Dokumen ini membahas tentang transformasi koordinat yang mencakup translasi sumbu dan putaran sumbu. Translasi sumbu melibatkan perubahan titik asal tanpa mengubah arah sumbu, sedangkan putaran sumbu mengubah arah sumbu tanpa mengubah titik asal. Diberikan contoh soal dan penyelesaian untuk kedua jenis transformasi tersebut.

1. TUGAS GEONAL DATAR
TRANSFORMASI KOORDINAT
Dosen pembimbing :
Yuni Katminingsih, S.Pd, M.Pd
disusun oleh :
ERICH RINIKA (10.1.01.05.0085)
M.TAUFIQQULATIF (10.1.01.05.0148)
MARIA TIRTA BUWANA (10.1.01.05.0154)
MARTINI (10.1.01.05.0155)
METI SUSANTI (10.1.01.05.0157)
MOHAMAD NUR FAUZI (10.1.01.05.0164)
NANDA HENING PRASASTI (10.1.01.05.0172)
NORA(10.1.01.05.0180)
Program Sarjana S1 FKIP Matematika
Universitas Nusantara PGRI Kediri

2. TRANSFORMASI KOORDINAT
77.Translation sumbu. Dalam bab XI telah membahas persamaan lingkaran,
kita lihat bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal adalah
x ² + y ² = r ²
Dimana, untuk lingkaran dengan pusat di (α, β), persamaan menjadi
(x-α) ² + (y-β) ² = r ²
Hal ini sangat jelas bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal
diasumsikan sebagai bentuk sederhana dari yang diasumsikan ketika pusat tidak
pada titik titik asal. Diperoleh titik puncak yang sama untuk elips dan hiperbola,
dan juga untuk parabola jika kita mempertimbangkan puncak di tempat pusat.
Oleh karena itu,kurva dengan pusat atau beberapa titik lain tidak di titik asal, itu
akan sangat mudah jika kita memindahkan sumbu koordinat sedemikian rupa
sehingga titik titik asal akan berimpit dengan titik tersebut, dan sumbu koordinat
akan bertepatan dengan sumbu kurva. Ada dua gerakan yang terlibat: translasi,
atau memindahkan sumbu koordinat sejajar dengan diri mereka sendiri, dan
rotasi, atau memutar sumbu sekitar titik.
langkah pertama kita akan mentranslasikan, dan melibatkan perubahan titik
titik asal tanpa mengubah arah dari sumbu.
Kami diberi dua garis sumbu (gambar 79): garis awal, OX dan OY, dengan titik
asal di O (0,0), dan satu garis baru, CX dan CY, dengan titik asal di C (h, k).
kita diberikan, juga, titik P, yang disebut koordinat sumbu awal adalah
x= OA dan y= AP, merupakan titik koordinat pada sumbu baru dengan x’=CB
dan y’= BP. Kita dapat tentukan hubungan antara jumlah pertama dan terakhir.
X
X’
Y
Y’
P
C ( h,k)
O(0,0) D A

3. Kami mempunyai:
OA = OD + DA
atau
X = h + x '
juga:
AP = AB + BP,
atau
Y = k + y '
Oleh karena itu kita mempunyai persamaan translasi:
x=h + x’
y= k + y’
Hal ini cukup jelas, kemudian, jika kita mempunyai persamaan kurva dimana
garis-garis sumbu,sejajar dengan sumbu yang diberikan dengan titik awal di (h,
k) diperoleh dengan mengganti x dengan x ' +h dan y dengan y '+ k.
Contoh 1:
Tentukan persamaan lingkaran:
x2 + y2 – 6z + 2y - 6 = 0
210
Disebut sumbu translasi melalui (3,-1)
Dari x = x’ + 3
Dan y = y’ – 1
Kita subtitusi dalam persamaan lingkaran dan kita dapatkan:
x’2 + 6x’ + 9 + y’2 - 2y’ + 1 – 6x’ – 18 + 2y’ – 2 – 6 = 0
setelah menyerdehanakan hasilnya, kita tentukan:
x’2 + y’2 =16
contoh 2:
Mengeliminasi persaman pertama dari persaman berikut ini:
x2 + y2 -2x + 4y – 4 = 0
dengan x = x’ + h
dan y = y’ + k
kemudian subtitusi persamaan diatas ke persaman awal, kita mendapatkan:
x’2 + 2hx’ + h2 + y’2 + 2ky’ + k2
-2x’ – 2h + 4y’ + 4k – 4 = 0

