Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu koordinat, garis y=x, y=-x, dan garis x=k.
Buku ajar ini membahas tentang konsep geometri dasar seperti kongruensi pada segitiga, sifat-sifat segiempat, teorema Pythagoras, perbandingan seharga garis dan kesebangunan, beberapa teorema pada garis istimewa pada segitiga dan lingkaran. Peserta diharapkan dapat memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan masalah-masalah geometri.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
Refleksi adalah transformasi geometri yang memindahkan semua titik pada sebuah bangun geometri terhadap suatu garis tertentu, serta bayangannya kongruen dengan bangun semula. Terdapat beberapa jenis refleksi, yaitu refleksi terhadap sumbu koordinat, garis y=x, y=-x, dan garis x=k.
Buku ajar ini membahas tentang konsep geometri dasar seperti kongruensi pada segitiga, sifat-sifat segiempat, teorema Pythagoras, perbandingan seharga garis dan kesebangunan, beberapa teorema pada garis istimewa pada segitiga dan lingkaran. Peserta diharapkan dapat memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan masalah-masalah geometri.
Dokumen tersebut membahas tentang sistem bilangan riil dan kompleks. Bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a + bi, dimana a dan b adalah bilangan riil dan i^2 = -1. Bilangan kompleks dapat digambarkan secara geometris sebagai titik pada bidang kompleks dan operasi aljabar bilangan kompleks memiliki interpretasi geometris.
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Modul ini membahas konsep dasar kongruensi, termasuk definisi, sifat-sifat, dan teorema-teoremanya. Kongruensi merupakan kelanjutan dari keterbagian dan didefinisikan berdasarkan konsep keterbagian. Modul ini juga membahas sistem residu lengkap dan tereduksi serta peranannya dalam teorema Euler, Fermat, dan Wilson.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen menjelaskan tentang persamaan bola pada ruang tiga dimensi. Terdapat definisi bola, langkah-langkah menentukan persamaan bola yang berpusat di titik tertentu, bentuk umum persamaan bola, dan hubungan antara bola dengan bidang datar.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Matematika Hindu berkembang sejak abad ke-26 SM hingga abad ke-14 M. Peradaban Lembah Sungai Indus pada 2800-1800 SM mengatur kota-kota secara geometris. Bangsa India mengembangkan sistem angka tempat dengan bilangan nol pada abad ke-6 M. Tokoh-tokoh seperti Aryabhata dan Brahmagupta mengembangkan aritmatika dengan bilangan nol dan negatif.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep kuartil dan cara menghitung nilai kuartil baik untuk data tunggal maupun data berkelompok. Secara singkat, kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian sama besar, yaitu kuartil bawah, tengah, dan atas. Kuartil untuk data tunggal ditentukan dengan mengurutkan data dan mencari nilai pada posisi tertentu, sedangkan untuk data berkelompok menggunak
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This PPT was created to complete School Experience Program in doing teaching practice at SMA YASPORBI also for Micro Teaching Course Teaching Report in Faculty of Education Mathematics Department Universitas Siswa Bangsa International.
PPT ini dibuat saat ingin mengajar di SMA YASPORBI saat program praktik lapangan yang berisi materi Trigonometri Kelas X kurikulum 2013
Dokumen tersebut membahas metode posisi palsu untuk menyelesaikan persamaan non-linear. Metode ini mempercepat konvergensi dari metode bagi dua dengan menentukan titik potong garis lurus antara dua titik awal yang memiliki nilai fungsi berlawanan tanda. Langkah-langkahnya meliputi penentuan nilai awal x1 dan x2, kalkulasi x3 berdasarkan rumus, dan penentuan subinterval baru berdasarkan tanda nilai fungsi x1 dan
Modul ini membahas konsep dasar kongruensi, termasuk definisi, sifat-sifat, dan teorema-teoremanya. Kongruensi merupakan kelanjutan dari keterbagian dan didefinisikan berdasarkan konsep keterbagian. Modul ini juga membahas sistem residu lengkap dan tereduksi serta peranannya dalam teorema Euler, Fermat, dan Wilson.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan bidang, vektor normal, bidang sejajar, dan bidang tegak lurus. Persamaan bidang umumnya ditulis sebagai ax + by + cz + d = 0, dimana vektor normalnya adalah (a, b, c). Dua bidang dikatakan sejajar jika memiliki vektor normal yang sama atau berkelipatan, sedangkan bidang dikatakan tegak lurus jika hasil vektor normal kedua bidang bernilai n
Dokumen menjelaskan tentang persamaan bola pada ruang tiga dimensi. Terdapat definisi bola, langkah-langkah menentukan persamaan bola yang berpusat di titik tertentu, bentuk umum persamaan bola, dan hubungan antara bola dengan bidang datar.
