Solusi simetri radial gelombang dua dimensi terdapat dalam bentuk koefisien Fourier Bessel, dimana koefisien tersebut didapat dari integral parsial fungsi Bessel. Soal ini melibatkan penyelesaian masalah panas radial simetri dan integral identitas yang melibatkan fungsi Bessel.

1. Tugas Persamaan Dfferensial Parsial
Latihan 4.2 (nomor genap)
Dalam soal nomor 1-8, memecahkan masalah selaput getaran (2)-(4) untuk data yang
diberikan. Jika mungkin, dengan bantuan komputer, temukan nilai kuantitatif untuk lima
koefisien nonzero pertama dari deret solusi dan plot bentuk membran pada berbagai nilai .
(Formula (11) berguna untuk semua latihan).
2.
4.
[Petunjuk: Relasi orthogonalitas pada bagian 4.8]
6.
8.
[Petunjuk: pengintegrasian secara parsial, contoh 2]
10. Masalah: secara radial persamaan panas simetri dalam suatu disk.
Gunakan metode pada bagian ini untuk menunjukkan bahwa solusi panas dari masalah ini
Adalah
Dengan
Dimana , dan = positif nonzero dari
11. (a) menyelesaikan masalah panas pada latihan 10 jika , .
Bagaimana solusi yang kamu dapatkan?
(b). Mendekati temperatur dari titik terpanas pada plat pada waktu , diberikan
dan . Dimana titik tersebut berada pada plate? Bagaimana jawabanmu?

2. 12. Masalah: Integral identitas dengan Fungsi Bessel
(a). Gunakan (7) dan (8), pada bagian 4.8 untuk menghitung identitas
Generalisasi dari bentuk identitas ini
(b) dengan pengintegralan (5), bagian 4.8, menunjukkan bahwa
(c) gunakan integral pertama dalam (a), (b) dan induksi untuk menentukan bahwa
Seperti suatu ilustrasi, turunkan identitas berikut:
(d) dengan mengintegralkan (3), bagian 4.8, tunjukkan bahwa
[petunjuk: hitung integralnya dari secara parsial]
(e) ambil dalam (d) dan gunakan (c) untuk membuktikan bahwa untuk
Turunkan identitas berikut:

3. JAWABAN:
Solusi simetri radial gelombang dua dimensi:
Dimana
2.
Mencari nilai
Dengan integral parsial, dimana dan
(dengan persamaan (7), bagian 4.8, dimana , diperoleh
Untuk menghitung integralnya, berdasarkan persamaan (11) diperoleh
Dimana
Maka
Mencari nilai

4. Substitusi nilai dan ke persamaan:
Jadi,
4.
Mencari nilai
Mencari nilai
Untuk

5. Substitusi dan ke persamaan:
Jadi,
6.
Mencari nilai
Dengan integral parsial, dimana dan
diperoleh

6. Mencari nilai
Substitusi nilai dan ke persamaan:
Jadi,
8.
[Petunjuk: pengintegrasian secara parsial, contoh 2]
Mencari nilai
Dengan integral parsial, dimana dan
(dengan persamaan (7), bagian 4.8, diperoleh:

7. Dengan integral parsial lagi, dimana dan
, diperoleh:
Untuk
Misal dan dan diperoleh
Karena
Sehingga
Mencari nilai
Substitusi nilai dan ke persamaan:
Jadi,

8. 10. Pemisahan variabel, mencari solusi dari bentuk Dengan memasukkan
ke dalam persamaan panas, diperoleh
Dimana adalah konstanta pemisah. (pemilihan tanda nonnegatif untuk konstanta
pemisah akan dibuktikan sebentar lagi). Karena berdasarkan dua persamaan diferensial
biasa:
Catatan bahwa persamaan dalam adalah turunan pertama. Solusi fungsi
eksponensialnya
Jika telah dipilih konstanta pemisah negatif , solusi menjadi
Yang mana akan bergerak secara eksponensial dengan . Ini tidak bisa
dipertimbangkan pada alasan-alasan pisik dengan demikian kita membuang solusi ini dan
konstanta pemisahan yang bersesuaian, dan mengambil konstanta pemisah menjadi
nonnegatif. Syarat batas adalah
Solusi dari parameter bentuk persamaan Bessel
Adalah
Turunan untuk menjadi berhingga, dengan memisalkan sebab tidak
dibatasi mendekati dan kondisi syarat batas
mengakibatkan
Dimana adalah nth positive zero dari . Pemecahan persamaan yang bersesuaian
dalam , diperoleh
Dengan begitu solusi
Ini berdasarkan persamaan panas dan kondisi syarat batas. Maka
Dengan , diperoleh
Karenanya adalah koefisien Fourier Bessel dari dan diperoleh dari

9. 11. (a) dengan , diperoleh dari latihan 10,
Karenanya
(b). Dengan memasukkan nilai dan , solusi didapatkan seperti
Plot grafik yang dihasilkan seperti berikut ini:
12. (a) dengan persamaan (8) bagian 4.8 dengan . Maka
Dengan persamaan (7) bagian 4.8, dengan . Maka

10. (b). Berdasarkan persamaan (5) bagian 4.8, diperoleh
Integralkan kedua ruas, maka
(c). Formula benar untuk , karena direduksi menjadi
Yang benar oleh (a). Asumsikan formula benar untuk dan akan dibuktikan
untuk . Berdasarkan yang telah didapat dari (b), dengan dan
hipotesis induksi,
Yang ditunjukkan bahwa formula yang dipertahankan untuk dan dengan
begitu formula tersebut dipertahankan untuk setiap dengan induksi. Ambil
dan diperoleh
(d). Memulai denga persamaan (3), bagian 4.8 diperoleh
Dengan integral parsial:
Jadi

11. Dimana persmaan terakhir mengikut bentuk sebelumnya dnegan mengubah
menjadi .
(e). Bentuk (d) dan (e), didapatkan
Ambil , maka
Ambil , maka

12. Tugas Persamaan Differensial Parsial
OLEH:
IIN KARMILA PUTRI K
P3500212002
PROGRAM STUDI MATEMATIKA TERAPAN
PROGRAM PASCASARJANA UNHAS
2013