1. Dokumen tersebut membahas tentang determinan matriks dan eigenvektor, termasuk definisi, rumus, dan contoh perhitungan determinan matriks berukuran 1x1, 2x2, dan 3x3 serta sifat-sifatnya. 2. Dibahas pula definisi minor, kofaktor, ekspansi Laplace, teorema-teorema yang berkaitan dengan operasi baris elementer terhadap determinan matriks. 3. Contoh perhitungan determinan matriks disertai pen

1. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Determinants and Eigenvalues

2. • Introduction to determinants;
• Determinants and row reduction;
• Further properties of the determinant;
• Eigenvalues and diagonalization.
3-2

3. Determinan suatu matriks A berukuran 1 × 1, A = [a11] adalah |A| = a11 atau satu-
satunya entri yang dimiliki. Contoh: determinan matriks A = [4] adalah |A| = 4.
Determinan matriks A berukuran 2 × 2, A = adalah |A| = a11a22 – a12a21.
Determinan matriks A berukuran 3 × 3, A = adalah:
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33.
Untuk “mempermudah” digunakan metode basketweaving
untuk mencari determinan matriks 3 × 3 sebagai berikut:
† Determinan suatu matriks ditulis dengan memberikan garis vertikal yang mengapit matriks tersebut,
misalnya determina matriks A ditulis sebagai |A|.
‡ Meskipun tanda determinan “terkesan” seperti tanda mutlak (absolut), namun determinan dapat bernilai negatif. 3-3






2221
1211
aa
aa










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa

4. Contoh 3.1
Cari determinan dari matriks A berikut ini: !
|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33.
= (4)(5)(–2) + (–2)(0)(6) + (3)(–1)(–1) – (3)(5)(6) – (4)(0)(–1) – (–2)(–1)(–2)
= –123
Atau dengan menggunakan metode basketweaving:
|A| = (4)(5)(–2) + (–2)(0)(6) + (3)(–1)(–1) – (3)(5)(6) – (4)(0)(–1) – (–2)(–1)(–2)
= –123
3-4













216
051
324

5. 3-5
Teorema 3.1
1) Apabila x = [x1, x2]T dan y = [y1, y2]T adalah dua vektor tak sejajar dalam R2 yang
mempunyai titik awal sama, maka luas area dari jajar genjang yang terbentuk
antara keduanya adalah nilai absolut dari determinan:
2) Apabila x = [x1, x2, x3]T, y = [y1, y2, y3]T, dan z = [z1, z2, z3]T adalah tiga vektor tak
sejajar dalam R3 yang mempunyai titik awal sama, maka volume dari paralel-
epipedum yang terbentuk dari ketiganya adalah nilai absolut dari determinan:
21
21
yy
xx
321
321
321
zzz
yyy
xxx

6. Contoh 3.2
Cari volume paralelepipedum yang terbentuk dari tiga vektor berikut: x = [–2, 1, 3]T,
y = [3, 0, –2]T, dan z = [–1, 3, 7]T.
Volume paralelepipedum adalah nilai absolut dari determinan ketiga vektor tersebut:
V =
= |0 + 2 + 27 – 0 – 12 – 21| = |–4| = 4
3-6Gambar 3.1. Jajar genjang yang terbentuk dari vektor x dan y Gambar 3.2. Paralelepipedum yang terbentuk dari vektor x, y, dan z
                       731322103333121702
731
203
312





7. 3-7
Definisi Minor
Apabila A adalah matriks berukuran n × n dengan n ≥ 2, submatriks
(i, j) dari matriks A (dilambangkan dengan Aij) adalah matriks
berukuran (n–1) × (n–1) yang didapat dari menghapus baris ke-i dan
kolom ke-j dari matriks A; maka minor (i, j) (dilambangkan dengan
|Aij|) adalah determinan dari submatriks Aij.
Definisi Kofaktor
Apabila A adalah matriks berukuran n × n dengan n ≥ 2, maka kofakor
(i, j) dari matriks A (dilambangkan dengan Aij) adalah (–1)i+j dikali
minor (i, j), atau: Aij = (–1)i+j |Aij|.

