Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ với đề tài: Phát triển năng lực đặc biệt hóa và khái quát hóa cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT, cho các bạn tham khảo 50000443

1. 1
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ......................................................................................................... i
Lời cam đoan.......................................................................................................... ii
Lời cảm ơn ............................................................................................................. iii
Mục lục................................................................................................................... 1
Danh mục các chữ viết tắt...................................................................................... 4
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 5
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 5
2. Mục tiêu nghiên cứu ...................................................................................... 6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu..................................................................................... 6
4. Giả thuyết khoa học ....................................................................................... 7
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 7
6. Đóng góp luận văn......................................................................................... 7
7. Bố cục luận văn.............................................................................................. 7
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN................................... 8
1.1. Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học.................................. 8
1.1.1. Khái niệm năng lực........................................................................... 8
1.1.2. Năng lực toán học ............................................................................. 9
1.1.3. Tiếp cận năng lực.............................................................................. 11
1.1.4. Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học.......................... 13
1.2. Tư duy toán học ........................................................................................ 14
1.2.1. Tư duy............................................................................................... 15
1.2.2. Đặc điểm của tư duy ......................................................................... 15

2. 2
1.2.3. Một số vấn đề về tư duy toán học ..................................................... 17
1.3. Thao tác tư duy ......................................................................................... 19
1.3.1. Mối liên hệ giữa hoạt động tư duy và thao tác tư duy ...................... 19
1.3.2. Khái quát hóa .................................................................................... 21
1.3.3. Đặc biệt hóa ...................................................................................... 28
1.4. Vai trò của thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa trong dạy học môn
toán ở trường trung học phổ thông .................................................................... 29
1.4.1. Đặc biệt hóa và khái quát hóa trong việc hình thành khái niệm và các
tri thức lí thuyết...................................................................................................... 29
1.4.2. Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ, mò mẫm giúp
ta tìm lời giải cho bài toán...................................................................................... 30
1.4.3. Đặc biệt hóa và khái quát hóa là phương pháp suy nghĩ giúp chúng ta
mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.......................................................... 31
1.5. Một số nhận định về việc sử dụng thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa
trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường trung học phổ thông hiện nay .... 32
1.5.1. Nhận định đối với học sinh............................................................... 32
1.5.2. Nhận định đối với giáo viên.............................................................. 33
1.6. Kết luận chương 1..................................................................................... 34
Chương 2. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG ....................................................................................................... 35
2.1. Một số hoạt động định hướng việc dạy học khái niệm về Đại số và Giải
tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa..................................... 35
2.2. Một số hoạt động định hướng việc dạy học định lí về Đại số và Giải tích
thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa............................................. 41

3. 3
2.3. Một số hoạt động định hướng việc dạy học giải toán về Đại số và Giải
tích thông qua thao tác đặc biệt hóa và khái quát hóa..................................... 49
2.3.1. Rèn luyện kĩ năng sử dụng thao tác đặc biệt hóa trong việc mò mẫm,
suy đoán để tìm lời giải của bài toán...................................................................... 50
2.3.2. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán và giải quyết
bài toán đó để suy ra lời giải của bài toán ban đầu ................................................ 54
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khái quát hóa bài toán từ đặc điểm
toán học của bài toán đó và hình thành bài toán mới từ bài toán tổng quát........... 56
2.3.4. Rèn luyện kĩ năng khái quát phương pháp giải toán đối với một lớp các
bài toán tương tự nhau............................................................................................ 59
2.4. Kết luận chương 2..................................................................................... 63
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ........................................................... 64
3.1. Mục đích thực nghiệm.............................................................................. 64
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm........................................................... 64
3.2.1. Tổ chức thực nghiệm ........................................................................ 64
3.2.2. Nội dung thực nghiệm....................................................................... 64
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm................................................................. 69
3.3.1. Đánh giá định tính............................................................................. 69
3.3.2. Đánh giá định lượng.......................................................................... 70
3.4. Kết luận chương 3..................................................................................... 71
KẾT LUẬN........................................................................................................... 72
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 73
PHỤ LỤC.............................................................................................................. 75

4. 4
DANH MỤC CÁC CỤM CHỮ VIẾT TẮT
CTGD: Chương trình giáo dục
BĐT: Bất đẳng thức
DH: Dạy học
ĐC: Đối chứng
ĐBH: Đặc biệt hóa
GV: Giáo viên
HS: Học sinh
NXB: Nhà xuất bản
KQH: Khái quát hóa
PP: Phương pháp
PPDH: Phương pháp dạy học
SGK: Sách giáo khoa
THPT: Trung học phổ thông
TN: Thực nghiệm

5. 5
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng: “Dạy học (DH) là toàn bộ các thao tác có
mục đích nhằm chuyển các giá trị tinh thần, các hiểu biết, các giá trị văn hóa mà
nhân loại đã đạt được hoặc cộng đồng đã đạt được vào bên trong một con người”.
Quan niệm này lí giải đầy đủ cách mà nền giáo dục đang cố gắng đào tạo những con
người thích ứng với những nhu cầu hiện tại của xã hội. Để làm được điều đó, ngành
giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học (PPDH) nhằm tạo ra những
con người có đầy đủ phẩm chất như: kỉ luật, tự chủ, năng động, sáng tạo, … Định
hướng đổi mới về PPDH đã được quy định trong Luật Giáo dục nước Cộng hòa
Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam: “Phương pháp (PP) giáo dục phổ thông phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh (HS); phù hợp với đặc
điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng PP tự học, khả năng làm việc theo
nhóm; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,
đem lại niềm vui hứng thú học tập cho HS” (Luật Giáo dục 2005 sửa đổi).
Như vậy, trong hoạt động dạy học người giáo viên (GV) đóng vai trò chủ
đạo, bên cạnh sự nhiệt tình, thân thiện, có kiến thức sâu, rộng thì PPDH của GV có
tính quyết định trong việc tạo môi trường học tập, kích thích sự hứng thú, say mê
học tập của HS. Trong quá trình đổi mới, dù người GV có sử dụng PPDH nào thì
vấn đề phát triển tư duy cho HS trong DH luôn luôn là một trong những nhiệm vụ
hàng đầu. Môn Toán là môn học có tiềm năng phong phú để phát triển tư duy cho
HS. Nhiều HS mặc dù có khả năng giải toán, có tư chất tốt nhưng vẫn thiếu sự sáng
tạo trong toán học. Các em thường giải những bài toán ở đâu đó mà chưa biết cách
đề xuất bài toán ở dạng tổng quát.
Trong quá trình DH môn toán ở trường trung học phổ thông (THPT), chúng
tôi nhận thấy việc rèn luyện các thao tác như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa
(ĐBH), trừu tượng hóa, khái quát hóa (KQH), so sánh, tương tự, ... rất quan trọng.
Bởi vì, nó giúp cho HS nắm vững kiến thức, phát huy được tính chủ động, tích cực
trong học tập không chỉ riêng môn toán mà còn đối với các môn học khác, từ đó
giúp hình thành ở HS những phẩm chất trí tuệ như tính lính hoạt, độc lập và sáng tạo.

6. 6
Xuất phát từ tình hình thực tiễn DH toán và qua quá trình học tập nghiên cứu
lí luận và PPDH toán, chúng tôi nhận thấy rằng: ĐBH và KQH là những thao tác rất
quan trọng trong quá trình phát triển tư duy cho HS, bởi nó liên quan đến các yếu tố
như phát triển khả năng suy đoán, tưởng tượng. ĐBH và KQH có tác dụng kích
thích cho HS tìm tòi, khám phá, rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng
hợp, tương tự hóa, . . . Quá trình ĐBH và KQH góp phần hình thành các phẩm chất
trí tuệ và các lập luận lôgic có lí.
Trong thực tiễn dạy và học môn toán ở trường phổ thông, việc rèn luyên thao
tác tư duy ĐBH và KQH cho HS chưa được nhiều GV chú trọng đúng mức, đăc biệt
là đối với toán Đại số và Giải tích. Hơn nữa, HS ít vận dụng các PP này để giải bài
tập toán. Đa số HS sau khi hoàn thành xong lời giải một bài toán các em thường
không xét đến bài toán tổng quát, hay không đưa ra PP giải tổng quát cho một lớp
các dạng toán tương tự. Chính điều này làm hạn chế rất nhiều về khả năng phát triển
tư duy toán học cho HS.
Với những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài: “Phát triển năng lực ĐBH và
KQH cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT” để nghiên cứu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Phân tích năng lực ĐBH và KQH của HS trong dạy học Đại số và Giải tích
ở trường THPT.
- Đề xuất biện pháp nhằm phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS trong
dạy học Đại số và Giải tích ở trường THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận có liên quan đến vấn đề bồi dưỡng trí tuệ và phát
triển năng lực ĐBH và KQH cho HS.
- Điều tra, đánh giá thực trạng việc sử dụng thao tác ĐBH và KQH vào dạy
học khái niệm, định lí và bài tập toán ở trường THPT.
- Nghiên cứu và đề xuất một số hoạt động sư phạm về việc phát triển năng
lực ĐBH và KQH cho HS trong việc học tập Đại số và Giải tích ở trường THPT.
- Thực nghiệm (TN) sư phạm để đánh giá tính khả thi của các định hướng sư
phạm đã đề xuất.

7. 7
4. Giả thiết khoa học
Trên cơ sở chương trình, sách giáo khoa (SGK) hiện hành nếu trong DH toán
GV chú ý rèn luyện kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy ĐBH và KQH thì sẽ phát
triển được năng lực giải toán góp phần nâng cao chất lượng DH toán ở trường THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Luận văn sử dụng các phương pháp (PP) nghiên cứu chủ yếu sau:
- PP nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu chuyên ngành PPDH, tâm lí,
các tạp chí nghiên cứu giáo dục, các SGK, sách tham khảo liên quan đến ĐBH và
KQH.
- PP điều tra – quan sát: Tìm hiểu khả năng ĐBH và KQH của HS ở trường
THPT thông qua việc DH khái niệm, định lí và bài tập toán Đại số và Giải tích.
- PP thực nghiệm sư phạm: Thử nghiệm sư phạm bước đầu kiểm tra tính khả
thi và tính hiệu quả của phương án đề ra.
- PP tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết những kinh nghiệm rút ra từ thực tế
giảng dạy và quá trình nghiên cứu của bản thân, trao đổi với đồng nghiệp.
6. Đóng góp của luận văn
Góp phần làm rõ một số thành phần trong năng lực giải toán của HS thông
qua việc rèn luyện thao tác ĐBH và KQH.
Đưa ra được những định hướng sư phạm trong việc hình thành các khái niệm
toán học, các định lí, giải toán Đại số và Giải tích thông qua việc sử dụng các thao
tác ĐBH và KQH.
Luận văn có thể được sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV toán nhằm góp
phần nâng cao hiệu quả DH môn toán ở trường THPT.
7. Bố cục luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
Chương 2. MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN
NĂNG LỰC ĐBH VÀ KQH CHO HS TRONG DH ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở
TRƯỜNG THPT
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

