Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành khoa học giáo dục với đề tài: Ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của học sinh về chủ đề tích phân 50000121

1. ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN DỰ
ẢNH HƢỞNG CỦA PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
THEO VẤN ĐỀ ĐẾN KIẾN THỨC KHÁI NIỆM
CỦA HỌC SINH VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU
HUẾ, 2018

2. i
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
TRẦN DỰ
ẢNH HƢỞNG CỦA PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
THEO VẤN ĐỀ ĐẾN KIẾN THỨC KHÁI NIỆM
CỦA HỌC SINH VỀ CHỦ ĐỀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
THEO ĐỊNH HƢỚNG NGHIÊN CỨU
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ DUYẾN
HUẾ, 2018

3. ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và
kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả
Trần Dự

4. iii
Lời Cám Ơn
Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
tới TS. Nguyễn Thị Duyến, người hướng dẫn khoa học
đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo và động viên tôi
trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện
luận văn.
Tôi xin trân trọng cám ơn quý thầy giáo, cô giáo
đã giảng dạy chúng tôi trong suốt thời gian học tập
tại trường ĐHSP Huế.
Xin cám ơn Ban giám hiệu, học sinh trường THPT
Tam Giang. Đặc biệt là các giáo viên tổ Toán Trường
THPT Tam Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong
quá trình nghiên cứu này.
Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến Khoa Toán, Phòng
Đào Tạo Sau Đại Học, các anh chị bạn bè lớp cao học
Toán K25, đặc biệt là học viên chuyên ngành LL&PPDH
môn Toán trường ĐHSP Huế đã giúp đỡ và động viên tôi
trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Tôi rất mong nhận được những góp ý và nhận xét
nhằm bổ sung những thiếu sót không thể tránh khỏi
của luận văn.
Xin trân trọng cám ơn!
Tác giả luận văn
Trần Dự

5. iv
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
GV : Giáo viên
HS : Học sinh
THPT : Trung học phổ thông
NXB : Nhà xuất bản

6. 1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................i
Lời cam đoan ............................................................................................................ ii
Lời cám ơn ............................................................................................................... iii
Danh mục các chữ viết tắt .......................................................................................iv
Mục lục.......................................................................................................................1
Danh mục các bảng ...................................................................................................3
Danh mục biểu đồ, hình............................................................................................3
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ .........................................................................................5
1.1. Học theo vấn đề ...............................................................................................5
1.2. Học theo vấn đề trong môn toán.......................................................................6
1.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học về tích phân.........8
1.4. Dạy học tích phân ở trường phổ thông ...........................................................10
1.5. Nhận xét và đặt vấn đề....................................................................................12
1.6. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................13
1.7. Khách thể và đối tượng nghiên cứu................................................................14
1.8. Câu hỏi và ý nghĩa nghiên cứu. ......................................................................14
1.9. Bố cục của luận văn........................................................................................15
1.10. Tiểu kết chương 1.........................................................................................15
Chƣơng 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN VÀ KHUNG LÍ
THUYẾT NGHIÊN CỨU.......................................................................................16
2.1. Quy trình tổ chức dạy học toán theo vấn đề...................................................16
2.2. Đặc trưng của phương pháp dạy học toán theo vấn đề...................................19
2.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm ...................................................20
2.3.1. Kiến thức quy trình...................................................................................21
2.3.2. Kiến thức khái niệm .................................................................................22
2.3.3. Mối liên hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm ..................24
2.4. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về tích phân...............................26
2.4.1. Kiến thức quy trình về tích phân..............................................................26

7. 2
2.4.2. Kiến thức khái niệm về tích phân.............................................................27
2.5. Tiểu kết chương 2 ...........................................................................................28
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.......................................................29
3.1. Thiết kế nghiên cứu ........................................................................................29
3.2. Đối tượng tham gia.........................................................................................29
3.3. Công cụ nghiên cứu........................................................................................30
3.4. Phương pháp thực nghiệm và phân tích dữ liệu .............................................31
3.4.1. Kế hoạch bài học: Tổ chức dạy học theo vấn đề......................................31
3.4.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong phiếu khảo sát ...........42
3.4.2.1. Phân tích tiên nghiệm phiếu khảo sát ................................................42
3.4.2.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong các bài toán.........55
3.4.2.3. Thang mức đo kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm...............59
3.5. Hạn chế của nghiên cứu..................................................................................65
3.6 Tiểu kết chương 3 ............................................................................................65
Chƣơng 4. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU ..................................................................67
4.1. Định hướng phân tích kết quả nghiên cứu......................................................67
4.2. Phân tích định lượng kết quả nghiên cứu .......................................................67
4.3. Phân tích định tính kết quả nghiên cứu ..........................................................69
4.4. Thuận lợi và khó khăn của học sinh khi học chủ đề tích phân theo vấn đề ...76
4.4.1. Thuận lợi ..................................................................................................76
4.4.2. Khó khăn ..................................................................................................77
4.5. Tiểu kết chương 4...........................................................................................78
Chƣơng 5: KẾT LUẬN...........................................................................................79
5.1. Trả lời câu hỏi nghiên cứu..............................................................................79
5.2. Đóng góp của nghiên cứu và hướng phát triển của đề tài. ............................81
5.3 Tiểu kết chương 5 ............................................................................................81
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................82
PHỤ LỤC

8. 3
DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang
Bảng 4.1. Kết quả về kiến thức quy trình ở phiếu khảo sát số 1..............................67
Bảng 4.2. Kết quả về kiến thức quy trình ở phiếu khảo sát số 2..............................68
Bảng 4.3. Kết quả về kiến thức khái niệm ở phiếu khảo sát số 1 .............................68
Bảng 4.4. Kết quả về kiến thức khái niệm ở phiếu khảo sát số 2 .............................69
DANH MỤC HÌNH, BIỂU ĐỒ
Trang
Hình 2.1. Quy trình dạy học theo vấn đề ..................................................................16
Biểu đồ 3.1. Sức học của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng ...................................30
Hình 3.1. ...................................................................................................................32
Hình 3.2. ...................................................................................................................36
Hình 3.3. ...................................................................................................................37
Hình 3.4. ...................................................................................................................37
Hình 3.5. ...................................................................................................................39
Hình 3.6. ...................................................................................................................39
Hình 3.7. ...................................................................................................................40
Hình 3.8. ...................................................................................................................41
Hình 3.9. ...................................................................................................................45
Hình 3.10. .................................................................................................................47
Hình 3.11. .................................................................................................................47
Hình 3.12. .................................................................................................................48
Hình 3.13. .................................................................................................................49
Hình 3.14. .................................................................................................................49
Hình 3.15. .................................................................................................................51
Hình 3.16. .................................................................................................................52
Hình 3.17. .................................................................................................................53
Hình 3.18. .................................................................................................................53
Hình 3.19. .................................................................................................................53

9. 4
Hình 3.20. .................................................................................................................54
Hình 3.21. .................................................................................................................54
Hình 4.1. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 1.6......................................70
Hình 4.2. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 1.7a .....................................70
Hình 4.3. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 1.7b....................................71
Hình 4.4. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 1.7c.....................................71
Hình 4.5. Thể hiện của học sinh C.K.T với bài toán 1.8...........................................72
Hình 4.6. Thể hiện của học sinh Đ.T.K.D với bài toán 1.9 ......................................73
Hình 4.7. Thể hiện của học sinh Đ.N.Q.B với bài toán 1.10 ....................................73
Hình 4.8. Thể hiện của học sinh Đ.T.T.H với bài toán 2.6.......................................74
Hình 4.9. Thể hiện của học sinh V.T.T.T với bài toán 2.7 .......................................75
Hình 4.10. Thể hiện của học sinh C.T.M.H với bài toán 2.8....................................75

10. 5
Chƣơng 1. ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Học theo vấn đề
Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng học sinh (HS) thiếu hiểu biết sâu sắc về các
khái niệm toán học. Trong lúc đó, giáo viên (GV) gặp phải khó khăn trong việc hỗ
trợ HS phát triển hiểu biết về toán và khả năng kết nối toán học với thực tế. Học
theo vấn đề trong môn toán là một tiếp cận học tập cho phép HS không chỉ phát
triển hiểu biết toán mà còn bồi dưỡng năng lực giải quyết thực tế và khả năng sáng
tạo cho các em (Tan, 2009). Xuất hiện cách đây hơn 40 năm, học theo vấn đề ban
đầu được sử dụng trong các lớp học dành cho sinh viên y khoa để phát triển khả
năng thích ứng với những thay đổi và đưa ra các quyết định hợp lí đối với những
tình huống không quen thuộc khi đối mặt với bệnh tật của bệnh nhân (Savery,
2006). Ngày nay tiếp cận học tập này đã được sử dụng rộng rãi trong giáo dục nói
chung và giáo dục toán nói riêng nhằm giúp HS phát triển hiểu biết toán và khả
năng giải quyết vấn đề mà các em sẽ gặp phải trong học tập và cuộc sống. Học theo
vấn đề là tiếp cận học tập mà ở đó HS được tạo cơ hội để tiến hành các nghiên cứu,
tích hợp lí thuyết vào thực hành, vận dụng các kiến thức và kĩ năng đã có để tìm
kiếm phương án giải quyết cho vấn đề đã được xác định ban đầu (Savery, 2006).
Học theo vấn đề là tiếp cận về việc học đặc trưng bởi việc đặt người học vào
một tình huống có vấn đề để các em học một kiến thức, kĩ năng mới thông qua quá
trình giải quyết vấn đề (Goodman, 2010). Không có một mô hình chung nào cho
phương pháp học dựa theo vấn đề, tuy nhiên trong học dựa theo vấn đề thông
thường người học được đặt vào các nhóm học tập, sử dụng kiến thức và kĩ năng đã
có để thảo luận với bạn học nhằm tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề được đặt
ra. Theo Goodman (2010) vấn đề lí tưởng nhất đặt ra để người học giải quyết trong
môi trường học theo vấn đề là vấn đề thực tế. Thông qua việc thường xuyên giải
quyết các vấn đề thực tế đặt ra trong các lớp học, người học sẽ phát triển các năng
lực cần thiết cho cuộc sống sau này như năng lực phản biện và phân tích các tình
huống thực tế phức tạp, năng lực tìm kiếm, đánh giá và sử dụng các nguồn tư liệu
thích hợp, năng lực hợp tác và giao tiếp… Do đó, học theo vấn đề là phương pháp

