KORDINAT BOLA

1. Persamaan Shroedinger dalam
Koordinat Bola (Mekanika
kuantum dalam Tiga Dimensi
Bagian 1)
4.1 PersamaanShroedingerdalam Koordinat
Bola
Perluasan persamaan Shroedinger dalam tiga dimensi dapat kita lakukan secara
langsung, di mana persamaan Shroedinger secara umum dapat kita tuliskan:
[4.1]
Operator Hamiltonian[1] H diperoleh dari persamaan energi klasik.
dengan menggunakan rumusan standar P yang diperluas pada kasus tiga dimensi
[4.2]
, ,
atau lebih singkatnya
[4.3]
persamaan Shroedinger menjadi:

2. [4.4]
di mana
[4.5]
merupakan laplasian pada koordinat kartesian
Energi potensial V dan fungsi gelombang , dalam koordinat bola kini hanya
merupakan fungsi dan t. Probabilitas menemukan partikel pada elemen
volume adalah , dan normalisasinya adalah:
[4.6]
dengan batas integral pada semua ruang ( hingga ). Jika potensial tidak
bergantung waktu, maka solusi persamaan Shroedinger untuk keadaan stasioner
dalam tiga dimensi adalah
[4.7]
di mana fungsi gelombang spasial memenuhi persamaan Shroedinger tidak
bergantung waktu.
[4.8]
Solusi umum dari persamaan Shroedinger (bergantung waktu) adalah
[4.9]
dengan kostanta yang dihitung dari pemberian fungsi gelombang mula-
mula, , dengan cara yang seperti biasa kita lakukan pada BAB 2 PERSAMAAN
SHROEDINGER TIDAK BERGANTUNG WAKTU. (Jika potensial V merupakan
fungsi keadaan kontinu, maka tanda pada persamaan 4.9 menjadi integral.)

3. Latihan Soal
Soal 4.1(a) Kerjakan aturan relasi komutasi untuk semua komponen operator r dan
p: dan seterusnya. Jawaban:
[4.10]
, .
(b) tunjukkan bahwa:
[4.11]
, dan .
(Masing-masing tentunya terdiri dari tiga dimensi, satu untuk masing-masing
komponen.)Petunjuk: Ingat bahwa persamaan 3.148 adalah valid untuk tiga dimensi.
(c) Formulasikan prinsip ketidakpastian Heisenberg ke dalam tiga dimensi. Jawaban:
[4.12]
, , ,
tetapi terkecuali pada katakanlah
Jika anda berminat untuk menjawab, silahkan anda bisa mengerjakannya dan memberikan
hasilnya dengan menuliskannya pada kotak komentar yang pada akhir tulisan ini. Saya harap
akan ada interaksi antara saya dengan anda, jawaban anda nantinya akan kita bahas bersama-
sama dengan para pembaca lainnya. Jika anda kesulitan untuk menuliskan formula-formula
atau persamaan-persamaan, silahkan anda mempelajari bagaimana cara menulis formula
tersebut disini
4.1.1 Separasi Variabel
Biasanya, Potensial adalah fungsi yang hanya bergantung pada jarak terhadap titik
pusat. Pada kasus ini, baiknya kita menggunakan koordinat bola (Lihat
gambar 4.1). Pada koordinat bola, bentuk laplasianya adalah[2]:
(4.13)
Pada koordinat bola, persamaan schroedinger tidak bergantung waktu dibaca
(4.14)

4. Sekarang,coba kita cari solusinya dengan menggunakan separasi variabel
(4.15)
Gambar 4.1: Koordinat Bola (Sferis) dengan jarak r, sudut polar dan sudut
azimut .
dengan mengaplikasikan persamaan 4.15 kedalam persamaan 4.14 kita dapatkan
kita bagi dengan YR dan mengalikannya dengan
rumusan pada kurung kurawal yang pertama hanya bergantung pada r, dimana yang
lain bergantung pada dan , dan tentunya masing-masing bentuk rumusan harus
konstan. Untuk alasan ini, saya akan memberikan konstanta separasi ke dalam
bentuk [3]:
(4.16)
dan
(4.17)