8. Contoh 3.3
Cari semua minor dan kofaktor dari matriks A = .
Total terdapat n2 minor untuk matriks berukuran n × n.
; A11 = (–1)1+1(3) = 3 ; A32 = (–1)3+2(–15) = 15
; A21 = (–1)2+1(–5) = 5 ; A13 = (–1)1+3(–8) = –8
; A31 = (–1)3+1(2) = 2 ; A23 = (–1)2+3(–31) = 31
; A12 = (–1)1+2(6) = –6 ; A33 = (–1)3+3(20) = 20
; A22 = (–1)2+2(28) = 28
3-8













672
340
125
3
67
34
A11 



5
67
12
A21 



2
34
12
A31 



6
62
30
A12 


28
62
15
A22 
15
30
15
A32 


8
72
40
A13 


31
72
25
A23 



20
40
25
A33 



9. Untuk n > 1, determinan didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian antara entri
yang terdapat pada baris terakhir matriks A (ani) dengan kofaktor yang bersesuaian
(Ani). Proses semacam ini disebut sebagai cofactor expansion (atau Laplace
expansion) pada baris terakhir suatu matriks.
Proses ini adalah rekursif karena kita dapat menemukan determinan suatu matriks
asalkan kita tahu determinan dari submatriks (yang berukuran lebih kecil).
3-9
Definisi
Apabila A adalah matriks berukuran n × n; maka determinan matriks A
atau yang dilambangkan dengan |A| adalah:
Jika n = 1, maka |A| = a11
Jika n > 1, maka |A| = an1An1 + an2An2 + … + annAnn

10. Contoh 3.4
Cari determinan dari matriks A berikut ini: !
|A| = a41A41 + a42A42 + a43A43 + a44A44
= 5(–1)4+1|A41| + 0(–1)4+2|A42| + 2(–1)4+3|A43| + –1(–1)4+4|A44|
= –5 |A41| + 0 – 2 |A43| – 1 |A44|
= –5(72) – 2(–67) – 1(6) = –232
3-10















1205
6312
1314
5023
       72362115
31
02
16
11
52
13
13
50
11
631
131
502
A 332313
41 





 
       67302314
14
23
16
14
53
11
11
52
12
612
114
523
A 332313
43 





 
       615912
14
23
13
34
03
11
31
02
12
312
314
023
A 332313
44 

 

11. Contoh 3.5
Verifikasi Teorema 3.2 dengan mencari determinan dari matriks A berikut ini:
A = . Dengan Teorema 3.2: |A| = (4)(3)(–1)(7) = –84
Dengan pengertian determinan:
|A| = a41A41 + a42A42 + a43A43 + a44A44
= 0(–1)4+1|A41| + 0(–1)4+2|A42| +
0(–1)4+3|A43| + 7(–1)4+4|A44|
= 7(–12) = –84
3-11
Teorema 3.2
Apabila A adalah matriks segitiga atas berukuran n × n, maka |A| = a11a22…ann.













7000
5100
6930
1024
Sebagai kasus khusus dari Teorema 3.2, untuk n ≥ 1, maka |In| = 1.
    32
23
31
13
44 A10A10
100
930
024
A 



   12A11 33
33
 

12. Contoh: Matriks A = mempunyai determinan |A| = –1,
maka determinan matriks |–2A| adalah: (–2)3|A| = (–8)(–1) = 8.
3-12
Teorema 3.3
Apabila A adalah matriks berukuran n × n dengan determinan |A| dan c adalah skalar
(bilangan real), maka:
1) Jika R1 adalah operasi baris elementer c(i) → (i), maka |R1(A)| = c|A|;
2) Jika R2 adalah operasi baris elementer c(i) + (j) → (j), maka |R2(A)| = |A|;
3) Jika R3 adalah operasi baris elementer (i) ↔ (j), maka |R3(A)| = –|A|.
Corollary 3.4
Apabila A adalah matriks berukuran n × n dan c adalah skalar (bilangan real), maka:
|cA| = cn|A|.











