Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang persamaan diferensial orde dua dan cara menyelesaikannya. Terdapat penjelasan mengenai persamaan diferensial homogen dan tak homogen orde dua, serta langkah-langkah dan contoh soal penyelesaiannya. Diberikan pula penjelasan tentang persamaan karakteristik dan metode koefisien tak tentu dalam menyelesaikan persamaan diferensial tak homogen.

1. MATEMATIKA III
Oleh:
Dr. Parulian Silalahi, M.Pd
http://polmansem3.esy.es/

2. 1. Orde Dua
a. Bentuk Umum:
y’’+ p (x)y’ + q (x) y = r(x) …………….. (1)
Dimana p, q, r merupakan sebarang fungsi dari x
Jika r(x) = o , maka persamaan (1) menjadi
y” + p(x) y’ + q(x) y = 0 ……………...(2)
Persamaan ini dikatakan persamaan linier homogen
orde dua.
Jika p(x), q(x) merupakan konstanta dan r(x) =0
maka persamaan (1) dapat ditulis:
PERSAMAAN DIFERENSIAL HOMOGEN

3. y” + p y’ + q (y) = 0
Persamaan ini dikatakan persamaan linier
homogen orde dua dengan koefisien
konstan.
b. Cara Menyelesaikan
Untuk menyelesaikan persamaan linier
homogen orde dua dengan koefisien konstan
dapat dilakukan dengan menggunakan
persamaan karakteristik (persamaan bantu) .
Terdapat tiga (3) kasus terhadap nilai
persamaan bantu yang aka dicari
Untuk persamaan y” + p y’ + q y = 0 dan
persamaan bantu r2
+ p.r + q = 0

4. Kasus I :
Jika r1 dan r2 merupakan dua akar ril yang
berbeda maka penyelesaian umumnya adalah :
y = C1 e r
1
x
+ C2 e r
2
x
Kasus II:
Jika persamaan bantu mempunyai akar
tunggal berulang maka penyelesaian
umumnya adalah :
y = C1 e r
1
x
+ C2 x.e r
2
x

5. Kasus III :
Jika persamaan bantu mempunyai akar
kompleks saling konjugat α ± βi
maka penyelesaian umumnya adalah :
y = C1 e α x
cos βx + C2 e α x
sin βx
Contoh:
Tentukan penyelesaian umum dari persamaan
diferensial berikut:
1.y” + 8 y’ + 15 y = 0
2.y” + 10 y’ + 25 y = 0
3.y” - 2y’ + 6 y = 0

6. Jawab:
1.y” + 8 y’ + 15 y = 0
persamaan bantu :
r2
+ 8r + 15 = 0
(r+5) (r+3) = 0
r1 = -5 v r2 = -3
Penyelesaian umum:
Y = C1 e-5x
+ C2 e-3x

7. Jawab:
2. y” + 10 y’ + 25 y = 0
persamaan bantu :
r2
+ 10r + 25 = 0
(r+5) (r+5) = 0
r1 = -5 v r2 = -5
Penyelesaian umum:
Y = C1 e-5x
+ C2 x.e-5x

8. y” - 2y’ + 6 y = 0
Persamaan bantu:
r2
– 2r + 6 = 0
Penyelesaian umum:
xeCxeCy xx
.5sin.5cos 21 +=
5:1
51
2
522
2
2442
2,1
2,1
==
±=
−±
=
−±
=
βα
ir
r

9. PERSAMAAN DIFERENSIAL
TAK HOMOGEN
Bentuk Umum:
Y (n)
+ a1 Y (n-1)
+ a2 Y(n-2)
+ … + a(n-1)Y1
+ an Y = k(x)
Langkah penyelesaian:
1.Tentukan penyelesaian umum homogen
Yh = C1 U1(x) + C2 U2(x) + … + Cn Un (x)

10. 2.Tentukan suatu penyelesaian khusus Yp
terhadap persamaan tak homogen
tersebut.
3.Tambahkan penyelesaian 1 dan 2, lalu
nyatakan hasilnya.
Penyelesaian umum: Y = Yh + Yp
b. Metoda koefisien tak tentu.
Perhatikan persamaan berikut:
Bentuk Umum :
Y” + a1 Y’ + a2 Y = k(x) ……………(1)

11. Beberapa aturan untuk menentukan Yp
1.Aturan Dasar
Jika k(x) dalam persamaan (1) merupakan salah
satu fungsi yang terdapat pada kolom pertama pada
tabel dibawah, pilih fungsi Yp yang bersesuaian dari
kolom kedua dan tentukan koefisien tak tentunya
dengan cara subsitusi Yp dan turunannya kedalam
persamaan (1)
2. Aturan Modifikasi
Jika k(x) merupakan penyelesaian persamaan
homogen dari persamaan (1) maka kalikan Yp
yang kita pilih dengan x (atau dengan x2
, jika
penyelesaian ini diperuntukkan bagi akar lipat dua
persamaan bantu dari persamaan homogen.

