SlideShare a Scribd company logo
TUGAS GEONAL DATAR 
TRANSFORMASI KOORDINAT 
Dosen pembimbing : 
Yuni Katminingsih, S.Pd, M.Pd 
disusun oleh : 
ERICH RINIKA (10.1.01.05.0085) 
M.TAUFIQQULATIF (10.1.01.05.0148) 
MARIA TIRTA BUWANA (10.1.01.05.0154) 
MARTINI (10.1.01.05.0155) 
METI SUSANTI (10.1.01.05.0157) 
MOHAMAD NUR FAUZI (10.1.01.05.0164) 
NANDA HENING PRASASTI (10.1.01.05.0172) 
NORA(10.1.01.05.0180) 
Program Sarjana S1 FKIP Matematika 
Universitas Nusantara PGRI Kediri
TRANSFORMASI KOORDINAT 
77.Translation sumbu. Dalam bab XI telah membahas persamaan lingkaran, 
kita lihat bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal adalah 
x ² + y ² = r ² 
Dimana, untuk lingkaran dengan pusat di (α, β), persamaan menjadi 
(x-α) ² + (y-β) ² = r ² 
Hal ini sangat jelas bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal 
diasumsikan sebagai bentuk sederhana dari yang diasumsikan ketika pusat tidak 
pada titik titik asal. Diperoleh titik puncak yang sama untuk elips dan hiperbola, 
dan juga untuk parabola jika kita mempertimbangkan puncak di tempat pusat. 
Oleh karena itu,kurva dengan pusat atau beberapa titik lain tidak di titik asal, itu 
akan sangat mudah jika kita memindahkan sumbu koordinat sedemikian rupa 
sehingga titik titik asal akan berimpit dengan titik tersebut, dan sumbu koordinat 
akan bertepatan dengan sumbu kurva. Ada dua gerakan yang terlibat: translasi, 
atau memindahkan sumbu koordinat sejajar dengan diri mereka sendiri, dan 
rotasi, atau memutar sumbu sekitar titik. 
langkah pertama kita akan mentranslasikan, dan melibatkan perubahan titik 
titik asal tanpa mengubah arah dari sumbu. 
Kami diberi dua garis sumbu (gambar 79): garis awal, OX dan OY, dengan titik 
asal di O (0,0), dan satu garis baru, CX dan CY, dengan titik asal di C (h, k). 
kita diberikan, juga, titik P, yang disebut koordinat sumbu awal adalah 
x= OA dan y= AP, merupakan titik koordinat pada sumbu baru dengan x’=CB 
dan y’= BP. Kita dapat tentukan hubungan antara jumlah pertama dan terakhir. 
X 
X’ 
Y 
Y’ 
P 
C ( h,k) 
O(0,0) D A
Kami mempunyai: 
OA = OD + DA 
atau 
X = h + x ' 
juga: 
AP = AB + BP, 
atau 
Y = k + y ' 
Oleh karena itu kita mempunyai persamaan translasi: 
x=h + x’ 
y= k + y’ 
Hal ini cukup jelas, kemudian, jika kita mempunyai persamaan kurva dimana 
garis-garis sumbu,sejajar dengan sumbu yang diberikan dengan titik awal di (h, 
k) diperoleh dengan mengganti x dengan x ' +h dan y dengan y '+ k. 
Contoh 1: 
Tentukan persamaan lingkaran: 
x2 + y2 – 6z + 2y - 6 = 0 
210 
Disebut sumbu translasi melalui (3,-1) 
Dari x = x’ + 3 
Dan y = y’ – 1 
Kita subtitusi dalam persamaan lingkaran dan kita dapatkan: 
x’2 + 6x’ + 9 + y’2 - 2y’ + 1 – 6x’ – 18 + 2y’ – 2 – 6 = 0 
setelah menyerdehanakan hasilnya, kita tentukan: 
x’2 + y’2 =16 
contoh 2: 
Mengeliminasi persaman pertama dari persaman berikut ini: 
x2 + y2 -2x + 4y – 4 = 0 
dengan x = x’ + h 
dan y = y’ + k 
kemudian subtitusi persamaan diatas ke persaman awal, kita mendapatkan: 
x’2 + 2hx’ + h2 + y’2 + 2ky’ + k2 
-2x’ – 2h + 4y’ + 4k – 4 = 0
( catatan : merubah persamaan pertama = 0) 
Ambil persaman pertama: 
x’(2h – 2), 
y’(2k + 4). 
2h – 2 = 0 
2k + 4 = 0 
Atau 
h= 1 
k= -2 
subtitusi lagi: 
x’2 + y’2 + 1 + 4 – 2 – 8 – 4 = 0, 
akhirnya x’2 + y’2 = 9 
Kita mungkin dapat memecahkan contoh 2 b dengan cara lain, ditunjukkan 
dalam contoh berikutnya: 
211 
Contoh 3 
Mengubah istilah tingkat pertama dari berikut 
푥2 + 푦2 – 2x + 4y- 4 = 0 
Menyelesaikan soal diats bisa ubah menjadi: 
(푥 - 1 )2 + (푦 + 2)2 = 9 
Diketahui 푥 - 1 =푦′ 
Dan 푦 + 2 =푦′ 
Atau 푥 =푦′ + 1 
Dan 푦 =푦′ - 2 
Maka h =1 
K =-2
SOAL 
1. Tentukan koordinat dari titik (1,3), (-2,5), dan (3, -2) dan melalui sumbu 
translasi (1, -3) 
2. Tentukan koordinat dari titik (-1, 2) ,(3,-2), dan (x,y) yang melalui sumbu 
translasi (3, -2) 
3. Tentukan persamaan garis x-2y – 6 = 0 danmelalui sumbu translasi (2, -2) 
4. Tentukan persamaan kurva x2 + y2 -4x + 6y -12 =0 dan melalui sumbu 
translasi (2,-3) 
5. Tentukan persamaan kurva x2 + 2y2+ 2x- 12y + 17 = 0 dan melalui 
sumbu translasi (-1, 3) 
6. Tentukan persamaan dari kurva 3x2 – 4y2 – 16 y – 6x -25 = 0 dan melalui 
sumbu translasi (1,2) 
7. Dari soal diatas , mengubah persaman dari x2 + y2 -2x + 4y -3 =0 
8. Dari soal diatas , mengubah persamaan konstanta dalam x dari x2 + 4y – 
8y + 12 = 0 
9. Tentukan nilai-nilai dari h dan k yang akan mengubah istilah konstan dari 
: 2x – 3y – 4 = 0. adalah nilai yang diperoleh? 
10. Dari translasi sumbu,kita memperoleh persamaan berikut : 
a) 
(푥−훼 )² 
푎2 + (푦−훽)² 
푏2 = 1 
b) (푥 − 훼)2 = 4훼(푦 − 훽)2 
(푥−훼 )² 
c) 
푎2 − (푦−훽)² 
푏2 = 1 
212 
Transformasi koordinat 
 78. Sumbu putar. Sekarang kita akan mengubah arah sumbu tanpa 
mengubah titik asal. Kita putar sumbu melalui sudut Ф. OX dan OY 
biarkan menjadi garis awal sumbu-sumbu koordinat OX’ dan OY’, satu 
garis baru,dengan sudut dimana sumbu awal harus diputar, dengan titik 
asal O, bertepatan dengan sumbu baru (gambar 80). Misalkan P menjadi 
titik yang koordinat sebagai sumbu awal sehingga x = OA dan y = AP, 
dan koordinat sumbu baru x’ = OB dan y’ = BP penurunan garis tegak 
lurus dari B ke AP dan OX.
X’ 
X 
Y’ Y 
P 
D 
B 
O A E 
Kemudian 
x = OA 
= OE – AE 
= OE – DB 
= OB cos Ф – BP sin Ф 
= x’ cos Ф – y’ sin Ф 
Dengan cara yang Sama maka: 
y = AP 
= AD + DP 
= EB + DP 
= OB sin Ф + BP cos Ф 
= x’ sin Ф + y’ cos Ф 
Maka kita mempunyai persamaan sumbu putar 
213 
x = x’ cos Ф – y’ sin Ф 
y = x’ sin Ф + y’ cos Ф 
Oleh sumbu putar , mengeliminasi istilah dalam dari : 3푥 + 4푦 − 10 = 0
Mengganti persamaan dari putaran ,dengan mempunyai : 
3(푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅ ) + 4 (푥′ sin∅ + 푦′ cos ∅)-10 =0 
Atau : 
푥′ ( 3 cos ∅ + 4 sin ∅ ) + 푦′ (4 cos ∅ − 3 sin ∅) − 10 = 0 
(Catatan : Untuk istilah dalam menghilangkan 푦′ , koefisian harus sama 
dengan nol ) 
Oleh karena itu : 
4 cos ∅ − 3 sin ∅= 0, 
Atau: 
sin ∅ 
cos ∅ 
= 
4 
3 
Lalu: 
Tan ∅ = 4 
3 
Oleh karena itu : 
Sin ∅ = 4 
5 
Cos ∅ = 
3 
5 
Dari sini, dapat diperoleh : 
9 
5 
푥′ ( 
+ 
16 
5 
) + 푦′ ( 
12 
5 
- 
12 
5 
) – 10 = 0 
Atau: 5푥′ - 10 = 0 
Atau: 푥′ = 2. 
SOAL 
1. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푥 dari : 3푥 − 4푦 -6 = 
0
2. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 5푥 + 12푦 - 7 
= 0 
3. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 푥2 + 푦2 - 2푥 - 
2푦 = 0 
4. Setelah sumbu yang diputar melalui 30 °, tentukan persamaan garis 
3푥 - 2푦 + 6 = 0 
5. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan garis 
3푥 + 3푦 - 10 = 0 
214 
6. Setelah sumbu yang diputar melalui 90 °, tentukan persamaan 
lingkaran 푥2 + 푦2 = 25 
7. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan 
lingkaran 푥2 + 푦2 =25 
8. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva 
푥푦 = 6. 
9. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva 
푥푦 = 4. 
10.Mengeliminasi persamaan dari 푥푦 =10 
79. Mengeliminasi persamaan dari 푥푦. Dalam empat bab 
sebelumnya , telah membahas berbagai jenis persamaan dari 푥푦 tidak 
mengandung persamaan. Dan kurva yang dihasilkan dari jenis ini. Kami 
mengusulkan untuk menunjukkan bahwa ada sebuah transformasi yang 
selalu akan mengeliminasi persamaan dari 푥푦 yang paling umum dalam 
derajat dua; misalnya : 
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0 
Jadi, Setelah dikurangi persamaan satu dengan yang telah 
diketahui, cara ini memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan 
derajat dua. Kemudian kita transformasi sebuah persamaan 
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 +퐸푦 + 퐹 = 0 
Mensubtitusikan dalam persamaan nilai – nilai berikut: 
푥 = 푥′ cos ∅ - 푦′ sin ∅, 
푦 =푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅ 
Setelah dapat , mengumpulkan persyaratan ,
푥′(퐴 푐표푠2 ∅ + 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶 푠푖푛2 ∅ ) 
+ 푥′푦′ (퐵 푐표푠2 ∅ - 퐵 푠푖푛2 ∅ + 2퐶 sin ∅ cos ∅ -2퐴 sin ∅ cos ∅ 
) 
+푦′2 (퐴 푠푖푛2 ∅ - 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶푐표푠2 ∅ ) 
+푥′ ( 퐷 cos ∅ + 퐸 sin ∅) 
+푦′ ( 퐸 cos ∅ - 퐷 sin ∅ ) 
+ f = 0 
215 
GEOMETRI ANALITIK 
(Catatan : istilah x’ y’ dapat dieliminasi, koefisien harus sama dengan 0 ) 
Selanjutnya : 
2 2 
cos sin   2sin 0 
B     AC   
Tapi, dari contoh 35, 
cos sin 2 2 2   , 
dan 
2sin cos  sin 2 , 
Untuk itu : 
cos2  (C)sin 2 , 
atau : 
sin 2 . 
B 
 