8. 8
Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học theo hướng tiếp cận năng lực người học
1.1.1. Khái niệm năng lực
Thực tế trong tiếng Việt cũng như tiếng Anh, từ năng lực được sử dụng với
nhiều nghĩa cụ thể gắn với các lĩnh vực khác nhau, trong những tình huống và ngữ
cảnh riêng biệt. Hơn nữa, năng lực lại rất gần nghĩa với một số từ khác như tiềm
năng, khả năng, kĩ năng,... do vậy nếu chỉ nói chung chung thì sẽ rất phức tạp và
khó xác định. Tuy nhiên, từ năng lực có nghĩa gốc mà Từ điển tiếng Việt [16, tr.
660-661] đã nêu lên là:
a) Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt
động nào đó;
b) Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người khả năng hoàn thành một
hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Ngoài ra, trong chương trình giáo dục (CTGD) ở một số nước đã đưa ra khái
niệm về năng lực như sau:
Theo CTGD trung học Québec - Bộ giáo dục Canada (2004), thì:
“Năng lực có thể định nghĩa như là một khả năng hành động hiệu quả bằng
sự cố gắng dựa trên nhiều nguồn lực. Những khả năng này được sử dụng một cách
phù hợp, bao gồm tất cả những gì học được từ nhà trường cũng như những kinh
nghiệm của HS; những kĩ năng, thái độ và sự hứng thú; ngoài ra còn có những
nguồn bên ngoài chẳng hạn như: bạn cùng lớp, thầy cô giáo, các chuyên gia hoặc
các nguồn thông tin khác”.
CTGD của New Zealand thì nêu một cách ngắn gọn:
“Năng lực là một khả năng hành động hiêu quả hoặc là sự phản ứng thích
đáng trong các tình huống phức tạp nào đó.”
Trong chương trình cải cách giáo dục ở Indonesia, nêu rõ: “Năng lực là
những kiến thức, kĩ năng và các giá trị được phản ánh trong thói quen suy nghĩ và
hành động của mỗi cá nhân. Thói quen tư duy và hành động kiên trì, liên tục có thể

9. 9
giúp một người trở nên có năng lực, với ý nghĩa làm một việc gì đó trên cơ sở có
kiến thức, kĩ năng và các giá trị cơ bản.”, và chương trình này cũng đã dành hẳn
một mục để giới thuyết về Tư tưởng cơ bản của khái niệm năng lực, theo đó khái
niệm năng lực trong CTGD được hiểu như:
a) Năng lực đề cập đến khả năng của HS khi làm một cái gì đó trong những
bối cảnh khác nhau;
b) Năng lực thể hiện kinh nghiệm học tập, ở đó HS phải là người thành thạo;
c) Kết quả học tập theo năng lực thể hiện ở việc giải thích sự vật thông qua
PP học tập của HS;
d) Những HS có năng lực khi làm một cái gì đó cần xác định rõ khả năng
trong một tiêu chuẩn rộng, có thể đạt được kết quả thông qua việc thực hiện và có
thể đo đếm được.
Tóm lại, tất cả những khái niệm trên có thể được phát biểu dưới những câu
từ khác nhau nhưng tất cả đều khẳng định: nói đến năng lực là phải nói đến khả
năng thực hiện, là phải biết làm, chứ không chỉ biết và hiểu. Tất nhiên hành động
(làm), thực hiện ở đây phải gắn với ý thức và thái độ; phải có kiến thức và kĩ năng,
chứ không phải làm một cách “máy móc” và “mù quáng”.
1.1.2. Năng lực toán học
Đã có nhiều công trình nghiên cứu về năng lực toán học từ những phương
diện khác nhau:
- Theo V.A.Krutecki, năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa:
Một là: Theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông. Nắm một cách
nhanh và tốt các kiến thức kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Hai là: Theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học) tức là năng lực hoạt động
sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới khách quan có giá trị lớn đối với xã hội
loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một sự ngăn cách tuyệt
đối. Nói đến HS có năng lực, đã nắm giáo trình toán một cách độc lập và sáng tạo, đã
tự đặt và giải bài toán không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con đường các PP sáng

10. 10
tạo để chứng minh các định lí, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các PP giải độc
đáo những bài toán không mẫu mực.
- Theo A.N.Kôlmôgôrôv, xem xét năng lực toán học trên cơ sở ba thành tố
có liên quan khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận lôgic:
1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các PP xa lạ với các qui tắc thông thường để giải phương trình.
2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”.
3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí tuần tự.
UNESCO đã công bố 10 tiêu chí năng lực toán học cơ bản như sau:
1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán,
các khái niệm.
2) Năng lực dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu.
3) Năng lực tính nhanh và tính cẩn thận sử dụng đúng các kí hiệu.
4) Năng lực biểu diễn dữ liệu, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng thành
kí hiệu.
5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh.
6) Năng lực xây dựng một chứng minh.
7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa.
8) Năng lực giải một bài toán có lời văn (chưa toán học hóa).
9) Năng lực phân tích bài toán và xác định phép toán có thể áp dụng.
10) Năng lực KQH toán học.
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, sau đây là một số định
nghĩa về năng lực toán học:
Định nghĩa 1: Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân
(trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và
giúp cho việc nắm giáo trình toán một cách sáng tạo. Giúp cho việc nắm một cách
tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng và kĩ xảo toán học [13].
Định nghĩa 2: Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân
(trước hết là những hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt động toán học,
trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là nguyên nhân của sự thành công

11. 11
trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học, đặc
biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong
lĩnh vực toán học [9].
Tuy nhiên, ở mỗi người cũng có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy trong DH toán, vấn đề quan trọng là lựa chọn nội dung và PP thích hợp để
sao cho mọi đối tượng HS đều được nâng cao dần về mặt năng lực toán học.
1.1.3. Tiếp cận năng lực
Tiếp cận hiểu một cách thông thường là tiến gần đến một ai, một vật gì đó.
Trong lí luận về phát triển chương trình thì thuật ngữ tiếp cận chỉ cách thức vận
dụng một số PP để tìm hiểu, thiết kế một CTGD. Từ góc độ này, có thể thấy ý nghĩa
của thuật ngữ tiếp cận nghiêng nhiều về quan điểm thiết kế chương trình, là PP luận
của việc xây dựng chương trình chứ không phải là một PP cụ thể nào đó. Cách tiếp
cận sẽ định hướng cho toàn bộ các thành tố của CTGD: từ đề xuất mục tiêu, chuẩn
chương trình đến xác định các lĩnh vực/môn học, các hoạt động; từ việc lựa chọn
nội dung, PPDH, cách tổ chức đến kiểm tra đánh giá kết quả, ... Có nhiều cách tiếp
cận CTGD, tuy nhiên có hai cách tiếp cận chủ yếu, đó là: tiếp cận nội dung và tiếp
cận năng lực.
Tiếp cận nội dung là cách nêu ra một danh mục đề tài, chủ đề của một lĩnh
vực/môn học nào đó. Tức là tập trung xác định và trả lời câu hỏi: Chúng ta muốn
người học cần biết cái gì? Cách tiếp cận này chủ yếu dựa vào yêu cầu nội dung học
vấn của một khoa học bộ môn nên thường mang tính "hàn lâm", nặng về lí thuyết
và tính hệ thống, nhất là khi người thiết kế ít chú đến tiềm năng, các giai đoạn phát
triển, nhu cầu, hứng thú và điều kiện của người học.
Tiếp cận năng lực là cách tiếp cận nêu rõ kết quả - những khả năng hoặc kĩ
năng mà người học mong muốn đạt được vào cuối mỗi giai đoạn học tập trong nhà
trường ở một môn học cụ thể. Nói cách khác, cách tiếp cận này nhằm trả lời câu
hỏi: Chúng ta muốn người học biết và có thể làm được những gì?
Chúng ta có thể hình dung sự khác nhau giữa tiếp cận nội dung và tiếp cận
năng lực được thể hiện ở bảng sau:

12. 12
Tiêu thức Tiếp cận nội dung Tiếp cận năng lực
Quan niệm
Học là quá trình tiếp thu và
lĩnh hội tri thức qua đó hình
thành kĩ năng.
Học là quá trình kiến tạo, HS
tự tìm tòi, khám phá, phát
hiện, tự hình thành hiểu biết,
năng lực.
Mục tiêu giảng dạy
Chú trọng cung cấp tri thức, kĩ
năng, kĩ xảo.
Chú trọng hình thành các
năng lực (sáng tạo, hợp
tác,…).
Mục tiêu học tập
Học để đối phó với thi cử; Sau
khi thi xong, những điều đã
học thường bị quên, ít dùng
đến.
Học để đáp ứng yêu cầu công
việc; Những điều đã học cần
thiết bổ ích cho cuộc sống và
công việc sau này.
Mục tiêu nêu ở bài
học
Chung chung. Chi tiết, đánh giá được.
Yêu cầu đối với
người học
Biết cái gì?
Làm được gì từ những điều
đã biết.
Nội dung giảng
dạy
Được quy định chi tiết trong
chương trình;
Từ giáo trình và người dạy;
Chương trình được xác định là
chuẩn, không được phép xê
dịch.
Được lựa chọn nhằm đạt
được chuẩn đầu ra;
Từ tình huống thực tế;
Những vấn đề mà HS quan
tâm.
PP giảng dạy
Diễn giảng;
GV là người truyền thụ kiến
thức, HS tiếp thu thụ động.
GV là người tổ chức, hỗ trợ
HS tự lực và lĩnh hội tri thức;
DH tương tác.
Hình thức tổ chức
Chủ yếu dạy lí thuyết trên lớp
học, cố định trong bốn bức
tường.
Tổ chức các hình thức học
tập đa dạng, cơ động, linh
hoạt; Học ở lớp, trong thực
tế, học đôi bạn, học theo
nhóm, học theo lớp.

