Metoda variasi parameter digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen dengan menentukan fungsi variabel V1(x) dan V2(x) sehingga didapatkan penyelesaian khusus. Contoh penerapannya adalah menyelesaikan persamaan Y''+Y=cosec x dengan hasil Y=-x.cosx+ln|sinx|.sinx dan Y''-9Y=e^2x dengan hasil Y=C1e^3x +C2e^-3x -1/5e^2x

1. MATEMATIKA- IIIMATEMATIKA- III
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
Metoda Variasi ParameterMetoda Variasi Parameter
http://matematikapolman.esy.es

2. METODA VARIASI
PARAMETERJika u1 (x) dan U2 (x) adalah penyelesaian
bebas terhadap persamaan homogen, maka
dapat diperlihatkan bahwa terdapat
penyelesaian khusus terhadap persamaan tak
homogen yang berbentuk
Yp = V1 (x) U1 (x) + V2 (x) U2 (x)
Dengan syarat
V1’ U1 + V2’ U2 = 0
V1’ U1’ + V2’ U2’ = k(x)

3. Contoh:
Selesaikanlah PDL di bawah ini dengan
menggunakan metoda variasi parameter
1.Y”+ Y = cosec x
2.Y” – 9 y = e2x
Jawab:
1. Y”+ Y = cosec x
PDL Homogen Y” + Y = 0
Persamaan bantu : r2
+ 1 = 0
r1,2 = ± i
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 cos x + C2 sin x

4. Penyelesaian khusus terhadap persamaan
tak homogen
Yp = V1 (x) cos x + V2 (x) sin x
Syarat : V1’ cos x + V2’ sin x = 0
- V1 sin x + V2’ cos x = cosec x
1
sincos
sin.0
cossin
sincos
coscos
sin0
' 22
sin
1
1 −=
+
−
=
−
=
xx
x
xx
xx
xecx
x
V x

5. ctgx
xx
x
x
xx
xx
ecxx
x
V =
+
=
−
−
= 222
sincos
sin
cos
cossin
sincos
cossin
0cos
'
Penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y= C1 cos x + C2 sin x- x.cosx + ln |sin x|.sin x
xxxxYp
xdxctgxV
xdxV
sin.sinlncos.
sinln
1
2
1
+−=
==
−=−=
∫
∫

6. Y” – 9Y = e2x
PDL Homogen : Y” – 9 Y = 0
Persamaan bantu : r2
– 9 = 0
r1,2 = ± 3
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 e3x
+ C2 e-3x
Penyelesaian khusus terhadap persamaan
tak homogen:
Yp = V1(x) e3x
+ V2 (x) e-3x
Syarat:
V1’ e3x
+ V2’ e-3x
= 0
3V1’e3x
- 3V2’e-3x
= e2x

7. ∫
∫
−=−=⇒−=
−−
=
−
=
−==⇒=
−−
−
=
−
−
=
−
−
−−−
−
−
−
−
−
xxx
x
xx
xx
xx
x
xxx
x
xx
xx
xx
x
edxeVe
e
ee
ee
ee
e
V
edxeVe
e
ee
ee
ee
e
V
55
2
5
5
33
33
23
3
2
1
33
33
32
3
1
30
1
6
1
6
1
33
33
3
0
'
6
1
6
1
6
1
33
33
3
0
'

8. Yp = V1 (x). U1 (x) + V2 (x) .U2 (x)
= -1/6 e-x
. e3x
+ (-1/30 e5x
). e-3x
= - 1/5 e2x
Jadi penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y = C1 e3x
+ C2 e-3x
– 1/5 e2x

9. TERIMA KASIH
Selamat Belajar
http://matematikapolman.esy.es/

10. TERIMA KASIH
Selamat Belajar
http://matematikapolman.esy.es/