Dokumen tersebut membahas tentang: 1. Definisi vektor dan operasi-operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian skalar terhadap vektor 2. Konsep panjang vektor dan unit vektor 3. Representasi vektor sebagai pergerakan titik dalam sistem koordinat 4. Hukum-hukum dasar aljabar linear terkait vektor seperti hukum distribusi dan asosiativitas 5. Contoh-contoh penerapan konsep vektor dalam

1. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Vectors and Matrices

2. • Fundamental operations with vectors;
• Linear combination of vectors;
• Dot product;
• Fundamental operations with matrices;
• Matrix multiplication.
1-2

3. Definisi Vektor
A real n-vector is an ordered sequence of n real numbers (sometimes
referred to as an ordered n-tuple of real numbers).
The set of all n-vectors is denoted Rn.
Contoh:
R2 adalah himpunan dari 2-vectors (ordered 2-tuples = ordered pairs) dari bilangan
real; misalnya [2, 3]T dan [1.444, –6.67]T.
R3 adalah himpunan dari 3-vectors (ordered 3-tuples = ordered triples) dari bilangan
real; misalnya [1, 2, 11]T dan [0, 68, –3]T.
† Cara menuliskan vektor:
• Tulisan tangan: huruf latin kecil dengan anak panah di atasnya
• Cetak/komputer: huruf latin kecil yang dicetak tebal v
‡ Secara konvensional, vektor ditulis sebagai vektor kolom,
sehingga vektor dengan anggota/entri/komponen 2 dan 3 ditulis dengan atau






3
2
v
v
simbol transpose
  .T
32v  1-3

4. Vektor yang semua entri (anggota)-nya bernilai 0 (nol) disebut vektor nol.
Contoh: Dalam R2 vektor nol-nya adalah: [0, 0]T dan [0, 0, 0]T dalam R3.
Dua buah vektor dalam Rn dikatakan sama jika dan hanya jika semua entri yang
bersesuaian nilainya sama; sehingga: [x1, x2, …, xn]T = [y1, y2, …, yn]T jika dan
hanya jika x1 = y1, x2 = y2, …, xn = yn.
Contoh 1.1
Cari a, b, dan c apabila [a, 3b, –2c]T = [3, 6, 10]T!
Karena kedua vektor sama, maka: a = 3; 3b = 6  b = 2; –2c = 10  c = –5.
Bilangan tunggal (seperti 2 atau –4 atau 7) sering disebut skalar untuk membedakan
dengan vektor.
1-4

5. Suatu vektor dalam R2 sering direpresentasikan sebagai pergerakan dari satu titik
ke titik lainnya dalam sistem koordinat dua dimensi.
Contoh: Dari titik awal (3, 2) ke titik akhir (1, 5), terjadi pengurangan dua unit pada
sumbu-x dan penambahan tiga unit pada sumbu-y; sehingga vektor yang me-
representasikan pergerakan ini adalah [–2, 3]T.
Perhatikan!
Komponen dari suatu vektor ditulis dalam kurung siku [];
sedangkan posisi/koordinat dari suatu titik ditulis dalam
tanda kurung ().
Nama titik dalam suatu sistem koordinat ditulis dengan
huruf kapital yang dicetak miring, misalnya A(3, 2).
Gambar 1.1. Pergerakan yang direpresentasikan oleh vektor [–2, 3]T
1-5

6. Suatu vektor dalam R3 sering direpresentasikan sebagai pergerakan dari satu titik
ke titik lainnya dalam sistem koordinat tiga dimensi.
Contoh: Dari titik awal (2, 3, –1) ke titik akhir (4, 1, 5), terjadi penambahan dua unit
pada sumbu-x, pengurangan dua unit pada sumbu-y, dan penambahan enam unit
pada sumbu-z; sehingga vektor yang merepresentasikan ini adalah [2, –2, 6]T.
Memvisualisasikan vektor dalam R4 (atau yang
lebih tinggi) adalah tidak mungkin karena
titik terletak pada sistem koordinat empat
dimensi (atau yang lebih tinggi).
Namun hal ini bisa dilakukan, sehingga [2, 7, –3,
10]T merepresentasikan pergerakan dari titik
(5, –6, 2, –1) ke (7, 1, –1, 9) dalam sistem
koordinat empat dimensi.
Gambar 1.2. Pergerakan yang direpresentasikan oleh vektor [2, –2, 6]T
T
bisa dibayangkan; tidak bisa digambarkan
1-6