5. Latihan Soal
Soal 4.2Gunakan separasi variabel dalam koordinat kartesius untuk menyelesaikan dinding
kubus tak berhingga (Partikel dalam boks):
(a) Carilah fungsi gelombang dan energinya pada keadaan stasioner(b) Sebut saja
energinya , dalam peningkatan energinya. Carilah . Hitunglah
perubahan dari masing-masing energinya.
4.1.2 Persamaan Anguler
Persamaan 4.17 menentukan kebergantungan terhadap dan ; dengan
mengalikannya dengan , persamaan 4.17 menjadi
(4.18)
kamu mungkin pernah bertemu persamaan ini sebelumnya, yang terdapat pada
solusi persamaan Laplace pada elektrodinamika klasik. Seperti biasanya, kita coba
dengan separasi variabel
(4.19)
dengan menggunakan ini dan dibagi dengan , kita dapatkan
Bagian yang pertama hanya merupakan fungsi dan bagian yang kedua merupakan
fungsi , maka masing-masing bagian haruslah konstan. Kali ini sebut saja
konstanta separasinya dengan [4]:
[4.20]
dan fungsi adalah
[4.21]

6. Persamaan 4.21 adalah persamanaan diferensial orde dua yang sederhana,
persamaan ini mudah untuk diselesaikan
[4.22]
[Sebenarnya terdapat dua solusi untuk persamaan 4.21, dan ,
tapi ini dapat disiasati dengan memasukkan tanda negatif ke dalam kostanta m
(ingat m bisa juga bernilai negatif), Selain itu kita bisa memberikan faktor kontanta
di depan solusi, tapi ada cara yang lebih baik, yaitu dengan memasukkannya ke
dalam fungsi . Kebetulan dalam elektrodinamika kita bisa menuliskan fungsi
azimut ( ) ke dalam bentuk sin dan cos, dan tentu saja dalam bentuk eksponensial,
karena potensial listrik haruslah bernilai real. Mekanika kuantum adalah cabang
ilmu fisika yang fleksibel dan fungsi eksponensial cukup mudah untuk bekerja di
dalamnya.] Saat berada di 2 , maka akan kembali pada posisi semula ( ).
Untuk lebih jelasnya bisa kita lihat gambar 4.1. Oleh karena itu, bisa kita tuliskan[5]
[4.23]
Dengan kata lain, , atau . Dari pernyataan
ini, jelaslah dapat dikatakan bahwa m haruslah bernilai integer
[4.24]
Sedangkakn untuk persamaan ,
[4.25]
yang mungkin kelihatan tidak familiar, persamaan 4.25 adalah persamaan yang
sangat sulit untuk diselesaikan, tetapi untuk saat ini cukuplah kita tahu bahwa solusi
untuk persamaan tersebut adalah
[4.26]
di mana adalah fungsi Legendre terasosiasi yang didefinisikan oleh[6]

7. [4.27]
, adalah polinomial Legendre ke-l. Kita telah membahas ini pada BAB
sebelumnya (persamaan 3.91) sebagai polinomial ortogonal pada interval (-1, +1),
dan polinomial Legendre di definisikan oleh formula Rodrigues:
[4.28]
misalnya,
dan seterusnya. Beberapa Polinomial Legendre untuk nilai l yang pertama
ditampilkan dalam tabel 3.1. Seperti nama yang ditulisnya, adalah polinomial
(dari sudut l) dalam x, dan apakah genap atau ganjil itu tergantung dari paritas l.
Tetapi , secara umum sebenarnya bukanlah merupakan polinomial, jika m
ganjil maka akan terdapat faktor :
dan seterusnya. [Dengan kata lain, apa yang kita butuhkan adalah ,
dan , jadi adalah polinomial yang hanya dalam bentuk
, apbila m genap maka digantikan dengan . Beberapa fungsi Legendre
terasosiasi pada nilai l yang pertama ditampilkan dalam Tabel 4.1]
Tabel 4.1: Beberapa nilai Fungsi Legendre terasosiasi, .
Ingat bahwa l haruslah integer yang bukan negatif agar sesuai dengan formula
Rodrigues, jika , maka persamaan 4.27, . Untuk setiap nilai l yang
diberikan, maka terdapat (2l + 1) nilai m yang mungkin.