11. 6
học hỗ trợ người học phát triển toàn diện cả về kiến thức lẫn năng lực cần thiết cho
cuộc sống sau này.
Bắt nguồn từ các chương trình giáo dục cho sinh viên các ngành y khoa trong
báo cáo của một số nhà nghiên cứu, học theo vấn đề ngày càng được khuyến khích
sử dụng trong các chương trình đào tạo ở các bậc học và các ngành học khác nhau
(Abdullaha, Ahmad Tarmizia, Abub; 2010; Arı và Katrancib, 2013; Dahl; 2017;
Goodman; 2010). Học theo vấn đề trở thành một tiếp cận mới về việc học, thúc đẩy
tính tích cực và sáng tạo của HS trong quá trình học tập. Ngày nay, học theo vấn đề
ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các trường học từ bậc Tiểu học đến Đại
học.
1.2. Học theo vấn đề trong môn toán
Thách thức của việc toàn cầu hoá ngày nay đòi hỏi HS phải có các kỹ năng
giải quyết vấn đề và giao tiếp bên cạnh các kiến thức quy trình và kiến thức khái
niệm về toán. Do đó, việc học toán trong nhà trường cần phải thay đổi. Việc yêu cầu
HS thành thạo các kiến thức mang tính quy trình, thuật toán để giải quyết một lớp
các bài toán quen thuộc bằng các phương pháp dạy học truyền thống để đáp ứng với
các kì thi trở nên không cần thiết (Abdullaha, Tarmizia và Abu, 2010). Những kiến
thức mà HS thu nhận được bằng các phương pháp dạy học truyền thống ít hỗ trợ các
em giải quyết thành công các vấn đề có bối cảnh thực tế. Trong lúc đó, học theo vấn
đề là một tiếp cận mới về việc học toán, có thể tạo ra được môi trường mang tính
tương tác để HS thích ứng với những nhiệm vụ toán học mang tính đổi mới nhằm
đáp ứng với các tình huống có bối cảnh thực tế mà các em gặp trong cuộc sống
hàng ngày. Khi tham gia vào môi trường học theo vấn đề, người học có cơ hội kiến
tạo kiến thức toán bên cạnh các hoạt động giao tiếp, biểu diễn, mô hình hóa và suy
luận (Abdullaha, Tarmizia và Abu, 2010).
Một số nghiên cứu trong giáo dục toán đã chỉ ra rằng HS được học trong môi
trường dạy học theo vấn đề có kiến thức toán vững chắc và khả năng suy luận tốt
hơn những HS học trong môi trường dạy học truyền thống (Li và Tsai, 2017). Điều
đó bắt nguồn từ sự khác biệt căn bản giữa tiếp cận học theo vấn đề và việc học theo

12. 7
cách truyền thống. Môi trường học theo vấn đề cung cấp cho người học cơ hội để
kiến tạo kiến thức một cách có ý nghĩa. Khi tham gia vào hoạt động học theo vấn
đề, người học tự thiết lập mục tiêu học tập của mình và điều chỉnh tốc độ học tập
của bản thân dựa trên một chương trình cụ thể. Hung (2011) cho rằng nên tạo điều
kiện cho HS tiếp cận với môi trường học theo vấn đề càng sớm càng tốt để chuẩn bị
cho người học các kĩ năng cơ bản của việc học theo vấn đề trước khi các em tham
gia vào các chương trình giáo dục ở bậc đại học.
Để chuẩn bị cho HS những kĩ năng cần thiết để học ở các bậc học cao hơn,
học theo vấn đề không những được chú trọng ở bậc đại học mà từng bước được
nghiên cứu và đưa vào áp dụng ở bậc trung học và tiểu học. Kết quả nghiên cứu của
nhóm Công nghệ và nhận thức của Vanderbilt đã chỉ ra rằng học toán theo vấn đề
đã có tác động tích cực đến điểm số bài kiểm tra chuẩn hóa của HS. Nghiên cứu này
cũng chỉ ra rằng không có sự khác biệt giữa việc giải quyết các vấn đề bằng lời yêu
cầu một bước toán giữa nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Tuy nhiên, có sự
khác biệt cơ bản giữa kết quả của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng khi giải
quyết các bài toán đòi hỏi nhiều bước toán. Bên cạnh đó, những kĩ năng khác trong
quá trình giải quyết vấn đề như hiểu vấn đề, lên kế hoạch và tìm kiếm giải pháp để
giải quyết vấn đề của nhóm thực nghiệm tốt hơn nhóm đối chứng. Điều đó cho thấy,
học theo vấn đề trong môn toán không chỉ nhằm mục đích giúp người học đạt được
kiến thức môn học mà còn giúp các em phát triển khả năng suy luận, giải quyết vấn
đề và tự học.
Nghiên cứu của Li và Tsai (2017) trên đối tượng là các HS lớp 5 về chủ đề
phân số cũng chỉ ra rằng, học chủ đề phân số theo vấn đề không những giúp HS tiểu
học nâng cao hiểu biết của bản thân về khái niệm phân số mà còn phát triển khả
năng suy luận và giao tiếp toán học. Theo Li và Tsai (2017), môi trường dạy học
theo vấn đề còn tạo cơ hội để người học phát triển khả năng làm việc hợp tác với
bạn học. Những bài học được dạy bằng phương pháp dạy học theo vấn đề thường
đặt HS vào các vấn đề mang tính thách thức, đòi hỏi các em nỗ lực hợp tác với bạn
học để tìm kiếm các ý tưởng giải quyết vấn đề. Do đó Li và Tsai (2017) đã nhấn
mạnh rằng môi trường học theo vấn đề không chỉ giúp người học phát triển kiến

13. 8
thức và kĩ năng về môn học mà còn giúp các em rèn luyện kĩ năng xã hội như giao
tiếp và hợp tác.
Mặc dù học theo vấn đề thường được chú trọng sử dụng ở bậc học đại học và
sau đại học, tuy nhiên kết quả của một số nghiên cứu về việc vận dụng phương pháp
học tập này vào bậc tiểu học và trung học trong thời gian gần đây cho thấy tính hiệu
quả của phương pháp dạy học ở các bậc học thấp hơn. Do đó, tìm hiểu vai trò của
phương pháp dạy học này trong hoạt động dạy học toán ở bậc THPT là cần thiết.
1.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của ngƣời học về tích phân
Giải tích là một trong những phân môn quan trọng của toán học nhà trường.
Kiến thức giải tích trang bị cho HS trong nhà trường phổ thông là cơ sở ban đầu để
người học tiếp cận các kiến thức toán cao cấp khác ở bậc đại học. Vì thế hiểu được
bản chất của các khái niệm của giải tích như giới hạn, liên tục, đạo hàm và tích phân
đồng thời có thể vận dụng các kiến thức này để giải toán là cần thiết để HS có thể
học lên các cấp học khác cao hơn. Tuy nhiên một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng
nhiều HS gặp khó khăn trong việc hiểu bản chất của các khái niệm giải tích. Một
trong những nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó là do người học quá tập trung vào
hoạt động tính toán mà chưa chú trọng đến việc hiểu các khái niệm giải tích (Mahir,
2009). Theo Mahir (2009), trong khi phần lớn HS thành thạo các kiến thức quy
trình chứa đựng trong các quy tắc, thuật toán và quy trình để giải quyết các vấn đề
toán học, một số em thiếu hiểu biết đầy đủ về các khái niệm toán học ẩn chứa dưới
các quy trình giải toán đang được tiến hành. Điều đó cho thấy sự hạn chế về kiến
thức khái niệm của người học liên quan đến sự am hiểu về các định nghĩa và hình
ảnh khái niệm, biểu diễn khái niệm toán học và sự kết nối giữa các dạng biểu diễn
đó, sự kết nối giữa các khái niệm toán học trong cùng một chủ đề…
Cũng giống như nhiều phân môn của toán học, những khái niệm mới của giải
tích được xây dựng dựa vào khái niệm trước đó. Việc hiểu một khái niệm đòi hỏi
phải hiểu bản chất của những khái niệm liên quan trước đó. Do đó để nắm vững
kiến thức giải tích, ngoài khả năng thành thạo các quy trình tính toán, người học cần
nắm được bản chất của các khái niệm và mối liên hệ giữa các khái niệm. Theo

14. 9
Chapell và Killpatrick (2003), kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người
học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Việc nắm vững bản chất của các khái niệm
giải tích sẽ giúp HS vận dụng thành thạo các quy trình giải toán và hiểu được ý
nghĩa ẩn chứa dưới các bước toán được tiến hành.
Tích phân là một trong những khái niệm cơ bản của chương trình giải tích ở
trường phổ thông. Dù chỉ chiếm một chương trong chương trình toán cuối cấp THPT,
tích phân là một nội dung quan trọng nhằm mang đến cho người học những kiến thức
khái niệm cơ bản liên quan đến lí thuyết tích phân, ý nghĩa của tích phân trong việc
tính diện tích hình phẳng và thể tích các vật thể tròn xoay. Nội dung tích phân trong
chương trình toán THPT cũng chứa đựng những kiến thức mang tính quy trình liên
quan đến các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân xác định. Kết quả nghiên
cứu của Orton (1984) đã chỉ ra rằng người học có khả năng áp dụng các quy trình,
phương pháp và kĩ thuật mang tính thuật toán để tính tích phân. Một số HS còn biết
áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường, tuy nhiên các
em thường ít khi giải thích về quy trình họ sử dụng mà chỉ bắt chước quy trình đã
được GV hướng dẫn trước đó. Thậm chí một số HS còn không biết vì sao họ phải làm
như thế. Điều đó cho thấy sự hạn chế về hiểu biết của người học liên quan đến bản
chất của các khái niệm và quy trình toán học liên quan đến chủ đề tích phân.
Mặc dù nhiều HS thành thạo các kiến thức quy trình nhưng kiến thức khái
niệm của các em không đủ sâu sắc để tìm ra phương án giải quyết các vấn đề toán
học không quen thuộc hay thiết lập sự kết nối giữa toán học với thực tế. Dạy học
toán theo vấn đề đặt trọng tâm vào các vấn đề thực tế nên sẽ rút ngắn khoảng cách
giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học. Dạy học theo vấn đề
trong các lớp học toán đòi hỏi GV phải đưa ra các vấn đề thực tế và có tính đa
chiều, đồng thời GV cũng đóng vai trò là người hỗ trợ HS học toán để các em
chiếm lĩnh kiến thức và kĩ năng toán cần học thông qua quá trình tìm kiếm phương
án giải quyết vấn đề. Nghiên cứu của Chapell và Killpatrick (2003) cho thấy môi
trường dạy học đặt trọng tâm vào khái niệm toán hỗ trợ người học tăng cường hiểu
biết về khái niệm cũng như quy trình toán học. Cụ thể, Chapell và Killpatrick
(2003) chỉ ra rằng HS được học trong môi trường dạy học đặt trọng tâm vào khái