7. Definisi
Panjang (atau juga disebut sebagai norm atau besar) dari suatu
vektor a = [a1, a2, …, an]T dalam Rn adalah ‖a‖ = .
22
2
2
1 naaa  
Contoh 1.2
Cari panjang dari vektor a = [4, –3, 0, 2]T!
‖a‖ =
Setiap vektor yang mempunyai panjang 1 (satu) disebut unit vector.
Contoh: [3/5, –4/5]T adalah unit vector dalam R2.
Standard unit vector adalah unit vector yang satu komponennya bernilai 1 (satu)
dan lainnya bernilai 0. Contoh: Dalam R3 terdapat tiga standar unit vectors, yaitu:
i = [1, 0, 0]T, j = [0, 1, 0]T, dan k = [0, 0, 1]T.
  .29409162034 2222

1-7

8. Proses “membagi” vektor dengan panjangnya untuk mendapatkan unit vector disebut
proses normalisasi vektor.
Contoh 1.3
Cari unit vector dari vektor x = [2, 3, –1, 1]T!
 
 
 
TTT





 






15
1
,
15
1
,
15
3
,
15
2
15
1,1,3,2
1132
1,1,3,2
x
x
u
2222
Teorema 1.1
Jika x adalah vektor taknol dalam Rn, maka adalah unit vector.
x
x
u 
1-8

9. Teorema 1.2
Jika x Rn dan c adalah skalar (bilangan real),
maka ‖cx‖ = |c| ‖x‖; atau dengan kata lain:
Panjang vektor cx adalah nilai absolut dari c
dikalikan dengan panjang vektor x.
Contoh: Jika x = [4, –5]T, maka 2x = [8, –10]T; 3x = [12, –15]T ; dan 0.5x = [2, –5/2]T.
Dalam Rn, perkalian vektor dengan skalar c akan
memperpanjang vektor tersebut apabila |c| > 0
dan akan memperpendek vektor apabila |c| < 0.
Definisi
Jika x = [x1, x2, …, xn]T adalah vektor dalam Rn, dan c adalah skalar
(bilangan real), maka cx (perkalian skalar antara vektor x dengan c),
adalah suatu vektor [cx1, cx2, …, cxn]T.
Gambar 1.3. Perkalian skalar dengan vektor [4, –5]T

1-9

10. Contoh:
• Vektor [1, –3, 2]T dan [3, –9, 6]T adalah paralel/sejajar dalam arah yang sama
(same direction) karena [3, –9, 6]T = 3[1, –3, 2]T atau [1, –3, 2]T = ⅓ [3, –9, 6]T.
• Vektor [–2, 4, 0, 10]T dan [4, –8, 0, –20]T adalah paralel/sejajar dalam arah yang
berlawanan karena [4, –8, 0, –20]T = –2[–2, 4, 0, 10]T.
Definisi
Dua vektor taknol x dan y dalam Rn berada dalam arah yang sama jika
dan hanya jika terdapat suatu bilangan real positif sehingga y = cx.
Dua vektor taknol x dan y dalam Rn berada dalam arah yang berlawanan
jika dan hanya jika terdapat suatu bilangan real negatif sehingga y = –cx.
Dua vektor taknol dikatakan paralel/sejajar jika dan hanya jika keduanya
berada dalam arah yang sama atau dalam arah yang berlawanan.
1-10

11. Definisi
Jika x = [x1, x2, …, xn]T dan y = [y1, y2, …, yn]T adalah vektor dalam
Rn, maka x + y atau penjumlahan vektor x dan y adalah [x1 + y1, x2 +
y2, …, xn + yn]T dalam Rn.
Gambar 1.4. Contoh penjumlahan vektor dalam R2 Gambar 1.5. Contoh pengurangan vektor dalam R2
Apabila –y dianggap sebagai perkalian skalar –1y, maka pengurangan vektor y
terhadap vektor x dapat didefinisikan sebagai penjumlahan dua buah vektor
tersebut sebagai berikut: x – y = x + (–y).
Perhatikan!
Dua buah vektor tidak dapat
ditambahkan (atau dikurangkan)
kecuali keduanya mempunyai jumlah
komponen atau anggota yang sama!
1-11