13. 13
Trong thời đại ngày nay, do tốc độ phát triển của xã hội hết sức nhanh chóng
với những biến đổi liên tục và sự tăng nhanh về khối lượng tri thức, đặc biệt trong
các lĩnh vực thông tin truyền thông, công nghệ vật liệu, điện/điện tử tự động hóa,
PP tiếp cận nội dung dần trở nên lạc hậu. Để chuẩn bị cho thế hệ trẻ đối mặt và
đứng vững trước những thách thức của đời sống, vai trò của giáo dục ngày càng trở
nên quan trọng. Thay đổi, sửa sang, cải tiến chương trình, thậm chí cải cách giáo
dục đã được nhiều nước tiến hành và xu thế thiết kế chương trình theo hướng tiếp
cận năng lực được khá nhiều quốc gia quan tâm, vận dụng trong giai đoạn hiện nay.
1.1.4. Dạy học theo hướng phát triển năng lực người học
Đổi mới PPDH đang thực hiện bước chuyển từ CTGD tiếp cận nội dung sang
tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái
gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì qua việc học. Để đảm bảo được điều
đó, phải thực hiện chuyển từ PPDH theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách
học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kĩ năng, hình thành năng lực và phẩm chất.
Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới quan hệ GV – HS theo hướng cộng
tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập
những tri thức và kĩ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ
đề học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức
hợp. Bên cạnh đó, chúng ta cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người
học, hình thành và phát triển năng lực tự học (sử dụng SGK, nghe, ghi chép, tìm
kiếm thông tin, …), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo
của tư duy. Chúng ta có thể chọn lựa một cách linh hoạt các PP chung và PP đặc thù
của môn học để thực hiện. Tuy nhiên, dù sử dụng bất kì PP nào cũng phải đảm bảo
được nguyên tắc “HS tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận thức với sự tổ chức, hướng
dẫn của GV”.
Việc sử dụng PPDH phải gắn chặt với các hình thức tổ chức DH. Tuỳ theo
mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình thức tổ chức
thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp, … Chúng ta
cần chuẩn bị tốt về PP đối với các giờ thực hành để đảm bảo yêu cầu rèn luyện kĩ
năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, nâng cao hứng thú cho người

14. 14
học. Cần sử dụng đủ và hiệu quả các thiết bị DH môn học tối thiểu đã qui định.
Ngoài ra cần tăng cường sử dụng các đồ dùng DH tự làm và vận dụng công nghệ
thông tin trong hoạt động DH.
Việc đổi mới PPDH theo định hướng phát triển năng lực thể hiện qua bốn
đặc trưng cơ bản sau:
1) DH thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, giúp HS tự khám
phá những điều chưa biết chứ không thụ động tiếp thu những tri thức được sắp đặt
sẵn. GV là người tổ chức và chỉ đạo HS tiến hành các hoạt động học tập phát hiện
kiến thức mới, vận dụng sáng tạo kiến thức đã biết vào các tình huống học tập hoặc
tình huống thực tiễn, …
2) Chú trọng rèn luyện cho HS biết khai thác SGK và các tài liệu học tập,
biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tòi và phát hiện kiến thức
mới, …Định hướng cho HS cách tư duy như phân tích, tổng hợp, ĐBH, KQH,
tương tự, quy lạ về quen, … để dần hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo.
3) Tăng cường phối hợp học tập cá thể với học tập hợp tác, lớp học trở thành
môi trường giao tiếp GV – HS và HS – HS nhằm vận dụng sự hiểu biết và kinh
nghiệm của từng cá nhân, của tập thể trong giải quyết các nhiệm vụ học tập chung.
4) Chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài học trong suốt tiến
trình DH thông qua hệ thống câu hỏi, bài tập (đánh giá lớp học). Chú trọng phát
triển kĩ năng tự đánh giá và đánh giá lẫn nhau của HS với nhiều hình thức như theo
lời giải/đáp án mẫu, theo hướng dẫn, hoặc tự xác định tiêu chí để có thể phê phán,
tìm được nguyên nhân và nêu cách sửa chữa các sai sót.
Nói tóm lại, đổi mới PPDH theo hướng phát triển năng lực người học thì cần
phải vận dụng DH theo tình huống, dạy học sinh định hướng hành động, tăng cường
sử dụng phương tiện DH và công nghệ thông tin hợp lí nhằm phát huy khả năng tự
học cho HS. Bên cạnh đó, việc kiểm tra, đánh giá cũng phải chú trọng vào năng lực
của người học, đặc biệt là: tính tư duy sáng tạo, khả năng vận dụng kiến thức nhằm
giải quyết những vấn đề trong cuộc sống, …

15. 15
1.2. Tư duy toán học
1.2.1. Tư duy
Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lí của con
người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao hơn. Tuy nhiên, thực tế
cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con người không thể nhận
thức và giải quyết được. Muốn cải tạo thế giới, con người phải đạt tới nhận thức cao
hơn, đó là nhận thức lí tính (còn gọi là tư duy).
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã được
trình bày trong các công trình của X.L.Rubinstêin. Những công trình này đã thúc
đẩy hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm
lí phức tạp. Theo cách hiểu của X.L.Rubinstêin: “Tư duy đó là sự khôi phục trong ý
nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu
cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể” [3, tr. 246].
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là quá
trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính qui
luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan” [5, tr.117] hoặc “Tư duy
là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ - quá trình tìm tòi và sáng
tạo cái chính yếu, quá trình phản ánh một cách từng phần hay khái quát thực tế
trong khi phân tích hoặc tổng hợp nó. Tư duy sinh ra trên cơ sở hoạt động thực
tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của nó” [20, tr. 8].
“Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.
Trong quá trình phát triển, tư duy con người không dừng lại ở trình độ tư duy bằng
thao tác tay chân, bằng hình tượng mà con người còn đạt tới trình độ tư duy bằng
ngôn ngữ, tư duy khái quát – hình thức tư duy đặc biệt của con người” [5, tr.19].
Trong quá trình tư duy, sử dụng phương tiện ngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao
để nhận thức tình huống có vấn đề, để tiến hành các thao tác tư duy: Phân tích, tổng
hợp, so sánh, trừu tượng hoá, ĐBH, KQH nhằm đi đến những khái niệm, phán
đoán, suy lí, những qui luật – những sản phẩm khái quát của tư duy.
1.2.2. Đặc điểm của tư duy
Theo [21], [23], [24], [25], tư duy có những đặc điểm cơ bản sau đây:

16. 16
- Tính "có vấn đề" của tư duy.
Tư duy chỉ xuất hiện khi gặp những hoàn cảnh, những tình huống "có vấn
đề". Tình huống "có vấn đề" là tình huống chứa đựng một mục đích, một vấn đề
mới mà những hiểu biết cũ, PP hành động cũ không đủ sức giải quyết. Muốn giải
quyết vấn đề mới đó, để đạt được mục đích mới đó, con người phải tìm cách thức
giải quyết mới, tức con người phải tư duy.
Ví dụ 1.1: Sau khi HS đã học được cách giải phương trình bậc hai, GV yêu
cầu các em giải phương trình sau:    03233 22
 xxxx . Giải phương trình này
là một tình huống có vấn đề với các em tại thời điểm đó vì chưa có một thuật giải
nào có thể giúp các em giải được một phương trình bậc bốn. Do đó, buộc các em
phải suy nghĩ để tìm cách giải phương trình trên. Các em tìm thấy hứng thú trong
việc tìm lời giải bởi vì có biểu thức đồng dạng xx 32
 giúp các em liên tưởng tới
đặt ẩn phụ. Và sau khi đặt ẩn phụ xxt 32
 thì phương trình ban đầu trở thành
phương trình 0322
 tt đã có thuật giải.
- Tính gián tiếp của tư duy
Con người sử dụng ngôn ngữ để tư duy. Nhờ có ngôn ngữ mà con người sử
dụng các kết quả nhận thức (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) vào quá trình tư
duy để nhận thức được cái bên trong, bản chất của sự vật, hiện tượng. Trong quá
trình tư duy, con người sử dụng những công cụ, phương tiện (đồng hồ, nhiệt kế,
máy móc, …) để nhận thức đối tượng mà không thể trực tiếp tri giác chúng.
- Tính trừu tượng và khái quát của tư duy
Tư duy có khả năng trừu xuất khỏi sự vật, hiện tượng những thuộc tính,
những dấu hiệu cá biệt, cụ thể, chỉ giữ lại những thuộc tính chung, bản chất cho
nhiều sự vật và hiện tượng. Trên cơ sở đó mà khái quát những sự vật, hiện tượng
riêng lẻ, nhưng có những thuộc tính bản chất chung thành một nhóm, một loại, một
phạm trù.
Ví dụ 1.2: Công thức tính diện tích tam giác aahS
2
1
 , trong đó ah là độ dài
đường cao hạ từ đỉnh A, a là độ dài cạnh đối diện từ đỉnh A (diện tích tam giác bằng
một nửa đường cao nhân với cạnh đáy). Để có được công tức tổng quát trên, chúng

17. 17
ta đã gạt bỏ những chi tiết không quan trọng như tam giác gì, làm bằng chất liệu gì,
độ dài các cạnh có mối quan hệ như thế nào, đặt trong phẳng hay trong không gian,
… mà chỉ giữ lại yếu tố bản chất là độ dài đường cao và độ dài cạnh đáy để có
được công thức mang tính khái quát trên.
- Tư duy liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ
Nếu không có ngôn ngữ thì quá trình tư duy ở con người không thể diễn ra
được, đồng thời các sản phẩm của tư duy (khái niệm, phán đoán, quy luật, …) cũng
không được chủ thể và người khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại các kết quả của
tư duy, là vỏ vật chất của tư duy và là phương tiện biểu đạt kết quả của tư duy.
Ngược lại, nếu không có tư duy thì ngôn ngữ chỉ là chuỗi âm thanh vô nghĩa. Tuy
nhiên, ngôn ngữ không phải là tư duy, ngôn ngữ chỉ là phương tiện của tư duy.
- Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính
Tư duy bắt đầu từ nhận thức cảm tính, nhà tâm lí học X. L. Rubinstein đã
viết: “Nội dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm
thành chỗ dựa cho tư duy”.
Tư duy là một quá tình tâm lí, nghĩa là tư duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc.
1.2.3. Một số vấn đề về tư duy toán học
Cũng như những lĩnh vực khác của đời sống xã hội, toán học với tư cách là
một khoa học có nguồn gốc từ thực tiễn và có ứng dụng vô cùng đa dạng, phong
phú trong thực tiễn với những đặc điểm về đối tượng và PP nghiên cứu cũng là một
đối tượng của tư duy, và như là một tất yếu, xuất hiện tư duy toán học.
“Để nhận thức được mặt nội dung của hiện thực cần có tư duy biện chứng,
và để nhận thức mặt hình thức của hiện thực cần có tư duy lôgic. Do đó, tư duy
toán học là sự thống nhất giữa tư duy biện chứng và tư duy lôgic. Theo đó, tư duy
toán học cũng có những cặp phạm trù quan trọng: cụ thể - trừu tượng, nhận thức
cảm tính – nhận thức lí tính, cái chung – cái riêng, cái bản chất – cái không bản
chất” [9, tr. 60-61]. Luận điểm nói trên cần được vận dụng một cách cụ thể và thích
hợp vào việc DH nhằm phát triển tư duy toán học cho HS.
Giáo dục toán học cho HS nhằm đạt được các mục tiêu:

18. 18
- Truyền thụ cho HS những kiến thức cơ bản được chọn lựa cho phù hợp với
đặc điểm của đối tượng Toán học một cách có hệ thống;
- Rèn luyện cho HS những kĩ năng, kĩ xảo toán học;
- Phát triển tư duy toán học cho HS. [20, tr. 12]
Tư duy toán học là một mục tiêu quan trọng trong hoạt động toán học của
HS, nhưng nếu thiếu sự phát triển một cách có phương hướng thì không thể đạt
được mức độ mong muốn về kiến thức và kĩ năng trong quá trình DH toán.
Nhiều nhà toán học đã bày tỏ ý kiến về tư duy toán học như sau:
Viện sĩ B. V. Gơnhedencô đưa ra một số yêu cầu đối với tư duy toán học, đó là:
- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận;
- Thấy được sự thiếu vắng các mắc xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lí giải lôgic một cách đầy đủ;
- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận, sự cô đọng, sự chính xác của các ký
hiệu [20, tr. 15].
Nhà toán học A. Ia. Khinsin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tư
duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế;
- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích; phân chia
rành mạch các bước suy luận;
- Sử dụng chính xác các ký hiệu;
- Tính có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở [9, tr. 127].
A. I. Marcusêvich nhấn mạnh đến những kĩ năng cần được bồi dưỡng cho
HS trong DH toán là:
- Kĩ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản chỉ để giữ lại bản chất của
vấn đề, chẳng hạn kĩ năng trừu tượng hoá;
- Kĩ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiên đề đã cho;
- Kĩ năng phân tích vấn đề thành những trường hợp riêng;
- Kĩ năng KQH kết quả nhận được và đặt ra vấn đề mới ở dạng khái quát;

