Bilangan kompleks

1. DISUSUN OLEH KELAS 3-D
NAMA KELOMPOK:
MOHAMAD NUR FAUZI(10.1.01.05.0164)
NASTITI HIDAYATI(10.1.01.05.0174)
LUSIANA(10.1.01.05.0145)
MARIA TIRTA BUWANA(10.1.01.05.0154)
NOVIA AYU HARESTI(10.1.01.05.0183)
ERICH RINIKA(10.1.01.05.0085)
LINDA KURNIA DEVIKA(10.1.01.05.0141)

2. Misal ada persamaan sebagai berikut :
4 0 2 x  
4
2
 
4   
x
x
(imajiner/bil.kompleks/bil.khayal)
Untuk menghitung nilai x itu maka kita gunakan aturan bilangan
kompleks,kita pelajari sebagai berikut
Bilangan kompleks=
z  a  bi a b 
R
a  riil z  R z 
riil z
( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ,
b  imajiner z  I z 
im z

3. z a bi disebut z sekawan
2  1
 

nilai i
Dari uraian sedikit diatas maka kita dapat merubah bentuk
persamaan yang ada dalam akar tersebut .sehingga diperoleh
x  
i
x i
jadi penyelesaiannya x 2 i atau x 2
i
2
4. 2
  
 
Tentukan R(z) dan I(z) dari soal dibawah ini:
z i
1.  5 
6
z i
2.  5 
6
z i
3. 6 5
z
  
4. 
6
z i
5.  
5

4. z i
1.  5 
6
R z
( ) 
5
( ) 
6
I z
z i
2.  5 
6
R z
( ) 
5
( )  
6
I z
z i
3.   6 
5
R z
( ) 
5
( )  
6
I z
z
4. 
6
R z
( ) 
6
( ) 
0
I z
z i
5.  
5
R z
( ) 
0
( )  
5
I z
Penyelesaiaan
Asli bilangan
kompleks sejati

5. Operasi Dasar Bilangan Kompleks
1. Penjumlahan (a bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d)i
2. pengurangan (a bi) (c  di)  (a c)  (b  d)i
3. Perkalian (a bi)(c  di)  (ac bd)  (ad bc)i
4. Pembagiaan
 
 
a bi
( 
)
( )
 

i
c di
bc 
ad
c d
ac 
bd
c d

c di
c di
a bi
( 
)
c di












2 2 2 2
( )

6.    
z  z  R z 
I z
2 2
2 2
z  a 
b
Sifat
z z z z
1. .
jikaz

z
z
2.  , 
0
2
1 2 1 2
1
2
1
2
z
z
z  z  z 
z
1 2 1 2
1 2 1 2
3.
4.
z  z  z 
z

7. Penyajian Secara Analitik Dan Grafik
Kerjakan operasi berikut:
 
i i
1.(2  3 )  4 
5
2.(2  3 i )  4  5 i     2  2 i   (3 
4 i
)
Penyelesaian
1.secara analitik(23i)  45i 6 2i
2.Secara analitik
(23i)  45i 2 2i (3 4i) 11 0i

8. R(z)
I(z)
(2,3)
(4,-5)
(6,-2)
Grafik 1

9. R(z)
I(z)
(2,3)
(11,0)
Grafik 2

10. 1. Selesaikan setiap operasi ini secara
analitik dan grafik:
   
   
   
     
a . 2  3 i  4 
5
i
b . 7  i  4 
2
i
c .3 1  2 i  2 2 
3
i
d .3 1  i  2 4  3 i  2 
5
i
3
1
.
e  i  5 2
i
2
4 3
2
  

11. Penyelesaian
:
Secara analitik
        
a . 2  3 i  4  5 i  2  4  3  
5
i
 
       
b i i i i
. 7   4  2  7  4   ( 
2 )
 i
 
3 3
       
c i i i i
.3 1  2  2 2  3  3  4  6  ( 
6 )
i
  
1 12
         
d .3 1  i  2 4  3 i  2  5 i  3  8  2  3 i  6 i 
5
i
i
 
9 8
3
   
6
3
15
4
1
.
e i i i i



    
19

 








 

i
3
2
2
2
2
2
2
5 2
2
4 3
2
i
6 2

12. R(z)
I(z)
(2,3)
(4,-5)
(6,-2)
Secara Grafik a

13. R(z)
I(z)
(-4,2)
(7,1)
(3,3)
Secara grafik b

14. (-1,12)
(-4,6) (3,6)
Secara grafik c
R(z)
I(z)