4. ( catatan : merubah persamaan pertama = 0)
Ambil persaman pertama:
x’(2h – 2),
y’(2k + 4).
2h – 2 = 0
2k + 4 = 0
Atau
h= 1
k= -2
subtitusi lagi:
x’2 + y’2 + 1 + 4 – 2 – 8 – 4 = 0,
akhirnya x’2 + y’2 = 9
Kita mungkin dapat memecahkan contoh 2 b dengan cara lain, ditunjukkan
dalam contoh berikutnya:
211
Contoh 3
Mengubah istilah tingkat pertama dari berikut
푥2 + 푦2 – 2x + 4y- 4 = 0
Menyelesaikan soal diats bisa ubah menjadi:
(푥 - 1 )2 + (푦 + 2)2 = 9
Diketahui 푥 - 1 =푦′
Dan 푦 + 2 =푦′
Atau 푥 =푦′ + 1
Dan 푦 =푦′ - 2
Maka h =1
K =-2

5. SOAL
1. Tentukan koordinat dari titik (1,3), (-2,5), dan (3, -2) dan melalui sumbu
translasi (1, -3)
2. Tentukan koordinat dari titik (-1, 2) ,(3,-2), dan (x,y) yang melalui sumbu
translasi (3, -2)
3. Tentukan persamaan garis x-2y – 6 = 0 danmelalui sumbu translasi (2, -2)
4. Tentukan persamaan kurva x2 + y2 -4x + 6y -12 =0 dan melalui sumbu
translasi (2,-3)
5. Tentukan persamaan kurva x2 + 2y2+ 2x- 12y + 17 = 0 dan melalui
sumbu translasi (-1, 3)
6. Tentukan persamaan dari kurva 3x2 – 4y2 – 16 y – 6x -25 = 0 dan melalui
sumbu translasi (1,2)
7. Dari soal diatas , mengubah persaman dari x2 + y2 -2x + 4y -3 =0
8. Dari soal diatas , mengubah persamaan konstanta dalam x dari x2 + 4y –
8y + 12 = 0
9. Tentukan nilai-nilai dari h dan k yang akan mengubah istilah konstan dari
: 2x – 3y – 4 = 0. adalah nilai yang diperoleh?
10. Dari translasi sumbu,kita memperoleh persamaan berikut :
a)
(푥−훼 )²
푎2 + (푦−훽)²
푏2 = 1
b) (푥 − 훼)2 = 4훼(푦 − 훽)2
(푥−훼 )²
c)
푎2 − (푦−훽)²
푏2 = 1
212
Transformasi koordinat
 78. Sumbu putar. Sekarang kita akan mengubah arah sumbu tanpa
mengubah titik asal. Kita putar sumbu melalui sudut Ф. OX dan OY
biarkan menjadi garis awal sumbu-sumbu koordinat OX’ dan OY’, satu
garis baru,dengan sudut dimana sumbu awal harus diputar, dengan titik
asal O, bertepatan dengan sumbu baru (gambar 80). Misalkan P menjadi
titik yang koordinat sebagai sumbu awal sehingga x = OA dan y = AP,
dan koordinat sumbu baru x’ = OB dan y’ = BP penurunan garis tegak
lurus dari B ke AP dan OX.

6. X’
X
Y’ Y
P
D
B
O A E
Kemudian
x = OA
= OE – AE
= OE – DB
= OB cos Ф – BP sin Ф
= x’ cos Ф – y’ sin Ф
Dengan cara yang Sama maka:
y = AP
= AD + DP
= EB + DP
= OB sin Ф + BP cos Ф
= x’ sin Ф + y’ cos Ф
Maka kita mempunyai persamaan sumbu putar
213
x = x’ cos Ф – y’ sin Ф
y = x’ sin Ф + y’ cos Ф
Oleh sumbu putar , mengeliminasi istilah dalam dari : 3푥 + 4푦 − 10 = 0

7. Mengganti persamaan dari putaran ,dengan mempunyai :
3(푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅ ) + 4 (푥′ sin∅ + 푦′ cos ∅)-10 =0
Atau :
푥′ ( 3 cos ∅ + 4 sin ∅ ) + 푦′ (4 cos ∅ − 3 sin ∅) − 10 = 0
(Catatan : Untuk istilah dalam menghilangkan 푦′ , koefisian harus sama
dengan nol )
Oleh karena itu :
4 cos ∅ − 3 sin ∅= 0,
Atau:
sin ∅
cos ∅
=
4
3
Lalu:
Tan ∅ = 4
3
Oleh karena itu :
Sin ∅ = 4
5
Cos ∅ =
3
5
Dari sini, dapat diperoleh :
9
5
푥′ (
+
16
5
) + 푦′ (
12
5
-
12
5
) – 10 = 0
Atau: 5푥′ - 10 = 0
Atau: 푥′ = 2.
SOAL
1. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푥 dari : 3푥 − 4푦 -6 =
0

