PEUBAH ACAK KONTINU KULIAH TEORI PELUANG PERTEMUAN 6

1. PEUBAH ACAK KONTINU
(LANJUTAN)
Triyana Muliawati, M.Si.
Lutfi Mardianto, S.Pd., M.Si.
MA3103 – Teori Peluang
Program Studi Matematika – Institut Teknologi Sumatera
Email. triyana.muliawati@ma.itera.ac.id

2. PEUBAH ACAK KONTINU
• Nilai Ekspektasi Peubah Acak Kontinu
• Variansi Peubah Acak Kontinu
• Fungsi Karakteristik
• Fungsi Pembangkit Momen (mgf) Peubah Acak Kontinu
• Ketaksamaan Terkait Momen
• Ketaksamaan Jensen
• Ketaksamaan Markov
• Ketaksamaan Chebyshev
• Ketaksamaan Chernoff
•Distribusi Campuran
POKOK BAHASAN

3. Seperti pada peubah acak diskret
𝐸 𝑋 =
𝑖
𝑥𝑖 𝑝 𝑋 𝑥𝑖 =
𝑖
𝑥𝑖
𝑝 𝑋 𝑥𝑖
∆𝑥
∆𝑥 →
−∞
∞
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
Sehingga ekspektasi dari peubah acak kontinu:
𝐸 𝑋 =
−∞
∞
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
Nilai Ekspektasi Peubah Acak Kontinu

4. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
, −1 < 𝑥 < 1;
0, lainnya
Tentukan 𝐸[𝑋]
Contoh 1

5. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
𝑥, 0 < 𝑥 < 2;
0, lainnya
Tentukan 𝐸[𝑋]
Contoh 2

6. Apakah setiap 𝑋 mempunyai nilai 𝐸[𝑋]?
Perhatikan fungsi
𝑓𝑋 𝑥 =
1
2𝑥3/2
, 𝑥 ≥ 1;
0, lainnya
Bagaimana dengan 𝐸[𝑋]?
Nilai Ekspektasi Peubah Acak Kontinu

7. Seperti halnya peubah acak diskret, variansi dari peubah acak 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) dapat dihitung dengan menggunakan
𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝑥 − 𝐸 𝑋 2 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
atau variansi dari peubah acak kontinu
𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2
− 𝐸 𝑋 2
Variansi Peubah Acak Kontinu

8. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
, −1 < 𝑥 < 1;
0, lainnya
Tentukan 𝑣𝑎𝑟[𝑋]
Contoh 3

9. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
𝑥, 0 < 𝑥 < 2;
0, lainnya
Tentukan 𝑣𝑎𝑟[𝑋]
Contoh 4

10. Definisi fungsi karakteristik untuk peubah acak kontinu 𝑋 dengan PDF 𝑓𝑋(𝑥)
adalah
𝜙 𝑋 𝜔 = 𝐸 𝑒 𝑗𝜔𝑋 = 𝑒 𝑗𝜔𝑥 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
Dengan cara yang sama seperti pada peubah acak diskret, momen-momen
untuk peubah acak 𝑋 dengan PDF 𝑓𝑋(𝑥) dibangkitkan dengan menggunakan
𝐸 𝑋 𝑘 =
1
𝑗 𝑘
𝑑 𝑘
𝑑𝜔 𝑘
𝜙 𝑋 𝜔
𝜔=0
Fungsi Karakteristik

11. Fungsi pembangkit momen untuk peubah acak kontinu 𝑋 dengan PDF 𝑓𝑋(𝑥)
didefinisikan sebagai berikut:
𝑀 𝑋 𝑡 = 𝐸 𝑒 𝑡𝑋 = 𝑒 𝑡𝑥 𝑓𝑋(𝑥)𝑑𝑥
Untuk membangkitkan momen ke 𝑘 dari peubah acak 𝑋 dengan PDF 𝑓𝑋(𝑥),
gunakan
𝐸 𝑋 𝑘 =
𝑑 𝑘
𝑑𝑡 𝑘
𝑀 𝑋 𝑡
𝑡=0
Fungsi Pembangkit Momen (mgf)
Peubah Acak Kontinu

12. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
, −1 < 𝑥 < 1;
0, lainnya
Tentukan fungsi pembangkit momen.
Contoh 5