A C 
 
 
cos2 
 
Selanjutnya kita harus mengikuti transformation
B 
 
A C 
tan 2  
Dalam contoh umum, kita membutuhkan nilai dari sin dan cos, 
untuk mensubtitusikan dalam rumus rotasi. Banyak nilai yang mudah ditentukan 
dari perbedaan dari garis tengah sudut (Bagian 36) yaitu : 
1 cos 2 
2 
sin 
 
 
 
 , 
1 cos 2 
2 
cos 
 
 
 
 . 
Sebelum meneruskan contoh diatas, mari kita buat beberapa pengamatan 
dengan memperhatikan bahan diatas. Pertama-tama, translasikan dan rumus 
rotasi dari Bagian 78 adalah derajat pertama; selanjutnya, ketika rumus rotasi 
tersubtitusi dalam persamaan, derajat persamaan pasti tidak tinggi. Lagipula, 
derajatnya tidak rendah; untuk itu, ketika mensubtitusikan lebih lanjut untuk 
memperbaiki awalnya akan menghasilkan persamaan derajat rendah dibanding 
awalnya. 
216 
Demikian derajat persamaan sisanya tidak berubah dengan transformasi 
koordinat. 
Untuk itu ikutilah, dengan persamaan transformasi berikut 
B 
 
A C 
tan 2  
, 
Persamaan umum dari derajat kedua 
0 2 2 2 Ax  Bx C y  Dx Ey  F  
mungkin sisanya menjadi bentuk
퐴 ′푥 ′ ퟐ + 퐵′푥′ 2 
+ 퐶′푦′ 2 
+ 퐷′푥′ + 퐸′푦′ + 퐹′ = 0 
Dimana A’ dan C ‘ keduanya tidak boleh 0 
X 
X’ 
Y 
Y’ 
O 
Y’ 
Y 
X 
X’ 
 
