Συναρτησιακές σχέσεις

1. Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς
Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
Π ρ ο σ ε γ γ ι σ ε ι ς

2. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
1
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
f(g(x)) = …
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f η καποιας τιμης της συναρτησης f.
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της g(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη δοσμενη
σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε x = g(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην g(x).
Δηλαδη αν g(x) = x - 4 τοτε: x = x - 4  x = x + 4
2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

3. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
2
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2
2
Aν θεσουμε στην δοσμενησχεσηοπου x το x + 2, τοτεπροκυπτει
f(x + 2 - 2) = (x + 2)
f(x) = (x + 2) με x ,πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Αρα
με x (1)
Aν θεσουμε

2
f(x) = (x + 2)
2
στην (1) οπου x το x + 2, τοτε
= (x + 2 + 2) = με x2
f(x + 2) (x + 4)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2
Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2) = x για καθε x .
Να βρειτε :
f(x)
f(x + 2)


4. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
3
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(g(x)) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της g(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη δοσμενη
σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε x = g(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην g(x).
Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4  x = x + 4
2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x),
ενω η f(x) θα μετατραπει σε f(g(x)).
Δηλαδη εχουμε δυο εξισωσεις με f(x) και f(g(x)) (αυτην που προεκυψε απ’την
αντικατασταση και τη δοσμενη) που σε συνδιασμο δινουν την f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

5. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
4
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2
2
2
(x = 3 - = 3 - x)
Eιναι f(x) + (1- x) f(3 - x) = x - x -1 (1)
Aν θεσουμε στην δοσμενησχεσηοπου x το 3 - x, τοτεπροκυπτει
f(3 - x) + (1- 3 + x) f(3 - 3 + x) = (3 - x) -(3 - x)-1
f(3 - x) + (x - 2) f(x) = 9 - 6x + x - 3 + x -1
xx
f(


 
 
2
2 2
2 2
2
3 - x) = (2 - x) f(x) + x - 5x + 5 (2)
H (1) λογω της(2) γινεται
f(x) + (1- x) [(2 - x) f(x) + x - 5x + 5] = x - x -1
f(x) + (1- x) [2f(x)- x f(x) + x - 5x + 5] = x - x -1
f(x) + 2f(x)- x f(x) + x

  
  
 2 3 2 2
- 5x + 5 - 2x f(x) + x f(x)- x + 5x - 5 = xx 
2
2 3 2
x - 3x + 3 0
2 3 2
Δ = 9 - 12 = - 3 < 0
3 2
2
- x -1
3f(x)- 3x f(x) + x f(x) = x - 5x + 9x - 6
(x - 3x + 3) f(x) = x - 5x + 9x - 6
x - 5x + 9x - 6
f(x) = με x ,
x - 3x + 3
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενη


  
 

σχεση.
Αρα
με x
3 2
2
x - 5x + 9x - 6
f(x) =
x - 3x + 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 2
Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x)+(1- x) f(3- x) = x - x - 1, για καθε x .
Να βρειτε το τυπο της συναρτησης f .


6. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
5
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(h(x)) και f(g(x)) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της g(x) και h(x) σε x (με καταλληλη αντικατασταση του x) στη
δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε x = g(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην g(x).
Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4  x = x + 4
2. Αντικαθιστουμε τo x στη δοσμενη σχεση, ωστε η f(g(x)) να μετατραπει σε f(x),
ενω η f(h(x)) θα μετατραπει, εστω σε f(r(x)).
[Εχουμε εξισωση ως προς f(x), f(r(x)) (1)].
3. Θετουμε x = r(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην r(x).
Δηλαδη αν r(x) = x + 1 τοτε: x = x + 1  x = x - 1
4. Αντικαθιστουμε τo x στην (1), ωστε η f(r(x)) να μετατραπει σε f(x), ενω η f(x)
θα μετατραπει σε f(r(x)). [Εχουμε εξισωση ως προς f(x), f(r(x)) (2)].
Δηλαδη εχουμε δυο εξισωσεις με f(x) και f(r(x)) ( η (1) και η (2)) που σε συνδυα-
σμο δινουν την f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

7. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
6
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2
2
2
(x = 5 - = 5 - x)
Eιναι f(x - 2)- 2 f(5 - x) = - x + 22x -70
Aν θεσουμε στην δοσμενησχεσηοπου x το 5 - x, τοτεπροκυπτει
f(5 - x - 2)- 2 f(5 - 5 + x) = - (5 - x) + 22(5 - x)-70
f(3 - x)- 2 f(x) = -25 + 10x - x + 11 22
x x
0 -


 

2
2
2
x -70
f(3 - x)- 2 f(x) = - x -12x + 15 (1)
(x = 3 - = 3 - x)
Aν θεσουμε στην (1) οπου x το 3 - x, τοτεπροκυπτει
f(3 - 3 + x)- 2 f(3 - x) = - (3 - x) -12(3 - x) + 15
f(x)- 2 f(3 - x) = - 9 + 6x - x - 36 + 12x +
x x
15
-



 
 
2
2 2
2f(3 - x) + f(x) = - x + 18x - 30 (2)
Aπο : 2×(1) + (2)πρικυπτει :
- 3 f(x) = - 3x - 6x f(x) = x + 2x ,πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει
τηδοσμενησχεση.
Αρα
με x
  
2
f(x) = x + 2x
με x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 2
Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x - 2)- 2 f(5 - x) = - x + 22x -70, για καθε x .
Να βρειτε το τυπο της συναρτησης f .


8. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
7
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(-x) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f.
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της f(-x) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε
μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε x = - x
2. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση .
3. Λυνουμε ως προς f(-x) .
4. Αντικαθιστουμε στην αρχικη δοσμενη σχεση, αυτο που βρηκαμε για f(-x) (3)
5. Λυνουμε την αρχικη δοσμενη σχεση, ως προς f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

9. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
8
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
3
3
3
3 3
2
Για - x = x ηδοσμενησχεση f(x) + x f(- x) = x -1 (1) γινεται :
f(- x)- x f(x) = (- x) -1
f(- x)- x f(x) = - x -1
(2)
Eτσι η(1) λογω της(2) :
f(x) + x (x f(x)- x -1) = x -1
f(x) + x

 
 

  
3
f(- x) = x f(x)- x - 1
2
4 3
1+ x 0
2 4 3
4 3
2
2
f(x)- x - x = x -1
(1+ x ) f(x) = x + x + x -1
x + x + x -1
f(x) =
1+ x
f(x) = x + x -1,με x ,πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Αρα
με x

 
 


2
f(x) = x + x - 1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 3
Για τη συναρτηση f ισχυει : f(x)+ x f(- x) = x - 1, για καθε x .
Να βρειτε το τυπο της συναρτησης f .

4 3 2
4 2 2
3 2
3
2
2
x + x + x - 1 1 + x
-x - x x + x - 1
x - x + x - 1
-x - x
-x - 1
+x + 1
0

10. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
9
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και f(
1
x
) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f.
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της f(
1
x
) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε
μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε x =
1
x
.
2. Αντικαθιστουμε στη δοσμενη σχεση .
3. Λυνουμε ως προς f(
1
x
) .
4. Αντικαθιστουμε στην αρχικη δοσμενη σχεση, αυτο που βρηκαμε για f(
1
x
) (3)
5. Λυνουμε την αρχικη δοσμενη σχεση, ως προς f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

11. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
10
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
1 1
Για = x ηδοσμενησχεση 4f(x) + x f( ) = 5x -10 (1) γινεται :
x x
1 1 1
4f( ) + f(x ) = 5 -10
x x x
1 5 1
4f( ) = -10 - f(x )
x x x
(2)
Eτσι η(1) λογω της(2) :
4f(x) + x

  
 
5 - 10x - f(x )1
f( ) =
x 4x
5-10x - f(x )
4 x
 = 5x -10
16f(x) + 5-10x - f(x ) = 20x - 40
15f(x) = 30x - 45
f(x) = 2x - 3,με x ,πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Αρα
με x




f(x) = 2x - 3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

1
Για τησυναρτηση f ισχυει : 4f(x)+ x f( ) = 5x - 10, για καθε 0 x .
x
Να βρειτε το τυπο της συναρτησης f .


12. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
11
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f.
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της f(x + y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω
σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Mετατρεπουμε την ποσοτητα x + y σε x .
Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y =
x
2
. Ετσι το f(x + y) γινεται f(x) .
2. Με την πιο πανω μετατροπη, απαλειφονται τα f(x), f(y) .
3. Λυνουμε τη σχεση που προκυπτει, ως προς f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Ο ιδιος τροπος αντιμετωπισης, αν το ζητουμενο ηταν να αποδειξουμε οτι η f
ειναι σταθερη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

13. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
12
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Ειναι
f(x + y) = f(x)- f(y) (1)
x
Θετουμε στην (3) οπου x = y = .
2
Ετσι
x x x x
f( + ) = f( )- f( ) ,
2 2 2 2
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Α ο τυπος της συναρτησηςειναι :
για καθε x .
ρα


f(x) = 0
f(x) = 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Για τησυναρτηση f ισχυει : f(x + y) = f(x)- f(y), για καθε x .
Να βρειτε τοτυποτης συναρτησης f .


14. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
13
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι περιττη .
Σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι :
1. Το πεδιο ορισμου ειναι συμμετρικο ως προς το 0 .
2. f(- x) = - f(x) .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = - x .
3. Eχοντας δοσμενο το f(0), προκυπτει f(- x) = - f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
H δοσμενη σχεση με κατευθυνει με τι να αντικαταστησω το y. Στη περιπτωση
αυτη, θελω να “εξαφανισω” το x + y και να εμφανισω το - x .
ΜΕΘΟΔΟΣ

15. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
14
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
f
Το πεδιο ορισμου της f, A = ,πουειναι συμμετρικο ωςπρος το 0 .
Ετσι, αν x , τοτε και - x .
Eιναι :f(x + y) = f(x) + f(y) (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) = f(0) + f(0)Û f(0) = 2f(0
 

(2 )
) f(0) = 0 (2)
Για y = - x η (1) γινεται : f(0) = f(x) + f(- x) 0 = f(x) + f(- x)
Aρα, η f ειναι περιττη στο .

 
f(- x) = - f(x)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
, .
Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
f(x + y) = f(x)+ f(y), x,y να δειξετε οτι ησυναρτηση f ειναι περιττη



16. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
15
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 0, με
γνωστη την f’(0) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση της παραγωγου 0 0
f '(x ), με x 0 .
Σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε τη ζητουμενη παραγωγο στη θεση 0
x 0 .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
2. Mεσω του ορισμου της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, εκφραζουμε την
f’(0) .
3. Mεσω του ορισμου της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, βρισκουμε την
0
f'(x ).
▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0 0
x - x τοτεαν x x u 0   .
▪ Xρησιμοποιωντας τη δοσμενη σχεση για την παρασταση 0
f(u+ x ) .
▪ Αντικαθιστωντας τα f(0) και f’(0) .
▪ Xρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Η αλλαγη μεταβλητης μετατρεπει τον παρονομαστη του κλασματος του οριου
του ορισμου σε u, χωρις προβλημα, γιατι θα χρησιμοποιησουμε την εκφραση της
f’(0) απ’τον ορισμο, οπου και εκει υπαρχει το u στον παρονομαστη του κλασμα-
τος του οριου .
ΜΕΘΟΔΟΣ

17. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
16
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
(2 ) f'(0) = 0
0 0
Eιναι :f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy -1 (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται :
f(0) = f(0) + f(0) + 0 -1 (2)
Για x = 0 :
f(x)- f(0) f(x)-1
f'(0) = lim = lim (
x - 0 xx x 


x 0
f(0) = 1
f(x)- 1
lim = 0
x
0
0 0
Θετουμε u = x - x (1)
0 0 0
0 x x Αν x x τοτε, u 0 u 0
0
0
u 0
3)
Για x 0 :
f(x)- f(x ) f(u + x )- f(x )
f'(x ) = lim = lim =
x - x u
f(u) + f(x )
= lim
   


0 0
+ 2ux -1- f(x ) 0
u 0
u 0
f(u) + 2ux -1
= lim =
u u
2 u
= lim


0
x
u
(3)
0 0u 0 u 0
0
f(u)-1
+ lim = lim2x + 0 = 2x
u
Aρα, για καθε x 0 .
 
0 0
f '(x ) = 2x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
0
0 0 0
,
να δειξετε οτι .
Αν ησυναρτηση f ειναι παραγωγισιμηστο x = 0 με f'(0) = 0 και ισχυει :
f(x + y) = f(x)+ f(y)+ 2xy - 1, για καθε x,y
f'(x ) = 2x , για καθε x 0



18. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
17
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 0, με
γνωστη την f’(0) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να καταληξουμε σε ισοτητα παραγωγων, εστω f’(x) = g’(x) και να χρησιμοποιη-
σουμε την ισοδυναμια f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
2. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, εκφραζουμε την f’(0) .
3. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, βρισκουμε την 0
f '(x ).
▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0 0
x - x τοτεαν x x u 0   .
▪ Xρησιμοποιωντας τη δοσμενη σχεση για την παρασταση 0
f(u+ x ) .
▪ Αντικαθιστωντας τα f(0) και f’(0) .
▪ Xρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων .
4. Aπ’το προηγουμενο εχουμε f’(x) = g(x), οποτε βρισκουμε μια αρχικη της g .
5. Iσχυει f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την
εκφραση της f’(0) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Η αλλαγη μεταβλητης μετατρεπει τον παρονομαστη του κλασματος του οριου
του ορισμου σε u, χωρις προβλημα, γιατι θα χρησιμοποιησουμε την εκφραση της
f’(0) απ’τον ορισμο, οπου και εκει υπαρχει το u στον παρονομαστη του κλασμα-
τος του οριου .
ΜΕΘΟΔΟΣ

19. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
18
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
(2 ) f'(0) = 0
0 0
Eιναι :f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy -1 (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται :
f(0) = f(0) + f(0) + 0 -1 (2)
Για x = 0 :
f(x)- f(0) f(x)-1
f'(0) = lim = lim (
x - 0 xx x 


x 0
f(0) = 1
f(x)- 1
lim = 0
x
0
0 0
Θετουμε u = x - x (1)
0 0 0
0 x Αν x x τοτε, u 0 u 0
0
0
u 0
3)
Για x 0 :
f(x)- f(x ) f(u + x )- f(x )
f'(x ) = lim lim =
x - x u
f(u) + f(x )
= lim
x    


=
0 0
+ 2ux -1- f(x ) 0
u 0
u 0
f(u) + 2ux -1
= lim =
u u
2 u
= lim


0
x
u
f(0) = 1
2
(3)
0 0u 0 u 0
Θετουμε x = 0
2 2 2
f(0) = 0 + c 1= c
f(u)-1
+ lim = lim2x + 0 = 2x
u
Ειναι :
f'(x) = 2x f'(x) = (x )' f(x) = x + c f(x) = x +1,πουειναι δεκτη,
αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο
 

  
τυπος της συναρτησηςειναι
για καθε x .2
f(x) = x + 1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
0
, .
Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 0 με f '(0) = 0 και ισχυει :
f(x + y) = f(x)+ f(y)+ 2xy - 1, για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της

20. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
19
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(f(x + y)) και f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(0)) .
2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = 1, y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(1)) .
3. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = - x . Ετσι θα βρουμε σχεση μεταξυ f(x), f(-x) .
4. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 0 . Ετσι θα βρουμε την f(f(x)) (η βασικη).
5. Θετουμε στη βασικη σχεση , x = - x , με τη βοηθεια των (1), (2), (3) βρισκουμε
τον τυπο της συναρτησης f για x ≠ 0.
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση που θελουμε ο τυπος της συναρτησης να ισχυει για καθε x, απο-
δεικνυουμε οτι ο τυπος της συναρτησης αληθευει και για x = 0, με τη βοηθεια
του τυπου και της περιπτωσης (2) .
ΜΕΘΟΔΟΣ

21. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
20
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Eιναι :f(f(x + y)) = x f(x) + y f(y) (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται :
f(f(0)) = 0 f(0) + 0 f(0) (2)
Για x = 1,y = 0 η (1) γινεται :
f(f(1)) = 1 f(1) + 0 f(0)
 
  
  
f(f(0)) = 0
f(f(1)) = f(1)
(2)
(3)
Για y = 0 η (1) γινεται :
f(f(x)) = x f(x) + 0 f(0) (4)
Για y = - x η (1) γινεται :
f(f(0)) = x f(x)- x f(- x) 0 = x
  
  
f(f(x)) = xf(x)
f(x)- x
(5) (4) x 0
Γ x =
f(- x) (5)
Για x = - x η (4) γινεται :
f(f(- x)) = - x f(- x) f(f(x)) = - x f(x) x f(x) = - x f(x) 2x f(x) = 0
, για καθε x 0 .
Ομως η(3) :
f(f(1)) = f(1)
ια

 
        


f(x) = f(-x)
f(x) = 0
f(x) = 0
1 f(1) = 0
,
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο τυπος της f ειναι :
στο .

f(0) = 0
f(x) = 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
.
Να βρεθουν ολες οι συναρτησεις f : αν ισχυει :
f(f(x + y)) = xf(x)+ yf(y), x,y



22. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
21
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) και f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της f(x - y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω
σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = x
3. Mε τη βοηθεια της (1), η (2) δινει τον τυπο της συναρτησης .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

23. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
22
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2
f(0) 1
Eιναι :f(x - y) = f(x) f(y) (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) = f(0) f(0) f (0)- f(0) = 0
f(0) = 0
f(0)[f(0)-1] = 0 η (2)
f(0)-1 = 0
Για y = x η (1) γινεται : f(0) = f(x) f(x)