Jawaban latihan soal bagian 2.1 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Matematika Hindu berkembang sejak abad ke-26 SM hingga abad ke-14 M. Peradaban Lembah Sungai Indus pada 2800-1800 SM mengatur kota-kota secara geometris. Bangsa India mengembangkan sistem angka tempat dengan bilangan nol pada abad ke-6 M. Tokoh-tokoh seperti Aryabhata dan Brahmagupta mengembangkan aritmatika dengan bilangan nol dan negatif.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai konsep kuartil dan cara menghitung nilai kuartil baik untuk data tunggal maupun data berkelompok. Secara singkat, kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat bagian sama besar, yaitu kuartil bawah, tengah, dan atas. Kuartil untuk data tunggal ditentukan dengan mengurutkan data dan mencari nilai pada posisi tertentu, sedangkan untuk data berkelompok menggunak
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
This PPT was created to complete School Experience Program in doing teaching practice at SMA YASPORBI also for Micro Teaching Course Teaching Report in Faculty of Education Mathematics Department Universitas Siswa Bangsa International.
PPT ini dibuat saat ingin mengajar di SMA YASPORBI saat program praktik lapangan yang berisi materi Trigonometri Kelas X kurikulum 2013
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan trigonometri sederhana, grafik fungsi trigonometri menggunakan tabel dan lingkaran satuan, identitas trigonometri dasar beserta membuktikannya, serta latihan soal untuk menerapkan konsep-konsep tersebut.
This document provides information about trigonometry including definitions of trigonometric ratios, quadrant values, trigonometric identities, and example problems. It begins with definitions of sine, cosine, and tangent ratios. It then covers key topics like trigonometric ratios in each quadrant, trigonometric identities, addition and subtraction formulas, multiplication formulas, and example problems with solutions. The document is a lesson plan on trigonometry concepts and formulas for a high school math class.
Dokumen tersebut membahas tentang identitas trigonometri yang menghubungkan perbandingan trigonometri satu dengan yang lainnya, beserta contoh soal latihan dan penyelesaiannya."
This document discusses correlative conjunctions, which are conjunctions that always travel in pairs and join equal parts of a sentence. It provides examples of common correlative conjunctions like either...or, neither...nor, not only...but also, and both...and. The document also includes example sentences using these correlative conjunctions to connect different parts of the sentences.
Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri, yang meliputi pengukuran sudut, perbandingan rumus trigonometri, perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, nilai fungsi trigonometri di berbagai kuadran, grafik fungsi trigonometri, kesamaan trigonometri, dan contoh soal. Secara ringkas, dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai dasar-dasar trigonometri beserta contoh penerapannya.
presentasi ini menjelaskan mengenai aturan sinus (perbandingan sudut) dan pembuktian bagaimana rumus aturan sinus diperoleh dan terdapat contoh soal dan latihan soal kombinasi (modifikasi)
Correlative conjunctions are connecting words used in pairs to link equivalent grammatical elements in a sentence. Some common correlative conjunctions are either/or, neither/nor, not only/but also, and both/and. They connect two equal grammatical items, such as two nouns, two verbs, or two phrases. For example, "Neither the potted ivy nor the dirty dishes have been watered" or "She will either start classes or join the Navy." The conjunctions follow specific rules depending on whether the sentence elements are singular or plural.
Dokumen tersebut membahas tentang identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah bentuk persamaan trigonometri yang menghubungkan suatu perbandingan trigonometri dengan perbandingan trigonometri lainnya. Dokumen tersebut juga berisi contoh-contoh rumus identitas dasar trigonometri beserta soal latihan yang terkait.
Air transportation is the safest form of transport. There are approximately 200,000 flights per day worldwide. The presentation discusses how airplanes fly through aerodynamic forces of thrust, drag, lift, and weight. It explains how jet engines produce thrust to propel planes and how the shape of wings generates lift. Control surfaces like ailerons, elevators, rudders, and flaps help pilots control the aircraft during different phases of flight such as takeoff, cruise, descent, and landing.
Perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometriPapar Poetra
Trigonometri membahas fungsi matematika yang berhubungan dengan sudut dan sisi segitiga. Dokumen menjelaskan grafik fungsi trigonometri, menyelesaikan persamaan trigonometri, membuktikan identitas trigonometri, dan menyelesaikan masalah menggunakan aturan sinus dan cosinus.
1. Dokumen tersebut berisi soal-soal matematika tentang barisan dan deret, himpunan, fungsi, perbandingan, sistem persamaan linier dua variabel, pertidaksamaan linier satu variabel, pola bilangan, dan persamaan kuadrat.
1. Dokumen membahas tentang trigonometri, terutama perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku dan koordinat Cartesius, serta identitas trigonometri dasar.
2. Dijelaskan hubungan antara sin, cos, dan tan dengan sudut dan sisi-sisi segitiga, beserta tanda-tandanya tergantung kuadran.