Bagaimanapun, kita sebelumnya harus menunjukan bahwa persamaan ini 
selalu mewakili beberapa tipe dari conic, termasuk; imajinasi,atau nilai conic. 
Selanjutnya dikatakan : garis derajat kedua persamaan mewakili conic, dan 
garis conic terwakili oleh persamaan dari derajat kedua. 
Situasi yang khas tergambarkan oleh angka bulat 
217 
Dalam P titik asal 80, kita akan menunjukkan bagaimana jenis kerucut 
mungkin ditentukan oleh hubungan tertentu di antara koefisien A, B, dan C. 
Contoh 1 
Hapus istilah 푥푦 dari : 5푥2 − 4푥푦 + 2푦2 = 6 
Di sini, A = 5, B = -4, danC = 2 
Oleh karena itu : 
tan 2∅ = 
−4 
5 − 2 
= − 
4 
3 
Oleh karena itu : 
sin 2∅ = 
4 
5
cos 2∅ = − 
3 
5 
(Karena kita asumsikan ∅ sebagai akut dalam contoh ini, 2∅ demikian di 
kuadran kedua.) Lalu: 
3 
5 
2 
sin ∅ = √1 + 
= √ 
8 
10 
= √ 
4 
5 
3 
5 
2 
cos ∅ = √1 − 
= √ 
2 
10 
= √ 
1 
5 
Mensubstitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai: 
5 (푥′√ 
1 
5 
− 푦′√ 
4 
5 
) 
2 
− 4 (푥′√ 
1 
5 
− 푦′√ 
4 
5 
) (푥′√ 
4 
5 
+ 푦′√ 
1 
5 
) 
4 
5 
+ 2 (푥′√ 
1 
5 
+ 푦′√ 
2 
) 
= 6 
atau 
푥′2 + 6푦′2 = 6 
Persamaan ini dalam bentuk elips. 
Contoh 2 
Hapus istilah xy dari: 푥푦 = 푘 
Di sini, A = 0, B = 1, danC = 0
Oleh karena itu : 
tan 2∅ = 
1 
0 
= ∞ 
Oleh karena itu : 
2∅ = 90° 
atau : 
∅ = 45° 
218 
TRANSFORMASI KOORDINAT 
substitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai: 
푥′ 
√2 
( 
− 
푦′ 
√2 
푥′ 
√2 
) ( 
+ 
푦′ 
√2 
) = 푘 
atau : 
1 
2 
(푥′ − 푦′)(푥′ + 푦′) = 푘 
atau : 
푥′2 − 푦′ 2 
= 2푘 
Persamaan ini dalam bentuk hiperbola sama sisi dengan sumbu-sumbu 
koordinat sebagai asimtot 
CONTOH 
Eliminasi istilah 푥푦 , dan menentukan jenis kurva di garisiap berikut. 
mengingat: 
1. 푥푦 = 4 
2. 2 푥푦 = −7 
3. 푥2 + 3푥푦 − 3푦2 − 4 = 0 
4. 5푥2 − 6푥푦 + 5푦2 − 8 = 0
5. 푥2 + 4푥푦 + 푦2 = 2 
6. 3푥2 − 3푥푦 − 푦2 = 10 
7. 푥2 + 푥푦 − 5푥 − 3푦 + 6 = 0 
8. 푥2 − 4푥푦 + 4푦2 − 4푥 − 2푦 + 8 = 0 
9. 푥2 − 2푥푦 + 2푦2 − 2푥 = 0 
10. 푦2 + 푥푦 − 2푥2 − 4 = 0 
11. 푦2 − 2푥푦 + 2푥 = 0 
12. 8푥2 + 12푥푦 + 17푦2 − 20 = 0 
13. 푥2 + 2푥푦 + 푦2 + 2푥 + 6푦 = 0 
14. 3푥2 + 4푥푦 + 6푥 + 4푦 − 1 = 0 
15. 푥2 + 24푥푦 − 6푦2 − 30 = 0 
80. Invariants; klasifikasi jenis conics. Dalam bagian ini kita akan tentukan 
bagaimana menentukan sekilas, oleh hubungan tertentu antara tiga koefisien A, 
B, dan C, jenis kerucut diwakili oleh persamaan 
퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0 
Perhatikan persamaan di atas sehubungan dengan rumus rotasi: 
푥 = 푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅ 
푦 = 푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅ 
219 
GEOMETRI ANALITIS 
Subtitusikan dalam persamaan awal, maka kita memperoleh: 
A'x2 + B'x'y' + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0, 
dimana, dalam bagian 79 
(1) A' = A cos2 ø + B sin ø cos + C sin2 ø
(2) B' = B cos 2ø – (A – C) sin 2ø 
(3) C' = A sin2 ø – B sin ø cos + C cos2 ø 
Dan 
D' = D cos ø + E sin ø 
E' = E cos ø – D sin ø 
F' = F 
(Pada hubungan tiga relasi tidak diperlukan dalam masalah khusus kita.) 
Kita akan menemukan beberapa hubungan yang menarik yang ada antara A, B, 
C dan A ', B', C '. 
Menambahkan persamaan (1) dan (3), kita memperoleh: 
A' + C' = A (cos2 ø + sin2 ø ) + C (cos2 ø + sin2 ø ), 
Atau : 
(4) A' + C' = A + C. 
Amati bahwa hubungan antara kuantitas prima, A '+ C', sama dengan hubungan 
yang sama antara jumlah unprimed, A C + Kami menyebutnya A + C invarian. 
Sekarang kita akan memperoleh dua invariants lainnya. Mengurangkan (3) dari 
(1), kita memiliki: 
A' – C' = (A – C) (cos2 ø – sin2 ø ) + 2B sin ø cos ø , 
Atau: 
(5) A' – C' = (A – C) cos 2ø + B sin 2ø. 
Amati bahwa (A - C) bukan merupakan invarian. Tetapi jika kita persegi (5), 
tambahkan '2 ke sisi kiri dari persamaan, dan kemudian menambahkan nilai dari 
B' B 2 dari (2) ke sisi kanan persamaan, kita memperoleh:
(A' – C')2 + B' 2 = 
(A –C)2 cos 2 2ø + 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 sin2 2ø 
+ (A – C)2 sin2 2ø – 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 cos2 2ø, 
220 
TRANSFORMASI KOORDINAT 
Atau: 
(6) (A' – C')2 + B' 2 = (A – C)2 + B 
Jadi kita memiliki invarian: (A - C) 2 + B2. 
Akhirnya, persegi (4), dan kemudian kurangi dari (6). Persamaan yang 
dihasilkan 
A' 2 - 2A'C' + C' 2 + B' 2 – A' 2 – 2A'C' – C' 2 
= A2 – 2AC + C2 + B2 – A2 – 2AC – C2, 
Atau: 
(7) B' 2 – 4A'C' = B2 – 4AC. 
Oleh karena itu c - 4ac adalah suatu varian. 
Selain itu, b 2 invarian - 4ac yang akan menentukan berbagai jenis conics. 
Pertimbangan tranformation yaitu 
tan 2ø = 
diterapkan untuk persamaan derajat umum kedua. Kita tahu, dari Bagian 79, 
bahwa 'B = 0. Oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan dari derajat kedua 
adalah: 
(8) A'x' 2 + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0;
dan (7) menjadi: 
(9) B2 - 4AC = - 4A'C'. 
Sekarang, jika salah satu A 'atau C' adalah nol, (8) mewakili parabola. Namun, 
dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac = 0. Sekali lagi, jika A 'dan C' memiliki tanda 
yang sama, (8) mewakili elips. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah 
negatif. Akhirnya, jika A 'dan C' memiliki tanda yang berlawanan, (8) 
merupakan hiperbola. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah positif. 
Proses ini juga reversibel. 
Oleh karena itu kami memiliki: 
Parabola : B2 – 4AC = 0 
Ellipse : B2 – 4AC < 0 
Hyperbola : B2 – 4AC > 0 
221 
GEOMETRI ANALITIS 
Dalam rumus diatas, harus dipahami bahwa menurun dan kasus imajiner 
disertakan. 
Contoh 
Klasifikasi : 3푥2 - 4푥푦 - 2푦2 +푥 –푦 – 3 = 0 
Disini , 퐴 =3 ,퐵 = -4, dan 퐶 = -2 
Oleh karena itu 퐵2 – 4 퐴퐶 = 16- 4(3)(-2) 
= 16 + 24 
= 40 
Oleh karena itu istilah hiperbola suatu. 
CONTOH 
Klasifikasikan :
1. 3 푥2 -2푥푦 + 4푦2 -7푥 + 3 푦 - 10 = 0 
2. 푥2 + 푥푦 - 푦2 +푥 – 푦 - 6 = 0 
3. 2 푥2 + 4 푥푦 + 2푦2 = 9. 
4. 푥2 + 3 푥푦 -푦2 + 2푥 – 푦 - 4 = 0 
5. 2 푥2 + 4푥푦 + 푦2 - 5 =0 
6. 3 푥푦 - 2푥 + 푦 -6 =0 
7. 3푥2 + 3 푦2 – 푥 - 2푦 - 4 =0 
8. (푥 + 2 푦)2 
= 4푥 
9. ( 푥 + 2 푦)2 
=4. 
10. 푥푦 + 3푦2 -2푥 + 푦 - 3 = 0 
222