15. (3,3)
(11,-3)
(9,-8)
R(z)
I(z)

16. (2,-3/2)
(15/2,3)
(19/2,3/2)

17. jika z 4 3i dan z 1 2i 1 2      Dapatkan secara analitik dan
grafik
a .
z z
b .
z z
c .
z z

1 2

1 2
 

1 2
 
d z z
.2  3 
2
1 2

18.  4  3 i    2 i  8    4  8     3 i 
2
i

i
a
  4

53.
   
i i i i
3  1  4  2 7    3  12  14 
2
    
3 14 12 2
i
i i
b
17 14
53.
  
  
i i i i i
3  2 2   6  3  4 
2
i i
    
6 3 4 2( 1)
i i
c
 6  2   8

53.
2
 i  2  2  1  i   3  i  1    i  2  2  2 i  3 i

3

  
i   i
i i i i i
d
      
2 5 5 10 2
7 1 10 9 7
53.
2
      

19. i
i

 
i
i i i
8  2  12 
3
i i i
4
i i
i
2 3
i
i
53.
2 3
i
e
10
17
2
11
17
11 10
17

8  10  3 
1
16 ( 1)
16 4 4
4
4

4
2
 


 

  






 4  i  3  2 i  1  i    12  8 i  3 i  2 i  1

i

  
 10  11 1

   
10 10 11 11
i
i i
i i i
f
 21

53.
2
2
     6  4 i  3 i  2 i  1 
2
i

(1 )
  
8  16  
2
10 15
i
i
i i
8  1 
2
i
10 
15
i i
i i i
i
i
i
i i i
2  3  2 1 
2
i
g

2
1 2
(1 )
(1 )
(1 )
53.
2
2
2
2
2
2
2


 









20. 53.
 

2 2
i
i
2
i i i
i
i
i
i

i




 
1 3
2
1
1
2
2
2
2
  


 i  i
 
   
 
4 4
1 3
1
5

i i
   
1
5
1
5

i i i i i
    
23
11
4
20
i i i i
i
i i i
i
i
i
i
i
i i i
i
i i
i
i
i
h
2
2
2
2
3
2
15
2
2
2
( 3 4 )
2
2
4 4 1
2
2
2 1
2
2 1 2 2
2
1
1
1
1
2 2
2
1
4 4
1
1
4
1
4
1
1
4
2 1
2
2
2 2
2
     






 
   







  







 


  














21.    
2 2 4.3 
3 2 8
i i i
i
53.
4 9 16
i  i 
i
2 2
2 4.3 3 8
  1   
  
1

4.1 1 4.2 2 4.3 3
i i i
i
i
1  
1
i
i
i
 
i i i
i i i



  

  

  

  
  
  
2
2
2
2 1 1
4.1 1 4.2 2 4.3 3
5 10 15
2 3
i
i
i
i
i
i
1
1
1





i i i i
i
i
j
2
  
1 2 1
1


  
1 2 1



i  i i i
53.
3 2 ( 1) 3( 1 2 ) 3 2
2
 
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1
2
1
1
3
2
2 3 2 3
        




 

 

 







  






23. 54. Jika푧1 = 1 − 푖, 푧2 = −2 + 4푖, 푧3 = 3 −
2푖,hitunglahsetiapbentukberikutini.
푎 푧₁2 + 2푧1 − 3
푏 2푧2 − 3푧2
1
푐 푧3 − 푧 3
5
푑 푧1푧 2 + 푧2푧 1

24. 푒
푧1 + 푧2 + 1
푧1 − 푧2 + 푖
푓
1
2
푧3
푧 3
+
푧 3
푧3
푔 푧2 + 푧3 푧1 − 푍3

25.  Jawab :
푎 − 1 − 4푖
푏 170
푐 1024푖
푑 12
푒 3 5
푓 −1 7
푔 − 7 + 3 3 + 3푖

26. 푎 푧₁2 + 2푧1 − 3
= 1 − 푖 2 +2 1 − 푖 − 3
= 1 − 푖 1 − 푖 + 2 − 2푖 − 3
= 1 − 2푖 + 푖2 + 2 − 2푖 − 3
= 1 − 2i − 1 + 2 − 2i − 3
= −1 − 4푖

