From SMAN 1 Karanganyar

1. Matriks
KELOMPOK 3
XII S 1

2. Kelompok3
Brilliannisa Syahri Syahidna (05)
Mirza Bintang Pitaloka (18)
Salimah Nawawi Putri (27)
Suci Indah Ricky Anjaya (29)
Zsa Zsa Zamzami Hasri Ananda (34)

3. Determinan Matriks Persegi
1. Determinan Matriks Ordo 2x2
Misalkan A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
adalah matriks berordo 2 x2
Determinan matriks A dinotasikan “det A” atau 𝐴 adalah bilangan yang
diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal
dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.
det 𝐴 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
= 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

4. 2. Determinan Matriks Ordo 3x3
a. Metode Sarrus
det 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
Det A = (𝑎11 𝑎22 𝑎33 + 𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32) − (𝑎13 𝑎22 𝑎31 + 𝑎11 𝑎23 𝑎32 +

5. b. Metode Minor-Kofaktor
i = baris ke-i
j = kolom ke-j
𝑀𝑖𝑗 adalah determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan
kolom ke-j dihilangkan
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝐾11 = −1 1+1 𝑀11 = 𝑀11 =
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
= 𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32
Det 𝐴 = 𝑎11 𝐾11 + 𝑎12 𝐾12 +𝑎13 𝐾13
= 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 +𝑎13 𝑀13
𝐾𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 𝑀𝑖𝑗

6. Contoh Soal
1. Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut
a.A =
−3 5
3 −5
c. C=
2 4 3
−1 5 −2
3 6 1
b. B=
8 −1
2 0
𝑑. 𝐷 =
0 2 3
1 2 6
2 −3 4
2.Tentukan nilai 𝑎 dari persamaan di bawah ini.
a.
−2 2
3 𝑎
= −8
b.
−4 𝑎
5 𝑎
=
9 6
9 4
c.
3 −2 −1
10 2 2𝑎 + 4
0 3 𝑎
= 10

7. Pembahasan
1. a. A=
−3 5
3 −5
det 𝐴 = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
= -3(-5) – 3(5)
= 15 -15
= 0
b. B=
8 −1
2 0
det B = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
= 8(0) – (-1) (2)
= 0 + 2
= 2
c. C=
2 4 3
−1 5 −2
3 6 1
det C = 𝑎11 𝑀11 − 𝑎12 𝑀12 +𝑎13 𝑀13 (Metode Minor-
Kofaktor)
= 2(17) – 4(5) + 3(-21)
= 34 – 20 - 63
= -49
𝑑. 𝐷 =
0 2 3
1 2 6
2 −3 4
det D =
0 2 3
1 2 6
2 −3 4
0
1
2
2
2
−3
( Metode Sarrus)
= (0+24-9) – (12+0+8)
= 15 - 20
= -5

8. 2. a.
−2 2
3 𝑎
= −8 b.
−4 𝑎
5 𝑎
=
9 6
9 4
-2 𝑎-6 = -8 -4𝑎-5𝑎 =36-54
-2𝑎 = -2 -9𝑎 = -18
𝑎 = 1 𝑎 = 2
c.
3 −2 −1
10 2 2𝑎 + 4
0 3 𝑎
= 10
(6𝑎+0-30) – (0+18𝑎+36-20𝑎)=10
(6𝑎-30) – (-2𝑎+36)-10 = 0
8𝑎-76 =0
8𝑎 =76
𝑎 =
76
8
𝑎 =
19
2

9. i) Setiapmatriks dan transposenya mempunyai determinan
yang sama atau det A = det AT
ii) Jika terdapat matriks A dan matriks B, maka berlaku
det(AB)=det (A) det (B)
iii) |A–1| = untuk A–1 adalah invers dari matriks A
|kA| = kn |A|, untuk A ordo n × n dan k suatu konstanta
SIFAT-SIFAT
DETERMINAN MATRIKS

