Lingkaran

1. Nama Anggota:
1. Nur Aina Sazri
2. Nur Azizah
3. Rahmadianti
4. Rizky Nur Islami
LINGKARAN

2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
• Persamaan lingkaran dengan pusat P (0,0) dan jari-jari r
yaitu
Contoh :
1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat P(0,0) dan
jari-jari r=5
Jawab :
AINA

3. • Persamaan lingkaran dengan pusat P(a,b) dan jari-jari r
yaitu
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 dengan,
pusat : (-1/2A , -1/2B) dan jari-jari :
Contoh :
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan
berjari-jari 4
Jawab : a = 3 , b = 2

4. Kedudukan Titik Terhadap
Lingkaran
K = m² + n² + Am + Bn +C
Jika K < 0, maka titik A terletak di dalam lingkaran.
Jika K = 0, maka titik A terletak pada lingkaran.
Jika K > 0, maka titik A terletak di luar lingkaran.
RISKY

5. Contoh :
1. Tentukan kedudukan titik H(-3,9) terhadap lingkaran
Jawab : m = -3 , n = 9
K =
=
= 9+81+24-90+16
= 40
• K > 0 , Maka titik H terletak diluar lingkaran.
•

6. Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
• D =
• D > 0 ⇔ garis g memotong lingkaran di dua titik
yang berlainan
• D = 0 ⇔ garis g menyinggung lingkaran
• D < 0 ⇔ garis g tidak memotong maupun
menyinggung lingkaran
DIAN

7. Contoh :
1. Diketahui sebuah garis –x + y = 5 dan sebuah lingkaran x2
+ y2 = 9, tentukan nilai diskriminannya !
Pembahasan :
y = x+5
x2 + (x+5) (x+5) = 9
x2 + x2 + 10x +25 = 9
2x2 + 10x + 16 = 0
D = b2 – 4ac
= 102 – 4.2.16
= 100 – 128
= -28

8. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN

9. c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran melalui Suatu Titik di Luar Lingkaran
Misalkan gradien garis singgung yang melalui titik A(𝑥1, 𝑦1) adalah m sehingga
diperoleh persamaan.
𝑦 − 𝑦1= m(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1
y = mx – m𝑥1+ 𝑦1
Rumus:
Y= mx ± r 𝑚2 + 1atau 𝑦 − 𝑦𝑝 = 𝑚(𝑥 − 𝑥 𝑝) ± 𝑟 𝑚2 + 1
Jika diketahui titik
Jika diketahui gradien

10. Contoh :
1. Diberikan persamaan lingkaran:
L =
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang
memiliki titik singgung di (−4,3)
Pembahasan
Lingkaran L =
Titik singgungnya (x1, y1)
persamaan garis singgungnya adalah
Dengan x1 = − 4 dan y1 = 3, persamaangarisnya:
−4x + 3y = 25
3y −4x − 25 = 0
AZIZAH

11. 2. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik (3, −2)
adalah…
Pembahasan :
Titik yang diberikan adalah (3, −2), dan belum diketahui posisinya pada lingkaran,
apakah di dalam, di luar atau pada lingkaran.
(3, −2) → x2 + y2
= 32 + (−2)2 = 9 + 4
= 13
Hasilnya ternyata sama dengan 13 , jadi titik (3, −2) merupakan titik singgung.
3. Diberikan persamaan lingkaran L ≡ x2 + y2 = 25. Tentukan persamaan garis singgung
pada lingkaran tersebut yang memiliki gradien sebesar 3.
Pembahasan
Menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran yang pusatnya di (0, 0) dengan
diketahui gradien garis singgungnya.
AZIZAH

12. 4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus
garis 2y − x + 3 = 0 adalah....
Pembahasan :
Garis 2y − x + 3 = 0 memiliki gradient sebesar 1/2. Garis lain yang tegak lurus
dengan garis ini harus memiliki gradien − 2.
Sehingga persamaan garis singgung di lingkaran x2 + y2 = 25 yang memiliki
gradien −2 adalah:
Jadi persamaan garis singgungnya bisa y = −2x + 5√5 bisa juga y = −2x − 5√5
5. Tentukan posisi titik A(3, 1) terhadap lingkaran yang persamaannya ,
Pembahasan:
persamaan lingkaran pusatnya di (0, 0) dan r2 = 16. Untuk
menentukkan posisi titik A kita bisa substitusikan nilai x1 = 3 dan y1 = 1 sehingga
didapat
karena 10 < 16 makatitik A(3,1) terletak di dalamlingkaran yang persamaannya
x2 + y2 = 16
DIAN

13. 6. Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!
Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.
Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.
7. Lingkaran berpusat di titik O(0, 0) dan berjari-jari 9.
Persamaan lingkaran:
x2 + y2 = r2
⇔ x2 + y2 = 92
⇔ x2 + y2 = 81
Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 = 81
AINA

14. 8. Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
Pembahasan
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] .
Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5
a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5
RISKY

15. 9. Dari gambar diperoleh koordinat titik pusat lingkaran P(10, –6) dan jari-
jarinya 10. Persamaan lingkarannya:
(x – 10)2 + (y – (–6))2 = 102
(x – 10)2 + (y + 6)2 = 100
Jadi, persamaan lingkarannya (x – 10)2 + (y + 6)2 = 100.
10. Lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y + a = 0 melalui titik (1, 4), diperoleh:
12 + 42 + 6 · 1 – 2 · 4 + a = 0
⇔ 1 + 16 + 6 – 8 + a = 0 ⇔ a = –15
Diperoleh persamaan lingkaran x2 + y2 + 6x – 2y – 15= 0.
Jari-jari lingkaran:
r = 1 2 1 2
2 2
(− A) + (− B) −C
= 6 2 2 2
2 2
(− ) + (− − ) − (−15)
= 9 +1+15
= 25 = 5
Jadi, panjang jari-jarinya 5 satuan.

16. 11. Lingkaran L: 2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0 melalui
titik (–2, 1), diperoleh:
2x2 + 2y2 – 4x + 3py – 30 = 0
⇔ 2(–2)2 + 2(1)2 – 4(–2) + 3p(1) – 30 = 0
⇔ 8 + 2 + 8 + 3p – 30 = 0
⇔ 3p – 12 = 0
⇔ p = 4
Lingkaran L:
2x2 + 2y2 – 4x + 12y – 30 = 0
⇔ x2 + y2 – 2x + 6y – 15 = 0
Pusat lingkaran L adalah (1, –3).
Jari-jari lingkaran L= 12 + (−3)2 − (−15)
= 25
= 5
Persamaan lingkaran M yang berpusat di (1, –3)
dan jari-jarinya 2(5) = 10 sebagai berikut.
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
⇔ (x – 1)2 + (y + 3)2 = 102
⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 6y + 9 = 100