Dokumen ini membahas berbagai jenis transformasi geometri, termasuk translasi, rotasi, dan dilatasi, serta cara menghitung bayangan suatu titik atau kurva setelah transformasi. Setiap jenis transformasi dijelaskan dengan rumus matematis dan contoh aplikasi untuk memberikan pemahaman yang jelas. Transformasi invers juga dibahas untuk menentukan bayangan kurva menggunakan matriks.

1. Transforma
si
(Translasi, Rotasi dan
Dilatasi)
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
peta atau bayangan suatu kurva
hasil dari suatu
Translasi, Rotasi atau Dilatasi
2

3. Transformasi
Untuk memindahkan suatu titik atau
bangun pada sebuah bidang dapat
dikerjakan dengan transformasi.
Transformasi T pada suatu bidang
‘memetakan’ tiap titik P pada bidang
menjadi P’ pada bidang itu pula.
Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P
3

4. Jenis-jenis Transformasi
a. Tranlasi*)
b. Refleksi
c. Rotasi*)
d. Dilatasi*)
*) yang dibahas kali ini
4

5. Tranlasi
artinya pergeseran
5

6.  a
Jika translasi T =  
 b
 
memetakan titik P(x,y) ke P´(x’,y’)
maka x’ = x + a dan y’ = y + b
ditulis dalam bentuk matrik:
 x'   x   a 
 = + 
 y'  y   b 
     
6

7. Contoh 1
Diketahui segitiga OAB dengan
koordinat titik O(0,0), A(3,0) dan
B(3,5).Tentukan koordinat bayangan
segitiga OAB tersebut bila
 1
ditranslasi oleh T =  
 3
 
7

8. Bahasan
y
 1
T= 
 3
 
(0,0) → (0 + 1, 0 + 3)
 1
T= 
 3
 
0’(1,3)
 1
T= 
 3
 
A’(4,3)
(3,0) → (3 + 1, 0 + 3)
O
(3,5) → (3 + 1, 5 + 3)
X
B’(4,8)
8

9. Contoh 2
Bayangan persamaan lingkaran
x2 + y2 = 25
oleh translasi T =
 − 1
 
 3
 
adalah….
9

10. Bahasan
P (-1,3)
●
●
X
10

11.  − 1
Karena translasi T =   maka
 3
 
x’ = x – 1 → x = x’ + 1.….(1)
y’ = y + 3 → y = y’ – 3…..(2)
(1) dan (2) di substitusi ke x2 + y2 = 25
diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25;
Jadi bayangannya adalah:
(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25
11

12. Contoh 3
Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5)
adalah (7,-8). Bayangan kurva
y = x2 + 4x – 12 oleh translasi
tersebut adalah….
12

13. Bahasan
 a
Misalkan translasi tersebut T =  b 
 
 
Bayangan titik (1,-5) oleh translasi T
adalah (1 + a, -5 + b) = (7,-8)
1+ a = 7 → a = 6
-5+ b = -8 → b = -3
13

14. a = 6 dan b = -3 sehingga
translasi tersebut adalah
Karena T =  6 
 
 6
T = 
 − 3
 
 − 3
 
Maka
x’ = x + 6 → x = x’ – 6
y’ = y – 3 → y = y’ + 6
14

15. x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi
ke y = x2 + 4x – 12
y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12
y’ + 3 = (x’)2 – 12x’ + 36 + 4x’ - 24 -12
y’ = (x’)2 – 8x’ – 3
Jadi bayangannya: y = x2 – 8x – 3
15

16. Rotasi
artinya perputaran
ditentukan oleh
pusat dan besar sudut putar
16

17. Rotasi Pusat O(0,0)
Titik P(x,y) dirotasi sebesar α
berlawanan arah jarum jam
dengan pusat O(0,0) dan
diperoleh bayangan P’(x’,y’)
maka:
x’ = xcosα - ysinα
y’ = xsinα + ycosα
17

18. Jika sudut putar α = ½π
(rotasinya dilambangkan dengan R½π)
maka x’ = - y dan y’ = x
dalam bentuk matriks:
Jadi
 x'   0 − 1  x 
 =
 y'   1 0   y 
  
  
  
 0 − 1
R½π = 
1 0 



18

19. Contoh 1
Persamaan bayangan garis
x + y = 6 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +90o, adalah….
19

20. Pembahasan
R+90o berarti: x’ = -y → y = -x’
y’ = x → x = y’
disubstitusi ke:
x+y=6
y’ + (-x’) = 6
y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6
Jadi bayangannya: x – y = -6
20

21. Contoh 2
Persamaan bayangan garis
2x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran -90o , adalah….
21

22. Pembahasan
R-90o berarti:
x’ = xcos(-90) – ysin(-90)
y’ = xsin(-90) + ycos(-90)
x’ = 0 – y(-1) = y
y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau
dengan matriks:
 x'   0 1   x 
 =
 y'   − 1 0   y 
  