10. Contoh Soal
Jika A = B=
Tentukan nilai :
1. det AT
2. det(AB)
3. |A–1|
4. |3A|

11. 1. det AT = det A
= 2(0) – 3(1)
= -3
2. det(AB) = det (A) det (B)
= (2(0)-3(1)) (2(3)-4(1)
= (-3)(2)
= -6
3. |A–1| =
1
| 𝐴 |
=
1
−3
4. |3A| = 32 |A|
=9 |-3|
= -27
Pembahasan

12. Invers Matriks
1. Invers Matriks berordo 2x2
Misalkan A =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
adalah matriks berordo 2 x2, Maka
inversnya adalah
Dengan detA ≠ 0 (matriks non singular)
Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol
matriksnya dikatakan sebagai matriks singular dan tidak
mempunyai invers.
Adjoin matriksA (adj A)=
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝐴−1
=
1
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎

13. Tentukan invers matriks-matriks berikut.
a. 𝐴 =
4 1
7 2
b. 𝐵 =
3 −2
5 −4
Jawab
a. 𝐴−1
=
1
8−7
2 −1
−7 4
=
1
1
2 −1
−7 4
=
2 −1
−7 4
b. 𝐵−1 =
1
−12−(−10)
−4 2
−5 3
=
1
−2
−4 2
−5 3
=
2 −1
5
2
−3
2
Contoh Soal

14. 2. Menentukan invers Matriks berordo 3x3
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
Adjoin matriks A dinotasikan adj(A), yaitu transpose dari matriks yang
elemen-elemennya merupakan kofaktor-kofaktor dari elemen-elemen
matriks A.
𝑘𝑜𝑓(𝐴) =
𝑀11 −𝑀12 𝑀13
−𝑀21 𝑀22 −𝑀23
𝑀31 −𝑀32 𝑀33
, maka
𝑎𝑑𝑗 𝐴 =
𝑀11 −𝑀21 𝑀31
−𝑀12 𝑀22 −𝑀32
𝑀13 −𝑀23 𝑀33
𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝑘𝑜𝑓(𝐴) 𝑇

15. Tentukan invers matriks-matriks
berikut.
a. 𝐴 =
1 −1 0
2 1 −2
0 1 3
b. 𝐵 =
2 −1 1
4 3 −2
−3 1 −1
Contoh Soal

16. a. 𝐴 =
1 −1 0
2 1 −2
0 1 3
𝐴 = 11
𝑎𝑑𝑗 𝐴 = 𝑘𝑜𝑓(𝐴) 𝑇
=
5 −6 2
3 3 −1
2 2 3
=
5 3 2
−6 3 2
2 −1 3
𝐴−1
=
1
det 𝐴
𝑥 𝑎𝑑𝑗 𝐴
=
1
11
5 3 2
−6 3 2
2 −1 3
b. 𝐵 =
2 −1 1
4 3 −2
−3 1 −1
𝐵 = 1
𝑎𝑑𝑗 𝐵 = 𝑘𝑜𝑓(𝐵) 𝑇
=
−1 −10 13
0 1 −1
−1 −8 10
=
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
𝐵−1 =
1
det 𝐵
𝑥 𝑎𝑑𝑗 𝐵
=
1
1
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
=
−1 0 −1
−10 1 −8
13 −1 10
Pembahasan

17. 3. Sifat-Sifat Invers Matriks
A. A−1 = A−1A = I
 A−1 −1 = A
 A 𝑇 −1
= A−1 𝑇
 𝐴𝐵 −1 = A−1B−1

18. Diketahui matriks A−1
=
2 −1
−7 4
dan B =
8 −1
2 0
, Tentukan :
a. 𝐴
b. B−1
c. A 𝑇 −1
d. 𝐴𝐵 −1
Contoh Soal

19. a. A−1 −1
= A
2 −1
−7 4
−1
= A
1
1
4 1
7 2
=A
4 1
7 2
=A
b. B−1
=
1
2
0 1
−2 8
=
0
1
2
−1 4
c. A 𝑇 −1
= A−1 𝑇
=
2 −1
−7 4
𝑇
=
2 −7
−1 4
d. 𝐴𝐵 −1 = A−1B−1
=
2 −1
−7 4
0
1
2
−1 4
=
1 −3
−4
25
2
Pembahasan