15. 10
niệm có kết quả cao hơn HS học trong môi trường dạy học mang tính quy trình
trong các bài kiểm tra đo lường cả hiểu biết mang tính quy trình và mang tính khái
niệm của người học. Điều đó cho thấy vai trò quan trọng của tiếp cận dạy học dựa
theo khái niệm đối với việc nâng cao hiểu biết khái niệm và quy trình cho người học
1.4. Dạy học tích phân ở trƣờng phổ thông
Giải tích là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo hàm,
nguyên hàm, tích phân... Phép toán cơ bản của giải tích là “phép lấy giới hạn” và
các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất “động” hơn là tính
chất “tĩnh” như trong đại số. Chính vì vậy mà phần lớn HS THPT lúng túng và gặp
khó khăn khi học các nội dung của giải tích nói chung và nguyên hàm, tích phân nói
riêng. Các em có thể thực hiện khá thành thạo các phép tính toán nhưng gặp khó khăn
khi giải các bài toán đòi hỏi hiểu biết mang tính khái niệm. Trong thực tế, đa số HS
khi học chủ đề tích phân thường chỉ tập trung vào việc rèn luyện các quy tắc, phương
pháp tính toán như tính tích phân bằng định nghĩa hoặc bằng các tính chất, tính tích
phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp tính tích phân từng phần hoặc
giải một số bài toán tích phân với những thuật toán, dạng toán mà các em đã được
GV đưa ra thuật toán cũng như những dạng quen thuộc trước đó. Khi học chủ đề tích
phân các em thường giải những bài toán dùng kiến thức quy trình. Khi gặp những bài
toán có bối cảnh tính thực tế đòi hỏi phải sử dụng kiến thức khái niệm các em còn
lúng túng, thậm chí chưa biết cách giải. Sử dụng công cụ tích phân vào bài toán tính
diện tích hình phẳng, tính thể tích của vật thể HS cũng chỉ giải những bài toán đơn
giản như tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong với trục hoành, hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong, tính thể tích của vật thể và thể tích của vật thể
tròn xoay sinh ra khi quay một đường quanh một trục cố định… các bài toán mang
tính quy trình. Trong quá trình giảng dạy ở lớp, GV thường đưa ra hướng dẫn về kĩ
thuật giải để giải từng dạng toán, sau đó HS sẽ áp dụng phương pháp đó để giải. Cụ
thể, ở trường THPT GV thường yêu cầu người học sử dụng định nghĩa tính tích phân,
phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần để giải các dạng tích
phân lượng giác, tích phân hữu tỉ, tích phân các hàm vô tỉ… Đối với các dạng toán

16. 11
trên phần lớn HS đều làm nếu các em được trang bị các kĩ thuật tính tích phân và
luyện tập một cách thường xuyên.
Hầu hết các bài toán trong sách giáo khoa hiện hành đều chú trọng đến kiến
thức quy trình. Lượng bài toán đề cập đến kiến thức khái niệm trong chủ đề tích còn
ít.Thống kê số lượng bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 Cơ bản hiện hành do
tác giả Trần Văn Hạo chủ biên như sau:
Chủ đề
Bài tập chứa đựng
kiến thức quy trình
Bài tập chứa đựng
kiến thức khái niệm
Số bài tập có nội
dụng thực tế
Tích Phân 6 0 0
Ứng dụng hình học
của tích phân
3 3 0
Thống kê số lượng bài tập trong sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao hiện
hành do tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên như sau:
Chủ đề
Bài tập chứa
đựng kiến thức
quy trình
Bài tập chứa
đựng kiến thức
khái niệm
Số bài tập có nội
dụng thực tế
Tích Phân. Một số
phương pháp tính
tich phân.
10 5 1
Ứng dụng tích
phân để tính diện
tích hình phẳng.
3 0 0
Ứng dụng tích
phân để tính thể
tích vật thể.
4 1 0
Ngoài ra khi học chủ đề tích phân các em thường mắc phải những sai lầm do
chưa hiểu rõ bản chất của các khái niệm một cách rõ ràng hoặc tính tích phân một
cách máy móc chẳng hạn như: Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân
rồi dùng định nghĩa tích phân hoặc phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp tính

17. 12
tích phân từng phần mà rất ít HS để ý rằng nguyên hàm của hàm số tìm được có liên
tục trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi
biến số có ý nghĩa hay không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Chẳng
hạn khi tính tích phân
4
2
0
6 9I x x dx   , HS đã thực hiện các phép đổi như sau:
44 4 4 2
2 2
0 0 0 0
( 3) 1 9
6 9 ( 3) ( 3) ( 3) 4
2 2 2
x
I x x dx x dx x d x

               . HS mắc
phải sai lầm khi giải bài toán này là do các em đã thực hiện phép biến đổi
2
( 3) 3, [0,4]x x x    không tương đương.
Thực tế chương trình dạy học chủ đề tích phân còn chú trọng nhiều đến các
bài toán mang tính quy trình mà chưa chú ý đứng mức các bài toán thực tế. Khi học
chủ đề ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể
tròn xoay, hầu hết HS nắm công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn
xoay do các em còn thiếu những kỹ năng vẽ đồ thị, suy luận, thiếu hiểu biết về kiến
thức khái niệm dẫn đến bế tắc hay khó khăn trong việc tìm lời giải bài toán.
1.5. Nhận xét và đặt vấn đề
Theo một nghiên cứu của Trung tâm Quốc gia về Đánh giá Tiến triển Giáo
dục Hoa Kỳ (National Assessment of Educational Progress: NAEP, 1983), phần lớn
HS đồng ý với phát biểu “luôn luôn có một quy tắc để làm theo trong việc giải
quyết các bài toán”. Lý do cho suy nghĩ này xuất phát từ thực tế dạy học toán
thường diễn ra ở nhà trường phổ thông. Trong quá trình dạy học toán, GV thường
để HS tiếp xúc với các bài toán có quy trình thuật toán và đưa ra các ví dụ để HS áp
dụng các quy trình thuật toán cho đến khi HS có thể tự mình làm các bài toán này
một cách chính xác theo các thuật toán đã được học. Vì thế nhiều HS ở bậc THPT
đã tập trung ghi nhớ các quy trình hoặc thuật toán được GV giới thiệu trên lớp thay
cho việc tìm hiểu các mối liên hệ giữa các đối tượng.
Chủ đề ứng dụng của tích phân trong chương trình giải tích 12 một dạng
toán cơ bản thực tế quen thuộc. Tuy nhiên nhiều HS chưa thật sự hiểu được yêu cầu
đặt ra trong bài toán, cũng như chưa biết kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức

18. 13
đã biết để giải toán dẫn đến mắc sai lầm và đưa ra những lời giải sai chưa chính xác.
Trong các bài kiểm tra, kì thi, hầu như các bài toán về chủ đề tích phân thường tập
trung vào việc yêu cầu HS lặp lại các quy trình đã học và tiến hành các tính toán
nên đã che dấu đi sự vắng mặt của kiến thức khái niệm. Thông thường, nếu HS nắm
vững các phương pháp và áp dụng thành thạo các quy trình thuật toán và tựa thuật
toán đã được trang bị trước đó thì có thể làm đúng đáp án. Điều này vô tình tạo ra
một lý do để GV và HS tin rằng các em đã hiểu được khái niệm toán học nhưng có
lẽ điều này không đúng. Các em chỉ tập trung nhớ các quy trình hoặc thuật toán chứ
ít khi tìm hiểu mối liên hệ giữa các đối tượng toán học.
Chương trình dạy học toán chúng ta hiện nay tập trung chủ yếu vào việc rèn
luyện các kĩ năng và thực hành các thuật giải. Việc thực hành các thuật toán chưa
đủ để giúp HS áp dụng các kiến thức vào thực tế giải quyết các bài toán ít quen
thuộc. Do đó cần chú trọng hơn nữa việc phát triển các kiến thức khái niệm, cần
mạnh dạn cho HS tiếp cận khái niệm dưới các tình huống không quen thuộc, các
loại biểu diễn khác nhau, khuyến khích HS tiến hành các hoạt động khám phá toán.
Hiện nay đã có nhiều nghiên cứu bàn về việc phát triển kiến thức quy trình và kiến
thức khái niệm cho HS trong các chủ đề cụ thể như hàm số (Lauritzen, 2012), đạo
hàm và ứng dụng của đạo hàm (Chappell & Kendra Killpatrich, 2007). Tuy nhiên
việc tìm hiểu kiến thức khái niệm của HS trong chủ đề tích phân hầu như chưa được
bàn đến. Xuất phát từ những vấn đề trên chúng tôi chọn đề tài “Ảnh hƣởng của
phƣơng pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề
tích phân” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn này.
1.6. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm mục đích:
 Tìmhiểu kiến thức quytrình và kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
 Tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức
khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
Để đạt được mục đích trên, nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài bao gồm:

19. 14
 Tổng quan các nghiên cứu liên quan đến phương pháp dạy học theo vấn
đề, kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của HS về tích phân.
 Thiết kế công cụ nghiên cứu để tích hợp tiếp cận dạy học theo vấn đề vào
quá trình dạy học chủ đề tích phân.
 Thu thập, phân tích và xử lí dữ liệu để đưa ra nhận định có cơ sở về ảnh hưởng
của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích
phân.
 Phân tích khả năng áp dụng, đưa ra hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả
khi dạy chủ đề tích phân trong tương lai.
1.7. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
Khách thể nghiên cứu của nghiên cứu này là quá trình tích hợp tiếp cận dạy
học theo vấn đề vào dạy học chủ đề tích phân.
Đối tượng nghiên cứu của nghiên cứu này là kiến thức khái niệm về chủ đề
tích phân của HS lớp 12.
1.8. Câu hỏi và ý nghĩa nghiên cứu
Trong nghiên cứu này chúng tôi tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp dạy
học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích phân, từ đó đề xuất
hướng tiếp cận về mặt phương pháp khi dạy học chủ đề này. Nghiên cứu này nhằm
mục đích tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
i. Kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình của HS về chủ đề tích phân
hiện nay như thế nào?
ii. Dạy học theo vấn đề ảnh hưởng như thế nào đến kiến thức khái niệm về
chủ đề tích phân của HS lớp 12?
iii. Làm thế nào để phát triển kiến thức khái niệm về chủ đề tích phân cho HS
lớp 12?
Kết quả nghiên cứu của luận văn này mong đợi sẽ góp phần:

20. 15
i. Mô tả kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về chủ đề tích phân ở
bậc trung học phổ thông.
ii. Làm rõ ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức
khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
iii. Đề xuất hướng tiếp cận khi dạy học chủ đề tích phân ở trường phổ thông
để phát triển kiến thức khái niệm về chủ đề này cho người học.
1.9. Bố cục của luận văn
Ngoài mục lục, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung của luận văn
được trình bày trong năm chương:
Chương 1. Mở đầu
Chương 2. Tổng quan nghiên cứu liên quan và khung lí thuyết tham chiếu
Chương 3. Phương pháp nghiên cứu
Chương 4. Kết quả nghiên cứu
Chương 5. Kết luận
1.10. Tiểu kết chƣơng 1
Trong phần mở đầu chúng tôi đã tổng quan một số nghiên cứu về phương
pháp dạy học theo vấn đề, kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người
học. Chúng tôi cũng đã trình bày mục đích, câu hỏi và nhiệm vụ nghiên cứu, khách
thể và đối tượng nghiên cứu, bố cục của luận văn. Chúng tôi sẽ trình bày khung lí
thuyết nghiên cứu ở chương tiếp theo.