19. 19
- Kĩ năng xây dựng sơ đồ của hiện tượng sao cho chỉ giữ lại những yếu tố
cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt toán học;
- Kĩ năng xây dựng các kết luận được rút ra từ các suy luận, đối chiếu kết
quả đó với các điều được dự kiến;
- Kĩ năng đánh giá ảnh hưởng của việc thay đổi các điều kiện đến sự tin
cậy,… [20, tr. 16].
1.3. Thao tác tư duy
1.3.1. Mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy
Về mối quan hệ giữa hành động tư duy và thao tác tư duy, có hai cách giải
thích như sau:
Nhiều nhà tâm lí học (trong đó có J. Piaget) cho rằng:
- Hành động (Action) là các ứng xử của cá nhân đối với sự tác động của các
yếu tố môi trường bên ngoài;
- Thao tác (Operations) là các hành động đã được chuyển vào bên trong
(hành động bên ngoài được nội hiện) và đã được rút gọn.
Đối tượng của thao tác tư duy không phải là sự vật có thực như của hành
động, mà là những hình ảnh, biểu tượng, ký hiệu. Như vậy, thao tác tư duy là hành
động tinh thần, chứ không phải là hành động thực, vật chất ở bên ngoài [15, tr. 73].
Cách giải thích của A. N. Lêônchiep và các nhà tâm lí học cùng xu hướng có
phần khác với cách hiểu trên khi xem xét tư duy từ bình diện hoạt động. Các nhà
tâm lí học này giải thích hành động và thao tác trong cấu trúc chung của hoạt động.
Sự giống nhau và khác nhau giữa chúng thể hiện như sau:
- Hành động tư duy được hiểu là hành động tâm lí trọn vẹn, chịu sự chi phối
bởi một mục đích được ý thức (hành động tâm lí có thể hiểu là làm một việc nào đó
có mục đích);
- Thao tác là phương tiện, là cơ cấu kĩ thuật, là phương thức hành động để
triển khai đến mục đích đó. Thao tác không có mục đích tâm lí riêng, nó chỉ là
phương tiện để thực hiện mục đích của một hành động nào đó;
- Thao tác và hành động có chung lôgic;

20. 20
- Cấu trúc của thao tác được định hình trong các phương tiện (công cụ) kĩ
thuật. Vì vậy, quá trình hình thành thao tác thực chất là quá trình học cách sử dụng
các công cụ đó. Thời kì đầu, quá trình học này chính là hành động tâm lí. Sau đó,
hành động được luyện tập và kĩ thuật hoá để trở thành thao tác.
- Cùng một mục đích nhưng trong những điều kiện khác nhau, chủ thể hành
động có các thao tác khác nhau.
Như vậy, mặc dù thao tác khác hành động, nhưng nó được sinh ra từ hành
động, kĩ thuật hoá nó, tước bỏ mục đích và chuyển nó vào trong một hành động
khác. Khi chuyển thành thao tác, hành động được rút gọn và thuần thục [15]. Vì
vậy, thao tác gắn bó chặt chẽ với kĩ năng.
Quá trình tư duy nảy sinh khi con người có nhu cầu giải quyết một nhiệm vụ
nhận thức nào đó, không thể tách tư duy ra khỏi tâm lí nói chung trong việc giải
quyết nhiệm vụ nhận thức. Bởi vì, tâm lí về bản chất là hoạt động, cho nên tham gia
vào tâm lí với tư cách yếu tố cấu thành nó, không chỉ có các đối tượng tinh thần (các
biểu tượng, các khái niệm), mà còn có các hành động tinh thần (hành động tri giác,
hành động tưởng tượng, hành động xúc cảm, ...). Với ý nghĩa đó, có thể xem xét tư
duy với tư cách là một hoạt động của con người, là một hoạt động trí tuệ với các hành
động và thao tác đặc trưng. Hành động trí tuệ là hành động tinh thần có liên quan đến
quá trình tư duy, là hành động tinh thần hướng tới mục đích nhận thức. Mỗi hành
động trí tuệ bao hàm trong nó một loạt các thao tác được thực hiện trong một trật tự
xác định và phù hợp với những quy tắc nhất định. Từ đó, một tập hợp các hành
động trí tuệ như là một chỉnh thể để giải quyết một nhiệm vụ nhận thức nào đó gọi
là hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết nhiệm vụ nhận thức ấy [9].
Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn, tuy nhiên tính giai đoạn của quá
trình tư duy chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên ngoài của tư duy, còn
nội dung bên trong mỗi giai đoạn của quá trình tư duy lại là một quá trình phức tạp,
diễn ra trên cơ sở của những thao tác tư duy, và như quan điểm đã nêu trên, còn gọi
là thao tác trí tuệ hay thao tác trí óc [24, tr. 116].
Xét về bản chất, tư duy là một quá trình cá nhân thực hiện các thao tác tư duy
để giải quyết vấn đề hay nhiệm vụ đặt ra. Cá nhân có tư duy hay không chính là ở
chỗ họ có tiến hành các thao tác tư duy trong đầu mình hay không. Do vậy, thao tác
tư duy còn được gọi là quy luật bên trong của tư duy.

21. 21
Thao tác tư duy không đồng nhất với tư duy. Quá trình tư duy là quá trình
thực hiện các thao tác tư duy để đạt được mục đích. Việc rèn luyện các thao tác tư
duy cuối cùng cũng nhằm vào mục đích chung là phát triển tư duy cho HS, một
trong các mục tiêu chính của việc DH [24, tr. 116]. Có thể liệt kê, mô tả một số thao
tác tư duy cụ thể dưới đây của các nhà khoa học:
Theo M. N. Sácđacôp [19], tư duy được thực hiện và phát triển trong những
hình thức riêng của nó: phân tích, tổng hợp và so sánh; trừu tượng hóa, khái quát
hóa và cụ thể hóa; quy nạp, diễn dịch và tương tự; phát hiện những mối liên hệ và
quan hệ; hình thành những khái niệm, phân loại và hệ thống hóa chúng.
Theo G. Polya [17], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh,
tương tự hóa, KQH, ĐBH.
Trong [2], [21], [23], [25], các tác giả cho rằng thao tác tư duy bao gồm:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa và KQH.
Nguyễn Bá Kim trong [11] không gọi là thao tác tư duy mà gọi là các hoạt
động trí tuệ cơ bản, bao gồm: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, trừu tượng
hóa, KQH, ĐBH.
Theo tác giả Hoàng Chúng [1], thao tác tư duy bao gồm: phân tích, tổng hợp,
so sánh, KQH, trừu tượng hóa và cụ thể hóa.
Từ phân tích và tổng hợp các ý kiến nêu trên, có thể hiểu rằng thao tác tư duy
là một hành động tư duy được kĩ thuật hóa và đã rút gọn, có thể rèn luyện để đạt
được các mức độ nhất định. Việc rèn luyện các thao tác tư duy cho HS chính là việc
tập luyện các hành động tư duy. Trong luận văn, chúng tôi tập trung nghiên cứu hai
thao tác tư duy sau, đó là: ĐBH và KQH.
1.3.2. Khái quát hoá
G. Polya cho rằng: "KQH là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối
tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban
đầu" [17].
Tác giả Đào Văn Trung đã viết: "Từ trong những sự vật khác nhau, tìm ra
những tính chất chung của chúng và quy kết lại, PP tư duy này gọi là khái quát"
[22, tr. 169].
Theo Hoàng Chúng [10, tr. 23]: "KQH là dùng trí óc tách ra cái chung trong
các đối tượng, sự kiện hoặc hiện tượng. Muốn KQH, thường phải so sánh nhiều đối

22. 22
tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau". "Khi KQH, chúng ta tách ra cái chung trong
các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái
riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này”.
Trong số các năng lực trí tuệ thì năng lực KQH tài liệu toán học là thành
phần cơ bản nhất của năng lực toán học, điều này đã được các nhà sư phạm, nhà
toán học như V. A. Kruchetxki, A. I. Marcusêvich, tổ chức quốc tế UNESCO, ...
khẳng định trong sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của mình.
Trong môn Toán ở trường phổ thông nói chung và phân môn Đại số và Giải
tích nói riêng, có nhiều tình huống liên quan đến hoạt động KQH, chẳng hạn như:
- KQH để hình thành khái niệm.
- KQH để hình thành định lí.
- KQH các bài toán Toán học.
- KQH để hình thành PP giải các lớp bài toán.
- KQH hướng suy nghĩ giải bài tập toán.
Chúng tôi thống nhất với tác giả Nguyễn Bá Kim, đó là có hai dạng khái
KQH thường gặp trong môn Toán có thể biểu diễn bằng sơ đồ sau [12, tr. 5]:
Chẳng hạn, khi dạy quy tắc nhân GV có thể dẫn dắt HS đi từ những trường
hợp riêng lẻ đến tổng quát:
- Từ nhà An đến nhà Bình có 4 con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có
3 con đường đi. Do đó, để đi từ nhà An đến nhà Cường có tất cả 123.4  cách đi; từ
KHÁI QUÁT HÓA
Khái quát hóa từ cái
riêng lẻ đến cái tổng
quát
Khái quát hóa từ cái
tổng quát đến cái
tổng quát hơn
Khái quát hóa
tới cái tổng quát
đã biết
Khái quát hóa
tới cái tổng quát
chưa biết

23. 23
nhà An đến nhà Bình có m con đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có n con
đường đi. Do đó, có tất cả nm. cách đi từ nhà An đến nhà Cường.
- Giả sử một công việc nào đó gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có
thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có m
cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách. Đó là một kết quả tổng quát.
- Chúng ta tiếp tục đi đến một kết quả tổng quát hơn từ kết quả tổng quát
trên: Giả sử một công việc nào đó gồm k công đoạn kAAA ,...,, 21 . Công đoạn 1A có
thể thực hiện theo 1n cách, công đoạn 2A có thể thực hiện theo 2n cách, …, công
đoạn kA có thể thực hiện theo kn cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo
knnn .... 21 cách.
Cả hai trường hợp trên đều là sự khái quát đi đến kiến thức mới. Bên cạnh
đó còn có dạng KQH đi đến kiến thức đã biết, dạng này được tiến hành chẳng hạn
khi giải những bài toán, trong đó KQH thể hiện ở việc “liên hệ những tình huống cụ
thể của bài toán với những tiên đề, định nghĩa, định lí thích hợp, ở việc nhận biết
cái tổng quát đã biết trong những cái cụ thể.” [12, tr.6]
Ví dụ 1.3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 23 23
 xxy tại
điểm )0;1(M .
Để làm bài toán cụ thể này, HS phải liên hệ đến phương trình tiếp tuyến của
đồ thị hàm số tổng quát )(xfy  tại điểm ))(;( 00 xfxM là:
)())(( 000
'
xfxxxfy  , đó chính là khái quát hóa.
Có thể thực hiện KQH đến cái tổng quát đã biết mang tính quy trình như sau:
KQH đến cái tổng quát đã biết.
Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết;
Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn
với bản chất vấn đề cần giải quyết;
Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã
xác định. Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối
tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề.
Ví dụ 1.4: Tìm giới hạn của dãy số )( nu , với nnnun  854 2
.