  


 



f(0) = 0
(2 )
2
0 = f (x) f(x) = 0,
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο τυπος της f ειναι στο .
 
f(x) = 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 , .
Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
f(x - y) = f(x) f(y), x,y να βρεθει οτυπος της συναρτησης f,αν f(0) 1

 

24. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
23
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) και f(x + y) στο ενα μελος και x, y στο αλλο .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη των f(x - y) , f(x + y) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να
καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y =
x
2
.
3. Mε τη βοηθεια της (1), η (2) δινει τον τυπο της συναρτησης .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση που η δοσμενη σχεση περιεχει f(αx - βy) και f(αx + βy), τοτε:
4. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 0 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(0) .
5. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , y =
αx
β
και στη σχεση που προκυπτει, με τη
βοηθεια της (4), θετουμε οπου x =
x
2α
.
6. Λυνουμε ως προς f(x) .
ΜΕΘΟΔΟΣ

25. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς 24
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
(2 )
1.
Eιναι :f(x + y) + f(x - y) = 4x (1)
Για x = y = 0 η (1) γινεται : f(0) + f(0) = 4 0 2f(0) = 0 f(0) = 0 (2)
x x x x x x
Για x = y = η (1) γινεται : f( + ) + f( - ) = 4 f(x) + f(0) = 2x
2 2 2 2 2 2
f(x) 2 ,πουειναιx
  
  
= δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο τυπος της f ειναι στο .
2.
Eιναι :f(2x + 3y)- f(2x - 3y) = 6xy (3)
2x 3 2 x 3 2 x 2x
Για y = η (3) γινεται : f(2x + )- f(2x - ) = 6 x
3 3 3 3
f(4x)-
   
  
f(x) = 2x
(υποθεση)
2 2
2
2
f(0) = 4x f(4x) = 4x (4)
x x x x
Για x = η (4) γινεται : f(4 ) = 4 ( ) f(x) = ,
4 4 4 4
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο τυπος της f ειναι στο .

  
2
x
f(x) =
4
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

, να βρεθει οτυπος της συναρτησης f .
, να βρεθει οτυπος
1. Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
f(x + y)+ f(x - y) = 4x, x,y
2. Αν για την συναρτηση f : ισχυει : f(0) = 0 και
f(2x + 3y)- f(2x - 3y) = 6x y, x,y



 της συναρτησης f .

26. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
25
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x - y) + f(x + y) στο ενα μελος και 2f(x) η 2f(y) στο
αλλο .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θεωρουμε σταθερο το x, αν εχουμε 2f(x) η σταθερο το y, αν εχουμε 2f(y) και
παραγωγιζουμε τα δυο μελη ως προς το αλλο (x η y) .
2. Απ’τη παραγωγιση μηδενιζει το 2f(x) η 2f(y) και προκυπτει σχεση μεταξυ των
(x - y) , f(x + y) .
3. Θετουμε στη προηγουμενη σχεση , x = y =
x
2
και προκυπτει f’(x) = g(x) .
4. Aπ’το προηγουμενο εχουμε f’(x) = g(x), οποτε βρισκουμε μια αρχικη της g .
5. Iσχυει f’(x) = g’(x) ⇔ f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την εκ-
φραση της f’(0) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Η περιπτωση αυτη μοιαζει με την προηγουμενη, με τη διαφορα οτι δεν μπορουμε
να χρησιμοποιησουμε την ισοτητα , x = y = 0 . «Αγκαθι» το 2f(x) η 2f(y) .
ΜΕΘΟΔΟΣ

27. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς 26
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
f(x) σταθερο
Eιναι :f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) (1)
Θεωρουμε τον x σταθερο και παραγωγιζουμε την (1) ωςπρος y :
f'(x + y)×(x + y)' + f'(x - y)×(x - y)' = [2f(x)]' f'(x + y)- f'(x - y) = 0 (2)
x
Για x = y = η (2) γ
2

f(0) = 1
f'(0) = 1
Για x = 0
f(0) = 0 + c c = 1
ινεται :
x x x x
f'( + )- f( - )' = 0 f'(x)- f'(0) = 0 f'(x)-1 = 0 f'(x) = 1
2 2 2 2
f'(x) = (x)' f(x) = x + c f(x) = x + 1,
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα

   
 
, ο τυπος της f ειναι στο .f(x) = x + 1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
, να βρεθει οτυπος της συναρτησης f .
Αν για την παραγωγισιμησυναρτηση f : ισχυει : f '(0) = f(0) = 1 και
f(x + y)+ f(x - y) = 2f(x), x,y



28. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
27
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x + y) και ισχυει f’(x) = f(x) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Πολλαπλασιαζουμε την ισοτητα f’(x) = f(x) με e -x και προκυπτει
-x
(e f(x))' = 0 .
2. Η προηγουμενη δινει -x x
e f(x) = c f(x) = ce , x  
3. Αντικαθιστωντας στη δοσμενη, προσδιοριζουμε το c .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση αυτη, η ισοτητα f’(x) = f(x) η f’(x) - f(x) = 0 με οδηγει στο τεχνα-
σμα του πολλαπλασιασμου με e -x, ωστε να προκυψει παραγωγος γινομενου ιση
με μηδεν .
ΜΕΘΟΔΟΣ

29. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
28
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
- x - x - x - x
- x - x - x - x x
(1)
x + y y xx
Eιναι :
f'(x) = f(x) e f'(x) = e f(x) e f'(x)- e f(x) = 0
e f'(x) +(e )' f(x) = 0 (e f(x))' = 0 e f(x) = c f(x) = c e , x (1)
Oμως
f(x + y) = f(x) f(y) c e = c e c e c e
      
        
        + y x + y2 2
x
0 0
x x
= c e c = c
c = 0 c = 0
c(c -1) = 0 η η
c -1 = 0 c = 1
Αν c = 0 τοτε :f(x) = 0 e = 0,
αδυνατο, αφου υπαρχει x με f(x ) 0
Αν c = 1τοτε :f(x) = 1 e = e ,
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει
  
 
 
  
 
 

 

τηδοσμενησχεση.
Aρα, ο τυπος της f ειναι στο .x
f(x) = e
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
, 0 0
, ε ,
Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει : f '(x) = f(x) και
f(x + y) = f(x) f(y), x,y νω υπαρχει x ωστε f(x ) 0 να βρεθει ο
τυπος της συναρτησης f .

  

30. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
29
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Αποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι 1 - 1.
Σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι : 1 2 1 2
f(x ) = f(x ) x = x .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση ,
▪ y =
1
x
. Ετσι θα βρουμε την τιμη f(
1
x
) .
▪ y =
1
y
. Ετσι θα βρουμε την τιμη f(
x
y
) .
3. Ξεκινουμε απ’την ισοτητα 1 2
f(x ) = f(x ) και αντικαθιστωντας καποιο απ’τα
δυο μελη, συμφωνα με τα παραπανω, προσπαθουμε να φτασουμε στο
1
1 2
2
x
= 1 x = x
x
 .
ΜΕΘΟΔΟΣ

31. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
30
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
(2 )
Eιναι :f(xy) = f(x) + f(y) (1)
Για x = y = 1 η (1) γινεται : f(1) = f(1) + f(1) f(1) = 0 (2)
1 1 1 1
Για y = η (1) γινεται : f(1) = f(x) + f( ) 0 = f(x) + f( ) f( ) = - f(x) (3)
x x x x
1
Για y = η (1) γι
y

 
(3 )
(3 ) (1) (2 )
1
1 2 1 1
2 2 2
1
2
x 1 x
νεται : f( ) = f(x) + f( ) f( ) = f(x)- f(y) (4)
y y y
Ετσι
x1 1
f(x )- f(x ) = 0 f(x ) + f( ) = 0 f(x ) = 0 f( ) = 0
x x x
x
= 1
x
Aρα, η f ειναι ''1-1'' στο .

