12-р анги ХЭСЭГЧЛЭН ИНТЕГРАЛЧЛАХ

1. 12 АНГИ
 Тодорхойгүй интегралын томьёонууд
1.
1
1
m
m x
x dx c
m

 
 2.
1
ln | x |dx c
x
 
3.
ln
x
x a
a dx c
a
  4. x x
e dx e c 
5. sin cosxdx x c  6. cos sinxdx x c  
7. ln | cos |tgxdx x c   8. ln | sin |ctgxdx x c 
9. ln
sin 2
dx x
tg c
x
  10. ln ( )
cos 2 2
dx x
tg c
x

  
11. 2
1
cos
dx tgx c
x
  12. 2
1
sin
dx ctgx c
x
  
13. 2 2
1 1 x
dx arctg c
a x a a
 
 14. 2 2
1 1 x
dx arcctg c
a x a a
  

15. 2
1 1
ln
2
x a
dx c
x a a x a

 
  16. 2
1
1
dx arctgx c
x
 

17. 2
1
1
dx arcctgx c
x
  
 18. 2
1 1 1
ln
1 2 1
x
dx c
x x

 
 
19. 2 2
1 1
ln
2
x a
dx c
a x a x a

 
  20.
2 2
arcsin
dx x
c
aa x
 


21.
2 2
arccos
dx x
c
aa x
  

 22.
2
arcsinx
1
dx
c
x
 


23.
2
arccosx
1
dx
c
x
  

 24. 2 2
2 2
ln
dx
x x a c
x a
  
25. 2
2
ln 1
1
dx
x x c
x
  
 ХЭСЭГЧЛЭН ИНТЕГРАЛЧЛАХ
b b
b
a
a a
udv uv vdu  
 Дараах хэлбэрийн интегралуудыг хэсэгчилэн интегралчилж
боддог.
2
( ) , ( )sin , ( )cos , ( )ln ,
( )arcsin , ( )
x
n n n n
n n
Q x e dx Q x xdx Q x xdx Q x xdx
Q x xdx Q x arctgxdx
    
 
Ингэхдээ ( ) баnu ээр Q x -ийг сонгох dv-ээр бусад функцийг сонгодог.

2. Жишээ№1.
2
0
sin 2x xdx

 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
.
2
0
.
sin 2 1
sin 2 sin 2 cos2
2
du г олохдоо u-ээс уламжлал авна
v г олохдоо dv ээс интеграл авна
u x du=dx
x xdx
dv xdx v= xdx x


 

 
  

2
2 2
0 0
0
1 1 1 1 1
( cos2 ) ( cos2 ) sin 2
2 2 2 2 2 2 4u du
v v
x x x dx x

 
  
       
 

Жишээ№2.
1
2
0
(4 1) x
x e dx
  интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
1
2
2 2
0
4 1 4
(4 1) 1
-
2
x
x x
u x du dx
x e dx
dv e dx v e

 
  
  
 
1 11
2 2 2 2
000
1 1 1
(4 1) 4 2,5 0,5 2
2 2 2
x x x
x e e dx e e      
            
   

2 2 2
2,5 0,5 1 1,5 0,5e e e  
       
 Хоёр болон түүнээс дээш удаа дахин хэсэгчилж бодох
тохиолдлууд байдаг.
Жишээ№3.
1
2 2
0
x
x e dx  интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
1
1 1
2 2 2 2 2 2 2
0 0
0 .
1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) 2
2 2 2 2 4 4 4 4
x x x
u du
v v доор бодолтыг хийнэдахиж хэсэгчилнэ
x e e xdx e xe dx e e e
 
         
 
 
1
2 2
2 2 2
0
1
2
x
x x x
u x du=2xdx
x e dx
dv e dx v= e dx e

 
 

.
1
1 1
2 2 22 2 2
0 0
0.
1 11
2 22
du г олохдоо уламжлал авна
x x xx x x
u du
v v
v г олохдоо интеграл авна
u x du=dx
xe dx x e e dxdv=e v e dx e


 
      
1
2 2 2 2 2
0
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 4 4 4 4
x
e e e e e
 
       
 

3.  Энэ бодлогыг ерөнхий тохиолдолд томьёолбол:
b
n kx
a
x e dx  хэлбэртэй
болох ба уг интегралыг хэсэгчлэн интегралчилбал
,n kx
u x dv=e dx болох бөгөөд эндээс 1
,
kx
n e
du n x dx v
k

  болно.
Иймд
1
bb bkx
n kx n n kx
a aa
e n
x e dx x x e dx
k k

   болно.