1716
233
120

13. Contoh matriks A = mempunyai determinan |A| = 7.
R1 = diperoleh dari –3(3) → (3), maka |R1| = –3|A| = –21
R2 = diperoleh dari 2(1) + (3) → (3), maka |R2| = |A| = 7
R3 = diperoleh dari (1) ↔ (2), maka |R3| = –|A| = –7
3-13












012
134
125













036
134
125












012
125
134













2312
134
125

14. 3-14
Contoh 3.6
Cari determinan matriks A = dengan operasi baris elementer!
R1: (1) ↔ (2) ; maka |R1| = –|A|
R2: 2(1) + (3) → (3) ; maka |R2| = |R1| = –|A|
R3: (–1/14)(2) → (2) ; maka |R3| = (–1/14) |R2| = (1/14) |A|
R4: (3) – 6(2) → (3) ; maka |R4| = |R3| = (1/14) |A|












602
231
8140












602
8140
231










1060
14810
231











1060
8140
231










74600
14810
231
Menurut Teorema 3.2, |R4| = (1)(1)(46/7) = 46/7.
Karena |R4| = (1/14) |A|, maka |A| = 14 |R4| = 92.

15. Cara lain untuk menghitung determinan suatu matriks |A| adalah dengan “membuat”
variabel P dengan nilai awal 1; kemudian meng-update nilainya setiap melakukan
operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks segitiga atas.
Nilai |A| dapat dicari dengan: |A| = (1/P) |R|, di mana |R| adalah nilai determinan dari
matriks segitiga atas yang terbentuk.
Akan diperagakan metode tersebut dengan mengambil Contoh 3.6
Karena nilai |R| = 46/7, maka nilai |A| = (1/P) |R| = 14 (46/7) = 92.
3-15
Operasi Baris Elementer Efek Nilai P
(1) ↔ (2) Mengalikan P dengan –1 –P
2(1) + (3) → (3) Tidak ada perubahan –P
(–1/14)(2) → (2) Mengalikan P dengan (–1/14) (1/14) P
(3) – 6(2) → (3) Tidak ada perubahan (1/14) P

16. Apabila A adalah matriks berukuran n × n
3-16
Teorema 3.5
Suatu matriks A berukuran n × n adalah nonsingular jika dan hanya jika |A| ≠ 0.
Corollary 3.6
Apabila A adalah matriks berukuran n × n; maka rank(A) = n jika dan hanya jika |A| ≠ 0.
A adalah matriks singular A adalah matriks nonsingular
Rank(A) ≠ n Rank(A) = n
|A| = 0 |A| ≠ 0
A tidak row equivalent terhadap In A row equivalent terhadap In
AX = O mempunyai solusi nontrivial AX = O mempunyai solusi trivial
AX = B tidak mempunyai solusi unik
(solusi tak berhingga atau tidak ada solusi)
AX = B mempunyai solusi unik,
yaitu X = A–1B

17. Implikasi dari Teorema 3.7 adalah AB dikatakan singular jika dan hanya A atau B
adalah singular. Hal ini dikarenakan apabila |AB| = 0, maka: |A| = 0 atau |B| = 0.
Contoh: Matriks A = mempunyai determinan |A| = –17;
dan matriks B = mempunyai determinan |B| = 16; maka |AB| = –272.
3-17
Teorema 3.7
Jika A dan B adalah matriks berukuran n × n; maka |AB| = |A| |B|.
Corollary 3.8
Apabila A adalah matriks nonsingular, maka |A–1| = 1/|A|.












413
205
123













302
124
011

18. Contoh: Matriks A = mempunyai determinan |A| = –33; maka |AT| = –33.
Teorema 3.9 mempunyai implikasi bahwa untuk menghitung determinan matriks
segitiga bawah adalah sama dengan cara menghitung determinan untuk matriks
segitiga atas.
Contoh: A = ; maka AT = , sehingga |A| = |AT| = (1)(2)(–4) = –8.
3-18
Teorema 3.9
Jika A matriks berukuran n × n; maka |A| = |AT|.












211
302
141










 433
022
001










 400
320
321

19. Proses semacam ini disebut sebagai cofactor expansion (atau Laplace expansion)
pada baris ke-i (1) dan pada kolom ke-j (2) suatu matriks.
Contoh: Matriks A mempunyai 16 kofaktor sebagai berikut:
3-19
Teorema 3.10
Jika A matriks berukuran n × n dengan n ≥ 2; maka:
1) ai1Ai1 + ai2Ai2 + … + ainAin = |A|, untuk setiap i, 1 ≤ i ≤ n
2) a1jA1j + a2jA2j + … + anjAnj = |A|, untuk setiap j, 1 ≤ j ≤ n.















