Dokumen tersebut membahas tentang program linear dua variabel, termasuk konsep dasar, sistem pertidaksamaan linear, kaidah, dan penyelesaian masalah optimasi. Secara ringkas, dokumen tersebut menjelaskan cara mendefinisikan masalah matematika menjadi model program linear dan menyelesaikan masalah tersebut untuk mendapatkan nilai optimum.

1. Sumber: www.shutterstock.com
Program Linear

2. • Menjelaskan program linear dua variabel dan metode
penyelesaiannya dengan menggunakan masalah kontekstual.
• Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan program
linear dua variabel.
Kompetensi Dasar
• Mengidentifikasi kuantitas-kuantitas dan hubungan, di antaranya
dalam masalah kontekstual dan merumuskan program linear dua
variabel yang sesuai.
• Menggunakan ide-ide matematika untuk menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan dengan program linear dua variabel.
• Menafsirkan dan mengevaluasi daerah penyelesaian
pertidaksamaan linear dua variabel.
• Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan program
linear dua variabel.
• Mengomunikasikan proses dan hasil pemecahan masalah yang
berkaitan dengan program linear dua variabel.
Pengalaman Belajar

3. L.V. Kantorovich adalah seorang
matematikawan asal Rusia.
Pada tahun 1939, L.V. Kantorovich
berhasil menemukan pemecahan
masalah yang berkaitan dengan
program linear.
Pada waktu Kantorovich bekerja
untuk Kantor Pemerintah Uni Soviet,
ia memunculkan teknis matematis
yang dikenal dengan pemrograman
linear.

4. Program linear merupakan model optimasi persamaan linear
yang berkenaan dengan masalah-masalah pertidaksamaan linear.
2.1 KONSEP DASAR PROGRAM LINEAR
Agar masalah optimasi dapat diselesaikan, masalah tersebut harus
diterjemahkan dalam bentuk model matematika.
Masalah Program linear yaitu masalah nilai optimum
(maksimum dan minimum) sebuah fungsi linear pada suatu sistem
pertidaksamaan linear.

5. Contoh
Seorang tukang roti berencana membuat dua jenis roti, yaitu jenis I (x) dan
roti jenis II (y), dengan menggunakan dua macam bahan baku, yaitu tepung
dan mentega. Setiap roti jenis I memerlukan 200 gram tepung dan 25 gram
mentega. Setiap roti jenis II memerlukan 100 gram tepung dan 50 gram
mentega. Harga jual roti jenis I dan II masing-masing adalah Rp1.500,00
dan Rp2.000,00. Jumlah persediaan bahan adalah 4 kg tepung dan 1,2 kg
mentega. Berapa banyak masing-masing jenis roti yang harus diproduksi
agar tukang roti memperoleh keuntungan maksimum?
Buat model matematika

6. 2.2 SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR
2.2.1 Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
(i) himpunan titik-titik (x, y) pada garis yang memenuhi garis ax + by = c
(ii) himpunan titik (0,1) di bawah garis memenuhi persamaan
ax + by < c
(iii) himpunan titik (1,2) di atas garis memenuhi persamaan ax + by > c

7. Ambil titik O (0,0) sebagai titik
selidik.
Titik O (0,0) berada di bawah
garis 4x – 3y + 12 = 0.
Substitusikan x = 0 dan y = 0.
4x – 3y + 12 ≥ 0
4(0) – 3(0) + 12 ≥ 0
12 ≥ 0 (benar)
Daerah penyelesaian 4x – 3y + 12 ≥ 0
berada di kanan garis 4x – 3y + 12 = 0 .
Selidiki kebenarannya dengan
mengambil titik selidik.
Daerah penyelesaian 4x – 3y + 12 ≥ 0 berada di kanan garis.

8. 2.2.2 Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan:
a. 2x + y ≤ 4 ; 3x + 4y ≤ 12; x ≥ 0; dan y ≥ 0
b. x + 2y ≥ 8; 3x + 2y ≥ 12; x ≥ 0; dan y ≥ 0
Jawab:

9. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
daerah arsiran.

10. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah arsiran.

11. Contoh
Jawab:
Alternatif 1:
Dengan menggunakan garis-garis selidik yang saling sejajar dengan garis
f = 2x + 5y.
Langkah 1:
Arsirlah daerah penyelesaian yang memenuhi sistem pertidaksamaan yang
diketahui. Daerah penyelesaiannya adalah daerah ABCD dengan 𝐴 1,
7
2
,
B (4,2), C (3,1), dan D (1,1).

12. Langkah 2:
Gambarlah garis selidik f = 2x + 5y untuk setiap nilai f. Andaikan f = 0,
maka gambarlah garis 2x + 5y = 0, kemudian gambarlah garis-garis
yang sejajar garis 2x + 5y = 0 (pada gambar adalah garis 2x + 5y = 10
atau 2x + 5y = 20).
Langkah 3:
Gambarlah garis 2x + 5y = 10 yang digeser ke bawah, maka titik
D(1, 1) merupakan titik paling bawah pada daerah penyelesaian yang
dilalui oleh garis selidik.
Jadi, nilai minimum fungsi f adalah 7 untuk x = 1 dan y = 1.

13. Jika garis 2x + 5y = 10
digeser ke atas, maka titik
A(1,
7
2
) merupakan titik yang
paling atas pada daerah
penyelesaian yang dilalui
garis selidik.
Jadi, nilai maksimum
fungsi f(x, y) = 2x + 5y adalah
19,5 untuk x = 1 dan y =
7
2
.