Хэсэгчилж байх явцад бидний олох интеграл давтагдан гарч
ирэх тохиолдол байдаг. Энэ үед олох интегралаа өөр хувьсагчаар
орлуулж боддог.
Жишээ№4.
2
0
e sinx
xdx

 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
.
2
0
.
e sin
sin sin cos
du г олохдоо u-ээс уламжлал авна
x x
x
v г олохдоо dv ээс интеграл авна
u e du=e dx
xdx
dv xdx v= xdx x


 

 
  

2 2 2
0 0
0
( cos ) ( cos ) 1 cos
cos
x x
x x x
u duvv
u e du=e dx
e x x e dx e xdx
dv xdx v=sinx
  

       
 
 
2 2
2 2
0
0 0
.
1 sin sin 1 sinx x x
у гэж орлуулна
e x x e dx e e xdx
 
 
       Тэгвэл бидний олох
интеграл 2
1y e y

   хэлбэртэй болох ба эндээс у-ийг олбол
22 2
2
0
1 1
2 1 e sin
2 2
xe e
y e y болох ба xdx
 

 
      хариу:
2
1
2
e


Жишээ№5.
2
2
0
sin xdx

 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
2 2
2
0 0
sin cos
sin sin sin
sin -cos
u x du xdx
xdx x xdx
dv xdx v x
 
 
  
  
2 2 2
2 2 2
0
0 0 0
sin ( cosx) ( cosx)cosxdx cos xdx (1 sin x)dxx
  

         

4. 2 2 2 2
22 2 2
0
0 0 0 0
.
1 sin x sin x 2 sin x
y гэж орлуулна
dx dx x dx dx
   

         Тэгвэл бидний
интеграл 2 2 2y y y y буюу        
2
2
0
sin xdx

  болно.
Жишээ№6.
1
2
1
2
arccos2xdx

 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
1
2
2
1
2
2
arccos2
arccos2 1 4
u x du dx
xdx x
dv dx v x
  
 
 

 
1
21
2
1 2
2 1
2
2
x arccosx
1 4
x
dx
x

 
    
 

1 1
22 2
2
2
11
22
1 1 1 (1 4x ) 0 1
arccos1 arccos( 1) ( 1 4x )
2 2 4 2 2 2 21 4
d
x 
  
        


Жишээ№7.
4
1
ln x
dx
x
 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
4 4
4
1
1 1
1
ln
ln 1
ln 2 2
1
2
u x du= dx
x x
dx x x x dx
xx dv dx v x
x

   
 
 
4
4
1
1
1 4
4ln 4 2 4ln 4 2 2 4ln 4 8 4 4ln 4 4 4lndx x
ex
         
Жишээ№8.
2
2
1
ln
e
x
dx
x
 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
2
2
2
1
2
1
ln 2ln
ln
1 1
e u x du x dx
x x
dx
x
dv dx v
x x
 
 
  

2
1 1
1 1 1
ln 2ln
e e
x x dx
x x x
 
     
 


5. 2
2
1 1 1
1 1 1 1 ln
ln 2ln 2
e e e
x
x x dx dx
x x x e x
 
        
 
 
11
2
1
ln
1 1 1 1
2ln - 2 -
1 1
-
e eu x du= dx
x
x dx
e x x x
dv dx v
x x

   
        
    

2
1
2
1
ln
1 2 1
2 -
1 1
-
eu x du= dx
x
dx
e e x
dv dx v
x x

 
      
  

2
11
3 1 3 1 3 2 5
2 2 2 2
ee
dx
e x e x e e e
            
Жишээ№9.
4
0
arctgxdx

 интегралыг бодоорой.
БОДОЛТ:
4
2
0
1
1
u arctgx du dx
arctgxdx x
dv dx v x

 
 
 

4 4
4
2 20
0 0
1 4 1
x x
x arctgx dx dx
x x
 
 
    
  
2 1
1 1
2 1
x t x t dx dt
t
       

4
2
0
1
4 1 4
tx
dx
x

 
   
 2 1t t 
2
2 4
0
ln(1 x ) ln(1 )
4 4 16
dt
  
     
Дасгал: Дараах бодлогуудыг хэсэгчилэн интегралчилж бодоорой.
1.
2
3
1
(x 2)x dx

 2.
2
0
sin 4x xdx


3.
0
cos4x xdx

 4.
2
0
cosx xdx


5.
1
2
1
(x 5)x dx

 6. sin 2x xdx



7.
2
2
0
cosx xdx

 8.
ln 2
0
x
xe dx


6. 9.
2
2
1
logx xdx 10.
1
1
2x
x dx


11. 3
1
ln
e
x dx 12.
2
1
lnx xdx
13.
1
0
ln(1 )
e
x dx

 14. sin2x xdx



15.
2
2
0
cos2x xdx

 16.
ln2
0
( 1) x
x e dx

17.
1
4
0
( 1) (x 3)x dx  18. 2
( 1)cos2x xdx



19.
2
4
1
( 2) (x 1)x dx

  20.
2
4
0
cos xdx