8. [4.29]
Tetapi tunggu dulu, persamaan 4.25 adalah persamaan diferensial orde dua, yang
seharusnya memiliki solusi independen linier, untuk setiap nilai l dan m genap. Di
manakah semua solusi lainnya? Jawab: Mereka ada tentunya, tetapi hanya sebagai
solusi matematis dari persamaan tersebut. Secara fisis, solusi ini tidak diterima
karena nilainya menjadi sangat besar (mendekati tak hingga) pada
dan/atau , dan tidak menghasilkan fungsi gelombang ternormalisasi (Lihat soal
4.4)
Sekarang, coba kita kembali pada koordinat bola, elemen volume pada koordinat
bola adalah[7]
[4.30]
maka, kondisi ternormalisasi (persamaan 4.6) menjadi
dan sebaiknya untuk menormalisasikannya ke dalam fungsi R dan Y secara terpisah
[4.31]
dan
Fungsi gelombang anguler ternormalisasi[8] dinamakan dengan Spherical
harmonis
Tabel 4.2: Beberapa sferical harmonics yang pertama, .
[4.32]

9. di mana untuk dan untuk . Persamaan 4.32 juga secara
otomatis ortogonal, maka
[4.33]
Pada tabel 4.2 telah diperlihatkan beberapa nilai spherical harmonis yang pertama.
4.1.3 Persamaan Radial
Ingat bahwa bagian anguler dari fungsi gelombang, sama untuk setiap
potensial yang simetri secara speris. Bentuk nyata dari potensial, V(r) hanya
berpengaruh pada bagain radial dari fungsi gelombang, R(r) yang dijelaskan oleh
persamaan 4.16
[4.35]
Persamaan di atas akan kelihatan lebih sederhana jika kita ubah sedikit variabelnya,
misalkan saja:
[4.36]
maka dari itu, , , , karena itu:
[4.37]
Persamaan 4.37 dinamakan dengan persamaan radial[9], yang bentuknya
indentik dengan persamaan Shroedinger satu dimensi (Persamaan 2.4), kecuali
bentuk potensial efektifnya
[4.38]
Veff mengandung sedikit bagian ekstra, yang dinamakan dengan bagian
centrifugal, . Bagian centrifugal ini cenderung untuk melempar

10. partikel keluar (dari titik pusat), seperti gaya sentrifugal (semi sentrifugal) dalam
mekanika klasik. Sementara itu, kondisi normalisasi (persamaan 4.31) menjadi:
[4.39]
Kita tidak bisa memprosesnya lebih lanjut sebelum diberikan potensial yang spesifik.
ContohBerdasarkan pada dinding potensial tak berhingga.
[4.40]
Di luar dinding potensial fungsi gelombang adalah nol, di dalam dinding potensial
persamaan radial diberikan oleh:
[4.41]
di mana
[4.42]
sama seperti biasa yang kita lakukan, permasalahan kita adalah untuk
menyelesaikan persamaan 4.41, dengan memasukkan syarat batas u(a) = 0, dan
untuk kasus l=0 adalah mudah:
Tetapi kita harus ingat bahwa fungsi radial yang sebenarnya adalah ,
dan bernilai sangat besar ketika . Maka kita harus memilih B=0[10].
Dari syarat batas tersebut kita dapatkan , maka dari itu, untuk
setiap nilai n integer, dengan jelas energi yang diijinkan adalah
[4.41]
, dengan

11. di mana hasil yang kita peroleh ini sama dengan apa yang ada pada sumur potensial
tak berhingga satu dimensi (persamaan 2.23). Dengan menormalisasikan
menghasilkan , dengan memasukkan bagian anguler (konstan,
selama ) kita setuju bahwa
[4.44]
[Ingat bahwa keadaan stasioner mengandung tiga bilangan kuantum, n, l, dan
m: . Energi hanya tergantung pada n dan l: ]
Solusi umum dari persamaan 4.41 (untuk sembarang nilai l integer) kelihatan tidak
familiar di mata kita
[4.45]
di mana adalah fungsi Bessel sferis untuk orde l, dan adalah fungsi
Neumann sferis untuk orde l. Keduanya didefinisikan seperti di bawah ini
[4.46]
; dan
sebagai contoh
; ;
;
;
dan seterusnya. Fungsi Bessel dan Neumann sferis untuk beberapa nilai l yang
pertama dapat dilihat dalam tabel 4.3. Ingat bahwa untuk nilai x yang kecil (di
mana dan ),
; ; ; ;
Tabel 4.3: Beberapa nilai Fungsi Bessel dan Neumann yang pertama, dan .