More Related Content

What's hot

Teori Group
Teori GroupTeori Group
Persamaan Bola
Persamaan BolaPersamaan Bola
Persamaan Bola
hafizah5
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksIpit Sabrina
 
Teori bilangan
Teori bilanganTeori bilangan
Teori bilangan
Dia Cahyawati
 
Geometri Analitik Ruang
Geometri Analitik RuangGeometri Analitik Ruang
Geometri Analitik Ruang
Febri Arianti
 
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaRangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Safira APM
 
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi KesebangunanRangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Nia Matus
 
geometri analitik ruang
geometri analitik ruanggeometri analitik ruang
geometri analitik ruang
ria angriani
 
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMKModul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
Abdullah Banjary
 
01 barisan-dan-deret
01 barisan-dan-deret01 barisan-dan-deret
01 barisan-dan-deret
Arif Nur Rahman
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)
Nia Matus
 
Rpp matematika SMA (lingkaran)
Rpp matematika SMA (lingkaran)Rpp matematika SMA (lingkaran)
Rpp matematika SMA (lingkaran)Heriyanto Asep
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Arvina Frida Karela
 
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
PutriIndahL
 
Rotasi Transformasi Geometri
Rotasi Transformasi GeometriRotasi Transformasi Geometri
Rotasi Transformasi Geometri
Kristalina Dewi
 
lingkaran kelas XI.pptx
lingkaran kelas XI.pptxlingkaran kelas XI.pptx
lingkaran kelas XI.pptx
ssuser146574
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Charro NieZz
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
Acika Karunila
 

What's hot (20)

Teori Group
Teori GroupTeori Group
Teori Group
 
Persamaan Bola
Persamaan BolaPersamaan Bola
Persamaan Bola
 
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi MatriksPembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
 
Teori bilangan
Teori bilanganTeori bilangan
Teori bilangan
 
Geometri Analitik Ruang
Geometri Analitik RuangGeometri Analitik Ruang
Geometri Analitik Ruang
 
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, HiperbolaRangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
Rangkuman Rumus Parabola, Elips, Hiperbola
 
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi KesebangunanRangkuman materi Transformasi Kesebangunan
Rangkuman materi Transformasi Kesebangunan
 
geometri analitik ruang
geometri analitik ruanggeometri analitik ruang
geometri analitik ruang
 
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMKModul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
Modul kd.3.20. Invers Fungsi dan Fungsi Komposisi SMA/SMK
 
01 barisan-dan-deret
01 barisan-dan-deret01 barisan-dan-deret
01 barisan-dan-deret
 
Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)Makalah geseran (translasi)
Makalah geseran (translasi)
 
Rpp matematika SMA (lingkaran)
Rpp matematika SMA (lingkaran)Rpp matematika SMA (lingkaran)
Rpp matematika SMA (lingkaran)
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.2
 
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
Permukaan Putar, Silinder dan Kerucut - Geometri Analitik Ruang (GAR)
 
Rotasi Transformasi Geometri
Rotasi Transformasi GeometriRotasi Transformasi Geometri
Rotasi Transformasi Geometri
 
Sistem Koordinat
Sistem Koordinat Sistem Koordinat
Sistem Koordinat
 
lingkaran kelas XI.pptx
lingkaran kelas XI.pptxlingkaran kelas XI.pptx
lingkaran kelas XI.pptx
 
Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2Analisis bab1 bab2
Analisis bab1 bab2
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4   kongruensi linierModul 4   kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
 

Viewers also liked

Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
guest6ea51d
 
Materi transformasi
Materi transformasiMateri transformasi
Materi transformasi
Adriana Dwi Ismita
 
Matematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsiMatematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsi
Siti Lestari
 
Rangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri TransformasiRangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri Transformasi
Indah Wijayanti
 
Makalah Transformasi Geometri
Makalah Transformasi GeometriMakalah Transformasi Geometri
Makalah Transformasi Geometri
renna yavin
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri
Dian Fery Irawan
 

Viewers also liked (7)

Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
Transformasi (Translasi, Rotasi Dan Dilatasi)
 
Materi transformasi
Materi transformasiMateri transformasi
Materi transformasi
 
Materi transformasi
Materi transformasiMateri transformasi
Materi transformasi
 
Matematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsiMatematika kelas xi turunan fungsi
Matematika kelas xi turunan fungsi
 
Rangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri TransformasiRangkuman Geometri Transformasi
Rangkuman Geometri Transformasi
 
Makalah Transformasi Geometri
Makalah Transformasi GeometriMakalah Transformasi Geometri
Makalah Transformasi Geometri
 
21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri21. soal soal transformasi geometri
21. soal soal transformasi geometri
 

Similar to materi Transformasi

Transformasi geometri andrie
Transformasi geometri andrieTransformasi geometri andrie
Transformasi geometri andrie
andriehasan
 
Lingkaran
Lingkaran Lingkaran
Lingkaran
fauz1
 
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdfpersamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
Kevinforeman11
 
Persamaan Trigonometri
Persamaan TrigonometriPersamaan Trigonometri
Persamaan Trigonometri
Fitria Maghfiroh
 
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 UngaranRotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
Alzena Vashti
 
Bab xxi transformasi geometri
Bab xxi transformasi geometriBab xxi transformasi geometri
Bab xxi transformasi geometri
hawir finec
 
persamaan trigonometri
persamaan trigonometripersamaan trigonometri
persamaan trigonometri
Andina Aulia Rachma
 
Geometri (Transformasi)
Geometri (Transformasi)Geometri (Transformasi)
Geometri (Transformasi)
Desy Aryanti
 
X persamaan dan pertidaksamaan
X persamaan dan pertidaksamaanX persamaan dan pertidaksamaan
X persamaan dan pertidaksamaan
MegaAntariksaRahmaPu
 
Transformasi geometri SMA
Transformasi geometri SMATransformasi geometri SMA
Transformasi geometri SMAIrhuel_Abal2
 
Transformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webTransformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webNineNy Anjell
 
Transformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webTransformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webNineNy Anjell
 
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptxTRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
RismaEstri
 
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptxTransformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
thamuz347
 
transformasi
transformasitransformasi
transformasi
GODFRIEDSALAMA
 
R5a kelompok 6
R5a kelompok 6R5a kelompok 6
R5a kelompok 6
matematikaunindra
 
Persamaan dan pertidaksamaan
Persamaan dan pertidaksamaanPersamaan dan pertidaksamaan
Persamaan dan pertidaksamaan
deepsypuss
 
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptxMatematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
GaryChocolatos
 

Similar to materi Transformasi (20)

Transformasi geometri andrie
Transformasi geometri andrieTransformasi geometri andrie
Transformasi geometri andrie
 
Lingkaran
Lingkaran Lingkaran
Lingkaran
 
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdfpersamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
persamaantrigonometri-150107023101-conversion-gate02.pdf
 
Persamaan Trigonometri
Persamaan TrigonometriPersamaan Trigonometri
Persamaan Trigonometri
 
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 UngaranRotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
Rotasi oleh Kelompok 4 XI MIA 3 SMA N 1 Ungaran
 
Bab xxi transformasi geometri
Bab xxi transformasi geometriBab xxi transformasi geometri
Bab xxi transformasi geometri
 
persamaan trigonometri
persamaan trigonometripersamaan trigonometri
persamaan trigonometri
 
Geometri (Transformasi)
Geometri (Transformasi)Geometri (Transformasi)
Geometri (Transformasi)
 
X persamaan dan pertidaksamaan
X persamaan dan pertidaksamaanX persamaan dan pertidaksamaan
X persamaan dan pertidaksamaan
 
Transformasi geometri SMA
Transformasi geometri SMATransformasi geometri SMA
Transformasi geometri SMA
 
Transformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webTransformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_web
 
Transformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_webTransformasi geometri kul 2_web
Transformasi geometri kul 2_web
 
Transformasi
TransformasiTransformasi
Transformasi
 
R5a kelompok 6
R5a kelompok 6R5a kelompok 6
R5a kelompok 6
 
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptxTRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
TRASFORMASI GEOMETRI MATEMATIKA KELAS X.pptx
 
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptxTransformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
Transformasi Geometri Matematika SMA kelas 11 part 1.pptx
 
transformasi
transformasitransformasi
transformasi
 
R5a kelompok 6
R5a kelompok 6R5a kelompok 6
R5a kelompok 6
 
Persamaan dan pertidaksamaan
Persamaan dan pertidaksamaanPersamaan dan pertidaksamaan
Persamaan dan pertidaksamaan
 
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptxMatematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
Matematika Dasar Pertaksamaan dan Nilai Mutlak.pptx
 

More from fauz1

Kartu soal
Kartu soalKartu soal
Kartu soal
fauz1
 
Format penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
Format penulisan soal Evaluasi hasil BelajarFormat penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
Format penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
fauz1
 
Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
Soal dan Penyelesaian tugas KalkulusSoal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
fauz1
 
Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)
fauz1
 
Bilangan Kompleks
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Bilangan Kompleks
fauz1
 
Perogram linier
Perogram linier Perogram linier
Perogram linier
fauz1
 
Pengujian hipotesis
Pengujian hipotesisPengujian hipotesis
Pengujian hipotesis
fauz1
 

More from fauz1 (7)

Kartu soal
Kartu soalKartu soal
Kartu soal
 
Format penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
Format penulisan soal Evaluasi hasil BelajarFormat penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
Format penulisan soal Evaluasi hasil Belajar
 
Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
Soal dan Penyelesaian tugas KalkulusSoal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
Soal dan Penyelesaian tugas Kalkulus
 
Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)Turunan (Differensial)
Turunan (Differensial)
 