12. Teorema 1.4
Jika x = [x1, x2, …, xn]T adalah vektor dalam Rn dan c adalah skalar (bilangan real);
sehingga apabila cx = 0, maka x = 0 atau c = 0.
Teorema 1.3
Jika x = [x1, x2, …, xn]T, y = [y1, y2, …, yn]T, dan z = [z1, z2, …, zn]T adalah vektor dalam
Rn; c dan d adalah skalar (bilangan real), 0 adalah vektor 0 dalam Rn; maka:
1) x + y = y + x Hukum komutatif penjumlahan
2) x + (y + z) = (x + y) + z Hukum asosiatif penjumlahan
3) 0 + x = x + 0 = x Vektor 0 sebagai elemen identitas dari penjumlahan
4) x + (–x) = (–x) + x = 0 Vektor (–x) elemen invers dari penjumlahan
5) c(x + y) = cx + cy Hukum distributif perkalian skalar untuk penjumlahan
6) (c + d)x = cx + dx Hukum distributif perkalian skalar untuk penjumlahan
7) (cd)x = c(dx) Asosiativitas perkalian skalar
8) 1x = x 1 merupakan elemen identitas untuk perkalian skalar
1-12

13. Contoh 1.4
Seorang laki-laki berenang di sungai dengan kecepatan 5 km/jam ke arah timur. Jika
arus air sungai mempunyai kecepatan 3 km/jam ke arah barat laut, berapa
resultan (total) kecepatan-nya (arah dan besar)?
v1 = 5 ke arah timur
v1 = [5, 0]T
v2 = 3 ke arah barat laut
v2 = [3 cos 135°, 3 sin 135°]T
v2 = [–(3√2)/2, (3√2)/2]T
R = v1 + v2 = [5 – ((3√2)/2), (3√2)/2]T
R ≈ [2.88, 2.12]T
‖R‖ ≈ 3.58 km/jam
TT
T
1-13

14. Contoh 1.5
Suatu benda dengan massa 5 kg ditarik oleh dua buah gaya: F1 = 10 N pada arah
[–2, 1, 2]T dan F2 = 20 N pada arah [6, 3, –2]T . Berapa percepatan yang dialami
oleh benda tersebut?
Pertama kita harus me-normalisasi kedua vektor arah tersebut agar tidak mem-
pengaruhi besarnya vektor gaya:
F1 = F2 =
F = F1 + F2 =
a = F/m = ‖a‖ = 3.18 m/s2
  
 
  T
T
T
21,2,
3
10
21,2,
21,2,10


   
 
  T
T
T
2,3,6
7
20
2,3,6
2,3,620



T






21
20
,
21
250
,
21
220
TT





















21
4
,
21
50
,
21
44
21
20
,
21
250
,
21
220
5
1
1-14

15. Setiap vektor dalam Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari standard unit
vectors: e1 = [1, 0, 0, …, 0]T, e2 = [0, 1, 0, …, 0]T, …, en = [0, 0, 0, …, 1]T.
Contoh: vektor [3, –2, 5]T dalam R3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i,
j, dan k: 3[1, 0, 0]T –2[0, 1, 0]T + 5[0, 0, 1]T = 3i – 2j + 5k.
Untuk satu buah vektor u, maka satu-satunya kombinasi linearnya adalah cu.
Untuk dua buah vektor u dan v, maka kombinasi linearnya adalah cu + dv.
Untuk tiga buah vektor u, v, dan w, maka kombinasi linearnya adalah cu + dv + ew.
Definisi
Jika v1, v2, …, vk adalah vektor dalam Rn, maka v adalah kombinasi
linear dari v1, v2, …, vk jika dan hanya jika terdapat bilangan skalar
c1, c2, …, ck yang memungkinkan v = c1v1 + c2v2 + … + ckvk.
1-15

16. Apabila c, d, dan e adalah skalar (bilangan real), dan u, v, dan w adalah vektor
taknol, maka:
• Kombinasi linear dari semua kemungkinan kombinasi yang mungkin dari cu
adalah memenuhi garis.
• Kombinasi linear dari semua kemungkinan kombinasi yang mungkin dari cu + dv
adalah memenuhi bidang.
• Kombinasi linear dari semua kemungkinan kombinasi yang mungkin dari cu + dv
+ ew adalah memenuhi ruang tiga dimensi.
Gambar 1.6. Kombinasi linear dari vektor u Gambar 1.5. Kombinasi linear dari vektor u dan v dalam R2
1-16

