1. MATRIKS
1 Maret 2014
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
menentukan penyelesaian
persoalan matriks
dengan menggunakan
operasi perkalian matriks
dan invers matriks
beserta sifat-sifatnya.
1 Maret 2014
2

3. Perkalian matriks
dengan matriks
Perhatikan ilustrasi berikut:
Randy dan Lya ingin membeli
buku dan pensil. Randy membeli
3 buku dan 1 pensil. Lya membeli 4 buku dan 2 pensil.
1 Maret 2014
3

4. Jika harga sebuah buku
Rp500,00 dan
sebuah pensil Rp150,00;
Berapa masing-masing mereka
harus membayar?
1 Maret 2014
4

5. Randy
Lya
Jawab:
= 3 x 500 + 1 x 150
= Rp1.650,00
= 4 x 500 + 2 x 150
= Rp2.300,00
Penyelesaian di atas dapat
diselesaikan dengan perkalian
matriks sebagai berikut:
1 Maret 2014
5

6. 3



4

1   
500
  
2   
150
  
(2 x 2)
(2 x 1)
kolom = baris
+ 1 x 150
3 x 500
=  2 x 150

4 x 500 +

 
1650
=
 
2300 (2 x
 1)
1 Maret 2014
6





7. Syarat Perkalian Matriks
Matriks A dapat dikalikan
dengan matriks B
jika
banyak kolom matriks A =
banyak baris matriks B
1 Maret 2014
7

8. Jika matriks A berordo m x n
dan matriks B berordo n x p
maka A x B = C
dengan C berordo m x p
Am
1 Maret 2014
xn
x Bn x p = C m x p
8

9. Cara Mengalikan Matriks
misal A x B = C
maka
elemen matriks C
adalah penjumlahan dari hasil kali
elemen baris matriks A
dengan elemen kolom matriks B
yang bersesuaian
1 Maret 2014
9

10. Am x n x B n x p = C m x p
Baris 1  x 
Baris 2  
…
 ……  

=


K
ol
o
m
1
K
ol
o
m
2
…
…
…
…
…






Baris 1 x kolom 1
Baris 1 x kolom 2
Baris 1 x…….
Baris 2 x kolom 1
Baris 2 x kolom 2
…………..
……….x kolom1
1 Maret 2014
……………..
10

11. Contoh 1:
1
3

2
4

5
x

6

1x5 + 2x6

= 
3x5 + 4x6

1 Maret 2014
7
8





3x7 + 4x8

1x7 + 2x8
11

12. =
=
1 Maret 2014
1x5 + 2x6
1 x 7 + 2 x 8 


3x5 + 4x6
3 x 7 + 4 x 8 
17


39

23

53
12

13. Contoh 2:
5
6

=
=
1 Maret 2014
1
 
x
 3
8
 
7
2
4



5x1 + 7x3
5
x2 + 7x4 
x2 + 8x4 
6x1 + 8x3
6



26

30

38 
44 

13

14. Contoh 3:
 − 2 5
 3 − 1
 dan B = 
A=
 1 8

2 4 




Hitunglah: A x B dan B x A
1 Maret 2014
14

15. 3 -1 -2 5
AxB= 
2 4  1 8





3 x (-2) + (-1) x 1 3 x 5 + (-1) x 8 

=


2 x (-2) + 4 x 1
2x5+4x8 
 7
-7
= 

 42
0


1 Maret 2014
15

16. -2 5  3 -1

 

B x A =
1 8  2 4

 

(-2)
 x 3 + 5 x 2 (-2) x (-1) + 5 x 4

= 


1
 x 3 + 8 x 2 1 x (-1) + 8 x 4 
4 22 
=



 31 
19
1 Maret 2014
16

17. kesimpulan
AxB≠ BxA
artinya
perkalian matriks
tidak bersifat komutatif
1 Maret 2014
17

18. Contoh 4:
Nilai a dari persamaan matriks:
 − 1 d   4 − 5   2 − 1  2c 1 

 =
− b 3+
 
  − 4 3   c a + 1



 − 3 b  


adalah….
1 Maret 2014
18

19. Bahasan
-1 d   4 -5
=

+


 
-b
-3 b
 3 
 d-5
3


-b - 3
 3+b
2 -1 
2c



c
-4 3 


1 

a +1

4c
 + (-c) 2 + (-1)(a + 1)


=  + 1) 



-8c
-4+ 3(a
 + 3c


d − 5   3c
2 - a -1 
 3

 − b − 3 3 + b  =  − 5c − 4 + 3a + 3 
 


 

1 Maret 2014
19

20. 3 = 3c → c = 1
-b – 3 = -5c
-b – 3 = -5
-b = -2 → b = 2
3 + b = -1 + 3a
3 + 2 = -1 + 3a
5 = -1 + 3a
6 = 3a
Jadi nilai a = 2
1 Maret 2014
20

21. Invers Matriks
Pengertian:
Jika hasil kali dua buah matriks
adalah matriks identitas,
(A x B = B x A = I)
maka
matriks A adalah invers matriks B
atau sebaliknya
matriks B invers matriks A
1 Maret 2014
21

22. Contoh 1
 − 5 − 3
3
 1
 dan B = 
A= 
 2 1

 − 2 − 5




3   − 5 − 3
 1
AxB=
 − 2 − 5  2 1 
 


 