8. 2. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 5푥 + 12푦 - 7
= 0
3. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 푥2 + 푦2 - 2푥 -
2푦 = 0
4. Setelah sumbu yang diputar melalui 30 °, tentukan persamaan garis
3푥 - 2푦 + 6 = 0
5. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan garis
3푥 + 3푦 - 10 = 0
214
6. Setelah sumbu yang diputar melalui 90 °, tentukan persamaan
lingkaran 푥2 + 푦2 = 25
7. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan
lingkaran 푥2 + 푦2 =25
8. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva
푥푦 = 6.
9. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva
푥푦 = 4.
10.Mengeliminasi persamaan dari 푥푦 =10
79. Mengeliminasi persamaan dari 푥푦. Dalam empat bab
sebelumnya , telah membahas berbagai jenis persamaan dari 푥푦 tidak
mengandung persamaan. Dan kurva yang dihasilkan dari jenis ini. Kami
mengusulkan untuk menunjukkan bahwa ada sebuah transformasi yang
selalu akan mengeliminasi persamaan dari 푥푦 yang paling umum dalam
derajat dua; misalnya :
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0
Jadi, Setelah dikurangi persamaan satu dengan yang telah
diketahui, cara ini memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan
derajat dua. Kemudian kita transformasi sebuah persamaan
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 +퐸푦 + 퐹 = 0
Mensubtitusikan dalam persamaan nilai – nilai berikut:
푥 = 푥′ cos ∅ - 푦′ sin ∅,
푦 =푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅
Setelah dapat , mengumpulkan persyaratan ,

9. 푥′(퐴 푐표푠2 ∅ + 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶 푠푖푛2 ∅ )
+ 푥′푦′ (퐵 푐표푠2 ∅ - 퐵 푠푖푛2 ∅ + 2퐶 sin ∅ cos ∅ -2퐴 sin ∅ cos ∅
)
+푦′2 (퐴 푠푖푛2 ∅ - 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶푐표푠2 ∅ )
+푥′ ( 퐷 cos ∅ + 퐸 sin ∅)
+푦′ ( 퐸 cos ∅ - 퐷 sin ∅ )
+ f = 0
215
GEOMETRI ANALITIK
(Catatan : istilah x’ y’ dapat dieliminasi, koefisien harus sama dengan 0 )
Selanjutnya :
2 2
cos sin   2sin 0
B     AC  
Tapi, dari contoh 35,
cos sin 2 2 2   ,
dan
2sin cos  sin 2 ,
Untuk itu :
cos2  (C)sin 2 ,
atau :
sin 2 .
B

A C


cos2

Selanjutnya kita harus mengikuti transformation

10. B

A C
tan 2 
Dalam contoh umum, kita membutuhkan nilai dari sin dan cos,
untuk mensubtitusikan dalam rumus rotasi. Banyak nilai yang mudah ditentukan
dari perbedaan dari garis tengah sudut (Bagian 36) yaitu :
1 cos 2
2
sin



 ,
1 cos 2
2
cos



 .
Sebelum meneruskan contoh diatas, mari kita buat beberapa pengamatan
dengan memperhatikan bahan diatas. Pertama-tama, translasikan dan rumus
rotasi dari Bagian 78 adalah derajat pertama; selanjutnya, ketika rumus rotasi
tersubtitusi dalam persamaan, derajat persamaan pasti tidak tinggi. Lagipula,
derajatnya tidak rendah; untuk itu, ketika mensubtitusikan lebih lanjut untuk
memperbaiki awalnya akan menghasilkan persamaan derajat rendah dibanding
awalnya.
216
Demikian derajat persamaan sisanya tidak berubah dengan transformasi
koordinat.
Untuk itu ikutilah, dengan persamaan transformasi berikut
B

A C
tan 2 
,
Persamaan umum dari derajat kedua
0 2 2 2 Ax  Bx C y  Dx Ey  F 
mungkin sisanya menjadi bentuk

11. 퐴 ′푥 ′ ퟐ + 퐵′푥′ 2
+ 퐶′푦′ 2
+ 퐷′푥′ + 퐸′푦′ + 퐹′ = 0
Dimana A’ dan C ‘ keduanya tidak boleh 0
X
X’
Y
Y’
O
Y’
Y
X
X’