17. Definisi
Jika x = [x1, x2, …, xn]T dan y = [y1, y2, …, yn]T adalah vektor dalam
Rn, maka hasil kali titik (dot/inner product) dari x dan y adalah:
x ·y = x1y1 + x2y2 + … + xnyn = 

n
k
kk yx
1
.
Contoh 1.6
Temukan hasil dot product dari kedua vektor berikut ini: [2, –4, 3]T dan [1, 5, –2]T.
Hasil dot product = (2)(1) + (–4)(5) + (3)(–2) = –24.
Perhatikan!
• Hasil dari dot product adalah skalar
• Dot product hanya berlaku untuk dua vektor yang
mempunyai jumlah komponen atau anggota yang sama!
1-17

18. Teorema 1.5
Jika x = [x1, x2, …, xn]T, y = [y1, y2, …, yn]T, dan z = [z1, z2, …, zn]T adalah vektor dalam
Rn, c adalah skalar (bilangan real); maka:
1) x ·y = y ·x Hukum komutatif dot product
2) x ·x = ‖x‖2 ≥ 0 Hubungan antara dot product dengan panjang vektor
3) x ·x = 0 jika dan hanya jika x = 0
4) c(x ·y) = (cx) ·y = x ·(cy) Hubungan antara perkalian skalar dengan dot product
5) x ·(y + z) = (x ·y) + (x ·z) Hukum distributif dot product untuk penjumlahan
6) (x + y) ·z = (x ·z) + (y ·z) Hukum distributif dot product untuk penjumlahan
Teorema 1.6 (Pertidaksamaan Segitiga/Pertidaksamaan Minkowski)
Jika x = [x1, x2, …, xn]T dan y = [y1, y2, …, yn]T adalah vektor dalam Rn; maka:
‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖.
1-18

19. Teorema 1.7 (Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz)
Jika x = [x1, x2, …, xn]T dan y = [y1, y2, …, yn]T adalah vektor dalam Rn; maka:
|x ·y| ≤ (‖x‖)(‖y‖).
Contoh 1.7
Verifikasi pertidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk vektor x = [–1, 4, 2, 0, –3]T dan
y = [2, 1, –4, –1, 0]T.
x ·y = (–1)(2) + (4)(1) + (2)(–4) + (0)(–1) + (–3)(0) = –6
‖x‖ =
‖y‖ =
|x ·y| ≤ (‖x‖)(‖y‖)  |–6| ≤  6 ≤ (≈ 25.7)  terbukti
    3030241 22222

    2201412 22222

  2230 1652
1-19

20. Contoh 1.8
Hitung sudut di antara dua vektor berikut ini: x = [6, –4]T dan y = [–2, 3]T.
θ ≈ cos–1(–0.9231) ≈ 157.39° atau 2.75 radian.
Definisi
Jika x dan y adalah vektor taknol dalam Rn (untuk n ≥ 2), maka sudut
di antara dua vektor tersebut adalah sudut unik yang besarnya di
antara 0 dan π radian; cosinus-nya adalah: (x ·y) / ((‖x‖)(‖y‖)).
  
     
       9231.0
13
12
1352
24
3246
3426
yx
yx
cos
2222








 




 




1-20

21. Teorema 1.8
Jika x = [x1, x2, …, xn]T dan y = [y1, y2, …, yn]T adalah vektor dalam Rn, θ adalah sudut
di antara x dan y; maka:
1) x ·y > 0 jika dan hanya jika 0 ≤ θ < π/2 radian (0° atau sudut lancip)
2) x ·y = 0 jika dan hanya jika θ = π/2 radian (sudut siku-siku 90°)
Kedua vektor tegak lurus (perpendicular/orthogonal)
3) x ·y < 0 jika dan hanya jika x = π/2 < θ < π radian (180° atau sudut tumpul)
Contoh 1.9
Verifikasi Teorema 1.8 untuk dua vektor berikut ini: x = [2, –5]T dan y = [–10, –4]T .
x ·y = (2)(–10) + (–5)(–4) = 0.
Dikarenakan x · y = 0, maka sudut di antara x dan y
adalah sudut siku-siku (kedua vektor saling tegak lurus)
 terbukti
1-21