14. Alternatif 2:
Dengan menyelidiki nilai fungsi f(x, y) = 2x + 5y di setiap titik sudut daerah
penyelesaian.
Langkah 1:
Arsirlah daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang diketahui seperti
pada gambar sebelumnya.
Langkah 2:
Selidiki nilai fungsi f(x, y) = 2x + 5y di setiap titik sudut daerah
penyelesaian.
A(1,
7
2
) : f(1,
7
2
) = 2(1) + 5(
7
2
) = 19,5
B(4, 2) : f(4, 2) = 2(4) + 5(2) = 18
C(3, 1) : f(3, 1) = 2(3) + 5(1) = 11
D(1, 1) : f(1, 1) = 2(1) + 5(1) = 7
Jadi, nilai maksimum fungsi
f(x,y) = 2x + 5y adalah 19,5 untuk x
= 1 dan y =
7
2
, yaitu di titik A(1,
7
2
),
dan nilai minimum fungsi
f(x, y) = 2x + 5y adalah 7 untuk x =
1 dan y = 1, yaitu di titik D(1, 1).

15. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang SISTEM
PERTIDAKSAMAAN LINEAR
dengan mengerjakan soal
Latihan 1 pada halaman 35

16. 2.3.1 Prinsip-Prinsip Program Linear
2.3 KAIDAH PROGRAM LINEAR
Program linear adalah suatu cara yang bertujuan untuk
menentukan himpunan penyelesaian untuk suatu sistem
pertidaksamaan.
Prinsip 1
Setiap pernyataan harus dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y
dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan (kurang dari atau lebih dari).
Prinsip 2
Dari setiap pertidaksamaan akan dibentuk suatu persamaan yang
berkaitan.

17. Prinsip 3
Persamaan yang dibentuk digunakan untuk melukis garis penyelesaian
pertidaksamaan.
Prinsip 4
Arsir daerah yang memenuhi
pertidaksamaan dengan
menggunakan titik selidik.
Prinsip 5
Koordinat titik dalam daerah
arsiran mewakili suatu sistem
pertidaksamaan.

18. 2.3.2 Model Matematika
Prinsip 1
Setiap pernyataan harus dipenuhi oleh variabel-variabel seperti x dan y
dinyatakan dalam bentuk pertidaksamaan (kurang dari atau lebih dari).
Dalam menyusun model matematika, yang perlu dipahami adalah implikasi dari
semua ungkapan yang menyatakan syarat-syarat pada masalah

19. Contoh
Jawab:
Mencari Titik Potong

20. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah daerah arsiran.

21. 2.3.3 Masalah yang Melibatkan Program Linear
Jawab:
Contoh
Seorang ibu rumah tangga mempunyai 1,6 kg
tepung beras dan 2,4 kg tepung terigu untuk
membuat kue jenis A dan B. Setiap kue A
memerlukan 160 gram tepung beras dan 200
gram tepung terigu, sedangkan setiap kue B
memerlukan 120 gram tepung beras dan 300
gram tepung terigu. Ia hendak membuat lebih
dari 2 loyang kue A dan sekurang-kurangnya satu loyang kue B. Dalam
berapa carakah dua jenis tepung itu dapat digunakan untuk membuat dua
jenis kue? Lalu, tentukan jumlah loyang kue terbanyak yang dapat dibuat.

23. Mencari Titik Potong

24. Daerah penyelesaian yang memenuhi adalah daerah yang diarsir.
Karena terdapat 25 noktah dalam
daerah penyelesaian, maka dapat
disimpulkan bahwa:
• Kedua jenis tepung itu dapat
digunakan dalam 25 cara untuk
membuat dua jenis kue, yaitu
{(x, y) | (3, 1), (3, 2), (3, 3), . . .,
(6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}.
• Jumlah kedua kue terbanyak
adalah 10 loyang kue, yaitu ada 4
cara:
{(x, y) | (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)}.

25. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang KAIDAH PROGRAM
LINEAR
dengan mengerjakan soal
Latihan 2 pada halaman 47

26. 2.4 MENYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI
Penyelesaian masalah program linear salah satunya dapat
dilakukan dengan metode grafis.
Metode grafis ada dua teknik, yaitu:
• menggunakan garis selidik
• menggunakan titik pojok.
Masalah program linear adalah menentukan nilai
maksimum dan nilai minimum suatu objektif.

27. 2.4.1 Menyelesaikan Masalah Optimasi dengan Garis Selidik
Contoh
Tentukan nilai minimum dan maksimum fungsi objektif (2x + y) dari
sistem pertidaksamaan:
x + y ≥ 5, x − 4y ≤ 0, x + y ≤ 10, dan 2y − 3x ≤ 0
Jawab:
Daerah himpunan penyelesaian
dari sistem pertidaksamaan
tersebut ditunjukkan pada
gambar berikut.

29. 2.4.2 Menyelesaikan Masalah Optimasi dengan Titik Pojok.
Contoh
Pak Syarif ingin membeli 25 sepeda untuk persediaan
dagangannya. Ia ingin membeli sepeda gunung dengan harga
Rp1.500.000,00 per buah dan sepeda balap dengan harga
Rp2.000.000,00 per buah. Ia merencanakan tidak akan
mengeluarkan uang lebih dari Rp42.000.000,00. Jika
keuntungan sebuah sepeda gunung Rp500.000,00 dan sebuah
sepeda balap Rp600.000,00, tentukan keuntungan maksimum
yang diterima Pak Syarif.
Jawab:

31. Jadi, keuntungan maksimum yang diterima Pak Syarif adalah
Rp13.400.000,00.

32. Kamu bisa menguji pemahaman
tentang MENYELESAIKAN
MASALAH OPTIMASI
dengan mengerjakan soal
Latihan 3 pada halaman 55