-5+6
-3+3

=

10-10
6-5 


 1 0
= 
 0 1 = I



1 Maret 2014
22

23. Contoh 2
 − 5 − 3
3
 1
 dan B = 
A= 
 2 1

 − 2 − 5




3
 − 5 − 3  1
BxA= 
 2 1   − 2 − 5





 -15+15
-5+6

=

2-2
6-5 


 1 0
= 
 0 1 = I



1 Maret 2014
23

24. karena A x B = B x A = I
berarti
B = invers A, atau A = invers B.
Jika B = invers A dan di tulis A-1
maka
A. A-1 = A-1. A = I
1 Maret 2014
24

25. Invers Matriks (2 x 2)
a
Jika A = 
c

b

d

maka invers matriks A
 -b 
1
d




ad - bc 
-c a 
adalah A-1 =
ad – bc = determinan matriks A
1 Maret 2014
25

26. Jika
ad – bc = 0
berarti
matriks tsb tidak mempunyai invers.
Sebuah matriks yang tidak
mempunyai invers disebut
matriks singular
1 Maret 2014
26

27. Contoh
 2 1
Jika A = 
 5 3



maka invers matriks A
adalah….
1 Maret 2014
27

28. Bahasan
1  d − b

A =
− c a 

ad - bc 

−1
2
A =
5

1
 -1
1
3
−1
→ A =





3
2.3 - 1.5 
-5 2
1  3 − 1

=
− 5 2 

6-5

 3 − 1
=
− 5 2 



1 Maret 2014
28

29. Sifat-sifat Invers Matriks:
1.
A.A-1 = A-1.A = I
2.
(A. B)-1 = B-1. A-1
3.
(A-1 )-1 = A
1 Maret 2014
29

30. Contoh 1
1 2


Diketahui A =  3 4 


− 2 0 
dan B =  3 − 1




maka (AB)-1 adalah….
1 Maret 2014
30

31. Bahasan
1 2  − 2 0 
AB = 
 3 4   3 − 1
 


 

6
-2 +

=
12
-6 +

 4 − 2
=
 6 − 4



1 Maret 2014
0 - 2

0-4

31

32.  4 − 2

AB = 
 6 − 4


-4 2
1
−1

(AB) =
-6 4

− 16 − (−12) 

1 − 4 2

=
 − 6 4

−4

1
-1
Jadi (AB) =  1
1
 2
1 Maret 2014
− 1
2

−1

32

33. Contoh 2
3 1
Jika invers matriks A = 
4 2



maka matriks A adalah….
1 Maret 2014
33

34. Bahasan
A = (A-1 )-1
3 1
A =
4 2



2 -1
1
−1 −1


(A ) =

-4 3
3.2 −1.4 

1  2 −1
= 
− 4 3 

2

−1
1 Maret 2014
34

35. 1  2 − 1
(A ) = A = 
− 4 3 

2

−1 −1
 1 − 1
2

Jadi matriks A = 
− 2 3 
2 

1 Maret 2014
35

36. Penyelesian
Persamaan Matriks
Jika A, B dan M adalah
matriks ordo (2x2)
dan A bukan matriks singular
maka
penyelesaian persamaan matriks
☻AM = B adalah M = A-1.B
☺MA = B adalah M = B.A-1
1 Maret 2014
36

37. Contoh 1
 5 3
 − 2 1
Jika A = 
 2 1  dan B =  5 0 







Tentukan matriks M berordo (2x2)
yang memenuhi: a. AM = B
b. MA = B
1 Maret 2014
37

38. Bahasan
 5 3
A=
 2 1



1  1 − 3

A =
− 2 5 

5.1 - 3.2 

−1
1  1 − 3  − 1 3 
=

= 
-1  − 2 5   2 − 5 

 

1 Maret 2014
38

39. a.Jika AM = B
maka M = A-1.B
 − 1 3   − 2 1
=
 2 − 5  x 5 0 
 


 

 (−1)x(−2) + 3x5 (−1)x1 + 3x0 
=
 2x(−2) + (−5)x5 2x1 + (−5)x0 



−1
 17

Jadi M = 
 − 29 2 


1 Maret 2014
39

40. b. Jika MA = B
maka M = B.A-1
 − 2 1   -1 3
=
 5 0  x 2 5 
 


 

 2 + 2 (− 6) + (− 5) 

=
 (− 5) + 0
15 + 0 


 4 − 11
Jadi M = 
 − 5 15 



1 Maret 2014
40

41. Contoh 2
Diketahui hasil kali matriks
 4 3  a

 1 2 x c
 

 
b  16 3 
=
  9 7

d 

Nilai a + b + c + d sama
dengan….
1 Maret 2014
41

42. Bahasan
 4 3   a b  16 3 

 1 2 x c d  =  9 7 
 
 


 
 

a b 
1  2 − 3 16 3 

 c d  = 8 − 3  − 1 4  9 7 









a

c

1 Maret 2014
b  1  32 − 27
6 − 21 
= 
 5  − 16 + 36 − 3 + 28 

d


1  5 − 15 
= 
 20 25 

5

42

43. a

c

b  1  5 − 15 
= 
 5  20 25 

d


a

c

b   1 − 3
=
 4 5 

d 

diperoleh
a = 1, b = -3, c = 4 dan d = 5
berarti
a+b+c+d=1–3+4+5=7
1 Maret 2014
43