22. Teorema 1.9
Jika x dan y adalah vektor taknol dalam Rn; maka x dan y akan paralel/sejajar jika
dan hanya jika x ·y = ± ‖x‖ ‖y‖;
yakni nilai cos θ = ±1, di mana θ adalah sudut di antara x dan y
Contoh 1.10
Buktikan bahwa dua vektor x = [8, –20, 4]T dan y = [6, –15, 3]T adalah paralel!
x ·y = (8)(6) + (–20)(–15) + (4)(3) = 360
‖x‖ = ‖y‖ =
‖x‖ ‖y‖ =
Karena x ·y = ‖x‖ ‖y‖, maka kedua vektor paralel  terbukti
Perhatikan bahwa kedua vektor juga paralel sesuai dengan definisi karena:
[8, –20, 4]T = 4/3 [6, –15, 3]T
  4804208 222
   2703156 222

360129600270480 
1-22

23. Contoh 1.11
Cari proyeksi vektor b = [3, 1, –7]T pada vektor a = [4, 0, –3]T!
p = projab =
Definisi
Jika a dan b adalah vektor dalam Rn (a ≠ 0), maka proyeksi vektor b
pada vektor a adalah:
p = projab =   a
a
ba
a
a
cosb 2 






 

        
 
   
T
TT






























 









 
25
99
0,,
25
132
30,,4
25
33
30,,4
304
731034
a
a
ba
222
2
1-23

24. Teorema 1.10
Jika a adalah vektor taknol dalam Rn dan b adalah vektor dalam Rn; maka b dapat
didekomposisi sebagai jumlah dari dua komponen vektor: projab dan b – projab;
di mana yang pertama (apabila taknol) adalah paralel terhadap a dan yang kedua
adalah tegak lurus terhadap a.
Contoh 1.12
Dengan menggunakan vektor pada Contoh 1.11,
buktikan bahwa b – p adalah tegak lurus ter-
hadap a!
b – p = [3, 1, –7]T – [132/25, 0, –99/25]T = [–57/25, 1, –76/25]T
(b – p) ·a =
Karena hasil dot product (b – p) ·a = 0, maka kedua vektor tegak lurus  terbukti
       0
25
228
25
228
3
25
76
014
25
57













1-24

25. Contoh 1.13
Suatu benda ditarik oleh sebuah gaya sebesar 8 N dengan arah [1, –2, 1]T. Benda
tersebut ternyata bergerak sepanjang 5 m ke arah [2, –1, 0] T. Hitung usaha yang
dilakukan!
Pertama kita harus me-normalisasi kedua vektor arah tersebut agar tidak mem-
pengaruhi besarnya vektor gaya dan jarak.
F = d =
Usaha yang dilakukan adalah:
W= F ·d
=
  
 
  T
T
T
12,,1
6
8
12,,1
12,,18


   
 
  T
T
T
0,1,2
5
5
0,1,2
0,1,25



                  J2.29
30
440
011221
30
40
0,1,2
5
5
12,,1
6
8












 TT
1-25

26. Contoh:
Matriks 2 × 3
Definisi Matriks
An m × n matrix is a rectangular array of real numbers, arranged in m
rows and n columns.
Element/anggota dari suatu matriks disebut entri;
m × n disebut ukuran dari suatu matriks.









504
132
A













35
71
24
B
Matriks 3 × 2
 42C 
Matriks 1 × 2
 5D 
Matriks 1 × 1
† Cara menuliskan matriks:
Huruf latin kapital yang dicetak tebal A, B (bisa juga ditambah dengan subscript: A1, A2).
‡ Ukuran dari matriks dinyatakan dengan menyebutkan jumlah baris terlebih dahulu, kemudian jumlah kolomnya. 1-26

27. • Suatu matriks berukuran m × n dapat dianggap sebagai:
– kumpulan m vektor baris yang masing-masing mempunyai n komponen;
– kumpulan n vektor kolom yang masing-masing mempunyai m komponen.
• aij merepresentasikan entri suatu matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j.
Entri a11 = 2 a22 = 0
Entri a21 = 4 a23 = –5
• Diagonal utama suatu matriks A adalah a11, a22, a33, …, yang terletak pada suatu
garis diagonal menurun dari kiri atas ke kanan bawah.
• Mmn merupakan himpunan matriks dengan entri bilangan real yang mempunyai
baris m dan kolom n.
• Dua buah matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika semua entri yang
bersesuaian nilainya sama; sehingga: A = B jika aij = bij untuk semua i (1 ≤ i ≤ m)
dan untuk semua j (1 ≤ j ≤ n).