Bilangan Kompleks
Bilangan KompleksBilangan Kompleks
Bilangan Kompleks
 
Perogram linier
Perogram linier Perogram linier
Perogram linier
 
Pengujian hipotesis
Pengujian hipotesisPengujian hipotesis
Pengujian hipotesis
 

materi Transformasi

  • 1. TUGAS GEONAL DATAR TRANSFORMASI KOORDINAT Dosen pembimbing : Yuni Katminingsih, S.Pd, M.Pd disusun oleh : ERICH RINIKA (10.1.01.05.0085) M.TAUFIQQULATIF (10.1.01.05.0148) MARIA TIRTA BUWANA (10.1.01.05.0154) MARTINI (10.1.01.05.0155) METI SUSANTI (10.1.01.05.0157) MOHAMAD NUR FAUZI (10.1.01.05.0164) NANDA HENING PRASASTI (10.1.01.05.0172) NORA(10.1.01.05.0180) Program Sarjana S1 FKIP Matematika Universitas Nusantara PGRI Kediri
  • 2. TRANSFORMASI KOORDINAT 77.Translation sumbu. Dalam bab XI telah membahas persamaan lingkaran, kita lihat bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal adalah x ² + y ² = r ² Dimana, untuk lingkaran dengan pusat di (α, β), persamaan menjadi (x-α) ² + (y-β) ² = r ² Hal ini sangat jelas bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal diasumsikan sebagai bentuk sederhana dari yang diasumsikan ketika pusat tidak pada titik titik asal. Diperoleh titik puncak yang sama untuk elips dan hiperbola, dan juga untuk parabola jika kita mempertimbangkan puncak di tempat pusat. Oleh karena itu,kurva dengan pusat atau beberapa titik lain tidak di titik asal, itu akan sangat mudah jika kita memindahkan sumbu koordinat sedemikian rupa sehingga titik titik asal akan berimpit dengan titik tersebut, dan sumbu koordinat akan bertepatan dengan sumbu kurva. Ada dua gerakan yang terlibat: translasi, atau memindahkan sumbu koordinat sejajar dengan diri mereka sendiri, dan rotasi, atau memutar sumbu sekitar titik. langkah pertama kita akan mentranslasikan, dan melibatkan perubahan titik titik asal tanpa mengubah arah dari sumbu. Kami diberi dua garis sumbu (gambar 79): garis awal, OX dan OY, dengan titik asal di O (0,0), dan satu garis baru, CX dan CY, dengan titik asal di C (h, k). kita diberikan, juga, titik P, yang disebut koordinat sumbu awal adalah x= OA dan y= AP, merupakan titik koordinat pada sumbu baru dengan x’=CB dan y’= BP. Kita dapat tentukan hubungan antara jumlah pertama dan terakhir. X X’ Y Y’ P C ( h,k) O(0,0) D A
  • 3. Kami mempunyai: OA = OD + DA atau X = h + x ' juga: AP = AB + BP, atau Y = k + y ' Oleh karena itu kita mempunyai persamaan translasi: x=h + x’ y= k + y’ Hal ini cukup jelas, kemudian, jika kita mempunyai persamaan kurva dimana garis-garis sumbu,sejajar dengan sumbu yang diberikan dengan titik awal di (h, k) diperoleh dengan mengganti x dengan x ' +h dan y dengan y '+ k. Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran: x2 + y2 – 6z + 2y - 6 = 0 210 Disebut sumbu translasi melalui (3,-1) Dari x = x’ + 3 Dan y = y’ – 1 Kita subtitusi dalam persamaan lingkaran dan kita dapatkan: x’2 + 6x’ + 9 + y’2 - 2y’ + 1 – 6x’ – 18 + 2y’ – 2 – 6 = 0 setelah menyerdehanakan hasilnya, kita tentukan: x’2 + y’2 =16 contoh 2: Mengeliminasi persaman pertama dari persaman berikut ini: x2 + y2 -2x + 4y – 4 = 0 dengan x = x’ + h dan y = y’ + k kemudian subtitusi persamaan diatas ke persaman awal, kita mendapatkan: x’2 + 2hx’ + h2 + y’2 + 2ky’ + k2 -2x’ – 2h + 4y’ + 4k – 4 = 0
  • 4. ( catatan : merubah persamaan pertama = 0) Ambil persaman pertama: x’(2h – 2), y’(2k + 4). 2h – 2 = 0 2k + 4 = 0 Atau h= 1 k= -2 subtitusi lagi: x’2 + y’2 + 1 + 4 – 2 – 8 – 4 = 0, akhirnya x’2 + y’2 = 9 Kita mungkin dapat memecahkan contoh 2 b dengan cara lain, ditunjukkan dalam contoh berikutnya: 211 Contoh 3 Mengubah istilah tingkat pertama dari berikut 푥2 + 푦2 – 2x + 4y- 4 = 0 Menyelesaikan soal diats bisa ubah menjadi: (푥 - 1 )2 + (푦 + 2)2 = 9 Diketahui 푥 - 1 =푦′ Dan 푦 + 2 =푦′ Atau 푥 =푦′ + 1 Dan 푦 =푦′ - 2 Maka h =1 K =-2
  • 5. SOAL 1. Tentukan koordinat dari titik (1,3), (-2,5), dan (3, -2) dan melalui sumbu translasi (1, -3) 2. Tentukan koordinat dari titik (-1, 2) ,(3,-2), dan (x,y) yang melalui sumbu translasi (3, -2) 3. Tentukan persamaan garis x-2y – 6 = 0 danmelalui sumbu translasi (2, -2) 4. Tentukan persamaan kurva x2 + y2 -4x + 6y -12 =0 dan melalui sumbu translasi (2,-3) 5. Tentukan persamaan kurva x2 + 2y2+ 2x- 12y + 17 = 0 dan melalui sumbu translasi (-1, 3) 6. Tentukan persamaan dari kurva 3x2 – 4y2 – 16 y – 6x -25 = 0 dan melalui sumbu translasi (1,2) 7. Dari soal diatas , mengubah persaman dari x2 + y2 -2x + 4y -3 =0 8. Dari soal diatas , mengubah persamaan konstanta dalam x dari x2 + 4y – 8y + 12 = 0 9. Tentukan nilai-nilai dari h dan k yang akan mengubah istilah konstan dari : 2x – 3y – 4 = 0. adalah nilai yang diperoleh? 10. Dari translasi sumbu,kita memperoleh persamaan berikut : a) (푥−훼 )² 푎2 + (푦−훽)² 푏2 = 1 b) (푥 − 훼)2 = 4훼(푦 − 훽)2 (푥−훼 )² c) 푎2 − (푦−훽)² 푏2 = 1 212 Transformasi koordinat  78. Sumbu putar. Sekarang kita akan mengubah arah sumbu tanpa mengubah titik asal. Kita putar sumbu melalui sudut Ф. OX dan OY biarkan menjadi garis awal sumbu-sumbu koordinat OX’ dan OY’, satu garis baru,dengan sudut dimana sumbu awal harus diputar, dengan titik asal O, bertepatan dengan sumbu baru (gambar 80). Misalkan P menjadi titik yang koordinat sebagai sumbu awal sehingga x = OA dan y = AP, dan koordinat sumbu baru x’ = OB dan y’ = BP penurunan garis tegak lurus dari B ke AP dan OX.