3. Identitas trigonometri dasar seperti sin2α + cos2α = 1 dan hubungan antara sin, cos, tan, csc, sec
SPL 1, 2, 3 dan 4 merupakan SPL homogen karena tidak memiliki konstanta di sisi kanan persamaannya. Oleh karena itu, SPL-SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak yang dapat dituliskan dalam bentuk parameter.
Bab ini membahas persamaan dan fungsi kuadrat, termasuk cara menentukan jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminan, rumus untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar, serta cara menyusun persamaan kuadrat. Grafik fungsi kuadrat ditentukan berdasarkan nilai koefisien a, termasuk titik ekstrim dan kedudukan garis terhadap grafik.
Dokumen tersebut membahas tentang trigonometri dan segitiga, meliputi:
1) Metode eliminasi untuk menyelesaikan persamaan dua variabel;
2) Jenis-jenis persamaan trigonometri sederhana dan lanjutannya beserta contoh soal dan penyelesaiannya;
3) Karakteristik dan macam-macam segitiga berdasarkan panjang sisi dan besar sudut;
4) Garis-garis istimewa pada segitiga seperti garis tinggi,
Translasi, rotasi, dilatasi, dan refleksi adalah transformasi geometri yang masing-masing memindahkan, memutar, memperbesar/memperkecil, dan mencerminkan suatu objek geometri. Transformasi ini dijelaskan dengan persamaan dan matriks.
Fungsi invers, eksponensial, logaritma, dan trigonometri mencakup definisi dan sifat-sifat fungsi seperti fungsi invers, eksponensial, logaritma, dan trigonometri serta turunan dan integralnya. Fungsi-fungsi tersebut merupakan konsep penting dalam kalkulus.
Dokumen tersebut membahas identitas dan persamaan trigonometri yang mencakup:
1. Identitas trigonometri seperti sin2θ + cos2θ = 1 dan contoh penerapannya.
2. Invers fungsi trigonometri seperti sin-1, cos-1, tan-1 beserta contoh perhitungannya.
3. Persamaan trigonometri dasar dalam sudut derajat dan radian.
2. “Mengingat
Kembali”
C
r
y
α⁰
A x B
y
sin x y
r cos tan
r x
3. Y
Kuadran 2 Kuadran 1
Tanda Tanda
sin cos tan sin cos tan
+ - - + + +
X
Kuadran 3 Kuadran 4
Tanda Tanda
sin cos tan sin cos tan
- - + - + -
4. Identitas trigonometri dasar
merupakan hubungan kebalikan
1 1 1 r
sin atau cosec
sin y y
cosec
r
1
1 1 r
cos atau
sec
sec cos x x
r
1 atau 1 1 x
tan cot
cot tan y y
x
6. (OP ' ) 2 ( PP ' ) 2 (OP ) 2
Y x2 y2 1
x y
P(x, y) cos dan sin
1
y
1 1
α⁰ Karena x cos dan
X
O x P
y sin maka diperoleh
cos2 sin 2 1
2
Jika kedua ruas persamaan x 2 y2 1 dibagi dengan x ,
maka diperoleh:
2 2
x 2
y2
1 y 1
1
x2 x2 x2 x x
7. y 1
Substitusi x
tan dan sec ke persamaan di atas ,
x
maka diperoleh
1 tan 2 sec2
Sekarang jika kedua ruas persamaan x 2 y2 1 dibagi
dengan y 2 , maka diperoleh
2 2
2 2
x y 1 x 1
1
y2 y2 y2 y y
x 1
Substitusi cot dan y cos ec ke persamaan di atas ,
y
maka diperoleh
1 cot2 cosec 2
8. Identitas trigonometri dasar yang
diperoleh dari teorema Pythagoras
2 2
sin cos 1
1+ tan 2α °= sec 2α°
1 + cot 2α° = cosec2α°
9. Contoh soal
3
Diketahui sin dan 0 < α < 90 . Hitunglah:
5
a) cos α
b) tan α
Jawab:
a) Dengan menggunakan rumus:
2 2
sin cos 1
2 2
cos 1 sin
2
2 3
cos 1
5
10. 16
cos2
25
4 4
cos atau cos
5 5
4
Karena 0 < α < 90 (terletak di kuadran I), maka diambil cos α =
5
b) Dengan menggunakan rumus perbandingan:
sin
tan
cos
3
5 3
tan
4 4
5
11. 2) Buktikan bahwa sin 2 sin 2 cos2 cos4 1
Jawab:
Kita ubah bentuk ruas kiri:
sin 2 sin 2 cos2 cos4 sin 2 (1 cos2 ) cos4
(1 cos2 )(1 cos2 ) cos4
1 cos4 cos4
1
Ruas kiri = Ruas kanan
Jadi, terbukti bahwa sin 2 sin 2 cos2 cos4 1