20. 1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Misal SPLDV , maka nilai x dan y dapat dicaridengan:
a. Determinasi
D =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
D𝑥=
𝑚 𝑏
𝑛 𝑑
Dy=
𝑎 𝑚
𝑐 𝑛
b. Invers Matriks
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑥
𝑦 =
𝑚
𝑛
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑚
𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑛
𝑥
𝑦 =
1
(𝑎𝑑 − 𝑏𝑐)
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
𝑚
𝑛
Penerapan Matriks untuk SPL
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷

21. Jika x dan y merupakan penyelesaianSPLDV
Tentukannilaix dan y menggunakancara determinasidan invers matriks !
Contoh Soal dan Pembahasan
𝑥 + 3𝑦 = −3
2𝑥 + 𝑦 = 4
a. Determinasi
D =
1 3
2 1
= -5
D𝑥=
−3 3
4 1
= -15
Dy=
1 −3
2 4
= 10
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−15
−5
= 3
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
10
−5
= −𝟐
b. Invers Matriks
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
𝑥
𝑦 =
𝑚
𝑛
𝑥
𝑦 =
1
−5
1 −3
−2 1
−3
4
𝑥
𝑦 =
3
−2

22. 2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Misal SPLTV , maka nilaix , y dan z dapat dicari dengan :
a. Determinasi
D =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
D𝑥=
𝑏1 𝑎12 𝑎13
𝑏2 𝑎22 𝑎23
𝑏3 𝑎32 𝑎33
Dy=
𝑎11 𝑏1 𝑎13
𝑎21 𝑏2 𝑎23
𝑎31 𝑏3 𝑎33
Dz=
𝑎11 𝑎12 𝑏1
𝑎21 𝑎22 𝑏2
𝑎31 𝑎32 𝑏3
b. Invers Matriks
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑎𝑑𝑗 𝐴
𝐴
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
𝑎11x + 𝑎12 𝑦 + 𝑎13 𝑧 = 𝑏1
𝑎21x + 𝑎22 𝑦 + 𝑎23 𝑧 = 𝑏2
𝑎31x + 𝑎32 𝑦 + 𝑎33 𝑧 = 𝑏3

23. Jika x dan y merupakan penyelesaianSPLDV
Tentukannilaix dan y menggunakancara determinasidan invers matriks !
Contoh Soal dan pembahasan 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 3
a. Determinasi
D =
1 3 1
2 2 1
2 3 1
= 1
D𝑥=
4 3 1
−1 2 1
3 3 1
= −1
Dy=
1 4 1
2 −1 1
2 3 1
= 4
Dz
1 3 4
2 2 −1
2 3 3
= −7
b. Invers Matriks
1 3 1
2 2 1
2 3 1
𝑥
𝑦
𝑧
=
4
−1
3
𝑥
𝑦
𝑧
=
1
1
−1 0 1
0 −1 1
2 3 −4
4
−1
3
𝑥
𝑦
𝑧
=
−1
4
−7𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
=
−1
1
= -1
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
=
4
1
= 𝟒
𝑧 =
𝐷𝑧
𝐷
=
−7
1
= -7

24. SOAL-SOAL
LATIHAN
24 16 Januari 2018

25. Soal SBMPTN
1. SBMPTN 2014
P ‘
1 2
1 3
Jika
X Y
-Z Z
2P-1
Tentukan X + Y
2. SBMPTN 2014
X
Y
2 1
-1 X
-1 4
-1
Tentukan 1/2 X + Y

26. 3. Soal SBMPTN 2015
D
-2 d
-3d 5
Jika D D-1
Tentukan hasil kali semua nila d !!!
4. Soal SBMPTN 2016
Tentukan Jika diketahui :
-1 -1
2 1
P
0
1
1
2
-1 -1
2 1
P 1
1
2
1
P

