Materi Kuliah Semester 6 Pendidikan Matematika Universitas Negeri Borneo Tarakan A1 2016

1. Identitas trigonometri bentuknya sangat banyak, dari bentuk yang
sederhana sampai yang sangat indah. Identitas trigonometri diperoleh
dari nilai fungsi trigonometri. Identitas trigonometri adalah
kesamaan yang memuat bentuk trigonometri dan berlaku untuk
sembarang sudut yang diberikan. Identitas trigonometri dibagi
menjadi 3, yaitu:
Identitas
Trigonometri
01 02 03
Hubungan
Kebalikan
Reverse Identity
Hubungan
Perbandingan
Comparative
Identity
Hubungan
Pythagoras
Pythagoras
Identity
A. Identitas Trigonometri Dasar
Helvy Dewi Deby

2. Identitas
Trigonometri
Hubungan Kebalikan (Reverse Identity)
sin 𝛼° =
1
cosec 𝛼°
atau cosec 𝛼° =
1
sin 𝛼°
cos 𝛼° =
1
sec 𝛼°
atau sec 𝛼° =
1
cos 𝛼°
tan 𝛼° =
1
cot 𝛼°
atau cot 𝛼° =
1
tan 𝛼°
Hubungan Perbandingan (Comparative Identity)
tan 𝛼° =
sin 𝛼°
cos 𝛼°
cot 𝛼° =
cos 𝛼°
sin 𝛼°
Hubungan Pythagoras (Pythagoras Identity)
identitas-identitas trigonometri yang diperoleh dari
hubungan Pythagoras dapat diperoleh melalui tinjauan
geometri analisis sebagai berikut:
1
3
2

3. Identitas
Trigonometri
Titik P(x,y) terletak pada lingkaran satuan dengan ∠POP′ = 𝛼° . Segitiga
OPP′ merupakan segitiga siku-siku di P', sehingga:
sin 𝛼° =
𝑃𝑃′
𝑂𝑃
=
𝑦
𝑟
=
𝑦
1
= 𝑦 atau 𝑦 = sin 𝛼°
cos 𝛼° =
𝑂𝑃′
𝑂𝑃
=
𝑥
𝑟
=
𝑥
1
= 𝑥 atau 𝑥 = cos 𝛼°
tan 𝛼° =
𝑦
𝑥
; cot 𝛼° =
𝑥
𝑦
; sec 𝛼° =
1
𝑥
; cosec 𝛼° =
1
𝑦
; dan berlaku
hubungan Pythagoras:
(OP')2 + (PP')2 = (OP)2
(x)2 + (y)2 = (r)2
(x)2 + (y)2 = 1
Jika substitusikan x = cos 𝛼° dan 𝑦 = sin 𝛼° ke persamaan (x)2 + (y)2 = 1,
diperoleh: (x)2 + (y)2 = 1
(cos 𝛼° )2 + (sin 𝛼° )2 = 1
↔ cos2 𝛼° + sin2 𝛼° = 1, atau sin2 𝛼° + cos2 𝛼° = 1
……………………………………………………………………… (*)

4. Identitas
Trigonometri
Jika kedua ruas dibagi persamaan x2 + y2 = 1 dibagi dengan x2,
maka diperoleh:
x2
x2 =
𝑦2
x2 =
1
x2
↔ 1 +
𝑦
𝑥
2 =
1
𝑥
2
Jika kita substitusikan
𝑦
𝑥
= tan 𝛼° dan
1
𝑥
= sec 𝛼° ke
persamaan:
1 +
𝑦
𝑥
2 =
1
𝑥
2 maka diperoleh:
1 + tan2 𝛼° = sec2 𝛼°
………………………………………………………………………
…………....(**) Jika kedua ruas dari persamaan x2 + y2 = 1 dibagi dengan y2 , maka diperoleh:
x2
𝑦2=
x2
𝑦2 =
1
𝑦2
↔
𝑥
𝑦
2 + 1 =
1
𝑦
2
Jika kita substitusikan
𝑥
𝑦
= cot 𝛼° dan
1
𝑦
= cosec 𝛼° k persamaan:
𝑥
𝑦
2 + 1 =
1
𝑦
2
Maka diperoleh cot2 𝛼° + 1 =
cosec2 𝛼°…………………………………………………………………...…(***)
Jadi, identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari
bentuk (*), (**), dan (***), atau hubungan Pythagoras
adalah :
sin2 𝛼° + cos2 𝛼° = 1
1 + tan2 𝛼° = sec2 𝛼°
cot2 𝛼° + 1 = cosec2 𝛼°