1106
5231
1322
2105
A
A11 = –12;
A21 = 9;
A31 = –6;
A41 = –3;
A12 = –74;
A22 = 42;
A32 = –46;
A42 = 40;
A13 = 50;
A23 = –51;
A33 = 34;
A43 = –19;
A14 = 22;
A24 = –3;
A34 = 2;
A44 = –17.
Dengan baris kedua: |A| = a21A21 + a22A22 + a23A23 + a24A44 = 2(9) + 2(42) + 3(–51) + 1(–3) = –54
Dengan kolom kedua: |A| = a12A12 + a22A22 + a32A32 + a42A42 = 0(–74) + 2(42) + 3(–46) + 0(40) = –54
Dengan kolom keempat: |A| = a14A14 + a24A24 + a34A34 + a44A44 = –2(22) + 1(–3) + 5(2) + 1(–17) = –54

20. Perhatikan bahwa entri (i, j) dari adjoint matriks A adalah Aji bukan Aij.
Maka, bentuk umum dari adjoint matriks A adalah:
A =
3-20
Definisi
Apabila A adalah matriks berukuran n × n dengan n ≥ 2; maka adjoint
dari matriks A atau yang dilambangkan dengan A adalah suatu
matriks di mana entri (i, j)-nya adalah (j, i) cofactor dari A.
A11
A21 … An1
A12
A22 … An2
⁞ ⁞ ⁞
A1n
A2n … Ann
Contoh: Adjoint dari Matriks A adalah:
A =















1106
5231
1322
2105
A
















172322
19345150
40464274
36912

21. Contoh: apabila matriks A= dan A = ; maka:
AA = = = (|A|) |In
AA = = = (|A|) |In
3-21
Teorema 3.11
Jika A adalah matriks berukuran n × n dengan matriks adjoint A; maka:
AA = AA = (|A|) In.














1106
5231
1322
2105
















172322
19345150
40464274
36912














1106
5231
1322
2105
















172322
19345150
40464274
36912
















54000
05400
00540
00054
















172322
19345150
40464274
36912














1106
5231
1322
2105
















54000
05400
00540
00054

22. Contoh 3.7
Cari invers dari matriks B = !
Matriks adjoint dari matriks B adalah B =
Karena matriks B merupakan matriks segitiga atas, maka |B| = (–2)(1)(4) = –8.
B–1 =
3-22
Corollary 3.12
Apabila A adalah matriks nonsingular berukuran n × n dengan matriks adjoint A, maka:
A–1 = (1/|A|) × A.









 
400
010
302












200
080
304









 
























4100
010
83021
200
080
304
8
1

23. 3-23
Teorema 3.13
Apabila AB = X adalah sistem persamaan linear dengan n persamaan, n variabel,
dan |A| ≠ 0. Untuk 1 ≤ i ≤ n, Ai adalah matriks berukuran n × n yang didapatkan
dengan mengganti kolom ke-i matriks A dengan vektor B, maka solusi unik dari
sistem persamaan linear tersebut adalah:
A
A
;;
A
A
;
A
A 2
2
1
1
n
nxxx  
Perhatikan bahwa aturan Cramer tidak bisa digunakan untuk sistem persamaan
AB = X di mana determinan dari matriks koefisien |A| = 0.
Aturan Cramer sangat praktis digunakan untuk matriks koefisien berukuran 3 × 3
atau lebih kecil (mempunyai solusi unik) karena perhitungan determinan yang
terlibat bisa didapatkan dengan mudah.

24. Contoh 3.8
Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan aturan Cramer!
A = dengan |A| = –2; B =
A1 = |A1| = 8; A2 = |A2| = –6; A3 = |A3| = 4.
3-24








153
4322
91035
321
321
321
xxx
xxx
xxx













513
322
1035












1
4
9













511
324
1039













513
342
1095












113
422
935
4
2
8
A
A1
1 

x 3
2
6
A
A2
2 


x 2
2
4
A
A3
3 

x

25. Contoh: Diberikan Matriks A = . λ = 2 merupakan eigenvalue dari A.
Hal ini dikarenakan terdapat vektor taknol yang dapat menyebabkan AX = 2X;
misalkan vektor X = [4, 3, 0]T; sehingga:
Vektor X disebut eigenvector dari eigenvalue λ = 2.
3-25
Definisi
Diberikan matriks A berukuran n × n. Suatu bilangan real λ disebut
eigenvalue dari A jika dan hanya jika terdapat terdapat n-vektor
taknol X (disebut eigenvector) sehingga menyebabkan AX = λX.
† Dalam beberapa textbooks, eigenvalues sering disebut characteristic values
dan eigenvectors disebut characteristic vectors.













