1. Семинар 7<br />Сэдэв: Олон хувьсагчийн функц, тодорхойлошдох муж, тасралтгүй чанар<br />Тодорхойлолт 1.1 D-олонлогийн хос (x,y) ∈ D бүрд z ∈ Z гэсэн тодорхой утга харгалзаж байвал хувьсах хэмжигдэхүүн z-ийг x,y-ээс хамаарсан хоёр хувьсагчийн функц гэнэ.<br />Хоёр хувьсагчийн функцийг нэг хувьсагчтай функцийн ижлээр: z=f(x,y) , z= φ(x,y), z= z(x,y) гэх мэтчилэн тэмдэглэх бөгөөд x,y-ийг үл хамаарах хувьсагчид буюу аргументууд гэнэ. D-олонллогийг функцийн тодорхойлогдох муж гэнэ. <br />(x,y) ∈ D òóë õî¸ð õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü õàâòãàé öýã¿¿äèéí îëîíëîãîîñ òîãòîíî.<br />S={(x,y,z) ∈ R3/ z= f(x,y) олонллогийг z= f(x,y) ôóíêöèéí ãðàôèê ãýõ áà óã ãðàôèê íü îãòîðãóéí ÿìàð íýã ãàäàðãóóãààð ä¿ðñëýãäýíý. (x0,y0) öýã äýýðõ z= f(x,y) ôóíêöèéí óòãûã z0=z|x=x0y=y0 áóþó z0=f (x0,y0) ãýæ áè÷íý.<br />Æèøýýëáýë: <br />õýðýâ z= f(x,y)=x2y áîë z|x=2y=3=f(2,3)=22∙3=12<br />Æèøýý 1. Z=1-x2-y2 ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë.<br />Áîäîëò: 1-x2-y2≥0 òýíöýòãýë áèøèéã õàíãàõ á¿õ (x,y)-èéí õóâüä Z-ôóíêö òîäîðõîéëîãäñîí íü èëýðõèé èéìä ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ<br />D íü D={(x,y) ∈ R2|x2+y2≤1} ãýñýí äóãóé ìóæèéã XOY-êîîðäèíàò õàâòãàé äýýð ä¿ðñëýíý.<br />Æèøýý 2. Z=5-(x-1)2-(y-3)2 ôóíêöèéí ò¿âøíèé øóãìóóäèéã çóðæ, ò¿¿íèé òóñëàìæòàéãààð ãàäàðãóóã ä¿ðñýë. Áîäîëò: ôóíêöèéí ò¿âøíèé øóãаìóóä íü<br />(x-1)2+(y-3)2=5-c ãýñýí êîíöåíòð òºâòýé òîéðãóóä áàéõ áà ãàäàðãóóã ä¿ðñýëâýë çóðàãò ¿ç¿¿ëñýí ïàðàáîëèîä áàéíà.<br /> Оëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã¿é ÷àíàð<br />Тодорхойлолт 2.1; Õýðýâ äóðûí ýåðýã òîî ε-èéí õóâüä ýåðýã òîî δ>0 îëäîîä M0(x0,y0) öýãèéí δ-îð÷íèé äóðûí Ìx,y öýã¿¿äèéí õóâüä ,| fx,y-A|<ε íºõöºë áèåëýãäýæ áàéâàë À òîîã Ìx,y-> M0(x0,y0) ¿åèéí fx,y ôóíêöèéí õÿçãààð ãýæ íýðëýõ áºãººä ¿¿íèéã limy->y0 fx,y=A áóþó limm->m0 f(m)=A ãýæ òýìäýãëýíý.<br />ìàòåìàòèê òîì¸îëîîð áè÷âýë: limm->m0 f(M)=A ↔∀ε>0, ∃δ=δ(ε)>0<br />| fx,y-fx0,y0|<ε, ∀x,y∈B(M0δ)<br />Æèøýý 1. limx->1y->2(3x2+4xy-1) =limx->1y->23x2+limx->1y->2(4xy-1) =3∙12+4∙2∙1-1=10<br />Жишээ 2. fx,y=x2-y2x2+y2 , x2+y2≠00 x2+y2=0<br />limx->1y->2fx,y=5≠f1,2=7 болж (с) нөхцөл биелэгдэж байгаа тул М(1,2) цэг нь тасралтын цэг байна.<br />Жишээ 3. z=x2+y2х-у(1-x2-y2) функцийн тасралтын цэгийг ол.<br />Функц х – у = 0 эсвэл 1 – х2 – у2 = 0 нөхцлийг хангах цэгүүд дээр тодорхойлогдохгүй. Иймд функцийн тасралтын цэгүүд нь у = х гэсэн шулуун ба<br />х2 + у2 = 1 тойрог дээр орших цэгүүд болно.<br />Санамж : Нэг хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байх бүх чанарууд олон хувьсагчийн функцийн хувьд биелэгдэнэ.<br />Хэрэв D мужийн М0( х0, у0) цэгийн дурын δ-орчин D мужид харъяалагдах ба харъяалагдахгүй цэгүүдийг агуулж байвал М0 цэгийг мужийн хилийн цэг гэж нэрлэнэ.<br />Хэрэв D муж өөрийнхөө бүх хилийн цэгүүдийг агуулж байвал энэ мужийг битүү муж гэж нэрлэнэ.<br />Хэрэв D мужийг ямар нэг радиустай төгсгөлөг радиустай тойргийн дотор багтааж болох бол энэ мужийг зааглагдсан муж гэнэ.<br />Дасгал ба бодлого.<br />Õýðýâ f(x,y)=2xy(x2+y2)áîë f(-3,4),f(5,7),f(1,yx) óòãóóäûã îë.

2. f(x,y)= x2+y2,φ(x,y)= x2-y2, áîë f(φx,y,y2), φfx,y,φx,y ôóíêöóóäûí èëýðõèéëëèéã áè÷.Ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îëæ çóðãààð ä¿ðñýë.<br />Z=1x2+y2-25

3. Z=arcsinyx