  • 6. X’ X Y’ Y P D B O A E Kemudian x = OA = OE – AE = OE – DB = OB cos Ф – BP sin Ф = x’ cos Ф – y’ sin Ф Dengan cara yang Sama maka: y = AP = AD + DP = EB + DP = OB sin Ф + BP cos Ф = x’ sin Ф + y’ cos Ф Maka kita mempunyai persamaan sumbu putar 213 x = x’ cos Ф – y’ sin Ф y = x’ sin Ф + y’ cos Ф Oleh sumbu putar , mengeliminasi istilah dalam dari : 3푥 + 4푦 − 10 = 0
  • 7. Mengganti persamaan dari putaran ,dengan mempunyai : 3(푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅ ) + 4 (푥′ sin∅ + 푦′ cos ∅)-10 =0 Atau : 푥′ ( 3 cos ∅ + 4 sin ∅ ) + 푦′ (4 cos ∅ − 3 sin ∅) − 10 = 0 (Catatan : Untuk istilah dalam menghilangkan 푦′ , koefisian harus sama dengan nol ) Oleh karena itu : 4 cos ∅ − 3 sin ∅= 0, Atau: sin ∅ cos ∅ = 4 3 Lalu: Tan ∅ = 4 3 Oleh karena itu : Sin ∅ = 4 5 Cos ∅ = 3 5 Dari sini, dapat diperoleh : 9 5 푥′ ( + 16 5 ) + 푦′ ( 12 5 - 12 5 ) – 10 = 0 Atau: 5푥′ - 10 = 0 Atau: 푥′ = 2. SOAL 1. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푥 dari : 3푥 − 4푦 -6 = 0
  • 8. 2. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 5푥 + 12푦 - 7 = 0 3. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 푦 dari : 푥2 + 푦2 - 2푥 - 2푦 = 0 4. Setelah sumbu yang diputar melalui 30 °, tentukan persamaan garis 3푥 - 2푦 + 6 = 0 5. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan garis 3푥 + 3푦 - 10 = 0 214 6. Setelah sumbu yang diputar melalui 90 °, tentukan persamaan lingkaran 푥2 + 푦2 = 25 7. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan lingkaran 푥2 + 푦2 =25 8. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva 푥푦 = 6. 9. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva 푥푦 = 4. 10.Mengeliminasi persamaan dari 푥푦 =10 79. Mengeliminasi persamaan dari 푥푦. Dalam empat bab sebelumnya , telah membahas berbagai jenis persamaan dari 푥푦 tidak mengandung persamaan. Dan kurva yang dihasilkan dari jenis ini. Kami mengusulkan untuk menunjukkan bahwa ada sebuah transformasi yang selalu akan mengeliminasi persamaan dari 푥푦 yang paling umum dalam derajat dua; misalnya : 퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0 Jadi, Setelah dikurangi persamaan satu dengan yang telah diketahui, cara ini memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan derajat dua. Kemudian kita transformasi sebuah persamaan 퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 +퐸푦 + 퐹 = 0 Mensubtitusikan dalam persamaan nilai – nilai berikut: 푥 = 푥′ cos ∅ - 푦′ sin ∅, 푦 =푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅ Setelah dapat , mengumpulkan persyaratan ,
  • 9. 푥′(퐴 푐표푠2 ∅ + 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶 푠푖푛2 ∅ ) + 푥′푦′ (퐵 푐표푠2 ∅ - 퐵 푠푖푛2 ∅ + 2퐶 sin ∅ cos ∅ -2퐴 sin ∅ cos ∅ ) +푦′2 (퐴 푠푖푛2 ∅ - 퐵 sin ∅ cos ∅ + 퐶푐표푠2 ∅ ) +푥′ ( 퐷 cos ∅ + 퐸 sin ∅) +푦′ ( 퐸 cos ∅ - 퐷 sin ∅ ) + f = 0 215 GEOMETRI ANALITIK (Catatan : istilah x’ y’ dapat dieliminasi, koefisien harus sama dengan 0 ) Selanjutnya : 2 2 cos sin   2sin 0 B     AC   Tapi, dari contoh 35, cos sin 2 2 2   , dan 2sin cos  sin 2 , Untuk itu : cos2  (C)sin 2 , atau : sin 2 . B  A C   cos2  Selanjutnya kita harus mengikuti transformation
  • 10. B  A C tan 2  Dalam contoh umum, kita membutuhkan nilai dari sin dan cos, untuk mensubtitusikan dalam rumus rotasi. Banyak nilai yang mudah ditentukan dari perbedaan dari garis tengah sudut (Bagian 36) yaitu : 1 cos 2 2 sin     , 1 cos 2 2 cos     . Sebelum meneruskan contoh diatas, mari kita buat beberapa pengamatan dengan memperhatikan bahan diatas. Pertama-tama, translasikan dan rumus rotasi dari Bagian 78 adalah derajat pertama; selanjutnya, ketika rumus rotasi tersubtitusi dalam persamaan, derajat persamaan pasti tidak tinggi. Lagipula, derajatnya tidak rendah; untuk itu, ketika mensubtitusikan lebih lanjut untuk memperbaiki awalnya akan menghasilkan persamaan derajat rendah dibanding awalnya. 216 Demikian derajat persamaan sisanya tidak berubah dengan transformasi koordinat. Untuk itu ikutilah, dengan persamaan transformasi berikut B  A C tan 2  , Persamaan umum dari derajat kedua 0 2 2 2 Ax  Bx C y  Dx Ey  F  mungkin sisanya menjadi bentuk
  • 11. 퐴 ′푥 ′ ퟐ + 퐵′푥′ 2 + 퐶′푦′ 2 + 퐷′푥′ + 퐸′푦′ + 퐹′ = 0 Dimana A’ dan C ‘ keduanya tidak boleh 0 X X’ Y Y’ O Y’ Y X X’  Bagaimanapun, kita sebelumnya harus menunjukan bahwa persamaan ini selalu mewakili beberapa tipe dari conic, termasuk; imajinasi,atau nilai conic. Selanjutnya dikatakan : garis derajat kedua persamaan mewakili conic, dan garis conic terwakili oleh persamaan dari derajat kedua. Situasi yang khas tergambarkan oleh angka bulat 217 Dalam P titik asal 80, kita akan menunjukkan bagaimana jenis kerucut mungkin ditentukan oleh hubungan tertentu di antara koefisien A, B, dan C. Contoh 1 Hapus istilah 푥푦 dari : 5푥2 − 4푥푦 + 2푦2 = 6 Di sini, A = 5, B = -4, danC = 2 Oleh karena itu : tan 2∅ = −4 5 − 2 = − 4 3 Oleh karena itu : sin 2∅ = 4 5
