Dokumen tersebut membahas tentang menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi objektif dalam masalah program linier. Langkah-langkahnya meliputi menentukan daerah penyelesaian kendala, titik batas, membuat garis selidik, dan menguji titik batas untuk menentukan nilai optimum fungsi objektif. Metode garis selidik dan uji titik batas digunakan sebagai contoh penyelesaian masalah program linier untuk

1. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM
(MAKSIMUM/MINIMUM) FUNGSI
OBJEKTIF DARI MASALAH
PROGRAM LINIER (SPtLDV)
I Nengah Agus Suryanatha, S.Pd.Gr., M.Pd.

2. Masalah Program Linier
PROGRAM LINIER

3. Masalah Program Linier
• Masalah Program Linier : suatu permasalahan untuk
menentukan nilai masing-masing variabel guna
mengoptimumkan (memaksimumkan/meminimumkan)
fungsi objektif dengan mempertimbangkan kendala-
kendala yang ada, yang dapat dinyatakan dalam suatu
persamaan ataupun pertidaksamaan.

4. Masalah Program Linier
• Masalah Program Linier harus memenuhi ketentuan-ketentuan :
o Tujuan (sasaran) masalah yang akan dicapai harus dapat dinyatakan
dalam bentuk fungsi linier 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑧. Fungsi ini disebut
Fungsi Tujuan / Fungsi Sasaran / Fungsi Objektif.
o Harus memiliki alternatif pemecahan yang membuat nilai fungsi
objektif menjadi optimum, misalnya keuntungan maksimum, biaya
minimum, dan sebagainya.
o Sumber-sumber yang tersedia dalam jumlah terbatas, misalnya bahan
mentah terbatas, modal terbatas, SDM terbatas, dan sebagainya.
Pembatasan-pembatasan sumber yang tersedia dinyatakan dalam
bentuk pertidaksamaan linier (namun ada beberapa kasus dalam
bentuk persamaan linier).

5. Menentukan Nilai Optimum
PROGRAM LINIER

6. Langkah-Langkah Menentukan Nilai Optimum
1. Menentukan minimal dua titik yang dilalui garis
pertidaksamaan.
2. Mengarsir daerah penyelesaian masing-masing
pertidaksamaan (boleh mengarsir daerah yang bukan
daerah penyelesaian).
3. Menentukan daerah penyelesaian.
4. Menentukan titik batas.
5. Membuat garis selidik (khusus metode garis selidik).
6. Menentukan nilai optimum atau menguji titik batas.

7. Menentukan Nilai Optimum
Contoh 1 :
Tentukan nilai maksimum dari 5𝑥 + 4𝑦 yang memenuhi
sistem pertidaksamaan linier berikut.
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0

8. Menentukan Nilai Optimum
Penyelesaian :
Diketahui :
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
2𝑥 + 𝑦 ≤ 8
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Ditanyakan : Nilai maksimum 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 + 4𝑦
Model Matematika/
Fungsi kendala
Fungsi Objektif/
Fungsi Tujuan

9. Menentukan Nilai Optimum
1. Menentukan dua titik yang dilalui garis.
2𝑥 + 3𝑦 = 12
2𝑥 + 𝑦 = 8
𝒙 𝒚 𝒙, 𝒚
0 4 (0, 4)
6 0 (6, 0)
𝒙 𝒚 𝒙, 𝒚
0 8 (0, 8)
4 0 (4, 0)

10. Menentukan Nilai Optimum
2. Mengarsir daerah penyelesaian setiap pertidaksamaan.
DP

11. Menentukan Nilai Optimum
3. Menentukan daerah penyelesaian.

12. Menentukan Nilai Optimum
4. Menentukan titik batas.
Titik
batasnya:
𝑂 0,0
𝐴 0,4
𝐷 4,0
𝐸 ? , ?

13. Menentukan Nilai Optimum
4. Menentukan titik batas.
Koordinat titik 𝐸 diperoleh dengan
mengeliminasi persamaan garis (1) dan (2).
2𝑥 + 3𝑦 = 12
2𝑥 + 𝑦 = 8
2𝑦 = 4
𝑦 =
4
2
= 2
Substitusi nilai 𝑦 = 2 ke salah satu
persamaan garis:
2𝑥 + 2 = 8
2𝑥 = 8 − 2 = 6
𝑥 =
6
2
= 3

14. Metode Garis Selidik
PROGRAM LINIER

15. Menentukan Nilai Optimum
(Metode Garis Selidik)
5. Membuat garis selidik.
Garis selidik diambil dari fungsi
objektif dengan menyamakan pada
suatu konstanta sembarang 𝑘, yakni:
5𝑥 + 4𝑦 = 𝑘
Misalkan: ambil 𝑘 = 20, maka
persamaan garis selidiknya adalah:
5𝑥 + 4𝑦 = 20
Gambar garis selidik tersebut dengan
menentukan dua titik terlebih dahulu.
Garis selidik
Buat garis
yang sejajar
garis selidik
pada setiap
titik batas

16. Menentukan Nilai Optimum
(Metode Garis Selidik)
5. Membuat garis selidik.
Garis selidik yang paling atas
menyatakan bahwa nilai maksimum
terletak pada titik batas yang
dilaluinya.
Sebaliknya, garis selidik yang paling
bawah menyatakan bahwa nilai
minimum terletak pada titik batas
yang dilaluinya.
Jadi, nilai maksimum fungsi objektif
terletak pada titik 𝐸 3,2 .
Garis selidik
paling bawah
(minimum)
Garis selidik
paling atas
(maksimum)

17. Menentukan Nilai Optimum
(Metode Garis Selidik)
6. Menentukan nilai optimum.
Nilai optimum dapat ditentukan dengan mensubstitusi
nilai 𝑥 = 3 dan 𝑦 = 2 ke fungsi objektif.
𝑧 = 5𝑥 + 4𝑦
= 5 3 + 4 2
= 15 + 8
= 23
Jadi nilai maksimum untuk fungsi objektif 𝑧 = 5𝑥 + 4𝑦
adalah 23.

18. Metode Uji Titik Batas
PROGRAM LINIER

19. Menentukan Nilai Optimum
(Metode Garis Selidik)
5. Menguji titik batas.
Metode uji titik batas hanya
perlu mensubstitusi titik-titik
0,0 , 0,4 , 4,0 , dan 3,2 ke
fungsi objektif.

20. Menentukan Nilai Optimum
(Metode Garis Selidik)
5. Menguji titik batas.
𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥 + 4𝑦
𝑓 0,0 = 5 0 + 4 0 = 0 + 0 = 0
𝑓 0,4 = 5 0 + 4 4 = 0 + 16 = 16
𝑓 4,0 = 5 4 + 4 0 = 20 + 0 = 20
𝑓 3,2 = 5 3 + 4 2 = 15 + 8 = 23
Jadi nilai maksimum fungsi objektif 𝑧 = 5𝑥 + 4𝑦 adalah 23.
(maksimum)