1486
1266
1284


































0
3
4
2
0
3
4
1486
1266
1284

26. Eigenspace Eλ untuk eigenvalue λ dari matriks A terdiri dari semua eigenvector dari
A yang bersesuaian dengan λ bersama dengan vektor 0 (karena A0 = 0 = λ0).
Contoh: Vektor Y = [8, 6, 0]T merupakan eigenvector yang bersesuaian dengan
eigenvalue λ = 2 dari matriks A karena memenuhi AY = 2Y.
Terlihat pada contoh sebelumnya bahwa vektor X = [4, 3, 0]T juga merupakan
eigenvector yang bersesuaian dengan eigenvalue λ = 2 dari matriks A, sehingga X
dan Y berada di dalam E2 dari matriks A.
3-26
Definisi
Diberikan matriks A berukuran n × n dan λ adalah eigenvalue dari A;
maka himpunan Eλ = {X | AX = λX} disebut eigenspace dari λ.


































0
6
8
2
0
6
8
1486
1266
1284
;
1486
1266
1284
A













 AY = 2Y 

27. 3-27
Teorema 3.14
Apabila A adalah matriks berukuran n × n; maka λ adalah eigenvalue dari matriks A
jika dan hanya jika |λIn – A| = 0.
Eigenvector yang bersesuaian dengan λ adalah solusi nontrivial dari sistem homogen
(λIn – A)X = 0.
Eigenspace Eλ merupakan himpunan solusi (lengkap) dari sistem homogen tersebut.
Definisi
Apabila A adalah matriks berukuran n × n, maka characteristic
polynomial dari matriks A adalah polynomial pA (x) = |xIn – A|.
Eigenvalue dari matriks A adalah akar-akar real dari characteristic
polynomial.

28. Contoh 3.9
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks A = !
Characteristic polynomial dari A adalah:
pA(x) = |xIn – A| =
= (x – 12)(x + 11) – (–2)(51)
= x2 – x – 30
= (x – 6)(x + 5)
Eigenvalues dari A adalah akar-akar real dari pA(x) = 0, yaitu λ1 = 6 dan λ2 = –5.
3-28








112
5112
112
5112
112
5112
0
0
















x
x
x
x

29. Contoh 3.9
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks A = !
Untuk λ1 = 6, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ1In – A)X1 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusi dari sistem homogen tersebut adalah: E6 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ1 = 6 adalah semua vektor
X1 = [17, 2]T yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol.
Kita bisa membuktikan bahwa: AX1 = 6X1.
3-29








112
5112























172
516
112
5112
10
01
6AIλ1 n










0
0
172
516








 
0
0
00
2171
  ccc ,217   .2,17 cc

30. Contoh 3.9
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks A = !
Untuk λ2 = –5, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ2In – A)X2 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusi dari sistem homogen tersebut adalah: E–5 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ2 = –5 adalah semua vektor
X2 = [3, 1]T yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol.
Kita bisa membuktikan bahwa: AX2 = –5X2.
3-30








112
5112























62
5117
112
5112
10
01
5AIλ2 n










0
0
62
5117








 
0
0
00
31
  ccc,3   .1,3 cc

31. Contoh 3.10
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks B = !
Characteristic polynomial dari B adalah:
pB(x) = |xIn – B| =
= x3 – 12x – 16
= (x + 2)2(x – 4)
Eigenvalues dari B adalah akar-akar real dari pB(x) = 0, yaitu λ1 = –2 dan λ2 = 4.
3-31













4218
2311
117
4218
2311
117
4218
2311
117
00
00
00




























x
x
x
x
x
x

32. Contoh 3.10
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks B = !
Untuk λ1 = –2, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ1In – B)X1 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusinya adalah: E–2 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ1 = –2 adalah semua vektor
X1 = [1, –7, 2]T yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol.
Kita bisa membuktikan bahwa: BX1 = –2X1. 3-32







































2218
2111
119
4218
2311
117
100
010
001
2BIλ1 n










 
0
0
0
000
2710
2101
   cccc ,27,2   .2,7,1  cc













4218
2311
117













0
0
0
2218
2111
119

33. Contoh 3.10
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks B = !
Untuk λ2 = 4, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ2In – B)X2 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusinya adalah: E4 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ2 = 4 adalah semua vektor
X2 = [1, –1, 2]T yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol.
Kita bisa membuktikan bahwa: BX2 = 4X2. 3-33







