12. dan lainnya. Intinya adalah bahwa fungsi Bessel nilainya terhingga pada titik pusat
sedangkan fungsi Neumann nilainya menjadi tak terhingga pada titik pusat (x =0).
Berdasarkan fakta ini, kita harus memutuskan kalau , maka dari itu
[4.47]
Jika kita kembali pada syarat batas, . Dengan jelas bahwa k harus dipilih
sesuai dengan
[4.48]
di mana, ka bernilai nol untuk fungsi Bessel sferis orde ke-l. Sekarang fungsi Bessel
berosilasi (lihat gambar 4.2), masing-masing memiliki nilai nol yang tak berhingga.
Tetapi (untungnya bagi kita) itu tidak terlokalisasi pada poin-poin yang penting
(seperti pada n, atau atau yang lainnya), dan ini harus dihitung secara numerik
dengan bantuan komputer.[11]Pada setiap nilainya, syarat batas yang harus dipenuhi
adalah
[4.49]
,

13. Gambar 4.2: Grafik beberapa fungsi Bessel sferis.
di mana adalah nol yang ke-n pada fungsi Bessel sferis yang ke-l. Energi yang
diijinkan diberikan oleh
[4.50]
,
dan fungsi gelombangnya adalah
[4.51]
[1] Mungkin di sini akan terjadi kebingungan, sebelumnya saya menggunakan tanda
“topi” untuk membedakan dengan observabel klasik. Tetapi saya tidak mengira hal
itu akan menjadi embigu pada Bab kali ini, dan tanda “topi” tersebut menjadi tidak
praktis untuk digunakan, oleh karena itu mulai dari sekarang saya akan
menghilangkan tanda “topi” tersebut.
[2]Pada prinsipnya, ini dapat didapatkan dengan mengubah variabel dari ekspresi
kartesian (Persamaan 4.5). Bagaimana juga, terdapat cara yang lebih efisien, lihatlah
buku M.Boas,Mathematical Methods in the Physicaj Science,2nd ed. (New York:John
Wiley and Sons,Inc.,1983) chapter 10 section 9

14. [3]Catatan:Kali ini tidak sembarangan dengan menuliskan konstanta separasi bisa
berupa bilangan kompleks. Selanjutnya kita akan membuktikan bahwa harus
berupa integral. Oleh karena itu,untuk mengantisipasi hal ini, saya mengekspresikan
konstanta seperti dengan cara yang kelihatan agak aneh
[4]Sekali lagi, tidak ada unsur sembarangan dalam menuliskan konstanta separasi,
walaupun harus berupa integral. Hati-hati: sombol sekarang terdapat makna
ganda, massa dan sekarang yang dinamakan dengan bilangan kuantum
magnetik. tapi saya rasa tidak bijaksana kalau kita mengabaikan hal ini,karena
keduanya merupakan simbol yang standar. Beberapa penulis mengganti dengan
untuk bilangan kuantum magnetik dan untuk massa.
[5]Ini lebih sulit untuk dipahai dari pada apa yang kita lihat. Setelah semuanya,
rapat probabilitas ( ) adalah nilai tunggal yang tergantung pada m. Pada sesi 4.3
akan diberikan kondisi pada m yang benar-benar berbeda dan dengan argumen yang
lebih mendalam.
[6]Ingat bahwa karene tanda me selalu berada dalam tanda mutlak.
[7]Untuk lebih jelasnya, silahkan lihat Boas (catatan kaki 2), BAB 5 Sesi 4.
[8]Faktor normalisasi didapatkan dari soal 4.47. Faktor dipilih untuk konsistensi
dengan notasi yang akan kita gunakan dalam teori momentum anguler dan ini
merupakan standar yang cukup beralasan, walaupun beberapa buku yang lebih lama
menggunkan konvensi yang lama. Ingat bahwa:
[9]Simbol m disini menunjukkan massa, tentunya kita tidak akan menemukan
bilangan kuantum m dalam persamaan Radial.
[10]Sebenarnya, semua yang kita butuhkan adalah bahwa fungsi gelombang
haruslah ternormalisasi,bukan hanya yang terbatas pada pada titik pusat
seharusnya ternormalisasi (karena faktor dalam persamaan 4.31). Untuk bukti
yang lebih jelas bahwa B=0, lihat R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics
(New York: Plenum, 1980), halaman 351