Bagaimanapun, kita sebelumnya harus menunjukan bahwa persamaan ini
selalu mewakili beberapa tipe dari conic, termasuk; imajinasi,atau nilai conic.
Selanjutnya dikatakan : garis derajat kedua persamaan mewakili conic, dan
garis conic terwakili oleh persamaan dari derajat kedua.
Situasi yang khas tergambarkan oleh angka bulat
217
Dalam P titik asal 80, kita akan menunjukkan bagaimana jenis kerucut
mungkin ditentukan oleh hubungan tertentu di antara koefisien A, B, dan C.
Contoh 1
Hapus istilah 푥푦 dari : 5푥2 − 4푥푦 + 2푦2 = 6
Di sini, A = 5, B = -4, danC = 2
Oleh karena itu :
tan 2∅ =
−4
5 − 2
= −
4
3
Oleh karena itu :
sin 2∅ =
4
5

12. cos 2∅ = −
3
5
(Karena kita asumsikan ∅ sebagai akut dalam contoh ini, 2∅ demikian di
kuadran kedua.) Lalu:
3
5
2
sin ∅ = √1 +
= √
8
10
= √
4
5
3
5
2
cos ∅ = √1 −
= √
2
10
= √
1
5
Mensubstitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai:
5 (푥′√
1
5
− 푦′√
4
5
)
2
− 4 (푥′√
1
5
− 푦′√
4
5
) (푥′√
4
5
+ 푦′√
1
5
)
4
5
+ 2 (푥′√
1
5
+ 푦′√
2
)
= 6
atau
푥′2 + 6푦′2 = 6
Persamaan ini dalam bentuk elips.
Contoh 2
Hapus istilah xy dari: 푥푦 = 푘
Di sini, A = 0, B = 1, danC = 0

13. Oleh karena itu :
tan 2∅ =
1
0
= ∞
Oleh karena itu :
2∅ = 90°
atau :
∅ = 45°
218
TRANSFORMASI KOORDINAT
substitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai:
푥′
√2
(
−
푦′
√2
푥′
√2
) (
+
푦′
√2
) = 푘
atau :
1
2
(푥′ − 푦′)(푥′ + 푦′) = 푘
atau :
푥′2 − 푦′ 2
= 2푘
Persamaan ini dalam bentuk hiperbola sama sisi dengan sumbu-sumbu
koordinat sebagai asimtot
CONTOH
Eliminasi istilah 푥푦 , dan menentukan jenis kurva di garisiap berikut.
mengingat:
1. 푥푦 = 4
2. 2 푥푦 = −7
3. 푥2 + 3푥푦 − 3푦2 − 4 = 0
4. 5푥2 − 6푥푦 + 5푦2 − 8 = 0

14. 5. 푥2 + 4푥푦 + 푦2 = 2
6. 3푥2 − 3푥푦 − 푦2 = 10
7. 푥2 + 푥푦 − 5푥 − 3푦 + 6 = 0
8. 푥2 − 4푥푦 + 4푦2 − 4푥 − 2푦 + 8 = 0
9. 푥2 − 2푥푦 + 2푦2 − 2푥 = 0
10. 푦2 + 푥푦 − 2푥2 − 4 = 0
11. 푦2 − 2푥푦 + 2푥 = 0
12. 8푥2 + 12푥푦 + 17푦2 − 20 = 0
13. 푥2 + 2푥푦 + 푦2 + 2푥 + 6푦 = 0
14. 3푥2 + 4푥푦 + 6푥 + 4푦 − 1 = 0
15. 푥2 + 24푥푦 − 6푦2 − 30 = 0
80. Invariants; klasifikasi jenis conics. Dalam bagian ini kita akan tentukan
bagaimana menentukan sekilas, oleh hubungan tertentu antara tiga koefisien A,
B, dan C, jenis kerucut diwakili oleh persamaan
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0
Perhatikan persamaan di atas sehubungan dengan rumus rotasi:
푥 = 푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅
푦 = 푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅
219
GEOMETRI ANALITIS
Subtitusikan dalam persamaan awal, maka kita memperoleh:
A'x2 + B'x'y' + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0,
dimana, dalam bagian 79
(1) A' = A cos2 ø + B sin ø cos + C sin2 ø