21. 16
Chƣơng 2. TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU LIÊN QUAN
VÀ KHUNG LÍ THUYẾT NGHIÊN CỨU
2.1. Quy trình tổ chức dạy học toán theo vấn đề
Học theo vấn đề thường bắt đầu bằng một vấn đề (Ari và Katranci, 2013).
Học theo vấn đề trong môn toán đòi hỏi phải cung cấp cho HS môi trường để các
em tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề. Mức độ phức tạp của vấn đề được đặt
ra trong các lớp toán theo vấn đề phụ thuộc vào mức độ nhận thức của HS và thời
lượng dành cho việc học chủ đề đó. Theo Goodman (2010), vấn đề được đặt ra có
thể được giải quyết trong một tiết học hoặc một số tiết học hay trải dài theo cả học
kì. Goodman (2010) cho rằng việc tổ chức cho HS học toán theo vấn đề thường
được tiến hành theo các bước là đặt ra vấn đề với người học, HS xác định các điều
đã biết và điều chưa biết liên quan đến vấn đề, HS tìm kiếm các thông tin hỗ trợ quá
trình giải quyết vấn đề, và sau đó là các em học những kiến thức mới, kết nối các
kiến thức vừa học vào việc giải quyết vấn đề đặt ra lúc đầu. Quy trình dạy học theo
vấn đề được thực hiện với các bước sau:
Hình 2.1. Quy trình dạy học theo vấn đề
• Bƣớc 1. Ổn định lớp: GV ổn định lớp, đặt ra yêu cầu về cách thức tổ chức
lớp học và những quy định đặc biệt nếu có trong giờ học.
Ổn định lớp
Đánh giá
kết quả
Áp dụng điều
cần biết
Học điều cần biết
Xác định điều
cần biết
Đặt vấn đề

22. 17
• Bƣớc 2. Đặt vấn đề: GV hoặc HS đặt ra một vấn đề, thông thường trong
dạy học theo vấn đề đó là một vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế. GV yêu cầu
HS tìm kiếm phương án để giải quyết vấn đề được đặt ra.
• Bƣớc 3. Xác định điều cần biết: GV hướng dẫn HS tìm hiểu vấn đề, chuyển
đổi vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế sang một bài toán, xác định kiến thức
toán mới cần biết để giải được bài toán được đặt ra.
• Bƣớc 4. Học điều cần biết: GV tổ chức cho HS khám phá, kiến tạo kiến
thức mới để đáp ứng với yêu cầu của bài toán được đặt ra.
• Bƣớc 5. Áp dụng điều cần biết: HS áp dụng những điều vừa được khám
phá ra để giải bài toán được đặt ra, sau đó chuyển dịch kết quả từ vấn đề toán sang
vấn đề thực tế hoặc có bối cảnh thực tế ban đầu.
• Bƣớc 6: Củng cố: GV xác nhận lại kết quả của quá trình giải quyết vấn đề
của HS, chính xác hóa kiến thức toán mà HS vừa khám phá, đưa ra thêm các tình
huống để HS vận dụng kiến thức vừa học được, mở rộng vấn đề nếu có.
Phương pháp dạy học theo vấn đề là phương pháp dạy học theo định hướng
lấy HS làm trung tâm, trong đó HS cần thiết phải sử dụng kiến thức về toán học
trong chương trình để áp dụng vào tình huống thực tế hoặc các tình huống mô
phỏng thực tế, nhằm đòi hỏi ở người học một tư duy tích cực, chủ động để nắm bắt
kiến thức môn học một cách hiệu quả, tối ưu nhất. Dạy học theo vấn đề là tiếp cận
dạy học cho phép HS không chỉ phát triển hiểu biết toán mà còn giúp cho HS bồi
dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thực tế, đặt người học vào các vấn đề phải thành
thạo các phương án giải quyết vấn đề. Các phướng án giải quyết vấn đề được Krulik
và Rudnick (1987) đưa ra:
 Phân tích đi lên.
 Tìm kiếm một quy luật.
 Tiếp cận vấn đề theo một cách nhìn.
 Giải quyết vấn đề tương tự nhưng đơn giản hơn.
 Xét các trường hợp đặt biệt.

23. 18
 Minh họa bằng hình vẽ.
 Đoán và thử, xem tất cả các khả năng có thể xảy ra.
 Sắp xếp các dữ liệu.
 Suy luận logic.
Dạy học theo vấn đề đòi hỏi người học phải tìm kiếm, tích hợp các thông tin
ở nhiều nguồn khác nhau để tìm các phương án giải quyết ban đầu, người học phải
kiến tạo kiến thức toán trong quá trình hợp tác làm việc theo nhóm. Trong dạy học
theo vấn đề kiến thức và kỹ năng cần học tập không được trình bày đưới dạng mặc
định, có sẵn mà tiềm ẩn trong các vấn đề. Khi giải quyết vấn đề giúp các em phát
triển các các tư duy phê phán, khả năng giải quyết vấn đề, thông qua giải quyết vấn
đề người học chiếm lĩnh các kĩ năng, kiến thức khái niệm toán. So với phương
pháp dạy học truyền thống GV không chỉ dạy các em giải các bài toán, giúp các em
phát triển kiến thức quy trình mà giúp các em hiểu biết sâu sắc hơn về các kiến thức
khái niệm toán cần thiết để giải quyết những bài toán không quen thuộc hay thiết
lập các mối quan hệ giữa các kiến thức khái niệm.
Do dạy học toán theo vấn đề thường bắt đầu bằng một bài toán thực tế cần
giải quyết nên HS học toán trong môi trường đặt trọng tâm vào các vấn đề phải
thành thạo các phương án giải quyết vấn đề. Một số nhà nghiên cứu nhận định rằng
dạy học toán theo vấn đề là một tiếp cận dạy học nhằm hỗ trợ HS phát triển khả
năng kiến tạo kiến thức, giải quyết vấn đề, suy nghĩ một cách có phê phán và sáng
tạo, giao tiếp hiểu biết toán của bản thân với bạn học. Khi tham gia vào môi trường
học theo vấn đề, HS phải nỗ lực kiến tạo kiến thức toán trong quá trình hợp tác làm
việc với bạn học. GV chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn, tạo cơ hội để HS kiến
tạo kiến thức và giải quyết vấn đề. Để thể hiện tốt vai trò của mình khi tổ chức dạy
học theo vấn đề, GV phải là người có hiểu biết sâu sắc về kiến thức toán và kiến
thức phương pháp. GV phải biết tạo ra các tình huống có vấn đề và lên kế hoạch về
quá trình giải quyết vấn đề của HS, lôi cuốn HS vào quá trình tìm kiếm phương án
giải quyết vấn đề và tạo ra cơ hội để HS kiến tạo được kiến thức mới để giải quyết
vấn đề. GV cũng phải thay đổi cách thức quản lí việc học của HS cho phù hợp với

24. 19
môi trường dạy học theo vấn đề. Trong dạy học theo vấn đề trách nhiệm và sự tận
tâm của GV càng được nâng lên nhằm chuẩn bị cho HS môi trường học tập lí tưởng
để kiến tạo kiến thức và giải quyết vấn đề khi học theo vấn đề.
2.2. Đặc trƣng của phƣơng pháp dạy học toán theo vấn đề
Dạy học theo vấn đề là tiếp cận dạy học mà ở đó HS được tạo cơ hội để tiến
hành các nghiên cứu, tích hợp lí thuyết vào thực hành, vận dụng các kiến thức và kĩ
năng đã có để tìm kiếm phương án giải quyết cho vấn đề đã được xác định ban đầu
(Savery, 2006). Dạy học theo vấn đề là một tiếp cận dạy học lấy người học làm
trung tâm có những đặc trưng sau:
- Tính độc lập của người học: Người học phải chịu trách nhiệm về việc học
của mình. Các em tham gia vào quá trình giải quyết vấn đề với những kiến thức và
kinh nghiệm của bản thân. HS cần xác định những gì bản thân đã biết và những điều
cần học hỏi và chịu trách nhiệm tìm ra những thông tin phù hợp để giúp bản thân
tìm ra chiến lược giải quyết vấn đề phù hợp.
- Vấn đề có cấu trúc không đầy đủ và kích thích người học đặt câu hỏi: Dạy
học theo vấn đề thường chú trọng vào các vấn đề có bối cảnh thực tế. Đây là những
vấn đề có tính xác thực và thường được phát biểu dưới ngôn ngữ đời thường nên đòi
hỏi người học phải biết chuyển dịch thông tin, nhận ra bản chất vấn đề và phát triển
phương án giải quyết vấn đề.
- Tích hợp trong dạy học: Dạy học theo vấn đề đòi hỏi người học phải tìm
kiếm, tích hợp và sử dụng thông tin ở nhiều nguồn khác nhau có liên quan đến việc
thông hiểu và tìm kiếm phương án giải quyết vấn đề ban đầu. Dạy học theo vấn đề
huớng đến việc chuẩn bị cho người học năng lực vận dụng kiến thức ở nhiều nguồn
khác nhau để giải quyết vấn đề mà các em gặp phải trong cuộc sống.
- Tính hợp tác: Dạy học theo vấn đề hướng đến việc giúp HS phát triển kĩ
năng hợp tác vì nó tạo ra môi trường để thúc đẩy những kĩ năng này của các em.
Trong quá trình tổ chức dạy học theo vấn đề, GV sẽ đặt những câu hỏi để đảm bảo
rằng tất cả các thông tin liên quan đến vấn đề chung của cả nhóm đã được chia sẻ
giữa các thành viên trong toàn nhóm.

