modul persamaan lingkaran pak sukani

1. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 1
PERSAMAAN LINGKARAN
a. Persamaan lingkaran dengan titik pusatnya O (0, 0) dan jari-jarinya R
x2
+ y2
= R2
atau 22
yxR 
Contoh : 1
Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O (0, 0) dan :
a. Berjari-jari 6 b. Melalui tiik (6, 8)
Jawab :
a. Berjari-jari r = 6 b. Melalui titik (6, 8)
x2
+ y2
= 62
 x2
+ y2
= 36 R = 22
86  = 6436  = 100 = 10
x2
+ y2
= 102
 x2
+ y2
= 100
b. Persamaan lingkaran yang pusatnya P (a, b) dan berjari-jari R
A (x, y) PA = R
R Rbyax  22
)()( atau :

P (a, b) (x – a)2
+ (y – b)2
= R2
Contoh : 2
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran berikut :
a. (x – 4)2
+ (y + 2)2
= 49 b. (x + 3)2
+ y2
= 25
c. x2
+ (y – 5)2
= 36 c. x2
+ y2
= 64
Jawab :
a. (x – 4)2
+ (y + 2)2
= 49 b. (x + 3)2
+ y2
= 25
Pusat = (4, -2) dan R = 49 = 7 Pusat = (-3, 0) dan R = 25 = 5
c. x2
+ (y – 5)2
= 36 d. x2
+ y2
= 64
Pusat = (0, 5) dan R = 36 = 6 Pusat = (0, 0) dan R = 64 = 8
Contoh 3 :
Tentukan persamaan lingkaran dengan :
a. Pusat (2, 5) dan R = 7 b. Pusat (3, -1) dan menyinggung sumbu y
Jawab :
a. (x – a)2
+ (y – b)2
= R2
b. Karena menyinggung sumbu y, maka R = 3
(x – 2)2
+ (y – 5) = 72
(x – 3)2
+ (y – (-1))2
= 32
(x – 2)2
+ (y – 5)2
= 49 (x – 3)2
+ (y + 1)2
= 9
Contoh 4 :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 3) dan menyinggung garis 3x +
4y + 1 = 0.
Jawab : 3x + 4y + 1 = 0
22
11
BA
CByAx
R



(4, 3) R =
22
43
1)3.4()4.3(


R

2. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 2
R =
25
11212 
=
5
25
= 5
Persamaan lingkaran :
(x – 4)2
+ (y – 3) = 52
(x – 4)2
+ (y – 3) = 25
c. Persamaan Umum Lingkaran
x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0
Dengan pusat lingkaran P {
2
1
 A ,
2
1
 B} dan jari-jari R = CBA  22
4
1
4
1
Contoh 5 :
Tentukan persamaan umum lingkaran yang berpusat di titik (3, 1) dan berjari-jari R = 5
Jawab :
Pusat = (3, 1) dan R = 5
(x – 3)2
+ (y – 1)2
= 52
x2
– 6x + 9 + y2
– 2y + 1 = 25
x2
+ y2
– 6x – 2y + 9 + 1 – 25 = 0
x2
+ y2
– 6x – 2y – 15 = 0
Contoh 6 :
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :
a. x2
+ y2
+ 8x – 6y + 9 = 0 b. x2
+ y2
– 2x + 10y – 23 = 0
Jawab :
a. Pusat = (
2
1
 . A ,
2
1
 . B) = (
2
1
 . 8 ,
2
1
 . (-6) = (-4, 3)
Jari-jari R = CBA  22
4
1
4
1
= 9)6(
4
1
8
4
1 22
 = 9916  = 16 = 4
b. Pusat = (
2
1
 . A ,
2
1
 . B) = (
2
1
 . (-2) ,
2
1
 . 10) = (1, -5)
Jari-jari R = CBA  22
4
1
4
1
= )23()10(
4
1
)2(
4
1 22

= 23251  = 49 = 7
Soal laihan :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat dan jari-jari :
a. Pusat = (3, -2) dan R = 4 b. Pusat (0, 0) dan R = 10
Jawab :
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran :
a. (x + 5)2
+ (y – 3)2
= 9 b. x2
+ (y + 1)2
= 25
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
3. Tentukan persamaan lingkaran yang perpusat di titik (4, -2) dan menyinggung :
a. sumbu x b. sumbu y
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
4. Tentukan persamaan umum lingkaran jika :
a. Pusat = (1, 3) dan R = 4 b. Pusat (-4, 1) dan R = 6

3. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 3
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
5. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum lingkaran :
a. x2
+ y2
– 4x + 8y – 5 = 0 b. x2
+ y2
+ 6x – 2y + 1 = 0
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………..
E. Persamaan Garis Singgung
a. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2
+ y2
= R2
di titik (x1, y1) adalah :
x1 x + y1 y = r2
Contoh 1 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 52 di titik (4, 6)
Jawab :
x1 x + y1 y = r2
 x1 = 4 dan y1 = 6
4x + 6y = 52
Contoh 2 :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
= 25 di titik yang ordinatnya 4.
Jawab :
x1 x + y1 y = r2
 y1 = 4
x2
+ 42
= 25  x2
= 25 – 16 = 9
x = 3
untuk x = 3  3x + 4y = 25
untuk x = –3  –3x + 4y = 25
b. Persamaan garis singgung lingkaran (x – a)2
+ (y – b)2
= R2
dan melalui titik (x1, y1) adalah :
(x1 – a) (x – a) + (y1 – b ) (y – b) = R2
Contoh 3 :
Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2
+ (y – 3)2
= 25 yang melalui
titik (4, 2).
Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (4, 2) :
(x1 + 2) (x + 2) + (y1 – 3 ) (y – 3) = 25
(4 + 2) (x + 2) + (2 – 3) (y – 3) = 25
6x + 12 – y + 3 – 25 = 0
6x – y – 10 = 0
c. Persamaan garis singgung lingkaran x2
+ y2
+ Ax + By + C = 0 di titik (x1, y1) adalah :
x1x +y1y +
2
1
Ax1 +
2
1
Ax +
2
1
By1 +
2
1
By + C = 0
Contoh : 4
Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
– 4x + 8y + 4 = 0 melaui
titik (3, 5).
Jawab :
x1x +y1y +
2
1
(-4)x1 +
2
1
(-4)x +
2
1
(8)y1 +
2
1
(8)y + 4 = 0
x1x +y1y – 2x1 – 2x + 4y1 + 4y + 4 = 0
3x + 5y – 2 (3) – 2x + 4 (5) + 4y + 4 = 0

4. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 4
x + 9y – 6 + 20 + 4 = 0
x + 9y + 18 = 0
Soal latihan
1. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 40 di titik dengan
absis = 2.
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
2. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 65 di titik (7, -4).
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
3. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x + 2)2
+ (y – 3)2
= 25 di titik
(2, 0).
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2, -3) dan menyinggung lingkaran
(x – 4)2
+ (y + 1)2
– 32 = 0.
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
+ 6x – 4y – 45 = 0 di titik
(4, -1)
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
EVALUASI 7
A. Pilihlah jawaban yang paling benar !
1. Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik O (0, 0) dan melaui titik (3, 5) adalah ….
a. x2
+ y2
= 4 c. x2
+ y2
= 8 e. x2
+ y2
= 34
b. x2
+ y2
= 34 d. x2
+ y2
= 16
2. Persamaan lingkarran yang pusatnya (4, 3) dan menyinggung sumbu x adalah ….
a. x2
+ y2
= 9 c. (x – 4)2
+ (y – 3)2
= 9 e. (x + 4)2
+ (y + 3)2
= 16
b. x2
+ y2
= 16 d. (x – 4)2
+ (y – 3)2
= 16
3. Persamaan lingkaran yang pusatnya (2, -1) dan menyinggung sumbu y adalah ….
a. (x – 2)2
+ (y + 1)2
= 4 c. (x2
+ 2)2
+ (y – 1)2
= 1 e. (x + 2)2
+ (y + 1)2
= 4
b. (x2
– 2)2
+ (y + 1)2
= 1 d. (x2
+ 2)2
+ (y – 1)2
= 4
4. Pusat dan jari-jari lingkaran x2
+ y2
+ 6x – 8y – 11 = 0 adalah ….
a. P (3, 4) dan R = 6 c. P (3, -4) dan R = 6 e. P (4, -3) dan R = 6
b. P (-3, 4) dan R = 6 d. P (-3, -4) dan R = 6
5. Bentuk baku dari persamaan lingkaran x2
+ y2
+ 6x – 4y – 12 = 0 adalah ….
a. (x + 3)2
+ (y – 2)2
= 25 c. (x + 3)2
+ (y + 2)2
= 25 e. (x – 3)2
+ (y – 2)2
= 25
b. (x – 3)2
+ (y + 2)2
= 25 d. (x + 2)2
+ (y – 3)2
= 25
6. Bentuk umum persamaan lingkaran dengan pusat (3, -2) dan jari-jari 7 adalah ….
a. x2
+ y2
+ 6x – 4y + 36 = 0 d. x2
+ y2
– 6x + 4y – 36 = 0
b. x2
+ y2
– 6x + 4y + 36 = 0 e. x2
+ y2
– 6x – 4y – 36 = 0
c. x2
+ y2
+ 6x + 4y + 36 = 0
7. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 20 di titik (4, -2) adalah ….
a. 4x – 2y – 20 = 0 c. 2x – 4y – 20 = 0 e. 4x + 2y + 20 = 0
b. 4x + 2y - 20 = 0 d. 4x – 2y + 20 = 0
8. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
= 45 pada titik dengan ordinat = 6
adalah ….
a. 6x2
+ 3y2
= 45 c. 6x2
– 3y2
= 45 e. –3x2
– 6y2
= 45
b. 3x2
– 6y2
= 45 d. –3x2
+ 6y2
= 45
9. Persamaan garis yang menyingung lingkaran (x – 2)2
+ (y – 3)2
= 25 di titik (5, 7) adalah
….
a. 4x + 3y + 43 = 0 c. 4x + 3y + 43 = 0 e. 3x + 4y – 43 = 0
b. 4x – 3y + 43 = 0 d. 3x + 4y – 43 = 0

5. Modul Matematika Kelas XII SMK Kelompok Teknologi
D i b u a t O l e h P a k S u k a n i ; E m a i l : L i k e n y _ r b g @ y a h o o . c o m Page 5
10. Persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
– 4x + 6y – 12 = 0 di titik (5, 1) adalah
….
a. 4x + 3y – 19 = 0 c. 3x + 4y – 19 = 0 e. 3x – 4y + 19 = 0
b. 4x – 3y – 19 = 0 d. 3x + 4y + 19 = 0
B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.
1. Tentukan bentuk baku persamaan lingkaran dengan pusat (-5, 2) dan jari-jari = 4.
Jawab :
…………………………………………………………………………………………......
2. Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran x2
+ y2
– 10x + 2y + 17 = 0.
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
3. Ubah bentuk baku persamaan lingkaran (x + 3)2
+ (y + 1)2
= 25 ke bentuk umum.
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
4. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran (x – 1)2
+ (y + 3)2
= 16
di titik (1, 1).
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..
5. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2
+ y2
– 4x – 2y – 20 = 0
di titik (7, 1).
Jawab :
……………………………………………………………………………………………..