27. 5. SBMPTN 2017
a 4 = 1 2 1 2
b a 2 1 2 1
Tentukan Hasil a x b !
T

28. Pembahasan Soal SBMPTN
1. X + Y = ?
X Y
-Z Z
2 . 1
1
3 -2
-1 1
X Y
-Z Z
6 -4
-2 2
X = 6 Y = -4
X + Y = 6-(-4) = 2

29. =
=
=
=
Y
X
2 1
-1 x
4
1
Y
X
1
2𝑥 + 1
x -1
1 2
4
1
1
2𝑥 + 1
4x+1
2
Y
X
4x+1
2x+1
Pembahasan Soal SBMPTN
No 2 !
Tentukan
1
2
x + y !
-1
1
2
x + y =
1
2
2
2𝑥+1
+
4𝑥+1
2𝑥+1
=
4𝑥+2
2𝑥+1
=
2 (2𝑥+1)
(2𝑥+1)
= 2

30. Diket D = -2 d
3d 5
Jika D = D-1
D = 1
D
D2 = 1
(-10+3d2 )2 = 1
-10 + 3d2 = 1 -10 + 3d2 = -1
3d2 = 11 3d2 = 9
3d2 = 11 d2 = 3
d2 =
11
3
d =
11
3
atau d = -
11
3
d = 3 atau d = - 3
Pembahasan Soal SBMPTN
No 3 !
Tentukan Hasil kali semua d !
Hasil Kali Semua d !
=
11
3
. -
11
3
. 3 . - 3
=
11
3
. -
11
3
. 3 . - 3
= 11

31. -1 -1 P 0 = 1
2 1 1 2
-1 -1 P 1 = 2
2 1 1 1
Tentukan P
-1 -1 P 0 1 = 1 2
2 1 1 1 2 1
1 . P . ( -1 ) = -3
P =
−3
−1
= 3
Pembahasan Soal SBMPTN
No 4 !
Tentukan P

32. a 4 = 1 2 1 2
b a 2 1 2 1
a 4 = 5 4
b a 4 5
a x b = 5 x 4
= 20
Pembahasan Soal SBMPTN
No 5 !
Tentukan a x b
T

33. SOAL-SOAL UN 2012

34. Diketahui matriks A =
2 1
−3 4
, B =
5 6
−1 −3
, C =
−3 −5
−2 7
,dan D = 2A + B – C. Nilai
determinan matriks D = …
a. −89
b. −41
c. 41
d. 51
e. 89
Contoh Soal 1

35. D = 2A + B – C ↔ D = 2
2 1
−3 4
+
5 6
−1 −3
−
−3 −5
−2 7
↔ D =
4 2
−6 8
+
5 6
−1 −3
−
−3 −5
−2 7
↔ D =
4 + 5 − (−3) 2 + 6 − (−5)
−6 + −1 − (−2) 8 + −3 − (7)
↔ D =
12 13
−5 −2
Determinan matriks D = 12. −2 − 13. −5 = −24 − −65 = −24 + 65 = 41
Jawaban : C
Pembahasan 1

36. Jika matriks 𝐴 =
2 1
4 3
, dan B =
3 2
1 2
maka (𝐴𝐵)−1 adalah …
a. −
1
8
7 6
15 14
b. −
1
8
7 −6
−15 14
c.
1
8
14 6
15 7
d.
1
8
14 −6
−15 7
e.
1
8
−14 6
15 −7
Contoh Soal 2

37. AB =
2 1
4 3
3 2
1 2
↔ AB =
2.3 + 1.1 2.2 + 1.2
4.3 + 3.1 4.2 + 3.2
=
6 + 1 4 + 2
12 + 3 8 + 6
↔ AB =
7 6
15 14
Det AB = 7.14 − 6.15 = 98 − 90 = 8
(𝐴𝐵)−1 =
1
8
14 −6
−15 7
Jawaban : D
Pembahasan 2

38. Diketahui A =
1 −3
−2 4
, B =
−2 0
1 3
, C =
3 −1
1 −2
. Jika matriks D = −2𝐴 + 𝐵 − 𝐶.
Maka determinan matriks D adalah …
a. −10
b. −7
c. −5
d. 7
e. 10
Contoh Soal 3

