar, perkalian titik kedua vektor
sama dengan nol, jadi jawabannya pasti C.