232221
131211
A
aaa
aaa









504
132
A
1-27

28. Contoh penggunaan matriks dalam menampilkan data:
GDP : Gross Domestic Product
CPI : Corruption Perception Index
HDI : Human Development Index
1-28

29. • Matriks persegi (square matrix) adalah matriks yang berukuran n × n
(mempunyai jumlah baris dan kolom sama).
• Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua entri kecuali diagonal
utama bernilai 0 (nol).
• Matriks identitas adalah matriks diagonal yang semua diagonal utamanya
bernilai 1 (satu). Sebuah n × n matriks identitas dinyatakan sebagai In.





 

12
42
B














013
212
193
V







10
02
C











800
010
003
F
Dn merupakan himpunan matriks diagonal
yang mempunyai baris dan kolom n.







10
01
I2











100
010
001
I3
1-29

30. • Matriks segitiga atas (upper triangular) adalah matriks persegi yang semua
entri di bawah diagonal utamanya bernilai 0 (nol).
• Matriks segitiga bawah adalah (lower triangular) adalah matriks persegi yang
semua entri di atas diagonal utamanya bernilai 0 (nol).
• Matriks nol adalah matriks yang semua entrinya bernilai 0 (nol). Sebuah m × n
matriks nol dinyatakan sebagai Omn; sedangkan On menyatakan matriks nol
dengan ukuran n × n.







10
52
P











600
110
883
Q







15
01
R











831
018
003
S
Ln merupakan himpunan matriks segitiga bawah
yang mempunyai baris dan kolom n.







00
00
O2 






000
000
O23
Un merupakan himpunan matriks segitiga atas
yang mempunyai baris dan kolom n.
1-30

31. Definisi
Jika A dan B adalah matriks berukuran m × n, maka penjumlahan
matriks A dan B atau A + B adalah matriks berukuran m × n di mana
entrinya sama dengan aij + bij.
Contoh:
Apabila A = dan B = , maka A + B =
Perhatikan!
Dua buah matriks tidak dapat ditambahkan kecuali keduanya berukuran sama, sehingga:
A = dan B = tidak dapat dijumlahkan.











600
110
883












122
119
082












722
229
8165








541
032












14
52
76
1-31

32. Definisi
Jika A adalah matriks berukuran m × n dan c adalah bilangan skalar,
maka matriks cA adalah perkalian skalar matriks di mana entrinya
sama dengan caij.
Contoh:
Apabila A = dan c = 2, maka 2A =
Apabila –A dianggap sebagai perkalian skalar –1y, maka pengurangan matriks B
terhadap matriks A dapat didefinisikan sebagai penjumlahan dua buah matriks
tersebut sebagai berikut: A – B = A + (–B).
Contoh:
Apabila D = dan E = , maka D – E =











600
110
883











1200
220
16166






 246
121





 
101
210






 147
311
1-32

33. Seperti halnya pada kombinasi linear dari vektor, jumlah dari perkalian skalar
matriks disebut sebagai kombinasi linear dari matriks.
Contoh:
Apabila P = , Q = , dan R =
maka 2P + Q – 3R adalah kombinasi linear dari ketiga matriks di atas, yaitu:














00192
01220
01215
21242















10012
12321
22161
01100













10031
00121
11210
12000





























































202103
14402
511511
15584
30093
00363
33630
36000
10012
12321
22161
01100
002184
02440
024210
42484
1-33

34. Teorema 1.11
Jika A, B, dan C adalah matriks berukuran m × n; c dan d adalah skalar, maka:
1) A + B = B + A Hukum komutatif penjumlahan
2) A + (B + C) = (A + B) + C Hukum asosiatif penjumlahan
3) Omn + A = A + Omn = A Matriks Omn sebagai elemen identitas penjumlahan
4) A + (–A) = (–A) + A = Omn Matriks (–A) sebagai elemen invers dari penjumlahan
5) c(A + B) = cA + cB Hukum distributif perkalian skalar untuk penjumlahan
6) (c + d)A = cA + dA Hukum distributif perkalian skalar untuk penjumlahan
7) (cd)A = c(dA) Asosiativitas perkalian skalar
8) 1(A) = A 1 merupakan elemen identitas untuk perkalian skalar
1-34

35. Teorema 1.12
Jika A dan B adalah matriks berukuran m × n; c adalah skalar, maka:
1) (AT)T = A
2) (A + B)T = AT + BT
3) (cA)T = c(A)T
Contoh:
Jika A = dan B = , maka AT = dan BT =
Definisi
Jika A adalah matriks berukuran m × n, maka transpose dari matriks A
AT adalah matriks dengan ukuran n × m, di mana entri (i, j)-nya
sama dengan entri (j, i) dari matriks A.