25. 20
- Kiến thức và kỹ năng mới để giải quyết vấn đề đã đặt ra: Những kiến thức
và kỹ năng mà HS chiếm lĩnh được trong quá trình tham gia giải quyết vấn đề sẽ
được sử dụng để cả nhóm thảo luận và quyết định phương án giải quyết vấn đề đã
được đặt ra.
- Củng cố việc học: Sau khi kết thúc việc giải quyết vấn đề thì bao giờ cũng
có một khoảng thời gian dành cho việc phân tích những kiến thức và kỹ năng đã
được học khi làm việc với vấn đề. Việc củng cố bài học nhằm đảm bảo mọi HS
trong lớp học đều phát triển hiểu biết sâu sắc về những kiến thức và kỹ năng mà GV
muốn họ đạt được sau khi tham gia giải quyết vấn đề đã đặt ra.
- Tự đánh giá, đánh giá đồng đẳng và đánh giá: Việc tự đánh giá và đánh giá
đồng đẳng được thực hiện sau khi hoàn thành một vấn đề hoặc một chủ đề nào đó
trong môn học nhằm thu thập những thông tin liên quan đến quá trình tiến bộ trong
kiến thức và kỹ năng của HS. Việc đánh giá HS là để đảm bảo các em chiếm lĩnh
được những kiến thức và kỹ năng môn học mà chương trình yêu cầu. Mặc dù nhiều
HS thành thạo các kiến thức quy trình nhưng kiến thức khái niệm của các em không
đủ sâu sắc để tìm ra phương án giải quyết các vấn đề toán học không quen thuộc
hay thiết lập sự kết nối giữa toán học với thực tế.
Dạy học toán theo vấn đề đặt trọng tâm vào các vấn đề thực tế nên sẽ rút
ngắn khoảng cách giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của người học.
Dạy học theo vấn đề trong các lớp học toán đòi hỏi GV phải đưa ra các vấn đề thực
tế và có tính đa chiều, đồng thời GV cũng đóng vai trò là người hỗ trợ HS học toán
để các em chiếm lĩnh kiến thức và kĩ năng toán cần học thông qua quá trình tìm
kiếm phương án giải quyết vấn đề.
2.3. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm
Thuật ngữ kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của toán học xuất hiện
và trở nên phổ biến giữa những năm 1980, đặc biệt sau khi Hiebert (1986) biên tập
cuốn sách “Kiến thức khái niệm và kiến thức quy trình: Trường hợp của toán học”,
các thuật ngữ này được phổ biến và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà giáo
dục toán. Sự phân biệt giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm đóng một vai
trò quan trọng trong việc xác định những kiến thức mà HS thu nhận được. Hiebert

26. 21
và Wearne (1986) nhấn mạnh rằng, kiến thức quy trình có hầu hết trong các thuật
toán, nhưng còn thiếu các mối quan hệ, trong khi kiến thức khái niệm rất giàu các
mối quan hệ nhưng còn thiếu trong các thuật toán. Mặc dù kiến thức khái niệm và
kiến thức quy trình không phải luôn luôn được phân biệt một cách rõ ràng, tuy
nhiên việc phân biệt hai loại kiến thức này sẽ rất hữu ích để hiểu rõ hơn về sự phát
triển kiến thức toán học cho HS.
2.3.1. Kiến thức quy trình
Gray và Tall (1993) đã đưa ra sự phân biệt giữa hai thuật ngữ “quy trình” và
“thủ tục”. Theo đó, quy trình là đại diện cho một hoạt động toán học, còn thủ tục là
các thuật toán để thực hiện một quy trình. Một quy trình là một chuỗi các bước, các
hoạt động được thực hiện để hoàn thành một mục tiêu. Các quy trình được mô tả
bằng cách sử dụng các cấu trúc như kĩ năng, phương án, hoạt động bên trong. Kiến
thức quy trình là biết làm như thế nào hay kiến thức về các bước được yêu cầu để
đạt được các mục tiêu khác nhau. Các quy trình có thể là:
- Thuật toán - một dãy các hành động đã được xác định trước, nó sẽ dẫn đến
câu trả lời đúng khi được thực hiện đúng;
- Những hành động có thể phải được tiếp nối nhau một cách phù hợp để giải
quyết một vấn đề đã cho (ví dụ các bước giải phương trình).
Kiến thức quy trình được phát triển thông qua việc luyện tập giải các bài toán
nên nó gắn liền với bài toán riêng biệt. Hơn nữa, bản chất liên tiếp của quy trình có
thể làm cho chúng hầu như tách rời các dạng kiến thức khác. Kiến thức quy trình
đôi khi cũng đòi hỏi một số điều kiện bổ sung. Chẳng hạn như trong lĩnh vực giáo
dục toán, một số nhà giáo dục cho rằng kiến thức quy trình là kiến thức mà con
người chỉ có thể bộc lộ rõ trong quá trình thực hiện của mình, nó không thể được
mô tả một cách tường minh. Thuật ngữ kiến thức quy trình biểu thị không chỉ cái gì
được biết (kiến thức về các quy trình) mà còn là cách mà các quy trình được biết
(không sâu sắc và không có những kết nối đa dạng). Trong giải quyết vấn đề toán
học, con người thường biết và sử dụng các quy trình không được tự động hóa nhưng

27. 22
đòi hỏi sự lựa chọn, phản ánh, sự sắp xếp các bước có ý thức. Kiến thức về những
quy trình này có thể được diễn tả thành lời.
Hiebert và Lefevre (1986) định nghĩa thuật ngữ kiến thức quy trình chủ yếu
là kiến thức về các quy trình, kiến thức về cú pháp, các bước, các công thức và các
quy tắc cho các thao tác trên các biểu tượng. Các bước trong quy trình có thể quản
lý riêng biệt, nhiều hay ít không liên quan đến các bộ phận khác của nhiệm vụ.
Hiebert và Lefevre (1986) cũng cho rằng, trong bản thân kiến thức quy trình cũng
chứa các mối quan hệ mang tính chất tuần tự chẳng hạn như một bước trong một
quy trình được kết nối với các bước tiếp theo. Theo định nghĩa này, kiến thức về
quy trình là đơn giản, không chứa đựng các kết nối phong phú. Các định nghĩa của
Hiebert và Lefevre (1986) có rất nhiều ảnh hưởng trong giáo dục toán để tìm hiểu
kiến thức của HS về toán học.
Haapasalo và Kadijevich (2000) đã chỉ ra đặc trưng cơ bản của kiến thức quy
trình là biểu thị cách thức thực hiện các thuật toán, quy trình cụ thể. Điều này
thường đòi hỏi không chỉ kiến thức của các đối tượng toán học được sử dụng, mà
còn kiến thức về định dạng và cú pháp cần thiết để biểu diễn chúng. Nhìn chung,
hầu hết các nhà giáo dục đều nhất trí rằng kiến thức quy trình là khả năng thực hiện
một chuỗi các hành động để giải quyết vấn đề.
2.3.2. Kiến thức khái niệm
Khái niệm là một ý tưởng trừu tượng hoặc tổng quát được khái quát hóa từ
nhiều trường hợp riêng. Kiến thức khái niệm thường không gắn liền với một loại
vấn đề cụ thể nào, nó có thể rõ ràng hoặc tiềm ẩn và do đó không được diễn đạt
thành lời. Haapasalo và Kadijevich (2000) đã mô tả các đặc trưng của kiến thức
khái niệm là dạng kiến thức về khả năng kết nối và vận dụng khéo léo các yếu tố
trong các mạng lưới riêng biệt, các yếu tố trong mạng này có thể là các khái niệm,
quy tắc, thuật toán, quy trình…, và thậm chí cả các vấn đề được đưa ra với những
hình thức biểu diễn khác nhau. Kiến thức khái niệm là kiến thức về những sự kiện,
những sự khái quát hóa và những nguyên tắc mà không đòi hỏi kiến thức phải được
kết nối một cách đa dạng. Một số nhà nghiên cứu giáo dục toán khác thì cho rằng

28. 23
kiến thức khái niệm không chỉ bao hàm là biết cái gì mà biết như thế nào về các
kiến thức toán cùng với sự kết nối đa dạng trong toán.
Kiến thức khái niệm chứa đựng các mối quan hệ giữa những mẫu thông tin
riêng biệt. Theo Hiebert & Wearne (1986), sự kết nối giữa các biểu diễn toán học
khác nhau là cốt lõi của kiến thức khái niệm, các hình thức biểu diễn khác nhau có
thể đại diện cho cùng một đối tượng. Tuy nhiên, mức độ trừu tượng hay chi tiết ở
các hình thức đại diện khác nhau cũng khác nhau. Do đó khả năng để thực hiện các
hoạt động có thể phụ thuộc vào các biểu diễn của chúng.
Một khía cạnh khác của kiến thức khái niệm là khả năng phản ánh các mối
quan hệ được hình thành ở một mức độ trừu tượng cao hơn, ít gắn liền với các bối
cảnh rõ ràng. Một hình thức được xem như một biểu hiện khác của kiến thức khái
niệm là khi HS nhận dạng được các đặc tính từ các tình huống thực tế và kết nối
chúng với các kiến thức đã có của bản thân (Hiebert và Wearne, 1986). Theo Sfard
(1991) sự hiểu biết cấu trúc của một khái niệm là điều cần thiết nếu muốn sử dụng
khái niệm này để phát triển các khái niệm phức tạp hơn. Người học phải có khả
năng nhìn thấy các khái niệm như là một đơn vị để có thể thực hiện các hoạt động
trên các cấp độ tiếp theo cao hơn. Một số nhà giáo dục cũng ủng hộ quan điểm này
khi cho rằng kiến thức khái niệm phụ thuộc vào kiến thức khái niệm hiện có và đạt
được bằng cách sử dụng các quy trình. Do đó kiến thức khái niệm có thể được xem
như một chuỗi với các kết nối phức tạp.
Ví dụ sau đây cho thấy một trường hợp thể hiện một mức độ trừu tượng cao,
ít gắn liền với một bối cảnh rõ ràng của kiến thức khái niệm:
“Bạn A đi học từ nhà đến trường với vận tốc 60 km/h, tuy nhiên lúc về do
đường đông nên chỉ đi được với vận tốc 40 km/h. Hãy tính vận tốc trung bình cả đi
và về”.
Thoạt nhìn, bài toán tưởng chừng rất đơn giản, lúc đi 60 km/h, lúc về 40
km/h, do đó nhiều HS sẽ giải quyết nhanh theo cách thức:
1 2 60 40
50 ( / )
2 2
tb
v v
v km h
 
  

29. 24
Tuy nhiên, cách nhìn này chưa phản ánh được bản chất của khái niệm vận
tốc trung bình ở phổ thông, chứng tỏ rằng HS đã thực hiện một cách máy móc các
quy trình. Nếu bài toán đưa nhiều lượt đi và về với những vận tốc khác, có thể HS
sẽ lấy trung bình cộng của tất cả. Một HS có kiến thức khái niệm trong trường hợp
này sẽ phân tích bài toán theo một hướng khác
1 2
2 2
48 ( / )
60 40
tb
d d
v km h
d dt t
  