27. 푐 푧3 − 푧 3
5
= 3 − 2푖 − 3 + 2푖
5
= −4푖 5
= −45푖5
= −1024푖

28. 푑 푧1푧 2 + 푧2푧 1
= 1 − 푖 −2 + 4푖 + −2 + 4푖 1 − 푖
= 1 − 푖 −2 − 4푖 + −2 + 4푖 1 + 푖
=
−2 − 4푖 + 2푖 + 4푖2 +
−2 − 4푖 + 2푖 + 4푖2
= −4 − 8
= −12
= 12

29. 푒
푧1 + 푧2 + 1
푧1 − 푧2 + 푖
=
1 − 푖 + −2 + 4푖 + 1
1 − 푖 − −2 + 4푖 + 푖
=
2 + 3푖 − 2
3 − 4푖
=
3푖
3 − 4푖
=
3푖
3 − 4푖
×
3 + 4푖
3 + 4푖

30. Lanjutan jawabansoal e
=
9푖 + 12푖2
9 − 16푖2
=

31. h. 2
2
2
z1 2
 z  z 2
 z
3
2
2
2
i i i i
         
(1 ) ( 2 4 ) ( 3 2 ) ( 2 4 )
i i i i i i i i
           
1 2 4 16 16 3 4 3 4 (4 16 16 )
i i i i
           
1 2 1 4 16 16 3 4 3 4 4 16 16)
2 
2
i i
     
12 14 11 (4 3 16)
 
      
 
( 12) (14) (11) (4 3 16)
      
144 196 121 48 64 3 64 3 256
765 128 3
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
 




32. I.  2
Re 2z 3
 3z 2
 5z
1 2
3
 i i i i i i i

 
 
 
 
 
 
 
35
           
Re 2(1 )(1 )(1 ) 3( 2 4 )( 2 4 ) 5( 3 2 )( 3 2 )
2 2 2
i i i i i i i
         
Re 2(1 )(1 2 ) 3(4 16 16 ) 5(3 4 3 4 )
i i i i
         
Re 2(1 )(1 2 1) 3(4 16 16) 5(3 4 3 4)
i i i i
        
Re 2(1 )( 2 ) 3( 12 16 ) 5( 1 4 3 )
2
i i i i
      
Re 2( 2 2 ) 36 48 5 20 3 )
i i
      
Re 2( 2 2) 31 ( 48 20 3)
i i
      
Re 4 4 31 ( 48 20 3)
    
Re 35 ( 52 20 3)
 
i

33. j.  1 2 3 / Imz z z
i i
(1  )(  2 
4 )
i i
(  2  2  4 
4)
i
3 2
(2 
6 )
(2 6 )




i
(2 3 6 3 4 12)




  
   


(2 3 12) (6 3 4) )

(6 3 4)
7
7
Im
3 4
Im
3 2
.
3 2
Im
3 2
Im
3 2
Im
3 2
Im
















  
  


  
  


  
  


i
i i
i
i
i
i
i
i

34. a) 푧1 + 푧2
b) 푧1 − 푧2
c) ź1 − ź2
d) 2ź1 − 3ź2 − 2

35. a) 푧1 + 푧2 = 4 − 3푖 + −1 + 2푖
= 3 − 푖
= 32 − 푖2
= 9 + 1
= 10
Secara grafik
4
4 − 3푖
-3
−1 + 2푖
3 − 푖

36. b) 푧1 − 푧2 = 4 − 3푖 − −1 + 2푖
= 5 − 5푖
= 25 + 25
= 50
= 2.25
= 2 5

37. Secara grafik
4
4 − 3푖
5 − 5푖
-3 1 − 2푖

38. c) ź1−ź2
푧1 = 4 − 3푖푧2 = −1 + 2푖
ź1 = 4 + 3푖ź2 = −1 − 2푖
ź1−ź2 = 4 + 3푖 − −1 − 2푖
= 4 + 1 + 3푖 + 2푖
= 5 + 5푖

39. Secara grafik
3
1 + 2푖
5 + 5푖
4 + 3푖
4

40. d) 2ź1 − 3ź2 − 2 = |2 4 + 3푖 − 3 −1 − 2푖 − 2|
= 8 + 6푖 − −3 − 6푖 − 2
= 9 + 12푖
= 81 + 144
= 225
= 15

41. Secara grafik
8
6
8 + 6푖
2
3 + 6푖
9 + 12푖