600
110
883












14
52
76










 618
018
003








157
426
1-35

36. Contoh:
Matriks A = adalah matriks symmetric karena AT = .
Matriks B = adalah matriks skew-symmetric karena B = –BT.
Definisi
Suatu matriks A adalah symmetric jika dan hanya jika A = AT.
Suatu matriks A adalah skew-symmetric jika dan hanya jika A = –AT .












304
016
462












304
016
462
















0456
4023
5201
6310
Perhatikan bahwa karena matriks diagonal adalah sama dengan
transpose-nya, maka matriks diagonal adalah symmetric. 1-36

37. Contoh 1.14
Dekomposisikan matriks A = ke dalam matriks S dan V!
S = ½ (A + AT) =
V = ½ (A – AT) =
Teorema 1.13
Setiap matriks persegi A dapat didekomposisi secara unik sebagai jumlah dari dua
matriks: S dan V, di mana S adalah matriks symmetric dan V adalah matriks skew-
symmetric.
A = S + V; di mana S = ½ (A + AT) dan V = ½ (A – AT)












201
736
524






























 













2272
2734
244
275
032
164
201
736
524
2
1
































 













0273
2702
320
275
032
164
201
736
524
2
1
Perhatikan bahwa A = S + V;
S adalah matriks symmetric
dan V adalah matriks skew-
symmetric.
1-37

38. Definisi
Trace suatu matriks persegi A adalah jumlah dari diagonal utamanya.
Contoh: Trace dari matriks A = adalah –1 + 4 + (–6) = –3.
Teorema 1.14
Jika A dan B adalah matriks persegi; c adalah skalar, maka:
1) tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
2) tr(cA) = c ·tr(A)
3) tr(A) = tr(AT)
   

n
i
nnii aaaa
1
2211Atr 












6126
2411
301
1-38

39. Definisi
Jika A adalah matriks berukuran m × n dan B adalah matriks berukur-
an n × p, maka hasil perkalian keduanya, C = AB, adalah matriks
berukuran m × p, di mana entri (i, j) adalah dot product dari baris
ke-i matriks A dan kolom ke-j matriks B; yaitu:
di mana




















mnmm
inii
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa






21
21
22221
11211















npnjnn
pj
pj
bbbb
bbbb
bbbb




21
222221
111211




















mpmjmm
ipijii
pj
pj
cccc
cccc
cccc
cccc






21
21
222221
111211
.
1
2211 

n
k
kjiknjinjijiij babababac 
1-39

40. Contoh 1.15
Cari matriks C = AB, di mana: A = dan B = .
C =
C =








063
415













4352
0167
2849
                        
                       







400623301683506643207693
440125341185546145247195








6182415
6273430
Perhatikan bahwa matriks A dan B dapat dikalikan (C = AB) jika
dan hanya jika jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B.
Ukuran matriks C yang merupakan hasil perkalian matriks A dan
B adalah: jumlah baris sama dengan jumlah baris matriks A
dan jumlah kolom sama dengan jumlah kolom matriks B.
A · B = C
(m × n) (n × p) (m × p)
==
=
1-40

41. Contoh 1.16
Apabila D = ; E = ; F = ; G = ; H =
Carilah perkalian dari dua matriks yang mungkin!
DE = ; DH = ; GF =
EE = ; EH = ; HE = ; HH =
FG = ; FD =












34
50
12
 124




 
20
61











5
1
7






31
05












304
100
142












917
155
39













51020
124
71428





 
40
181








62
181








121
305






92
025
 25  312
1-41

42. Dari Contoh 1.16 dapat diambil kesimpulan bahwa “urutan” matriks dalam suatu
perkalian matriks sangatlah penting. Selain itu:
• Kedua perkalian matriks dapat didefinisikan: EH dan HE; GF dan FG.
• Satu perkalian matriks dapat didefinisikan, yang lain tidak: DE dapat, ED tidak.
• Kedua perkalian matriks dapat didefinisikan namun dengan ukuran matriks yang
tidak sama: FG matriks 1 × 1, GF matriks 3 × 3.
• Kedua perkalian matriks dapat didefinisikan dengan ukuran matriks sama, namun
entrinya berbeda: EH dan HE.
Apabila AB = BA, dikatakan bahwa “A dan B commute” atau “A commutes with B”.
Namun hukum komutatif tidak berlaku pada perkalian matriks.
Matriks identitas I dikatakan matriks identitas perkalian karena:
• Apabila A matriks berukuran m × n, maka: AIn = ImA = A.
• Apabila A matriks berukuran n × n, maka: AIn = InA = A  A dan In commute.
1-42