 
Hướng suy nghĩ này cho bài toán không phụ thuộc vào một trường hợp cụ
thể, có thể quá trình đi về được lặp lại một số lần. Bài toán được xét đến ở một mức
độ trừu tượng cao hơn, kết nối từ các kiến thức được học đến các yếu tố nhận dạng
trong giả thiết. Điều này cho thấy kiến thức khái niệm rất quan trọng đối với các bài
toán quy trình.
2.3.3. Mối liên hệ giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm
Các nghiên cứu trước đây chỉ ra nhiều mối liên hệ giữa hai dạng kiến thức
nhưng việc chứng minh hay khẳng định quan điểm nào chính xác dường như là
không thực tế. Kiến thức toán học bao gồm cả kiến thức quy trình và kiến thức khái
niệm, do đó việc tìm hiểu mối liên hệ giữa hai dạng kiến thức này đóng vai trò quan
trọng trong việc tìm hiểu sự hình thành và phát triển kiến thức về các khái niệm
toán học của HS. Một cách làm ủng hộ quan điểm này là sử dụng thống kê qua việc
phân tích bài làm của HS đã được một số nhà nghiên cứu sử dụng. Haapasalo và
Kadijevich (2000) cho thấy bốn quan điểm về mối liên hệ giữa kiến thức quy trình
và kiến thức khái niệm như sau:
- Quan điểm kế thừa cho rằng kiến thức quy trình là điều kiện cần nhưng chưa
đủ cho kiến thức khái niệm. Quy trình theo quan điểm này như là một phần cơ bản của
sự phát triển khái niệm. Các giai đoạn phát triển kiến thức quy trình xảy ra trước kiến
thức khái niệm chỉ ra một hướng quan hệ nhân quả giữa chúng. Theo quan điểm này,
kiến thức quy trình là điều kiện cần nhưng chưa đủ cho kiến thức khái niệm. Sfard
(1991) cho rằng, sự hình thành khái niệm về hoạt động xảy ra trước sự hình thành khái

30. 25
niệm về cấu trúc. Thậm chí nếu một cá nhân phát triển kỹ năng, họ không nhất thiết
phải phát triển kiến thức về khái niệm theo quan điểm này.
- Quan điểm tương tác động cho rằng kiến thức khái niệm là điều kiện cần
nhưng chưa đủ cho kiến thức quy trình. Quan điểm này cho rằng, kiến thức khái
niệm là cần thiết nhưng không đủ điều kiện để hiểu biết kiến thức quy trình. Tuy
nhiên, kiến thức khái niệm sẽ góp phần vào việc phát hiện các lỗi tính toán.
- Quan điểm đồng hoạt hóa ủng hộ việc xem kiến thức quy trình là điều kiện
cần và đủ cho kiến thức khái niệm. Quan điểm này cho rằng sự thiếu hiểu biết về
kiến thức khái niệm tạo nên sự thiếu hiểu biết về kiến thức quy trình, sự phát triển
kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm được xem là đồng thời, khi người học
làm việc với kiến thức quy trình thì kiến thức khái niệm sẽ được sử dụng và tiếp tục
phát triển.
- Quan điểm bất hoạt hóa lại cho rằng kiến thức quy trình và kiến thức khái
niệm không liên quan với nhau. Các lập luận ủng hộ quan điểm này cho rằng HS có
thể có một mức độ cao về kiến thức khái niệm nhưng lại thiếu các kỹ năng về kiến
thức quy trình, hay HS có thể đạt mức độ cao trong kiến thức quy trình nhưng rất
hạn chế trong kiến thức khái niệm.
Hiebert và Lefevre (1986) kết luận rằng, trong mối quan hệ giữa kiến thức quy
trình và khái niệm thì quy trình "giữ chìa khóa" để cải thiện sự hiểu biết toán học:
“... mặc dù có thể xem xét các quy trình mà không có các khái niệm, tuy
nhiên không phải là dễ dàng như vậy để hình dung kiến thức khái niệm mà
không được liên kết với một số quy trình. Điều này một phần là do thực tế là
các quy trình biến kiến thức khái niệm thành một cái gì đó quan sát được.
Nếu không có các quy trình để tiếp cận và tác động lên những kiến thức khái
niệm, chúng ta sẽ không biết nó đã có.”
Các nhà giáo dục đã chỉ ra rằng giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái
niệm có một mối liên hệ với nhau. Mối liên hệ này được thể hiện trong ba quan
điểm đầu tiên. Việc đi chứng minh các quan điểm dường như không thực tế và quá
trình bác bỏ một quan điểm cũng không mang lại lợi ích trong việc tìm hiểu sự phát

31. 26
triển kiến thức của HS. Thay vào đó, một số nhà giáo dục đã đề xuất rằng chúng ta
nên giả định kiến thức quy trình và khái niệm là phụ thuộc lẫn nhau với quan hệ
nhân quả. Nghiên cứu này cũng được tiến hành trên quan điểm không bác bỏ hay
chứng minh một quan điểm nào, thay vào đó chúng tôi giả sử có một mối quan hệ
nhân quả giữa kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm và đi kiểm chứng mối
quan hệ này.
2.4. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm về tích phân
2.4.1. Kiến thức quy trình về tích phân
Trong chương trình Toán ở bậc trung học phổ thông (THPT), người học sẽ
gặp khá nhiều bài toán về tích phân mà cách giải của chúng thường có sẵn. Các
nhiệm vụ kiểm tra kiến thức quy trình về tích phân thường gắn liền với các yêu cầu
về tính nguyên hàm của một hàm số, tính tích phân bằng cách sử dụng các nguyên
hàm cơ bản, phương pháp đổi biến hoặc phương pháp tích phân từng phần, tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường hoặc tính thể tích vật thể hoặc thể tích của
khối tròn xoay. Với các dạng toán này, HS đã được trang bị các quy trình để giải
toán và thông thường sau một số bước nhất định sẽ đi tới đáp án chính xác. Các
nhiệm vụ kiểm tra kiến thức mang tính quy trình trong chủ đề tích phân thường
quen thuộc, liên quan đến một số dạng toán mà HS đã được rèn luyện thường xuyên
trên lớp. Do đó hầu hết HS đều có thể nhận dạng và áp dụng kiến thức đã học để
hoàn thành nhiệm vụ đòi hỏi kiến thức quy trình.
Kiến thức quy trình chủ đề tích phân thể hiện sự vận dụng thành công các
tính chất, phương pháp tính tích phân để tính các nguyên hàm và tích phân xác định
cũng như tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong, thể tích khối tròn
xoay với các bước giải hay thuật toán cho sẵn. Chẳng hạn GV yêu cầu HS tính tích
phân
3 2
2
4
1
x x
dx
x
 
 hay tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
2 2
2 , 4y x x y x x     . Những dạng toán này đều có quy trình giải, xuất hiện
thường xuyên trong các đề kiểm tra và đề thi. HS sẽ thành thạo các kĩ thuật giải
toán dạng này nếu các em được luyện tập một cách thường xuyên.

32. 27
2.4.2. Kiến thức khái niệm về tích phân
Khác với kiến thức quy trình, GV cần sử dụng các nhiệm vụ không quen
thuộc để kiểm tra kiến thức khái niệm của HS. Do vậy, khi gặp những bài toán đòi
hỏi vận dụng kiến thức khái niệm, người học không chỉ áp dụng các thuật toán để
giải mà cần kết nối các biểu diễn của khái niệm, vận dụng linh hoạt các kiến thức
toán liên quan đến những khái niệm ẩn chứa trong giả thuyết bài toán để tìm ra
được mối liên hệ giữa cái đã biết và cái cần tìm, từ đó hình thành được ý tưởng để
giải toán. Các nhiệm vụ kiểm tra kiến thức khái niệm về tích phân thường là các
yêu cầu về các bài toán liên quan đến ứng dụng của tích phân để tính diện tích và
thể tích.
Cụ thể, kiến thức khái niệm trong chủ đề tích phân thể hiện ở nắm được bản
chất của khái niệm tích phân xác định. Khi tiếp cận khái niệm tích phân xác định
( ) ,
b
a
f x dx HS phải hiểu đó là diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường
 , ; 0, .x a x b y y f x    Người học phải nắm được ứng dụng của tích phân xác
định qua bài toán quãng đường chuyển động của một vật. Quãng đường s một chất
điểm M chuyển động trong khoảng thời gian thời gian t nào đó với vận tốc không
đổi xác định bởi công thức .s vt Tuy nhiên nếu chất điểm M chuyển động với vận
tốc thay đổi thì quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian [ ; ]t a b là
( ) ( ) ( ).
b
a
v t dt s b s a  HS phải nhận ra ý nghĩa của khái niệm tích phân trong các bài
toán cơ học. Cụ thể, HS phải nắm được quãng đường là nguyên hàm của vận tốc,
vận tốc là nguyên hàm của gia tốc khi giải bài toán: Một chất điểm chuyển động với
vận tốc  0 15 /v m s thì tăng vận tốc với gia tốc  2 2
( ) 4 /a t t t m s  . Tính quãng
đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng
vận tốc. HS phải nhận thấy được quãng đường chất điểm đi được trong khoảng thời gian

33. 28
3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là
3 3 3
2
0 0
( ) ( 2 15) 69,75 ,
3
t
S v t dt t m      trong đó
3
2 2
( ) ( 4 ) 2
3
t
v t t t dt t C     mà (0) 15 15v C   nên 3 21
(t) 2 15.
3
v t t  
Kiến thức khái niệm về tích phân của HS gắn liền với việc hiểu được ứng
dụng của tích phân trong vấn đề tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay
liên quan đến những bài toán mang tính thực tế. Từ tình huống thực tế, người học
phải chuyển đổi yêu cầu của tình huống đó thành một vấn đề toán học và chỉ ra mối
liên hệ giữa các kiến thức toán ẩn tàng trong mô hình toán để ứng dụng tích phân
vào giải quyết vấn đề. Chẳng hạn, khi được yêu cầu tính lượng kính để lắp vào cửa
vòm hình parabol, HS phải hiểu được tình huống thực tế, đi đến bài toán tính diện
tích hình phẳng giới hạn bởi các đường khi xem vòm là một parabol, từ đó gắn hệ
trục tọa, tìm phương trình parabol, rồi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
và trục hoành.
Một số nhà nghiên cứu cho rằng các biện pháp đo kiến thức khái niệm khác
nhau đối với các kiến thức ngầm ẩn hay tường minh. Số lượng các nhiệm vụ cũng
ảnh hưởng đến việc phản ánh kiến thức khái niệm của HS. Việc sử dụng nhiều
nhiệm vụ có thể đánh giá tốt hơn kiến thức khái niệm, làm giảm sự phụ thuộc vào
tính chất, đặc điểm của từng bài toán cụ thể. Kiến thức khái niệm thường đòi hỏi sự
liên kết của một mạng lưới của nhiều khái niệm, do vậy việc đứt gãy một liên kết
cũng có thể làm ảnh hưởng đến việc giải quyết nhiệm vụ. Mặt khác, trong một
nhiệm vụ cũng có khả năng thể hiện được kiến thức khái niệm của HS về nhiều lĩnh
vực khác nhau.
2.5. Tiểu kết chƣơng 2
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày phương pháp dạy học theo vấn đề,
bên cạnh đó chúng tôi cũng mô tả kiến thức quy trình và kiến thức khái niêm, mối
liên hệ giữa hai dạng kiến thức này, từ đó cụ thể hóa một số dạng kiến thức quy
trình và khái niệm trong chủ đề tích phân. Nền tảng lý thuyết trong chương này sẽ
làm cơ sở cho việc thiết kế nghiên cứu được trình bày trong chương 3.