     

1 2
1 2
f(x ) = f(x )
x = x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 , .
Αν για την συναρτηση f ισχυει :
f(x y) = f(x)+ f(y), x,y να δειξετε οτι ησυναρτηση f ειναι ''1- 1''

32. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
31
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη των f(xy) σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να καταληξω σε
μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 1.
Ετσι θα εμφανισουμε την f(x) και f(1) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στη περιπτωση ευρεσης καποιας τιμης της συναρτησης, στον τυπο της, που
βρηκαμε, αντικαθιστουμε τον x με την συγκεκριμενη τιμη .
ΜΕΘΟΔΟΣ

33. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
32
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2
(2
Eιναι : 2f(xy) = f(x) f(y) + xy (1)
Για x = y = 1 η (1) γινεται :
2f(1) = f(1)×f(1) + 1 f (1)- 2f(1) + 1 = 0 [f(1)-1] = 0 f(1)-1 = 0
(2)
Για y = 1 η (1) γινεται :
2 f(x) = f(x) f(1) + x 1

   
  
f(1) = 1
)
2 f(x) = f(x) 1+ x 2 f(x)- f(x) = x f(x) = x,
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .
  
f(x) = x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 
*
*
, να βρεθει οτυπος της συναρτησης f .
Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
2f(x y) = f(x) f(y)+ xy, x,y



34. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
33
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και
1 1
f( ), f( )
x y
.
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη των f(xy) και
1 1
f( ), f( )
x y
σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα
να καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y =
1
x
.
Ετσι θα εμφανισουμε την f(x), f(1) και f(
1
x
) και μια σχεση μεταξυ f(x), f(
1
x
) .
3. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y = 1.
Ετσι θα εμφανισουμε την f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στο (3) εχουμε τα απαραιτητα να βρουμε τον τυπο της συναρτησης f .
ΜΕΘΟΔΟΣ

35. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
34
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
(2)
1 1
Eιναι :f(x y) = f( ) + f( ) (1)
x y
Για x = y = 1 η (1) γινεται :
f(1) = f(1) + f(1) 2f(1)- f(1) = 0 (2)
1
Για y = η (1) γινεται :
x
1 1
f(1) = f( ) + f(x) 0 = f( ) + f(x)
x x

 
 
f(1) = 0
1
f( ) = - f(x)
x
(3 )(2 )
0
(3)
Για y = 1 η (1) γινεται :
1 1
f(x 1) = f( ) + f(1) f(x) = f( ) + 0 f(x) = - f(x) 2f(x) = 0 f(x) = 0,
x x
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι
   
*
στο .f(x) = 0
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

*
*
, .
Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
1 1
f(x y) = f( )+ f( ), x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f
x y



36. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
35
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του
x
f( )
y
.
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη:
x
f( )
y
= … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y =
1
x
.
Ετσι θα εμφανισουμε την f(x), f(1) και f(
1
x
) και μια σχεση μεταξυ f(x), f(
1
x
) .
3. Κρατουμε σταθερο τον x και θετουμε στη δοσμενη σχεση , y =
1
y
.
Ετσι θα εμφανισουμε τo
x
f( )
y
.
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στο (3) εχουμε τα απαραιτητα να βρουμε το ζητουμενο .
ΜΕΘΟΔΟΣ

37. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
36
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Για x = y(2)
Eιναι :f(x y) = f(x) + f(y) (1)
Για x = y = 1 η (1) γινεται :
f(1) = f(1) + f(1) 2f(1)- f(1) = 0 (2)
1
Για y = η (1) γινεται :
x
1 1 1
f(1) = f(x) + f( ) 0 = f(x) + f( ) f( ) = - f(x)
x x x

 
  
f(1) = 0
(3 )
(3)
1
Για y = η (1) γινεται :
y
1 x
f(x ) = f(x) + f( ) = f(x) .
y
1
f( ) y
y y
- f( )  
1
f( ) = - f(y)
y
x
f( ) = f(x)- f(y)
y
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
* *
+ +
,
: .
Αν για την συναρτηση f : ισχυει : f(x y) = f(x)+ f(y), x,y
x
να αποδειχτει οτι f( ) = f(x)- f(y)
y
 

38. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
37
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 1, με
γνωστη την f’(1) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, εκφραζουμε την f’(1) .
3. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, βρισκουμε την 0
f '(x ).
▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0
0
x
τοτε αν x x u 1
x
   .
▪ Xρησιμοποιωντας τη δοσμενη σχεση για την παρασταση 0
f(u x ) .
▪ Αντικαθιστωντας τα f(1) και f’(1) .
▪ Xρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων .
4. Aπ’το προηγουμενο εχουμε f’(x) = g(x), οποτε βρισκουμε μια αρχικη της g .
5. Iσχυει f’(x) = g’(x)  f(x) = g(x) + c . Αρκει να προσδιορισουμε το c, απ’την
εκφραση της f’(1) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Η αλλαγη μεταβλητης μετατρεπει τον παρονομαστη του κλασματος του οριου
του ορισμου σε u, χωρις προβλημα, γιατι θα χρησιμοποιησουμε την εκφραση της
f’(1) απ’τον ορισμο, οπου και εκει υπαρχει το u στον παρονομαστη του κλασμα-
τος του οριου .
Ειναι: f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .
ΜΕΘΟΔΟΣ

39. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
38
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
f(1) 0
2
(2 )
1 1
Eιναι :f(x y) = f(x) f(y) (1)
Για x = y = 1 η (1) γινεται :
f(1) = f(1) f(1) f (1)- f(1) = 0 f(1)(f(1)-1) = 0 f(1)-1 = 0 (2)
Για x = 1:
f(x)- f(1) f(x
f'(1) = lim = lim
x -1x x

 
 
     f(1) = 1
0
0 0
f'(1) = 1
0
x
Θετουμε u =
x (1)
0 0 0
x Αν x x τοτε, u 1 u 1
0 0 0
u 1
)-1
(3)
x -1
Για x = x 0 :
f(x)- f(x ) f(u x )- f(x )
= lim = lim =
x - x u x - x
f(u) f(
= lim
x    






x 1
0
f(x)- 1
lim = 1
x - 1
f '(x )

2
0 0 0
u 1
0 0 0
(3)
0 0 0
u 1 u 1 u 1 u 1
0 0 0
x 0
2
x )- f(x ) f(x ) [f(u)-1]
= lim =
u x - x x (u -1)
f(x ) f(x ) f(x )f(u)-1
= lim lim = lim 1 = lim =
x u -1 x x
Eτσι
f(x) x f'(x)- x' f(x) f
f'(x) = x f'(x)- f(x) = 0 = 0
x x

   


 
 
 
   
0
0
f(x )
x
Ειναι f'(x) = c f'(1) = c
Oμως f'(1) = 1 τοτε c = 1
(x)
' = 0
x
f(x)
= c f(x) c x f(x) x,
x
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .

 
 
 
  
f(x) = x
= =
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 
0
,
Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 1 με f '(1) = 1, f(1) 0 και ισχυει :
f(x y) = f(x) f(y), για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .


40. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
39
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy), f(x), f(y) και ειναι παραγωγισιμη στο x = 1, με
γνωστη την f’(1) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη της δοσμενης σχεσης σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = y = 1 . Ετσι θα βρουμε την τιμη f(1) .
2. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, εκφραζουμε την f’(1) .
3. Aπ’τον ορισμο της παραγωγου,
0
0
0 x x
0
f(x) - f(x )
f'(x ) = lim
x - x
, βρισκουμε την 0
f '(x ).
▪ Κανοντας αλλαγη μεταβλητης : u = 0
0
x
τοτε αν x x u 1
x
   .
▪ Xρησιμοποιωντας τη δοσμενη σχεση για την παρασταση 0
f(u x ) .
▪ Αντικαθιστωντας τα f(1) και f’(1) .
▪ Xρησιμοποιωντας τις ιδιοτητες των οριων .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Η αλλαγη μεταβλητης μετατρεπει τον παρονομαστη του κλασματος του οριου
του ορισμου σε u, χωρις προβλημα, γιατι θα χρησιμοποιησουμε την εκφραση της
f’(1) απ’τον ορισμο, οπου και εκει υπαρχει το u στον παρονομαστη του κλασμα-
τος του οριου .
Ειναι: f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .
ΜΕΘΟΔΟΣ

41. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
40
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
f(1) 0
2
(2 )
1 1
Eιναι :f(x y) = f(x) f(y) (1)
Για x = y = 1 η (1) γινεται :
f(1) = f(1) f(1) f (1)- f(1) = 0 f(1)(f(1)-1) = 0 f(1)-1 = 0 (2)
Για x = 1:
f(x)- f(1) f(
f'(1) = lim = lim
x -1x x

 
 
     f(1) = 1
0
0 0
f'(1) = 1
0
Θετουμε u =
x (1)
0 0 0
x Αν x x τοτε, u 1 u 1
0 0 0
u 1
x)-1
(3)
x -1
Για x = x 0 :
f(x)- f(x ) f(u x )- f(x )
= lim lim =
x - x u x - x
f(u) f
= lim
x    






x 1
0
f(x)- 1
lim = 1
x - 1
f '(x )
x
=

2
0 0 0
u 1
0 0 0
(3)
0 0 0
u 1 u 1 u 1 u 1
0 0 0
x 0
2
(x )- f(x ) f(x ) [f(u)-1]
= lim =
u x - x x (u -1)
f(x ) f(x ) f(x )f(u)-1
= lim lim = lim 1 = lim =
x u -1 x x
Eτσι
f(x) x f'(x)- x' f(x)
f'(x) x f'(x)- f(x) = 0
x x

   


 
 
 
   
0
0
f(x )
x
= = 0
Ειναι f'(x) = c f'(1) = c
Oμως f'(1) = 1 τοτε c = 1
f(x)
' = 0
x
f(x)
c f(x) c x f(x) x,
x
πουειναι δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο

 
 
 
  
f(x) = x
= = =
.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 
0
,
Αν η συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο x = 1 με f'(1) = 1, f(1) 0 και ισχυει :
f(x y) = f(x) f(y), για καθε x,y να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .


42. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
41
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(xy) και
x
f( ), f(x)
y
και γνωστα τα f(1) και f’(1) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Μετατροπη των f(xy) και
x
f( )
y
σε f(x) στη δοσμενη σχεση, με αποτελεσμα να
καταληξω σε μορφη: f(x) = … .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση , x = 1 και y = x .
Ετσι θα εμφανισουμε την f(x), f(1) και f(
1
x
) και μια σχεση μεταξυ f(x), f(
1
x
) ,
αφου το f(xy) μετατρεπεται σε f(x) και το
x 1
f( ), σε f( )
y x
.
Την σχεση μεταξυ f(x), f(
1
x
), την παραγωγιζουμε και εστω (1) αυτη που θα
προκυψει (σχεση μεταξυ f’(x), f’(
1
x
)) .
2. Στη δοσμενη σχεση θεωρουμε σταθερο το y και παραγωγιζουμε ως προς x .
Ετσι θα εμφανισουμε την f’(xy), f’(x) και f’(
x
y
) . Στη συνεχεια στη σχεση που
προκυπτει, θετουμε x = 1 και y = x και προκυπτει μια σχεση μεταξυ f’(x),
f’(
1
x
), εστω (2).
3. O συνδιασμος των (1), (2) δινει την f(x) .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Γνωστο το f(1), αν η ασκηση δεν επιτρεπει την ευρεση του απο αντικατασταση
x = y = 1 στη δοσμενη σχεση .
ΜΕΘΟΔΟΣ

43. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
42
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
f(1) = 0
x
Eιναι :f(x y) + f( ) = 2f(x) (1)
y
Για x = 1 και y = x η (1) γινεται :
1 1
f(x) + f( ) = 2f(1) f(x) + f( ) = 0 (2)
x x
H f ειναι παραγωγισιμη.
Ετσι παραγωγιζουμε την (2) και προκυπτει :
f'(x) +


Για x = 1, y = x f'(x) =
1 1
f'( ) ( )' = 0 (3)
x x
Παραγωγιζουμε ωςπρος x την (1),θεωρωντας τον y σταθερο, και προκυπτει :
x 1 1 1
f'(x y) y + f'( ) = 2f'(x) f'(x) x + f'( ) = 2f'(1)
y y x x
  
      
2
1 1
f '(x)- f '( ) = 0
xx
1
x > 0
Ειναι f(x) = lnx + c f(1) = ln1+ c = c
Oμως f(1) = 0 τοτε c = 0
1 1
f'(x) x + f'( )× = 2 (4)
x x
Aπο (3) + (4) :
2 1
2f'(x) f'(x) f'(x) = (lnx)' f(x) lnx + c
x x
f(x) lnx,πουειναι

  
   
2
1 1 2
f '(x)+ f '( ) =
x xx
= = =
=
*
+
δεκτη, αφουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
Aρα, o τυπος της συναρτησης f ειναι στο .f(x) = lnx
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
 ,
Αν για την παραγωγισιμησυναρτηση f : (0, + ) ισχυει : f '(1) = 1, f(1) = 0
x
και f(x y)+ f( ) = 2f(x), για καθε x,y > 0 να βρεθει ο τυπος της συναρτησης f .
y


44. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
43
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση ειναι διπλη ανισοτητα και περιεχει f(x), f(g(x)) , συνηθως στα
ακραια μελη .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Ευρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Απ’τη δοσμενη διπλη ανισοτητα να καταληξω σε: f(x) ≥ α και f(x) ≤ α .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
Aν η δοσμενη ανισοτητα ειναι της μορφης Α ≤ Β ≤ Γ
1. Λυνουμε την Α ≤ Β ως προς f(x) η f(g(x)) .
2. Λυνουμε την B ≤ Γ ως προς f(x) η f(g(x)) .
3. Θετουμε x = g(x) και λυνουμε ως προς το x που υπαρχει στην g(x).
Δηλαδη αν g(x) = x – 4 τοτε: x = x – 4 ⇒ x = x + 4
4. Αντικαθιστουμε τo x στη ανισωση που περιεχει f(g(x)), ωστε η f(g(x)) να
μετατραπει σε f(x) .
5. Προκυπτει: f(x) ≥ α και f(x) ≤ α, οποτε f(x) = α .
ΜΕΘΟΔΟΣ

45. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
44
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2
2
Για x = x + 1
2
2
2
Ειναι :f(x) x + f(x -1) + 2x
f(x) x + x (1)
x + x f(x -1) + 2x
(x + 1) + x + 1 f(x + 1-1) + 2(x + 1)
x + 2x
x 

 
 
+ 1 + + 1x f(x) + 2x + 2
2
2
f(x) x + x (2)
Aπο τις(1) και (2)προκυπτει : f(x) = x + x, x ,
πουεπαληθευει τη δοσμενη σχεση(για τηνισοτητα).
Αρα ο τυπος της συναρτησης f ειναι :
, x



2
f(x) = x + x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2
,Aν για τη συναρτηση f : ισχυει : f(x) x + x f(x - 1)+ 2x, x
να βρεθει ο τυπος της.
  

46. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
45
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα απολυτων και περιεχει f(x), f(y) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Aποδειξη οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη .
Σ κ ο π ο ς :
Να αποδειξουμε οτι f’(x) η f’(y) ειναι ιση με μηδεν, που απ’τις συνεπειες του
Θ.Μ.Τ. σημαινει οτι η f ειναι σταθερη .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Με τις ιδιοτητες απολυτων, μετατρεπουμε τη δοσμενη σχεση σε διπλη ανισο-
τητα, οπου το μεσαιο μελος περιεχει τις f(x), f(y) .
2. Βρισκουμε το οριο του μεσαιου μελους (με τη βοηθεια του κριτηριου παρεμ-
βολης) με x → y η y → x .
3. Με τη βοηθεια του ορισμου της παραγωγου κα σε συνδιασμο με το οριο στη (2),
θα παρουμε f’(x) = 0 .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Απο συνεπειες Θ.Μ.Τ., αν f’(x) = 0 τοτε f(x) = c .
ΜΕΘΟΔΟΣ

47. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
46
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Η δοσμενη σχεση γινεται :
f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³ 
f(x) - f(y)
x - y
≤ |x - y|²  - |x - y|² ≤
f(x) - f(y)
x - y
≤ |x - y|²
2 2
x y x y
lim lim(-|x- y| ) = |x- y| = 0
 
Eπομενως συμφωνα με το κριτηριο παρεμβολης ειναι
x y
f(x) - f(y)
= 0
x - y
lim

Ομως απ’ τον ορισμο της παραγωγου εχουμε f’(y) =
x y
f(x) - f(y)
= 0
x - y
lim

που σημαινει, συμφωνα με τις συνεπειες του θεωρηματος Μεσης Τιμης, οτι η
συναρτηση f ειναι σταθερη.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Αν για καθε x,y  , x ≠ y ειναι |f(x) - f(y)| ≤ |x - y|³, να δειξετε
οτι η συναρτηση f ειναι σταθερη στο .

48. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
47
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση ειναι ανισοτητα μορφης f’(x) ≤ κ για συναρτηση ορισμενη και
συνεχη σε διαστημα [α, β] και παραγωγισιμη στο (α, β) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση τυπου συναρτησης f σε καποιο διαστημα και ακρων διαστηματος .
Σ κ ο π ο ς :
Απο διπλη ανισοτητα, που θα προκυψει, να καταληξω σε: f(x) ≥ ω και f(x) ≤ ω .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Βρισκουμε τα ακρα α, β απο Θ.Μ.Τ. με τη βοηθεια των δοσμενων.
2. Για x ∈ [α, β], απο Θ.Μ.Τ. στα διαστηματα [α, x], [x, β], καταληγουμε σε ανισο-
τητες f(x) ≥ ω και f(x) ≤ ω .
3. Τελικα f(x) = ω στο [α, β] .
ΜΕΘΟΔΟΣ

49. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
48
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2 2 2
2 2 2 2
α)
Απο Θ.Μ.Τ. για την f στο[α,β] υπαρχει ξ (α,β), ωστε: f(β)- f(α) = (β - α)f'(ξ).
Ομως f'(ξ) 4, οποτε
f(β)- f(α) 4(β - α) β + 4 - 6α + α +1 4(β - α) β - 4β + 4 - 2α + α +1 0
(β - 2) +(α -1) 0 (β - 2) +(α -1) = 0 (αθροισ


     
 
2 2
μα τετραγωνωνμηαρνητικο)
Αρα και
β)
Απο το ερωτημα (α) και την υποθεσηεχουμε :
α = 1, β = 2, f(α) = 6α - α -1 = 4, f(β) = β + 4 = 8
Εστω x (α,β).
Τοτε απο Θ.Μ.Τ. για την f στα [α, x], [x,β] β

β = 2 α = 1 .
1
2
ρισκουμε :
f(x)- f(α) f(x)- 4= f'(ξ ) 4 4 f(x)- 4 4x - 4 f(x) 4xx - α x -1
f(β)- f(x) 8 - f(x) 8 - f(x) 8 - 4x 4x f(x)
= f'(ξ ) 4 4
β - x 2 - x
Αρα
       
     
    
 
f(x) = 4x .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2 2
Εστω η συναρτηση f που ειναι ορισμενη και συνεχης στο διαστημα [α,β] πα -
ραγωγισιμη στο(α,β) και f '(x) 4, για καθε x (α,β).
Αν : f(β) = β + 4 και f(α) = 6α - α - 1, να δειξετε οτι :
α)α = 1 και β = 2
β) f(x) = 4x

, για καθε x [α,β].

50. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
49
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(g(x)), f(h(x)) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Η εξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον α ριζες .
Σ κ ο π ο ς :
Να βρουμε α τιμες της f που ειναι ισες με μηδεν . Δηλαδη να βρουμε x1, x2 κλπ,
ωστε f(x1) = f(x2) = … = 0, οποτε x1, x2 κλπ ειναι ριζες της εξισωσης f(x) = 0 .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Στο προχειρο:
▪ Θετουμε g(x) = h(x)
▪ Λυνουμε την παραπανω εξισωση ως προς x και εστω οτι βρισκουμε ριζες ρ1,
ρ2 κλπ.
2. Θετουμε στη δοσμενη σχεση
▪ x = ρ1 και προκυπτει f(x1) = 0, οποτε η x1 ειναι ριζα της f(x) = 0
▪ x = ρ2 και προκυπτει f(x2) = 0, οποτε η x2 ειναι ριζα της f(x) = 0 , κλπ
3. Λυνουμε ως προς το ζητουμενο ολοκληρωμα .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στην περιπτωση του «ακριβως β ριζες» , αφου βρουμε, συμφωνα με τα πιο πανω
β ριζες, δειχνουμε επιπλεον οτι δεν υπαρχουν αλλες .
ΜΕΘΟΔΟΣ

51. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
50
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
1 2
1 2
x + x = 3
2 2 2 1
2
x x = 2
2
2
2 2
Eιναι : f(x + x) + f(4x - 2) = ln(x - 3x + 3) (1)
Για x = 1 η(1) γινετα
Προχειρο
x = 1
x + x = 4x - 2 x + x - 4
ι
f(1 +1) + f(4 1- 2) = l
x + 2 = 0
n(1
x - 3x + 2 = 0
x = 2
- 3 1+ 3) f(2) + f(2) = l

  

   

ln1= 0
ln1= 0
2 2
n1 2f(2) = 0
Αρα ητιμη x = 2 ειναι ριζα τηςεξισωσης f(x) = 0 .
Για x = 2 η(1) γινεται
f(2 + 2) + f(4 2 - 2) = ln(2 - 3 2 + 3) f(6) + f(6) = ln1 2f(6) = 0
Αρα ητιμη x = 6 ειναι ριζα τη
 
    
f(2) = 0
f(6) = 0
ςεξισωσης f(x) = 0 .
Δηλαδη ηεξισωσηf(x) = 0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
2 2
,
Αν για την συναρτηση f : ισχυει :
f(x + x)+ f(4x - 2) = ln(x - 3x + 3), x
να δειξετε οτι ηεξισωση f(x) = 0 εχει τουλαχιστον δυο ριζες .



52. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
51
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f’(x)f(x), f’(x) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Μετασχηματιζουμε ολους τους ορους της δοσμενης σχεσεις σε παραγωγους .
Συγκεκριμενα το '
2
f (x)
f '(x)f(x) =
2
 
 
 
.
2. Με καταλληλες πραξεις καταληγουμε στο f’(x) = g’(x), οποτε
f(x) = g(x) + c .
3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c .

53. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
52
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2x
2x x x
2 2x 2 2x
x x
2
f
Eιναι :
f (x) e
("Η C τεμνει τον y'y σ
f'(x)f(x)- f'(x) = e + e '- f'(x) = ' +(e )'
2 2
f (x) e f (x) e
- f(x) ' = + e ' - f(x) = + e + c
το σημειο Α(0,3)" σημαινει : f(0)
2 2
=
2 2
f (x)
3)
   
    
   
   
    
   
A(0,3)
2 0 0
Για x = 0 f(0) = 3
2x x 2 2x x
3 - 2 3 = e + 2e + 2c c = 0
2x x 2x x 2x x
- 2f(x) = e + 2e + 2c f (x)- 2f(x)- e - 2e = 0 (1)
Λυνουμε την (1) ωςπρος f(x) :
Δ = 4 - 4(- e - 2e ) = 4 + 4 e + 8e = 4 (e + 2e +1) = [2

 

x 2
x
x
x
(e +1)] > 0
(f(0) = 3, αρα δεκτη)2 ± 2 (e +1)
f(x) = = 1± (e +1)
2 f(x) = - e (f(0) = -1 3, απορριπτεται)
Ο τυπος της f : , x .

 


x
x
f(x) = e + 2
f(x) = e + 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
f
2x x
και ηC
f '(x)f(x)- f '(x) = , , .
Δινεται η παραγωγισιμησυναρτηση f : τεμνει τον αξονα y'y στο
σημειο Α(0,3).
Αν ισχυει : e +e για καθε x να βρεθει οτυπος της f



54. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
53
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f’(x) (με υποψια πραξεων παραγωγων) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Μετασχηματιζουμε τη δοσμενη σχεση, ωστε να φθασουμε στην ισοτητα
f’(x) = f(x) .
2. Ισχυει: f’(x) = f(x) → f(x) = c ∙ e .
3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c .

55. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
54
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
2 2
x x
π π π
4 4 4
Aπ'τηδοσμενησχεσηπροκυπτει
f'(x)ημx - f(x)συνx f(x)ημx
=
ημ x ημ x
f(x) f(x)
( )' = , x [0,π]οποτε
ημx ημx
f(x)
= ce f(x) = ce ημx(1).
ημx
π 2 π 2
f( ) = e ce ημ = e c = 1,
4 2 4 2
αρα η(1)



 
x
f(x) = e ημx
Ο τυπος της f : , x [0,π].x
f(x) = e ημx
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
π
4
Θεωρουμε τησυναρτηση f ορισμενηστο(0,π)για την οποια ισχυει
π 2
f '(x)ημx - f(x)συνx = f(x)ημx και f( ) = e .
4 2
Να βρεθει ο τυπος της f.
Aν f’(x) = f(x) τοτε
f(x) = c ∙ e x

56. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
55
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f(-x) .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση oλοκληρωματος (με συμμετρικα συνηθως ακρα) .
Σ κ ο π ο ς :
Με αλλαγη μεταβλητης να εμφανιστει ξανα το αρχικο ολοκληρωμα .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Λυνουμε την δοσμενη σχεση ως προς f(x) .
2. Eστω – α, α τα ακρα του ολοκληρωματος.
Θετουμε u = - x, οποτε dx = - du και για x → α τοτε u → - α, ενω αν x → α τοτε
u → - α στη δοσμενη σχεση .
3. Λυνουμε ως προς το ζητουμενο ολοκληρωμα .
ΜΕΘΟΔΟΣ

57. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
56
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
.gr
α α α α
- α - α - α - α
α α α
α
- α- α - α - α
Ειναι : f(x) + f(- x) = 2συνx f(x) = 2συνx - f(-x) (1)
= f(x)dx = (2συνx - f(-x))dx = 2συνxdx - f(-x)dx =
= 2 (ημx)'dx - f(-x)dx = 2[ημx] - f(-x)dx =
= 2η
I

   
  
α α
- α - α
Θετουμε u = - x - du = dx
α - α
- α αΑν x α τοτε u - α,ενω αν x - α τοτε u α
μα - 2ημ(- α) - f(-x)dx = 2ημα + 2ημ( α) - f(-x)dx =
= 4ημα - f(-x)dx = 4ημα - f(u)(- du) =
= 4ημα - f(u

   
 
 
u = xα α
- α - α
)du = 4ημα - f(x)dx =
Οποτε
2Ι = 4η
4ημα - I
μα 
 
Ι = 2ημα
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

α
- α
Aν η συναρτηση f ειναι συνεχης στο [α, β] και για καθε x [α,β] ισχυει
f(x)+ f(- x) = 2συνx, να δειξετε οτι : Ι = f(x)dx = 2ημα .