24. 24
Có nhiều hành động tham gia vào quá trình giải bài toán trên, dự kiến rằng
vì chưa có một quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng
được trực tiếp để tìm )854lim( 2
nnn  cho nên HS sẽ biến đổi dãy số cần tìm
giới hạn trên theo hai hướng như sau:








 1
85
4854 2
2
nn
nnnn , hoặc
2432
2
2
2
2
1854
85
3
854
853
854
nnnn
nn
nnn
nn
nnn






Nếu HS không thể tự mình biến đổi thì GV có thể gợi ý bằng câu hỏi:
- Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng
được trực tiếp để tìm )854lim( 2
nnn  hay không?
- Hãy tìm cách biến đổi nnn  854 2
về dạng quen thuộc!
Lúc này, KQH sẽ là một thành phần tham gia gián tiếp vào quá trình giải
bài toán.
Bước 1: Xác định vấn đề cần giải quyết
Tìm 







 1
85
4lim 2
nn
n
Bước 2: Lựa chọn, xác định những thuộc tính, quan hệ của đối tượng gắn
với bản chất vấn đề cần giải quyết.
GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:
Có quy tắc, định lí nào về tìm giới hạn của dãy số cho phép ta áp dụng được
để tìm 







 1
85
4lim 2
nn
n hay không?
Đến đây HS sẽ nhận thấy nếu đặt ,nun  1
85
4 2

nn
vn thì ,lim nu
1lim nv .
Bước 3: Đưa đối tượng vào một lớp đối tượng theo thuộc tính, quan hệ đã
xác định. Xác định những nguyên tắc, quy luật, công thức tổng quát của lớp đối

25. 25
tượng đó có liên quan đến việc giải quyết vấn đề.
GV có thể đặt câu hỏi sau cho HS:
- Nếu nulim và 1lim nv thì  nnvulim sẽ như thế nào?
Dự kiến HS trả lời:   nnvulim (Ở đây, HS đã đặt tình huống cụ thể trên
vào tình huống tổng quát, đó là: Nếu nulim , 0lim  Lvn , 0nv thì
  nnvulim ).
- Hãy trình bày lại lời giải!
Với cách biến đổi thứ hai, KQH tham gia với trật tự tương tự như trên, tức
là HS đã đặt tình huống cụ thể 3lim nu , 0lim nv , 0nv để tìm
n
n
v
u
lim vào tình
huống tổng quát, đó là: Nếu Lun lim  0L , 0lim nv , 0nv kể từ số hạng nào
đó thì 
n
n
v
u
lim .
KQH đến cái tổng quát chưa biết.
Dạng khái quát này đi đến kiến thức mới, có thể là một khái niệm, một định
lí hay một bài tập nào đó mà ta muốn hình thành hoặc mở rộng.
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát;
Bước 2: Xác định các đặc điểm của các đối tượng riêng lẻ;
Bước 3: So sánh các đặc điểm đó để tìm ra các đặc điểm giống nhau và khác
nhau;
Bước 4: Trong các đặc điểm giống nhau đó giữ lại cái bản chất và trừu xuất
chúng ra khỏi đối tượng;
Bước 5: Chuyển từ việc nghiên cứu các đối tượng riêng lẻ sang nghiên cứu
một tập lớn hơn chứa các đối tượng riêng lẻ đó;
Bước 6: Chứng minh các đặc điểm vừa tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn
trong tập lớn hơn ở bước 5;
Bước 7: Phát biểu kết quả tổng quát vừa chứng minh được.
Dạng KQH này đi đến kiến thức mới, chẳng hạn như hình thành khái niệm
theo con đường quy nạp, mở rộng một khái niệm, mở rộng một định lí, mở rộng một
bài toán, ...

26. 26
Ví dụ1.5: Tính các tích phân sau và tìm bài toán tổng quát cùng với PP giải:



1
1
2
1
12012
dx
x
I x
(1); 



2
2
2
12
cos


dx
x
I x



2
2
3
13
dx
x
I x
;
  


1
1
24
121
1
dx
x
I x
.
GV hướng dẫn HS giải các bài tập trên, chẳng hạn như câu a) với các gợi ý
như sau:
- Hãy quan sát cận của tích phân! Với cận như thế thì có thể chọn pháp đổi
biến như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: Có thể đặt tx 
- Với phép đổi biến như vậy thì tích phân được viết dưới dạng như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: dt
t
dt
t
I t
t
t 








1
1
1
1
22
1
12012
.2012
12012
)(
.
- Tích phân không phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, do đó 1I có thể được
viết như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: dx
x
I x
x



1
1
2
1
12012
2012
(2)
- Nếu cộng (1) và (2) theo vế thì ta được điều gì?
Dự kiến HS trả lời:  

1
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2 dxxIdxxI .
Tích phân cuối cùng được tính một cách dễ dàng.
- Tương tự hãy tính các tích phân 432 ,, III !
Sau khi hướng dẫn HS tính các tích phân trên, các bước trong quy trình
KQH được tiến hành nhằm mục đích tìm được tích phân tổng quát và PP tính.
Bước 1: Xác định vấn đề cần khái quát.
- Hãy tìm tích phân tổng quát cùng với PP tính.
Bước 2: Xác định các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối quan
hệ của các đối tượng riêng lẻ.
- Hãy tìm các đặc tính của tích phân vừa tính!

27. 27
Tích phân 1I lấy trên đoạn  1;1 , hàm số dưới dấu tích phân
12012
2
x
x
là
thương của hàm đa thức 2
x và 12012 x
; Tích phân 2I lấy trên đoạn 




2
;
2

, hàm
số dưới dấu tích phân là thương của hàm lượng giác xcos và 12 x
; Tích phân 3I
lấy trên đoạn  2;2 , hàm số dưới dấu tích phân là thương của hàm trị tuyệt đối x
và 13 x
; Tích phân 4I lấy trên đoạn  1;1 , hàm số dưới dấu tích phân là thương
của hàm hữu tỉ
1
1
2
x
và 12 x
.
Bước 3: So sánh các dấu hiệu, các đặc điểm, các thuộc tính, các mối quan
hệ đó để tìm ra dấu hiệu giống nhau và khác nha.
So sánh các đặc điểm trên chúng ta thấy rằng:
Khác nhau: Cận khác nhau, hàm lấy tích phân khác nhau.
Giống nhau: Cận đối xứng, hàm lấy tích phân là thương của một hàm chẵn
và hàm số có dạng 1x
m .
Bước 4: Giữ lại đặc điểm: Cận lấy tích phân đối xứng, hàm lấy tích phân là
thương của một hàm chẵn và hàm số có dạng 1x
m .
Bước 5: Chuyển từ việc tính các tích phân cụ thể trên về việc tính tích phân
chỉ chứa đặc điểm vừa được tách ra ở bước 4: Tính dx
m
xf
I
a
a
x


1
)(
(1), trong đó
)(xf là hàm chẵn, liên tục trên đoạn  aa; , m là số thực dương khác 1.
Bước 6: Chứng minh các thuộc tính, dấu hiệu, đặc điểm, mối liên hệ vừa
tách ra ở bước 4 cũng thỏa mãn trong tập lớn hơn ở bước 5.
Đặt tx  , tích phân đã cho được viết dưới dạng:
dx
m
xfm
dt
m
tfm
I
a
a
a
a
x
x
t
t
  




1
)(
1
)(
(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta suy ra: 

a
a
dxxfI )(
2
1
Bước 7: Phát biểu bài toán tổng quát: Tính tích phân dx
m
xf
I
a
a
x


1
)(
(1), trong

28. 28
đó )(xf là hàm chẵn, liên tục trên đoạn  aa; , m là số thực dương khác 1.
PP giải: Đặt tx  , tích phân đã cho được viết dưới dạng:
dx
m
xfm
dt
m
tfm
I
a
a
a
a
x
x
t
t
  




1
)(
1
)(
(2)
Cộng theo vế của (1) và (2) ta suy ra: 

a
a
dxxfI )(2 hay 

a
a
dxxfI )(
2
1
.
1.3.3. Đặc biệt hoá
Đặc biệt hóa là chuyển từ khái niệm có ngoại diên rộng sang khái niệm có
ngoại diên hẹp (còn gọi là giới hạn khái niệm) [9, tr. 73].
Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho
sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp đã cho [17, tr. 19].
Trong [4], các tác giả cho rằng: Nếu bằng ĐBH ta tìm được một mệnh đề đúng
thì càng thêm tin tưởng vào giả thuyết là đúng, còn nếu qua ĐBH ta nhận được mệnh
đề sai thì ta có thể hoàn toàn bác bỏ dự đoán [4, tr. 147].
Có thể quan niệm về ĐBH như sau: ĐBH là quá trình dùng trí óc chuyển từ
việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập nhỏ hơn
chứa trong tập hợp đã cho nhằm mục đích kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của KQH,
giải quyết một vấn đề.
Ví dụ 1.6: ĐBH mệnh đề "Tích của một số chẵn những thừa số âm luôn là
một số dương" theo nhiều cách như sau:
- Lấy số thừa số bằng 2 chúng ta có mệnh đề: "Tích của hai số âm luôn là
một số dương". Tiếp tục lấy hai thừa số bằng nhau chúng ta có mệnh đề: "Bình
phương của một số âm luôn là một số dương".
- Lấy các thừa số bằng nhau chúng ta có mệnh đề: "Lũy thừa bậc chẵn của
một số âm luôn là một số dương". Tiếp tục lấy số mũ bằng 2 chúng ta cũng có
mệnh đề: "Bình phương của một số âm luôn là một số dương".
Ví dụ 1.7: Với kết quả vừa đạt được ở ví dụ 1.5, bằng cách ĐBH có thể tạo ra
một hệ thống bài tập, chẳng hạn:
- Cho xxxf 66
cossin)(  , 2m ,
2

a chúng ta có bài toán sau:

29. 29
Tính tích phân: dx
xx
x


2
2
66
12
cossin


- Cho 13)( 24
 xxxf , 2012m , 2a chúng ta có bài toán sau:
Tính tích phân: dx
xx
x


2
2
24
12012
13
- Cho 2
1)( xxf  , 10m , 1a chúng ta có bài toán sau:
Tính tích phân: dx
x
x