15. (2) B' = B cos 2ø – (A – C) sin 2ø
(3) C' = A sin2 ø – B sin ø cos + C cos2 ø
Dan
D' = D cos ø + E sin ø
E' = E cos ø – D sin ø
F' = F
(Pada hubungan tiga relasi tidak diperlukan dalam masalah khusus kita.)
Kita akan menemukan beberapa hubungan yang menarik yang ada antara A, B,
C dan A ', B', C '.
Menambahkan persamaan (1) dan (3), kita memperoleh:
A' + C' = A (cos2 ø + sin2 ø ) + C (cos2 ø + sin2 ø ),
Atau :
(4) A' + C' = A + C.
Amati bahwa hubungan antara kuantitas prima, A '+ C', sama dengan hubungan
yang sama antara jumlah unprimed, A C + Kami menyebutnya A + C invarian.
Sekarang kita akan memperoleh dua invariants lainnya. Mengurangkan (3) dari
(1), kita memiliki:
A' – C' = (A – C) (cos2 ø – sin2 ø ) + 2B sin ø cos ø ,
Atau:
(5) A' – C' = (A – C) cos 2ø + B sin 2ø.
Amati bahwa (A - C) bukan merupakan invarian. Tetapi jika kita persegi (5),
tambahkan '2 ke sisi kiri dari persamaan, dan kemudian menambahkan nilai dari
B' B 2 dari (2) ke sisi kanan persamaan, kita memperoleh:

16. (A' – C')2 + B' 2 =
(A –C)2 cos 2 2ø + 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 sin2 2ø
+ (A – C)2 sin2 2ø – 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 cos2 2ø,
220
TRANSFORMASI KOORDINAT
Atau:
(6) (A' – C')2 + B' 2 = (A – C)2 + B
Jadi kita memiliki invarian: (A - C) 2 + B2.
Akhirnya, persegi (4), dan kemudian kurangi dari (6). Persamaan yang
dihasilkan
A' 2 - 2A'C' + C' 2 + B' 2 – A' 2 – 2A'C' – C' 2
= A2 – 2AC + C2 + B2 – A2 – 2AC – C2,
Atau:
(7) B' 2 – 4A'C' = B2 – 4AC.
Oleh karena itu c - 4ac adalah suatu varian.
Selain itu, b 2 invarian - 4ac yang akan menentukan berbagai jenis conics.
Pertimbangan tranformation yaitu
tan 2ø =
diterapkan untuk persamaan derajat umum kedua. Kita tahu, dari Bagian 79,
bahwa 'B = 0. Oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan dari derajat kedua
adalah:
(8) A'x' 2 + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0;

17. dan (7) menjadi:
(9) B2 - 4AC = - 4A'C'.
Sekarang, jika salah satu A 'atau C' adalah nol, (8) mewakili parabola. Namun,
dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac = 0. Sekali lagi, jika A 'dan C' memiliki tanda
yang sama, (8) mewakili elips. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah
negatif. Akhirnya, jika A 'dan C' memiliki tanda yang berlawanan, (8)
merupakan hiperbola. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah positif.
Proses ini juga reversibel.
Oleh karena itu kami memiliki:
Parabola : B2 – 4AC = 0
Ellipse : B2 – 4AC < 0
Hyperbola : B2 – 4AC > 0
221
GEOMETRI ANALITIS
Dalam rumus diatas, harus dipahami bahwa menurun dan kasus imajiner
disertakan.
Contoh
Klasifikasi : 3푥2 - 4푥푦 - 2푦2 +푥 –푦 – 3 = 0
Disini , 퐴 =3 ,퐵 = -4, dan 퐶 = -2
Oleh karena itu 퐵2 – 4 퐴퐶 = 16- 4(3)(-2)
= 16 + 24
= 40
Oleh karena itu istilah hiperbola suatu.
CONTOH
Klasifikasikan :

18. 1. 3 푥2 -2푥푦 + 4푦2 -7푥 + 3 푦 - 10 = 0
2. 푥2 + 푥푦 - 푦2 +푥 – 푦 - 6 = 0
3. 2 푥2 + 4 푥푦 + 2푦2 = 9.
4. 푥2 + 3 푥푦 -푦2 + 2푥 – 푦 - 4 = 0
5. 2 푥2 + 4푥푦 + 푦2 - 5 =0
6. 3 푥푦 - 2푥 + 푦 -6 =0
7. 3푥2 + 3 푦2 – 푥 - 2푦 - 4 =0
8. (푥 + 2 푦)2
= 4푥
9. ( 푥 + 2 푦)2
=4.
10. 푥푦 + 3푦2 -2푥 + 푦 - 3 = 0
222