12. 3. Aturan Penjumlahan
Jika k(x) merupakan penjumlahan fungsi-
fungsi yang berasal dari beberapa baris
dalam kolom pertama pada tabel dibawah,
maka pililah Yp yang berupa penjumlahan
fungsi-fungsi dari baris yang bersesuaian
pada kolom kedua.
Bentuk pada k(x) Pilihan Untuk Yp
anxm
+ ….. + a1x + a0 An.xm
+ ….. + A1x + A0
a.emx
Aemx
acosβx + b sin βx Acosβx + B sin βx

13. Contoh:
Selesaikanlah persamaan diferensial tak
homogen berikut:
1.y” + 4 y = 8 x2
2.y” + y = 2 e3x
3.y” -3y’ + 2y = 10 ex
4.y” + 3 y = cos 2x
5.y” + 2 y’ + 5y = 16ex
+ sin 2x

14. 1. y” + 4 y = 8 x2
………… (1)
PDL Homogen
Persamaan bantu :
r2
+ 4 = 0 r1,2 = ± 2i
y” + 4 y =0
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 cos 2x + C2 sin 2x
Fungsi percobaan: y = Ax2
+ Bx + C
y’ = 2 Ax + B
y” = 2A

15. Subsitusi ke persamaan (1) diperoleh:
2A + 4(Ax2
+ Bx + C) = 8 x2
2A + 4 Ax2
+ 4 Bx + 4C = 8x2
4A = 8 A = 2
4B = 0 B = 0
2A + 4C = 0 4 + 4C = 0 C = -1
Penyelesaian khusus
Yp = 2x2
– 1
Penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x + 2x2
-1

16. 2. y” + y = 2 e3x
…………….. (1)
PDL Homogen
y” + y = 0
Persamaan bantu:
r2
+ 1 = 0 r2
= -1
r1,2 = ± i
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 cos x + C2 sin x
Fungsi Percobaan:
Y = A e3x
Y’= 3A e3x
Y” = 9 A e3x
…………….(2)

17. Subsitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
diperoleh:
9 Ae3x
+ A e3x
= 2 e3x
10 A e3x
= 2e3x
10 A = 2 A = 1/5
Penyelesaian khusus
Yp = 1/5 e3x
Penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y = C1 cos x + C2 sin x + 1/5 e3x

18. 3. y” – 3 y’ + 2y = 10 ex
PDL Homogen: y” – 3 y’ + 2y = 0
Persamaan bantu :
r2
– 3r + 2 = 0
(r-1)(r-2) = 0 r1 = 1 v r2 = 2
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 ex
+ C2 e2x
Fungsi percobaan:
Karena k(x) = 10 ex
, dan koefisien pangkat
dari eksponen adalah 1 dan sama dengan
salah satu akar dari persamaan bantu, maka
bentuk fungsi percobaan adalah:
Y = Ax.ex

19. Dari :
Y = Ax.ex
Y’ = A(xex
+ ex
)
Y” = A(xex
+ 2ex
) ………………………. (2)
Subsitusi persamaan (2) ke (1)
A(xex
+ 2ex
) -3A(xex + ex
) + 2Axex
= 10 ex
Axex
+ 2Aex
-3Axex
-3A ex
+ 2Axex
= 10 ex
- Aex
= 10 ex
A = -10
Penyelesaian khusus
Yp = -10x.ex
Penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y = C1 ex
+ C2 e2x
-10xex

20. 4. y” + 3y = cos 2x ....…. (1)
PDL Homogen: y” + 3 y = 0
Persamaan bantu : r2
+ 3 = 0
r1,2 = ± i
Penyelesaian umum homogen
Yh = C1 cos x + C2 sin x
Fungsi Percobaan:
Y= A cos 2x + B sin 2x
Y’ = -2A sin 2x + 2B cos2x
Y” = -4A cos 2x – 4B sin 2x …….. (2)
3
33

21. Subsitusi persamaan (2) ke (1)
-4A cos 2x – 4Bsin2x+3(Acos2x+Bsin2x) = cos2x
-4A cos 2x – 4Bsin2x+3Acos2x+3Bsin2x) = cos2x
- A = 1 A = -1
- B sin 2x = 0 B = 0
Penyelesaian khusus
Yp = - cos 2x
Penyelesaian umum
Y = Yh + Yp
Y = Yh = C1 cos x + C2 sin x - cos 2x3 3

22. 5. Y” + 2 Y’ + 5Y = 16 ex
+ sin 2x ……….. (1)
PDL Homogen : Y” + 2 Y’ + 5Y = 0
Persamaan Bantu : r2
+ 2r + 5 = 0
ir 21
2
2042
2,1 ±−=
−±−
=
Penyelesaian Umum Homogen
Yh = C1 e-x
cos 2x + C2 e-x
sin 2x
Fungsi Percobaan :
Y = Aex
+ B cos 2x + C sin 2x
Y’ = A ex
– 2 B sin 2x + 2C cos 2x
Y” = Aex
– 4B cos x - 4C sin 2x …….. (2)

23. Subsitusi persamaan (2) ke (1)
Aex
– 4B cos 2x – 4C sin 2x + 2(Aex
-2B sin 2x +
2C cos 2x) + 5(Aex
+ B cos 2x + C sin 2x) = 16 ex
+ sin 2x
8Aex
+ (B + 4C) cos 2x + (C-4B) sin 2x = 16 ex
+
sin 2x
8A = 16 A = 2
B + 4c = 0 x1 B + 4C = 0
-4B + C = 1 x4 -16 B + 4C = 4 -
17 B = - 4 B = -4/17
C= 1/17

24. Penyelesaian khusus
Yp = 2ex
– 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x
Penyelesaian umum
Y= Yh + Yp
Y = C1 e-x
cos 2x + C2 e-x
sin 2x + 2ex
– 4/17 cos 2x + 1/17 sin 2x

25. TERIMA KASIH
Selamat Belajar