Тодорхой биш интегралыг бодох орлуулах болон хэсэгчлэн интегралчлах аргуудын талаар

1. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Интеграл тоолол
Д. Баттөр1
1Department of Computer Science
Ulaanbaatar University
2010 оны 1-р сарын 26
МАТЕМАТИК-2

2. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Агуулга
1 Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруулах
арга
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
МАТЕМАТИК-2

3. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Агуулга
1 Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруулах
арга
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
МАТЕМАТИК-2

4. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Интегрлчлах үндсэн алхмууд
1 Өгөгдсөн f(x)dx интегралын дорхи f(x)
функцийг зохих хувиргалт ба томьёо
ашиглах замаар хялбар интегралчлагдах
функцүүдийн нийлбэрт задлана
2 Интегралын үндсэн чанаруудыг ашиглан
задлаж хялбарчилна
3 Хялбар интегралуудын эх функцийг үндсэн
интеграл ашиглан бичнэ.
4 Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.
МАТЕМАТИК-2

5. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Интегрлчлах үндсэн алхмууд
1 Өгөгдсөн f(x)dx интегралын дорхи f(x)
функцийг зохих хувиргалт ба томьёо
ашиглах замаар хялбар интегралчлагдах
функцүүдийн нийлбэрт задлана
2 Интегралын үндсэн чанаруудыг ашиглан
задлаж хялбарчилна
3 Хялбар интегралуудын эх функцийг үндсэн
интеграл ашиглан бичнэ.
4 Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.
МАТЕМАТИК-2

6. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Интегрлчлах үндсэн алхмууд
1 Өгөгдсөн f(x)dx интегралын дорхи f(x)
функцийг зохих хувиргалт ба томьёо
ашиглах замаар хялбар интегралчлагдах
функцүүдийн нийлбэрт задлана
2 Интегралын үндсэн чанаруудыг ашиглан
задлаж хялбарчилна
3 Хялбар интегралуудын эх функцийг үндсэн
интеграл ашиглан бичнэ.
4 Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.
МАТЕМАТИК-2

7. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Интегрлчлах үндсэн алхмууд
1 Өгөгдсөн f(x)dx интегралын дорхи f(x)
функцийг зохих хувиргалт ба томьёо
ашиглах замаар хялбар интегралчлагдах
функцүүдийн нийлбэрт задлана
2 Интегралын үндсэн чанаруудыг ашиглан
задлаж хялбарчилна
3 Хялбар интегралуудын эх функцийг үндсэн
интеграл ашиглан бичнэ.
4 Төсөөтэй гишүүдийг эмхэтгэнэ.
МАТЕМАТИК-2

8. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруулах арга
Интегралчлалын явцад үндсэн интегралуудын
жагсаалтын зэрэгцээ уламжлалыг
дифференциалын тэмдгийн дор оруулах аргыг
байнга ашиглагддаг. Үүнд:
Жишээ (адилтгал)
dx =
1
a
· d(ax + b), (a = 0); xα
dx =
1
α + 1
dxα+1
;
dx
x
= d ln x;
dx
x2
= −d(
1
x
);
dx
√
x
= 2d
√
x;
cos xdx = d sin x; sin xdx = −d cos x;
dx
cos2 x
= d tg x;
dx
sin2
x
= −d ctg x;
dx
√
1 − x2
= d(arcsin x);
dx
1 + x2
= d(arctg x);
МАТЕМАТИК-2

9. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Агуулга
1 Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруулах
арга
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
МАТЕМАТИК-2

10. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Теорем
Хэрэв (a, b) завсарт
f(x)dx = F(x) + C (1)
тэнцэтгэл биелэгддэг ба энд байгаа x = φ(t) нь тасралтгүй
дифференциалчлагдаж байвал
f[φ(t)] · φ (t)dt = F[φ(t)] + C (2)
тэнцэтгэл биелэгдэнэ.
Баталгаа Өгөгдсөн нөхцөлд давхар функц F[φ(t)]-ийн уламжлал
(F[φ(t)]) = F [φ(t)] · φ (t)
томьёогоор илэрхийлэгдэх ба (1) тэнцэтгэл ёсоор F (x) = f(x)
учраас
(F[φ(t)]) = f[φ(t)] · φ (t)
байна. Энэ нь, эх функцийн тодорхойлолт ёсоор
f[φ(t)]φ (t)dt = F[φ(t)] + C
МАТЕМАТИК-2

11. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Теорем
Хэрэв (a, b) завсарт
f(x)dx = F(x) + C (1)
тэнцэтгэл биелэгддэг ба энд байгаа x = φ(t) нь тасралтгүй
дифференциалчлагдаж байвал
f[φ(t)] · φ (t)dt = F[φ(t)] + C (2)
тэнцэтгэл биелэгдэнэ.
Баталгаа Өгөгдсөн нөхцөлд давхар функц F[φ(t)]-ийн уламжлал
(F[φ(t)]) = F [φ(t)] · φ (t)
томьёогоор илэрхийлэгдэх ба (1) тэнцэтгэл ёсоор F (x) = f(x)
учраас
(F[φ(t)]) = f[φ(t)] · φ (t)
байна. Энэ нь, эх функцийн тодорхойлолт ёсоор
f[φ(t)]φ (t)dt = F[φ(t)] + C
МАТЕМАТИК-2

12. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Тэнцэтгэлийн баруун тал дахь интеграл нь анх өгөгдсөн
f(x)dx интегралаас хялбар, эсвэл таблицын интеграл,
байхаар x = φ(t) функцийг сонгож авах нь орлуулга хийх
аргын гол зорилт юм. Зарим тохиолдолд, шинэ хувьсагчийг
t = ψ(x) хэлбэрээр авах явдал эвтэйхэн байдаг. Энэ
тохиолдолд
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x),
тэнцэтгэлд хүрнэ. Энэ тэнцэтгэлийн зүүн талд байгаа
хэлбэрийн интеграл олантаа тааралдах боловч тэдгээрийг
шууд таниж мэдэх нь амаргүй байдаг.
МАТЕМАТИК-2

13. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Тэнцэтгэлийн баруун тал дахь интеграл нь анх өгөгдсөн
f(x)dx интегралаас хялбар, эсвэл таблицын интеграл,
байхаар x = φ(t) функцийг сонгож авах нь орлуулга хийх
аргын гол зорилт юм. Зарим тохиолдолд, шинэ хувьсагчийг
t = ψ(x) хэлбэрээр авах явдал эвтэйхэн байдаг. Энэ
тохиолдолд
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x),
тэнцэтгэлд хүрнэ. Энэ тэнцэтгэлийн зүүн талд байгаа
хэлбэрийн интеграл олантаа тааралдах боловч тэдгээрийг
шууд таниж мэдэх нь амаргүй байдаг.
МАТЕМАТИК-2

14. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

15. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

16. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

17. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

18. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

19. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

20. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

21. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

22. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

23. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

24. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

25. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

26. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
x2 + a2
=


Шугаман
орлуулга
x = at, dx = adt


= a
dt
a2(1 + t2)
=
1
a
dt
1 + t2
=
1
a
arctg t + C =
1
a
arctg
x
a
+ C
dx
(5x + 3)4
=
5x + 3 = t,
5dx = dt
=
1
5
dt
t4
sinn
x cos xdx =
t = sin x,
dt = cos xdx
= tn
dt
МАТЕМАТИК-2

27. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

28. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

29. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

30. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

31. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

32. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

33. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

34. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

35. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

36. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

37. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

38. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

39. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
xdx
(x2 + 1)n
=
x2 + 1 = t,
xdx = dt
2
=
1
2
dt
tn
dx
√
a2 − x2
=
x = at,
dx = adt
=
adt
a
√
1 − t2
=
dt
√
1 − t2
= arcsin t + C
= arcsin
x
a
+ C
x
√
x − 5dx =






Радикалаас
чөлөөлөх
x − 5 = t2,
x = t2 + 5
dx = 2tdt






= (t2
+ 5)t · 2tdt
МАТЕМАТИК-2

40. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

41. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

42. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

43. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

44. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

45. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

46. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

47. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Жишээ
dx
sin x
=
Эхлээд
sin x = 2 sin
x
2
cos
x
2
= 2 tg
x
2
· cos2 x
2
адилтгалыг
ашиглавал
=
dx
sin x
=
dx
2 tg x
2 · cos2 x
2
=
t = tg x
2 ,
dt = dx
2 cos2
dt
t
= ln(t) + C = ln | tg x
2 | + C
МАТЕМАТИК-2

48. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Агуулга
1 Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруулах
арга
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
МАТЕМАТИК-2

49. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Функцүүдийн үржвэрийг интегралчлах зориулалттай энэ
арга нь үржвэрийн уламжлалын томьёонд тулгуурладаг.
Хэрэв u(x), v(x) функцүүд (a, b) дээр тасралтгүй
дифференциалчлагдах бол тэдгээрийн үржвэрийн уламжлал
(uv) = u · v + u · v
буюу эндээс
u · v = (uv) − u · v
байна. Энэ тэнцэтгэлийг гишүүнчлэн интегралчлавал
uv dx = (u · v) − u · vdx
буюу
u · dv = (u · v) − v · du
томьёо гарна.
МАТЕМАТИК-2

50. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Функцүүдийн үржвэрийг интегралчлах зориулалттай энэ
арга нь үржвэрийн уламжлалын томьёонд тулгуурладаг.
Хэрэв u(x), v(x) функцүүд (a, b) дээр тасралтгүй
дифференциалчлагдах бол тэдгээрийн үржвэрийн уламжлал
(uv) = u · v + u · v
буюу эндээс
u · v = (uv) − u · v
байна. Энэ тэнцэтгэлийг гишүүнчлэн интегралчлавал
uv dx = (u · v) − u · vdx
буюу
u · dv = (u · v) − v · du
томьёо гарна.
МАТЕМАТИК-2

51. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Тодорхойлолт
u · dv = (u · v) − v · du (3)
адилтгалыг хэсэгчлэн интегралчлах томьёо гэнэ.
v · du интеграл нь u · dv интегралаас хялбар, эсвэл
таблицын интеграл байхаар өгөгдсөн f(x)dx интегралын
дорхи функцийг
f(x) = u(x) · v (x), эсвэл интегралын дорхи f(x)dx
илэрхийллийг f(x)dx = u(x) · dv(x) хэлбэрт шилжүүлнэ.
МАТЕМАТИК-2

52. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Тодорхойлолт
u · dv = (u · v) − v · du (3)
адилтгалыг хэсэгчлэн интегралчлах томьёо гэнэ.
v · du интеграл нь u · dv интегралаас хялбар, эсвэл
таблицын интеграл байхаар өгөгдсөн f(x)dx интегралын
дорхи функцийг
f(x) = u(x) · v (x), эсвэл интегралын дорхи f(x)dx
илэрхийллийг f(x)dx = u(x) · dv(x) хэлбэрт шилжүүлнэ.
МАТЕМАТИК-2

53. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
Тодорхойлолт
u · dv = (u · v) − v · du (3)
адилтгалыг хэсэгчлэн интегралчлах томьёо гэнэ.
v · du интеграл нь u · dv интегралаас хялбар, эсвэл
таблицын интеграл байхаар өгөгдсөн f(x)dx интегралын
дорхи функцийг
f(x) = u(x) · v (x), эсвэл интегралын дорхи f(x)dx
илэрхийллийг f(x)dx = u(x) · dv(x) хэлбэрт шилжүүлнэ.
МАТЕМАТИК-2

54. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

55. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

56. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

57. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

58. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

59. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

60. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

61. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

62. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= −x cos x + cos xdx
= −x · cos x + sin x + C
x · ex
dx =
u = x du = dx
dv = ex dx v = ex
= x · ex
− ex
dx
= x · ex
− ex
+ C
= ex
(x − 1) + C
МАТЕМАТИК-2

63. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

64. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

65. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

66. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

67. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

68. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

69. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

70. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

71. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

72. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

73. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

74. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

75. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
ln xdx =
u = ln x du = dx
x
dv = dx v = x
= x · ln x − x ·
dx
x
= x · ln x − dx = x ln x − x + C
arcsin xdx =
u = arcsin x du = dx√
1−x2
dv = dx v = x
= x · arcsin x −
xdx
√
1 − x2
= x · arcsin x +
1
2
d(1 − x2
)
√
1 − x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arcsin x + 1 − x2 + C
МАТЕМАТИК-2

76. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

77. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

78. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

79. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

80. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

81. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

82. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

83. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

84. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

85. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

86. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

87. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

88. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2

89. Интегралчлалын үндсэн аргууд
Уламжлалыг дифференциалын тэмдэгийн дор оруул
Орлуулга хийх буюу хувьсагч солих арга.
Хэсэглэн интегралчлах арга.
u · dv = (u · v) − v · du
Жишээ
arctg xdx =
u = arctg x du = dx
1+x2
dv = dx v = x
= x · arctg x − xdx√
1+x2
= x · arctg x +
1
2
d(1 + x2
)
√
1 + x2
1
2
d(t)
√
t
=
√
t = x · arctg x + 1 + x2 + C
x2
· cos xdx =
u = x2
du = 2xdx
dv = cos xdx v = sin x
= x2
· sin x − 2 x · sin xdx =
u = x du = dx
dv = sin xdx v = − cos x
= x2
· sin x − 2( − x cos x + cos xdx)
= x2
· sin x + 2x · cos x − 2 sin x + C)
МАТЕМАТИК-2