Dokumen tersebut menjelaskan pemodelan matematika yang menggambarkan gerakan massa pada pendulum sederhana. Melalui identifikasi variabel, hukum Newton kedua, dan asumsi-asumsi tertentu, didapatkan persamaan diferensial yang menjelaskan gerak osilasi pendulum yaitu d2Ѳ/dt2 + gѲ/L = 0.

1. 1
PEMODELAN MATEMATIKA YANG MENJELASKAN GERAKAN MASSA PADA
PENDULUM SEDERHANA
 Isa J2A 007 023
 Dewi Yuliani J2A 008 086
 Hardany Kurniawan J2A 008 088
 Kiki Purwaningsih J2A 008 039
 Khoirummuslimah J2A 008 037
 Siti Kholifah J2A 008 070
 Rukmono Budi Utomo J2A 009 004
 Irvandi G Pasangka J2A 009 018
 Yuli Nuha K J2A 009 022
 Abdul R. Nurmansyah J2A 009 038
 Dewi Sukmawati J2A 009 006
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS DIPONEGORO
2011

2. 2
PEMODELAN MATEMATIKA YANG MENJELASKAN GERAKAN MASSA
PADA PENDULUM SEDERHANA
1. Tujuan
Mengkonstruksikan model matematika yang menjelaskan gerakan massa pada
pendulum sederhana
2. Latar Belakang
a. Identifikasi variable
- t : variable waktu
- Ѳ : sudut simpangan
b. Hukum yang berlaku
- Hukum Newton II
“ Besarnya gaya pada partikel massa sama dengan massa partikel kali
percepatan”
3. Aproximasi dan idealisasi
a. Massa benda hanya bergerak dalam dua dimensi ( dalam sumbu x dan y)
b. Massa partikel pada batang pendulum diabaikan karena massa m sangat besar
c. Massa benda konstan ( tidak berubah terhadap waktu)
d. Tidak ada gaya gesek yang bekerja pada benda
e. Diasumsikan sudut simpangan sangat kecil( sin Ѳ ≈ Ѳ)
f. Panjang pendulum (L), konstan terhadap waktu
g. Berlaku Gaya gravitasi

3. 3
4. Pemodelan
Hukum Newton II
𝑚
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
= 𝐹 (1)
Vector Posisi
x= xi + yj. (2)
Vector Percepatan
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
=
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
𝑖 +
𝑑2 𝑦
𝑑𝑡 2
𝑗 (3)
Vector Posisi yang ditunjukan dalam
Arah keluar dengan panjang L
x = L r (4)
Vector posisi yang ditunjukan dalam
arah keluar dengan panjang L yang konstan
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
= L
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
(5)
Hubungan antara Vector –vector satuan pada
Kordinat polar dengan kordinat kartesius
r = -cos Ѳ j + sin Ѳ i = sin Ѳ i – cos Ѳ j (6)
L
m

4. 4
vector satuan Ѳ yang dinyatakan dalam kordinat
kartesius
Ѳ = cos Ѳ i + sin j (7)
Vector kecepatan dari pendulum
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= L
𝑑𝑟
𝑑𝑡
+
𝑑𝐿
𝑑𝑡
𝑟 (8)
Karena L konstan
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 0, sehingga
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= L
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑Ѳ
𝑑𝑡
𝑑𝑟
𝑑Ѳ
(9)
* persamaan (6) dapat ditulis
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝐿
𝑑Ѳ
𝑑𝑡
Ѳ (10)
Dari persamaan (6) didapat pula
𝑑Ѳ
𝑑Ѳ
= -
𝑑Ѳ
𝑑t
𝑟 (11)
Dari persamaan (9) Jika dideferensialkan ke-t
maka akan diperoleh didapat persamaan
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2
= 𝐿
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
𝑑2 𝑟
𝑑𝑡 2
= 𝐿
𝑑Ѳ
dѲ
2 𝑑2 𝑟
𝑑Ѳ2
+ 𝐿
𝑑𝑟
𝑑Ѳ
𝑑2Ѳ
𝑑𝑡 2
(12)
Dari persamaan (12) didapat
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡 2 = 𝐿
𝑑Ѳ
dt
2
cos Ѳ j − sin Ѳ i + 𝐿 cos Ѳ j + sin Ѳ i
𝑑2Ѳ
𝑑𝑡 2
= 𝐿 −
𝑑Ѳ
dt
2
𝑟 +
𝑑2Ѳ
𝑑𝑡 2 Ѳ (13)
*Gaya-gaya yang bekerja pada massa
- gaya berat yakni gaya gravitasi yang besarnya
m.g.j = m .g(cos Ѳ r − sin Ѳ Ѳ )
- gaya tegang batang pendulum, misalkan = -T. r

5. 5
Dengan memperhatikan gaya-gaya ini,
maka diperoleh persamaan model gerakan pendulum
dalam koordinat polar sebagai berikut :
𝑚. 𝐿 −
𝑑Ѳ
𝑑𝑡
2
𝑟 +
𝑑2
Ѳ
𝑑𝑡2
Ѳ = 𝑚. 𝑔 (cos Ѳ r − sin Ѳ Ѳ) − T r
Atau dapat ditulis menjadi :
𝐿 −
𝑑Ѳ
𝑑𝑡
2
𝑟 +
𝑑2
Ѳ
𝑑𝑡2
Ѳ = 𝑔 (cos Ѳ r − sin Ѳ Ѳ) − T r
= -g sin Ѳ Ѳ + (mg cos Ѳ − T/m) r (14)
Selanjutnya menyamakan komponen dari vector satuan r, Ѳ,
diperoleh persamaan :
L
𝑑2Ѳ
𝑑𝑡 2 = - g sin Ѳ
-L
𝑑Ѳ
𝑑𝑡
2
= -g cos Ѳ- T/m
Maka kesimpulannya gaya pendulum dapat dinyatakan oleh
𝑑2Ѳ
𝑑𝑡 2
=
−𝑔 sin Ѳ
𝐿
. Dengan hampiran sin Ѳ cukup kecil, maka dapat dituliskan
sin Ѳ ≈ Ѳ , maka model matematika pendulum sederhana adalah
L
d2Ѳ
dt2
= - g Ѳ
Atau
𝐝 𝟐Ѳ
𝐝𝐭 𝟐
=
−𝐠 Ѳ
𝐋
atau
𝐝 𝟐Ѳ
𝐝𝐭 𝟐
+
𝐠 Ѳ
𝐋
= 0 (15)