39. D = −2𝐴 + 𝐵 − 𝐶 ↔ D = −2
1 −3
−2 4
+
−2 0
1 3
−
3 −1
1 −2
↔ D =
−2 6
4 −8
+
−2 0
1 3
−
3 −1
1 −2
↔ D =
−2 + −2 − (3) 6 + 0 − (−1)
4 + 1 − (1) −8 + 3 − (−2)
↔ D =
−7 7
4 −3
Determinan matriks D = −7. −3. −7.4 = 21 − 28 = −7
Jawaban : B
Pembahasan 3

40. Diketahui matriks A =
2𝑥 + 1 5
1 𝑥 + 1
, B =
5 𝑦 + 3
1 1
, C =
5 1
5 2
. Dan 𝐶 𝑇 adalah
transpos matriks C. Nilai 3𝑥 + 2𝑦 yang memenuhi 𝐴 + 𝐵 = 2𝐶 𝑇, adalah …
a. 10
b. 8
c. 6
d. 4
e. 3
Contoh soal 4

41. C =
5 1
5 2
→ 𝐶 𝑇
=
5 5
1 2
, sehingga: 𝐴 + 𝐵 = 2𝐶 𝑇
2𝑥 + 1 5
1 𝑥 + 1
+
5 𝑦 + 3
1 1
= 2
5 5
1 2
2𝑥 + 1 + 5 5 + 𝑦 + 3
1 + 1 𝑥 + 1 + 1
=
10 10
2 4
2𝑥 + 6 𝑦 + 8
2 𝑥 + 2
=
10 10
2 4
↔ 𝑥 + 2 = 4 ↔ y + 8 = 10
↔ 𝑥 = 4 − 2 ↔ 𝑦 = 10 − 8
↔ 𝑥 = 2 ↔ 𝑦 = 2
3𝑥 + 2𝑦 = 3 2 + 2 2 = 6 + 4 = 10`
Jawaban: A
Pembahasan 4

42. Diketahui matriks A =
2 −3
−1 5
, dan matriks B =
−1 2
2 3
. Invers matriks AB adalah
(𝐴𝐵)−1 = …
a. −
1
49
13 5
−11 −8
b. −
1
49
−8 −5
11 13
c.
1
49
13 5
−11 −8
d.
1
49
−8 −5
11 13
e.
1
49
11 −8
5 −13
Contoh soal 5

43. AB =
2 −3
−1 5
−1 2
2 3
↔ AB =
2. −1 + (−3.2) 2.2 + (−3.3)
−1. −1 + 5.2 −1.2 + 5.3
↔ AB =
−2 − 6 4 − 9
1 + 10 −2 + 15
↔ 𝐴𝐵 =
−8 −5
11 13
Det AB = −8.13 − −5.11 = −104 + 55 = −49
(𝐴𝐵)−1 =−
1
49
13 5
−11 −8
Jawaban: A
Pembahasan 5

44. KUNCI
JAWABAN SOAL NOMOR 1
2dan4-2,C.
2dan4,-4-E.2-dan3-2,B.
2dan3-2,D.2dan3-2,-A.
turut-berturutrdanqp,nilaimakaC.BAJika
513-
2-41-
65-2-
Cdan
745-
r55-
q7-p-
B
2-qr
4-1-4
3q-22p
AMatriksDiketahui



































45. KUNCI
JAWABAN SOAL NOMOR 2












































238-
4-13
C.
221
92
E.
498-
4-13
B.
1618-
24
D.
498-
4-13-
A.
.....BAmaka
12-
21
Bdan
43
1-2
AMatriksDiketahui
2

46. KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 3
5dan2C.
2atau1E.2dan5-B.
4atau3D.5dan2-A.
.....knilaiuntuk
singularmatriksadalahkI)-(AMatriks
.
10
01
Idan
13
42
AMatriksDiketahui















47. KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 4
4E.
3D.
2C.
2-B.
3-A.
.adalah....dNilaiB,AXdan
dc
ba
X
,
1411
3-7-
B,
32
1-1
AmatriksDiketahui





















48. KUNCI
JAWABAN
SOAL NOMOR 5










































10
42-
C.
41-
2-0
E.
01-
2-4
B.
02
41
D.
02-
41-
A.
.adalah....
810-
47-
X
42
31
persamaanmemenuhiyang2x2berordoXMatriks