1
1
2
110
1
,…
1.4. Vai trò của thao tác ĐBH và KQH trong giải toán ở trường THPT
Trong toán học, ĐBH và KQH đã trở thành một PP suy nghĩ sáng tạo và là
nguồn gốc của nhiều phát minh trong toán học sơ cấp cũng như trong toán học cao
cấp. ĐBH và KQH có thể vận dụng để mò mẫm dự đoán kết quả bài toán, tìm
phương hướng giải bài toán; để mở rộng, đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.
Khi giải một bài toán, một PP tổng quát là tìm cách đưa bài toán phải giải về
một bài toán đơn giản hơn, dễ giải hơn sao cho nếu giải được bài toán này ta sẽ giải
được bài toán đã cho (nhờ áp dụng kết quả hoặc PP giải của bài toán đó). ĐBH và
KQH có nhiều tác dụng về mặt này.
Nhiều khi việc giải bài toán trong trường hợp đặc biệt chưa giúp ta giải được
bài toán đã cho. Điều đó vẫn cứ tốt, vì như vậy chúng ta đã giải được một phần của
bài toán. Đối với những bài toán đã cho, việc giải được một phần của bài toán cũng
rất có giá trị.
Đối với nhà trường phổ thông ĐBH và KQH đã thâm nhập vào mọi khâu của
quá trình DH, ĐBH và KQH là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí
thuyết, là PP suy nghĩ giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài toán,
mở rộng đào sâu và hệ thống hóa kiến thức.
1.4.1. ĐBH và KQH trong việc hình thành khái niệm và các tri thức lí thuyết
ĐBH và KQH là con đường giúp chúng ta hình thành các tri thức lí thuyết
như các định lí, tính chất, hệ thức, … Chẳng hạn, bằng KQH, ĐBH có thể đề xuất
định lí mở rộng của định lí về BĐT Cauchy.
Ví dụ 1.8: Định lí về BĐT Cauchy cho hai số không âm a và b như sau:

30. 30
A
C
ab
ba


2
Dấu bằng xảy ra khi ba 
Sau khi hướng dẫn HS nắm bắt được định lí trên, GV tiếp tục yêu cầu HS
hãy phát biểu tương tự BĐT Cauchy cho 3 số không âm a, b và c.
- Dự kiến HS trả lời: 3
3
abc
cba


Dấu bằng xảy ra khi cba 
Sau đó, GV yêu cầu HS khái quát hóa BĐT Cauchy trong trường hợp áp
dụng cho n số không âm naaa ,...,, 21
- Dự kiến HS trả lời: n
n
n
aaa
n
aaa
...
...
21
21


Dấu bằng xảy ra khi naaa  ...21
1.4.2. ĐBH và KQH là PP suy nghĩ, mò mẫm giúp ta tìm lời giải cho bài toán
Với những bài toán không có thuật toán ta có thể ĐBH để giải bài toán trong
những trường hợp riêng, để từ cách giải đó chúng ta có thể định hướng cho HS đưa
ra lời giải bài toán trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn, ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 1.9: Cho ABC . Chứng minh rằng với ,x ,y z là 3 số thực tùy ý, ta có:
AxzCyzBxyzyx cos2cos2cos2222
 (1)
Trước hết GV có thể gợi ý HS xét trường hợp đặc biệt với 1 zyx .
Khi đó:
2
3
coscoscos)1(  ACB (2)
Từ đó, yêu cầu HS chứng minh (2).
Lấy các vectơ đơn vị 321 ;; eee có gốc đặt lần lượt tại CBA ,, như hình vẽ.
Ta có: 1321  eee
Khi đó:
  ;, 21 Bee     ;, 32 Cee     ., 31 Aee  
Hiển nhiên ta có:
  0
2
321  eee
B

31. 31
      0,cos2,cos2,cos23 313221  eeeeee
đpcmCBAACB 
2
3
coscoscos0)coscos)(cos2(3 .
Tương tự với cách giải quyết ở trường hợp đặc biệt, HS có thể chứng minh
hệ thức (1) bằng cách:
Lấy các vectơ đơn vị 321 ;; eee có gốc đặt lần lượt tại CBA ,, như hình vẽ.
Ta có:   0
2
321  zeeyex
      0,cos2,cos2,cos2 313221
222
 eexzeeyzeexyzyx
đpcmAxzCyzBxyzyx  0)coscoscos)(2(222
1.4.3. ĐBH và KQH là PP suy nghĩ giúp chúng ta mở rộng, đào sâu và
hệ thống hóa kiến thức
Từ những kiến thức bài toán đã cho chúng ta có thể vận dụng KQH, ĐBH để
hình thành những tri thức mới, đề xuất và giải những bài toán mới. Trên cơ sở đó
chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến
thức của mình. Từ đó sẽ tạo cho chúng ta hiểu rõ hơn bản chất và các quy luật của
các sự kiện toán học, xác lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng
ta tiếp nhận được.
Ví dụ 1.10: Cho 0, ba . Chứng minh rằng: abbaba 2233
 (1)
Để chứng minh bài toán trên ta có thể tiến hành như sau:
Ta có: ))(()()( 22222233
babababbaaabbaba 
0)()( 2
 baba , 0,  ba
Vậy (1) được chứng minh.
Chúng ta có thể đào sâu, đề xuất bài toán mới từ bài toán trên như thế nào?
* Nhìn theo góc độ số mũ ở hai vế của BĐT (1): Xét riêng 3
a và ba2
ta thấy
trong số hạng 3
a số mũ của a là 3, trong số hạng ba2
thì số mũ của a là 2, số mũ
của b là 1. Như vậy số mũ của a đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số mũ của a và b
trong số hạng ba2
bằng số mũ của a trong 3
a . Từ đó, ta có những BĐT tương tự sau:
abbaba 3344
 (2)
abbaba 4455
 (3)

32. 32
Theo hướng khai thác đó ta có thể KQH bài toán như sau:
Cho 0, ba . Chứng minh rằng: abbaba nnnn 11 
 )( *
Nn (4)
* Cũng nhìn theo góc độ số mũ của từng số hạng ở hai vế, ta thử mở rộng
bằng cách thay ban 1
bởi mnm
ba 
có nghĩa là chỉ cần tổng số mũ của a và b bằng n
là đủ. Như vậy bài toán trên lại được KQH như sau:
Cho 0, ba . Chứng minh:
mnmmnmnn
abbaba 
 ),,( mnNnm  (5)
Khi ta ĐBH các giá trị nm, ở BĐT (5) ta thu được các BĐT mới.
Chẳng hạn, với 4 nm ta thu được BĐT quen thuộc: 2244
2 baba  (6)
Với 5,2  nm ta thu được BĐT: 233255
abbaba  (7)
* Tiếp tục quan sát số lượng biến của các BĐT, những bài toán trên chỉ áp
dụng cho 2 biến và ta hoàn toàn có thể mở rộng cho 3 biến, 4 biến, …và KQH lên n
biến. Chẳng hạn, ta có thể xây dựng những BĐT tương tự sau:
Cho 0,, cba . Chứng minh: accbbacba 222333
 (8)
222222444
accbbacba  (9)
Cho n số dương naaa ,...,, 21 . Chứng minh rằng:
kmk
n
kmkkmkm
n
mm
aaaaaaaaa 
 1322121 ...... ),,( kmNkm  (10)
Bằng những cách làm đó ta có thể hướng HS độc lập suy nghĩ để không
ngừng rèn luyện tính sáng tạo, đào sâu kiến thức nhằm phát triển tư duy cho HS.
1.5. Một số nhận định về việc sử dụng thao tác ĐBH và KQH trong DH
Đại số và Giải tích ở trường THPT hiện nay
1.5.1. Nhận định đối với HS
Qua thực tiễn sư phạm, chúng tôi thấy nhiều HS không nắm vững các thuộc
tính của khái niệm, không biết thuộc tính nào là thuộc tính bản chất, thuộc tính nào
là thuộc tính đặc trưng, không biết thuộc tính đặc trưng là thuộc tính như thế nào.
Một số HS không biết phân chia một khái niệm thành các khái niệm bộ phận, không
nắm được mối liên hệ giữa các khái niệm, không biết cách đặt một khái niệm trong
một hệ thống khái niệm. Nhiều HS không biết vận dụng khái niệm vào giải toán,
không biết các ứng dụng thực tiễn của khái niệm, nguồn gốc ra đời của một số khái

33. 33
niệm. Đối với học định lí, có một số HS không biết cách khai thác từ giả thiết của
định lí có thể dẫn tới điều gì, không nắm vững cấu trúc lôgic của định lí, các PP
chứng minh một định lí, không khai thác các ứng dụng định lí, không biết và không
có nhu cầu KQH hay ĐBH một định lí. Tương tự, đối với việc giải bài tập, việc
phân tích cái đã cho và cái phải tìm nhiều em còn mơ hồ. Chẳng hạn, bài toán giải
và biện luận của phương trình lại đi tìm tham số, bài toán tìm điều kiện của tham số
để phương trình có nghiệm lại tìm nghiệm x. Đối với các bài toán cần phải phân
chia thành các trường hợp riêng, các em không biết dựa vào đâu lại có thể phân chia
được, dẫn đến phân chia các trường hợp không đầy đủ, không độc lập. Có những
HS đã biết cách phân chia lại không biết sử dụng thao tác tổng hợp kết hợp các
trường hợp lại để cho kết quả cuối cùng của bài toán. Đa số HS khi giải các bài tập
trong SGK làm theo hướng dẫn mà không đặt vấn đề suy nghĩ xem tại sao lại giải
như vậy, điều đó dẫn tới các em đã không giải được các bài toán có cấu trúc tương
tự. Từ đó, chúng ta có thể kết luận:
- Nhiều HS gặp khó khăn và sai lầm trong khi học môn Đại số và Giải tích.
- Đa số HS thấy việc KQH là phải tìm ra một bài toán tổng quát mới, là khó
khăn, chỉ dành cho HS khá, giỏi.
- Nguyên nhân chính của việc HS gặp khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện
thao tác ĐBH và KQH là do HS chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, mục đích và cách
thức thực hiện các thao tác đó.
1.5.2. Nhận định đối với GV
Chúng tôi đã trò chuyện, phỏng vấn 63 GV dạy Toán tại các trường THPT ở
thị xã Hương Thủy và huyện Phú Vang của tỉnh Thừa Thiên Huế để tìm hiểu về
thực trạng nhận thức và thực hiện rèn luyện thao tác ĐBH và KQH cho HS (hệ
thống câu hỏi đã thể hiện trong phụ lục 1, bảng số liệu và kết quả xử lí số liệu được
thể hiện trong phụ lục 2). Chúng tôi có nhận xét chung như sau:
- Một số GV ngại việc dạy khái niệm vì cho rằng mất nhiều thời gian và
không quan trọng nên chỉ phát biểu qua loa dẫn đến các em không nắm được bản
chất của khái niệm, nội hàm của khái niệm. GV cũng ít kết nối, hệ thống hóa các
khái niệm, các định lí, các chủ đề với nhau nên HS không thấy được mối quan hệ
giữa các chủ đề, sự thống nhất của môn học.