  • 12. cos 2∅ = − 3 5 (Karena kita asumsikan ∅ sebagai akut dalam contoh ini, 2∅ demikian di kuadran kedua.) Lalu: 3 5 2 sin ∅ = √1 + = √ 8 10 = √ 4 5 3 5 2 cos ∅ = √1 − = √ 2 10 = √ 1 5 Mensubstitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai: 5 (푥′√ 1 5 − 푦′√ 4 5 ) 2 − 4 (푥′√ 1 5 − 푦′√ 4 5 ) (푥′√ 4 5 + 푦′√ 1 5 ) 4 5 + 2 (푥′√ 1 5 + 푦′√ 2 ) = 6 atau 푥′2 + 6푦′2 = 6 Persamaan ini dalam bentuk elips. Contoh 2 Hapus istilah xy dari: 푥푦 = 푘 Di sini, A = 0, B = 1, danC = 0
  • 13. Oleh karena itu : tan 2∅ = 1 0 = ∞ Oleh karena itu : 2∅ = 90° atau : ∅ = 45° 218 TRANSFORMASI KOORDINAT substitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai: 푥′ √2 ( − 푦′ √2 푥′ √2 ) ( + 푦′ √2 ) = 푘 atau : 1 2 (푥′ − 푦′)(푥′ + 푦′) = 푘 atau : 푥′2 − 푦′ 2 = 2푘 Persamaan ini dalam bentuk hiperbola sama sisi dengan sumbu-sumbu koordinat sebagai asimtot CONTOH Eliminasi istilah 푥푦 , dan menentukan jenis kurva di garisiap berikut. mengingat: 1. 푥푦 = 4 2. 2 푥푦 = −7 3. 푥2 + 3푥푦 − 3푦2 − 4 = 0 4. 5푥2 − 6푥푦 + 5푦2 − 8 = 0
  • 14. 5. 푥2 + 4푥푦 + 푦2 = 2 6. 3푥2 − 3푥푦 − 푦2 = 10 7. 푥2 + 푥푦 − 5푥 − 3푦 + 6 = 0 8. 푥2 − 4푥푦 + 4푦2 − 4푥 − 2푦 + 8 = 0 9. 푥2 − 2푥푦 + 2푦2 − 2푥 = 0 10. 푦2 + 푥푦 − 2푥2 − 4 = 0 11. 푦2 − 2푥푦 + 2푥 = 0 12. 8푥2 + 12푥푦 + 17푦2 − 20 = 0 13. 푥2 + 2푥푦 + 푦2 + 2푥 + 6푦 = 0 14. 3푥2 + 4푥푦 + 6푥 + 4푦 − 1 = 0 15. 푥2 + 24푥푦 − 6푦2 − 30 = 0 80. Invariants; klasifikasi jenis conics. Dalam bagian ini kita akan tentukan bagaimana menentukan sekilas, oleh hubungan tertentu antara tiga koefisien A, B, dan C, jenis kerucut diwakili oleh persamaan 퐴푥2 + 퐵푥푦 + 퐶푦2 + 퐷푥 + 퐸푦 + 퐹 = 0 Perhatikan persamaan di atas sehubungan dengan rumus rotasi: 푥 = 푥′ cos ∅ − 푦′ sin ∅ 푦 = 푥′ sin ∅ + 푦′ cos ∅ 219 GEOMETRI ANALITIS Subtitusikan dalam persamaan awal, maka kita memperoleh: A'x2 + B'x'y' + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0, dimana, dalam bagian 79 (1) A' = A cos2 ø + B sin ø cos + C sin2 ø
  • 15. (2) B' = B cos 2ø – (A – C) sin 2ø (3) C' = A sin2 ø – B sin ø cos + C cos2 ø Dan D' = D cos ø + E sin ø E' = E cos ø – D sin ø F' = F (Pada hubungan tiga relasi tidak diperlukan dalam masalah khusus kita.) Kita akan menemukan beberapa hubungan yang menarik yang ada antara A, B, C dan A ', B', C '. Menambahkan persamaan (1) dan (3), kita memperoleh: A' + C' = A (cos2 ø + sin2 ø ) + C (cos2 ø + sin2 ø ), Atau : (4) A' + C' = A + C. Amati bahwa hubungan antara kuantitas prima, A '+ C', sama dengan hubungan yang sama antara jumlah unprimed, A C + Kami menyebutnya A + C invarian. Sekarang kita akan memperoleh dua invariants lainnya. Mengurangkan (3) dari (1), kita memiliki: A' – C' = (A – C) (cos2 ø – sin2 ø ) + 2B sin ø cos ø , Atau: (5) A' – C' = (A – C) cos 2ø + B sin 2ø. Amati bahwa (A - C) bukan merupakan invarian. Tetapi jika kita persegi (5), tambahkan '2 ke sisi kiri dari persamaan, dan kemudian menambahkan nilai dari B' B 2 dari (2) ke sisi kanan persamaan, kita memperoleh:
  • 16. (A' – C')2 + B' 2 = (A –C)2 cos 2 2ø + 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 sin2 2ø + (A – C)2 sin2 2ø – 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 cos2 2ø, 220 TRANSFORMASI KOORDINAT Atau: (6) (A' – C')2 + B' 2 = (A – C)2 + B Jadi kita memiliki invarian: (A - C) 2 + B2. Akhirnya, persegi (4), dan kemudian kurangi dari (6). Persamaan yang dihasilkan A' 2 - 2A'C' + C' 2 + B' 2 – A' 2 – 2A'C' – C' 2 = A2 – 2AC + C2 + B2 – A2 – 2AC – C2, Atau: (7) B' 2 – 4A'C' = B2 – 4AC. Oleh karena itu c - 4ac adalah suatu varian. Selain itu, b 2 invarian - 4ac yang akan menentukan berbagai jenis conics. Pertimbangan tranformation yaitu tan 2ø = diterapkan untuk persamaan derajat umum kedua. Kita tahu, dari Bagian 79, bahwa 'B = 0. Oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan dari derajat kedua adalah: (8) A'x' 2 + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0;
  • 17. dan (7) menjadi: (9) B2 - 4AC = - 4A'C'. Sekarang, jika salah satu A 'atau C' adalah nol, (8) mewakili parabola. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac = 0. Sekali lagi, jika A 'dan C' memiliki tanda yang sama, (8) mewakili elips. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah negatif. Akhirnya, jika A 'dan C' memiliki tanda yang berlawanan, (8) merupakan hiperbola. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah positif. Proses ini juga reversibel. Oleh karena itu kami memiliki: Parabola : B2 – 4AC = 0 Ellipse : B2 – 4AC < 0 Hyperbola : B2 – 4AC > 0 221 GEOMETRI ANALITIS Dalam rumus diatas, harus dipahami bahwa menurun dan kasus imajiner disertakan. Contoh Klasifikasi : 3푥2 - 4푥푦 - 2푦2 +푥 –푦 – 3 = 0 Disini , 퐴 =3 ,퐵 = -4, dan 퐶 = -2 Oleh karena itu 퐵2 – 4 퐴퐶 = 16- 4(3)(-2) = 16 + 24 = 40 Oleh karena itu istilah hiperbola suatu. CONTOH Klasifikasikan :
  • 18. 1. 3 푥2 -2푥푦 + 4푦2 -7푥 + 3 푦 - 10 = 0 2. 푥2 + 푥푦 - 푦2 +푥 – 푦 - 6 = 0 3. 2 푥2 + 4 푥푦 + 2푦2 = 9. 4. 푥2 + 3 푥푦 -푦2 + 2푥 – 푦 - 4 = 0 5. 2 푥2 + 4푥푦 + 푦2 - 5 =0 6. 3 푥푦 - 2푥 + 푦 -6 =0 7. 3푥2 + 3 푦2 – 푥 - 2푦 - 4 =0 8. (푥 + 2 푦)2 = 4푥 9. ( 푥 + 2 푦)2 =4. 10. 푥푦 + 3푦2 -2푥 + 푦 - 3 = 0 222