8218
2711
113
4218
2311
117
100
010
001
4BIλ2 n










 
0
0
0
000
2110
2101
   cccc ,2,2   .2,1,1  cc













4218
2311
117













0
0
0
8218
2711
113

34. Contoh 3.11
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks C = !
Characteristic polynomial dari C adalah:
pC(x) = |xIn – C| =
= x3 – 4x2 + 4x
= x(x – 2)2
Eigenvalues dari C adalah akar-akar real dari pC(x) = 0, yaitu λ1 = 0 dan λ2 = 2.
3-34













1486
1266
1284
1486
1266
1284
1486
1266
1284
00
00
00




























x
x
x
x
x
x

35. Contoh 3.11
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks C = !
Untuk λ1 = 0, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ1In – C)X1 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusinya adalah: E0 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ1 = 0 adalah semua vektor
X1 = [–1, 1, 1]T yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol.
Kita bisa membuktikan bahwa: CX1 = 0X1. 3-35







































1486
1266
1284
1486
1266
1284
100
010
001
0CIλ1 n












0
0
0
000
110
101
   cccc ,,   .1,1,1  cc













0
0
0
1486
1266
1284













1486
1266
1284

36. Contoh 3.11
Cari eigenvalues dan eigenvectors yang bersesuaian dari matriks C = !
Untuk λ2 = 2, maka eigenvectors-nya adalah solusi nontrivial dari (λ2In – C)X2 = 0.
maka, augmented matrix-nya adalah:
Solusinya adalah: E2 = atau
Hal ini berarti eigenvector yang bersesuaian dengan λ2 = 2 adalah semua vektor
X2 = [4, 3, 0]T (apabila kita set b = 1, c = 0) dan X3 = [–2, 0, 1]T (apabila kita set
b = 0, c = 1) yang dikalikan dengan bilangan skalar taknol. 3-36







































1286
1286
1286
1486
1266
1284
100
010
001
2CIλ2 n










 
0
0
0
000
000
2341
   ccbcb ,,234     .,1,0,20,3,4  cbcb













0
0
0
1286
1286
1286













1486
1266
1284

37. Definisi di atas menjelaskan bahwa suatu matriks A dapat digantikan oleh matriks
diagonal B karena A dan B similar. Apabila A similar terhadap B, maka B juga
similar terhadap A.
3-37
Definisi
Matriks D dikatakan similar terhadap matriks A jika terdapat (bebe-
rapa) matriks nonsingular P sehingga D = P–1AP.
Perhatikan bahwa matriks yang similar harus persegi, mempunyai
ukuran yang sama, dan mempunyai determinan yang sama.
Teorema 3.15
A dan P adalah matriks berukuran n × n sedemikian hingga setiap kolom dari P
adalah eigenvector dari matriks A. Jika P adalah nonsingular, maka D = P–1AP
adalah matriks diagonal yang similar terhadap matriks A.
Diagonal utama ke-i atau dii dari D adalah eigenvalues dari eigenvector yang
membentuk kolom ke-i dari matriks P.

38. 3-38
Metode Diagonalisasi dari Matriks n × n (apabila mungkin)
1. Hitung pA(x) = |xIn – A|.
2. Cari semua akar-akar real dari pA(x) (yaitu semua solusi yang merupakan
bilangan real dari pA(x) = 0). Ini adalah eigenvalues dari A (λ1, λ2, …, λk).
3. Untuk setiap eigenvalues:
Buat augmented matrix [λmIn – A|0]. Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan
untuk menyelesaikan sistem persamaan homogen (λmIn – A)X = 0. Solusi yang
didapat sering disebut sebagai fundamental eigenvectors.
4. Apabila fundamental eigenvectors yang didapat kurang dari n, maka matriks A
tidak dapat dibuat bentuk matriks diagonalnya.
5. Selain dari kondisi no. 4, buat matriks P di mana tiap kolomnya merupakan n
fundamental eigenvectors. Matriks P adalah matriks nonsingular.
6. Kita bisa memverifikasi dengan cara menghitung matriks D = P–1AP (perhatikan
bahwa A = PDP–1.