13. Untuk 𝑋 dengan PDF
𝑓𝑋(𝑥) =
1
2
𝑥, 0 < 𝑥 < 2;
0, lainnya
Tentukan fungsi pembangkit momen
Contoh 6

14. Misalkan 𝑔(𝑡) suatu fungsi konkaf dan mempunyai
turunan. Maka untuk setiap 𝑡 dan 𝑦, lihat Figure 17,
berlaku
𝑔 𝑡 ≤ 𝑔 𝑦 + 𝑡 − 𝑦 𝑔′ 𝑦
Misalkan 𝑡 = 𝑋 dan 𝑦 = 𝐸[𝑋] dalam ketaksamaan
di atas, diperoleh
𝑔 𝑋 ≤ 𝑔 𝐸 𝑋 + 𝑋 − 𝐸 𝑋 𝑔′ 𝐸 𝑋
Ekspektasikan kedua ruas ketaksamaan di atas
untuk mendapatkan ketaksamaan Jensen
𝐸 𝑔 𝑋 ≤ 𝑔 𝐸 𝑋
untuk 𝑔(𝑥) yang konkaf.
Ketaksamaan Jensen

15. Ketaksamaan Jensen

16. Misalkan 𝑋 suatu peubah acak yang tak negatif. Maka
𝐸 𝑋 =
0
∞
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
=
0
𝑎
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑎
∞
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
≥
𝑎
∞
𝑥 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 ≥
𝑎
∞
𝑎 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑎
𝑎
∞
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑃(𝑋 > 𝑎)
Ketaksamaan Markov
Sehingga diperoleh ketaksamaan Markov:
𝑃 𝑋 > 𝑎 ≤
𝐸 𝑋
𝑎
dengan 𝑋 peubah acak tidak negatif dan
𝑎 > 0.

17. Ketaksamaan Markov

18. Menentukan batas bawah atau atas dari suatu peluang dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev:
𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 𝑥 − 𝐸 𝑋 2
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
=
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|>𝛾}
𝑥 − 𝐸 𝑋 2
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|≤𝛾}
𝑥 − 𝐸 𝑋 2
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
≥
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|>𝛾}
𝛾2 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥 +
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|≤𝛾}
𝑥 − 𝐸 𝑋 2 𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
≥
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|>𝛾}
𝛾2
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
= 𝛾2
𝑥 |𝑥−𝐸[𝑋]|>𝛾}
𝑓𝑋 𝑥 𝑑𝑥
= 𝛾2
𝑃( 𝑋 − 𝐸 𝑋 > 𝛾)
Ketaksamaan Chebyshev
Sehingga diperoleh ketaksamaan Chebyshev berikut:
𝑃 𝑋 − 𝐸 𝑋 > 𝛾 ≤
𝑣𝑎𝑟 𝑋
𝛾2

19. Ketaksamaan Chebyshev

20. Diberikan peubah acak 𝑋 dan 𝑡 > 0. Maka, dengan menggunakan
ketaksamaan Markov, diperoleh ketaksamaan Chernoff:
𝑃 𝑋 > 𝑎 = 𝑃 𝑒 𝑡𝑋 > 𝑒 𝑡𝑎 ≤
𝐸 𝑒 𝑡𝑋
𝑒 𝑡𝑎
Terlihat telah mengaitkan batas atas peluang di atas dengan mgf peubah
acak 𝑋.
Ketaksamaan Chernoff

21. Misalkan kita melakukan eksperimen acak berikut: kita lantunkan sebuah
koin setimbang sekali. Jika Muka muncul maka kita bangkitkan suatu nilai 𝑋
dari distribusi dengan PDF
𝑓𝑋 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒−
1
2 𝑥2
, −∞ < 𝑥 < ∞ dan CDF Φ(𝑥)
Sedangkan jika Belakang muncul maka kita tetapkan 𝑋 = 0. Terlihat disini
peubah acak 𝑋 dipengaruhi oleh peubah acak
𝑌 =
1, muncul muka;
0, muncul belakang,
dengan 𝑝 𝑌[1] = 𝑝 𝑌[0] =
1
2
.
Distribusi Campuran

22. Untuk 𝑌 = 1, peubah acak 𝑋 mempunyai PDF seperti pada Figure 18
Untuk menghitung CDF 𝑋 pada kondisi 𝑌 = 1 dapat dilakukan dengan
menggunakan PDF 𝑓𝑋 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑥2
, −∞ < 𝑥 < ∞
sebagai berikut:
𝐹𝑋|𝑌=1 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑌 = 1
=
−∞
𝑥
1
2𝜋
𝑒−
1
2
𝑠2
𝑑𝑠 =: Φ 𝑥 ,
−∞ < 𝑥 < ∞
Distribusi Campuran

23. Untuk 𝑌 = 0, peubah acak 𝑋
mempunyai PMF, seperti dalam Figure
19,:
𝑝 𝑋[𝑘] =
1, k = 0;
0, lainnya,
Sehingga untuk kondisi 𝑌 = 0 ini, CDF
untuk 𝑋 dihitung dengan menggunakan
PMF:
untuk 𝑥 < 0,
𝐹𝑋|𝑌 =0 (𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥|𝑌 = 0) = 0.
untuk 𝑥 ≥ 0, 𝐹𝑋|𝑌 =0(𝑥) = 1.
Distribusi Campuran

