Dokumen ini membahas tentang persamaan diferensial orde dua homogen dan non-homogen. Persamaan diferensial orde dua homogen memiliki bentuk umum y'' + p(x)y' + g(x)y = 0, dengan p(x) dan g(x) adalah konstanta. Solusi homogen dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan karakteristik. Untuk persamaan non-homogen, solusi umum adalah penjumlahan solusi homogen dan solusi partikular. Beberapa contoh so

1. PERSAMAAN DIFRENSIAL ORDE 2

bentuk umum :
CONTOH SOAL
tentukan pd homogen dari
p(x), g(x) adalah konstanta riil
1. y” + 3y’ + 2y = 0
jika r(x) = 0, maka disebut homogen,
jika r(x) ≠ 0. maka disebut non homogen.

2. y” + 2y’ + y = 0
3. y” + y = 0
persamaan differensial biasa linier orde dua
solusi
homogen dengan koefisien konstan, memiliki bentuk
umum :
1. y” + 3y’ + 2y = 0
persamaan homogennya
dimana a, b merupakan konstanta sebarang
m² + 3m + 2 = 0
(m + 2)(m+1) = 0
m1= -2 dan m2=-1 maka
solusi homogen
penyelesaian pd homogennya
diketahui
2. y” + 2y’ + y = 0
misalkan
persamaannya berubah menjadi, m² + am + b =0
menjadi,
persamaan homogennya
sebuah persamaan kuadrat.
m² + 2m + 1 = 0
jadi kemungkinan akarnya ada 3 yaitu:
(m + 1)(m+1) = 0
m1= -1 dan m2=-1 maka
1. mempunyai 2 akar berlainan m1 dan m2,
maka.
penyelesaian pd homogennya
adalah jawaban
homogen dari persamaan difrensial.
2. mempunyai 2 akar yang sama m1 sama
dengan
m2, maka.
3. y” + y = 0
persamaan homogennya
m² + 1 = 0
adalah jawaban homogen dari persamaan
difrensial.
3. mempunyai 2 akar yang komplek
dan
maka
adalah jawaban homogen dari persamaan
difrensial.
m² = - 1
m1= -1ω dan m2= ω maka
-1ω
penyelesaian pd homogennya
Persamaan Tidak Homogen
bentuk umum
y” + p(x) y’ + g(x) y = r(x)
selesaikan persamaan homogen
y” + p(x) y’ + g(x) y = 0
penyelesai umumnya
y(x) = yh(x) + yp(x)

2. Subtitusi
Sehingga didapat C= -1
Dengan syarat y(0)= 0,2 dan y’(0) = 60,1
Persamaan Homogen
Contoh
1. Y” + 4Y = 8x²
m² + 2m + 5 = 0
m1 = -1 + 2i
m2 = -1 – 2i
Dengan syarat y(0)= 0,2 dan y’(0) = 60,1
Solusi
1. Y” + 4Y = 8x²
Penyelesaian Homogen
yh = Acos 2x + Bsin 2x
Subtitusi
r(x) = 8x²
yp = K₂x² + K₁x + K₀
Sehingga didapat yp’ = 2K₂
Subtitusi
2K₂ + 4(K₂x² + K₁x + K₀) = 8x²
Sehingga didapat
C = 0,2
-11K + 8M = 40
Didapat nilai
-8K – 11M = -55
K₂ = 2, K₁ = 0 dan K₀ = -1
Maka didapat nilai
yp = 2x² - 1
K = 0 dan M = 5
Sehingga didapat penyelesai umumnya
y = yh + yp
y = yh + yp
y = Acos 2x + Bsin 2x + 2x² - 1
Persamaan Difrensial Linear Ordo n
Persamaan Homogennya
m² - 3m + 2 = 0
Koefisien dari p₀ dan r(x) adalah fungsi dari x Jika
r(x) = 0
(m – 1)(m – 2)
m1 = 1 dan m2 = 2
Dikatakan homogeny.
Cari solusi PD berikut :
r(x) =