39. Contoh: Matriks A = mempunyai eigenvalues λ1 = 0 dan λ2 = 2 (lihat
Contoh 3.11). Eigenvector dari λ1 = 0 adalah X1 = [–1, 1, 1]T dan eigenvector dari
λ2 = 2 adalah X2 = [4, 3, 0]T dan X3 = [–2, 0, 1]T. Ketiga eigenvectors ini akan
digunakan sebagai matriks P:
P = ; P–1 =
Maka, kita dapat menggunakan matriks A, P, dan P–1 untuk menghitung matriks D
yang similar terhadap matriks A:
D = P–1AP = =
3-39













1486
1266
1284









 
101
031
241













743
211
643









 
101
031
241













1486
1266
1284













743
211
643










200
020
000
λ1 = 0
λ2 = 2

40. 3-40
Contoh: Matriks B = mempunyai eigenvalues λ1 = –2 dan λ2 = 4 (lihat
Contoh 3.10). Fundamental eigenvector dari λ1 = –2 adalah X1 = [1, –7, 2]T dan
fundamental eigenvector dari λ2 = 4 adalah X2 = [1, –1, 2]T.
Karena hanya terdapat dua (< n) fundamental eigenvectors, maka matriks B
adalah nondiagonalizable matrix (tidak dapat dijadikan matriks diagonal).
Definisi
Matriks A yang berukuran n × n adalah diagonalizable jika dan hanya
jika terdapat matriks nonsingular P sehingga D = P–1AP adalah
matriks diagonal.













4218
2311
117

41. Definisi di atas mengandung implikasi bahwa untuk setiap eigenvalue, jumlah
fundamental eigenvector yang didapat selalu kurang atau sama dengan jumlah
algebraic multiplicity-nya.
Contoh: Matriks B = mempunyai pB(x) = (x + 2)2(x – 4)
(lihat Contoh 3.10), sehingga untuk eigenvalues λ1 = –2 mempunyai algebraic
multiplicity 2 dan untuk λ2 = 4 mempunyai algebraic multiplicity 1.
3-41
Definisi
Matriks A berukuran n × n dan λ adalah eigenvalue dari A. Apabila
(x – λ)k adalah pangkat tertinggi dari (x – λ) yang membagi pA(x),
maka k disebut algebraic multiplicity dari λ.













4218
2311
117

42. Apabila D adalah matriks diagonal, maka untuk setiap bilangan bulat positif k:
Contoh: D = , maka D12 =
E = , maka E9 =
3-42
 
 
  



























k
nn
k
kk
nn
k
d
d
d
d
d
d








00
00
00
00
00
00
D 22
11
22
11
  





















 40960
0531441
20
03
20
03
12
1212






 20
03











300
020
007
 

































1968300
05120
0040353607
300
020
007
300
020
007
9
9
99

43. Apabila A dan P adalah matriks persegi, maka untuk setiap bilangan bulat positif k:
Ak = PDkP–1.
Contoh 3.12
Hitung A11 apabila A = !
Setelah dilakukan perhitungan, diketahui P = , P–1 = ,
dan matriks D = P–1AP = . Karena A = PDP–1, maka: A11 = PD11P–1.
A11 = =
3-43
















2474318
1542712
93166
4174















7610
3401
3211
1112














0000
0200
0010
0001















1110
1021
127196
74114















7610
3401
3211
1112














0000
0204800
0010
0001















1110
1021
127196
74114
















1230072459512294
81994163958196
4101382004098
2050140992050

44. Metode diagonalisasi yang diperkenalkan untuk mencari eigenvalues terkadang
menimbulkan suatu masalah baru menyangkut pembulatan.
Contoh: Matriks A = , maka pA(x) = x2 – 2, sehingga eigenvalues-nya adalah:
λ1 = √2 dan λ2 = –√2. Apabila kita menggunakan 1.414 untuk menaksir √2, maka
ketika kita mencari eigenvectors yang bersesuaian:
Untuk λ1 = 1.414: [(1.414I2 – A)|0] =
Terlihat bahwa sistem persamaan homogen mempunyai solusi trivial, padahal
untuk mencari eigenvectors, kita membutuhkan solusi nontrivial.
Perhatikan bahwa untuk λ1 = √2, fundamental eigenvector-nya adalah X = [√2, 1]T.
3-44






01
20










0
0
414.11
2414.1
 





10
01

45. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Thank You for your Attention