5. Identitas Trigonometri
B. Penerapan Identitas Trigonometri Dasar Pada Berbagai Permasalahan
Diketahui sin α =
3
5
dan 0° < α < 90°. Hitunglah:
a. cos α
b. tan α
Contoh 4.1
a. Dengan mengunakan rumus sin2
α + cos2
α = 1, maka:
cos2
α = 1 − sin2
α
Jawab:
cos2
α = 1- (
3
5
)2
cos2
α = 1- (
9
25
)
cos2
α =
16
25
cos α = ±
4
5
=
Karena 0° < α < 90° (terletak di Kw
1), maka diambil cos α yang bernilai
positif cos α =
4
5
.
(the answer is in the book)

6. Identitas Trigonometri
B. Penerapan Identitas Trigonometri Dasar Pada Berbagai Permasalahan
Diketahui tan A = -
3
5
dan 90° < A < 180°. Hitunglah:
a. sec α
b. sin α
Contoh 4.2
b. Dengan mengunakan rumus kebalikan cos A =
1
sec A
, maka:
Jawab:
Cos A =
1
1
5
√34
= −
5
34
√34
Dengan menggunakan rumus perbandingan tan A =
𝑠𝑖𝑛 𝐴
𝑐𝑜𝑠 𝐴
, maka:
Sin A = tan A * cos A
Sin A =-
3
5
∗ −
5
34
√34 =
3
34
√34
Jadi sin A =
3
34
√34
(the answer is in the book)

7. Identitas Trigonometri
B. Penerapan Identitas Trigonometri Dasar Pada Berbagai Permasalahan
Diketahui cosec β = 2 dan β sudut di kuadaran II. Hitunglah:
a. cotan β
b. sin β
c. cos β
Contoh 4.3
b. Dengan mengunakan rumus kebalikan sin β =
1
cosec β
, maka:
Jawab:
sin β =
1
2
Jadi sin β =
1
2
(the answer is in the book)
(the answer is in the book)

8. C. Identitas Trigonometri yang Lain
Identitas
Trigonometri
1. Sederhanakan bentuk trigonomerti
cot 𝛼° . 𝑠𝑒𝑐2 𝛼
1+ 𝑐𝑜𝑡2 𝛼°
!
Jawab:
cot 𝛼° . 𝑠𝑒𝑐2 𝛼
1+ 𝑐𝑜𝑡2 𝛼°
=
cot 𝛼°
sin 𝛼
.
1
𝑐𝑜𝑠2 𝛼
1 +
𝑐𝑜𝑠2 𝛼°
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
=
1
𝑠𝑖𝑛 𝛼+cos 𝛼
𝑠𝑖𝑛2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠2 𝛼
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
=
1
𝑠𝑖𝑛 𝛼 cos 𝛼
1
𝑠𝑖𝑛2 𝛼
=
1
𝑠𝑖𝑛 𝛼 cos 𝛼
. 𝑠𝑖𝑛2
𝛼 =
sin 𝛼
cos 𝛼
= tan 𝛼

9. C. Identitas Trigonometri yang Lain
Identitas
Trigonometri
2. Buktikan bahwa sec A = tan A +
𝑐𝑜𝑠 𝐴
1+sin 𝐴
!
Jawab:
Kita ubah bentuk ruas kanan :
Tan A =
𝑐𝑜𝑠 𝐴
1+sin 𝐴
=
𝑠𝑖𝑛 𝐴
cos 𝐴
+
𝑐𝑜𝑠 𝐴
1+sin 𝐴
=
𝑠𝑖𝑛2 𝐴 (1+sin 𝐴)+(𝑐𝑜𝑠2 𝐴)
sin 𝐴 (1+cos 𝐴)
=
𝑠𝑖𝑛 𝐴 +𝑠𝑖𝑛2 𝐴 +𝑐𝑜𝑠2 𝐴
cos 𝐴 (1+𝑠𝑖𝑛 𝐴)
=
𝑠𝑖𝑛 𝐴+1
cos 𝐴 (1+sin 𝐴)
=
1
cos 𝐴
= sec A

10. tx