34. 29
Chƣơng 3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1. Thiết kế nghiên cứu
Để tìm hiểu ảnh hưởng của phương pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức
khái niệm của HS về chủ đề tích phân, chúng tôi đã tiến hành dạy học trên lớp đối
chứng và lớp thực nghiệm như sau:
 Lớp thực nghiệm:
- Thiết kế giáo án dạy học theo vấn đề về chủ đề tích phân.
- Tổ chức dạy thực nghiệm chủ đề tích phân.
- Quan sát việc học và phỏng vấn HS.
- Kiểm tra HS thông qua phiếu khảo sát.
 Lớp đối chứng:
- Dự giờ của GV dạy theo phương pháp dạy học thông thường.
- Quan sát việc học và phỏng vấn HS.
- Kiểm tra HS thông qua phiếu khảo sát.
Chúng tôi đã tiến hành dạy chủ đề tích phân đối với lớp thực nghiệm bằng
phương pháp dạy học theo vấn đề. Đối với lớp đối chứng, chúng tôi dự giờ đồng
nghiệp và quan sát việc học của các em. Việc dạy hai lớp này đều thực hiện theo
chương trình toán hiện hành ở trường trung học phổ thông. Mục đích của việc tổ
chức thực nghiệm là để khảo sát kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của HS
ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng, đồng thời xem mức độ ảnh hưởng của phương
pháp dạy học theo vấn đề đến kiến thức khái niệm của HS về chủ đề tích phân.
3.2. Đối tƣợng tham gia
Đối tượng tham gia vào nghiên cứu này là HS lớp 12. Chúng tôi chọn thực
nghiệm trên đối tượng HS lớp 12 của Trường THPT Tam Giang, huyện Phong
Điền, Thừa Thiên Huế. Trong đó, HS lớp thực nghiệm và đối chứng cụ thể như sau:
 Lớp thực nghiệm: Lớp 12 1B gồm 32em.

35. 30
 Lớp đối chứng: Lớp12 3,12 6,12 8B B B gồm 40 em.
HS của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng có sức học tương đương nhau,
các em đều có hạnh kiểm tốt và học lực khá, giỏi. Học lực của hai lớp được thể hiện
thông qua bảng điểm học kỳ 1 như sau:
- Lớp thực nghiệm (TN): Giỏi 10, khá 20 , trung bình 2 .
- Lớp đối chúng (ĐC): Giỏi 13, khá 24 , trung bình 3 .
Biểu đồ 3.1. Sức học của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng
GV tham gia giảng dạy ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng: Các GV tham
gia vào đợt thực nghiệm đều có kinh nghiệm dạy toán lớp 12 và tích cực tham gia
vào hoạt động đổi mới phương pháp dạy học toán ở trường THPT. Các GV giảng
dạy ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng bao gồm:
Thầy Trần Dự : Dạy lớp thực nghiệm 12 1;B
Thầy Cao Chánh Lân: Dạy lớp đối chứng 12 6;B
Cô Lê Thị Hương: Dạy lớp đối chứng 12 3;B
Cô Hoàng Thị Mỹ Hạnh: Dạy lớp đối chứng 12 8B .
3.3. Công cụ nghiên cứu
Chúng tôi thiết kế dạy học theo vấn đề về chủ đề tích phân để phát triển hiểu
kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm của HS. Sau đó, chúng tôi thu thập dữ
liệu nghiên cứu thông qua phiếu học tập và phiếu khảo sát. Nội dung phiếu khảo sát
được trình bày ở phần phụ lục.
0
20
40
60
80
GIỎI KHÁ T.BÌNH
Lớp TN
Lớp ĐC

36. 31
3.4. Phƣơng pháp thực nghiệm và phân tích dữ liệu
3.4.1. Kế hoạch bài học: Tổ chức dạy học theo vấn đề.
Bài 1: Tích phân: (4 tiết)
 Hoạt động 1: Xây dựng khái niệm tích phân.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu đối với HS trong tiết học.
Bƣớc 2: Đặt vấn đề.
Bài toán: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 /m s thì tài xế đạp phan, từ thời điểm
đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc    5 10 m/sv t t   , trong đó t là
khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi
dừng hẳn ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?
GV đi đến bài toán sau: Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời
gian    0v f t t T   . Chứng minh rằng: Quãng đường L mà vật đi được trong
khoảng thời gian từ thời điểm t a đến thời điểm  0t b a b T    là
   ,L F b F a  trong đó F(t) là một nguyên hàm bất kỳ của  f t trên khoảng  0; .T
Đặt tên cho đại lượng    F b F a từ đó đi đến định nghĩa tích phân
( )dx ( ) ( )
b
a
f x F b F a 
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết.
Công thức: ( )dx ( ) ( )
b
a
f x F b F a 
Bƣớc 4: Học điều cần biết. GV phát biểu định nghĩa.
- Tổ chức luyện tập định nghĩa.
Tính tích phân
2 3
4
1
6
1. dx 2. sinxdxx


 

37. 32
- GV làm rõ mối liên hệ giữa tích phân và diện tích hình thang cong, từ đó đi
đến định lí.
Nếu  y f x liên tục, không âm trên đoạn  ;a b thì diện tích hình thang
cong giới hạn bởi đồ thị hàm số  ,y f x trục hoành và hai đường thẳng
,x a x b  là ( )dx.
b
a
S f x 
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết. HS tiến hành giải bài toán đặt ra lúc đầu.
- Tổ chức luyện tập.
- GV chia lớp thành 4 nhóm, phát phiếu hoc tập.
 Nhóm 1, 2. Bài toán: Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận
tốc 1( ) 7 ( / )v t t m s đi được  5 s , người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh
gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc 2
70 ( / )a m s  . Tính quãng
đường  S m đi được của ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn.
 Nhóm 3,4. Bài toán: Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc
 /v km h phụ thuộc vào thời gian  t h có đồ thị là một phần của đường Parabol
có đỉnh  1;1I và trục đối xứng song song với trục tung như hình dưới. Tính quãng
đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát?
Hình 3.1

38. 33
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV nhận xét, sửa bài làm của HS.
 Hoạt động 2: Dạy các tính chất của tích phân.
- GV chia lớp thành 4 nhóm, phát phiếu học tập.
 Nhóm 1, 2: Giả sử ,f g là các hàm liên tục trên K và , ,a b c là ba số bất
kì thuộc .K Chứng minh:
1. ( )dx 0
b
a
f x  2. ( )dx ( )
b a
a b
f x f x dx  
3. ( )dx ( ) ( )dx
b c c
a b a
f x f x dx f x   
 Nhóm 3, 4: Giả sử ,f g là các hàm liên tục trên K và , ,a b c là ba số bất
kì thuộc .K Chứng minh:
1. [ ( ) g(x)]dx ( )dx ( )dx
b b b
a a a
f x f x g x     2. ( )dx ( ) ;k
b a
a b
kf x k f x dx R  
- HS làm việc theo nhóm, đại diện nhóm trình bày.
- GV nhận xét, nêu tính chất của tích phân.
- Tổ chức luyện tập:
1. Cho
2
0
( )dx 5f x

 . Tính
2
0
[ ( ) 2sinx]dxf x


2. Cho
2 2
1 1
( )dx 2 ; ( )dx 1f x g x
 
    . Tính
2
1
[ 2 ( ) 3 ( )]dx.x f x g x

 
3. Cho
3 4
0 0
(z)dz 3; ( )dx 7f f x   . Tính
4
3
(t)dt.f
 Hoạt động 3: Dạy các phƣơng pháp tính tích phân bằng phƣơng pháp
đổi biến số.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.

39. 34
Bƣớc 2: Đặt vấn đề.
Cho tích phân
1
2
0
(3 2) dxI x 
1. Tính I bằng cách khai triển 2
(3 2) .x 
2. Đặt u 3 2x  . Biến đổi 2
(3 2)x dx thành g(u)du . Tính
(1)
(0)
g(u)du.
u
u

Bƣớc 3: Xác định điều cần biết.
Ngoài việc tính tích phân trên bằng cách khai triển biểu thức, sau đó dùng
tính chất của tích phân HS cũng có thể tính được bằng cách đổi biến số .
Bƣớc 4: Học điều cần biết.
Thông qua bài toán trên, HS sẽ biết được phương pháp đổi biến số. Các em
học được tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số theo hai dạng:
( )
( )
( ) (u)
u bb
a u a
f x dx g du  và (x) ( (t)) '(t) .
b
a
f dx f dt


  
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết.
HS tiến hành giải bài toán trên.
- Tổ chức luyện tập.
- GV chia lớp thành 4 nhóm, phát phiếu học tập.
 Nhóm 1, 2: Tính các tích phân sau:
2
2
0
1. sin . os dxx c x

 2.
1
2
0
1 dxx
 Nhóm 3, 4: Tính các tích phân sau:
2
2
1
1. x e dxx
 2.
1
2
2
0
1
dx
1 x

Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV nhận xét, sửa bài làm của HS.

40. 35
 Hoạt động 4: Dạy các phƣơng pháp tính tích phân bằng phƣơng pháp
tích phân từng phần.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.
Bƣớc 2: Đặt vấn đề.
Tính ( 1) dxx
x e bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Từ đó
tính
1
0
( 1) dx.x
x e
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết. Ngoài việc tính tích phân trên bằng cách tính
nguyên hàm từng phần. HS tính tích phân bằng định nghĩa chuyển sang tính tích
phân đó bằng phương pháp tích phân từng phần.
Bƣớc 4: Học điều cần biết. Thông qua bài toán trên HS sẽ biết được phương pháp
tính tích phân từng phần. HS học được tính tích phân từng phần
a
b b
b
a
a
u dv uv v du  
Bƣớc 5:Áp dụng điều cần biết. HS tiến hành giải bài toán trên.
- Tổ chức luyện tập.
- GV chia lớp thành 4 nhóm, phát phiếu học tập
Nhóm 1, 2: Tính các tích phân sau:
2
0
1. xsin dxx

 2. 2
1
ln
dx
e
x
x
Nhóm 3, 4: Tính các tích phân sau:
2
0
1. ( 1)sinx x dx

 2. 2
1
ln dx
e
x x
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV nhận xét, sửa bài làm của HS.
Bài 2: Ứng dụng hình học của tích phân ( 4 tiết).
 Hoạt động 1: Xây dựng công thức tính diện tích hình phẳng bởi một
đƣờng cong và trục hoành.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.