24. Berdasarkan hasil-hasil di atas, dapat dihitung CDF dari peubah acak 𝑋 ini:
Untuk 𝑥 > 0,
𝐹𝑋 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑌 = 1 𝑝 𝑌 1 + 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 𝑌 = 0 𝑝 𝑌 0
= Φ 𝑥 ×
1
2
+ 1 ×
1
2
Untuk 𝑥 < 0,
𝐹𝑋 𝑥 = Φ 𝑥 ×
1
2
CDF ini dapat digambarkan seperti
pada Figure 20.
Distribusi Campuran

25. Apakah fungsi berikut dapat dikatakan PDF dari suatu peubah
acak: 𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒−𝜆𝑥
, 𝜆 > 0, −∞ < 𝑥 < ∞.
Bila iya tentukan 𝐸[𝑋]
Latihan 1

26. Apakah fungsi berikut dapat dikatakan PDF dari suatu peubah
acak: 𝑓 𝑥 =
1
2𝜋
𝑒−𝑥2
, −∞ < 𝑥 < ∞.
Bila iya tentukan 𝐸[𝑋]
Latihan 2

27. Apakah fungsi berikut dapat dikatakan PDF dari suatu peubah
acak: 𝑓 𝑥 =
1
𝜋 1+𝑥2 , −∞ < 𝑥 < ∞.
Bila iya tentukan 𝐸[𝑋].
Latihan 3

28. Diberikan CDF suatu peubah acak 𝑋 berikut:
𝐹𝑋 𝑥 =
0, 𝑥 < 0
𝑥
8
, 0 ≤ 𝑥 < 2
𝑥2
16
, 2 ≤ 𝑥 < 4
1, 𝑥 ≥ 4
Tentukan rataan dan variansi dari 𝑋.
Latihan 4

29. Tentukan mgf untuk peubah acak 𝑋 yang memiliki PDF
𝑓𝑋 𝑥 =
1
3
, −1 < 𝑥 < 2;
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Latihan 5

30. Diberikan peubah acak X dengan PDF
𝑓𝑋 𝑥 =
𝑒−𝑥
, 𝑥 > 0;
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Hitung 𝑃(𝑋 > 3/2). Bandingkan dengan batas atas Markovnya.
Latihan 6

31. Diberikan peubah acak X dengan PDF
𝑓𝑋 𝑥 =
1
2 3
, − 3 < 𝑥 < 3;
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Hitung 𝑃(|𝑋| > 3/2), bandingkan dengan batas atas
Chebyshevnya.
Latihan 7

32. Diberikan peubah acak X dengan PDF
𝑓𝑋 𝑥 =
1
4
, −2 < 𝑥 < 2;
0, 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Hitung 𝑃(|𝑋| > 3/2), bandingkan dengan batas atas
Chebyshevnya.
Latihan 8

33. Diberikan informasi mengenai peubah acak X sebagai berikut:
𝐸[𝑋] = 3 dan 𝐸[𝑋2
] = 13. Gunakan ketaksamaan Chebyshev
untuk mendapatkan batas bawah 𝑃(−2 < 𝑋 < 8).
Latihan 9

34. Misalkan kita melakukan eksperimen acak berikut: kita melakukan pelemparan
anak panah pada suatu target yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 1.
𝑋(𝑠𝑖) menyatakan jarak lokasi hasil pelemparan anak panah dari pusat lingkaran
tersebut. Hasil eksperimen tersebut memberikan CDF dari peubah acak 𝑋 sebagai
berikut:
𝐹𝑋 𝑥 =
0, 𝑥 < 0;
𝑥 + 1
4
, 0 ≤ 𝑥 < 1;
1, 𝑥 ≥ 1
a) Aturan seperti apa dalam eksperimen tersebut yang dapat memberikan CDF
di atas?
b) Tentukan 𝐸[𝑋] dan 𝑣𝑎𝑟(𝑋).
Latihan 10

36. • Hogg, Robert V. 2013. Introduction to Mathematical Statistics.
Boston: Pearson Education, Inc. (Pustaka Utama)
• Indratno, Sapto W. 2017. Teori Peluang. Bandung: Institut
Teknologi Bandung. (Pustaka Utama)
• Walpole, Ronald E., dkk. 2012. Probability and Statistics for
Engineering and Scientists. Boston: Pearson Education, Inc.
(Pustaka Pendukung)
• Wakerly, D., Mendenhall III, W. Scheaffer, R. 2008.
Mathematical Statistics with Application, Ed. 7th , Thomson,
Canada, (Pustaka Pendukung)
Referensi