Διωχνω το “-“
του –du και αλ-
λαζω τα ακρα

58. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
57
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x),
x
α
t, f(t)dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Nα φθασουμε στην ισοτητα: f’(x) = g’(x), ωστε f(x) = g(x) + c .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση
x
α
t, f(t)dt ειναι παραγωγισιμη .
2. Παραγωγιζουμε τα μελη της δοσμενης σχεσης και προκυπτει ισοτητα παρα-
γωγων (τα f(x) απλοποιουνται) .
3. Προσδιοριζουμε το c, απ’τη δοσμενη σχεση και αυτην μετα τη παραγωγιση .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Στην περιπτωση που στο ολοκληρωμα, εκτος των t, f(t), υπαρχει και x, το βγα-
ζουμε εκτος του ολοκληρωματος σαν σταθερο ορο, αφου η ολοκληρωση ειναι ως
προς t . Τα υπολοιπα οπως παραπανω .
ΜΕΘΟΔΟΣ

59. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
58
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
x
31
3
x
31
1.
Eιναι : f(x) =
1 2f(t)
( - )dt (1)
tt
1 2f(t)
Η συναρτηση - ειναι συνεχης στο(0, + )(πραξεις συνεχων), οποτε ησυν -
tt
1 2f(t)
αρτηση ( - )dt ειναι παραγωγισιμηστο(0, + ).
tt
Ετσι,παραγωγιζοντας τ




2
x
2
3 31
2 2 2 2
H (1) για x =
2
1 f(1) = ln1+ c 0 = 0 + c c = 0
f'(x) = f'(x) = f'(x) =
f'(x) = f'(x) = = (lnx)'
= lnx + c
ην (1) :
1 2f(t) 1 2f(x) 1
( - )dt ' - x - 2xf(x)
t x xt x
1 1
x + 2xf(x) x +(x )'f(x) (x f(x))'
x x
x f(x)
 
 
   
 
  


1δινει f(1) = 0
2
x x x
2
1 1 1
= lnx
Eιναι :
f(x) = x + 1+ f(x) = x + 1+ f(x) = x + x +
x f(x) , x > 0 ,πουεπαληθευει
τησχεση(1).
2.
1 1
f(t)dt f(t)dt x f(t)dt (2)
x x
Η συναρτηση f ειναι συνεχης στο(0, + ) , ο

    

  
2
lnx
=f(x)
x
x
1
x
1
x
2
1
f(x)]' = [x + x +
ποτε ησυναρτηση f(t)dt ειναι παρα -
1
γωγισιμη, oπως και η f(t)dt ειναι παραγωγισιμηστο(0, + ).
x
Ετσι,παραγωγιζοντας την (2) :
[x f(t)dt]' f(x)
 
 


 f'(x) = 2x + 1+ f(x)+ x
H (2) για x = 1δινει f(1) = 2
f(1) = 2+ln1+ c 2 = 2 + c c = 0
f'(x) = 2x + 1
f'(x) = = (2x + lnx)' = 2x + lnx + c
x
1
2 + f'(x) f(x)
x
, x > 0 ,πουεπαληθευει τηδοσμενησχεση.
 
 
  
= 2x + lnxf(x)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
, , .
x
3 21
κ1. Αν για τησυνεχησυναρτηση f : (0, + ) αι για καθε x > 0 ισχυει :
2f(t)1 lnx
f(x) = ( - )dt τοτε να αποδειχθει οτι f(x) = x > 0
tt x
2. Αν για τησυνεχησυναρτηση f : (0, + ) και για καθε x > 0 ισχυει :




., ,
x
1
1
f(x) = x + 1+ f(t)dt τοτε να αποδειχθει οτι f(x) = 2x +lnx x > 0
x

60. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
59
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), f’(x) στο ενα μελος και στο αλλο σταθερο ολο-
κληρωμα .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα παραγωγων, ωστε: αν f’(x) = g’(x) τοτε f(x) = g(x) + c .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Θετουμε στη δοσμενη σχεση το σταθερο ολοκληρωμα ισο με α .
2. Αν υπαρχουν οι προυποθεσεις, σχηματιζουμε ισοτητα παραγωγων.
Συνηθως χρησιμοποιουμε το τεχνασμα του πολλαπλασιασμου και των δυο με-
λων της δοσμενης με e-x (η ex) ωστε να προκυψει παραγωγος γινομενου κλπ .
Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και α .
3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο α . Εξισωνουμε το σταθερο ολοκληρωμα
με το α και λυνουμε το ολοκληρωμα ως προς α .

61. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
60
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
1
0
1 1
0 0
προκυψει παραγωγος γινομεν
Eιναι :f'(x)- f(x) = f(x)dx (1) και f(0) = 1
Προσδιορισμος του τυπου της f :
Θετουμε στην (1) f(x)dx = το f(x)dx ειναι σταθερο,με αγνωστηf :
f'(x)- f(x) = α
α  
  


 
- x
x - x
πολλαπλασιαζω επι e ωστε να
- x - x - x
ου
- x - x - x - x - x
πολλαπλασιαζω επι e
- x - x
προκυψει e e = 1
e f'(x)- e f(x) = e α
e f'(x) +(e )' f(x) = e α (e f(x))' = (- e α)'
e f(x) = - e α + c

   
      
  
x
0
ωστε να
x - x x - x x
Για x = 0
x x
f(0) = - α + c e 1= - α + c c = 1+ α
(2)1
0
e e ×f(x) = - e e α + c e
f(x) = - α + c e f(x) = - α +(1+ α) e (2)
Προσδιορισμος του α :
Ειναι
f(x)dx = α (- α +(1+ α) e
  
    
  
 
1 1 1
x x
0 0 0
x 1
0
)dx = α - αdx + (1+ α) e dx = α
- α (1- 0) +(1+ α) [e ] = α - α +(1+ α) (e -1) = α 2α - α (e -1) = e -1
e -1
(3- e) α = e -1 α = (3)
3- e
Ο τυπος της f :
H (2) λογω της(3) δινει :
  
      
 

  
e - 1 e - 1
f(x) = - +(1+ )
3- e 3- e
, x .x
e
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

1
0
,
Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει : f(0) = 1 και
f '(x)- f(x) = f(x)dx για καθε x τοτε να βρεθει ο τυπος της .



62. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
61
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x) και σταθερο ολοκληρωμα .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Επειδη η παραγωγιση της δοσμενης σχεσης μας οδηγει σε αδιεξοδο, θετουμε
στη δοσμενη σχεση το σταθερο ολοκληρωμα ισο με α .
2. Λυνουμε ως προς f(x) .
Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και α .
3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο α . Εξισωνουμε το σταθερο ολοκληρωμα
με το α και λυνουμε το ολοκληρωμα ως προς α .

63. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
62
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
1
1- x x
0
1 1
0 0
x x
Eιναι : e f(x)dx = f(x) + e (1)
Προσδιορισμος του τυπου της f :
Θετουμε στην (1) f(x)dx = το f(x)dx ειναι σταθερο,με αγνωστηf :
α = f(x) + e f(x) = α - e (2)
Προσδιορισ
α

 
  


 
(2)1 1 1
1- x 1- x x 1- x
0 0 0
1 1
1- x 1- x 1
00 0
μος του α :
Ειναι
e f(x)dx = α e (α - e )dx = α (e α - e)dx = α
α e dx - edx = α α [- e ] - e(1- 0) α (-1+ e)- e = α
e
α (-1+ e)- α = e α (e - 2) = e α = (3)
e - 2
Ο τ
     
     
   
  
 
υπος της f :
H (2) λογω της(3) δινει : , x .xe
f(x) = + e
e - 2
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

1
1- x x
0
= f(x) + , , .
Αν για την παραγωγισιμη συναρτηση f : ισχυει :
e f(x)dx e για καθε x τοτε να βρεθει ο τυπος της



64. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
63
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει f(x), F(x) και ολοκληρωμα
x
α
x, f(t)dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση . Ετσι απ’το F(x) προκυπτει f(x) .
2. Αν μετα την προηγουμενη παραγωγιση εξακολουθει να υπαρχει ολοκληρωμα
x
α
x, f(t)dt , παραγωγιζουμε ξανα .
Ετσι θα προκυψει ο τυπος της f, με τη διαφορα οτι περιεχει και c .
3. Προσδιοριζουμε τον σταθερο αριθμο c . Θετουμε στη δοσμενη σχεση x = α .

65. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
64
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
x x x
0 0 0
x x
0 0
x x x
0 0 0
Eιναι :
(x - t) f(t)dt = x - F(x) x f(t)dt - t f(t)dt = x - F(x)
x f(t)dt - t f(t)dt = x - F(x) (1)
Παραγωγιζουμε την (1) :
[x f(t)dt ]'-[ t f(t)dt]' = x'- F'(x) f(t)dt + x f(x)- x f(x) = 1- f(x)
    
 
     
  
 
  
x
x
0
πολλαπλασιαζω επι e ωστε ναx
0 προκυψει παραγωγος γινομενου
x x x
f(t)dt = 1- f(x), x (2)
Παραγωγιζουμε την (2) :
[ f(t)dt]' = [1- f(x)]' f(x) = - f'(x) f(x) + f'(x) = 0
e f(x) + e f'(x) = 0 (e )

  
  


0
x x
Για x = 0 η(0): f(0) = 1
x - x
x xc
f(0) = c = 1
e
' f(x) + e f'(x) = 0 (e f(x))' = c'
c 1
e f(x) = c f(x) = f(x) = f(x) = e
e e
Ο τυπος της f : , x .