34. 34
- GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng thao tác ĐBH và KQH cho HS, tuy
nhiên GV vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm quan trọng, mục đích của các thao tác
đó, chưa có một cách thức DH phù hợp.
- Đối với KQH, đa số GV chỉ hiểu theo nghĩa là tìm bài toán mới tổng quát
và xem đó là một công việc khó khăn, chỉ có thể thực hiện cho HS khá, giỏi. Nhiều
GV khi ra bài tập làm thêm cho HS phụ thuộc quá nhiều vào sách tham khảo mà
không biết vận dụng các thao tác KQH, ĐBH để tạo các bài toán mới.
1.6. Kết luận chương 1
Chương 1, tìm hiểu về cơ sở lí luận của việc phát triển năng lực ĐBH và
KQH cho HS THPT trong DH Đại số và Giải tích.
Hệ thống hóa quan điểm của một số tác giả trong nước và ngoài nước về
những thành phần của tư duy toán học, về các thao tác tư duy. Có nhiều định nghĩa
về các thao tác tư duy, nhưng cơ bản là thống nhất các thao tác: phân tích, tổng hợp,
so sánh, tương tự hóa, trừu tượng hóa, KQH, ĐBH. Trong đề tài, chúng tôi chỉ đề
cập đến hai thao tác, đó là ĐBH và KQH.
Luận văn cho rằng, trong toán học có hai dạng KQH và do đó đề tài cũng đã
đưa ra hai quy trình để thực hiện thao tác này.
Chỉ ra thực trạng của việc thực hiện các thao tác ĐBH và KQH của GV và
HS ở trường THPT thông qua các hình thức sau: Trò chuyện, phỏng vấn một số GV
Toán THPT trên địa bàn tỉnh Thừa Thiên Huế, có đối chiếu với kinh nghiệm của
bản thân qua việc trực tiếp giảng dạy ở trường THPT. Kết quả khảo sát bước đầu
cho thấy HS còn gặp nhiều khó khăn và sai lầm trong khi thực hiện các thao tác
ĐBH và KQH, nguyên nhân do họ chưa nhận thức đầy đủ về vai trò, mục đích,
chưa được rèn luyện nhiều các thao tác đó. Đặc biệt là HS chưa có cách thức thực
hiện các thao tác tư duy ĐBH và KQH. GV đã có ý thức trong việc bồi dưỡng các
thao tác ĐBH và KQH cho HS, tuy nhiên họ vẫn chưa nhận thức đầy đủ về tầm
quan trọng, mục đích của hai thao tác đó, chưa có một cách thức DH phù hợp. Đa
số GV đều cho rằng việc phát triển năng lực ĐBH và KQH cho HS là cần thiết.
Việc nghiên cứu những cơ sở lí luận về phát triển năng lực ĐBH và KQH là cơ
sở quan trọng trong việc đề ra các định hướng DH thích hợp nhằm rèn luyện cho HS
có hai kĩ năng này. Đây là những nội dung mà chúng tôi sẽ trình bày trong chương 2.

35. 35
Chương 2
MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG ĐỊNH HƯỚNG NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
ĐẶC BIỆT HÓA VÀ KHÁI QUÁT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY
HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT
2.1. Một số hoạt động định hướng việc DH khái niệm về Đại số và Giải tích
thông qua thao tác ĐBH và KQH
Khái niệm toán học có thể được hình thành theo ba con đường:
- Con đường qui nạp.
- Con đường suy diễn.
- Con đường kiến thiết.
Theo [14, tr. 157], thì:
Về con đường qui nạp: “Con đường này xuất phát từ một số trường hợp cụ
thể (như mô hình, hình vẽ, ví dụ cụ thể, . . .) người ta dẫn dắt HS bằng trừu tượng
hóa và KQH tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện qua từng trường
hợp cụ thể đó, từ đó đi đến định nghĩa khái niệm”.
Về con đường suy diễn: “Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho HS
là là con đường suy diễn, trong đó việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định
nghĩa khái niệm toán học mà HS đã biết”.
Về con đường kiến thiết: “Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn
suy diễn. Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu để xây dựng
một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành. Yếu tố quy nạp thể
hiện ở chỗ KQH quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ đi đến đặc
điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa”.
Trong DH khái niệm ta không nên tuyệt đối hóa hay xem nhẹ con đường nào
mà tùy thuộc vào khái niệm cụ thể, tính hợp lí và sử dụng phù hợp với trình độ tư
duy của HS để chọn qui nạp, suy diễn hay kiến thiết.
Ví dụ 2.1: Khi dạy về khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ [18, tr. 40].

36. 36
ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số )(xfy  với tập xác định D.
Hàm số f gọi là hàm số chẵn nếu mọi x thuộc D, ta có x cũng thuộc D và
)()( xfxf  .
Hàm số f gọi là hàm số lẻ nếu mọi x thuộc D, ta có x cũng thuộc D và
)()( xfxf  .
Đối với khái niệm này, GV nên đi theo con đường quy nạp để hình thành
khái niệm cho HS, điều này đồng nghĩa với việc GV đưa ra một vài hàm số cụ thể,
yêu cầu HS tính giá trị của hàm số tại một số cặp giá trị đối nhau, so sánh kết quả và
đưa ra nhận xét. Từ đó, GV dẫn dắt HS hình thành khái niệm tổng quát về hàm số
chẵn, hàm số lẻ như trên. Chẳng hạn:
GV: Cho hai hàm số 2
2)( xxf  và xxxg 2)( 3
 . Tìm tập xác định của các
hàm trên?
Dự kiến HS trả lời: Hai hàm số )(xf và )(xg đều có tập xác định là RD  .
GV: Hãy tính các giá trị của )(xf và )(xg tại các giá trị của x được cho bởi
bảng sau:
x 3 2 1 1 2 3
)(xf
)(xg
Dự kiến HS trả lời:
x 3 2 1 1 2 3
)(xf 18 8 2 2 8 18
)(xg -33 -12 -3 3 12 33
GV: Hãy so sánh giá trị của hàm số )(xf và giá trị của hàm số )(xg tại các
điểm đối nhau?
Dự kiến HS trả lời: )3()3( ff  ; )2()2( ff  ; )1()1( ff 
)3()3( gg  ; )2()2( gg  ; )1()1( gg 
GV: Yêu cầu HS chứng minh: )()( xfxf  , Dx
)()( xgxg  , Dx

37. 37
Dự kiến HS trả lời:
Ta có: )(2)(2)( 22
xfxxxf  , Dx
 xgxxxxxxxg  )2(2)(2)()( 333
, Dx
GV: Từ kết quả chứng minh trên, kết hợp với tập xác định của các hàm số,
GV nhấn mạnh: hàm số )(xf được gọi là hàm số chẵn, hàm số )(xg được gọi là
hàm số lẻ. Sau đó, GV yêu cầu HS phát biểu một cách tổng quát về định nghĩa hàm
số chẵn và hàm số lẻ.
Dự kiến HS trả lời: Phát biểu định nghĩa như SGK.
Ví dụ 2.2: Khi dạy về công thức Nhị thức Niutơn [7, tr. 55].
  nn
n
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCaCba   11110
...... . (1)
GV: Trước khi cho HS nêu công thức tổng quát (1), GV yêu cầu HS nhắc lại
2 hằng đẳng thức đã học  2
ba  và  3
ba  .
Dự kiến HS trả lời:   222
2 bababa  (2)
  32233
33 babbaaba  (3)
GV: Hãy cho biết giá trị của các tổ hợp sau:
?0
2 C ; ?1
2 C ; ?2
2 C
?0
3 C ; ?1
3 C ; ?2
3 C ; ?3
3 C
Dự kiến HS trả lời: 10
2 C ; 21
2 C ; 12
2 C
10
3 C ; 31
3 C ; 32
3 C ; 13
3 C
GV: Nếu thay các hệ số ở vế phải của (2) bởi các tổ hợp 0
2C ; 1
2C ; 2
2C và thay
các hệ số ở vế phải của (3) bởi các tổ hợp 0
3C ; 1
3C ; 2
3C ; 3
3C thì ta được điều gì?
Dự kiến HS trả lời:   22
2
1
2
20
2
2
bCabCaCba 
  33
3
22
3
21
3
30
3
3
bCabCbaCaCba 
GV: Hãy nhận xét số mũ của a và số mũ của b ở vế phải trong hai hằng đẳng
thức trên?
Dự kiến HS trả lời:
Ở (2): Số mũ của a giảm từ 02  ; số mũ của b tăng từ 20 
Ở (3): Số mũ của a giảm từ 03  ; số mũ của b tăng từ 30 

38. 38
GV: Với các nhận xét trên, hãy dự đoán các biểu thức  4
ba  ,  5
ba  và
 n
ba  được khai triển như thế nào?
Dự kiến HS trả lời:   44
4
33
4
222
4
31
4
40
4
4
bCabCbaCbaCaCba 
  55
5
44
5
323
5
232
5
41
5
50
5
5
bCabCbaCbaCbaCaCba 
  nn
n
nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
bCabCbaCbaCaCba   11110
......
GV: Từ đó GV khẳng định cho HS công thức khai triển nhị thức Niu – tơn
trong trường hợp tổng quát.
Ví dụ 2.3: Hình thành khái niệm về hàm số lũy thừa [8, tr. 58].
Hàm số 
xy  , với R , được gọi là hàm số lũy thừa
Để dẫn dắt HS tiếp cận khái niệm trên, GV có thể thực hiện như sau:
GV: Với n
xy  , n là số nguyên dương, hãy chỉ ra vài hàm số mà ta đã biết
tương ứng với n cụ thể.
Dự kiến HS trả lời: 2
xy   2n ; 3
xy   3n
GV: Ta đã biết các hàm số
x
y
1
 và xy  . Nếu viết các biểu thức của hàm
số dưới dạng lũy thừa, thì các hàm số trên được viết lại như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: 1
 xy và 2
1
xy 
GV: Từ các hàm số trên, hãy định nghĩa một hàm số tổng quát sao cho các
hàm số trên là trường hợp riêng của nó?
Dự kiến HS trả lời: Hàm số có dạng 
xy  )( R .
GV: Yêu cầu HS tiếp thu kiến thức hàm số lũy thừa 
xy  )( R như định
nghĩa trong SGK.
Ví dụ 2.4: Khái niệm lôgarit [8, tr. 62], có thể hình thành cho HS theo con
đường quy nạp.
Cho hai số dương a, b với 1a . Số  thỏa mãn đẳng thức ba 
được gọi là
lôgarit cơ số a của b và kí hiệu là balog .
baba  
 log

39. 39
GV có thể hướng dẫn HS nắm bắt khái niệm trên bằng các hoạt động sau:
GV: Hãy tìm  để:
a) 42 
b) 813 
c)
16
1
4 
Dự kiến HS trả lời:
a) 2 b) 4 c) 2
GV (gợi động cơ): Số  thỏa đẳng thức 32 
là gì?
Người ta chứng minh được rằng luôn tồn tại duy nhất số  sao cho 32 
,
để thể hiện số  này ta cần có một khái niệm và ký hiệu đặc trưng cho nó.
GV: Theo a) ta có 422
 , nên ta nói “2 là lôgarit cơ số 2 của 4” và viết
4log2 2 . Hãy phát biểu một cách tương tự đối với b) và c)?
Dự kiến HS trả lời:
+ Ta có 8134
 , nên ta nói “4 là lôgarit cơ số 3 của 81” và viết là
81log4 3 .
+ Ta có
16
1
4 2

, nên ta nói “ 2 là lôgarit cơ số 4 của
16
1
” và viết là
16
1
log2 4 .
GV: Hãy cho thêm một vài ví dụ tương tự ?
Dự kiến HS trả lời:
+ Ta có 823
 , nên ta nói “3 là lôgarit cơ số 2 của 8” và viết là 8log3 2 .
+ Ta có
32
1
2 5

, nên ta nói “-5 là lôgarit cơ số 2 của
32
1
” và viết là
32
1
log5 2 .
GV: Theo những cách gọi trên, thì nếu ta có ba 
)1,0,0(  aba thì 
được gọi là gì? Và được viết như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: “ gọi là lôgarit cơ số a của b” và viết là balog .
GV: Như vậy, thực chất balog là gì?
Dự kiến HS trả lời: balog là một số  mà ba 
.
GV: Yêu cầu HS KQH định nghĩa lôgarit cơ số a của b như trong SGK ?