41. 36
Bƣớc 2: Đặt vấn đề.
Bài toán: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình Parabol. Người ta
dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần
lắp vào biết rằng vòm cửa cao 6m và rộng 6m .
Hình 3.2
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết. Từ tình huống trên, HS sẽ tiến hành quá trình mô
hình hóa toán học chọn mô hình lý tưởng cho tình huống này. Mô hình mà HS đưa
ra là phải xác định được đường Parabol. Chọn được hệ trục tọa độ ,Oxy chuyển thể
bài toán về bài toán: tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x
liên tục, trục Ox và các đường thẳng , .x a x b 
Bƣớc 4: Học điều cần biết. HS khám phá được diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
đồ thị hàm số ( )y f x liên tục trên đoạn [ ; ]a b , trục Ox và các đường thẳng
,x a x b . Bài toán được tính theo công thức: ( ) .
b
a
S f x dx 
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết. HS tiến hành giải bài toán trên.
Diện tích mặt kính cần lắp:
33
2 3 2
00
2 4
2 ( 6) (12 ) 24( ).
3 9
HS x dx x x m     
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV xác nhận kiến thức liên quan đến diện tích hình
phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Sau đó đưa ra các bài toán sau
và yêu cầu đối với HS ở các nhóm:
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
1y x  , trục
hoành và đường thẳng 0, 1.x x 

42. 37
GV chia lớp thành 5 nhóm, yêu cầu HS làm việc theo nhóm, sau đó yêu cầu đại
diện các nhóm trình bày. Các nhóm nhận xét, bổ sung. Sau đó GV nhận xét, sửa bài.
Bài toán 2: Ở khuôn viên trường có một khu đất hình Elip có độ dài trục lớn bằng
16m và độ dài trục bé bằng 10 .m Nhà trường muốn trồng hoa trên một dải đất rộng
8m và nhận trục bé của của Elip làm trục đối xứng như hình vẽ. Biết rằng kinh phí
để trồng hoa là 200.000 đồng 2
/1 .m Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng
hoa trên dải đất đó.
Hình 3.3
GV chia lớp thành 5 nhóm. Yêu cầu HS làm việc theo nhóm, sau đó đại diện các
nhóm trình bày. Các nhóm nhận xét, bổ sung. Sau đó GV nhận xét, sửa bài.
 Hoạt động 2: Xây dựng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn
bởi hai đƣờng cong.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.
Bƣớc 2: Đặt vấn đề. Bài toán : Một khuôn viên có dạng nửa đường tròn có bán
kính 2 5m. Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa có hình dạng một cánh
hoa hình Parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa
nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 ,m phần
còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích
thước cho như hình vẽ và chi phí trồng hoa là 200.000 đồng 2
/ .m Hỏi cần bao nhiêu
tiền để trồng hoa trên đất đó?
4m
4m

43. 38
Hình 3.4
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết. Từ tình huống trên, HS sẽ tiến hành quá trình mô
hình hóa toán học, chọn mô hình lý tưởng cho tình huống này. Mô hình mà HS đưa
ra là phải xác định được đường Parabol. Chọn được hệ trục tọa độ Oxy , chuyển thể
bài toán về bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số
( ), y g(x)y f x  liên tục trên đoạn [ ; ]a b và các hai đường thẳng , .x a x b 
Bƣớc 4: Học điều cần biết. HS khám phá được diện tích hình phẳng giới hạn bởi
các đồ thị hàm số ( ), y g(x)y f x  liên tục trên đoạn [ ; ]a b và các đường thẳng
,x a x b được tính theo công thức ( ) g(x) .
b
a
S f x dx 
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết. HS tiến hành giải bài toán trên. Diện tích hình
phẳng giới hạn bởi 2
( ) 20 ; 2; 2; 0y f x x x x y       là:
2
2
1
2
20S x dx

 
2
2 2
0
2 20 17,27x dx m  
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2
( ) ; 2; 2; 0y g x x x x y      là:
2 2
2 2 2
2
2 0
2 5,33 .S x dx x dx m

   
Diện tích hình phẳng cần tìm là 2
1 2 11,94 .S S S m   Số tiền trồng hoa trên
đất đó là 11,94.200000 2388000T   đồng.
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV xác nhận kiến thức liên quan đến diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Sau đó đưa ra các bài toán
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
3
( ) 3 ; ( )y f x x x y g x x     .
GV chia lớp thành 5 nhóm. Yêu cầu HS làm việc theo nhóm, sau đó đại diện
các nhóm trình bày. Các nhóm nhận xét, bổ sung. Sau đó GV nhận xét sửa bài.

44. 39
Bài toán 2: Một sân hình chữ nhật có chiều dài 100 m và chiều rộng 60m người ta
làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ). Biết rằng viền ngoài và viền trong
của con đường là hai đường Elip, Elip của đường viền ngoài có trục lớn và trục bé
lần lượt song song với các cạnh của hình chữ nhật, chiều rộng của mặt đường là
2 .m Kinh phí cho mỗi m2
làm đường là 600000 đồng. Tính tổng số tiền để làm con
đường đó.
Hình 3.5
GV chia lớp thành 5 nhóm. Yêu cầu HS làm việc theo nhóm, sau đó đại diện
các nhóm trình bày. Các nhóm nhận xét, bổ sung. GV nhận xét, sửa bài.
 Hoạt động 3: Xây dựng công thức thể tích của vật thể.
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.
2: Đặt vấn đề.
Bài toán: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình
tròn giới hạn bởi đường tròn 2 2
16x y  (nằm trong mặt phẳng Oxy ), cắt vật bởi
các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là tam giác đều. Tính thể
tích của vật thể.
Hình 3.6
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết.
Để giải quyết bài toán trên ta cần phải làm gì? GV định hướng HS chuyển về
bài toán sau: Cắt một vật thể T bởi hai mặt phẳng  P và  Q vuông góc với trục
y
xO

45. 40
Ox lần lượt tại  , .x a x b a b   Một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với Ox tại điểm
)(x a x b  cắt T theo thiết diện có diện tích là  .S x Giả sử  S x liên tục trên
 ; .a b Khi đó thể tích V của phần vật thể T giới hạn bởi hai mặt phẳng    ,P Q
được tính theo công thức: V= ( )
b
a
S x dx
Hình 3.7
Bƣớc 4: Học điều cần biết. Thể tích V của phần vật thể T giới hạn bởi hai mặt
phẳng    ,P Q được tính theo công thức: V= ( )
b
a
S x dx
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết. HS tiến hành giải:
Diện tích thiết diện cần tìm là 2 23
3(4 )
4
S AB x  
Thể tích của vật thể là
2 2
2
2 2
32 3
V= ( ) 3 (4 )
3
S x dx x dx
 
   
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả.
- GV nhận xét kết quả làm được của HS.
- Tổ chức luyện tập.
Bài toán: Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng 1, 1x x   biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x ( 1 1)x   là một hình vuông cạnh là 2
2 1 x .
 Hoạt động 4: Xây dựng công thức tính thể tích của khối tròn xoay.

46. 41
Bƣớc 1: Bắt đầu. Ổn định lớp và đặt ra yêu cầu với HS trong tiết học.
Bƣớc 2: Đặt vấn đề. Bài toán: Một thùng rượu có bán kính các
đáy 30 ,cm thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy
40 ,cm chiều cao của thùng 1 .m Biết rằng mặt phẳng chứa trục
và cắt mặt xung quanh của thùng rượu là các đường Parabol.
Hỏi thể tích của thùng rượu là bao nhiêu (đơn vị lít)? Hình 3.8
Bƣớc 3: Xác định điều cần biết. Từ tình huống trên HS sẽ tiến hành quá trình mô
hình hóa toán học chọn mô hình lý tưởng cho tình huống này. Mô hình mà HS đưa
ra là chuyển về bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn
bởi đồ thị hàm số  y f x liên tục, trục Ox và các đường thẳng ,x a x b  quay
quanh trục hoành.
Bƣớc 4: Học điều cần biết. HS khám phá được. Công thức tính thể tích khối tròn
xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  y f x liên tục, trục Ox và các
đường thẳng ,x a x b  quay quanh trục hoành là: 2
V= ( ) ( )
b b
a a
S x dx f x dx 
Bƣớc 5: Áp dụng điều cần biết.
 HS tiến hành giải bài toán: Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
Gọi   2
: .P y ax bx c   Vì  P đi qua các điểm  0,5;0,3A và có đỉnh
 0; 0,4I nên   22
: 0,4.
5
P y x  
Thể tích của thùng rượu là  
20,5
2
0,5
2 203
0,4 425,5
5 1500
V x dx l 

 
     
 
 .
Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quay quanh trục :Ox
a.
2
1 , 0.y x y   b. cos , 0, 0, .y x y x x    
- GV chia lớp thành 5 nhóm. Nhóm 1,3,5: Câu a; Nhóm 2,4: Câu b.

47. 42
- Yêu cầu HS làm việc theo nhóm, sau đó đại diện các nhóm trình bày.
- Các nhóm nhận xét, bổ sung. GV nhận xét, sửa bài.
Bƣớc 6: Đánh giá kết quả. GV nhận xét, sửa bài.
Từ bài toán trên GV đặt vấn đề, đi đến xây dựng công thức tính thể tích khối
tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số  x g y liên tục, trục Oy và
các đường thẳng ,y c y d  quay quanh trục tung là: 2
V= (y) .
d
c
g dy 
3.4.2. Kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm trong phiếu khảo sát
Chúng tôi tiến hành phân tích kiến thức quy trình và kiến thức khái niệm
trong các bài toán được trình bày ở phiếu khảo sát nhằm mục đích đánh giá kiến
thức toán của HS về chủ đề tích phân.
3.4.2.1. Phân tích tiên nghiệm phiếu khảo sát
Bài 1.1: Tính tích phân
3 2
2
4
.
1
x x
dx
x
 

 Phân tích:
- HS phân tích:
2
4 6
2
1 1
x x
x
x x
 
  
 
- Dùng kiến thức quy trình đã có, HS tìm nguyên hàm, sau đó dùng định
nghĩa tích phân để tính tích phân.
 Dự kiến lời giải:
33 32 2
2 2 2
4 6
( 2 ) ( 2 6ln 1)
1 1 2
x x x
dx x dx x x
x x
 
       
  
1 4
6ln .
2 3

Bài 1.2: Tính tích phân
 
11
3
2
.
1 3 2
x
I dx
x x

 