  
  
22

23. R-90o berarti: x’ = y → y = x’
y’ = -x → x = -y’
disubstitusi ke:
2x - y + 6 = 0
2(-y’) - x’ + 6 = 0
-2y’ – x’ + 6 = 0
x’ + 2y’ – 6 = 0
Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0
23

24. Jika sudut putar α = π
(rotasinya dilambangkan dengan H)
maka x’ = - x dan y’ = -y
dalam bentuk matriks:
 x'   − 1 0 
 =
 y '   0 − 1

  

−1 0 
Jadi H = 
 0 − 1



 x
 
 y
 
24

25. Contoh
Persamaan bayangan parabola
y = 3x2 – 6x + 1
setelah dirotasikan
pada pangkal koordinat dengan
sudut putaran +180o, adalah….
25

26. Pembahasan
H berarti: x’ = -x → x = -x’
y’ = -y → y = -y’
disubstitusi ke: y = 3x2 – 6x + 1
-y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1
-y’ = 3(x’)2 + 6x + 1 (dikali -1)
Jadi bayangannya:
y = -3x2 – 6x - 1
26

27. Dilatasi
Adalah suatu transformasi yang
mengubah ukuran (memperbesar
atau memperkecil) suatu bangun
tetapi tidak mengubah bentuk
bangunnya.
27

28. Dilatasi Pusat O(0,0) dan
faktor skala k
Jika titik P(x,y) didilatasi terhadap
pusat O(0,0) dan faktor skala k
didapat bayangan P’(x’,y’) maka
x’ = kx dan y’ = ky
dan dilambangkan dengan [O,k]
28

29. Contoh
Garis 2x – 3y = 6 memotong
sumbu X di A dan memotong
sumbu Y di B. Karena dilatasi
[O,-2], titik A menjadi A’
dan titik B menjadi B’.
Hitunglah luas segitiga OA’B’
29

30. Pembahasan
garis 2x – 3y = 6
memotong sumbu X di A(3,0)
memotong sumbu Y di B(0,2)
karena dilatasi [O,-2] maka
A’(kx,ky)→ A’(-6,0) dan
B’(kx,ky) → B’(0,-4)
30

31. Titik A’(-6,0), B’(0,-4) dan
titik O(0,0) membentuk segitiga
seperti pada gambar:
Y
B -4
A
-6
O
X
Sehingga luasnya
= ½ x OA’ x OB’
=½x6x4
= 12
31

32. Dilatasi Pusat P(a,b) dan
faktor skala k
bayangannya adalah
x’ = k(x – a) + a dan
y’ = k(y – b) + b
dilambangkan dengan
[P(a,b) ,k]
32

33. Contoh
Titik A(-5,13) didilatasikan
oleh [P,⅔] menghasilkan A’.
Jika koordinat titik P(1,-2),maka
koordinat titik A’ adalah….
33

34. Pembahasan
[P(a,b) ,k]
A(x,y)
A’(x’,y’)
x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
A(-5,13)
[P(1,-2),⅔]
A’(x’ y’)
34

35. x’ = k(x – a) + a
y’ = k(y – b) + b
[P(1,-2),⅔]
A(-5,13)
A’(x’ y’)
x’ = ⅔(-5 – 1) + 1 = -3
y’= ⅔(13 – (-2)) + (-2) = 8
Jadi koordinat titik A’(-3,8)
35

36. Transformasi Invers
Untuk menentukan bayangan
suatu kurva oleh transformasi
yang ditulis dalam bentuk
matriks, digunakan
transformasi invers
36

37. Contoh
Peta dari garis x – 2y + 5 = 0
oleh transformasi yang
dinyatakan dengan matriks
 1 1

 2 3



adalah….
37

38. Pembahasan
A(x,y)
 1 1

 2 3



A’(x’ y’)
 x'   1 1   x 
 =
 y'   2 3  y 
 
  
 
Ingat: A = BX maka X = B-1.A
 x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
38

39.  x
1  3 − 1  x' 
 =
 y  3 − 2  − 2 1   y'

 
 

 
 x   3 − 1  x' 
 =
 y   − 2 1   y'
 
  
 
 x   3x' − y' 
 =
 y   − 2x' + y'

  

Diperoleh: x = 3x’ – y’ dan
y = -2x’ + y’
39

40. x = 3x’ – y’ dan y= -2x’ + y’
disubstitusi ke x – 2y + 5 = 0
3x’ – y’ – 2(-2x’ + y’) + 5 = 0
3x’ – y’ + 4x’ – 2y’ + 5 = 0
7x’ – 3y’ + 5 = 0
Jadi bayangannya:
7x – 3y + 5 = 0
40

41. SELAMAT BELAJAR
41