43. Contoh 1.17
Empat DVD: W, X, Y, dan Z yang dijual oleh suatu perusahaan dikirimkan dari tiga gudang
yang berbeda. Pembeli akan dikenai biaya kirim sesuai dengan jenis DVD-nya. Jumlah
DVD yang terjual ditunjukkan oleh matriks A sedangkan biaya kirim dan keuntungan
ditunjukkan oleh matriks B (dalam puluh ribu rupiah). Hitung total biaya kirim dan
keuntungan yang didapatkan!
A = ; B =
Total biaya kirim dan keuntungan ditunjukkan oleh matriks AB:
AB =










220340200170
240320180210
190240160130
3Gudang
2Gudang
1Gudang
Z
Y
X
W
3Gudang
2Gudang
1Gudang
W X Y Z
Biaya Profit






2
3
4
3






2
4
2
3
Total Biaya Total Profit





2770
2790
2130





2710
2750
2050
1-43

44. Untuk membuat kombinasi linear dari baris atau kolom suatu matriks, konsep
perkalian matriks dapat diaplikasikan.
Contoh 1.18
Apabila matriks A =
Buat kombinasi linear dari: 7(baris
pertama matriks A) – 8(baris kedua
matriks A) + 9(baris ketiga matriks A)!
Contoh 1.19
Buat kombinasi linear dari: 10(kolom
pertama matriks A) – 11(kolom kedua
matriks A) + 12(kolom ketiga matriks
A) – 13(kolom keempat matriks A)!
 
 5779147
6352
3141
5623
987





















































189
27
59
13
12
11
10
6352
3141
5623













6352
3141
5623
1-44

45. Perhatikan:
• Jika AB = AC (di mana A ≠ O), maka belum tentu B = C; atau
• Jika AE = CE (di mana A ≠ O), maka belum tentu A = C.
• Jika AD = O, maka belum tentu benar bila A = O atau D = O.
Buktikan pernyataan di atas dengan:
A = ; B = ; C = ; D =
Teorema 1.15
Jika A, B, dan C adalah matriks yang dapat didefinisikan jumlah dan perkaliannya;
c adalah skalar, maka:
1) A(BC) = (AB)C Hukum asosiatif perkalian
2) A(B + C) = AB + AC Hukum distributif perkalian matriks untuk penjumlahan
3) (A + B)C = AC + BC Hukum distributif perkalian matriks untuk penjumlahan
4) c(AB) = (cA)B = A(cB) Hukum asosiatif perkalian skalar dan matriks






36
12






25
01






 03
13








42
21
1-45

46. Teorema 1.16
Jika A adalah matriks persegi; s dan t bilangan bulat positif, maka:
1) As+t = (As) (At)
2) (As)t = Ast = (At)s
Contoh: Apabila A = , maka: A2 = (A)(A) = =
A3 = (A2)A = =
Definisi
Jika A adalah matriks persegi berukuran n × n, maka bentuk pangkat
(eksponen) positif dari A diberikan oleh:
A0 = In ; A1 = A ; dan untuk k ≥ 2: Ak = (Ak–1)(A).






 34
12






 34
12






 34
12






 520
50






 520
50






 34
12








560
1520
1-46

47. Contoh 1.20
Verifikasi Teorema 1.17 untuk matriks A = dan matriks B =
AB = ; (AB)T = ; BT = ; AT =
BTAT = = (AB)T  terbukti
Perhatikan bahwa (AB)T ≠ ATBT, karena ATBT =
Teorema 1.17
Jika A adalah matriks berukuran m × n dan B adalah matriks berukuran n × p, maka:
(AB)T = BTAT





 
31
42






 51
23





 
170
1610






 1716
010





 
52
13






 34
12






 196
38






 1716
010
1-47

48. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Thank You for your Attention