    
   
- x
f(x) = e
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

x
0
. = - , ,
Δινεται η παραγωγισιμη συναρτηση f : και εστω F μια παραγουσα της f
στο Αν ισχυει : (x - t)f(t)dt x F(x) για καθε x να βρεθει ο τυπος της f.



66. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
65
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει
x
g ( f ( t ) )
c
e dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση
x
g ( f ( t ) )
c
e dt και οι αλλοι οροι της δοσμενης
σχεσης ειναι παραγωγισιμες συναρτησεις ως προς x .
2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x .
3. Καταληγουμε σε : f’(x) = g’(x), οποτε f(x) = g(x) + c .
4. Προσδιοριζουμε το c .

67. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
66
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
x
t- f(t)
0
x
t- f(t)
0
t- f
α.
Eιναι :f(x) = e dt (1)
Η f ειναι συνεχης στο , οποτε η e dt ειναι παραγωγισιμηστο .
Αρα, απο (1) και ηf ειναι παραγωγισιμηστο .
Παραγωγιζουμε την σχεση(1) και
f'(x) = e


 
(1)
f(0) 0 0 0
x
x
(t) x- f(x)
f(x)0
Γ x = 0 f(0) = 0
f(x) x f(x) x f(x) x f(x)
e = e + e = e + c = 0
e
dt ' f'(x) = e f'(x) = (2)
e
β.
Η σχεση(2) δινει :
f'(x) e = e (e )' = (e )' e = e + e =
ια
c c
c

 
   
   

f(x) x
f '(x) e = e
x
e
f(x) = x, x .
Ο τυπος της f : , x .


f(x) = x
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
0
x
t- f(t)
f(x) x
, ,
f '(x) ,
Αν για τησυνεχησυναρτηση f : ισχυει : f(x) = e dt για καθε x
α. Να αποδειχθει οτι e = e για καθε x
β. Να βρεθει ο τυπος της f.
 


68. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
67
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει
x
y
f(t)dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση
x
y
f(t)dt ειναι παραγωγισιμη ως προς x .
2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x, κρατωντας σταθερο το y .

69. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
68
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
y xy yx x
x y
x
yx
y
y
x
Eιναι :
f(t)dt = e (y -1)- e (x -1) - f(t)dt = e (y -1)- e (x -1)
f(t)dt = e (x -1)- e (y -1) (1)
H f ειναι συνεχης στο , οποτε η f(t)dt ειναι παραγωγισιμηωςπρος x.
Ετσι
Παραγωγιζουμε
  


 x
yx x x
y
x x x x x x
την (1) ωςπρος x (θεωρωντας το y σταθερο):
f(t)dt ' = [e (x -1)- e (y -1)]' f(x) = (e )'(x -1) + e (x -1)'
f(x) = e (x -1) + e f(x) = xe - e + e f(x) = xe
Ο τυπος της f : , x .
 
 


x
f(x) = xe
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

y
y x
x
ισχυει : = ,
,
Αν για την συναρτηση f : f(t)dt e (y - 1)- e (x - 1) για καθε
x να βρεθει οτυπος της f.



70. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
69
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει
x
c
f(x) = g(t)dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Να φθασουμε σε ισοτητα f(x) = ... , χωρις να γνωριζω αν
x
c
f(x), g(t)dt ειναι
παραγωγισιμες .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Υπολογιζουμε το ολοκληρωμα, συνηθως με αλλαγη μεταβλητης .
Π α ρ α τ η ρ η σ η :
Αν η f ηταν συνεχης, τοτε
1. Δειχνουμε οτι η συναρτηση
x
c
g(t)dt ειναι παραγωγισιμη ως προς x .
2. Παραγωγιζουμε τη δοσμενη σχεση ως προς x .
3. Προσδιοριζουμε το c .

71. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
70
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
1 1 2
1.
Για να βρουμε τον τυπο της συναρτησης, υπολογιζουμε το ολοκληρωμα.
Ετσι :
1
Θετουμε u = lnt οποτε du = d(lnt) = (lnt)'dt = dt.
t
Επισης για t = e u = lne u = 1 και για t = x u = lnx.
Επομενως:
1 1
= ×
lnt
  

x
e
dt
t lnt
x lnx
lnx
1e 1
x
e
x
e
1
dt = du = [ln|u|] = ln|lnx|- ln1 =
t u
Ο τυπος της f : , x > 0 .
2.
dt
Ειναι :f(x) = (1)
t lnt
dt
Η συναρτησηf ειναι συνεχης στο (0, + ), οποτε η ειναι παραγωγισ
t lnt



 


ln|lnx|.
f(x) = ln|lnx|
f(e) = ln|lne|+ c
ιμη
στο (0, + ).
Αρα, απο (1) και ηf ειναι παραγωγισιμηστο (0, + ).
Παραγωγιζουμε την σχεση(1) και
1 1 1 1
f'(x) = f'(x) = f'(x) = (lnx)' f'(x) = (ln|lnx|)'
x lnx x lnx lnx
f(x) = ln|lnx|+ c


     


(1)
Γ x = e f(e) = 0
0 = ln1+ c 0 = 0 + c c = 0
f(x) = ln|lnx|
Ο τυπος της f : , x > 0 .
ια 
  
f(x) = ln|lnx|
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ




x
e
x
e
dt
1. Να βρεθει οτυπος της συναρτησης : f(x) = ,στο(0, + ).
t lnt
dt
2. Να βρεθει οτυπος της συνεχους συναρτησης : f(x) = ,στο(0, + ).
t lnt



72. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
71
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
ΜΕΘΟΔΟΣ
Μ ο ρ φ η δ ο σ μ ε ν η ς σ χ ε σ η ς :
Η δοσμενη σχεση περιεχει
h(x)
g(x)
F(x) = f(t)dt .
Z η τ ο υ μ ε ν ο :
Eυρεση του τυπου της συναρτησης f .
Σ κ ο π ο ς :
Εφαρμογη του:
h(x)
g(x)
F'(x) = ( f(t)dt)' = f(h(x)) h'(x) - f(g(x)) g'(x)  .
A ν τ ι μ ε τ ω π ι σ η :
1. Φερνουμε τη δοσμενη σχεση στη πιο πανω μορφη
2. Παραγωγιζουμε κατα μελη, ωστε να προκυψει F'(x) = g'(x).
3. Ισχυει: Aν F’(x) = g’(x) τοτε F(x) = g(x) + c .
4. Προσδιοριζουμε τη σταθερα c .

73. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
72
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
Απ’ τη δοσμενη ισοτητα με πολλαπλασιασμο κατα μελη με e x παιρνουμε :
e x
x
-t
α
e f(t)dt = 1- e x-α - f(x) f(x) = 1- e x-α - e x
x
-t
α
e f(t)dt . (1)
Η συναρτηση ex
x
-t
α
e f(t)dt ειναι παραγωγισιμη σαν γινομενο παραγωγισι-
μων συναρτησεων , επομενως λογω της (1) , η f(x) ειναι παραγωγισιμη σαν
αθροισμα παραγωγισιμων συναρτησεων .
Απ’ την δοσμενη ισοτητα , παραγωγιζοντας και τα δυο μελη ως προς x , παιρ-
νουμε
e-xf(x) = - e-x + e-x f(x) - e-xf ΄(x)  e-xf ΄(x) = - e-x  f ΄(x) = - 1
f΄(x) = (-x)΄  f(x) = - x + c (2) , οπου c πραγματικη σταθερα .
Ομως απ’ την (1) : f(α) = 1 - e0- ex 0 = 0 .
απ’ την (2) : f(α)= - α + c 0 = - α + cc = α .
Η ζητουμενη συναρτηση ειναι η : f(x) = - x + α , x ∈ .
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ
Να βρεθει η συνεχης συναρτηση f :  για την οποια ισχυει :

x
-t
α
e f(t)dt = e -x- e -α – e -xf(x) με x , α  .

74. Σ υ ν α ρ τ η σ ι α κ ε ς Σ χ ε σ ε ι ς
ΤακηςΤσακαλακοςhttp://mathslibrary4.blogspot.gr
To παρον σημειωμα, ειναι μια πρωτη προσεγγιση στις συναρτησιακες σχεσεις.
Σκοπος του να δειξει διαφορες τεχνικες για την αντιμετωπιση τετοιων θεμα-
των και περισσοτερο να ενεργοποιησει την «μαθηματικη φαντασια» του λυτη.
Τακης Τσακαλακος
Κερκυρα 2014 (ανακατασκευη 2015)