40. 40
HS: KQH định nghĩa như SGK.
GV (Nhấn mạnh): baba  
 log )1,0,0(  aba
GV: Dựa vào định nghĩa hãy cho biết các giá trị sau (ĐBH):
a) ?9log 3  b) ?
8
1
log2  c) ?49log
7
1  d) ?1log 2

Dự kiến HS trả lời: a) 29log3  vì 932
 b) 3
8
1
log2  vì
8
1
2 3

c) 249log
7
1  vì 49)
7
1
( 2

d) 01log 2
 vì 1)2( 0

GV: Dựa vào định nghĩa, hãy cho biết:
a) ?1log a b) ?log aa c) ?log 
aa d) ?log
ba
a
Dự kiến HS trả lời:
a) 01log a b) 1log aa c) 
aalog d) ba ba
log
GV: Hãy giải thích vì sao không có lôgarit của số âm và số 0?
Dự kiến HS trả lời: Vì với 1,0  aa thì 0
a )( R nên không có số
 nào để ba 
khi 0b hoặc 0b . Nói cách khác, không tồn tại lôgarit cho số
âm và số 0.
* Để củng cố định nghĩa GV có thể cho HS thực hiện các bài toán sau:
Bài toán 1:
a) ?27log3 
A. 1 B. 2 C. 2 D. 0
b) ?9log 3 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
c) ?1log4 
A. 1 B. 3 C. 1 D. 0
d) ?2log 2

A. 1 B. 2 C. 0 D.
2
1
Bài toán 2: Tìm các lôgarit sau (nếu có):

41. 41
a)
27
1
log3 b) 3log3 c) 1log 5 d) )1(log 3 
2.2. Một số hoạt động định hướng việc DH định lí về Đại số và Giải tích
thông qua thao tác ĐBH và KQH
Việc DH định lí toán học có thể tiến hành theo hai con đường: con đường
suy diễn và con đường có khâu suy đoán. Việc đi theo con đường nào không phải là
tùy tiện mà tùy theo nội dung định lí và tùy điều kiện cụ thể của HS.
Quá trình DH định lí có khâu suy đoán chứa đựng nhiều khả năng phát triển
những năng lực của các thao tác tư duy mà trong đó có ĐBH và KQH nên ta cần
chú trọng khai thác khả năng này.
Trong chương trình dạy toán ở trường phổ thông nhiều định lí là khái quát
của những định lí của HS đã học. Chúng ta có thể DH định lí như vậy theo con
đường có khâu suy đoán, qua đó vừa góp phần phát triển những năng lực ĐBH và
KQH vừa giúp HS liên hệ kiến thức vừa học với kiến thức đã học, từ đó góp phần
hệ thống hóa kiến thức.
Chẳng hạn sự đồng biến, nghịch biến của hàm số ở Giải tích 12 (Định lí về
tính đơn điệu và dấu của đạo hàm của hàm số) là tổng quát của tính đơn điệu của
hàm số mà HS đã học ở lớp 10. Chẳng hạn, chúng ta có thể dạy định lí về tính đơn
điệu và dấu của đạo hàm theo con đường có khâu suy đoán như sau:
Ví dụ 2.5: Định lí tính đơn điệu và dấu của đạo hàm của hàm số [8, tr. 6].
Cho hàm số )(xfy  có đạo hàm trên K.
a) Nếu 0)( xf với mọi x thuộc K thì hàm số )(xf đồng biến trên K.
b) Nếu 0)( xf với mọi x thuộc K thì hàm số )(xf nghịch biến trên K.
GV có thể gợi động cơ cho HS như sau:
GV: Nhắc lại định lí về tính đơn điệu của hàm số )(xfy  trên khoảng  ba;
đã học ở lớp 10.
*  baxx ;, 21  , ta có:
+ Hàm số )(xfy  đồng biến trên khoảng  ba; khi:
)()( 2121 xfxfxx  (hoặc: )()( 2121 xfxfxx  )
+ Hàm số )(xfy  nghịch biến trên khoảng  ba; khi:

42. 42
)()( 2121 xfxfxx  (hoặc: )()( 2121 xfxfxx  )
* Có thể xét tỷ số
12
12 )()(
xx
xfxf
H


  21 xx 
+ 0H : Hàm số đồng biến trên khoảng  ba; .
+ 0H : Hàm số nghịch biến trên khoảng  ba; .
GV: Cho các hàm số:
a) xxy cos b) 2
45 xxy 
Nếu sử dụng PP trên để xét tính đơn điệu của các hàm số đã cho thì chúng ta
sẽ gặp khó khăn như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: Việc khẳng định )()( 21 xfxf  hay )()( 21 xfxf  là gặp
nhiều khó khăn và phức tạp.
GV: Ngoài những khó nhăn trên, việc chứng minh một số BĐT, tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất cũng gặp nhiều khó khăn khi thực hiện theo định nghĩa trên.
Ta có thể khắc phục khó khăn trên bởi một PP (công cụ) khác để xét tính đơn
điệu của hàm số nhanh hơn bằng cách ứng dụng đạo hàm (Nội dung về đạo hàm đã
được học ở giải tích lớp 11).
Dự đoán và phát hiện định lí:
GV: Xét các hàm số sau:
a) 22  xy
b) 2
xy 
c)
x
y
1


43. 43
Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số trên và điền vào bảng tương ứng?
Dự kiến HS trả lời:
a) 0'2'  yy , Rx  .
b)  0;,0'2'  xyxy và   ;0,0' xy .
c) 0,0'
1
' 2
 xy
x
y
GV: Từ các bảng biến thiên của 3 hàm số trên, hãy nêu nhận xét chung về
mối quan hệ giữa sự đồng biến, biến nghịch của hàm số với dấu của đạo hàm?
Dự kiến HS khái quát hóa:
+ Hàm số đồng biến trên khoảng  ba; thì: 0'y ,  bax ; .
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng  ba; thì: 0'y ,  bax ; .
GV: Khi hàm số )(xfy  đồng biến trên K hay nghịch biến trên K. Hãy nhận
xét về dấu của 'y ?
Dự kiến HS khái quát hóa:
+ Hàm số đồng biến trên khoảng K thì: 0'y , Kx .
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng K thì: 0'y , Kx .

44. 44
GV: Yêu cầu HS nêu định lí một cách đầy đủ về tính đơn điệu của hàm số và
dấu của đạo hàm.
HS: Nêu định lí đầy đủ như SGK.
Để củng cố định lí, cũng như rèn luyện năng lực đặc biệt hóa GV có thể yêu
cầu HS áp dụng định lí để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số xxxy 3
3
1 23
 .
Ví dụ 2.6: Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất [18, tr. 123].
Nhị thức bậc nhất baxxf )( cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái
dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Khi dạy về định lí này, đầu tiên GV đưa ra một số nhị thức cụ thể, yêu cầu
HS xác định hệ số a, tìm nghiệm của nhị thức, xác định dấu của nhị thức (có chứng
minh) khi x lớn hơn hoặc nhỏ hơn nghiệm của nó, so sánh với dấu của a trong
trường hợp đó. Từ đó, yêu cầu HS dự đoán một cách khái quát định lí về dấu của
nhị thức bậc nhất. Chẳng hạn:
GV: Cho các nhị thức sau: a) 82)(  xxf
b) 3)(  xxg
Hãy xác định hệ số a và tìm nghiệm của các nhị thức trên?
Dự kiến HS trả lời:
- Đối với )(xf : + Hệ số: 02 a .
+ Nghiệm: 4x .
- Đối với )(xg : + Hệ số: 01 a .
+ Nghiệm: 3x .
GV: Sử dụng các tính chất của BĐT hãy chứng minh rằng:
+ Với 0)(4  xfx (cùng dấu với hệ số 02 a ).
+ Với 0)(3  xgx (cùng dấu với hệ số 01 a ).
Dự kiến HS trả lời:
+ Với 0)(082824  xfxxx .
+ Với 0)(0333  xgxxx

45. 45
GV: Từ các lập luận trên chúng ta có nhận xét gì về dấu của các nhị thức so
với dấu của hệ số a của nhị thức đó khi x lớn hơn nghiệm của nó?
Dự kiến HS trả lời: Cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm của nhị thức đó.
GV: Nếu lập luận tương tự, thì khi x nhỏ hơn nghiệm của các nhị thức thì dấu
của các nhị thức đó như thế nào?
Dự kiến HS trả lời: Trái dấu với hệ số a.
GV: Từ kết luận về dấu của hai nhị thức cụ thể trên, hãy khái quát một định lí
(dự đoán) về dấu của nhị thức bậc nhất so với dấu của hệ số a của nó?
Dự kiến HS trả lời: Phát biểu định lí như trong SGK.
GV hướng dẫn HS chứng minh định lí và tóm tắt định lí theo bảng sau:
Để củng cố định lí GV có thể yêu cầu HS hãy xét dấu biểu thức sau:
3
)2)(1(
)(



x
xx
xf
Ví dụ 2.7: Định lí về tính chất các số hạng của cấp số cộng [7, tr. 95]
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình
cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
2
11  
 kk
k
uu
u với 2k .
Để dẫn dắt HS đưa ra được công thức về tính chất các số hạng của cấp số cộng
ở dạng khái quát như định lí trên thì GV có thể tiến hành các hoạt động như sau:
GV: Cho hai dãy số: )( nu với 13  nun và )( nv với nvn 23  .
Hãy thực hiện các yêu cầu sau:
Yêu cầu 1: Chứng minh rằng các dãy số )( nu , )( nv là cấp số cộng?
Dự kiến HS trả lời:
Ta có:     33131)1(3 11   nnnn uunnuu , *Nn
Vậy )( nu là một cấp số cộng.
    2223)1(23 11   nnnn uunnvv , *Nn